3.3. FUNDAMENTACIÓN TEORICA DE LA ESPECIALIDAD

3.3.1. Matemáticas

La matemática es tan antigua como el hombre mismo. Debido a su necesidad de

conocer, dominar y sobrevivir en el mundo que lo rodea el hombre ha regido diversas

ciencias y entre ellas la matemática, la que ha sido considerada anteriormente como la

ciencia de los números, siendo esta definición claramente insuficiente puesto que su

alcance es mucho más amplio, por lo que ahora veremos de donde proviene su origen:

MATEMÁTICA significa ciencia del conocimiento. Esta palabra tiene una curiosa

historia. Proviene del verbo griego Manthano que significa inicialmente aprender es

decir, estudiar, instruirse, de allí darse cuenta, remarcar, comprender. Del verbo deriva

el sustantivo “mathema” que denota estudio, ciencia, conocimiento. En realidad

mathematika, era la ciencia que el joven griego debía estudiar para formarse

adecuadamente en la virtud.

3.3.2. Trigonometría

Rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de

los triángulos. Etimológicamente significa “medida de triángulos”.

El origen de la palabra trigonometría proviene de las palabras griegas:

Trigonon = triángulo y metron = medida

3.3.2.1. Reseña histórica

Históricamente, fueron los matemáticos y astrónomos griegos quienes encontraron los

principales fundamentos de la trigonometría plana y esférica, deducidos de la

geometría, y los aplicaron a los problemas astronómicos.

Se considera a Hiparlo (180 – 125 a.C.) como el padre de la trigonometría debido

principalmente por su hallazgo de algunas de las relaciones entre los lados y los

ángulos de un triángulo. También contribuyeron a la consolidación de la trigonometría

Claudio Ptolomeo y Aristarco de Samos quienes la aplicaron en sus estudios

1

astronómicos. En el año 1600, el profesor de matemáticas de Heidelberg (la

universidad más antigua de Alemania) Bartolomé Pitiscus (1561 – 1613), publicó un

texto con el título de “Trigonometría”, en el que desarrolla métodos para la resolución

de triángulos. El matemático francés Francois Viete (1540 – 1617) hizo importantes

aportes hallando fórmulas trigonométricas de ángulos múltiples. En el siglo XVIII, el

matemático suizo Leonard Euler (1707 – 1783) hizo de la trigonometría una ciencia

aparte de la astronomía, para convertirla en una nueva rama de las matemáticas; es el

primero que en realidad hace progresar dicha rama de la matemática en este nuevo

aspecto analítico, hasta darle la forma que conserva actualmente.

Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la

navegación y la astronomía, el principal problema era determinar una distancia

inaccesible, es decir, una distancia que no podía ser medida de forma directa como la

distancia entre la tierra y la luna. Se encuentran notables aplicaciones de las funciones

trigonométricas en la física y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el

estudio de fenómenos periódicos, como el flujo de corriente alterna. (ENCICLOPEDIA

OCEANO 2001)

3.3.3. Triángulo

Es un polígono de tres lados, es decir, una porción de plano limitada por tres

segmentos unidos, dos a dos, por sus extremos. Los tres segmentos que limitan el

triángulo se denominan lados, y los extremos de los lados, vértices.

En un triángulo se consideran dos tipos de ángulos: interior (formado por dos lados) y

exterior (formado por un lado y la prolongación de otro).

Consideraciones:

En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a dos rectos.

En todo triángulo, un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores

no adyacentes.

2

Dos triángulos son iguales cuando tienen iguales un lado y sus dos ángulos

adyacentes.

Dos triángulos son iguales cuando tienen dos lados iguales y el ángulo

comprendidos.

Dos triángulos son iguales cuando tienen los tres lados iguales.

En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo.

Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos son también iguales.

En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su

diferencia.

3.3.3.1. Clasificación de los triángulos

Según sus lados

Equiláteros (sus tres lados iguales)

Isósceles (dos lados iguales y uno desigual)

Escaleno (tres lados desiguales)

Según sus ángulos

Rectángulos (un ángulo

recto)

Acutángulos (tres ángulos

agudos)

Obtusángulos (un ángulo

obtuso)

De Internet: http://www.cientec.or.cr/matematica

3

La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo cualquiera es de

180º.

+ + = 180ª

3.3.3.2. Elementos del triángulo

Partiendo del siguiente triángulo podemos identificar claramente sus elementos:

Vértice A, B y C

Lados

Ángulos A, B, C

3.3.4. Trigonometría plana. Se ocupa fundamentalmente de la resolución de triángulos

planos. Para ello, se definen las razones trigonométricas de los ángulos y se estudian

las relaciones entre ellas.

Antes de iniciar el estudio relacionado con la resolución de triángulos es necesario

hacer referencia a ciertos conceptos fundamentales los cuales nos permitirán

comprender de mejor manera el tema:

Cateto.- Cada uno de los lados de un triángulo rectángulo que determinan el

ángulo recto.

Hipotenusa.- Es el lado opuesto al ángulo recto en un triángulo rectángulo.

Congruencia.- Relación de figuras de igual forma y tamaño. Su símbolo

4

A

B C

Relación.- Correspondencia que asocia a cada elemento de un conjunto, un

elemento de otro conjunto mediante una regla.

Razón.- Cociente o diferencia que se obtiene al comparar dos cantidades.

Proporción.- Llamase así, a la igualdad de dos razones.

Teorema.- Es una proposición que puede ser demostrada por medio de un

conjunto de razonamiento que conducen a la evidencia de la verdad de la proposición.

3.3.5. Resolución de triángulos rectángulos

Una de las aplicaciones más inmediatas de la trigonometría es la resolución de

triángulos, es decir, conocidos alguno de los elementos de un triángulo, encontrar los

restantes, a fin de que el triángulo quede perfectamente determinado.

Los elementos de un triángulo son seis: los tres lados y los tres ángulos. Cuando el

triángulo es rectángulo, ya conocemos uno de sus elementos, el ángulo recto. Nos

quedan cinco por determinar, de los que es preciso conocer solo dos de ellos. Para la

resolución de un triángulo cualquiera es preciso conocer tres de sus elementos, entre

los cuales figure un lado; ahora bien, cuando el triángulo es rectángulo, como un

elemento ya está tácitamente dado, que es el ángulo recto, basta conocer otros dos

elementos entre los cuales figuren por lo menos un lado.

Casos que pueden presentarse para resolver triángulos rectángulos:

1º Dados la hipotenusa y un cateto. 3° Dados la hipotenusa y un ángulo agudo.

2º Dados un cateto y un ángulo agudo. 4º Dados los dos catetos.

(REPETTO FESQUET “Trigonometría y elementos de análisis matemático, 1968)

5

3.3.6. Demostraciones del Teorema de Pitágoras

3.3.6.1. Por el área de cuadrados y el área de triángulos isósceles rectángulos

A partir del triángulo rectángulo inicial de hipotenusa “c” y catetos “a” y “b”, construimos

los cuadrados de lados a + b tal como aparecen en la figura.

El primer cuadrado está formado por cuatro triángulos iguales (T1, T2, T3, T4) y por un

cuadrado de lado c, por lo que su área es

c 2 + 4 A(T)

siendo A(T) el área de uno cualquiera de los triángulos.

El segundo cuadrado está formado por dos cuadrados de lados “a” y “b” y los triángulos

T1, T2, T3 y T4 y su área es

a 2 + b 2 + 4 A(T)

Igualando ambas expresiones y simplificando obtenemos que

c 2 = a 2 + b 2

Esta es una de las más intuitivas demostraciones del teorema de Pitágoras y,

posiblemente, una de las que utilizaran los pitagóricos.

De la página de Internet: http://www.arrakis.es/~mcj/teorema.htm

6

3.3.6.2. Por el área de cuadrados cuyos lados son los catetos y la hipotenusa

A partir del triángulo rectángulo inicial de hipotenusa “c” y catetos “a” y “b”, construimos

los cuadrados de lados “a”, “b” y “c” tal como aparecen en la figura.

El área del cuadrado cuyo lado es el cateto “a” es a2 . El área del cuadrado cuyo lado

es el cateto “b” es b2 . La suma de ambas áreas es:

a 2 + b 2

El área del cuadrado cuyo lado es la hipotenusa “c” es c2 . Igualando ambas áreas se

obtiene:

c2 = a 2 + b 2

Internet:http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/Teorema_de_Pitagoras/pitagoras.htm

3.3.6.3. Por el área de las semicircunferencias cuyos diámetros son los catetos y

la hipotenusa

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Para los semicírculos de la figura se encuentra el área de cada uno de ellos. Se conoce

que el diámetro de un círculo es el doble de su radio.

Para el semicírculo cuyo diámetro es “a” su área

es:

Área =

Para el semicírculo cuyo diámetro es “b” su área

es:

Área =

Para el semicírculo cuyo diámetro es “c” su área es:

Área =

Igualando ambas áreas resulta

de donde

Área (Semicírculo S) = Área (SemicírculoS´) + Área (SemicírculoS´´)

De la página de Internet: http://www.arrakis.es/~mcj/teorema.htm

3.3.6.4. Por la altura de la hipotenusa

8

El cuadrado de la altura de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es el producto de

los segmentos de la hipotenusa.

Si = h, = m, = n entonces:

h2 = m.n

Ejemplo Solución

Determinar la altura del triángulo

rectángulo.

tenemos:

h2 = m.n

h2 = (1,9 cm) (3,1 cm)

h2 = 5,89 cm2

h = 2,4 cm

Por el Teorema de Euclides: “Todo cateto es media proporcional entre la hipotenusa y

su proyección sobre ella”.

b2 =c.m ; a2 = c.n

Ejemplo Solución

9

C

h

DA B1,9 3,1

Encontrar los dos catetos conocida la hipotenusa y sus segmentos

Por el teorema de Euclides tenemos:

a2= c.n

a2=5cmx3,1cm

a2 =15,5 cm2

a ≈ 4 cm

b2=c.m

b2=5cm x 1,9 cm

b2=9,5 cm2

b ≈ 3 cm

La suma de los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo es igual al

cuadrado de la hipotenusa.

Si ΔABC es un triángulo rectángulo, C es un ángulo recto demostrar que:

a2+b2=c2

DEMOSTRACION

Afirmación Razón

a2 = c.n

b2 = c.m

Teorema de Euclides

a2 + b2 = c.n + c.m Igualando ambas igualdades

a2 + b2 = c(n + m) Factorizando

n + m = c Postulado de medidas de segmento

10

DA B1,9 3,1

b a

5

a2 + b2 = c2 Reemplazando

Internet:http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/Teorema_de_Pitagoras/pitagoras.htm

3.3.7. Razones trigonométricas en un ángulo agudo en un triángulo rectángulo

Debido a que un triángulo tiene tres lados, se pueden establecer seis razones, dos

entre cada pareja de estos lados. Las razones trigonométricas de un ángulo agudo en

un triángulo rectángulo son las siguientes.

ABC, rectángulo en A

B y C ángulos agudos

a : hipotenusa

b : cateto opuesto al B y adyacente al C

c : cateto opuesto al C y adyacente al B

Seno: razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

Coseno: razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa.

Tangente: razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente.

Cotangente: razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente.

11

B

A C

a

b

c

Secante: razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo.

Cosecante: razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo.

Las funciones trigonométricas, dependen del ángulo, pero no del triángulo. (LEXUS “La

Biblia de las Matemáticas” Edición 2002)

3.3.8. Situaciones problemáticas con triángulos rectángulos

Problema Nº 1

Para construir un garaje con las medidas que indica la figura. ¿Qué ángulo tendrá que

formar el techo con un plano paralelo al piso?

Solución

= 19,44º

12

8,5 m

1,5 m

Problema Nº 2

De un punto salen al mismo tiempo dos personas, uno en dirección sur – norte y otro en

dirección este – oeste. La primera marcha a 6 Km./h y la segunda a 8 Km/h. ¿Cuánto

tiempo deberán caminar para encontrarse en 80 Km. una de otra?

Solución:

a. Trazamos el gráfico correspondiente y llamamos t al tiempo que tardan en

encontrarse a 80 Km. una de otra.

b. Resolviendo: (6t)2 + (8t)2 = (80)2

36t2 + 64t2 = 6400

100t2 = 6400

Problema Nº 3

Se desea medir la altura de una torre resulta incómodo subir a ella pero es fácil medir la

distancia de un punto A hasta la base B y el ángulo .

Datos:

= 72º

AB = 25 m

Aplicando la función:

Reemplazando:

13

N

O ES

6t

8t

25 m

72º

h = 25.tan = 25.tan 72º = 76,94 m

La altura de la torre es 76,94 metros.

Problema Nº 4

Desde un punto se observa un

edificio cuya parte más alta forma

con el suelo un ángulo de 30º, si

avanzamos 30 metros, el ángulo

pasa a ser de 45º. Calcular la altura

del edificio.

Solución

Despejando h tenemos: Despejando h tenemos:

h = tan 30º(30 m + x) h = tan 45º(x)

Igualando las ecuaciones h = h:

14

30 m

30º 45º

x

1,5 m

tan 30º(30 m + x) = tan 45º(x)

tan 30º(30m) + tan 30º(x) = tan45º(x)

tan 30º(30m) = tan45º (x) – tan 30º (x)

x 40,1 m

Reemplazando x se calcula h = tan45º(40,1m) = 40,1 m.

La altura del edificio es 41,6 m (40,1m + 1,5 m).

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EVALUACIÓN TRIMESTRAL

Nombre:…………………………………………. Color del grupo:………………

1º Sabiendo que sen  = , calcula las demás razones trigonométricas de  sabiendo que es

un ángulo del primer cuadrante.

2° Sabiendo que cos  = , sin utilizar la calculadora, obtener las demás razones

trigonométricas de Â, y el ángulo Â, sabiendo que está en el primer cuadrante.

3° Sabiendo que cos  = , sin utilizar la calculadora, obtener las demás razones

trigonométricas de Â

4º Resolver el siguiente triángulo, sabiendo que a=12 y  =30º.

5º Resolver el siguiente triángulo, sabiendo que Â=30º y c=20, sin utilizar la calculadora.

EVALUACIÓN TRIMESTRAL

Nombre:………………………………………………………………………….Fila: A

1º Desde un punto A en la orilla de un río se ve un árbol justo enfrente. Si caminamos 100

metros río abajo, por la orilla recta del río, llegamos a un punto B desde el que se ve el pino

formando un ángulo de 30º con nuestra orilla. Calcular la anchura del río.

2° Desde un punto se observa un edificio cuya parte más alta forma con el suelo un ángulo

de 30º, si avanzamos 30 metros, el ángulo pasa a ser de 45º. Calcular la altura del edificio.

EVALUACIÓN TRIMESTRAL

Nombre:………………………………………………………………………….Fila: B

1º Un edificio proyecta una sombra de 150 m. cuando el sol forma un ángulo de 20º 30' sobre

el horizonte, calcular la altura del edificio.

2º Desde un punto A en la orilla de un río se ve un árbol justo enfrente. Si caminamos 150

metros río abajo, por la orilla recta del río, llegamos a un punto B desde el que se ve el pino

formando un ángulo de 15º con nuestra orilla. Calcular la anchura del río.

EVALUACIÓN TRIMESTRAL

Nombre:………………………………………………………………………….Fila: C

1º Desde un punto A en la orilla de un río, cuya anchura es de 50m., se ve un árbol justo

enfrente. ¿Cuánto tendremos que caminar río abajo, por la orilla recta del río, hasta llegar a

un punto B desde el que se vea el pino formando un ángulo de 60º con nuestra orilla?

2° Usando un teodolito se observa un edificio cuya parte más alta forma con el suelo un

ángulo de 20º, si avanzamos 40 metros, el ángulo pasa a ser de 55º. Calcular la altura del

edificio.

40 m

20º 55º

x

1,5 m