3-1

Problemas

1. A una frecuencia de 400 Hz, el sonido más débil que se puede escuchar corresponde a una amplitud de presión de 8x10-5 Nm-2. Encontrar la correspondiente amplitud de desplazamiento. (Densidad del aire=1,29 kg/m3). Graficar con estos valores las correspondientes ondas de desplazamiento y presión.

Las ondas de desplazamiento y de presión asociadas a una onda sonora vienen dadas por la ecuación

)(0 wtkxsen −= ξξ

)2(0

πω −−∆=∆ tkxsenpp

000 ξωρ vp =∆

con lo que la amplitud de desplazamiento correspondiente al sonodo más debil percibido a 400 Hz es igual a

mxx

vp 11

5

0

00 1026,7

340.4002.29,1108 −

−

==∆

=πωρ

ξ

del orden de las dimensiones moleculares

3-2

2. Una onda sonora que se propaga en el aire a 20º C viene dada por la expresión )100016,9(10 6 txsen πξ −= − . Calcular la velocidad de transmisión del sonido, la

impedancia acústica del medio, la onda de presión asociada y la intensidad de la onda sonora.

La velocidad de la onda sonora será v=ω/k=1000π/9,16=343 m/s La impedancia acústica del aire a esta temperatura es Z=ρv=1,29kg.m-3.343 m.s-1= 442,5 kgm-2s-1

La onda de presión asociada viene dada por

xpp

∂∂

−=ξ

κ0

Derivando la onda de desplazamiento

)2(00πωκξ −−+= tkxksenpp

)2(0

πω −−∆=∆ tkxsenpp

0000 ωξξωρ Zvp ==∆ =1,39 Nm-2

2)2100016,9(39,1 −−−=∆ Nmtxsenp ππ

La intensidad de la onda sonora vendrá dada por

2320

0

20 1018,2

22−−=

∆=

∆= Wmx

Zp

vp

Iρ

3-3

3. El diafragma de un altavoz de 30 cm de diámetro vibra con una frecuencia de 1 kHz y una amplitud de 0,020 mm. Suponiendo que las moléculas de aire próximas al diafragma tienen ésta misma amplitud de vibración, determinar la amplitud de presión justo enfrente del diafragma, la intensidad sonora en esta posición y la potencia acústica irradiada. Si el sonido se irradia uniformemente en la semiesfera anterior, determinar la intensidad a 5 m del altavoz

La amplitud de presión en el diafragma viene dada por

0000 ωξξωρ Zvp ==∆ = 442,5.2π.1000.2x10-5= 55,1 Nm-2

y la intensidad sonora en el diafragma es

222

0

0

20 43,3

5,442.2)1,55(

22−==

∆=

∆= Wm

Zp

vp

Iρ

La potencia acústica irradiada será el producto de la intensidad por el área de irradiación P=IA=3,43.πr2=3,43.π(0,15)2= 0,245 W La intensidad de la onda sonora a 5 m, asumiendo que la energía emitida por el altavoz se irradia únicamente en la semiesfera delante del altavoz, será I(5 m)=P/2πR2=0,245/2π25= 1,56x10-3 Wm-2

3-4

4. Un alfiler de 0,1 g de masa cae desde una altura de 1m. Asumiendo que el 0,05 % de su energía se convierte en un pulso sonoro de duración 0,1 s estimar cual es la distancia máxima en la que puede oirse la caida del alfiler. Tomar como intensidad sonora mínima audible 10-8 W/m2

Sabemos que la intensidad de la onda sonora esférica disminuye con la distancia

según la ecuación

24 rP

Iπ

=

con lo que la distancia a la que podremos oir la caida del alfiler es igual a

IP

rπ4

=

La energía de la onda sonora es igual a E= 0,0005mgh= 4,91x10-7 J y la potencia

será P= E/∆t= 4,91x10-6 W

Es decir, la distancia máxima a la que será audible la caida es r= 6,25 m

3-5

5. Determinar que longitud debería tener el tubo más corto y el más largo de un órgano capaz de generar todo el rango de sonidos audibles suponiendo que los tubos estuvieran abiertos por un extremo.

La longitud de onda del modo fundamental de u tubo de órgano abierto por un extremo es λ=4L. El rango de sonidos audible va de 20 Hz a 20 KHz con lo que L=λ/4=v/4ν=340/4.20= 4,25 m L=λ/4=v/4ν=340/4.20.000= 0,00425 m

3-6

6. Dos altavoces enfrentados entre si a una distancia de 90 cm están accionados por un oscilador común de audio a 680 Hz. Localizar los puntos entre los altavoces a lo largo de la línea que los une para los cuales la intensidad del sonido es máxima y mínima.

La interferencia de dos ondas, en este caso sonoras, de igual frecuencia e igual fase, en un punto del espacio viene dada por

)21

()21

cos2( 021 δωδξξξ +−=+ tkxsen

rkrkr ∆=−=λπ

δ2

21

r1-r2=nλ Interferencia constructiva; vientres si r1-r2=(2n+1)λ/2 Interferencia destructiva, nodos Eligiendo como origen el punto medio entre los dos altavoces, que será un punto de de intensidad máxima dado qie la diferencia de camino es cero, al movernos una distancia x hacia uno de los altavoces, la diferencia de camino será 2x. Por tanto tendremos un vientre en 2x=±λ, 2±λ, 3±λ, …. λ=v/ν= 340/680= 50 cm x= ±25 cm, ±50 cm, ±75 cm, …. Y los nodos 2x= (2n+1)λ/2 x= ±12,5 cm, ±37,5 cm, ±62,5 cm

3-7

7. Una fuente sonora está situada en el punto A de coordenadas (0,0) y otra en B (0, 2,4 m) y ambas emiten a igual frecuencia y en fase. Un observador situado en P (40,0) nota que al caminar a lo largo del eje y y cualquiera que sea el sentido que tome, la intensidad del sonido disminuye. ¿Cúal es la frecuencia mínima y máxima de emisión que justifica este hecho?

El hecho de que el observador al moverse en el eje, y sea cual sea el sentido tomado, note una disminución en la intensidad sonora demuetra que en (40,0) se encuentra en un punto donde tenemos interferencia constructiva, es decir ∆r= nλ La diferencia de camino recorrido por las ondas viene dada por

∆r= rB-rA= = 0,07194 m y λn = 0,07194/n La frecuencia emisión de las fuentes sonora será igual a fn= nv/0,07194= n (4726 Hz) la frecuencia mínima será para n=1; f1= 4726 Hz y la frecuencia máxima

detectable por el oido humano estará para n=4; f4= 18904 Hz

3-8

8. Cuando se golpea un diapasón de 440 Hz al mismo tiempo que se pulsa la

cuerda de una guitarra que debe dar la nota Sol, se escuchan 3 pulsaciones por segundo. Después de que la cuerda de la guitarra se tensa un poco más para aumentar su frecuencia, las pulsaciones aumentan a 6 por segundo. ¿Cuál es la frecuencia de la cuerda de la guitarra con la tensión final?

En este fenómeno de interferencia de dos ondas sonoras de frecuencia parecida se producen pulsaciones que el oido percibe con un tono νm y una amplitud que oscila con ∆ν/2.

tsentpp mωω )21

cos(2 0 ∆=

El oido responde a la intensidad de la onda sonora que depende del cuadrado de la amplitud, es decir el sonido será fuerte tanto para amplitud máxima como para amplitud mínima. Es decir para el oido la frecuencia de batido es ∆ν. En este caso y dado que la fecuencia de batido percibida por el oido es 3 s-1, la frecuencia original emitida por la cuerda es 437 Hz ó 443 Hz. La frecuencia de oscilación de la cuerda es directamente proporcional a la velocidad de transmisión de la ondas de la cuerda que a su vez depende de la raiz cuadrada de la tensión de la cuerda. Por tanto al aumentar la tensión de la cuerda, aumentamos la frecuencia de oscilación. En este caso, al aumentar la tensión, aumenta la frecuenta de batidos a 6 s-1. Por tanto este hecho implica que la frecuencia original de la cuerda era de 443 Hz y después de aumentar la tensión es de 446 Hz. Si hubiese sido 437 Hz se detectaría un decremento en la frecuencia de batido.

3-9

9. Demostrar las ecuaciones 3.28 y 3.30 para los coeficientes y factores de transmisión y reflexión en ondas sonoras. Tener en cuenta que en la superficie de separación de los dos medios debe haber continuidad en la presión

Los coeficientes y factores de transmisión y reflexión para ondas sonoras son

21

21

21

12

ZZZZZZ

Z

+−

=

+=

R

T

2

2

)1(4

1

)1(4

ss

ss

+−=

+=

r

t

Sabemos, del capítulo de movimiento ondulatorio que en un proceso de reflexión-refracción las amplitudes de onda incidente ξ0i , reflejada ξ0r´ y transmitida ξ0r vienen dadas por la ecuación (1) rri 0´00 ξξξ =+

Estas ondas de desplazamiento vendrán dadas por

)()(

)(

20

1´0´

10

xkwtsenxkwtsen

xkwtsen

rr

rr

ii

−=+=

−=

ξξξξξξ

Por otro lado debe haber una continuidad en la presión a ambos lados de la superficie de separación de los dos medios, análoga a la continuidad de fuerza estudiada en el caso de la cuerda,

rri ppp =+ ´ , es decir wtwZwtwZwtwZ orri coscoscos 21´010 ξξξ =−

(2) 201´010 ZZZ rri ξξξ =−

Combinando (1) y (2) nos queda

21

1

0

0 2ZZ

Z

i

r

+==

ξξ

T

Para el factor de reflexión sabemos que la intensidad en función de la impedancia acústica es igual a

2

20

220 ξZw

Zvp

I =∆

=

3-10

con lo que

2221

21

1

22

1

202

)1(4

)(4

ss

ZZZ

ZZ

ZZ

II

oi

r

i

t

+=

+===

ξξ

t

3-11

10. La frecuencia de la bocina de un coche parado es 400 Hz. Determinar la frecuencia y longitud de onda observada por un receptor estacionario si el coche se mueve con una velocidad de 122 km/h.

Según las ecuaciones del efecto Doppler

s

o

vvvv

ff−−

=´

siendo v la velocidad de propagación de la onda sonora, vs la velocidad de la fuente y v0 la velocidad del observador. En este caso vs= 122 km/h=34 m/s y v0=0 con lo que la frecuencia observada por el receptor es

Hzf 44,44434340

340400´ =

−=

y la longitud de onda observada λ=v/f´=340/444,44=0,765 m

3-12

11. La relación entre la frecuencia de una nota y la frecuencia del semitono por encima de ella en la escala diatónica es 15:16. ¿Qúe velocidad tiene un coche si su bocina disminuye en un semitono al pasar frente a un observador parado?

Si vs es la velocidad del coche y ν la frecuencia de la bocina, cuando el coche se acerca la frecuencia percibida por el observador es

svvv

ff−

=´

y al alejarse

svvv

ff+

=´´

con lo que f´´/f´=15/16=v-vs/v+vs vs=v/31=11 m/s=39,6 km/h

3-13

12. Dos alumnos con diapasones vibrantes de 440 Hz pasean alejándose uno del otro con la misma velocidad. ¿Con qué rapidez deberán andar para oír una frecuencia de batido de 2 Hz, consecuencia de la superposición de las ondas de los dos diapasones?.

|vr| = |vf| = |valumno|: lo que se busca.

vf es negativa; vr es positiva. La frecuencia de batido corresponde a ∆f = 2 Hz.

f : frecuencia real del diapasón de la fuente (alumno1) = 440 Hz

f' : frecuencia que percibe el receptor ( alumno 2) ; como se aleja uno de otro, será menor, es decir, f' = f - ∆f = 438 Hz

υ: velocidad del sonido= 340 m/s

3-14

13. Un alumno se mueve a lo largo de un pasillo llevando un diapasón que vibra a 512 Hz. El sonido se refleja en la pared del pasillo enfrente del alumno, de manera que éste oye 4 batidos por segundo. ¿Con qué velocidad se está moviendo el alumno?

A la pared llegan las ondas con una frecuencia f ’, que será mayor que f = 512 Hz, ya que el alumno se está moviendo hacia la pared (con velocidad υ a). El alumno con el diapasón es la fuente y la pared es el receptor, de manera que tenemos:

υ r = 0 ; υ f = -υ a (signo - porque la fuente se acerca al receptor) ; υ = 340 m/s (se trata de ondas sonoras). De esta forma se obtiene:

fvv

vf

0

´−

=

Al alumno le llegan 4 batidos por segundo resultado de la superposición de la onda reflejada en la pared y el diapasón que lleva y que vibra a f = 512 Hz. Pero como el alumno se está moviendo hacia la pared, la onda reflejada con frecuencia f ’ la percibirá con una frecuencia f ’’ mayor que f ’ y que f . De este modo,

f ’’ = f + 4 = 516 Hz.

Calculamos f ’’. Ahora la fuente es la pared y el alumno (en movimiento) el receptor, que se acerca a la fuente, de manera que en este caso tendremos:

υ f = 0 ; υ r = +υ a (signo + porque el receptor se acerca a la fuente). De esta forma se obtiene:

. fvv

vvvv

fvvv

fa

aa

−+

=+

= ´´´

Despejando υ a se obtiene:

smff

ffvva /32,1

5165124.340

´´)()´´(

=+

=+

−=

3-15

14. En un tiempo t=0, un avión supersónico se encuentra sobre un punto P volando hacia el este a una altura de 15 km. El estampido sónico se oye en el punto P cuando el avión está a 22 km al este de dicho punto. ¿Cuál es la velocidad del avión supersónico?

La tangente del ángulo formada por la onda cónica es igual a tgα=15/22, α=34,3 º y la velocidad del emisor es vs=v/senα=604 m/s

3-16

15. Un radar emite microondas con una frecuencia de 2 GHz. Cuando las ondas son reflejadas por un coche en movimiento, la frecuencia del paquete de ondas debido a la superposición de la onda que emite el radar y la reflejada por el coche es de 293 pulsaciones por segundo. Calcule la velocidad del coche.

El problema habrá que resolverlo en dos pasos: 1º las ondas emitidas por el radar en reposo llegan al coche en movimiento, que las percibe con frecuencia f'. 2º las ondas rebotan en el coche con frecuencia f', pero al tratarse de un emisor en movimiento, el receptor (ahora el radar, en reposo) las percibirá con frecuencia f''. (Como la velocidad del coche es mucho menor que la de la luz, se pueden despreciar las correcciones relativistas)

1er paso

El radar es la fuente en reposo (υf = 0) que emite ondas de frecuencia f = 2⋅109 Hz. Al tratarse de microondas (que son ondas electromagnéticas), υ = c = 3⋅108 m/s. El coche es el receptor en movimiento. Como el receptor se acerca a la fuente, la velocidad tiene signo negativo, es decir, υr = −υcoche. La frecuencia que percibe el coche en movimiento es f'. Aplicando la fórmula se obtiene:

f' = (c + υcoche)⋅f/c

2º paso

Las ondas rebotan en el coche y lo abandonan con frecuencia f'. La fuente es ahora el coche, que se mueve hacia el receptor con velocidad υf = +υcoche (signo positivo porque la fuente se mueve hacia el receptor) y emite ondas de frecuencia f', que el receptor recibirá con frecuencia f''. υr = 0. Aplicando la fórmula y sustituyendo f' del paso anterior se obtiene:

f'' = c⋅f'/(c - υcoche) = (c + υcoche)⋅f/(c - υcoche) .

Las ondas rebotadas en el coche en movimiento se superponen a las ondas emitidas por el radar, de manera que éste percibe pulsaciones con ∆f = 293 Hz. Como el coche se acerca al radar, f'' > f, de manera que ∆f = f'' - f, y f'' = ∆f + f. Sustituyendo en la fórmula anterior se obtiene:

f'' = ∆f + f = (c + υcoche)⋅f/(c - υcoche)

Despejando:

υcoche = ∆f⋅c/(∆ f + 2f) = 22 m/s = 79 km/h

3-17

16. Una sonda de efecto Doppler emite ondas sonoras con una frecuencia de 2 MHz que se tranmiten con una velocidad en el cuerpo humano de 1540 m/s. Sabiendo que la densidad de la sangre es 1.16 veces la de la grasa, calcular que porcentaje de la intensidad de la onda se refleja en una superficie entre grasa y sangre. Si la sangre se aleja con una velocidad radial de 0,1 m/s, ¿qué cambio en la frecuencia se medirá?