Matemátic e resoluçà de problemas: múltiplo olhares de professores

Ana Maria Boavida

Serà pertinente e adequado

considerar que a interpretaçà que

cada professor atribui a resoluçà de

problemas à directamente

determinada pela sua filosofia pessoal

sobre a matemática

Desafios h EducaçÃ

Umdosgrandesdesafiosqueactual- mente se coloca ?i Educaçà e, em par- ticular, ?i Educaçà Matemática 6 o de como proporcionar que naEscolasejam atingidos, por todos os alunos, objecti- vos tradicionalmente reservados s6 para alguns. O desenvolvimento do raciocí nio, da capacidade de resolver proble- mas e do pensamento poderoso e flexí vel, que sempre foi uma finalidade dos sistemas educativos paraaelite, tomou- -se hoje umdos objectivos bisicos para todos.

Numakpocaem queemerge ademo- cratiwfã do pensar, em que o pêndul educativo balanç de uma ênfas nas técnica de cálcul para uma ênfas no pensamento critico e na resoluçà de problemas, eem que as salas de aula sã frequentemente consideradas sistemas socialmente organizados e n'o somat6rios de acontecimentos discre- tos, toma-se particularmente pertinen- te valorizar o professor, enquanto sujei- to activo, que age com intencionali- dade pr-pria, que interpreta de forma pessoal e únic as situaçõ que se lhe apresentam, e que toma decisõe de acordo com o sentidoque atribui aessas situaçõe

6 neste contexto que se inscreve a pertinênciad tentar compreender o pen- samento pedag6gico dos professores. No âmbit da Educaçà Matemátic esta tentativa tem originado diversas investigaçõ em que sepesquisam pers- pectivas, preferência e concepçõ so- bre amatemitica e o seu ensino e apren- dizagem e em que se procuram explorar possívei relaçõ entreestas e as inten- çõ pedag6gicas e priticas de ensino do professor.

Perspectivas dos professores sobre matemátic e resoluçà de

problemas

Nas investigaç'e focadas na com- preensã do pensamento pedag6gicodos professores tê sido usados diversos conceitos relacionados com a origem, natureza e organizaçà deste conheci- mento. Entre estes encontram-se crença sistema de crenças concepfã e repre- sentaçã No âmbit destas investiga- çõe a anáiis de como os professores concebem a matemiticae aresoluçà de problemas parece ser especialmente per- tinente.

Com efeito, embora p q a estar lar- gamente reconhecida a ideia de que o desenvolvimento da capacidade de re- solverproblemasdeve constituir um eixo organizador do ensino da matemiitica, algumas das grandes dificuldades en- contradas ao trabalhar com professores na áre da resoluçà de problemas, rela- cionam-se com perspectivas destes acet- ca do que constitui um problema em matemiitica, bemcomo acerca da nature- za da matemitica em geral e da reso- luçà de problemas em particular (Thompson.1990). Neste contexto, co- loca-se a hip6tese das concepçõ de cadaprofessor sobre matemiticainíluen ciarem fortemente a interpretaçà que atribui a resoluçà de problemas.

Observem-se, assim, algumas das concepgies sobre matemitica e resolu- $20 de problemas sustentadas por pro- fessores.

Conce~õe dos professores sobre matemátic

Skemp (1978) distingue o que de- signa por matemátic instrumental de matemátic relacional. O conhecimento

Eduqã e Matemátic no 31 3 O trimestre de 1994

ap saiossajoid onenb ap o m op!znp -uoo!ojanb 'opnisa aisg.(~661 'ep!Aeog ia^) o p e n s a ~ ap as31 emn ap 0 ~ 5 e i - q p e p o i ! q w ou op!A[oAuasap opnisa um 'oue um ap eoiao yq '!az!pai 'mi -no!ped ma 'Soun[e SOp 01U31U!A[OAUaS -ap op oixaiuoo OU a '[eiaS ma 'm[oosa eo!iymaiBni ep oixaiuoo ou m a [ q o i d ap og5n1osai e miai&aiu! eo!iymaiem ap saiossajoid so omoo ap o~suaaidmoo e emdnnqynoo ap apep![eug E mo3

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- p q a p a i u a w x m p eras semalqoid ap o~5n[osai e inqge iossajoid epm anb o@mai&aiu! e anb map!suoo op -enbape a aiuau!vad y a s 'oiuema ON

Â¥ou!su ap e~!~oad -uade J q u u a t a p PA anbeo!~maiem e aiqos epeiuasns mg9s01g e ~ n a d s i a d E

ueuuyi emd m a q w 'n!A as aiuauuou -aiue 01x103 .ogsuaixaens e epoi m a e p apeles eu muama[dm! essod se OBU anb omsam 'aiape iossajoid o anb e maSez!p -uaide a ouisua ap seuoai SE e u p ~ a i a p a aiuaoerqns yisa anb egoso[g Bisa g 'e3p -ymaiem e aiqos iossajoid op possad e g -oso[g e[ad o p e q u u q a p 'oioej ap 'eras emai aisa e opjnqge opequâ! o anbes -neo m a a o y u 'sema~qoidap 035n[osai E apaouoo anb 0~5mai&aiu! B eqy id mAa[ apmw as opuenb aiuamo!Saie~lsa i!S!suen ap ia1 iossajoid O 'sazaA iod 'ap apep~ssaoau e eigai isamg eioqwg

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-sap emn epeo e iapuodsauoo q ep!nS -as mg 'oius!q!q!quJa u~s!ssa~So~d ms!i -n~osqu 'owsg?qosqu iod euS!sap anb o o ~ s 'saiossajoid so [d 'epe1no!pesap no ei!o![dm! euuoj min ap eioqma 'sep -quaisns eqvmaiem ep segos01g sfed -!ouud sai) se anb .nauages iod e5amoo ioine a s 3 '(~87) 'd) .,sema[qoid ap ovi

-n[osai ep ezaiweu e aiqos J O S S ~ ~ O J ~ op o~suaaidmoo e euyaiap, , anb egoso[g Visa g '(867) 'd) .,lV[O3S3 B3pyUIaiEUI F anramAge[ai sema[qo.id ap ov5n1osaiiod apuaiuaiossajoid o anb op aiueu!uuaiap i o ~ m e 9 ~niymaiem e aiqos iossajoid op ]oossad u~oso•ifv anb ap asaigdjq eu epcaseq euoai emn eiuasaide i s a q 'sema[qoid ap 035n10sai oiuen?)

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seX3ai nnSas 9 eo!iyuraiem iama .ogên[o emn m a ewa[qoid o opoi apuo a apepuoine e[ad ep!oapqmsa 9 ap -epiaA efno sopauoosupoi?m no S013eJ ap og5m[oo emn 9 est)ymaiem e 'msa moa opiooe a a .suJs!lunp no su~s!~n] -osqu se~!ioads~adiod muS!sapsaioine sonno anb oe apuodsauoo piymaiem aiqos [eiuamniisu! e~!ioadsiad v

'amou o u -sam ofad sepeuâ!sapia e misa ogiapod anb samaaj!p aiuamA!ioaja seu?iem senp ap maSez!puaide a ouisua o saiue sem ' e o ! i y ~ ~ a ~ w ap a~oyisa emsam ep io!d noioqiam ou!suamn 9 oyuesneoma Bisa anb o 'm!ssy .e.n$ymai~m emsam e, i q s u a E s o p o ~ Jqsa o y mapod eo!iymaiem ap saiossajoid saiuaiaj!p anbm!ouap!~aa~ad0~5u!is!pmsg

sejarei a soiuam -!ssiuooe ap apep!q[d!i[nm emn m n p a i a qwoqe wed souqd sosiaA!p nonsuoo ap apep!3ed~oeml![!q!ssod apoioej 01ad OpEZUal3BJe3 pUO!3EIaJ 01UaUI!33w03 0 'eiouanbas ens e ou03 maq 'i!nSas e soiuam!paooid so ossed e ossed maAai3 -said souqd salsa wm!vpuaiem sejam mzlpai emd 'SOXIJ soueld, ap oiunfaoo mn ap oiuauqssqmn o 9 [enramimsu!

Filosofias pessoais sobre matemúà Interpmb@b de mdugia de probl-

Absolutismo: A m a t e d h 6 um corpo de conheci(tent0 objmivo, fixo, etrto, neutro, iwmo de valeres e cuja estrutura 6 h h k q ~ i c i .

A &LI@ de problemas coosUte na execw+'o de tarefas n'o ixitinei e cem resposta certa impostas peio professor. O principal papel do professor 6csmunior e transmitir conhecimentos. Os problemas (KB m'os %mml&~s de apliciu-, reforgar e motivar a +zagem.

Absolutitino progressista: i matem4tica 6 constitu'da pm conhecimento a n o e objectivo, aias h' e6nhecimento novo @te està constantemente a ser criado pelo homem.

A reso l~@~de problemas 6 um meio de desenvolver e utilizar ç estrat-giliii e os processos maicmiSticos leni como um meio de dtacohdf as verdades e et'nitua* da matem'UCii. Os alunos &I @ia& peloprofessor para resolvetem as ÇBbkitiii contidos, impl'cira ouexplicitamente, em ambientes cuidadosamente escolhidos; espera-te que o conhecimento s@adaexmdosalunoÈtendo~professoropapeld condutor e Witoda.

Falibilisme: Os conceitos e A-deproblemasdconsideradaa a proposiçi roatenaatica; bem come a utilizarna sala de auto. l^aitbuluiaente w d v& como um It'gica em que assentam 9ft processo Ã̂ ocialtnent medindo de fmm&í@ de problemas e -& s'ocriaçW humanas à § o n da nua solugk, processo esse querendo discuss'o que pcnnancccm conslantementc para a negocia$& de sentidas, esWgias e provas. abertas arevis'o.

QUADRO I - Correspondênci entre filosofias pessoais sobre matemátic e interpretaç'e de resoluçà de problemas

matemátic portugueses, visava, nome- adamente, (a) pesquisa e compreender as suas representafõe pessoais relati- vas aproblemae resoluçãodeproblem e (b) explorar possívei relaçõ entre estasrepresentaçõ e asfilosofiaspesso- ais que sustentavam sobre matemática

As representaç'e pessoais foram entendidas como sendo o processo e o produto da actividade mental de cada sujeito, constituindo construç'e dinâ micas do real, permanentemente actualizadas, elaboraç'e pessoais que tê uma natureza intrinsecamente cognitiva, afectivae social. As represen- taç&spessoaisintegramcon~'e que um sujeito tem num dado momento so- bre um objecto ou fen6meno e formam- -se, mais ou menos conscientemente, atravks de processos de integraç' e con- frontaçà com os objectos e os outros; guiam as condutas e sã elaboradas a partir do quecada pessoa 6, do que foi e doque projecta ser. Aexpressãofilosofi pessoaldo professor sobre a matemátic foi adoptada para designar as represen- taçõ pessoais de cada professor sobre matemática

Ter em conta as representaç'e pes- soais dos professores representa uma abordagem dos fen6menos educativos que considera o professor, na sua globalidade, enquanto pessoa, ser pro- fissional e ser social. Esta abordagem sup'eque arealidade à sempre apropria- da de forma hnica por cada sujeito e reconhece a diversidade de interpreta- çõ possívei dessa realidade.

A anális de alguns dos dados reco- lhidos junto dos professores participan- tes no estudo (a quem foram atribuído os pseud6nimos de Duarte, Inês Paula e Maria) evidenciou que, embora na gene- ralidade haja acordo relativamente ao que constitui um exercíci de matemáti ca, sã sustentadas diferentes perspecti- vas sobre a matemátic e sã diversos os sentidos atribuído a problema e resolu- çà de problemas. Estes sentidos, que influenciam o papel e lugar que cada professor concede A resoluçãodepmbl mas no âmbit do currícul de matemá tica, podem agrupar-se em tomo de trê eixos:

a) - problemas como exercícios au- sênci de problemas enquanto objectos

de pesquisa (Duarte); b) - problemas como um conteúd a ser 'somado* ao currícul de matemátic (Inê e Paula); c) -resoluçãodeproblemasenquan via educativa para o ensino e aprendizagem da matemátic (Maria). No Quadro U inclui-se informaçà relativa a cada um destes eixos.

Algumas das diferença nas filosofi- as pessoais dos professores sobre mate- mitica podem ser destacadas a partir do Quadro 111 que inclui extractos da infor- maçà recolhida junto destes professo- res. Neste Quadro a terceira coluna refe- re a designaçà atribuíd aestas fdosofi- as, interpretadas de acordo com o mode- Io de Emest (ver Quadro I).

Se considerarmos as duas perspecti- vas alternativas sobre a matemátic des- tacadas por Lerman (1983) a partir das escolas de pensamento sobre filosofiada matemática trê dos quatro professores participantes no estudo (Duarte, Inê e Paula) apresentam filosofias pessoais tendencialmente absolutistas. Estas fi- losofias n&o sgo, contudo, coincidentes.

Em Duarte, para quem fazer mate- m4tica parece ser, antes de mais, seguir

Educaç?i e Matem6tica no 31 3 trimestre de 1994

Problemas como exercícios a u h i a de problemas enquanto objectos de pesquisa

Problemas como um contetíd adicional a ser 'somado' ao curr'culo de matemátic

Resoluçà de problemas enquanto via educativa para o ensino e aprendizagem da matemátic

Problema de maíemátic utilizaçà quase indiferenciada dos termos problema e exercício Os problemas/exercício permitem que os alunos treinem regras e procedimentos de cálculo *Resoluçà de problemas/exercícios resoluçà de quest'es de resposta cima e únic colocadas pelo professor e cuja soluçà deve ser obtida num curto espaç de tempo, mediante a aplicaçà de regras e procedimentos por ele modelados anteriormente.

Problema de matemitica: distinçà entre problema e exerclcio baseada no carkkr n'o rotineiro dos problemas e na necessidade do seu enunciado incluir a descri* de uma sihqã acerca da qual se colocam quest'es. Os problemas devem ser autc-suficientes em termos da informaçà necessári i sua resoluçã

Resoluçà de pmblemas: actividade pontual destinada a enriquecer o ensino; elemento potencialmente motivador que antecede a apresen@'o de alguns conteúdo matemático ou actividade que se segue a transmissã dos conteúdo necessário i sua resoluç'o por vezes a resolqã de problemas constitui um meio dos alunos se divertirem com a matem- que jk aprenderam.

Problema de matemática distingo clara entre exercicio e problema; distinw entre vário tipos de problemas e utilizaçà de terminologia diversificada, um problema 6 um objecto de pesquisa com um carácte nã rotineiro e uma natureza relativa e subjectiva; pode assumir formas diversas e visar objectivos variados.

Resolugo de problema!: actividade que requer reflexã e envolve exploraçã interpretaç' e anáiis de uma situaçã investigaçà de estratégia diversificadas de resolu*, sistematizaçã comunicaçà e discussã dessas estra@as; integraç' da actividade de formulaçà de problemas nas actividades de ensino. H4 a preocupaçà da resoluç' de problemas constituir um contexto de ensino e aprendizagem, uma competgncia que pode ser aprendida e uma arte que deve ser ensinada.

QUADRO ii - Diferentes sentidos para problema e resoluçà de problemas

regras, a perspectiva dualista e a mate- nuític instrumental, em que importa mais como fazer do que porque fazer, parecem ser dominantes. Paula situar- -se-á relativamente a Duarte, no outro extremo do absolutismo: và a matemá tica como uma ciênci exacta, acentua a imporiânci da intuiçà na expansã do saber matemáiic e reconhece o papel criador da actividade humana no de- senvolvimento de novo conhecimento. A sua filosofia pessoal tenderà para o absolutismo progressista. In₠sustenta uma filosofia pessoal predominante- mente absolutista, embora comtmço de absolutismo progressista. Maria, dife- rentemente dos outros professores, tem, relativamente h matemhtica, uma pers- pectiva filos6fica tendencialmente falibilista.

Problematiza@o das relaçõ entre perspectivas filosófica sobre a mate- mátic e perspectivas de ensino

Como tinha sido j4 assinalado por outras investigaçõe o estudo desenvol- vido evidenciou tamMm a existênci de influência entre as filosofias pessoais dos professores sobre matemátic e as suas representaçõ pessoais relativas ao ensino da matemática h resoluçà de pmblemas.

Neste contexto, retoma-se a questã anteriormente colocada sobre anatureza das influência entre as filosofias pesso- ais dos professores sobre matemática a interpretaçà que concedem a problema e resoluçà de problemas. Poderemos considerar, wmooparecemfazerLennan e Ernest, que estas relaçõ tê uma natureza causal e afirmar que 6 a filoso-

fia pessoal do professor sobre a matemá tica que determina a sua compreensã da resoluçà de problemas?

De um ponto de vista te-rico, h4 vária quest'es que se levantam quando se pretendem estabelecer estas relaçõ decausalidade. Estasquest'esprendem- -se, por um lado, com o reconhecimento do carkcter sist6mico da realidade educativa e com a ideiade que as salas de aula sã sistemas abertos, hipercom- plexos e socialmente organizados. Pren- dem-se, por outro lado, com o questio- narnento de uma interpretaçà puramen- te racionalista do conhecimento.

A contribuiçà emp'rica deste estu- do contribuiu para reforçaraideiadequ olharas representaçõ pessoais dos pro- fessores sobre resoluçà de problemas como consequência lógica e directas

Educaç' e Matemátic n" 31 3 trimestre de 1994

A matemátic

"Nã hà divida que a matemátic constitui uma ciênci rigorosa, muito abstracta, prima pelo seu rigor e por uma grande dose de abstracção "A matemátic identifica-se com uma ciênci dedutiva (...) n'o 6 susceptíve de e m (. . .) 6 uma coisa fria onde nã tem muito sentido falar em beleza".

consistente

absolutismo

A matemitica 6 "um conjunto de operaç'e e de regras e de iécnica que sã preci Tendênci e que servem para resolver uma data de situaçõ e de pmblemas". O conhecimento para matemitico nã 6 "propriamente infalível" mas a matemátic 6 "mais certa que as absolutismo; outras ciências" "Na matemátic o que 6.6 mesmo e pode-se demonstrar'. ''Nã h i traço de aqui meio termo (...) os teoremas, quando sã demonstrados, &no de uma forma absolutismo rigorosa e em princípi ficam para sempre". H6 na matemitica "qualquer coisa de progressista beleza". fi uma ciênci "fundamentalmente dedutiva" mas "se n'o houver As vezes um bocadinho de intuiçã se calhar custa um bocado deduzir determinadas conclusõesv 1 A matemátic "6 uma cihcia muito antiga, que começo por ser necess4ria porque existiam problemas correntes de agricultura e de astronomia (...) existem alguns problemas que sã criados pelos matedticos (...) Sã ideias que lhes ocorrem e que eles p'em i consideraçà do mundo". 'Tenho muita dificuldade em admitir que um resultado matemátic uma vez provado fique para sempre". Pode at6 "vir a provar-se que nã era bem assim". A matedtica 6 uma "ciênci em desenvolvimento". Os matem4ticos "criam matemática" "criam pmblemas", "criam a demonstraçà de um teorema". "Descobrem coisas por intuifã e inventa-se a forma de aplicar o que se descobre". "Criar a demonstraçà de um teorema 6 capaz de ser parecido com a criaçà de uma obra de arte".

QUADRO Iii - Diferentes filosofias pessoais sobre matemitica

Tendênci para absolutismo progressista

"A matemátic 6 o prazer de pensar e de resolver sitnaqões. . (.. .) o pensamento tem a sua estétic (...) 6 das coisas mais fascinantes da aventura humana (. . .) e a matedtica 6 essencialmente pensamento". Enquanto ciênci tem **um campo extremamente especulativo que acaba por ser um jogo (...) essencialmente a matemátic 6 a resoluçà de problemas e penso que 6 na base da resoluçà de problemas que ela apareceu". "A matemitica descobre-se a partir do momento em que a tentativa de resoluçà de problemas colocados, por exemplo, pelas outras ciência (. ..) pode conduzir a que o própri edifíci matemitico tenha que levar um empurrã (...) Inventam-se teorias quando se constró uma realidade completamente diferente (. ..) em muitas coisas a matemátic 6 uma cena aventura no abstracto (...I tem um mundo que permite inventar realidades". "Esta matem4tica no fundo serve-nos neste momento porque nos exprime esta realidade, mas nada me leva a acreditar que este processo nã seja todo posto em cansa daqui por uns tempos (. . .) a matemátic nã 6 independente de valores culturais".

determb&mpelas suas filosofias p 10s objectivos que crà smem relevantes temátic e pelo contexto físic e social soais sobre a matemátic parece ser para o ensino e aprendizagem da mate- dasescolasemquetrabalha;(d)porpres- - simplifi+o muito redutora. mática (b) pelas suasrepresentagk pes- s k s sociais relacionadas com o facto da

A par das influ6ncias exercidas por soais sobre anaturezadoensinoemgeral aprendizagem da matemátic cumcular estasfilosof'as,asrepresen~sdopro- edoensinodamatemiticaemparticular; constituir um factor de selec* para fessor sobre resoluçà de problemas pa- (c)pelasoportunidadeseconstrangimen- inúmera área profissionais socialmen- m m ser tamMm influenciadas (a) pe- tos proporcionados pe lodcu lode ma- te valorizadas; (e) e por expectativas dos

Tendênci Para falibilismo

Eduagio e Matemátic no 31 3 O trimestre de 1994

alunos e dos pais relativamente ao que deve ser o ensino da matemitica. r A voz dos alunos ...

A finalizar

Para terminar saliento que no âmbit da Educaçà Matemitica, embora as re- presentafõe pessoais dos professores sobre a matemitica influenciem as suas representafõe relativas a problema e resolufã deproblemas, as relaç'e en- tre estes dois sistemas de representaç'e parecem apresentar uma natureza sist6micaonde est'oenvolvidos factores matemiticose nã matemiticos, nomea- damente, factores pessoais, institucio- nais, sociais,cognitivoseafectivos. Neste

1 E o que pensam os alunos mais velhos acerca dos professores d Matemática Pedimos tambkm opiniõe dqueles que tê uma vast experigncia como alunos desta disciplina: "caloiros"de um curso d Matemática Seleccionámo ...

o conhári pelo facto de "nin- disciplina. Adiferen-

fi um professor como qualquer outn mas tem a tarefa dificultada pela i& que tem a maioria das pessoas de que

outros s'o professo- Matemáiic 6 um "bicho de sete c& ças

teoria que abarque a complexidade des- gmn interes& disciplina, visto que @&,(por vezes a culpa ser tas relaç'e e que tenha em conta que a gostar da disciplina j6 6 meio caminho muita M a na aula 6 do pio

racionalidade científic do orofessor se r andado. Quanto a "falhas* do professor t& do professor). inscreve na globalidade da Pessoa que deMatemátic acho queeles n'o gostam

ele 6, foi, e projecta vir a ser. de fazerdesenhos, gráfico ... o que podia Acho que um professor de das uma imagem da matéri ao aluno n'o deve sà despejar matér

Referência Boavida, A. M. (1993).Resoluçfiodeproble

mas em Educaç' Matemútica Contri- butopara uma amális epistemol6gica e educativa das representaçõ pessoais dos professores (Tese de Mestrado na Univ. Nova de Lisboa). Lisboa: APM.

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Skemv,R. (1978). Relationalunder-standin~

sem ser sà n k dou letras.

Era bom que soubesse adivinhar pelas caras dos alunos se eles estã a perceber ou aio, porque muitas vezes os alunos n'o dizem.

OsprofessoresdehhkdticadoSecun- 'o tê pouca fonnaçà e alguns dos

que tê n'o sabem ensinar. I?. difíci en- contrar um professorwm as duas coisas. L

por perceber quais as maiores di- alunosem geral (porexem-

pio, osalunos n'oconse&rem perceber o significado de certas coisas).

I Parecem sempre muito certos e seguros do aue estã a fazer e muito convincen- tes naquilo que dizem, característica que eu aprecio e admiro muito. ll O mfessor de Matemátic apesar de

trar o aspecto $tico da m exemplos da sua possíve incentivar os seus alunos estudar.

Deve ser uma pessoa que conjugue un mude moacidade de abstradí com

ra inteligíve qualquer wnceito ou abordado. Muitos s'opessoasdistra' "a ProfessoresdeMatemática,no ro sentido da palavra, s'o quan raros e tã difícei de encontrar w águan deserto. Serámesm assim? meu caso foi. Durante tod estudar, contam-se pelos &ass de Matemátic

fi fundamental num professor de Mate- 1 máiic que a l6gica dele se tome l6gk para os alunos. . Deve mostrar0 eostoauetem noraauà . .

aid instrumental understanding. 1; wnceituadopelosaluno~, iessenci- que di e fazer de cada d a (chat Arithmelic teacher, 26 (3). 9-15. [mal al na educacão ai& como toda a Mate- macuda. simules. com~licadal um inti

Thompson, A. (1990). Leaming to teach mathematical problem solving: Changes in teachers' conceptions and beliefs. In R. Charles& E. Silver(Eds.), Theteaching and assessing of matkematical probkm solving. Reston, VA: Lawrence Erlbaum Assodates & NCTM, 232-243.

Ana Maria Boavida Universidade Nova de Lisboa

~oÕisso bons ou maus, s'o es-

k tipos de professores de Ma- O pmfessor de Matemátic 6 aquele que incentiva o aluno a gostar da que se interessa pelo desenvolvimento pessoal doaluno;e sobretudo,quew gue apresentar a matéri do modo escW&or. Um professor de M ticatat' de-ser o professor perfeito cht?guel-aü aqui porque tive a sorte '' apanhar"este-tinodet'ref~sso'

Educaçà e Matemátic no 3 1 3- trimestre de 1994