17, olimpiada internacional 17

Jos Luis Hernndez Prez, Agustn Lozano Pradillo, Madrid 2008

1

Problemas de Las Olimpiadas

Internacionales

De Fsica

Jos Luis Hernndez Prez

Agustn Lozano Pradillo

Madrid 2008


2

17 OLIMPIADA INTERNACIONAL DE FSICA. GRAN

BRETAA. 1986

1.-Una onda luminosa monocromtica de longitud de onda y frecuencia f incide normalmente sobre dos rendijas estrechas iguales,

separadas por una distancia d, tal como indica la figura 1.

La onda de luz emergiendo de cada rendija a una distancia x y para un

tiempo t viene dada por

xft2cosay

Siendo a la amplitud que es la misma para las dos ondas, (se supone que

x>>d)

1) Mostrar que las dos ondas observadas para un ngulo con la normal a las rendijas, tiene una amplitud resultante A, la cual se puede calcular

sumando dos vectores cada uno de ellos con un mdulo a y con una

direccin asociada, determinada por la fase de la onda de luz.

Verificar geomtricamente, a partir del diagrama vectorial, que

send

siendo,cosa2A

2) La doble rendija se sustituye por un red de difraccin con N rendijas

igualmente espaciadas, con una distancia d entre dos rendijas

consecutivas. Utilice el mtodo vectorial de sumar amplitudes, para

mostrar que los vectores amplitud, cada uno de mdulo a, forman parte

de un polgono regular con vrtice en un circulo de radio R de valor

sen2

aR

Deducir que la amplitud resultante es: sen

Nsenay obtener la diferencia

de fase relativa

d

d cos

Fig.1


3

3) Dibujar en la misma grfica, sen N y sen

1en funcin de . En otra

grfica mostrar como la intensidad de la onda resultante vara en

funcin de . 4) Determinar las intensidades de los mximos principales

5) Calcular el nmero de mximos principales

6) Mostrar que dos longitudes de onda y + , donde


4

2) El mtodo vectorial de sumar amplitudes es ir colocando vectores uno a continuacin del otro

con un ngulo entre ellos , como indica la figura 3

Veamos por qu el ngulo MON es igual a . En el tringulo MON (fig.3), se cumple

1802MON . En el tringulo MOS se cumple

MOS+2=2 MON+2=180.

Combinando ambas ecuaciones

2MON02MON

En el tringulo MON trazamos la bisectriz del ngulo que corta a MN a la mitad, por tanto:

sen2

a

2

sen2

aR

R

2

a

2

sen

La figura 4 es la misma que la 3, aunque simplificada. El ngulo MOT es 5OW es perpendicular a MT.

5sensen

a

2

5sen

sen2

a2A

2

5sen2RA

R

2

A

2

5sen

Fig.3


5

Para N rendijas la expresin anterior es:

)sen(Nsen

aA

Teniendo en cuenta que la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud

sen

NsenI

sen

NsenkakAI

2

2

o2

222 (1)

El ngulo fase que nos piden es en la figura 4.

Sustituimos el 5 por N.

2

N

2

222;

2

2

N

El ngulo buscado vale (figura 4)

Fig.4


6

1NN22

N

3) La grfica sen

1 tender a infinito cuando beta sea 0, 180 y en ese intervalo tendr valores

positivos; tender a infinito para 180 y 360 , pero sus valores sern negativos. La grfica sen

(N ) es una funcin senoidal.(fig.5).

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 200 400 600 800

ngulo beta/

1/s

en

o b

eta

;

sen

o (

N*b

eta

)

N=4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 60 120 180 240 300 360 420 480 540 600 660 720

ngulo beta/

(sen

o(N

))

2/(

sen

o

)2

Fig.5

Fig.6


7

N=10

-20

0

20

40

60

80

100

120

0 60 120 180 240 300 360 420 480 540 600 660 720

ngulo beta/

(sen

o(N

))

2/(

sen

o

)2

La figura 6 se ha realizado para N=4 y la figura 7 para N=10 . A medida que N aumenta los mximos

principales son ms agudos y menos destacados los secundarios.

4) La ecuacin (1) sen

NsenII

2

2

o nos da las intensidades en funcin de beta.El cociente

sen

Nsen2

2

indeterminado para los mximos, se puede calcular sustituyendo los senos por los

ngulos 2

2

2

N

N . La intensidad de los mximos es:

2

omax NII

5) Los mximos principales, recogidos en una pantalla lejana de la red, se producen cuando la diferencia

de marcha es un mltiplo entero de la longitud de onda, s en

dnns end , el valor

mximo de n est condicionado porque el seno no puede ser mayor que 1, y el nmero de mximos es

igual a los valores que puede tomar n=0,1,2

d .

Por ejemplo para una red de difraccin con 600 lneas por mm y empleando una luz de 5000 A

3,35000.10

600.

10

dm

600

10

600.mm

1d

10

3

3

1

El nmero de mximos es 4, que corresponde a los valores n=0,1,2,3

Fig 7


8

unidadlaquemayoressenoelqueyaimposiblees4npara

65,33,3

3

d

3sen3,npara

37,33,3

2

d

2sen2,npara

17,63,3

1

d

sen1,npara

0sen0,npara,d

nen

s

6) Diferenciamos la ecuacin

cosd

n

cosd

dnddndcosdnsend

rad5,2.10

1,2.10

589,0.1041

10

d

n1

10

sen1

10

cos1,2.10

0,6.102

3

26

29

3

2

22

3

2

3

6

9


9

2.-A principios de este siglo se propuso un modelo para la constitucin de

la tierra, consistente en una capa esfrica homognea slida isotrpica de

radio R, concntrica con ella existe un ncleo en estado lquido de radio

RC( ver figura 1).

Las ondas longitudinales (ondas P) y transversales (ondas S) de un

terremoto se propagan con velocidades constantes VP y VS por el manto

de la tierra. Por el ncleo se propagan solamente las ondas P con una

velocidad VCP


10

llegan a un observador X dependiendo de su situacin en la superficie

terrestre. Hacer un bosquejo del tiempo de viaje que emplean las ondas P

y S en funcin de para 90 .

4) Despus de un terremoto, un observador mide que el tiempo de

demora con que le llegan las ondas P y S es de 2 minutos y 11 segundos.

Deducir la separacin angular de este observador respecto del terremoto

(ngulo 2).

5 ) El observador del apartado 4 detecta que despus de la llegada de las

ondas P y S, su sismmetro registra la llegada de nuevas ondas P y S con

un intervalo entre ellas de 6 minutos y 37 segundos. Explicar este hecho

y verificar que el resultado es consistente con la posicin que ocupa el

observador.

En la figura 2, E indica la posicin del terremoto y X la del observador, siendo EX=L la

distancia en lnea recta entre ambos. EXO en un tringulo issceles de lados iguales a R.

S

S

P

PV

sen2Rty

V

sen2Rt

v

sen2Rt

R

2

L

sen;t

Lv

Si X ocupa una posicin tal que la recta L es tangente a la esfera del ncleo, las ondas le pueden

llegar directamente. Esa posicin marca precisamente el valor de 2 mximo, para valores inferiores a ese mximo las ondas P y S le llegan directamente al observador.

R

Rcosarco

R

Rcos CCmax

2) Una onda P que se genera en E se desplaza por el manto hasta llegar a la interfase manto-

ncleo donde se refracta siguiendo la ley de Snell

CP

P

V

V

rsen

isen (1)

Al llegar de nuevo a la interfase se vuelve a refractar. La marcha de este rayo se indica en la

figura 3, la cual se ha hecho a escala con los datos del problema.

E

X

2

L

O E

Xmax

2 max Lmax

Fig.2


11

De dicha figura se observan las siguientes relaciones entre los ngulos

2r

ii;

,22

En la mencionada figura se ha trazado la recta 12 que es perpendicular a OE

senRsenETR

WTsen;

ET

WTsen C

C

Aplicamos la regla de los senos en el tringulo EOT

sen

senRET

ET

sen

R

sen

De las dos ltimas ecuaciones:

isenR

Rsenoarcoiisen

R

Rsenoarcoisen

R

Rsenoarcoi

icomo;R

senRsensenRsen

sen

senR

CCC

CC

Como

isen

V

Vsenarco22r

P

CP

Fig.3


12

isenR

Rsenarcoisen

V

Vsenarcoi

2

isenR

Rsenarcoiisen

V

Vsenarco222

C

P

CP

C

P

CP

0,5456370

3470

R

R;0,831

10,85

9,02

V

V C

P

CP

isen0,545senarcoisen0,831senarcoi90 (2) Con ayuda de la calculadora damos valores a i en la ecuacin (2).

i=10, i=20,

i=30, i=40,

i=50, i=60,

i=70, i=80,

i=90, Los datos anteriores nos dicen que la funcin presenta un mnimo entre 50 y 60

i=55, i=56,

Tomaos como mnimo i=55 al cual corresponde = 75,6

La grfica frente a i es la figura 4.

74

76

78

80

82

84

86

88

90

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

ngulo de incidencia, i/

n

gu

lo

/

Fig.4


13

La figura 5 se ha dibujado a escala con el ngulo de incidencia mnimo de 55, al que

corresponde un ngulo 2 =2*75,6=151,2

Al punto X1 de la figura 5 le corresponde un ngulo

1142570,5456370

3470

R

Rcos maxmax

Cmax

Todos los observadores situados entre E y X1 y entre E y X4 pueden recibir ondas ssmicas

directas P y S. Los observadores situados entre X2 y X3 pueden recibir ondas P refractadas en el

ncleo.

Los observadores situados entre X1 y X2 y entre X3 y X4 no reciben ondas ya que segn la

grfica de la figura 4, cuando el ngulo de incidencia es mayor de 55 2>151,2 y cuando

i151,2.

Como las ondas P son ms veloces que las S, el tiempo de llegada a un lugar ser menor, las

ondas P que se refractan se propagan en le ncleo con menor velocidad que en el manto. Un

bosquejo del tiempo frente a est en la figura 6.

Fig.5


14

4) Designamos con L a la distancia que existe de E al punto X del observador

SP

SPPS

PS

PS

S

S

P

PVV

VVttL

V

1

V

1Ltt

V

Lt;

V

Lt

De la figura 7 se deduce:

17,820,1556,3110,8563702

6,3110,85131

VVR2

VVtt

R

2

L

sensP

SPPS

5) Al observador situado en X le llegan de forma directa, esto es, recorriendo el camino L las

ondas P y S. Pero tambin le llegan las ondas que inciden en la superficie de separacin manto-

ncleo y que se reflejan en ella y que por ello siguen el camino D+D=2D

E

X

L

2

Fig.6

Fig.7


15

De la figura 8 se deduce:

km19712

17,8sen63702sen2RL

R

2

L

sen

km29900,3296

985,5

19,24sen

2

L

DD

2

L

19,24sen;19,242823

985,5

TM

2

L

tag

km282334706293R-OMTM;km6293985,563702

LROM C

22

2

2

Designamos que en el lugar en que se produce el terremoto t=0. Los tiempos que tardan en

llegar las ondas P y S a X siguiendo el camino D+D son:

km2993

4,542

6,3110,85397

VV2

VV397D

VV2DVV397V

2D

V

2Ds3976min37sTT

V

2DT;

V

2DT

SP

PS

SPPS

PS

PS

S

S

P

P

L

E

X

D

D

O

M T

Fig.8


16

3.-Tres partculas cada una de masa m, estn en equilibrio y unidas por

muelles no estirados, sin masa, los cuales obedecen a la ley de Hooke,

siendo su constate k. Las masas estn obligadas a moverse por una

circunferencia tal como indica la figura 3.1.

I.- Cada masa sufre un pequeo desplazamiento respecto su posicin de

equilibrio: u1, u2 , u3 respectivamente, escribir la ecuacin de cada una

de las masas.

En la figura inferior se indican los desplazamientos y las fuerzas sobre cada partcula

Fig.3.1


17

232

031

2

02

3

2

23312

3

2

12

2

023

2

02

2

2

12232

2

2

31

2

012

2

02

1

2

31122

1

2

uuuudt

uduukuuk

dt

udm

uuuudt

uduukuuk

dt

udm

uuuudt

uduukuuk

dt

udm

II.-Verificar que el sistema tiene una solucin armnica

tcos(0)nunu con n=1, 2 ,3 y la frecuencia angular, con tres

posibles valores

m

k2o

donde0,y3o,3o

1

22

12

1

2

11

11 utcos(0)udt

udtsen(0)u

dt

dutcos(0)uu

2

22

22

2

2

22

22 utcos(0)udt

udtsen(0)u

dt

dutcos(0)uu

3

22

32

3

2

33

33 utcos(0)udt

udtsen(0)u

dt

dutcos(0)uu

Sustituyendo en las ecuaciones

0(0)u-(0)u2(0)u(0)u(0)utcos2tcos(0)u

uu2uuuuuu

3

2

o2

2

o

22

o1

32

2

o

22

o1

32

2

o

22

o131

2

o12

2

o1

2

0(0)u-(0)u2(0)u(0)u(0)utcos2tcos(0)u

uu2uuuuuu

1

2

o3

2

o

22

o2

13

2

o

22

o2

13

2

o

22

o212

2

o23

2

o2

2

0(0)u-(0)u2(0)u(0)u(0)utcos2tcos(0)u

uu2uuuuuu

2

2

o1

2

o

22

o3

21

2

o

22

o3

21

2

o

22

o323

2

o31

2

o3

2

Ordenamos cada una de las ecuaciones formando un sistema de ecuaciones y hacemos 222 op

0(0)up(0)u(0)u

0(0)u(0)up(0)u

0(0)u(0)u(0)up

32

2

o1

2

o

3

2

o21

2

o

3

2

o2

2

o1


18

El sistema es compatible si el determinante de los coeficientes es nulo.

0p

-

p

p

pp0

p

p

p

2

0

2

o

2

02

02

0

2

0

2

02

02

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

Desarrollando os determinantes de segundo orden

096096023644828

0236244

022322

023pp0pppp

0pppp

4

0

2

o

2424

o

22

o

46

6

o

4

o

26

o

2

o

464

o

24

o

22

o

46

o

6

o

4

o

26

o

22

o

22

o

44

o

6

o

4

o

22

o

22

o

222

o

6

o

4

o

34

o

6

o

6

o

4

o

4

o

3

2

o

4

o

2

o

4

o

2

o

2

o

4

o

2

Las soluciones de la ecuacin son =0 y si x=2

m

k3333

2

94366x 0

2

o

22

o

4

o

4

o

2

o

Existe una raz doble.

III.-El sistema de muelles se extiende a N partculas, cada una de masa

m y unidas por muelles de constante k. inicialmente los muelles no estn

estirados y se encuentran en equilibrio. Escribir la ecuacin de

movimiento de la masa n ( n=1,2,.., N) en funcin de su desplazamiento y masas adyacentes cuando las partculas se desplazan de

su posicin de equilibrio.

tscosN

sn2sen(0)nu(t)nu

Son soluciones oscilatorias, donde s =1,2,,N , n=1,2,,N y es una constante de fase arbitraria, con la condicin de que las frecuencias

angulares estn dadas por

N

sseno2s

Establecer el rango de posibles frecuencias para una cadena que

contiene un nmero infinito de masas.

En la primera parte hemos visto la ecuacin para la masa 2


19

122

023

2

02

2

2

12232

2

2

uuuudt

uduukuuk

dt

udm

Si generalizamos para la masa n

1nn1n2

o1nn

2

on1n

2

o2

n

2

u2uuuuuudt

tud

Suponemos que =0

tcosN

sn2sen(0)u

dt

(t)udtsen

N

sn2sen(0)u

dt

(t)dus

2

sn2

n

2

ssnn

Sustituyendo en la ecuacin

tcosN

s1n2sen(0)u

tcosN

sn2sen(0)u2

tcosN

s1n2sen(0)u

tcosN

sn2sen(0)u

sn

sn

sn

2

os

2

sn

N

sn2sen

N

s1n2sen

N

s1n2sen

N

sn2sen

2

o

2

s

De acuerdo con la relacin trigonomtrica

N

s2

N2

1n1ns2

2

DC;

N

ns2

N2

1n1ns2

2

DC

N

s1n2Dy

N

s1n2C

2

DCcos

2

DCsen2DsenCsen

Sustituyendo en la ecuacin anterior

N

s2cos12

2

N

s22cos

N

sn2sen

N

s2cos

N

ns2sen2

N

sn2sen

2

o

2

s

2

o

2

s

2

o

2

s

Aplicando la relacin trigonomtrica: N

sA;2Acos1Asen2 2


20

N1,2,......s;N

ssen2

N

ssen4 os

22

o

2

s

Cuando s = N ; s = 0 . Cuando s=(1/2) N ; s = 2o

IV.-Determinar la relacin

1nu

nu

para N grande en los dos casos:a)

solucin de baja frecuencia, b) = max , donde max es la solucin de frecuencia mxima.

N

s2

N

sn2sen

N

sn2sen

N

s1n2sen

N

sn2sen

tcosN

s1n2(0)senu

tcosN

sn2(0)senu

u

u

n

n

1n

n

Como sen(A+B) = sen A cos B+cos A sen B

N

s2sen

N

sn2cos

N

s2cos

N

sn2sen

N

sn2sen

u

u

1n

n

Si w es pequeo lo es s y , por tanto , 0N

s2sen 1

N

s2cos0

N

s

1

0N

sn2sen

N

sn2sen

u

u

1n

n

La frecuencia mxima ocurre cuando s=(1/2) N.

1u

u

nsen

nsen

senncoscosnsen

nsen

nsen

nsen

N

s2

N

sn2sen

N

sn2sen

u

u

1n

n

1n

n

17, olimpiada internacional 17

Documents