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José Luis Hernández Pérez, Madrid 2010

1

Problemas de Las Olimpiadas

Internacionales De Física

José Luis Hernández Pérez

Madrid 2010


2

XLI.- OLIMPIADA INTERNACIONAL DE FÍSICA. CROACIA. 2010

PROBLEMA 1

IMAGEN DE UNA CARGA SOBRE UN OBJETO METÁLICO

Introducción.- Método de las imágenes.

Si se coloca una carga puntual q en las proximidades de una esfera

metálica unida a tierra de radio R (ver figura 1a), sobre la esfera aparece

una carga inducida. Calcular el campo y el potencial de esta carga

inducida puede ser una tarea formidable. No obstante el cálculo se

simplifica notablemente utilizando el método de las imágenes.

Con este método el campo y el potencial producido por la carga

distribuida sobre la esfera pueden calcularse por el campo y el potencial

que crea una carga puntual q´, colocada en el interior de la esfera (esto

no hay que demostrarlo).

Nota.- El campo eléctrico de la carga imagen q´ reproduce el campo y

el potencial solamente fuera de la esfera (incluida su superficie).

Fig.1(a).- Una carga q puntual esta situada en la proximidad de una esfera metálica unida a tierra. Fig.1(b) El campo eléctrico de la carga inducida sobre la esfera puede representarse por el campo eléctrico de la carga imagen q´.

Cuestión 1. La carga imagen

La simetría del problema conduce a que la carga q´ debe colocarse en la

línea que une la carga q con el centro de la esfera. Ver figura 1(b).

a) ¿Cuál es el valor del potencial de la esfera?

Teniendo en cuenta que la esfera está unida a tierra su potencial es V=0


3

b) Expresar q´ y la distancia d´ de la carga q´ al centro de la esfera, en

función de q , d y R.

Escogemos dos puntos de la esfera designados con M y N (ver figura 1(c).

Los potenciales en M y N son la suma de los potenciales que crean la carga q y la carga

imagen q´.

)2(d´R

Rd

q´

q0

d´R

q´

επ4

1

Rd

q

επ4

1V

)1(d´R

Rd

q´

q0

d´R

q´

επ4

1

Rd

q

επ4

1V

oo

N

oo

M

De (1) y (2)

)3(

2R2dd´d´RRdd´dRd´RRdd´dRd´R

Rd

d´R

Rd 222

d

Rd´

2

Sustituyendo (3) en (1)

)4(RdR

Rdd

d

RR

Rd

q´

q2 d

Rqq´

Las soluciones (3) y (4) tienen que ser válidas para cualquier otro punto de la esfera.

Escogemos un punto cualquiera Z que forma un ángulo entre el radio y el eje

horizontal. Ver figura 1(d).

Fig.1(c)


4

0Rcosθ2ddR

1

Rcosθ2dRd

1

επ4

qV

θsenRθcosd

R2θcosR

d

R

R

d

1

2dRcosθRd

1

επ4

q

senθRcosθRd

R

d

R

senθRcosθRd

1

επ4

qV

TZOTOPPZ;TZOTOSSZ;PZ

q´

επ4

1

SZ

q

επ4

1V

2222o

Z

223

22

2

4

2

222o

2

22

22o

Z

2222

oo

Z

c) Encontrar el módulo de la fuerza que actúa sobre q ¿Es la fuerza

repulsiva?

222

2

o Rd

dRq

επ4

1F

2

2

2

o

2

o

d

Rd

d

Rq

επ4

1

d´d

q´q

επ4

1F (5)

Como una carga es positiva y la otra negativa la fuerza es de atracción entre las cargas.

Fig,1(d)


5

Cuestión 2. Apantallamiento de un campo electrostático

Considerar una carga puntual q colocada a una distancia d del centro de

una esfera metálica unida a tierra, de radio R. Estamos interesados en

cómo la esfera metálica unida a tierras afecta al campo eléctrico en A,

siendo A un punto del lado opuesto de la esfera, tal como se indica en la

figura 2.

El punto A está situado sobre la línea recta que une la carga q con el

centro de la esfera y a una distancia r de la carga

Fig.2.- El campo eléctrico en A esta parcialmente apantallado por la esfera unida a tierra.

a) Calcular el campo eléctrico en el punto A

En la figura 2(a), η

es un vector unitario dirigido desde q al centro de la esfera. El

campo eléctrico en A es la suma de los campos creados por las cargas q y q´.

Fig.2(a)


6

La distancia de q a A es r y la distancia de q´ a A es x:

x = d

Rdrd´RRdr

2

(6)η

d

Rdr

q´

επ4

1

r

q

επ4

1E

22

o

2

o

η

d

Rdr

d

Rq

επ4

1

r

q

επ4

1E

22

o

2

o

(6)

b) Cuando r>>d, calcular la expresión del campo eléctrico utilizando la

aproximación: 2a1a12

, siendo a<<1.

Si r es mucho mayor que d, podemos decir que r-d = r .Volviendo a la ecuación (6) y

considerando el módulo del campo, resulta:

)7(

r

d

R2q

επ4

1

r

d

Rq

επ4

1

r

q

επ4

1

r

dr

R21

d

qR

επ4

1

r

q

επ4

1E

rdr

R1

q´

επ4

1

r

q

επ4

1

d

Rr

q´

επ4

1

r

q

επ4

1E

3

2

3

o

2

o

2

o

2

2

o

2

o

22

o

2

o

22

o

2

o

3

2

3

o

2

o r

d

R2q

επ4

1

r

d

R1q

επ4

1E

b) ¿Para qué limite de d, la esfera metálica unida a tierra apantalla el

campo de la carga q completamente, de tal modo que el campo en el

punto A es exactamente cero?

Si nos fijamos en la ecuación (6) la posibilidad de que el campo se anule en A ocurre

para d=R.

Cuestión 3. Oscilaciones pequeñas en el campo eléctrico de la esfera

metálica unida a tierra.

Una carga puntual q de masa m está suspendida de una cuerda de

longitud, L la cual está, por el extremo libre, sujeta a una pared, en las

proximidades de la esfera metálica unida a tierra. Se ignoran los efectos

electrostáticos de la pared. La carga puntual es un péndulo matemático

(ver la figura 3). La distancia entre el centro de la esfera y el punto en

que la cuerda L está sujeta a la pared es l. Se desprecia la gravedad.


7

Fig.3.- Una carga puntual situada en las proximidades de una esfera metálica unida a tierra oscila como un péndulo

a) Encontrar el módulo de la fuerza eléctrica que actúa sobre la carga q

para un determinado ángulo e indicar su dirección mediante un

diagrama.

En la cuestión (1) hemos visto que d

Rqq´ y

d

Rd´

2

.En la figura 3(a) se indica

la posición de la carga q´. La distancia d =ON y la distancia d´ es desde O a la carga q´.

La fuerza que actúa sobre q es una fuerza de atracción, cuyo módulo vale:

)8(

d

Rd

d

Rq

επ4

1

d´d

q´q

επ4

1F

222

2

o

2

o22

2

o Rd

dRq

επ4

1F

Fig. 3(a)


8

En la figura 3(b) se ha dibujado la fuerza F

y dos componentes, uno en la dirección de

la cuerda y otro en dirección perpendicular a la cuerda.

Teniendo en cuenta que q se comporta como un péndulo matemático el ángulo es

pequeño y también lo es el .

b) Determinar la componente perpendicular a la cuerda L de la fuerza

F

en función de l, L , R , q y .

De la figura 3(b) se deduce que el módulo de la componente perpendicular a la cuerda

es.

γsenFFP

Observando la figura 3(b) se deduce que: γβα

De la figura 3(a) se deduce:

αLcosl2LlαsenLαLcoslMNOMd 222222 (9)

Si el ángulo es muy pequeño su coseno es prácticamente uno y por tanto:

Lld (10).

Llevando (9) a la ecuación (8):

βαsen

RαcosLl2-Ll

αcosLl2LlRq

επ4

1F

βαFsenFRαcosLl2-Ll

αcosLl2LlRq

επ4

1F

2222

222

o

P

P2222

222

o

Fig. 3(b)


9

Volviendo a la figura 3(a): αsenLβsendL

MNαsen;

d

MNβsen .Si los

ángulos y son pequeños resulta:

αcosLl2Ll

αL

d

αLβ

22 (11)

αcosLl2Ll

αLsenoarcoαsen

RαcosLl2Ll

αcosLl2LlRq

επ4

1F

222222

222

o

P (12)

c) Encontrar la frecuencia para pequeñas oscilaciones del péndulo.

A partir de la ecuación (8)

βαsen

Rd

dRq

επ4

1γsen

Rd

dRq

επ4

1F

Rd

dRq

επ4

1F

222

2

o

222

2

o

P222

2

o

Aplicamos la ecuación (11)

Kαα

d

L1

Rd

dRq

επ4

1F

d

αLα

Rd

dRq

επ4

1βα

Rd

dRq

επ4

1βαsen

Rd

dRq

επ4

1F

222

2

o

P

222

2

o

222

2

o

222

2

o

P

El momento de FP respecto al punto donde la cuerda está atada a la pared es:

αLKM

El periodo de oscilación es:

)13(

Lmεπ4

LdR

Rd

q

π2

1

T

1f

LdR

Lmεπ4

q

Rdπ2

LRqdRq

LmRdεπ4π2T

d

L1

Rd

dRq

επ4

1

Lmπ2

K

Lmπ2

LK

Lmπ2

LK

Iπ2T

o22

o

22

22

222

o

222

2

o

2

Lmεπ4

lR

RLl

q

π2

1f

o22


10

Cuestión 4. La energía electrostática del sistema

En una distribución de cargas eléctricas es importante conocer la energía

del sistema. En nuestro problema (ver la figura 1(a)) existe una

interacción electrostática entre la carga externa q y las cargas inducidas

en la esfera y una interacción electrostática entre las mismas cargas

inducidas en la esfera. En función de la carga q , radio de la esfera R y la

distancia d , calcular las siguientes energías electrostáticas

a) La energía electrostática entre la carga q y las cargas inducidas en la

esfera

b) La energía electrostática de interacción entre las cargas de la esfera

c) La energía electrostática total de la interacción en el sistema.

Ayuda: .Existen diferentes formas de resolver la cuestión:

1) Una de ellas es utilizar la siguiente integral

2R

2d

1

2

1

d 2R

2x

dxx

2) Utilizar el hecho de que una colección de N cargas localizadas en los puntos ri,

siendo i=1.2.3 …..N, la energía electrostática es la suma sobre todos los pares de

cargas

jrir

jqiqN

1i

N

ji

1j oεπ4

1

2

1V

c) Supongamos inicialmente que la carga q y la esfera metálica se encuentran a distancia

infinita entre sí. En esta situación la esfera está descargada. Si se acerca la carga q a la

esfera sobre ésta aparecen cargas inducidas, estas cargas son tanto mayores cuando más

cerca se encuentre la carga q de la esfera.

En la figura 4(a) la carga q se encuentra a una distancia x del centro de la esfera y sobre

ésta aparecen cargas inducidas, estando las negativas más cerca que las positivas. Esto

supone que entre la carga q y las cargas inducidas existe una fuerza neta atractiva.

En la figura 4(a) se indica la situación inicial, una intermedia y la final.


11

Nos fijamos en la situación intermedia

En ese instante la carga imagen esta designada por qx y situada a una distancia dx del

centro de la esfera .De acuerdo con lo que se dedujo en la cuestión (1):

x

Rd;

x

Rqq

2

xx

La fuerza de atracción entre la carga q y la carga imagen qx vale:

222

2

o2

2

o Rx

xRq

επ4

1

x

Rx

x

Rq

επ4

1F

Si la carga q se acerca a la esfera una distancia dx, el trabajo es:

22

2

o

22

2

o

22

2

o

22

2

o

22

2

o

Rd

Rq

επ4

1

2

1dx

Rx

xRq

επ4

1dx

Rx

xRq

επ4

1W

dxRx

xRq

επ4

1ηdx η

Rx

xRq

επ4

1xdFdW

d

d

Fig.4(a)


12

La energía es negativa ya que si quisiésemos llevar q al infinito habría que aportar

energía desde fuera del sistema para que al llegar q al infinito su energía fuese nula.

a) La energía de interacción entre la carga q y las inducidas en la esfera se calcula

teniendo en cuenta el valor de la carga imagen en la posición final de la figura 4(a).

El potencial creado por la carga imagen q´ a una distancia d-d´ vale: d´d

q´

επ4

1V

o ,

y la energía de interacción

22

2

oo

´

Rd

Rq

επ4

1

d´d

q´q

επ4

1E

b)

22

2

o

22

2

o

22

2

o Rd

Rq

επ4

1

2

1E´´E´´

Rd

Rq

επ4

1

Rd

Rq

επ4

1

2

1


13

FÍSICA DE UNA CHIMENEA

PROBLEMA 2

Introducción Los productos gaseosos procedentes de una combustión son arrojados a

la atmosfera de temperatura Tair mediante una chimenea de sección A y

altura h, (ver la figura 1). La materia sólida se quema en un horno a una

temperatura TSmoke.=Thum. . El volumen de gases producidos por unidad

de tiempo en el horno se designa con B.

Fig 1.- Esquema de la chimenea de altura h con un horno a la temperatura TSmoke=Thum

Se supone:

*La velocidad de los gases dentro del horno es despreciable

*La densidad de los gases (humos) no es diferente de la del aire a la

misma presión y temperatura. En el horno los gases pueden considerarse

como ideales.


14

*La presión del aire varía con la altura de acuerdo con la ley de la

hidrostática. La variación de la densidad del aire con la altura se

desprecia.

*El flujo de gases se rige por la ecuación de Bernoulli

constantep(z)ρgz(z)2ρv2

1

es la densidad del gas, v(z) su velocidad, p(z) su presión, siendo z la

altura

* La variación de la densidad del gas a lo largo de la chimenea es

despreciable.

Cuestión 1.

a) ¿Cuál es la altura mínima de la chimenea para que funcione

correctamente, esto es, que arroje a la atmosfera todos los gases que se

producen en el horno? Expresar el resultado en función de B, A, Tair, g =

9,81 m/s2, T=Thum-Tair.

Importante: En las siguientes cuestiones se supone que la altura

mínima es la altura de la chimenea.

Aplicamos la ecuación de Bernoulli en la parte alta de la chimenea y a una altura h=0

pero justamente dentro del horno. Según el enunciado la velocidad del gas dentro del

horno es nula, por tanto el primer término de la ecuación es nulo. El segundo también es

nulo puesto que el valor de z es cero.

(0)p(h)phgρ(h)vρ2

1humhumhum

2

humhum

Para que la chimenea pueda evacuar los humos, la presión de éstos en la parte más alta

de la chimenea debe ser como mínimo igual o mayor que la presión del aire exterior.

La presión del gas en la parte inferior de la chimenea debe ser prácticamente igual a la

presión del aire a la altura cero para que los gases puedan ascender por la chimenea.

(0)p(h)phgρ(h)vρ2

1airairhum

2

humhum

Del enunciado se deduce que para el aire hgρ(0)p(h)p airaireaire

Sustituyendo en la ecuación anterior:

(1)0ghρ-hgρ(h)vρ2

1

(0)phgρ-(0)phgρ(h)vρ2

1

air hum

2

humhum

airairairhum

2

humhum

El caudal de gases que deben salir por la chimenea B es el producto de A.vhum (h) de

donde


15

A

Bh)(vhum

Aplicamos la ecuación de los gases ideales

air

hum

hum

air

airairhumhumairairhumhumT

T

ρ

ρTρTρRTρp(0);RTρp(0)

Sustituyendo las dos últimas expresiones en (1)

)2(

TTgA2

TB

1T

TgA2

Bh

1ρ

ρgA2

B

ρρg

ρA

B

2

1

h0ρρghA

Bρ

2

1

airhum

2

aire

2

air

hum2

2

hum

air2

2

humair

hum2

2

airhum2

2

hum

ΔTgA2

TBh

2

aire

2

b) Suponer que se edifican dos chimeneas que sirvan para el mismo

propósito. Sus secciones son iguales, pero una estará en una región fría

donde la temperatura del aire exterior es -30ºC, y la otra en una región

caliente con temperatura exterior de +30ºC. La temperatura del horno es

400ºC. Se calcula que la chimenea de la región fría debe tener una

altura mínima de 100 metros ¿Cuál debe ser la altura mínima de la

chimenea en la región caliente?


m150hcal

1,5370243

430303

30(273273)400gA2

30)(273B

30(273273)400gA2

30273B

h

h

2

2

2

2

fría

cal

c) ¿Cómo varía la velocidad de los gases a lo largo de la columna? Hacer

un esquema-diagrama suponiendo que la sección de la chimenea no

cambia con la altura. Indicar el punto donde los gases entran en la

chimenea.

A partir de la ecuación (1) despejamos la velocidad


16

)3(

1ρ

ρhg2

ρ

ρρhg2v0ρρghvρ

2

1

hum

air

hum

humairhumairhum

2

humhum

1T

Thg2v

air

hum

La ecuación (3) nos indica que la velocidad es constante.

La velocidad en el horno es nula (según el enunciado) y por tanto en la interfase entre la

chimenea y el horno se produce un salto discontinuo de la velocidad pues pasa de cero a

la dada por (3).

d) ¿Cómo varía la presión de los gases a lo largo de la altura de la

chimenea?

Aplicamos la ecuación de Bernoulli a las alturas de la chimenea h y z<h.

(z)pzgρ(h)phgρ

(z)pzgρ1ρ

ρhg2ρ

2

1(h)phgρ1

ρ

ρhg2ρ

2

1

(z)pzgρ(z)vρ2

1(h)phgρ(h)vρ

2

1

humhumhumhum

humhum

hum

air

humhumhum

hum

air

hum

humhum

2

humhumhumhum

2

humhum

La presión del gas a la altura h es igual a la presión del aire a esa altura

hgρp(0)(h)php airairhum

zgρρρhgp(0)(z)p humhumairhum

zgρhgρhgρp(0)(z)p

(z)pzgρhgρp(0)hgρ

humhumairhum

humhumairhum

PLANTA DE POTENCIA SOLAR

El flujo de gases que circula por la chimenea puede utilizarse para

construir una planta de producción eléctrica aprovechando la energía

solar. La idea se ilustra en la figura 2.


17

El Sol calienta el aire que se encuentra bajo el colector de área S, el cual

se encuentra abierto por su periferia para así permitir un flujo continuo

de entrada de aire. A medida que el aire caliente penetra en la chimenea

(flechas delgadas continuas en la figura 2) nuevo aire frío penetra en el

colector procedente de los alrededores (flechas discontinuas de la figura

2) estableciéndose un flujo continuo de aire El flujo de aire de la

chimenea mueve una turbina la cual produce energía eléctrica. La

energía solar por unidad de tiempo y por unidad de área horizontal del

colector es G. Se supone que toda esa energía se emplea en calentar el

área del colector (la capacidad calorífica másica del aire es c y se

desprecia su variación con la temperatura). Definimos la eficacia de la

chimenea solar como el cociente entre la energía cinética del flujo

gaseoso y la energía solar empleada en calentar el aire antes de penetrar

en la chimenea.

Fig 2.- Bosquejo de una planta solar

Cuestión 2.

a) ¿Cuál es la eficacia de la chimenea en la planta solar?


18

Designamos con TA la temperatura del aire fuera de la chimenea y del colector. A es el

área de la sección horizontal de la chimenea. Supongamos que por la chimenea penetra

una masa de aire caliente de masa m en un tiempo t y con una velocidad v. El volumen

de esa masa de aire es un cilindro de base A y altura v t, siendo su masa

calρΔtvAm , siendo cal la densidad del aire caliente. La energía cinética es:

A

cal

2

CT

TΔ.2ghρΔtvA

2

1vm

2

1E

Se ha sustituido la velocidad por la ecuación (3), siendo T= (Taire caliente – TA) y h la

altura de la chimenea. La potencia debida a esta energía es:

A

calCT

ΔThg2ρvA

2

1P

La masa de aire caliente ha sido calentada por el Sol durante un tiempo t, siendo la

potencia comunicada por el astro

ΔTcρvAtΔ

ΔTespecíficocalormasaP calS

La eficacia es:

ΔTc

hgη

ΔTcρvA

T

ΔThgρvA

P

Pη

cal

A

cal

S

C (4)

b) Indique cómo varia la eficacia con la altura de la chimenea

La ecuación (4) indica que aumenta directamente con la altura de la chimenea e

inversamente con T.

EL PROTOTIPO DE PLANTA DE MANZANARES

La chimenea instalada en la localidad de Manzanares (España) tiene un

altura h=195 metros y un radio de 5 metros. El colector es un círculo de

244 metros de diámetro. El calor específico del aire en las condiciones de

trabajo de la instalación es 1012 J/kgK, la densidad del aire caliente 0,9

kg/m3 y la temperatura exterior a la instalación TA = 295 K. La potencia

solar por unidad de superficie horizontal 150 W/m2 durante los días

soleados.

Cuestión 3.

a) ¿Cuál es la eficacia de la planta prototipo de manzanares?


19


0,64%η

0,0064

2951012

1959,8

Tc

hgη

A

b) ¿Qué potencia puede obtenerse en la citada planta?

kW45 W4,5.104

244π1500,0064SGηP 3

2

c) ¿Cuánta energía se produce en la planta en un día soleado?

Soldehoras45E

Cuestión 4.

a) Deducir la expresión de la elevación de la temperatura entre el aire

que penetra en la chimenea (aire caliente) y el aire que procede de los

alrededores del sistema (aire frío). Calcular el valor numérico para el

prototipo de la planta solar de Manzanares.

Designamos con t el tiempo que tarda en llenarse completamente la chimenea de la

planta de aire caliente. Teniendo en cuenta la velocidad de entrada en la chimenea del

aire caliente resulta:

AT

ΔThg2

h

v

hΔt

La masa del aire contenido en la chimenea: calρhAm .La energía necesaria para

calentar ese aire es:

ΔTcρhAΔTcmE cal

Esta energía la ha suministrado la radiación solar

)5(TSGΔTcρAhg2

T

ΔThg2

SGΔTcρA

T

ΔTh g2

hSGΔtSGΔTcρhAΔTcmE

A

22322

cal

2

A

22222

cal

2

A

cal

3cρAhg2

TSGΔT

22

cal

2

A

22



20

K9

3

10120,95π1959,82

2954

244π150

ΔT2222

22

2

a) ¿Cuál es el flujo de aire másico a través del sistema?

El caudal volumétrico es el producto de la sección de la chimenea por la velocidad y el

caudal másico es el producto del caudal volumétrico por la densidad.

s

kg763 0,9

295

91959,825πρ

T

ΔThg2.RπCaudal 2

cal

A

2


21

MODELO SENCILLO DEL NÚCLEO ATÓMICO

PROBLEMA 3

Introducción Aunque el núcleo atómico es un objeto de tratamiento cuántico ciertas

propiedades (el radio y la energía de enlace, se deducen a partir de

suposiciones simples:1) Los núcleos están formados por nucleones

(protones y neutrones);2) La fuerza nuclear fuerte mantiene unidos a los

nucleones actuando ésta a una distancia muy pequeña (actúa solamente

entre nucleones vecinos); 3)el número de protones Z de un determinado

núcleo es aproximadamente igual al de neutrones N, esto es

Z=NA/2,siendo A el número de nucleones(A>>1). Se utiliza esta

expresión en las cuestiones 1 a 4.

Cuestión 1. El núcleo átómico como un paquete cerrado de nucleones

Según un modelo simple un núcleo atómico puede considerarse como

una bola en la que los nucleones se encuentran fuertemente

empaquetados, juntos unos con otros, (ver la figura 1a) .Los nucleones se

consideras como esferas duras de radio rN=0,85 fm (1 fm = 10-15

m).

La fuerza nuclear actúa solamente entre dos nucleones en contacto. El

volumen del núcleo V es mayor que el propio volumen de todos los

nucleones AVN , siendo 3rπ3

4V NN . El cociente

V

AVf N se denomina

factor de empaquetamiento y representa el porcentaje ocupado por la

materia nuclear

Fig 1(a).- El núcleo atómico es una esfera formada por nucleones fuertemente empaquetados. Fig (2). El empaquetamiento cúbico simple.


22

a) Calcular el factor f si los nucleones se sitúan en un empaquetamiento

“cúbico simple” en el que cada nucleón ocupa el centro de un cubo,

replicándose este cubo en las tres direcciones del espacio.

En cada cubo (celdilla) se sitúa un nucleón que es una esfera de radio rN y que hace

contacto con cada una de las seis caras del cubo, por tanto, la arista del cubo vale:

a=2 rN, lo que implica que el volumen de una celdilla es: 3

N

3

C r8aV y como

existen A celdillas resulta:

0,526

π

3

N

3

N

C

N

r8

rπ3

4

AV

AVf

b) Estimar la densidad masa promedio m ., la densidad de carga c y el

radio R para un núcleo que posee A nucleones. La masa promedio de un

nucleón es 1,67.10-27

kg.

3

17

m

kg3,40.10

315

27

C

m

0,85.108

1,67.10

VA

nucleónundemasaA

Volumen

núcleodelMasaρ

3

25

m

C1,63.10

315

19

C

m

0,85.108

1,6.100,5

VA

eA2

1

Volumen

núcleodelCargaρ

El volumen de un núcleo de radio R es: 3Rπ3

4 y es igual al volumen de A celdillas

fmA1,06 3

3

33 A

0,52

0,85R

f

ArR

f

rπ3

4A

f

VAA.VRπ

3

4N

3

NN

C

3

Cuestión 2. Energía de enlace del núcleo atómico

La energía de enlace de un núcleo es la requerida para separar los

nucleones. Esencialmente el proceso supone vencer la fuerza de

atracción entre cada nucleón y su vecino. Si un nucleón se encuentra en

el interior del núcleo contribuye a la energía total de enlace con av= 15,8

MeV(1 MeV=1,602.10-13

J), pero si el nucleón esta ubicado en la

superficie del núcleo su contribución es solamente av/2.

Expresar la energía de enlace Eb de un núcleo en función de A, av, y f

incluyendo la corrección de superficie.

El núcleo es una esfera de radio R. Los nucleones que están en la superficie ocupan un

volumen limitado entre la esfera de radio R y la esfera de radio R-2 rN (ver la figura

2(a)).


23

3

N

2

NN

2

P

2

NN

23

N

333

N

3

P

r3

4r2RrRπ8V

rR12rR6r8Rπ3

4Rπ

3

42rRπ

3

4Rπ

3

4V

Sea N el número de nucleones que existen en el volumen VP. Si cogiésemos las esferas

que ocupan el volumen Vp y las pusiésemos en fila, ocuparían una longitud L y el

ancho sería 2rN y el alto 2rN. La longitud L = N*2rN

π3

4

r

R2π

r

Rπ

r8

r3

4rR2rRπ8

N

r3

4rR2rRπ82r2rr2N2r2rLV

N

2

N

2

3

N

3

N

2

NN

2

3

N

2

NN

2

NNNNNP

Sustituimos el valor de 3

f

ArR N

4,1888A7,79554,8359Aπ3

4A

6

π

π2A

6

π

ππ

3

4

f

2Aπ

f

AπN 3

1

3

2

3

1

3

1

3

2

3

2

3

1

3

1

3

2

3

2

Fig 2(a)


24

Energía de enlace

MeV33,0961,58AA38,20A15,8E 3

1

3

2

b

15,8π3

2A

6

π

15,8πA

6

π2

15,8π15,8AE

aπ3

2-A

f

aπA

f2

aπ-Aa

2

aNaA

2

aNaNAE

3

1

3

1

3

2

3

2b

v3

1

3

1

v3

2

3

2

v

v

v

v

v

vb

Cuestión 3. Efecto electrostático sobre la energía de enlace

La energía electrostática de una esfera de radio R y carga Qo es:

Roεπ20

2oQ3

eU , siendo 2mN

2C128,85.10oε

a) Aplicar esta formula para obtener la energía electrostática del núcleo.

En un núcleo cada protón no actúa sobre si mismo, solamente lo hace

con el resto de los protones. Para tener esto en cuenta debe reemplazarse

Z2 por Z(Z-1) en la formula que se obtenga. Utilice esta corrección en

las siguientes cuestiones.

MeV

JA6,56.10A3,28.1012

AA6,56.10U

12

AA

0,85.108,85.10π40

1,602.106

3

rεπ40

e12

AAf3

Arεπ20

fe12

A

2

A3

U

Arεπ20

fe1ZZ3U

Rεπ20

e1ZZ3U

Rεπ20

eZ3U

3

2

143

5

143

2

14

e

3

2

1512-

2193

1

No

23

2

3

1

3

1

No

3

1

2

e

3

1

No

3

1

2

e

o

2

e

o

2

e

3

2

3

5

e 0,409A0,205AU

b) Escriba la formula completa de la energía de enlace incluyendo el

término principal, la corrección de superficie y la corrección

electrostática


25

3

2

No

23

1

3

5

No

23

1

v3

1

3

1

v3

2

3

2

vvb

No

23

2

3

1

v3

1

3

1

v3

2

3

2

vv

ev3

1

3

1

v3

2

3

2

vvb

Arεπ40

ef3A

rεπ80

ef3

3

aπ2A

f

aπA

f2

aπAaE

rεπ40

e12

AA3f

3

aπ2A

f

aπA

f2

aπAa

U3

aπ2A

f

aπA

f2

aπAaE

Cuestión 4. Fisión de núcleos pesados

La fisión es un proceso nuclear mediante el cual un núcleo se divide en

partes más pequeñas (núcleos ligeros). Suponer que un núcleo con A

nucleones se divide en dos núcleos iguales como se indica en la figura 4.

Fig 4.- Descripción esquemática de la fisión nuclear en nuestro modelo

a) Calcular la energía cinética total de los productos de la fisión EC

cuando los centros de los núcleos ligeros están separados una distancia

d

2

A2R siendo

2

AR su radio. El núcleo mayor se encuentra

inicialmente en reposo.

Calculamos en primer lugar la diferencia siguiente: 2 bb E2

AE


26

3

2

3

2

No

23

1

3

5

3

5

No

23

1

v3

1

3

1

v3

2

3

2

3

2

3

2

vb

3

2

No

23

1

3

5

No

23

1

v3

1

3

1

v3

2

3

2

vvb

A

2rεπ20

ef3A

2rεπ40

ef3

3

aπ4A

f

aπ2A

2f

aπaA

2

A2E

2

A

rεπ40

ef3

2

A

rεπ80

ef3

3

aπ2

2

A

f

aπ

2

A

f2

aπa

2

A

2

AE

v

40

1

220

1A

rεπ

ef3

80

1

240

1A

rεπ

ef3

3

aπ212A

f

aπ

2

1

2

1A

f

aπE

2

A2E

Arεπ40

ef3A

rεπ80

ef3

3

aπ2A

f

aπA

f2

aπAa

-A

2rεπ20

ef3A

2rεπ40

ef3

3

aπ4A

f

aπ2A

2f

aπaAE

2

A2E

3

2

3

2

No

23

1

3

5

3

5

No

23

1

v3

2

3

1

3

1

v

3

2

3

2

3

2

v

bb

3

2

No

23

1

3

5

No

23

1

v3

1

3

1

v3

2

3

2

v

v

3

2

3

2

No

23

1

3

5

3

5

No

23

1

v3

1

3

1

v3

2

3

2

3

2

3

2

v

vbb

Calculamos la energía potencial eléctrica de los dos núcleos ligeros a la distancia d.

3

5

N3

2

23

1

o3

1

N3

1

3

2

22

o

P

3

1

N3

1

3

2

N

22

o

22

o

2

o

P

A

r216

ef

επ4

1

Arf216

eA

επ4

1E

Arf2f

2

A

2r2R´d;d16

eA

επ4

1

d

e4

Z

επ4

1

d

q

επ4

1E

3

3

5

N3

2

23

1

o3

2

3

2

No

23

1

3

5

3

5

No

23

1

v3

2

3

1

3

1

v

3

2

3

2

3

2

vC

A

r216

ef

επ4

1

40

1

220

1A

rεπ

ef3

80

1

240

1A

rεπ

ef3

3

aπ212A

f

aπ

2

1

2

1A

f

aπE

Sustituimos valores en la ecuación anterior


27

eV0,05378J.106155,8

0,85.10216

1,602.106

π

8,85.10π4

1

0,106540

1

220

116,3910;0,07582

80

1

240

116,3910

eV16,3910J2,6258.100,85.108,85.10π

1,602.106

π3

33,0913

15,8π2;36,17512

6

π

15,8π;9,930

2

1

2

1

6

π

15,8π

15

153

2

2193

1

12

3

2

3

5

12

1512

2193

1

3

2

3

1

3

2

3

2

3

5

3

1

3

2

b 0,0220A33,0936,18A9,82AE

3

5

3

1

3

2

b

3

5

3

2

3

5

3

1

3

2

b

0,02204A33,09136,175A9,8235AE

0,05378A0,1065A0,07582A33,09136,175A9,930AE

b) Evaluar EC obtenido en el apartado a) para A =100, 150, 200, 250.

Estimar el valor de A para el que la fisión es posible de acuerdo con el

modelo propuesto.

Eb(A=100)=-29,3;Eb(A=150)=-24,9;Eb(A=200)=--6,9;Eb(A=250)=+23,4

La fisión se producirá cuando la energía cinética sea mayor que cero, luego A será

mayor que 200 y menor que 250.

Con la hoja de cálculo se ha representado la energía cinética frente al número másico

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

0 50 100 150 200 250 300

número másico, A

En

erg

ía c

inéti

ca


28

Cuestión 5. Reacciones de transferencia

a) En la física moderna la energética del núcleo y sus reacciones se

describen en términos de masas. Por ejemplo si un núcleo con velocidad

nula se encuentra en un estado de energía excitada Eexc por encima de su

energía fundamental su masa es: 2c

Eomm exc , siendo mo la masa en

reposo de la partícula. La reacción nuclear

Ni58C12Fe54O16

Constituye un ejemplo de las llamadas ¨reacciones de transferencia¨ , en

las que una parte de un núcleo (agrupamiento) se transfiere a otro ( ver

la figura 5). En nuestro ejemplo la parte transferida es una partícula .

La reacción de transferencia ocurre con la máxima probabilidad si la

velocidad de un producto de la reacción, en el ejemplo el 12

C, es igual en

módulo, dirección y sentido con la velocidad del proyectil incidente, en

nuestro caso el 16

O. El blanco (54

Fe) se encuentra inicialmente en

reposo. En la reacción el Ni se forma en un estado excitado.

Encontrar su energía de excitación, expresada en eV, si la energía

cinética del proyectil 16

O es 50,0000 MeV. La velocidad de la luz es

c=2,99792.108 m/s.

Masas en reposo de los reactivos y productos de la reacción

m(16

O)=15,99491 uma ; m(54

Fe)=53,93962 uma; m(12

C)=12,00000 uma;

m(58

Ni)=57,93535 uma ; 1 uma =1,6605.10-27

kg.

Fig 5.- Esquema de una reacción de transferencia

En primer lugar calculamos el Q de la reacción


29

uma0,000820Q

57,9353512,00000-53,9396215,99491m(Ni)m(C)m(Fe)m(O)Q

MeV0,7638J1,2237.10Q

)(2,9979.101,6605.100,000820.c1,6605.100,000820.Q

13

2827227

Calculamos la velocidad del 16

O empleando la física clásica

s

m2,4561.10v(C)v(O)

(O)v1,6605.1015,994912

11,6022.1050,0000

7

22713

Hacemos el mismo cálculo empleado la física relativista

22

0c

42

0

2

2

2

0c

2

0

2

2

2

o

2

0c

cmE

cm1cv

c

v1

cmE

cm1

c

v1

1cmcmmE

s

m2,4496.10

5,7363.10

5,6980.101cOv

5,7363.102,99792.101,6605.1015,994911,6022.1050,0000cmE

5,6980.102,99792.101,6605.1015,99491cm

7

18

18

1828271322

oc

184822742

0

La diferencia es algo menor del 0,3 %

Aplicamos a la reacción el principio de conservación de la cantidad de movimiento

s

m1,6936.10

57,93535

12,0000015,994912,4561.10

m(Ni)

m(C)m(O)v(O)v(Ni)

v(Ni)m(Ni)v(O)m(C)m(O)v(O)v(Ni)m(Ni)v(C)m(C)m(O)v(O)

67

Calculamos las energías cinéticas del carbono y del níquel

MeV8611,0J.103797,11,6936.101,6605.1093535,752

1(Ni)E

MeV37,5116J6,0101.102,4561.101,6605.1012,000002

1(C)E

132627

C

122727

C

MeV10,864

50,00000,861137,51160,7638(Ni)E

(O)E(Ni)E(C)EQ(Ni)E(O)E(Ni)E(Ni)E(C)EQ CCCCCC


30

b) El núcleo de 58

Ni se encuentra en un estado excitado y pasa al estado

fundamental emitiendo radiación gamma en la dirección y sentido de su

movimiento. Considerar este proceso en el sistema de referencia en el

cual el 58

Ni se encuentra en reposo. Encontrar su energía de retroceso,

esto es, la energía cinética que adquiere el 58

Ni después de la emisión del

fotón. ¿Cuál es la energía del fotón en ese sistema de referencia?, esto es,

la energía del fotón medida con un detector que esté colocado en la

dirección sobre la cual se mueve el 58

Ni.

El fotón y el núcleo de Ni se mueven en la misma dirección pero en sentido contrario.

En el proceso existe conservación de la energía y del impulso.

(Ni)pp;Eγ(Ni)E(Ni)E retγret

Siendo c

Ep

γ

γ .

γret

γ

γretγγγ

γretretγretret

ENivc

E

2

1NiEENivp

2

1NiEEp

2

1NiE

ENiv(Ni)p2

1NiEENivNivm(Ni)

2

1NiE

Ahora recurrimos a que

c

EpNivm(Ni)

γ

γret

Sustituimos en la ecuación

MeV5,1362,9864,10EE(Ni)E

MeV362,9J1,500.102

1,7295.101,7292.10E

2

022.1010,864.1,61,7292.1041,7292.101,7292.10E

1,7292.102,99792.101,6605.1057,935352cNim2

2

NiEcNimi8c(Ni)m4cNim2-E

0NiEcNim2EcNim2EENim

E

c2

ENiE

γret

1288

γ

138288

γ

828272

2422

γ

2

γ

22

γγ

γ

2

γ

El efecto Doppler relativista es:


31

c

v1

c

v1

EE

c

v1

c

v1

ff γobsγobs

En la ecuación anterior v es la velocidad relativa del detector y el fotón y al acercarse v

es negativa

MeV9,41490,9944

1,005659,3621

2,9979.10

1,6936.101

2,9979.10

1,6936.101

9,3621E

8

6

8

6

obs

problemas de las olimpiadas internacionales de física olimpiada internacional 41.pdf · josé luis...

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