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Programación lineal

Orígenes

La programación lineal se plantea como un modelo matemático desarrollado durante la Segunda Guerra Mundial para planificar los gastos y los retornos, a fin de reducir los costos al ejército y aumentar las pérdidas del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1947. En la posguerra, muchas industrias lo usaron en su planificación diaria.

Hoy en día se utiliza para diseñar redes de transporte eficaces con el mínimo coste, elaboración de dietas que cubran las necesidades mínimas, administración óptima de medicamentos, en la industria para reducir el coste de producción obteniendo el máximo rendimiento, etc …

En su planteamiento tendremos una función objetivo, que es la que se pretende optimizar (hacerla máxima o mínima según el caso), pero sujeta a una serie de restricciones (en nuestro caso las restricciones serán inecuaciones lineales con dos incógnitas).

Inecuaciones

Son expresiones algebraicas en las que aparecen los signos de desigualdad <, >, ≤ ó ≥. Diremos que una inecuación es lineal, si las expresiones algebraicas que intervienen en la desigualdad son polinomios de 1er grado.

Llamaremos solución de la inecuación al número o conjunto de números que satisfacen la desigualdad, generalmente las soluciones de una inecuación las daremos en forma de intervalos.

Dos inecuaciones diremos que son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

Obtendremos inecuaciones equivalentes:

1. Si sumamos o restamos los dos miembros de una desigualdad por un mismo número (esto nos permite pasar lo que está sumando a un lado, al otro lado restando y viceversa)

2. Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una desigualdad por un mismo número pero positivo (esto nos permite pasar lo que está multiplicando a un lado, al otro lado dividiendo y viceversa, pero ojo si es positivo si fuera negativo cambiaría el sentido de la desigualdad).

Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas

Cada inecuación lineal con dos incógnitas 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 ≤ ó ≥ 𝒄, tiene su representación en el plano, tengamos en cuenta que si se tratara de una igualdad 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝟎, su representación es una recta que divide al plano en dos regiones, en una de ellas se verifica 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 < 𝑐 y en la otra 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 > 𝑐.

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Ejemplo:

Fíjate en este caso en que estamos representando la recta 2x-3y=3. Precisamente en los puntos de la recta se da la igualdad, en los puntos del semiplano superior se da 2x-3y<3, y en los del semiplano inferior 2x-3y>3.

Formulación matemática de un problema de programación lineal

En nuestro caso nos plantearemos problemas de programación lineal (tanto la función objetivo como las restricciones son lineales) con dos variables x e y.

Nuestra función objetivo será aquella que queremos hacer máxima (generalmente beneficios) o mínima (generalmente costes): 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄.

Sujeta a una serie de restricciones, establecidas mediante sistemas de inecuaciones lineales

con dos incógnitas:

𝒂𝟏𝟏𝒙 + 𝒂𝟏𝟐𝒚 ≤ ó ≥ 𝒃𝟏

𝒂𝟐𝟏𝒙 + 𝒂𝟐𝟐𝒚 ≤ ó ≥ 𝒃𝟐

… … … … …𝒂𝒏𝟏𝒙 + 𝒂𝒏𝟐𝒚 ≤ ó ≥ 𝒃𝒏

 

Plantear el problema consiste en determinar:

1. Las variables. 2. La función objetivo. 3. El conjunto de las restricciones.

Para resolverlo seguiremos los siguientes pasos:

1. Representar la región factible. 2. Obtener las coordenadas de los vértices de la región factible. 3. Calcular el valor de la función objetivo en estos vértices. 4. Elegir el vértice que maximiza o minimiza la función objetivo según el caso.

Ejemplo:

Queremos hacer máxima la función f(x,y)=2x+y, sujeta a las restricciones:

⎩⎪⎨

⎪⎧

𝑥 ≤ 2𝑥 + 2𝑦 ≤ 4

2𝑥 − 3𝑦 ≥ −62𝑥 + 3𝑦 ≥ −6

𝑥 − 2𝑦 ≤ 4

 

Dibujaremos cada una de las rectas y colorearemos el semiplano que no cumpla la correspondiente desigualdad. Siendo así la región factible aquella que nos queda sin colorear.

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Tener en cuenta que para dibujar cada una de las rectas necesitaremos obtener de cada una de ellas al menos dos puntos, por ejemplo para representar la recta x+2y=4 tendremos en cuenta que esta pasa por los puntos (0, 2) y (2, 1); y así con cada una de ellas.

1. Obtendremos los vértices de la región factible, en este caso son cinco. 2𝑥 − 3𝑦 = −62𝑥 + 3𝑦 = −6

⇒ 𝐴(−3, 0)  2𝑥 − 3𝑦 = −6

𝑥 + 2𝑦 = 4 ⇒ 𝐵(0, 2) 

𝑥 = 2 𝑥 − 2𝑦 = 4

⇒ 𝐶(2, 1) 

𝑥 = 2 𝑥 − 2𝑦 = 4

⇒ 𝐷(2, −1)   2𝑥 + 3𝑦 = −6

𝑥 − 2𝑦 = 4 ⇒ 𝐸(0, −2)  

2. Calculamos la función objetivo en esos vértices:

𝑓(−3, 0) = 2 · (−3) + 0 = −6 𝑓(0, 2) = 2 · 0 + 2 = 2 𝑓(2, 1) = 2 · 2 + 1 = 5 𝑓(2, −1) = 2 · 2 + (−1) = 3 𝑓(0, 2) = 2 · 0 + (−2) = −2

3. Por tanto el máximo se alcanza para x=2 e y=1, y vale 5.

Ejemplos de problemas tipo

Problemas de producción

Una empresa fabrica dos tipos de relojes, el reloj pedestal y el de pared. La empresa tiene tres secciones, en la primera se ensamblan las partes internas del reloj, en la segunda se producen las cajas de madera labradas a mano u en la tercera se embalan y envían los relojes. El tiempo requerido para dada tarea viene dado en la siguiente tabla:

Reloj pedestal Reloj de pared Ensamblar mecanismo 2 6 Labrar caja de madera 4 3 Embalar y enviar 2 3

La primera sección puede trabajar un máximo de 52 horas por semana, la segunda hasta 44 horas y la tercera solo puede trabajar hasta 28 horas por semana. Si cada reloj deja una ganancia de 300 €, ¿cuál es la mejor decisión de producción y que beneficio se conseguirá con ella?

Planteamiento:

1. Variables: x=”nº de relojes de pedestal” y=”nº de relojes de pared” 2. Función objetivo: B(x, y)=300y+300y 3. Restricciones:

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⎩⎪⎨

⎪⎧ 𝑥 ≥ 0 𝑦 ≥ 0

2𝑥 + 6𝑦 ≤ 544𝑥 + 3𝑦 ≤ 442𝑥 + 3𝑦 ≤ 28

⇒ 𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠

⎩⎪⎨

⎪⎧

𝐴(0, 0)

𝐵 0,

𝐶(2, 8) 𝐷(8, 4) 𝐸(11, 0)

  

Función objetivo en los vértices:

𝑓(0, 0) = 0 𝑓 0, = 2600 𝑓(2, 8) = 3000 𝑓(8, 4) = 3600 𝑓(11, 0) = 3300

Para obtener el máximo beneficio, se deben fabricar 8 relojes de pedestal y 4 de pared. En este caso obtendremos un beneficio de 3600 €. Problemas de dieta Un veterinario desea dar a sus animales una dieta que contenga un mínimo de unidades de pienso tipo Ay 20 unidades de pienso tipo B. En el mercado se encuentran dos productos, P1 y P2, que se elaboran con dichos piensos. Cada bolsa de P1, que cuesta 2’5 €, contiene 4 unidades del tipo A y 2 unidades de tipo B, mientras que cada bolsa del producto P2, cuesta 3’25 €, y contiene 5 unidades de A y 5 unidades de B. ¿Qué cantidad bolsas de P1 y P2 deberá comprar para que la dieta sea de coste mínimo? Planteamiento: En este caso recogeremos y ordenaremos los datos en una tabla. x=”unidades producto P1” y=”unidades producto P2” función objetivo: f(x, y)=2’5x+3’25y mínima

Restricciones:

𝑥 ≥ 0 𝑦 ≥ 04𝑥 + 5𝑦 ≥ 302𝑥 + 5𝑦 ≥ 20

  ⇒ 𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠

𝐴(0, 6)𝐵(5, 2)

𝐶(10, 0)

 

Función objetivo en los vértices: 𝑓(0, 6) = 2 5 · 0 + 3 25 · 6 = 19 50 € 𝑓(5, 2) = 2 5 · 5 + 3 25 · 2 = 19 € 𝑓(10, 0) = 2 5 · 10 + 3 25 · 0 = 25 € El coste mínimo se obtiene comprando 5 unidades de P1 y 2 unidades de P2. Problemas de transporte 1. Para abastecer de madera a tres aserraderos, A1, A2 y A3, hay dos bosques, B1 y B2,

que producen 26 toneladas y 30 toneladas, respectivamente. Las necesidades de cada aserradero son: 20, 22 y 14 toneladas, respectivamente. Si los costes de transporte por tonelada de los bosques a los aserraderos son, en cientos de euros, los que se indica en la tabla adjunta, propón el transporte con el coste mínimo.

P1 P2 Totales Tipo A 4 5 30 Tipo B 2 5 20 Precio 2’5 3’25

Aserraderos Bosques

A1 A2 A3

B1 1 3 1 B2 2 1 1

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Planteamiento: Llamaremos x=”las toneladas de madera que proporciona el bosque B

destino A1” e y=”las toneladas de madera que proporciona B Elaboramos la siguiente tabla:

Obtenemos el conjunto de restricciones, teniendo en cuenta que las cantidades de entrega no pueden ser negativas:

⎩⎪⎨

⎪⎧

𝑥 ≥ 0 𝑦 ≥20 − 𝑥 ≥ 022 − 𝑥 ≥ 026 − 𝑥 − 𝑦

−12 + 𝑥 +

Obtenemos la función objetivo: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 ·

(−12 + 𝑥 + 𝑦

Solución: Para su solución dibujaremos la región factible, obtendremos sus vértices y nos quedaremos con aquel que hace mínimo la función objetivo.Vértices: A(12, 0); B(20, 0); C(20, 6); D(4, 22);E(0, 22); F(0, 12)

Función objetivo en los vértices:f(12, 0)=64; f(20, 0)=56; f(20, 6)=68; f(4, 22)=116; f(0, 22)=120 y f(0, 12)=100.La solución por tantos será x=20 e y=0

2. Se quiere organizar un puente aéreo entre dos ciudades, con plazas suficientes de

pasaje y carga, para transportar 1.600 personas y 96 taviones disponibles son de dos tipos: 11 del tipo A y 8 del tipo B. La contratación de de un avión de tipo A cuesta 4.000 toneladas de equipaje; los aviones del tipo B cuestan 1.000 100 personas y 15 toneladas de equipaje. ¿Cuántos aviones de cada tipo deben utilizarse para que el coste sea mínimo?Planteamiento: Ordenamos los datos Elegimos las incógnitas:x=”nº de aviones tipo A”y=”nº de aviones tipo B” Función objetivo:

Llamaremos x=”las toneladas de madera que proporciona el bosque B

” e y=”las toneladas de madera que proporciona B1

Elaboramos la siguiente tabla:

Obtenemos el conjunto de restricciones, teniendo en cuenta que las cantidades de entrega no pueden ser negativas:

≥ 0 0 0 𝑦 ≥ 0𝑦 ≥ 0

 

Obtenemos la función objetivo: · 𝑥 + 3 · 𝑦 + 1 · (26 − 𝑥 − 𝑦) + 2 · (20 − 𝑥) + 1

𝑦) = −𝑥 + 2𝑦 + 76

Para su solución dibujaremos la región factible, emos sus vértices y nos quedaremos con

aquel que hace mínimo la función objetivo. Vértices: A(12, 0); B(20, 0); C(20, 6); D(4, 22);

Función objetivo en los vértices: , 0)=64; f(20, 0)=56; f(20, 6)=68;

f(4, 22)=116; f(0, 22)=120 y f(0, 12)=100. La solución por tantos será x=20 e y=0

Se quiere organizar un puente aéreo entre dos ciudades, con plazas suficientes de pasaje y carga, para transportar 1.600 personas y 96 toneladas de equipaje. Los aviones disponibles son de dos tipos: 11 del tipo A y 8 del tipo B. La contratación de de un avión de tipo A cuesta 4.000 € y puede transportar a 200 personas y 6 toneladas de equipaje; los aviones del tipo B cuestan 1.000 € y pue100 personas y 15 toneladas de equipaje. ¿Cuántos aviones de cada tipo deben utilizarse para que el coste sea mínimo?

Ordenamos los datos en una tabla Elegimos las incógnitas: x=”nº de aviones tipo A” y=”nº de aviones tipo B”

Función objetivo: El coste C(x, Y)=4000·x+1000·y; que queremos hacer mínimo.

Aserraderos Bosques A1 A2

B1 x y B2 20-x 22-y

AserraderosBosques

B1

B2

Tipo A Tipo B Personas 200 100 Equipaje 6 15 Precio 4.000 1.000

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Llamaremos x=”las toneladas de madera que proporciona el bosque B1 al

1 al destino A2”

Obtenemos el conjunto de restricciones, teniendo en cuenta que las

1 · (22 − 𝑦) + 1 ·

Se quiere organizar un puente aéreo entre dos ciudades, con plazas suficientes de oneladas de equipaje. Los

aviones disponibles son de dos tipos: 11 del tipo A y 8 del tipo B. La contratación € y puede transportar a 200 personas y 6

€ y pueden transportar 100 personas y 15 toneladas de equipaje. ¿Cuántos aviones de cada tipo deben

que queremos hacer mínimo.

A3

26-x-y -12+x+y

Aserraderos A1 A2 A3

20 0 0 0 22 8

Totales 1.600 96

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Restricciones:

𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 𝑥 ≤ 11, 𝑦 ≤ 8 200𝑥 + 100𝑦 ≥ 16006𝑥 + 15𝑦 ≥ 96

𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠

𝐴(6, 4)𝐵(4, 8)

𝐶(11, 8)𝐷(11, 2)

  

Función objetivo en los vértices: f(6, 4)=30000€ f(4, 8)=32000€ f(11, 8)=52000€ f(11, 2)=46000€

La solución por tanto es x=6 aviones tipo A, y=4 aviones tipo B y el coste es de 30.000€.

Ejercicios:

1. Resuelve los siguientes problemas de programación lineal.

a) Maximizar f(x, y)=x+y, sujeto a: 𝑥 ≥ 0 𝑦 ≥ 0

−𝑥 − 2𝑦 ≥ −8𝑥 − 𝑦 ≤ 2

 

b) Minimizar f(x, y)=x-y, sujeto a: 𝑥 ≥ 0 𝑦 ≥ 0

−4𝑥 − 2𝑦 ≥ −16𝑥 − 𝑦 ≥ 1

 

Sol: a. x=4, y=2. b. La función objetivo alcanza el valor mínimo en dos vértices (1, 0) y (3, 2). Por tanto tiene como soluciones todos los puntos de dicho segmento.

2. Para fabricar dos tipos de cables A y B, que se venderán a150 € y 100 € el hectómetro, respectivamente, se emplean 16 kg de plástico y 4 kg de cobre para cada hectómetro de tipo A y 6 kg de plástico y 12 de cobre para cada hectómetro de tipo B. El cable fabricado del tipo B no puede ser mayor que el doble del tipo A y, además, solo tenemos 252 kg de plástico y 168 kg de cobre. Determina la longitud, en hectómetros, de cada tipo de cable para que la cantidad de dinero obtenida en su venta sea máxima. Sol: 12 hm de tipo A Y 10 hm de tipo B.

3. Un veterinario desea dar a sus animales una dieta que contenga un mínimo de 30 unidades de pienso tipo y 20 unidades de tipo B. En el mercado se encuentran los productos P1 y P2, que se elaboran con dichos piensos. Cada bolsa de P1, que cuesta 2’50 €, contiene 4 unidades del tipo A y dos unidades del tipo B, mientras que cada bolsa de P2, cuyo coste es de 3’25 €, contiene 5 unidades de A y 5 unidades de B. ¿Qué cantidad de P1 y P2 deberá comprar para que la dieta sea de coste mínimo? Sol: 5 unidades de P1 y dos unidades de tipo P2.

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4. Una empresa dedicada a la fabricación de piezas de automóvil tiene dos factorías que producen, respectivamente, 8.000 y 15.000 piezas mensuales. Estas piezas han de ser transportadas a tres fábricas que necesitan 10.000, 7.000 y 6.000 piezas respectivamente. Los costes de transporte en euros, por pieza, son los que aparecen en la tabla adjunta. ¿Cómo debe organizarse el transporte para que el coste sea mínimo?

Fábrica 1 Fábrica 1 Fábrica 1

Factoría 1 6 13 2

Factoría 1 4 4 12

Sol:

Fábrica 1 Fábrica 1 Fábrica 1

Factoría 1 2000 0 6000

Factoría 1 8000 7000 0