40, olimpiada internacional 40

8/15/2019 40, Olimpiada Internacional 40

1/35

José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009

1

Problemas de

Las Olimpiadas

Internacionales

e Física

José Luis Hernández Pérez

Madrid 2009


2/35


2

XL.- OLIMPIADA INTERNACIONAL DE FÍSICA. MEXICO. 2009

PROBLEMA 1

EVOLUCI ÓN DEL SI STEM A TI ERRA-LUN A

Los científ icos pueden determinar la distancia entre la Ti erra y la Lunacon gran precisión. Esto se hace enviando un haz de luz láser hacia unosespejos depositados en l a superf icie de la Luna por unos astronautas en1969. Para ello se mide el tiempo del recorr ido de la luz.

Fig.1.- Un haz de láser enviado desde un laboratorio se utiliza para medir conexactitud la distancia entre la Tierra y la Luna.

A par ti r de estas observaciones han determinado que la Luna se al ejalentamente de la Tierra. Esto es, que la distancia Tierra-L una aumentacon el paso del tiempo. La causa se debe a que los momentos de lasmareas en la Tierra transfieren momento angular a la L una (ver f igur a

2).En este problema obtendrá los par ámetros básicos del fenómeno.


3/35


3

La gravedad lunar produce “abultamientos” en la Tierra. A causa de la rotaciónde la Tierra la línea que une los abultamientos no esta alineada con la línea queune la Tierra con la Luna. Este hecho produce un momento que transfieremomento angular desde la rotación terrestre a la traslación lunar.

1.-Conservación del momento angular

Se designa con L 1 el momento angular del sistema Tierra-Luna. Sehacen l as siguientes suposiciones:

i) L1 es la suma de la rotación de la Tierra alr ededor de su eje y latraslación de la Luna alr ededor de la Tierra.

i i) La órbita de la Luna es cir cular y puede considerarse como unamasa puntual

iii) Los ejes de rotación de la T ierra y de revolución de la L una sonparalelos.

iv) Con la f inal idad de simpli f icar los cálculos los movimi entos sereali zan r especto del centr o de la Tierra y no del centr o demasas. Además los momentos de inercia, los momentos de lasfuerzas y los momentos angul ares están defi ni dos alrededor deleje terrestr e.

v) Se desprecia la inf luencia del Sol.

1a) Escribir la ecuación del momento angular actual del sistema Tierra- Luna con la sigui ente notación: I E momento de inercia de la Tierra, E1 f recuencia angul ar de rotación actual de la Ti erra, I M 1 momento deinercia actual de la Luna respecto del eje de la Tierra, M 1 f recuenciaangular actual de la L una en su orbita.

Fig.2


4/35


4

Teniendo en cuenta la suposición i) la contribución de la Tierra es:E1E ωI .Para calcularla contribución de la Luna recordemos que el módulo del momento es el producto de lacantidad de movimiento de la luna por la distancia al eje de la Tierra

Masa de la Luna *velocidad*distancia T-L=M*v*D=M**D*D=MD2*

M1M1E1E1 ωIωIL

El proceso de transferencia angular final izará cuando el periodo derotación de la Tierra y el per iodo de revolución de la Luna alr ededor dela Tierra tengan la misma duración. Al llegar este momento losabul tamientos producidos por la Luna sobre la Ti erra estarán alineadoscon el eje que une la Ti erra y la L una y el momento desaparecerá.

1b) Sea L 2 el momento angular f inal del sistema Tierra-Luna. Con lasmismas suposiciones anteriores escribir la ecuación de L 2 con lanotación: I E momento de inercia de la Tierra , 2 f recuencia angular dela Tierra y de revolución de la Luna, I M 2 momento de inercia f inal de laLuna

Siguiendo a la ecuación (1), 2M22E2 ωIωIL (2)

1c) Despreciando la contr ibución de la rotación de la Tierra al momento

angul ar f inal , escribir la ecuación que exprese la conservación angularen este problema.

Igualando la ecuación (1) y (2) y despreciando en esta última el término2E ωI , resulta:

2M2M1M1E1E1 ωIωIωIL

2.-Separación final y frecuencia angular final del sistema Tierra-Luna

Suponga que la ecuación gravitacional para una órbita cir cular ( la de laLuna alr ededor de la Tierra) es siempre válida. Desprecie la contr ibuciónde la rotación de la Tierra al momento angular f inal.

2a) Escriba la ecuación gravitacional para la órbita de la Luna alrededorde la Ti erra en el estado final en función de M E , 2 , D 2 distancia f inalTi erra-Luna y la constante de gravitación universal G.

La fuerza centrípeta que actúa sobre la Luna es la fuerza de atracción gravitatoria entrela Luna y la Tierra


5/35


5

)4(GMDωD

MMGDωM E

32

222

2

ME2

22M

2b) Escriba la ecuación de la separación final D 2 entr e la Tierra y la

Luna en función de L 1 , M E , M M y la constante de gravitación universalG.En la ecuación (3) sustituimos2 de la ecuación (4)

)5(MMG

LD

DMGDM

DMGI

LD

GMIL

E2M

21

232

E42

2M

32

E2M22

132

EM21

2c) Escr iba la ecuación para l a fr ecuencia angular f inal 2 en f unción deL1 , M E , M M y G.

Sustituimos D2 de la ecuación (5) en la (4).

31

2E

3M

2

61

4E

6M

4

3E

6M

3

61

E2 L

MMGL

MMG

MMGLMG

ω (6)

Después deberá calcular los valor es numéricos de D 2 y 2 , pero an tesdebe deducir el momento de inercia de la Ti erra.

2d) Escriba la ecuación del momento de inercia de la Tierra I E ,suponiendo que es una esfera con densidad inter ior i desde el centrohasta un radio i y una capa exterior de densidad o desde el radio r i hasta la superf icie de radio r o ( ver f igur a 3)

Fig.3La Tierra es una esfera con dos densidades i y o


6/35


6

Recordemos la ecuación del momento de inercia de una esfera 2mR 52

Esfera interior

5ii

2ii

3i

2iii

2ii r ρπ15

8r ρr π34

52r ρV

52r m

52

Capa superior

5i5oo5io5oo2ioi2ooT r r ρπ158

r ρπ34

52

r ρπ34

52

r ρV52

r ρV52

oi5i5oo5i5oo5iiE ρρr r ρπ158

r r ρr ρπ158

I (7)

Determi nar los valores numéricos requeridos expr esados con dos cigfrassignificativas

2e) Evaluar el momento de inercia de la Tierra, siendo:m 6 6,4.10 o r y

3 m kg 3 4,0.10 o ρm; 6 3,5.10 i r ;

3 m kg 4 1,3.10 i ρ

237E

456563oi

5i

5ooE

mkg8,0.10I

0,9.103,5.106,4.104,0.10π158

ρρr r ρπ158

I

Las masas de la Ti erra y de la Luna son M E = 6,0.10 24 kg y M M = 7,3.10

22

kg, respectivamente. La separación actual entr e la Tierra y la L unaD 1 =3,8.10 8 m. La fr ecuencia angular de rotación actual de la Tierra

E1 =7,3.10 -5 s -1 . La fr ecuencia angular actual de la r otación de la Luna

alrededor de la Tierra M 1 =2,7.10 -6 s -1 y la constante de Gravitación

universal G=6,7.10 -11 m 3 kg -1 s -2 .

2f ) Evaluar el momento angular total del sistema L 1 .

Ecuación (1)

12341

62822537M1M1E1E1

smkg3,4.10L

2,7.103,8.107,3.107,3.108,0.10ωIωIL

2g ) Encontrar la separación f inal D 2 en metros y en un idades de laseparación actual D 1 .

Ecuación (5)


7/35


7

1,43,8.105,4.10

DD

m5,4.106,0.107,3.106,7.10

3,4.10MMG

LD 8

8

1

28

2422211

234

E2M

21

2

2h) Encontrar la f recuencia angular fi nal 2 y la dur ación del día f inalen unidades del día actual

días4686400

1ω2π

T

s1,6.103,4.10

6,0.107,3.106,7.10L

MMGω

2

16334

224322211

31

2E

3M

2

2

Verif icar que la suposición de no considerar la contribución de la Tierra

al momento angul ar f inal está justif icada obteniendo que la relaciónentr e el momento angular f inal de la Tierra al de la L una es unacantidad pequeña.

0,0038

5,4.107,3.10

8,0.10DM

8,0.10ωIωI

x 2822

37

22M

37

2M

2E

3.-¿Cuánto se separa la Luna cada año?

Ahora debe encontrar cuánto se separa la L una de la Tierra cada año.Para ello necesitar conocer el momento que actúa ahora sobre la Lun a.Se supone que los abul tamientos se pueden aproximar por dos masaspuntuales , cada una de valor m, localizadas en la superficie de laTierra( ver figura 4). Sea el ángulo entr e la l ínea que une losabultamientos y la que une el centr o de la Tierra con el centro de laLuna.

Fig.4


8/35


8

Esquema válido para calcular el momento producido sobre la Luna por las masasm situadas sobre la Tierra. El dibujo no está hecho a escala.

3a) Encontrar F c , el módulo de la fuerza producido sobre la Luna por lamasa puntual más cercana.

En la figura 5, FC representa la fuerza de atracción gravitatoria entre la Luna y mc. La

distancia xc se obtiene aplicando el teorema del coseno: cos θDr 2Dr 1o212o

cosθDr 2Dr mM

Gx

mMGF

1o21

2o

M2C

MC (8)

3b) Encontrar F f , el módulo de la fuerza producido sobre la Luna por lamasa pun tual más lejana.

cos θDr 2Dr

mMG

cosδDr 2Dr

mMG

x

mMGF

1o212o

M

1o212o

M

2f

M

f (9)

Ahor a puede evaluar los momentos producidos por las masas puntuales.

3c) Encontrar el módulo de C , que es el momento producido por l a masamás cercana.

Observando la figura 5 se deduce que Fc tiene una componente vertical dirigida en elmovimiento de la Luna de módulo FC sen

1CC DβsenFτ

Fig.5


9/35


9

En el triángulo O mC L aplicamos el teorema de los senos

θcosDr 2Dr

θsenr βsen

r βsen

xθsen

1o21

2o

o

oC

(10)

θcosDr 2Dr

θsenDmr GMτ

cosθDr 2Dr

Dθsenr θcosDr 2Dr

DmMGDβsenFτ

23

1o21

2o

1oMC

1o21

2o

1o

1o21

2o

1M1CC

3d) Encontrar el módulo de f , que es el momento producido por l a masamás lejana.

Observando la figura 4 se deduce que Ff tiene una componente vertical dirigida en elmovimiento de la Luna (sentido contrario a la anterior) de módulo Ff sen

1f f DsenFτ

En el triángulo O mf L aplicamos el teorema de los senos

θcosDr 2Dr

θsenr

θcosDr 2Dr

δsenr sen

r sen

xsen

1o21

2o

o

1o21

2o

o

of

(11)

θcosDr 2Dr

θsenDmr GMτ

cosθDr 2Dr

Dθsenr θcosDr 2Dr

DmMGDsenFτ

23

1o21

2o

1oMf

1o21

2o

1o

1o21

2o

1M1f f

3e) Encontr ar el módulo del momento total producido por las dosmasas. Puesto que r o


10/35


10

23

o123

o12

3

1

1oM

23

o1123

o11

1oM

23

1o21

23

1o21

1oMf C

θcosr 2D

1

θcosr 2D

1

D

θsenDr mGMτ

θcosr 2DD

1

θcosr 2DD

1θsenDr mGMτ

cosθDr 2D

1

cosθDr 2D

1θsenDr mGMτττ

Los términos

1

o

23

1

1

o

23

1

2

3

1

o

23

1

2

3

o1D

θcosr 31

D

Dθcosr 2

23

1

D

Dθcosr 21

D

θcosr 2D

1

1

o

23

1

1

o

23

1

23

o1D

θcosr 31

D

Dθcosr 2

23

1

D

θcosr 2D

1

Los llevamos a .

21

22o

1

o

23

1

23

11oM

1

o

1

o23

1

2

3

11oM

D

θcosr 91

D

θcosr 6

D

DθsenDr mGM

Dθcosr 31

1

Dθcosr 31

1

D

DθsenDr mGMτ

En la última ecuación

1D θcosr 91 21

22

0 Finalmente el momento vale

31

2oM

31

2oM

D2θsenr mGM3

Dθcossen θr mGM6

τ

3f) Cal cule el valor numérico del momento total , tomando =3º ym=3,6.10 16 kg (observe que esta masa es del or den 10 -8 de la masa de la

Tierra)


11/35


11

m N4,1.103,8.10

6ºsen6,4.103,6.107,3.106,7.103D

2θsenr mGM3τ 16

38

26162211

31

2oM

3g) Puesto que el momento está relacionado con el momento angular ,calcular el aumento de la distancia Tierra-L una a lo lar go de un año.

Expresar el momento angular de la L una en función de M M , M E , D 1 , yG.

Igualamos la fuerza centrípeta actual con la fuerza de atracción gravitatoria

31

E212

1

ME1

21M D

GMω

DMM

GDωM

El momento angular actual de la Luna es: 1EM3

1

E21M111M1LMM DGMMD

GMDMDDωMDvML

segundocada por m1,09.106.106,7.107,3.10

3,8.104,1.102

GMM

Dτ2

dtdD

dtdD

D21

GMMdtDd

GMMdt

dLτ

9

241122

816

EM

11

121

1EM

2

1

1EM

M

Al cabo de un año cm3,4m0,034864003651,09.10ΔD 9

F inalmente determinar el aumento que experimenta un día cuandotr anscurre un año.

3h) Encontr ar l a disminución de E1 por año y el alargamiento de un díaactual cuando transcur re un año.

En el apartado 3g se deduce que la Luna se aleja de la Tierra cada año aumentando sumomento angular, como en el sistema Tierra-Luna el momento debe conservarse, esnecesario que la Tierra pierda momento angular.

11422E1

22

2624

16

E

E1E1EE1E

s1,3.108640036510.2,4Δω

10.2,46,4.106,0.10

52

4,1.10Iτ

dtdω

dtdω

IωIdtd

τ


12/35


12

13

2624

216

2

oE

2E1

E1

2E1E1

E12E1

E1E1

E1E1

EE1

E

5.10

6,4.106,0.105

2

2π

3600244,1.10

r M5

2

2π

TτI2π

Tτdt

dT

dtdT

T1

I2πT1

dtd

I2πT

π2dtd

Idt

dωIτ

s1,6.10864003655,0.10ΔT 513E1

¿Dónde va la energía?

En contr aste con el momento angular que se conserva, la energía totaldel sistema (rotacional más gravitacional) no lo hace.

4a) Escribir la ecuación de la energía total E en f u nción de I E , E1, M M ,M E , D 1 y G.

2M1

21M

2E1E

1

ME2L1M

2E1E

1

ME ωDM21

ωI21

DMM

GωI21

ωI21

DMM

GE

Igualamos la fuerza centrípeta de la Luna con la fuerza de atracción gravitatoria

31

E2

M121

ME

1

2

M1M DGM

ωDMM

GDωM

2E1E

1

ME31

E21M

2E1E

1

ME ωI21

D2MM

GD

GMDM

21

ωI21

DMM

GE

4b) Escribir la ecuación para el cambio de E en función de los cambiosen D 1 y E1 . Calcular el valor numérico del cambio de E, E, a lo largode un año, uti l izando los valores de los cambi os de D 1 y E1 obtenidos enlos apartados 3g y 3h.

dt

dωωI

dtdD

D2MGM

ωdtd

I21

D1

dtd

D2MM

GdtdE E1

E1E1

21

ME2E1E

11

ME

sJ

2,9.103,0.100,11.10dtdE

4,2.107,3.106,4.106,0.1052

1,09.103,8.102

7,3.106,0.106,7.10dtdE

121212

2252624928

222411

J9,1.10864003652,9.10ΔE 1912


13/35


13

Comprobar que esta pérdida de energía está de acuerdo con unaestimación de la energía, en forma de calor , en l as mar eas producidaspor l a Luna sobre la Tierra. Se supone que la elevación promedio de lasmareas es de 0,5 m sobre una capa de agua de profundidad h=0,5 m que

cubre de forma uniforme toda la superficie de la Tierra (esto es unasimpl if icación del pr oblema). Las mar eas ocurren dos veces cada día.Además se supone que el 10% de la energía gravi taci onal se disipa enforma de calor cuando el n ivel de la marea desciende.Densidad del agua =10 3 kg m -3 g = 9,8 m s -2 .

4c) ¿Cuál es la masa de la capa de agua?

El volumen del agua es h4ππV 2o

La masa de agua kg2,6.10100,56,4.10π4ρhr π4VρM 173262

oagua

4d) Calcul a la energía disipada en un año. Compare el valor encontradocon la energía perdida por año por el sistema actual Tierra-Luna.

Energía potencial adquirida por el agua en la pleamar

J9,3.10.1036520,59,82,6.10ghME 2017agua

El 10% de la energía anterior aparece en forma de calor.

J9,3.10E 19calor


14/35


14

PROBLEMA 2

ENF RIAM I ENTO CON L ÁSER Y MEL AZA ÓPTICA

El objetivo de este problema es desarrollar un teoría senci lla paraentender el deno minado “enfriamiento láser” y “melaza óptica” . El temaes el enf riamiento de un haz de átomos neutros, en general alcali nos, porhaces de láser con la misma frecuencia. Esto forma parte del pr emioNobel de F ísica otorgado a S. Chu , P. Phi ll ips y C. Cohen-Tannoudji en1997.

La imagen superior muestra un átomo de sodio ( la mancha brillante delcentr o) atrapada en l a intersección de tr es pares de láseres ortogonalesopuestos. La región de confinamiento se denomina “melaza óptica” acausa de que la fuerza óptica disipativa se parece al rozamiento viscosode un cuerpo que se mueva a través de una melaza.En este problema analizará los fundamentos del fenómeno de lainteracción entre un fotón incidente sobre un átomo y las bases delmecanismo disipativo en una dimensión.

Parte I.-Fundamento básico del enfriamiento por láser

Considerar un átomo de masa m desplazándose por el eje x positi vo conuna velocidad v. Por senci llez, solamente consideramos el problema enuna dimensión, ignoramos las direcciones y , z (ver f igur a 1). El átomoposee dos niveles de energía, el estado más baj o se considera con valor

cero y el estado exci tado con energía o ωh , siendo π 2 h

h . E l átomo se

encuentra inicialmente en su estado más bajo de energía.Un haz de láser con f recuencia L en el labor atorio moviéndose endirección – x incide sobre un átomo. El láser se compone de un gr annúmero de fotones de energía Lωh y momento q h - . Un átomo absorbe


15/35


15

un f otón y después lo emi te de forma espontánea; esta emisión ocurrecon la misma probabilidad en el senti do +x que – x.Dado que el átomo se desplaza con velocidad no relativista v/c


16/35


16

Si el receptor se acerca a la fuente, como es el caso, es negativo .El desarrollo enserie de la función anterior y limitándonos a potencias de primer grado conduce a

cv

1ωω Lo

1b) Escribir el momento p at del átomo después de l a absorción visto desdeel laboratorio.

La cantidad de movimiento del sistema átomo-fotón antes de la absorción es igual a lacantidad de movimiento del átomo después de la absorción

(1)mqh

vv´mv´m´v´c

ωhmv pqhmv Lat

Como

2

2

0

cv1

mm y no se consideran más que términos de primer grado m =mo y por

lo mismo m =m´=mo.

1c) Escribir la energía total del átomo at después de la absorción vistodesde el laboratorio.

Según el principio de conservación de la energía

atL2 εωhmv

21

2.-Emisión espontánea de un fotón en el sentido – x

Un ti empo después de la absorción del f otón i ncidente, el átomo puedeemiti r un fotón en la dir ección x y senti do – x.

2a) Escribir la energía del fotón emi tido f t después del proceso deemisión en el sentido – x, visto desde el laboratorio.

Dado que el fotón se mueve en sentido – x.

mcqh

cv

1cv

1ωc

mqh

v1ω

cv´

1ωωL

ooft

Si 1vmqh según el enunciado y dado que v


17/35


17

2b) Escri bir el momento del fotón emitido p ft después del pr oceso deemisión en el sentido – x, visto desde el laboratorio.

El momento del fotón es igual a su energía divida por c.

cωh

p L-

ft

2c) Escribir el momento del átomo p at después del pr oceso de emisión enel sentido – x, visto desde el l aboratorio.

Conservación del momento

mvc

ωhqhmv p

cωh

pm

qhvm

cωh

pmv´ L-atL-

atL-

at

2d) Escribir la energía del átomo at después del proceso de emisión en elsentido – x, visto desde el laboratorio.

Como la cantidad de movimiento del átomo es pat=mv , su energía vale

22at-

at mv21

2m p

ε

3.-Emisión espontánea de un fotón en el sentido +x

Un ti empo después de la absorción del f otón i ncidente, el átomo puedeemitir un fotón en la dir ección x y sentido +x.

3a) Escribir la energía del fotón emi tido f t después del proceso deemisión en el sentido +x, visto desde el l aboratorio.

Dado que el fotón se mueve en sentido +x.

mcqh

cv1

cv1ω

cm

qh

v1ωcv´1ωω

Looft

Si 1vmqh según el enunciado y dado que v


18/35


18

3b) Escri bir el momento del fotón emitido p ft después del pr oceso deemisión en el sentido +x, visto desde el laboratorio.

El momento del fotón es igual a su energía divida por c.

cv

21cωh

p Lft

3c) Escribir el momento del átomo p at después del pr oceso de emisión enel sentido +x, visto desde el laboratorio.

Conservación del momento

qh2-mv

c

ωhqhmv p

c

ωh p

m

qhvm

c

ωh pmv´ Lat

Lat

Lat

3d) Escribir la energía del átomo at después del proceso de emisión en elsentido +x, visto desde el laboratorio.

Como la cantidad de movimiento del átomo esat p =mv qh2 , su energía vale:

qh2vmv

21

2mqh4mvqh4vm

2mqh2mv

2m p

ε 2222222

atat

4.-Emisión promedio después de la absorción

La emisión espontánea de un fotón en los sentidos – x y +x ocurr en con lamisma probabili dad

4a) Escr ibir la energía promedio de un f otón emi tido después del procesode emisión.

cv

1ωhcv

ωhωh2cv

21ωhωh

2εε

ε LLL

LLftft

ft

4b) Escribir el momento promedio de un fotón emi tido después delproceso de emi sión.

0c

vωh2

cv

21cωh

cωh

2 p p

p 2L

LL

ftftft

4c) Escribir la energía promedio del átomo después del proceso deemisión.


19/35


19

qhv2

mv2

qhv22

mv2

mv

2εε

ε2

22

attattat

4d) Escribir el momento promedio del átomo después del proceso deemisión.

qhvm2

qh2vmvm2

p p p atat

5.-Transferencia de energía y momento.

Suponiendo solamente un pr oceso completo de absorción – emisión, talcomo se ha descrito, exi ste un momento promedio neto y una energía tr ansferida entre la radiación láser y el átomo.

5a) Escribir el cambio promedio de energía del átomo después de unproceso completo de absorción-emisión de un fotón.La energía del átomo en un principio antes de absorber el fotón es: 2mv

21

La energía promedio del átomo después de la absorción-emisión de un fotón es, tal

como se ha calculado en el apartado 4c: qhvmv21 2 .

c

ωhvqhvmv

2

1qhvmv

2

1Δε L22

5b) Escribir el cambi o promedio del momento p del átomo después deun proceso completo de emisión-absorción de un f otón.

El momento del átomo en principio es: p = mv

El momento promedio del átomo después de la absorción-emisión es:, según localculado en 4d: qhmv .

cω

hqhmvqhmvΔp L

6.-Energía y momento transferido por un haz de láser que se desplazaen la dirección x y sentido +x.

Considerar ahora que un haz de láser de fr ecuencia ,ω L incide sobre un

átomo a lo largo del sentido +x, mi entr as que el átomo se desplaza en elsenti do +x con una velocidad v. Suponiendo l a condición de resonancia

entr e la tr ansición interna del átomo y el haz de láser visto desde el átomo.


20/35


20

Vamos a hacer todos los cálculos anteriores pero con el fotón incidiendo en el sentido+x. Al lado de cada cálculo aparece una numeración con prima para poder compararcuando el fotón incide de izquierda a derecha con cuando lo hace de derecha a izquierda

1a)´ Resonancia:

cv

1ωω 'Lo

1b)´ Momento del átomomq´h

vV´mV́ pq´hmv at

1c)´ Energía del átomo at'L

2 εωhmv21

Emisión del fotón eje – x

2a)´ Energía del fotón :

c

2v1ω

c

v1

c

v1ω

c

qhv1

c

v1ω

c

V1ωω ´L

´L

´´L

´

oft

cv

21ωhε ´Lft

2b)´ Momento del fotón:cωh

ccv

21ωh p

´L

´L

ft

2c)´ Momento del átomo

cωh

2mv pcωh

pmqh

vmcωh

pmV´L

at

´L

at

´´L

at´

2d)´ Energía del átomo

vqh2mv21

2mc

ωhvm

42m

cω

h4

m2vm

m2 p

ε´

2

´L

2

2´´L2

222

atat

Emisión del fotón eje +x

3a)´ Energía del fotón

´Lft

´L2

2´L

´L

´´L

´

oft

ωhε

ωcv

1ωcv

1cv

1ωc

qhv1

cv

1ωc

V1ωω

3b)´ Momento del fotón:c

ωh p

´L

ft


21/35


21

3c)´ Momento del átomo

vm p pqhmqh

vmcωh

pmV atat´

´´L

at´

3d)´ Energía del átomo:

2222atat vm2

1

m2

vm

m2

p

ε

Energía promedio después de la absorción

4a)´ Energías promedio de un fotón:

cv

1ωh2

ωhc

2v1ωh

2εε

ε ´L

´L

´L

ftftft

4b)´ Momento promedio del fotón

02

cω

hc

ωh

2 p p

p

´L

´´L

ftftft

4c)´ Energía promedio del átomo.

vqhmv

2

1

2

mv21

vqh2mv21

2

εεε ´2

2´2

atatat

4d)´ Momento promedio del átomo

´´

atatat qhmv2

mvqh2mv2

p p p

6a) Escribir el cambio promedio de energía del átomo después de unproceso completo de absorción-emisión de un fotón.La energía del átomo en un principio antes de absorber el fotón es: 2mv

2

1

La energía promedio del átomo después de la absorción-emisión de un fotón es, tal

como se ha calculado en el apartado (4c)´: q´vhmv21 2 .

vc

ωhq´vhmv

21

q´vhmv21

Δε,L22

6b) Escribir el cambi o promedio del momento p del átomo después deun proceso completo de emisión-absorción de un f otón.

El momento del átomo en principio es: p = mv


22/35


22

El momento promedio del átomo después de la absorción-emisión es:, según localculado en (4d)´: ´qhmv .

cω

hqhmvqhmvΔp,L,,

Parte II.-Disipación y los fundamentos de la melaza óptica

La Naturaleza impone una inherente incertidumbre a los procesoscuánti cos. Así el hecho de que el átomo pueda emiti r un fotón de formaespontánea un ti empo f inito después de la absorción, conlleva que lacondición de resonancia no se verif ique exactamente como se ha hechoen l os apartados anter iores. Esto signi fica que la frecuencia de los hacesde láser Lω y

,ωL puedan tener cual quier val or y aún así el proceso de

absorción-emisión puede verificarse. Esto sucede con diferentesprobabilidades y tal como se esperaba, la máxima p robabilidad sucedecuando se verif ica la condición de resonancia. El tiempo promedio entreun úni co proceso de absorción y consiguiente emisión se denomi na vidamedia del estado exci tado y se designa por 1 Γ .Considerar un colectivo de átomos en reposo en el sistema de referenciadel laboratorio y un haz de láser de f recuencia Lω que incide sobre ellos.Los átomos absorben y emi ten fotones de forma continua, pero existe unpromedio N exc de átomos en estado exci tado ( y por consiguiente N-N exc ,

de átomos en el estado f undamental ). Los cálculos de la mecánicacuántica ll egan al siguiente resul tado

2 Ω2 4

2 Γ ωo ω

2 ΩN exc N

R L

R

Donde o ω es la frecuencia de resonancia de la tr ansición entr e los dos

niveles de los átomos, R Ω es la llamada frecuencia de Rabi;2 ΩR es

proporcional a la intensidad del haz de láser . Tal como se ha i ndicadoanteriormente el número de átomos exci tados es disti nto de cero auncuando o ω sea diferente de Lω .Un cami no para expresar el número deprocesos de absorción-emisión por unidad de ti empo es Γ N exc .Considerar la situación de la f igur a 2 en la cual dos haces de láser , encontrapropagación con la misma pero con cualquier f recuencia Lω ,inciden sobre un gas de N átomos los cual es se desplazan con velocidadv en la dir ección x y senti do +x.


23/35


24/35


24

Γc

ωh

Ω24

Γcv

ωωω

Ω NF L

2R

22

LLo

2R

x)(

La fuerza neta es:

2

R

22

LLo2R

22

LLo

2R neta

Ω24

Γcv

ωωω

1

Ω24

Γcv

ωωω

1ΓqhΩ NF

7.- Límite a baja velocidad

Suponer ahora una velocidad suficientemente pequeña con el f in deobtener l a fuerza en f unción de la primera potencia de v.

8a) Encontrar el valor de la fuerza neta con esta condición

Para manejar con mayor comodidad la ecuación anterior hacemos:

AΩ24

Γ;Bωω 2R

2

Lo

AcvωBA

cvωB

cvωB4

ΓqhΩ NF

AcvωBA

cvωB

cvωB2

cvωB

cvωB2

cvωB

ΓqhΩ NF

AcvωBA

cvωB

AcvωBA

cvωB

ΓqhΩ NF

AcvωB

1

AcvωB

1ΓqhΩ NF

2

L

2

L

L2R neta

2

L

2

L

L2

22L

2L2

22L

2

2R neta

2

L

2

L

2

L

2

L

2R neta

2

L

2

L

2R neta

El denominador de la ecuación anterior


25/35


25

A

cv

ω2BAcv

ω2BAcv

ω2cv

ωBAcv

ω2cv

ωB L2

L2

L2

22L

2L2

22L

2

Hacemos PAB2

2

2R

22

L0

2222

22L

2LL Ω24

ΓωωABP

cv

ω4Pcv

ω2Pcv

ω2P

Llevando lo a la Fneta.

2

2R

22

Lo

Lo22

R 2

2R

22

Lo

L2R

neta

Ω24

Γωω

vωωΓqhΩ N4

Ω24

Γωω

cv

BωΓqhΩ N4F

Utilizando le resul tado anterior se pueden encontr ar l as condiciones deaumentar l a velocidad, disminuir la o no modif icar la de los átomos poracción del haz de luz láser.

8b) Expresar l a condición para obtener fuerza positiva, esto es, aumentarla velocidad.

El signo de a ecuación anterior está determinado por Lo ωω .Para aumentar lavelocidad la Fneta debe ser positiva, por tanto, la condición es oL ωω .

8c) Expresar la condición para obtener f uerza cero

LoLo ωω0ωω

8d) Expresar la condición para obtener fuerza negativa, esto es,aumentar l a velocidad

Lo ωω

8e) Considerar que los átomos se mueven con velocidad – v ( en elsentido – x). Escribir la condición para obtener una fuerza que disminuyala velocidad de los átomos.

Para el haz de láser que se desplaza desde la izquierda hacia la derecha, la frecuencia

que “ven” los átomos es :cv

ωωcv

1ω LLL


26/35


26

Para el haz de láser que se desplaza desde la derecha hacia la izquierda la frecuencia

que “ven” los átomos es : cv

ωωcv

1ω LLL

Si comparamos con los cálculos anteriores nos encontramos en la misma situación, portanto, la condición es la misma que en 8d):

Lo ωω

9.- Melaza óptica

En el caso de una fuerza negativa se obtiene una fuerza disipativas porfricción. Suponer que ini cialmente t=0, el gas de átomos posee unavelocidad v o .9a) En el lími te de bajas velocidades encontrar la velocidad de los átomosdespués de que el haz de láser haya actuado un tiempo .

La ecuación del apartado 8a se puede escribir como:

mβ

evvvv

lnτmβv

ov vdv

dtτ

mβ

vdv

dtmβ

dtdv

mvβ

Ω24

Γωω

vωωΓqhΩ N4F

0o

2

2R

22

Lo

Lo22

R neta

o

9b) Admiti r que el gas de átomos se encuentra en equi libr io térmico auna temperatura T o . Encontr ar la temperatura T después de que el haz deláser haya actuado un ti empo .

Aplicando el principio de equipartición de la energía en una sola dimensión

mkT

vmv21

kT21

;m

kTvmv

21

kT21 22o2

o20o

Llevando estos valores a la ecuación de la velocidad del apartado 9a.

τmβ2

eTTτm

βe

mkT

mkT

oo


27/35


28/35


28

10 -15 m para que a esta distancia aparezcan fuerzas nucleares atractivasque superen a las repul sivas. Para llegar a esa distancia es precisovencer l a fuerza de repul sión de Coul omb. Suponer que los dos protonesson masas puntuales y que se desplazan uno al encuentro del otro con

una velocidad v rms , l a velocidad cuadr ática media, en una colisiónfrontal unidimensional.

1a) Determinar la temperatura del gas, T c , para que la distancia deaproximación entre los dos protones d c sea igual a 10 -15 m. Dar elresul tado con dos cif ras signi ficativas.

Los dos protones cuando se encuentran muy alejados poseen cada uno la energía

cinética 2rms p vm21 , a medida que se acercan su energía cinética disminuye pues aparece

energía potencial eléctrica, el máximo acercamiento supone que desaparece la energía potencial convertida en potencial eléctrica

c

2

o

2rma p d

qεπ4

1vm

21

2

De acuerdo con la teoría cinética

K 5,4.10108,9.101,4.10π12

1,6.10dεk π12

qT

dq

επ41

kT23

2vm21

kT23

9151223

219

co

2C

c

2

oC

2rms pC

2.- Comprobando que la temperatura anterior está equivocada.

La comprobación de si l a temperatura anterior es corr ecta, se necesita unmétodo independiente para deducir la temperatura de la estr ella. Laestructura de las estr ellas es muy compl icada pero podemos acercarnos aCompr enderla haciendo algunas suposiciones. Las estr ellas están en

equi libri o no se expanden ni se contraen debido a que la fuerzagravitator ia actuando hacia dentro está equi librada con la fuerza depresión hacia fuera (ver f igura 2). Para una cor teza de gas la ecuaciónde equi librio hidrostático a una distancia r del centro de la estr ella estádada por la siguiente ecuación

2 r

r ρr M G

r Δ ΔP

P es la presión del gas, G la constante de Gravitación, M r masa de laestrella dentr o de una esfera de radio r , y r la densidad del gas en l acorteza.


29/35


29

Fig.2.- Las estrellas están en equilibrio hidrostático con las diferencias de presiónequilibrando la gravedad .

Un or den de magnitud de la temperatura de la estrella se puede calcularutil izando los parámetros del centro y superf icie de la estr ella haciendolas siguientes aproximaciones:

c P o P ΔP , P c y P o son l as presiones en el centro y en la superf icie dela estr ella, dado que P c >>P o se puede suponer que c P ΔP Con igual aproximación r =R, R es el radio total de la estrella

M,R M r M M masa de la estrella

c ρr ρ , la densidad se considera la del centro.Se supone que la presión es la de un gas ideal .

2a) Encontrar la ecuación de la temperatur a en el centro de la estrella T c en función del radio y masa de la estr ella y de las constantes f ísicas.

En la ecuación hacemos las aproximaciones del enunciado.

R cρMG

cP2R

cρMG

R cP

2r

r ρr MG

r ΔΔP

(1)

En la estrella existen el mismo número de protones que de electrones y.XP es el número

de protones. La teoría cinética establece para la presión de un gas ideal:Tk N pV

N es el número total de partículas, N=2 XP

VTX

k 2PTX2VP cPccPc k

La densidad es igual a:

p

cPP pePP pc m

ρV

XVmX

VmXmX

volumenmasaρ


30/35


31/35


31

Recordemos que la longitud de onda asociada a una partícula es:vm

hλ , aplicada al

protón en las condiciones del problema

rms p

p

vm

hλ

Según el principio de equipartición de la energía

c p

p

rms p

Pc

p

c2rms

2rms pc

Tk 3m2

mh

vm2

h

2

λ d

mTk 3

vvm21

kT23

En el apartado 1a) hemos visto que

22o

2

p4

c p

222o

2

c2

p4

2C

po

c p2

co

2

c hk επ24

mqT

mhk επ144

Tk m6qT

mhk επ12

3kTm2q

dk επ12q

T 2

3b) Calcul ar el valor numérico de T c obtenido en el apartado 2a)

K 69,7.102346,6.10231,4.10

2128,9.102π24

271,7.104191,6.10

hk oεπ24

pmqcT 222

4

3c) Con el valor de T c del apartado 2a) encontr ar el valor numérico deM /R de una estrell a, uti li zando la formula obtenida en 2b).Verif icar queeste valor es simi lar a la r azón M Sol /Radi o Sol .

mkg

2,4.101,7.106,7.10

9,7.101,4.102mGTk 2

R M 21

2711

623

p

c

2,12,4.102,9.10

R M

R M

mkg

2,9.107,0.102,0.10

R M

21

21Sol

Sol

218

30

Sol

Sol

De hecho las estr ellas de la denomi nada secuencia pri ncipal (las quefusionan hidrógeno) aproximadamente siguen la relación anterior paraun elevado rango de masas.

4.- La relación entre la masa y el radio de las estrellas

Los resul tados anter iores sugieren que el tr atamiento mecanocuánticopara estimar la temperatura del centro de las estr ellas es corr ecto.

4a) Util izando los resul tado obtenidos anteriormente demostrar que para

las estrellas que fusionan hidrógeno l a relación entr e la masa M y el


32/35


32

radio R, depende únicamente de constantes f ísicas. Encontr ar laecuación M /R para l as estrellas que fusionan hidrógeno.

En la primera de las siguientes ecuaciones

22o

2

p4

c hk επ24

mqT ;

p

c

mGTk 2

R M

Despejamos22

o2

4

p

c

hk επ24q

mT y lo sustituimos en la segunda:

22o

2

4

22o

2

4

hεGπ12q

hk επ24q

Gk 2

R M

5.- La masa y el radio de las estrellas más pequeñas

El resul tado encontr ado en 4a) sugiere que p ueden exi sti r estr ellas decualquier masa con tal de que cumplan la relación anterior y esto no escierto.El gas interi or de las estrellas normales que fusionan hidrógeno secomporta aproximadamente como un gas perfecto. Esto signi fica que d e ,la separación entr e electrones, es en promedio mayor que e , su longitud

de onda de De Broglie. Con mayor detal le los electrones podr ían estar enun estado llamado degenerado y las estr ellas podrían compor tar se demanera muy dif erente. Observe la distin ta manera de tratar losprotones y electrones dentro de la estrella. Para los protones sus ondas deDe Brogli e podrían solaparse y dar lugar a fusionarse mientras quepara los electrones su onda de De Br oglie no deben solaparse paraseguir compor tándose como un gas ideal.La densidad de las estr ellas aumenta a medida que disminuye el radio.Sin embargo para estas magni tudes estimadas se supone que la densidades un iforme. Debe tener en cuenta que m p >> m e .

5a) Encontrar una ecuación para n e , densidad promedio de los electronesdentro de la estr ella.

En el apartado 2a) hemos designado con X p el número de protones de una estrella que asu vez es el número de electrones. La masa de la estrella es:

pPeP pP mXmXmXM

La densidad promedio de los electrones es:


33/35


33

p33

p pe

mR π34

M

R π34

X

V

Xn

5b) Encontrar una ecuación para d e , la separación entr e los electronesdentro de la estr ella.

Imaginemos que un electrón se encuentra en el centro de un cubo de lado de pegado a élexiste otro cubo con un electrón en su centro la distancia entre los electrones es de. Elvolumen de cada cubo es 3ed , como existen X p electrones

3n1

dn1

mπR 34

M1

mM

πR 34

XV

ddXVe

ee

p3 p

3

p

3e

3e p

5c) Utili ce la condición2

e λe d para encontr ar la ecuación del radio

de las estrellas nor males más pequeñas. Considere la temperatura delcentro de la estr ella como típica para todo el interior estelar .

Calculamos el radio más pequeño, utilizando la relación21e

e

2

λ d .

De acuerdo con De Broglieee

e vmh

λ 2e

2e

22e2

e vmh

2λ

d

c2e

2

e

c2e

22e

e

c2e

2eec Tk m6

h

mTk 3

2m

hd

mTk 3

vvm21

kT23

En 5b) hemos deducido

3

2

32

p23

232

2e

3

1

31

p31

31

3

p3

3

ee

M

mR π34

d

M

mR π34

mR π34

M

1n1

d

de


34/35


34

De la ecuación32

p32

32

32

c32

32

32

p

c

p

c

mG

R Tk 2M

mGR Tk 2

MmGTk 2

R M

A partir de las tres últimas ecuaciones

41

c43

e21

p21

21

43

41

23

21

e32

34

p32

32

3

1

3

1

c23

2

34

e

31

31

c2

32

32

34

p34

32

32

ce

2

32

32

c32

32

32

p32

32

p23

232

TmGmπ34

6

k h2R

mGmπ34

6

k Th2R

m6k Th

2

GmR π34

Tk m6h

R Tk 2

mGmR π34

En la última ecuación sustituimos Tc obtenida en el apartado 3a).

21

41

21

o21

41

41

p41

c22o

2

p4

c

hk επ24

mqT

hk επ24

mqT

21

45

p43

e

21

o2

21

43

21

41

41

p43

e21

p21

21

43

21

41

21

o21

41

23

21

41

Gmmq

εh

34

6

224R

mqmGmπ34

6

hk επk h224R

Vamos a reducir el factor numérico

2

14432

3432

2432

34

6

224 41

21

41

21

43

41

43

21

41

21

21

43

43

21

41

41

41

21

43

21

41

21

45

p43

e

21

o2

Gmmq2

εhR

El valor de R anterior es el de la estrella más pequeña.

5d) Encontrar el valor numérico del radio de la estr ella normal máspequeña posible, expresando el r esultado en metr os y en unidades delradio del Sol.

m6,9.106,7.101,7.109,1.101,6.102

8,9.106,6.10

Gmmq2

εhR 7

21

1145

2743

3119

21

12234

21

45

p43

e

21

o2

Sol8Sol7 R 0,1

m7,0.10R m6,9.10R


35/35

35

5e) Encontrar el valor numérico de la masa de la estr ella normal máspequeña posible, expresando el resultado en kg y en unidades de masasdel Sol.

En la ecuación p

c

mG

Tk 2

R

M , sustituimos el valor de22

o2

p4

c

hk επ24

mqT

234112122

419

22o

2

4

22o

2

p4

p 6,6.106,7.108,9.10π12

1,6.10hGεπ12

qhk επ24

mq

mGk 2

R M

Sol30Sol29

2972121

M0,09kg2,0.10

Mkg1,7.10

R M

kg1,7.10m6,9.10mkg

2,4.10Mmkg

2,4.10R M

6.- La fusión de núcleos de helio en las estrellas más viejas

Una estrella es vieja cuando ha convertido la mayoría de su hidrógenodel núcleo en helio. La estrella para seguir brillando ha de converti r elheli o en elementos más pesados. Un núcleo de heli o tiene dos protones ydos neutr ones, por tanto, su carga es doble de la del protón y su masacuatr o veces mayor. Hermos visto que la condición para fusionarse los

protones es: 2 p λ

c d .

6a) Con una condición equivalente para el helio, encontr ar l a v r sm delhelio y la T H e para que ocurra su fusión.

HeHe

He

HeHe

HeHe

HeHe

Tk m6

h

mTk 3

m2

h

vm2

h

2

λ d

Cuando dos núcleos de helio se acerquen a la distancia de su energía cinética se haconvertido en potencial eléctrica.

hεπ

q2v

h

vm2q

επ1

d

4q

επ41

dq

επ41

vm21

2o

2 p

HeHeHe

2 p

oHe

2 p

oHe

2He

o

2HeHe

sm

2,0.106,6.108,9.10π

1,6.102

hεπ

q2v 63412

219

o

2 p

He

K6,5.101 4 1032,0.101,7.104

k3

vm4

k3vm

Tvm21

kT23

823

26272He p

2

HeHeHe2HeHeHe

40, olimpiada internacional 40

Documents