problemas resueltos de matemáticas 2

7/24/2019 Problemas resueltos de Matemticas 2

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS CICLO 2015-2

PROBLEMAS RESUELTOS DE DE MATEMATICAS II

Temas: Funciones vectoriales de variable real: curvatura ytorsion. Aplicacion al movimiento de partculas.

Ejemplo 0.1 Dada la curva:

C : x2 +z2 2z= 0 , x2 y+z= 0

a) ParametrizarC en terminos de senos y cosenos.

b) Hallar el centro de curvatura y la ecuacion del plano osculador, en el punto Q donde

el vector tangente es perpendicular al ejez.

Solucion: La ecuacion deC puede reescribirse de la forma:x2 + (z 1)2 = 1 , y = x2 +z

De la primera ecuacion parametrizamos:x= cos t , z 1 = sen t. Entonces reemplazandoen la segunda ecuacion: y =cos2t+ 1 + sen t. As, una funcion vectorial que describe aCes: f(t) = (cos t, 1 + sen t+ cos2 t, 1 + sen t), donde t [0, 2]. Derivando:

f(t) = ( sen t, cos t 2sen t cos t, cos t) = ( sen t, sen2t, cos t)Si el vector tangente es perpendicular al eje z, entonces el vector f

(t) debe ser ortogonal

al vector k= (0, 0, 1). As,

f(t) k= ( sen t, sen2t, cos t) (0, 0, 1) = 0 = cos t= 0Entoncest=

2 o t= 3

2. Escogemos t=

2. Entonces Q= f

2

= (0, 2, 2).

La segunda derivada es: f (t) = ( cos t, sen t 2cos2t, sen t). Evaluando en el puntopedido se obtienen:

f2

= (1, 0, 0) , f

2

= (0, 1, 1)

Entonces:

f2 f 2= (1, 0, 0) (0, 1, 1) = (0, 1, 1)

As, los vectores tangente unitario, binormal y normal, en el punto Q, son:

T2

= (1, 0, 0) , B

2

= (0,1,1)

2 , N

2

= (0,1,1)

2

La curvatura es:

k

2

=

f 2 f 2 f2

3 =

2

(1)3 =

2

Entonces el radio de curvatura es:

2

=

1k2

= 12

El centro de curvatura es:

1


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PC=f2

+

2

N2

= (0, 2, 2) + 1

2

(0,1,1)2

=

0, 52

, 32

Como cualquier vector paralelo al vector binormalB

2

= (0,1,1)

2 es una normal al plano

osculador, entonces tomaos como normal al vector (0, 1, 1). Entonces la ecuacion de dichoplano en el punto Q= (0, 2, 2), es:

0(x 0) + 1(y 2) + 1(z 2) = 0 o bien y+z 4 = 0

Ejemplo 0.2 Sea la curva:

C : f(t) =

t

1 +t, ln (1 +t) , ln

t+

1 +t2

Determinar la curvatura, centro de curvatura, torsion y la ecuacion del plano osculador deCen el punto en que la recta tangente a dicha curva es paralela a la rectax6 =y +3 =z3.

Solucion:

Derivando,

f(t) =

1

(1 +t)2,

1

1 +t,

11 +t2

(1)

Un vector direccional de la recta x 6 =y + 3 =z 3 es el vector (1, 1, 1). Si el vectortangente unitario es paralela a dicha recta, entonces las 3 componentes del vector f(t)deben ser iguales. De la ecuacion (1) observamos que dichas componentes seran iguales sise verifica el sistema:

(1 +t)2 = 1 +t=

1 +t2 = t= 0 y f(0) = (0, 0, 0)

Derivando la ecuacion (1), se obtiene:

f(t) =

2

(1 +t)3, 1

(1 +t)2, t

(1 +t2)3/2

(2)

Evaluando ambas derivadas en t= 0, se tienen:

f(0) = (1, 1, 1) , |f(0)| =

3 , f(0) = (2, 1, 0)

Ademas:f(0) f(0) = (1, 1, 1) (2, 1, 0) = (1, 2, 1)

y |f(0) f(0)| = |(1, 2, 1)| = 6As, la curvatura en t= 0 es:

(0) =|f(0) f(0)|

|f(0)|3 =

6

(

3)3= (0) =

2

3

y el radio de curvatura es:

(0) = 1

(0)=

12/3

= (0) = 32

El vector normal principal en t= 0 tiene la direccion del vector:

(f(0) f(0)) f(0) = (1, 2, 1) (1, 1, 1) = (3, 0, 3)

2


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y por lo tanto,

N(0) =(1, 0, 1)

2

As, si PCes el centro de curvatura en el punto f(0), entonces:

PC=f(0) +(0)N(0) = (0, 0, 0) + 3

2(1, 0, 1)

2Haciendo operaciones encontramos que el centro de curvatura es el punto

32

, 0, 32

.

Derivando la ecuacion (2), se obtiene

f(t) =

6

(1 +t)4,

2

(1 +t)3, t

(1 +t2)3/2

= f(0) = (6, 2, 1) (3)

La torsion en el punto (0, 0, 0) es:

(0) =(f(0) f(0)) f(0)

f(0) f(0)

2 =(1, 2, 1) (6, 2, 1)

(

6)2=

1

6

Como el vector binormal en t= 0 tiene la direccion del vector f(0) f(0) = (1, 2, 1),entonces el vector (1, 2, 1) es la normal al plano osculador en el punto (0 , 0, 0). As, laecuacion de dicho plano es:

!(x 0) 2(y 0) + 1(z 0) = 0 o bien x 2y+z= 0Ejemplo 0.3 El vector posicion de una partcula en cada instantet esta dado por:

r= f(t) =

ln(t2 + 1) , 2 arctan t , 2

t2 + 1

Para cada instante t halle la velocidad con que se mueve la partcula. Luego, halle las

componentes tangencial y normal de su aceleracion para los instantest= 1 yt= 2.

Solucion: El vector velocidad es:

v(t) = f(t) =

2t

t2 + 1,

2

t2 + 1,

2tt2 + 1

y su magnitud es:

v(t) = ||v(t)|| =

4t2

(t2 + 1)2+

4

t2 + 1)2+

4t2

t2 + 1

=4(t2 + 1)2

(t2 + 1)2 = 2

As, en todo instante la partcula se desplaza con rapidez constante de 2 unidades. Sila magnitud de la velocidad no cambia significa que la componente tangencial aT de laaceleracion sera nula en todo instante (ya que la componente tangencial mide la variacionde la magnitud del vector velocidad). Esto significa que el vector aceleraci on solo tienecomponente normal, verificandose: a= aNN. Como aNes no negativo, entonces:

aN= ||a||El vector aceleracion es:

a(t) =f(t) = 2 2t2(t2 + 1)2, 4t(1 +t2)2, 2(t2 + 1)3/2

As, evaluando en t = 1 y en t = 2, encontramos que el vector aceleracion en dichosinstantes, son:

3


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a(1) =

0, 1,22

, a(2) = 2

25(3, 4, 5)

Para ambos instantes, la componente tangencial del vector aceleracion es: aT = 0. Lascorrespondientes componentes normales son:

aN(1) = ||a

(1)|| = 3/2 , aN(2) = ||a(2)|| =2

30

25 .

Ejemplo 0.4 Una partcula se desplaza sobre la curvaC1 descrita por la funcion:

f(u) =

2

3(2u+ 4)3/2 , 4 2u , u2 + 4u

con rapidez constante de 4 m/s. Si la partcula parte del punto (0, 8, 4),

i) Hallar el vector velocidad y las componentes tangencial y normal de la aceleracion de

la partcula, en el instante en que cruza a la curva

C2 descrita por la funcion:

g(u) =

4

3+u2 , 2u ,20 10u

.

ii) Desde que la partcula parte del reposo, cuanto demora en cruzarC2?

Solucion: De la componente x de f se deduce que los valores del parametro u debenverificar: 2u+ 4 0; es decir, u 2. Como en el punto de partida (0,8,-4), el valorde u es -2, entonces la partcula se desplaza en el sentido en que se generaC1 cuando elparametro u aumenta. Como la partcula se mueve con rapidez (velocidad) constante de 4m/s, y si ses el parametro longitud de arco, entonces:

ds

dt = 4 = s= 4t+C (1)

Si s se mide desde el punto de partida (0,8,-4) y el tiempo se mide desde el punto departida, entonces cuandot = 0, s = 0. Por lo tanto, en (1), C= 0. As, en todo instante t,

s= 4t (2)

Por otra parte, el parametro spuede tambien definirse de la forma:

s= u2 ||

f

(r)|| dr (3)y como f(u) =

2(2u+ 4)1/2 ,2, 2u+ 4 , entonces:

||f(u)|| =

4(2u+ 4) + 4 + (2u+ 4)2 = 2

(u+ 3)2 = 2(u+ 3)

puesto que u+ 3 resulta positivo. As, en (3),

s=

u2

2(r+ 3) dr= (2r+ 3)2u2

Evaluando, se obtiene:s= (u+ 3)2 1 (4)

Ahora, de (2) y (4),

4


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4t= (u+ 3)2 1 (5)La ecuacion (5) relaciona el parametro tiempotcon el parametroue indica la caractersticadel movimiento de la partcula. Podramos despejar u en terminos de t para encontrar lafuncion vectorial que describe el movimiento de la partcula en terminos del tiempo. Sinembargo, esto no es necesario como veremos a continuacion.

Si consideramos que f(u1) = g(u2) es el punto en que se intersectanC1 yC2, entoncesdeben verificarse el siguiente sistema de ecuaciones:

2

3(2u1+ 4)

3/2 =4

3+ u22 , 4 2u1= 2u2 , u21+ 4u1 = 20 10u2

Resolviendo, encontramos que u1= 0 yu2 = 2 satisfacen las 3 ecuaciones. Por lo tanto, elpunto en que las curvas se cruzan es f(0) = (16/3, 4, 0).

i) Si v es el vector velocidad, entonces por la Regla de la Cadena:

v=

df

dt = df

dudu

dt

= f(u)du

dt

(6)

Derivando la ecuacion (5) implcitamente respecto de u, se obtiene:

4 = 2(u+ 3)du

dt = du

dt =

2

u+ 3

Reemplazando valores en (6), encontramos que una expresion para el vector velocidad,en terminos del parametro u, es:

v(u) = 2

u+ 3

2(2u+ 4)1/2

,2 ,2u+ 4 (7)Como en el punto de cruce con la curvaC2, u= u1= 0, entonces el vector velocidadde la partcula en dicho punto es v(0) = 2

3(4, 2, 4).

Si a es el vector aceleracion de la partcula, entonces:

a=dv

dt =

dv

du

du

dt

=

dv

du

2

u+ 3

= v (u)

2

u+ 3

(8)

De (7),

v (u) =

2(u+ 3)2

2(2u+ 4)1/2 ,2 , 2u+ 4 + 2

u+ 3

2(2u+ 4)1/2 ,0 ,2

Reemplazando en (8) y factorizando, encontramos que una expresi on para el vectoraceleracion, en terminos del parametro u, es:

a(u) =

2

u+ 3

2 1u+ 3

2(2u+ 4)1/2 ,2 , 2u+ 4+ 2(2u+ 4)1/2 , 0 ,2

As, el vector aceleracion para u= 0 es: a(0) = 427

(

1, 2, 2).

Por otra parte, se sabe que:

a= aTT +aN N , aT=d2s

dt2 , aN=

ds

dt

||T (t)|| (9)

5


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Pero,ds

dt = ||v|| = 4 = d

2s

dt2 =aT= 0

Si la componente tangencial es nula, entonces el vector aceleracion solo tiene compo-nente normal, siendo:

a= aNN

De la ecuacion (9) se observa que la componente normal es positivo. Por lo tanto, lacomponente normal en todo instante es:

aN= ||a||

y para u= 0, sera:

aN= ||a(0)|| = 427 ||(1, 2, 2)|| = 49ii) Para hallar el tiempo que emplea la partcula desde que parte hasta que cruza a la

curvaC2 basta reemplazar u= 0 en la ecuacion (5). As,4t= (0 + 3)2 1 = t= 2

es el tiempo de recorrido.

SERIE DE PROBLEMAS DE MATEMATICA IITemas: Funciones vectoriales de variable real: curvatura y

torsion. Aplicacion al movimiento de partculas.

1.1. SeaC la curva descrita por f(t)(t sen t, 1 cos t, 4sen t2 , t [0, 2].a) Verificar si la curva es regular y calcular su longitud.

b) Determinar la ecuacion de la recta tangente en el punto (, 2, 4).

1.2. Para la curva descrita por la funcion f(t) = (cos2 t, sen2 t, t+ 1), se pide:

a) Hallar los vectores T, N y B, y la ecuacion de la recta normal en el puntoP = (1, 0, 1).

b) Si la curva es plana, hallar la ecuacion del plano que la contiene.

1.3. Para la curva descrita por f(t) = (2t, t2, ln t), t 0,a) Determinar los vectoresT, Ny B, y la curvatura en cualquier punto deC.b) Obtenga el punto de la curva en que la curvatura es maxima

1.4. La curvaC es la interseccion del cilindro x2 +y2 = 1 con el plano z= 4y.a) Hallar una funcion vectorial que describa a dicha curva.

b) Hallar los vectores T, Ny B en el punto P0 = (0, 1, 4).

c) Hallar el centro de curvatura y la ecuacion de la circunferencia de curvatura

correspondiente al punto P0.d) Hallar los puntos deC en que el radio de curvatura es maxima o mnima.

6


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1.5. Sea la curva : x2 +y2 =z2 , x2 +y2 +z2 = 4y en el primer octante. En el puntoQ(1, 1,

2) de esta curva, determinar la curvatura, centro de curvatura, torsion y la

ecuacion del plano osculador.

1.6. SeaC la curva cuyas ecuaciones parametricas son:x= 3u , y= 3u2 , z= 2u3

Una partcula parte del punto (3, 3, 2) con rapidez constante de 11 unidades de lon-gitud por segundo. Calcular las componentes tangencial y normal de su aceleraci oncuando ha recorrido una distancia de 17 unidades.

1.7. Una partcula parte del origen y se desplaza con rapidez constante de

2 unidadespor segundo a lo largo de la curva:

f(u) =

u 1

3u3 , u2 , u+

1

3u3

, u 0

Hallar los vectores velocidad y aceleracion despues de transcurridos 12 segundos.

1.8. Sean las curvasC1 yC2 descritas por:C1 : f(t) = (t3 + 6 ,3t+ 4 , t2) , C2 : g(t) =

t2 3 ,3t 5 , 8t

t2 + 3

a) Halle los puntos de interseccion entre las curvasC1 yC2.b) Consideremnos que dos partculas se desplazan con rapidez constante e iguales,

una sobre C1y la otra sobre C2. Cuando pasen por el punto de interseccion de sustrayectorias, cual de ellas se aparta mas de su correspondiente plano osculador?

1.9. El vector posicion de una partcula en el instantet es r(t) = (cos t)i + (sen t)j +tk.

a) Hallar el punto en que la partcula cruza la superficie: z=(x2

+y2

).b) Calcular la velocidad y la rapidez en dicho punto.

c) La distancia recorrida por la partcula si parte en el instantet= 0.

1.10. El vector posicion de una partcula en el instantet es r(t) = (t cos t, 3 + s e n 2t, 1 +cos3t). Se pide:

a) Sin hallar la ecuacion del plano osculador, pruebe que el vector aceleracion a(t)en el punto en que t= 0 pertenece a dicho plano.

b) Determine la ecuacion del plano osculador a la curva en el punto (1, 3, 2).c) Calcule la torsion en t= 0.

1.11. Una partcula se mueve con vector de posicion:

f(t) =

ln

t+

1 +t2

, t

1 +t, ln(1 +t)

Para el instante en que su vector velocidad tiene la direcci on de la recta x 1 =y 2 =z 5:

a) Calcule las componentes tangencial y normal de su aceleracion.

b) La curvatura y centro de curvatura de su trayectoria.

c) La torsion y la ecuacion del plano osculador.

UNI, 21 de Setiembre de 2015.

Ing. Felix Carrillo Carrascal.

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