243

∫ cos x dx

sin3 x−cos3 x

∫ cos x dxsin3 x−cos3 x

=∫ sec2 x❑dxtan x2

…… (1)

Sea z=tan x→dz=sec2 x dx

∫ sec2 x dxtan3 x−1

=∫ dzz3−1

=∫ dz(z−1)(z2+z+1)

=∫( Az−1

+ Bz2+z+1

¿¿¿)dz……(2)¿¿¿

1z3−1

=A (z2+z+1)z3−1

+B (z−1)z3−1

→1=(A+B ) z2+( A−B+C ) z+A−C

Por identidad polinomicas se tiene{A+B=OA−B+CA−C=1

=0→ { A=1/3B=−1 /3C=−2/3

……(3)

Reemplazando (2) en (3) se tiene:

∫ sec2 x dxtan3 x−1

=13∫ [ 1z−1

− z+2z2+z+1 ]dz=13 [ ln|z−1|−12∫ 2 z+1+3z2+z+1

dz ]¿ 13ln|z−1|−1

2∫2 z+1z2+z+1

dz−32∫

dz

(z+ 12)2

+ 34

¿13ln|z−1|−1

2ln|z2+z+1|−√3 tan−1( z+

12

√32

)∫ cos x dx

sin3 x−cos3 x=13ln|tan x−1|−1

2ln|tan x2+ tan x+1|−√3 tan−1( 2 tan x+1√3 )+c

115

∫sin ¿¿

Sea: z=ln x→x=ez→dx=ezdz

∫sin ¿¿

Aplicando el criterio de la integración por partes.

Haciendo: { u=sin zdv=ezdz→ {du=cos z dzv=ez

Mediante la fórmula de integración por partes se tiene:

∫ ez sin z dz=ez sin z−∫ ez cos z dz…… (2)

Nuevamente calculamos la integral ∫ ez cos zdz , por partes.

Haciendo: { u=cos zdv=ezdz→ {du=−sin z dz

v=ez

Aplicando la formula de integración por partes

∫ ez cos zdz=ez cos z+∫ez sin z dz…… (3)

Ahora reemplazando (3) en (2) se tiene:

∫ ez sin z dz=ez sin z−ez cos z−∫e zsin z dz→∫ez sin z dz= ez

2(sin z−cos z )

Luego reemplazando (4) en (1) se tiene:

∫sin ¿¿

I=∫ 3sin θ cosθ−cosθ

√−9sin2θ+12sin θ+12dθ

Derivada del término:

(−9sin2θ+12sinθ+12)'=−18sin θ cosθ+12cosθ

I=−16 ∫−18sinθ cos θ+12cosθ−6cosθ

√−9sin2θ+12sinθ+12dθ

I=−13 ∫−18sinθ cos θ+12cosθ

√−9sin2θ+12sin θ+12dθ+ 1

3∫3cos θ

√42−(3sin θ−2)2dθ

I=−13

√−9sin2θ+12sinθ+12+ 13sin−1( 3sin θ−2

4¿)+c¿

I=∫√ x2+ 52+√x4−25+√5 x2+25+√5 x2−25 . x3dx

I= 1

√2∫ √2 x2+5+√(x2−5)(x2+5¿)+2√5(x2+5)+2√5(x2−5) . x3dx ¿

I= 1

√2∫ √(√(x2−5)+√ x2+5+√5)2. x3dx

I=∫√(x2−5) . x3dx+∫√x2+5 . x3dx+√5 . x3dx

I 1=∫√(x2−5) . x3dx