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1Profesor Juan J. Sanmartín

MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

La velocidad es una magnitud vectorial, ya que para que quede completamente definida hay que dar, d á d l é i id d di ióademás de su valor numérico y su unidad, su dirección

y su sentido.

El tiempo es una magnitud escalar, ya que quedacompletamente definida dando su valor numéricoy la unidad en la que se mide y la unidad en la que se mide.


SISTEMA DE REFERENCIA

Los pasajeros del tranvía están en reposo respecto al conductor, pero los peatones que están en laacera ven a los pasajeros en movimiento Un objeto está en reposo o en movimiento según el acera ven a los pasajeros en movimiento. Un objeto está en reposo o en movimiento según el Sistema de Referencia que se escoja.


MAGNITUDES QUE DEFINEN EL MOVIMIENTO

Un atleta que de una vuelta completa a la pista,tendrá un desplazamiento nulo. Eldesplazamiento es la diferencia entre la

ó f l ( ) l ó l ( ) dposición final (s) y la posición inicial (s0) de unmóvil.

La trayectoria es la línea que describeel móvil en su movimiento. La longitudque recorre el móvil medida sobre lat t i l i idtrayectoria es el espacio recorrido.



invertidotiemporecorridoespaciovm =Velocidad Media:

Velocidad Instantánea: Velocidad media en un intervalo muy pequeño de tiempo.

La unidad de velocidad en el Sistema Internacional es: m/s

Aceleración:invertidotiempo

velocidaddeiaciónvara =

La unidad de aceleración en el Sistema Internacional es: m/s2


Cambio de Unidades al Sistema Internacional

sm25

3600s.1h.

1Km.1000m.

hkm90 =⋅⋅

ss 270060min45 =⋅ mmkm 30000100030 =⋅s2700min1

min45 mkm

km 300001

30 =

EN LOS PROBLEMAS EL RESULTADO TENDRÁ QUE ESTARSIEMPRE EN UNIDADES DEL SISTEMA INTERNACIONAL Y CON SU UNIDAD CORRESPONDIENTE EJEMPLO 5000Y CON SU UNIDAD CORRESPONDIENTE EJEMPLO 5000m.


TIPOS DE MOVIMIENTO

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U.)

Un automóvil que se desplaza en línea recta con velocidad Un automóvil que se desplaza en línea recta con velocidad constante lleva un movimiento rectilíneo uniforme.

La posición del móvil en un instante, t, viene dada por: tvss 0 ⋅+=

Gráfica s t de un MRU La pendiente de la G áfi d MRUGráfica s-t de un MRU. La pendiente de la recta coincide con la velocidad.

Gráfica v-t de un MRU.


Problemas

M i i tMovimiento RectilíneoUniforme


MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE (M.R.U.)Problema nº1.-(TIPO I):Una moto parte de una ciudad A a una velocidad de 150 km/h al cabo de 50 min parte de laUna moto parte de una ciudad A a una velocidad de 150 km/h, al cabo de 50 min. parte de lamisma ciudad un coche, con la misma dirección y sentido que la moto anterior pero a una velocidadde 210 km/h. Calcula que el tiempo que tarda el coche en alcanzar a la moto y a que distancia de laciudad A la alcanza.

Lo primero que debéis tener en cuentaes el tipo de movimiento (en este casoM R U ) l fó l lM.R.U.) y las fórmulas que lecorresponden

tvss ⋅+= tvss 0 +=

ss 0−

Es recomendable mientras realizáis los ejercicios en clase o casa tener las fórmulas de los

tv 0=

E m m j f mumovimientos en una hoja aparte (os ayudará a recordarlas)


Planteamos el ProblemaAmbos vehículos parten del mismo punto y en el momento que el coche alcanza a lamoto HAN RECORRIDO EL MISMO ESPACIO es decir LOS ESPACIOSmoto HAN RECORRIDO EL MISMO ESPACIO, es decir, LOS ESPACIOSRECORRIDOS SON IGUALES.

vezlaaamboscirculandomoto0moto tvss ⋅+= vezlaaamboscirculandomoto0moto

La moto está circulando durante 50 min. antes de que el coche arranque, consideramosque el espacio recorrido por la moto durante ese tiempo es su espacio inicial.

300060min50 sstinicial =⋅=

.12510030007,417,41

11000

36001150

min1 ms

sm

kmm

sh

hkmv

oinicialmot

moto

inicial

=×=→

=⋅⋅=

Hemos calculado el espacio que recorrió la moto mientras el coche estaba parado.


Entonces

cochemoto ss =Y por lo tanto…

tvstv += vez la a ambos circulandomoto0vez la a ambos circulandocoche tvstv ⋅+=⋅Resolvemos

sm

kmm

sh

hkmvcoche 3,58

11000

36001210 =⋅⋅=

.1,75361251001251006,16

1251007,413,583,587,41125100

stt

tttt

==⇒=

=−→⋅=⋅+

,6,16

,

7536,1 s. es el tiempo que tarda el coche en alcanzar a la moto


Si queremos saber el tiempo que circula la moto, tendremos que sumar el tiempoinicial en que la moto circulaba mientras el coche estaba parado y el tiempo en que

circulan ambos es decir 3000s+7536 1s=10536 1scirculan ambos, es decir, 3000s+7536,1s 10536,1s

Para calcular el espacio que recorren, se puede calcular tanto con el espacio de lamoto como con el del coche ya que ambos son iguales.

.4,43937,4393551,75367,411251007,41125100 kmmtsmoto ≈=⋅+=⋅+=

.4,4396,4393541,75363,583,58 kmmtscoche

moto

≈=⋅=⋅=

LAS DIFERENCIAS OBTENIDAS SON DEBIDAS A LAS APROXIMACIONES REALIZADAS


MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE (M.R.U.)Problema nº2.-(TIPO II):Dos trenes parten al mismo tiempo de dos ciudades A y B separadas por 270 km en la mismaDos trenes parten al mismo tiempo de dos ciudades A y B separadas por 270 km. en la mismadirección y distinto sentido, uno cara B y el otro cara a A respectivamente. El tren A (llámese asípor partir de la ciudad A) circula a 140 km/h. y el tren B a 180km/h. Calcula a qué distancia deambas ciudades se encuentran y qué tiempo tardan en encontrase.

E t bl dif i d lEn este problema a diferencia delanterior, ambos salen a la vez pero dediferentes puntos. En principio notenemos espacio inicial, entonces…tenemos espacio inicial, entonces…

tvs ⋅=

Es recomendable mientras realizáis los ejercicios en clase o casa tener las fórmulas de los

tvs

E m m j f mumovimientos en una hoja aparte (os ayudará a recordarlas)


Partiendo de la idea de que ambos trenes salen de una ciudad para ir a la opuestallegamos a la conclusión que en el MOMENTO QUE SE CRUZAN los dos trenes HANRECORRIDO ENTRE LOS DOS EL ESPACIO TOTAL.

totals=+ tren_Btren_A ssResolvemos

sm

kmm

sh

hkmv Atren 9,38

11000

36001140_ =⋅⋅=

Resolvemos

sm

kmm

sh

hkmv Btren 50

11000

36001180_ =⋅⋅=

270000270ktt .270000270____ mkmstvtvss totalBtrenAtrenBtrenAtren ===⋅+⋅=+

entonces

27000

3037,1 s. es el tiempo que tardan los trenes en cruzarse

sttmtt 1,30379,88

270002700009,88.270000509,38 ==→=→=+


Para calcular la distancia a cada estación, es fácil, calculamos el espacio recorrido en untren y la diferencia con el total se corresponde con lo que falta a la otra estación.

.8,1518562,118143270000.2,1181431,30379,38_ mms atren =−→=⋅=

.118145151855270000.1518551,303750_ mms Btren =−→=⋅=

LAS DIFERENCIAS OBTENIDAS SON DEBIDAS A LAS APROXIMACIONES REALIZADAS


MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.R.U.A.)

ó

Un M.R.U.A. tiene aceleración constante y su Trayectoria es una línea recta.

Un avión, cuando despega, va aumentando suvelocidad. Tiene aceleración positiva.Cuando aterriza disminuye su velocidad hastapararse Tiene aceleración negativapararse. Tiene aceleración negativa.

tvva 0−

=t

Ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:

tavv ± 21222tavvf ⋅±= 02

00 21 tatvss ⋅+⋅+=savvf ⋅⋅±= 22

02

Consideraremos + cuando la aceleración sea positiva y – cuando sea Consideraremos cuando la aceleración sea positiva y cuando sea negativa (decelere o frene)


GRÁFICAS DEL M.R.U.A.

Gráfica e-t de un MRUA. Se obtiene unaParábola.

Gráfica v-t de un MRUA. Con velocidad inicialV0,, y sin velocidad inicial.

Gráfica a t de un MRUA Gráfica a-t de un MRUA.


ÚNINGÚN MOVIMIENTOPUEDE PARTIR DEL REPOSOPUEDE PARTIR DEL REPOSO

SIN ACELERACIÓNSIN ACELERACIÓN


Problemas

M i i tMovimiento RectilíneoUniforme


MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.R.U.A.)Problema nº3.- Calcula la aceleración de una moto que pasa de 0 a 100 km/h. en 7 s. ¿Qué espacioha recorrido mientras aceleraba?ha recorrido mientras aceleraba?

Lo primero que debéis tener en cuenta es eltipo de movimiento (en este caso M.R.U.A.)y las fórmulas que le corresponden

tavvf ⋅±= 02

00 ta21tvss ⋅±⋅+= sa2vv 2

02f ⋅⋅±=

2

Es recomendable mientras realizáis los ejercicios en clase o casa tener las fórmulas de losE m m j f mumovimientos en una hoja aparte (os ayudará a recordarlas)


Solución:Datos que tenemos:

8,27777,2711000

36001100

0

sm

kmm

sh

hkmv

smv

final

o

==××=

=

.713600

stskmsh

=

Aplicamos las fórmulas

20

0 497,37

08,27s

mtvvatavvf ==

−=

−=⇒⋅+=

Aplicamos las fórmulas

.987421700

21 22

00 mtatvss =⋅⋅+⋅+=⋅+⋅+=

.989742

08,272

22222

22 mavvssavv o

of ≈=−

=−

=⇒⋅⋅+=

O también

422 a ⋅⋅21Profesor Juan J. Sanmartín

Problema nº 4.- Un automóvil que circula a una velocidad de 80 km/h. Encuentra un obstáculosituado a 50 m. de distancia. ¿Cuál ha de ser la aceleración mínima y constante, necesaria paradetener el coche antes de llegar al obstáculo?.g

tavvf ⋅±= 0 tavvf ±0

200 2

1 tatvss ⋅±⋅+=savv of ⋅⋅±= 222

00 2De las fórmulas que tenemos, solamente podremosutilizar aquella en la que tengamos una única incógnita

Solución:Datos que tenemos:

0mv =

222222,2211000

3600180

0

0 sm

kmm

sh

hkmvs

mvfinal

==××=

=

.50ms =22Profesor Juan J. Sanmartín

No tenemos ni la aceleración ni el tiempo, por lo que vamos a utilizar la siguientefórmula

5022202 2222 ⋅⋅−=⇒⋅⋅±= asavv 5022202 ⋅⋅−=⇒⋅⋅±= asavv of

¡OJO!, EL SIGNO NEGATIVO SIGNIFICA QUE EL COCHE DECELERA O FRENA

22

2222

844022022502502220

ma

aa

=−

=

−=⋅⋅→⋅⋅−=

284,4502 s

ma =⋅

=

Ahora podemos utilizar otra fórmula, ya que tenemos la aceleración que acabamos decalcularcalcular.

64586402,220 vvtt −− .6,4586,484,4

,00 s

attavvf ====⇒⋅−=


ProblemasProblemas

MovimientosMovimientosCombinadosCombinados


Problema nº 5.- Un tren de Metro arranca con una aceleración de 80 cm/s2. Al cabo de 50

segundos el conductor corta la corriente y el tren continúa moviéndose con velocidad constante.

•¿Cuál es esta velocidad?

•¿Qué espacio recorrió el tren en esos 50 segundos?

•¿Qué tiempo transcurrió hasta que el tren llega a otra estación distante de la primera 2500m?Q p q g p

PRIMERO, Y LO MÁS IMPORTANTE, es distinguirlos tipos de movimiento en cada momento.

Un tren de Metro arranca… NOS DICE QUE PARTE DELREPOSO Y POR LO TANTO NO PUEDE SER MÁS QUE UNM.R.U.A. POR DEFINICIÓN.

…y el tren continúa moviéndose con velocidad constante.NOS INDICA CLARAMENTE QUE ES UN MOVIMIENTORECTILÍNEO UNIFORME

TENEMOS DEFINIDO EL PROBLEMA, el tren parte del reposo con M.R.U.A. hastaalcanzar una velocidad que hemos de calcular. A continuación mantiene dicha velocidadconstante en M.R.U. hasta llegar a la siguiente estación.


Calculamos los distintos movimientos por separado, primero el M.R.U.A.Solución: (M.R.U.A.)Datos que tenemos:Datos que tenemos:

?

00

vs

mv

=

= ¡¡¡¡IMPORTANTE!!!!UNIDADES EN EL SISTEMA

80180

.50?

mmcm

stv

acelerado

final

=

=INTERNACIONAL

.0

8,0.100180

0

22

mssm

cmm

scma

=

=⋅=

Comenzamos smvtavv ff 40508,000 =⋅+=⇒⋅+=

10005080150001 22tt .1000508,02

50002

2200 mtatvss =⋅⋅+⋅+=⋅+⋅+=

Hemos calculado la velocidad final en el M.R.U.A. y el espacio que recorrió mientrasl b P l t t l d l 2500 h t l t ió i l dif iaceleraba. Por lo tanto, no le quedan los 2500 m. hasta la estación sino la diferencia.


Solución: (M.R.U.)Datos que tenemos:

40m

?

40

._ts

mv

ctevelocidad =

=Consideramos que el espacio inicial es el que harecorrido mientras ACELERABA.

.2500.10000

msms

final =

=

Entonces

53710002500st

40t10002500tvs

0final

0final

ss

−−

+=⇒⋅+=

.5,3740

t 0final sv

===

.5,875,3750._ sttt ctevelocidadaceleradoTOTAL =+=+=


Problema nº 6.- Un conductor ve un objeto en la carretera y debe detener el coche (circulando a 130 km/h.) para no impactar contra el. Calcula la distancia mínima a la que debe estar dicho objeto para que no se produzca el impacto sabiendo que el conductor tarda 0,4 s. en reaccionar desde que ve el objeto hasta que acciona el freno y la deceleración del coche es de 3 7ve el objeto hasta que acciona el freno y la deceleración del coche es de 3,7.

CONSIDERACIONES PREVIAS, desde que el conductor ve el objeto hasta queacciona el freno, el vehículo circula a velocidad constante. M.R.U., es decir, tenemos, , ,dos movimientos, uno M.R.U. y otro M.R.U.A. (decelerado).

M.R.U.

0 4sts

m36,13600s.1h.

1km1000m

hkm130v

=

=⋅⋅=

0m.s0,4s.t

0

acelerado

=

=

14,44m.0,436,10stvss 0o_frenamientras_n =⋅+=⇒⋅+=

Mientras el conductor no acciona el freno ha recorrido 14,44 m. en M.R.U.28Profesor Juan J. Sanmartín

M.R.U.A.

sm36,1v0 =

?ts

m0vs

final

0

=

9 836,1vvtt f −− 00

sm3,7a

?t

2

acelerado

=

= 9,8s.3,7

36,1avvttavv f

0f ===⇒⋅−=00

E t l i í i á14,4m.ss

0 =Entonces el espacio mínimo será…

109,5m.9,83,7219,836,114,4ta

21tvss 22

00 =⋅−⋅+=⋅+⋅+=


MOVIMIENTO VERTICAL o CAÍDA LIBRE

El i i t ti l ti l d M R U AEl movimiento vertical es un caso particular de M.R.U.A.

La aceleración a la que están sometidos los cuerpos con este movimiento es la de la gravedad, cuyo valor es aproximadamente g = 9,81 m/s2g , y p g ,

Las ecuaciones del movimiento son las siguientes:

1tgvvf ⋅±= 02

00 21 tgtvhh ⋅±⋅+=

v0 y h0 son, respectivamente, la velocidad y la altura iniciales.

Si el cuerpo sube, la aceleración se opone al movimiento y se toma su valor con signo negativovalor con signo negativo.

Si el cuerpo baja, la aceleración tiene el sentido del movimiento y se toma su valor con signo positivo.g p


ProblemasProblemas

Caída LibreCaída Libre


Problema nº7.- ¿Cuál es la velocidad con la que llega al suelo un cuerpo que se ha dejado caer

libremente desde una altura de 100 m.? ¿Qué tiempo empleó en la caída?.

?.vs

m0v

final

0

=

=

4 5044,3vvtt

sm44,31009,8120vhg2vv

0f

2f

20

2f

−−

=⋅⋅+=⇒⋅⋅+=

100hs

m9,81g

?t

2

acelerado

=

= 4,5s.9,81

044,3gvvttgvv 0f

0f ===→⋅+=

O también se puede hacer así100m.h =

1 2

O también se puede hacer así…

4 5s2100tt9 811t00100

tg21tvhh

2

200

=⋅

=→++=

⋅±⋅+=Consideramos h inicial 0porque no tiene movimientoanterior y tenemos la h

smtgvv

4,5s.9,81

tt9,812

t00100

final 1,445,481,900 =⋅+=⋅+=

==→⋅+⋅+= anterior, y tenemos la hfinal porque sabemos lo queva a recorrer

s32Profesor Juan J. Sanmartín

Problema nº8.-¿Qué velocidad inicial hay que comunicar a una piedra para que, lanzándola

verticalmente hacia arriba, alcance una altura máxima de 20 m.? ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar

dicha altura?

sm0vfinal = hg2vvhg2vv 2

f20

20

2f ⋅⋅+=⇒⋅⋅−=

m9 81

?t?.v

dodesacelera

0

=

=

sm19,8209,8120v 2

0 =⋅⋅+=

m.hs

m9,81g 2

20=

=

2s019,8vvttgvv

s

f00f =

−=

−=→⋅−= 2s.

9,81gttgvv 0f →

Consideramos h inicial 0 porque no tiene movimiento anterior y tenemos la hConsideramos h inicial 0 porque no tiene movimiento anterior, y tenemos la hfinal porque sabemos lo que va a recorrer


Problema nº 9.- Desde lo alto de un rascacielos de 300 m de altura se lanza verticalmente hacia

abajo una piedra con una velocidad inicial de 10 m/s. ¿Con qué velocidad llega al suelo? ¿Cuánto tiempo

tarda en caer?.

m10vs

m0vfinal

=

=

m77 43009 81210vhg2vv 2f

20

2f =⋅⋅+=⇒⋅⋅+=

m9,81g

?ts

m10v

2

0

=

=

=

6,9s.9 81

1077,4gvvttgvv

s77,43009,81210vhg2vv

0f0f

f0f

=−

=−

=→⋅−=

=+=⇒+=

300m.hs9,81g 2

=

9,81g

Consideramos h inicial 0 porque no tiene movimiento anterior, y tenemos la hfinal porque sabemos lo que va a recorrer


Problema nº 10.- Se lanza verticalmente y hacia arriba un objeto que a los 7 s. tiene una rapidez de

50 m/s. Calcular la velocidad de lanzamiento y el tiempo que tarda en subir y bajar.

final

s

smvs

mv

=

=

0

50.7 Con la velocidad a los 7 segundos calculamos la velocidad inicial quedesconocemos

2

final

sm9,81g

vs

=

= ?0

Una vez que tenemos la velocidad inicial calculamos el tiempo que

smtgvvtgvv s0s 7,118781,950707 =⋅+=⋅+=→⋅−=

s Una vez que tenemos la velocidad inicial, calculamos el tiempo quetarda en detenerse que será el tiempo en llegar al punto máximo.

12,1s.0118,7vvttgvv f00f =

−=

−=→⋅−= , s

9,81gttg0f →

EN CAIDA LIBRE, UN OBJETO QUE ES LANZADO CARA ARRIBA TARDA LO MISMOEN ALCANZAR EL PUNTO DE ALTURA MÁXIMA COMO EN CAER DE ESTE ALEN ALCANZAR EL PUNTO DE ALTURA MÁXIMA COMO EN CAER DE ESTE ALPUNTO DE ORIGEN, POR LO TANTO…

24,2s.12,12t2t h máximatotal =⋅=⋅= 24,2s.12,12t2t h_máximatotal


Problema nº 11.- Un cohete se dispara verticalmente hacia arriba, y asciende con una aceleración

de 2 m/s2 durante 1,2 min. En ese instante se agota el combustible y sigue subiendo como partícula libre. Calcular cual es el tiempo transcurrido desde que despegó hasta caer al suelo.p q p g

Lo primero que tenemos que darnos cuenta es que tenemos 3 movimientos distintos ytodos ellos M.R.U.A.

El PRIMER MOVIMIENTO es unmovimiento acelerado, con aceleraciónpositiva de 2 m/s2 Datos:

?vs

m0v0=

=

m2a

s.mint?.v

2

acelerado

final

=

==

=

722,1

0m.hs

2a

0

2

=


Calculamos la altura a la que llegó y la velocidad en el instante que se agota elcombustible.

11

smtavv

m.22100hta

21tvhh

final

2200

1447220

51847272

0 =⋅+=⋅+=

=⋅+⋅+=⇒⋅±⋅+=

sfinal 0

El SEGUNDO MOVIMIENTO es decelerado, ya que el cohete se mueve como partículalibre y sigue ascendiendo después de que se agote el combustible hasta que la gravedad

9 81 / 2 l b f dg=9,81 m/s2 lo acaba frenando.

14,7s.9 81

0144gvvttgvv final0

0final =−

=−

=→⋅−=smv0 144=

tg21tvhh

9,81g

200 ⋅±⋅+=t

.smvs

decelerado

final

?

0

=

=

6240,9m.9,812114,71445184h

2

=⋅−⋅+= 27,14m.h

smg

0

gravedad

5184

81,9 2

=

=


El TERCER MOVIMIENTO es M.R.U.A. con aceleración positiva, es lógico, el cohete unavez que se le ha terminado el combustible asciende por la velocidad que tiene en esemomento. Pero esta se ve reducida por el efecto de la gravedad que acaba anulando.Tenemos el cohete en el punto más alto y parado (un instante). TODO CUERPO QUESUBE TIENE QUE BAJAR, y como tal el cohete cae desde esa altura por efecto de lagravedad.

tg1tvhh 2±+

?t?.vs

m0v

final

0

=

=

=

35,7s.26240,9tt9,811t006240,9

tg2

tvhh

2

00

=⋅

=→⋅+⋅+=

⋅±⋅+=

6240 9mhs

m9,81g

?t

2gravedad

n_gravedadaceleracio

=

=

= 35,7s.9,81

tt9,812

t006240,9 →++

NOTA: LA ALTURA INICIAL ES CERO PORQUE CARA ABAJOEL COHETE NO SE HA DESPLAZADO NADA Y LA ALTURA

Ó0m.h6240,9m.h

0 == FINAL QUE CAE, COMO ES LÓGICO, ES LA MISMA A LA QUE

SE HA ELEVADO.

EL TIEMPO TOTAL DEL MOVIMIENTO SERÁ LA SUMA DE LOS 3 MOVIMIENTOSEL TIEMPO TOTAL DEL MOVIMIENTO SERÁ LA SUMA DE LOS 3 MOVIMIENTOS

122,4s.35,714,772tttt movimiento3to2ºmovimienmovimiento1total erer =++=++= movimiento3movimiento1


Problema nº 12.- Se deja caer una pelota desde la cornisa de un edificio y tarda 0,3 segundos en

pasar por delante de una ventana de 2,5 metros de alto. ¿A qué distancia de la cornisa se encuentra

l i d l ?el marco superior de la ventana? Este problema, aunque en principio parece fácil, tenemosque suponer varias cosas que complican su resolución

Solución:Ant s d n d m s l s d t s t n m sAntes de nada vamos a ver los datos que tenemos

??

vv

final

o

=

=?

ventana

ventana

.5,2.3,0mhst

final

=

= LA CLAVE DEL PROBLEMA EMODIFICAR EL PUNTO DEREFERENCIA.,5

m.

281,9 smga ==

2

Para empezar SITUAMOS EL PUNTO DE REFERENCIA EN LAVENTANA, donde sabemos el espacio que recorre y el tiempo que lelleva. Como es caída libre utilizaremos g.


CONSIDERACIONES PREVIAS.- Antes de llegar al marco superior recorrió unadistancia, le llamaremos h inicial que no sabemos. Tampoco sabemos la h final querecorrerá, pero si sabemos…

52hh .5,20 mhh =−Es decir, si al espacio final (hasta el marco inferior de la ventana), le quitamos el espacioque va desde la cornisa al marco superior (espacio inicial) me queda la altura de la

t E tventana. Entonces…

11

mvvv

tgtvhhtgtvhh

87644,05,244030523081913052

21

21

2

200

200

=−

=→+=→⋅+⋅=

⋅+⋅=−⇒⋅±⋅+=

smvvv 87,6

3,044,03,05,23,081,9

23,05,2 000 ==→+=→⋅+⋅=

Hemos calculado la velocidad con la que llega la pelota al marco superior de la venta a laque hemos llamado velocidad inicial puesto que solamente nos centramos en el paso pordelante de la ventana.


CAMBIAMOS SISTEMA DE REFERENCIA:Ahora nos centramos en el espacio que hay desde la cornisa hasta el marco superior dela ventana.C id d 0 l i ( l id d i i i l) l l id d lConsideramos que parte de 0 en la cornisa (velocidad inicial) y que la velocidad con laque llega al marco superior de la ventana es la velocidad con la que inicio el movimientoanterior como es lógico, pero ahora pasa a ser la VELOCIDAD FINAL.

Sabemos la velocidad en el marco superior de la ventana, como el espacio anteriortambién fue en caída libre, consideramos ahora esta velocidad inicial como la velocidadfinal del movimiento anterior que parte desde la cornisa con velocidad 0 hasta el marco

876 2

final del movimiento anterior que parte desde la cornisa con velocidad 0 hasta el marcosuperior de la ventana, a donde llega con la velocidad que hemos calculado.

.4,2281,9

87,681,92087,622

2220

2 mhhhgvvf =⋅

=→⋅⋅+=→⋅⋅+=


MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

Cada una de las agujas del reloj describe ángulos iguales en tiempos iguales. Llevan un Movimiento Circular Uniforme(MCU).

U M C U ti l id d t t T t i i f iUn M.C.U. tiene velocidad constante y su Trayectoria es una circunferencia.

En el S.I. se define el radián como el ángulo gcuyo arco es igual al radio.

360º = 2 π rad

La relación entre el arco y el ángulo descritos en una circunferencia es:

s = ϕ . Rϕ



Velocidad angular: Es el ángulo descrito por el móvil en la unidad de tiempo. Enel S.I. se mide en rad/s.

ϕ

Periodo: El periodo (T) es el tiempo que tarda el móvil en dar una vueltacompleta Se mide en segundos

tϕω =

completa. Se mide en segundos.

ωπ

=2Tω

Frecuencia: La frecuencia (ν) es el número de vueltas que efectúa elmóvil en la unidad de tiempo. Se mide en hercios (Hz) o s-1

T1

=υ


•La velocidad angular de una rueda es de 600 r.p.m. ¿Cuántas vueltas dará en 5 minutos? Si la rueda tiene 10 cm de diámetro, ¿cuánto vale

Relación M.C.U. y M.R.U.

[ ] [ ] sr(radio)sradms =→⋅=⇒→ ϕϕϕ[ ] [ ]

[ ] [ ] vωrωvrad.ωmv

rr(radio)srad.m.s

=→⋅=⇒→

=→⋅=⇒→ ϕϕϕ

[ ] [ ]tωtvss

rωrωvsωsv

00 ⋅+=→⋅+=

→⇒→

ϕϕRelación M.C.U.A. y M.R.U.A

ααα =→⋅=⇒

→

22ararad.ma

αϕϕ

ααα

⋅±⋅+=→⋅±⋅+=

→⇒→

21

21 2

02

0

22

00 ttωtatvss

rassa

αωω

ϕϕ

⋅±=→⋅±=

22

22

222200

00

ff

00

ttavv

ϕαωω ⋅⋅±=→⋅⋅±= 22 20

220

2ff savv


ProblemasProblemas

MovimientoMovimientoCi lCircular

Uniforme


Problema nº8 .- La velocidad angular de una rueda de 10 cm. de radio es de 600 r.p.m. Calcula la

velocidad y el espacio angular al cabo de 5 min. Y el espacio y la velocidad lineal en un punto de la

periferia en ese mismo tiempo. (1 revolución=1vuelta)

π d1minrd2rev

==

π=⋅π

⋅==

300s.5min.ts

rad2060s.

1min.1rev.

rd.2min.rev.600600r.p.m.ω

πϕ

π=⋅π+=⋅+ϕ=ϕ

1885mm0 1rad6000rs

rad.6000300200tω0

=⋅π=⋅=

=⋅π=⋅ϕ===

.sm6,28rad

m0,1srad20rωv

1885m.rad.m0,1rad6000rs

0,1m10cm.r srad.s


Problema nº9 .- Una rebarbadora gira a 2500 revoluciones por minuto.

Sabiendo que su disco tiene 12 cm. de diámetro. Calcula la velocidad angular

y lineal del disco y el espacio lineal y angular recorrido por un punto de la

periferia a los 2 min. (1 revolución=1vuelta)

1 id2

==

π=⋅π

⋅==

s120min2ts

rad3,8360s.

1min.1rev.

rd.2min.rev.2500r.p.m.2500ω

π=⋅π+=⋅+ϕ=ϕ==

cm21rad.99961203,830tω

s.120min.2t

0

→==→=

4188m060d9996

m060,2cm.21r.cm12d

=⋅π=⋅=

=⋅π=⋅ϕ=

.sm7,15rad

m060,srad3,83rωv

m.4188rad.m060,rad9996rs

Profesor Juan J. Sanmartín 47

srad.s

ACELERACIÓN CENTRÍPETA

En el M.C.U. la velocidad cambia de dirección en cada instante, luego existe aceleración, la aceleración centrípeta.

2

Rva

2

c =

Cuando viajamos en un vehículo y toma una curva, latendencia es a salirnos de la curva. La aceleracióncentrípeta lo impide al tirar de nosotros hacia dentrode la curvade la curva.

Para una misma velocidad, cuanto mayor sea el radio de la curva, menor será la aceleración centrípeta.


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