Donde:

5 10 15 20 25 30 35

2 x 20 = 40

15 + 25 = 40

10 + 30 = 40

5 + 35 = 40

Progresión aritmética

En matemáticas, una progresión aritmética es una serie de números tales que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es una constante, cantidad llamada diferencia de la progresión o simplemente diferencia o incluso "distancia".

Por ejemplo, la sucesión 3, 5, 7, 9, 11,... es una progresión aritmética de constante (o diferencia común) 2.

Término general de una progresión aritmética

El término general de una progresión aritmética es aquel en el que se obtiene cualquier término sumándole la diferencia al término anterior. El término de una progresión aritmética es la expresión que nos da cualquiera de sus términos, conocidos alguno de ellos y la diferencia de la progresión.

La fórmula del término general de una progresión aritmética es:

Interpolación de términos diferenciales

Interpolar k términos diferenciales entre dos números a y b dados, es formar una progresión aritmética de k + 2 términos, siendo a el primero y b el último. El problema consiste en encontrar la diferencia d de la progresión.

Por ejemplo, queremos interpolar 3 términos diferenciales entre 2 y 14.

Calculamos la diferencia de la progresión haciendo a = 2, b = 14, k = 3 Los términos a interpolar serán a2 = 5, a3 = 8 y a4 = 11. Ahora ya tenemos la progresión aritmética pedida: 2, 5, 8, 11, 14

Suma de términos de una progresión aritmética

Consideraremos en primer lugar algunas propiedades de la suma de términos de una progresión aritmética. En particular nos fijaremos en la suma de los dos términos extremos, el primero y el último, así como en la suma de aquéllos cuyos lugares sean equidistantes de los extremos de la progresión. Seguidamente estudiaremos el término central de una progresión aritmética con un número impar de términos. Finalmente se generalizará a todos los términos de la progresión.

Suma de los dos términos extremos y suma de los términos equidistantes de aquéllos

Sea la progresión aritmética de diferencia d : a1, a2, a3, . . . , an-2, an-1, an La suma de los términos extremos es:

Suma de los términos equidistantes

Éstos serán de la forma a1 + k y an − k, siempre que (n − k) > 0. La suma del primer y último términos de una progresión aritmética es igual a la suma de dos términos equidistantes de los extremos:

d)n(aan 11

d es un número real llamado diferencia a es el término inicial de una progresión aritmética an es el término n-ésimo de la sucesión

1

k

abd

313

214

1

k

abd

a1 + an = 2a1 + ( n – 1 ) d

a1 + an = a1 + k + an − k

a1 + an = a1 + k + an – k = 2 ac = CTTE

Arriba se han escrito los siete primeros términos de la progresión aritmética de término general an = 5n.

Se comprueba que la suma de los términos primero y último es igual a la suma de dos términos equidistantes a éstos, e igual al doble del término central. Esta importante propiedad va a permitir determinar la suma de todos los términos de una progresión aritmética, por grande que ésta sea.

Donde:

Donde:

Ascendente

Descendente

El término central de una progresión aritmética

En una progresión aritmética con un número impar de términos, término central ac es aquél que por el lugar que ocupa en la progresión equidista de los extremos a1 y an de ésta.

Sea la progresión aritmética a1, a2, a3, . . . , an-2, an-1, an de diferencia d, y término central ac.

Suma de todos los términos de una progresión aritmética

La suma de los términos en un segmento inicial de una sucesión aritmética se conoce a veces como serie aritmética. Existe una fórmula para las series aritméticas. La suma de los n primeros valores de una sucesión finita viene dada por la fórmula:

Progresión geométrica

Una sucesión geométrica está constituida por una secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, si bien, esta distinción no es estricta.

Así, 5, 15, 45, 135, 405, . . . es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque:

Término general de una progresión geométrica El término general de una progresión geométrica está dado por la expresión:

Suma de los primeros n términos de una progresión geométrica

Se denomina como Sn a la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica: Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an Con la siguiente fórmula se puede obtener la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica con sólo saber el primer término a sumar y la razón de la progresión. Si queremos calcular el resultado de una suma de n términos consecutivos, pero sin que empiece en cero, debemos utilizar la expresión:

Suma de términos infinitos de una progresión geométrica

Si el valor absoluto de la razón es menor que la unidad | r | < 1, la suma de los infinitos términos decrecientes de la progresión geométrica converge hacia un valor finito. En efecto, si | r | < 1, tiende hacia 0, de modo que: La suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón inferior a la unidad se obtiene utilizando la fórmula anterior.

d)n

(aac2

11

2

1

1

)aa(na n

ni

i

i

a1 es el primer término an es el último término

15 = 5 × 3 45 = 15 × 3 135 = 45 × 3 405 = 135 × 3

)n(n raa 1

1

an es el término n-ésimo de la sucesión a1 es el primer término de la sucesión r es la razón

)r

r(aS

n

n1

11

1

1

r

)rr(ara

mnn

mk

k

r

aS

1

1

)r

r(aS

n

n

1

11