problemas de investigacion de operaciones.docx

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO

FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS

“FORMULACIÓN DE MODELOS

MATEMÁTICOS”

PRESENTADO POR:

CALLATA PASACA, Juan Carlos

DURSO: INVESTIGACIÓN DE

OPERACIONES MINERAS

SEMETRE “VI”

PUNO -PERÚ

I. PROBLEMAS DE REDES

2015-II

1. La empresa minera ORO_PERÚ tiene un contrato para exportar lingotes

de oro, 50 de 24 quilates y 60 de 18 quilates; para transportarlo entres

avionetas que se dispone. La primera avioneta solo transporta lingotes

de oro de 24 quilates a un costo de $ 10 por lingote. La segunda y

tercera avioneta transportan ambos quilates a un costo de $8 y $5 por

lingote respectivamente. La primera avioneta solo puede llevar 30

lingotes de oro y la segunda y tercera el resto. ¿Cuál es el modelo

matemático a desarrollar para minimizar el costo total?

Solución:

Paso 1: Identificación de las variables de decisión

L1 A1 = el número de lingotes de oro de 24 quilates a ser

transportados en la avioneta 1

L1 A2= el número de lingotes de oro de 24 quilates a ser




L2 A2= el número de lingotes de oro de 18 quilates a ser transportados

en la avioneta 2



Paso 2: Identificación de los datos del problema

a) La empresa minera debe exportar 50 lingotes de 24 quilates.

b) La empresa minera debe exportar 60 lingotes de 18 quilates.

c) La avioneta 1 solo puede transportar lingotes de 24 quilates.

d) La capacidad de la avioneta 1 es de 30lingotes de oro.

e) El costo de transporte de los lingotes de oro se presenta en

siguiente cuadro:

Lingotes de oro Costo de transporte ($/lingote)

Avioneta 1 Avioneta 2 Avioneta 3

24 quilates 10 8 8

18 quilates - 5 5

Paso 3 Identificación de la función objetivo

FV: Minimizar el costo de transporte de los lingotes de oro

FM: Minimizar 10L1 A1 + 8L1 A2 + 8L1 A3 + 5L2 A2 + 5L2 A3

Paso 4 Identificación de las restricciones

f) Contrato para exportar lingotes de oro de 24 quilates

FV: Se debe transportar 50 lingotes de 24 quilates

FM: L1 A1 + L1 A2 + L1 A3 = 50

g) Contrato para exportar lingotes de oro de 18 quilates

FV: Se debe transportar 60 lingotes de 18 quilates

FM: L2 A2 + L2 A3 = 60

h) Capacidad de transporte del barco 1

FV: La capacidad de transporte de la avioneta 1 es de

30 FM: L1 A1 <= 30

i) Restricciones lógicas

L1 A1, L1 A2, L1 A3, L2 A2, L2 A3>= 0 y enteros

Paso 5 Formulación matemática del modelo

FM: Minimizar 10L1 A1 + 8L1 A2 + 8L1 A3 + 5L2 A2 + 5L2 A3

Sujeto a:

FM: L1 A1 + L1 A2 + L1 A3 = 50

FM: L2 A2 + L2 A3 = 60

L1 A1 <= 30

L1 A1, L1 A2, L1 A3, L2 A2, L2 A3>= 0 y enteros

2. Una empresa cementera requiere grava para su producción, puede comprar

hasta 24 toneladas de Santa Lucia y 16 toneladas de Juliaca. Para proveer

a sus tres almacenes, necesita 10, 15, 18 toneladas respectivamente en

cada almacén. El precio de compra por tonelada de cada lugar y los costos

de transporte se muestran en la tabla:

Lugar de

obtención

Costo de transporte por tonelada $ Precio por

toneladaAlmacén 1 Almacén 2 Almacén 3

Santa Lucia 38 35 40 80

Juliaca 45 40 46 90

La empresa contratista desea determinar cuántas toneladas de grava debe

cada lugar al almacén de manera que se minimice el costo total de compra

y acarreo de la grava.

a. Representación de red para este problema.


S1 = el número de toneladas de Santa Lucia al almacén 1



J1 = el número de toneladas de Juliaca al almacén 1




FV: Minimizar el costo de transporte de grava a los almacenes

FM: Minimizar 38S1 +35S2 + 40S3 +45J1 + 40J2 + 46J3.


b) Restricciones de Capacidad de producción

S1 + S2 + S3 <= 24

J1 + J2 + J3 <= 16

c) Restricciones de demanda

S1 + J1 = 10; S2 + J2 = 5; S3 + J3 = 10

d) Restricciones lógicas

N1, N2, N3, S1, S2 y S3 >= 0 y enteros


Minimizar: 38S1 +35S2 + 40S3 +45J1 + 40J2 + 46J3.

S1 + S2 + S3 <= 24

J1 + J2 + J3 <= 16

S1 + J1 = 10

S2 + J2 = 5

S3 + J3 = 10

N1, N2, N3, S1, S2 y S3 >= 0 y enteros

3. Una empresa minera requiere de madera para el sostenimiento pasivo

que requieren semanalmente 200, 300 y 400 toneladas de madera. El

fabricante puede comprar la madera a 3 compañías madereras. Los

primeros dos fabricantes de madera tienen virtualmente un suministro de

400, mientras que por compromisos, el tercer fabricante no puede surtir

más de 350 toneladas pos semana. El primer fabricante de madera usa

el ferrocarril como medio de transporte y no hay límite de peso que

pueda enviar a las fábricas de muebles. Por otra parte, las otras dos

compañías madereras usan camiones, lo cual limita a 300 toneladas el

peso máximo que pueden enviar a cualquiera de las fábricas de

muebles. En la siguiente tabla se da el costo de transporte de las

compañías madereras a las fábricas de muebles ($/ton):

Compañía

maderera

Bloques que conforman la mina

Bloque 1 Bloque 2 Bloque 3

1 2.5 3 5

2 3.5 4 4.5

3 4 3.5 3.5

Solución

Antes de formular el modelo, dibujaremos un diagrama de redes

que nos ayude a visualizar la información y los datos del problema:


C1B1 = El número de toneladas de madera transportadas de la

compañía maderera 1 al bloque 1 por semana.


















a) Un fabricante de muebles tiene tres plantas que requieren

semanalmente 200, 300 y 400 toneladas de madera.

b) El fabricante puede comprar la madera a 3 compañías madereras.

Los primeros dos fabricantes de madera tienen virtualmente un

suministro de 400, mientras que por compromisos, el tercer

fabricante no puede surtir más de 300 toneladas por semana.

c) El primer fabricante de madera usa el ferrocarril como medio de

transporte y no hay límite de peso que pueda enviar a las fábricas de

muebles.

d) Las otras dos compañías madereras usan camiones, lo cual limita a

200 toneladas el peso máximo que pueden enviar a cualquiera de las

fábricas de muebles.

e) Costo de transporte de las compañías madereras a las fábricas de

muebles ($/ton): se muestran en las tablas antes señaladas.


FV: Minimizar el costo de transporte de madera de las compañías

madereras a los bloques de min.

FM: Minimizar: 2.5C1B1 + 3C1B2 + 5C1B3 + 3.5C2B1 + 4C2B2 +

4.5C2B3 + 4C3B1 + 3.5C3B2 + 3.5C3B3


a) Restricciones de disponibilidad de madera

FV: La compañía maderera 1 tiene una capacidad de suministro de 400.

D: (El suministro de madera AL BLOQUE 1 + El suministro de madera

AL BLOQUE 2 + El suministro de madera AL BLOQUE 3)

FM: C1B1 + C1B2 + C1B3 <= 400

De manera similar para las compañías madereras 2 y 3:

C2B1 + C2B2 + C2B3 <= 400

C3B1 + C3B2 + C3B3 <= 300

b) Restricciones de requerimiento de madera

FV: La fábrica de muebles 1 requiere 200 toneladas de madera

semanalmente.

FM: C1B1 + C2B1 + C3B1 <= 200

De manera similar para las fábricas de muebles 2 y 3:

C1B2 + C2B2 + C3B2 <= 300

C1B3 + C2B3 + C3B3 <= 400

c) Restricciones de capacidad de transporte de madera

FV: La compañía maderera 1 usa el ferrocarril como medio de transporte

y no hay límite de peso que pueda enviar a las fábricas de muebles.

D: El suministro de madera de la compañía maderera 1 a la fábrica de

muebles 1 400.

FM: C1B1 <= 400, C1B2 <= 400, C1B3 <= 400

De manera similar para las compañías madereras 2 y 3:

C2B1 <= 200, C2B2 <= 200, C2B3 <= 200

C3B1 <= 200, C3B2 <= 200, C3B3 <= 200


C1B1, C1B2, C1B3, C2B1, C2B2, C2B3, C3B1, C3B2 y C3B3 >= 0


Minimizar:

2.5C1B1 + 3C1B2 + 5C1B3 + 3.5C2B1 + 4C2B2 + 4.5C2B3 + 4C3B1 +

3.5C3B2 + 3.5C3B3

Sujeto a:

FM: C1B1 + C1B2 + C1B3 <= 400

C2B1 + C2B2 + C2B3 <= 400

C3B1 + C3B2 + C3B3 <= 300

FM: C1B1 + C2B1 + C3B1 <= 200

C1B2 + C2B2 + C3B2 <= 300

C1B3 + C2B3 + C3B3 <= 400

C1B1 <= 400, C1B2 <= 400, C1B3 <= 400

C2B1 <= 200, C2B2 <= 200, C2B3 <= 200

C3B1 <= 200, C3B2 <= 200, C3B3 <= 200

C1B1, C1B2, C1B3, C2B1, C2B2, C2B3, C3B1, C3B2 y C3B3 >= 0

II. PROBLEMAS DE TRANSPORTE

1. La empresa de transporte de concentrado de mineral tiene 15 camiones

con capacidad de 25 toneladas y 8 camiones de 30 toneladas de

capacidad. Los camiones mayor capacidad tienen costos de operación

de $ 0,20/Km y los de menor capacidad de $0,15/km. La siguiente

semana, la empresa debe transportar 250 toneladas de concentrado de

cobre para un recorrido de 500 km. Además por cada dos camiones de

menor capacidad mantenidos como reserva debe de haber por lo menos

uno de mayor capacidad ¿Cuál es el número óptimo de camiones de

ambas clases que deben movilizarse para transportar el concentrado de

mineral?

Solución:


CG = el número de camiones de mayor capacidad empleados por

semana.

CP = el número de camiones de menor capacidad empleados por

semana.


a) La compañía posee 15 camiones con capacidad de 25 toneladas.

b) La compañía posee 8 camiones con capacidad de 30 toneladas.

c) El costo de operación de un camión de mayor capacidad es de $0,20 /

km.

d) El costo de operación de menor capacidad es de $0,15 / km.

e) Costo de operación de un camión de mayor capacidad para un

recorrido de 500 km = $0,20 * 500 = $100

f) Costo de operación de un camión grande para un recorrido de 500 km

= $0,15 * 500 = $75

g) En reserva debe quedarse un camión de mayor capacidad por cada

dos camiones de menor capacidad.


FV: Minimizar el costo de operación de los camiones a movilizar

FM: Minimizar 100 CG + 75 CP


a) Tonelaje a transportar 250

FV: La compañía debe transportar 250 toneladas de concentrado

FM: 25 CG + 30 CP = 250

b) Relación de reserva de camiones

FV: por cada dos camiones medianos mantenidos en reserva debe

quedarse por lo menos un camión grande

FM: 2(8- CP) <= (15 – CG)

CG –2 CP +1<= 0

c) Número de camiones

De manera similar para los camiones medianos

CG <= 15

CP <= 8


CG y CP >= 0


Minimizar 100 CG + 75 CP

Sujeto a:

25 CG + 30 CM = 250

CG –2 CM+1 <= 0

CG <= 15

CP <= 8

CG y CM >= 0 y enteros

2. PETRO_MAX produce diésel, en dos plantas, para todo tipo de

máquinas, la empresa minera PUNO_COPPER, requiere de ese

producto para operar sus máquinas de transporte y acarreo en dos

labores (I, II y III). La tabla presenta el costo unitario de envío desde

cada fábrica a cada centro de trabajo (bloque I y II). Además muestra el

número de unidades que se producirán en cada PLANTA y el número de

unidades ordenadas por cada labor.

Labores Costo unitario de envío Producción

BLOQUE I BLOQUE II BLOQUE IIIPLANTA 1 $250 $220 $180 150 und

PLANTA 2 $300 $280 $210 200 und

Orden 200 und 300 und 500 uns 400 und

Formule un modelo matemático para decidir cuantas unidades enviar de

cada fábrica a cada cliente.

Solución:


B1K1 = Número de DIESEL a ser enviados de la planta 1 al bloque I

B1K2 = Número de DIESEL a ser enviados de la planta 1 al bloque II


B2K1 = Número de DIESEL a ser enviados de la planta 2 al bloque I


B2K3 = Número de DIESEL a ser enviados de la planta 2 al bloque III


a. El costo unitario de envío de cada planta a cada bloque, la capacidad

de producción y la demanda es el siguiente:

Los datos se muestran en la tabla anteriormente descrita


FV: Minimizar el costo de envío de los equipos médicos

FM: Minimizar 250B1K1+ 220B1K2+ 180B1K3+ 300B2K1+ 280B2K2+

210B2K3


a) Capacidad de producción en la PLANTA 1

FV: La planta 1 tiene una capacidad de producción de 150 equipos.

FM: B1K1 + B1K2 + B1K3 = 150

b) Capacidad de producción en la PLANTA 2

De manera similar a la restricción anterior:

B2K1 + B2K2 + B3K3 = 20

c) Demanda del bloque 1

FV: El cliente 1 requiere de 300 equipos para vender

FM: B1K1 + B2K1 = 200

d) Demanda del cliente 2 y cliente 3

De manera similar a la restricción anterior:

B1K2 + B2K2 = 300

B1K3 + B2K3 = 500

e) Restricciones lógicas

B1K1, B1K2, B1K3, B2K1, B2K2 y B2K3 >= 0


Minimizar 250B1K1+ 220B1K2+ 180B1K3+ 300B2K1+ 280B2K2+

210B2K3

Sujeto a:

250B1K1+ 220B1K2+ 180B1K3+ 300B2K1+ 280B2K2+ 210B2K3

FM: B1K1 + B1K2 + B1K3 = 150

B2K1 + B2K2 + B3K3 = 200

FM: B1K1 + B2K1 = 200

B1K2 + B2K2 = 300

B1K3 + B2K3 = 500

B1K1, B1K2, B1K3, B2K1, B2K2 y B2K3 >= 0

III. PROBLEMAS DE MEZCLAS Y ALEACIONES

1. MINSUR _ SAN RAFAEL, usa los ácidos I y II para producir dos

soluciones para lixiviación, S1 y S2 La disponibilidad diaria de los ácidos I

y II es de 200 y 180 galones respectivamente. Una unidad de solución

S1 consume 0,4 unidades de ácido I y 0,8 unidades de ácido II; una

unidad de solución S2 requiere 0,6 unidades de ácido I y 0,5 unidades

de ácido II. Las utilidades unitarias de las soluciones S1 y S2 son $9 y

$11, respectivamente. La demanda diaria de la solución S1 esta entre 20

y 140 unidades, y la de la solución S2 entre 30 y 180 unidades.

Solución:


S1 = el número de unidades de solución S1 a producir diariamente.

S2 = el número de unidades de solución S2 a producir diariamente.


a) Consumo y disponibilidad de los ácidos I y II

Ácidos Solución A Solución BDisponibilidad

Gl/x día

I 0.4 0.6 200

II 0.8 0.5 180

b) Utilidades unitarias de las soluciones

• Solución A: $ 9,0

• Solución B: $ 11,0

c) Demanda de las soluciones

a. Solución A: entre 20 y 140 unidades

b. Solución B: entre 30 y 180 unidades


FV: Maximizar las utilidades por la venta de las soluciones S1 y S2

D: Maximizar (utilidades por la venta de la solución S1 + utilidades por

la venta de la solución S2)

FM: Maximiza 9S1 + 11S2


a) Consumo de ácido I

FV: El consumo de ácido I no debe exceder de 200 gl/día

FM: 0,4 S1 + 0,6 S2 <= 200

b) Consumo de ácido II

FV: El consumo de ácido II no debe exceder de 180 gl/día

D: (consumo de ácido II para producir la solución S1 + consumo de

ácido II para producir la solución S2) no debe de exceder de 180 gl/día.

FM: 0,8 S1 + 0,5 S2 <= 180

c) Demanda de la solución S1

FV: La demanda de la solución S1 está entre 20 y 140 gl/día

FM: S1 >= 20 y S2<= 140

d) Demanda de la solución S2

FV: La demanda de la solución B está entre 30 y 180 gl/día

FM: S1 >= 30 y S2<= 180

e) Restricciones lógicas S1 y S2 >= 0 y enteros.


Maximizar 9S1 + 11S2

Sujeto a:

0,4 S1 + 0,6 S2 <= 200

0,8 S1 + 0,5 S2 <= 180

S1 >= 20 y S2<= 140

S1 >= 30 y S2<= 180

S1 y S2 >= 0 y enteros.

2. CEMENTOS - SUR. mezcla grava, hierro y cal para producir sus

cementos. El producto final debe contener al menos 12%, pero no más

de 22%, de hierro por unidad de peso. La cantidad de cal no puede

exceder el 15% de la cantidad de grava usado. Para evitar un error de

cálculo accidental, la suma de 50% de la grava más 40% de cal más

20% del hierro usados no puede exceder 45% del producto final. El

hierro es con mucho el componente más caro. Formule un modelo para

determinar la cantidad de cada ingrediente que debe utilizarse para

producir cada kilo de cemento que satisfaga las restricciones y, a la vez,

que requiera la menor cantidad de hierro.

Solución:


G = cantidad de kilos de grava utilizados para producir 1 Kg de cemento

H = cantidad de kilos de hierro utilizados para producir 1 Kg de cemento

C = cantidad de kilos de cal utilizados para producir 1 Kg de cemento


a. El producto final debe contener al menos 12%, pero no más de 22%,

de hierro por unidad de peso.

b. La cantidad de cal no puede exceder el 15% de la cantidad de grava

usado.

c. Para evitar un error de cálculo accidental, la suma de 50% de grava

más 40% de cal más 20% de hierro usados no puede exceder 45% del

producto final.

d. El hierro es con mucho el componente más caro.


FV: Minimizar el uso de hierro en la producción de cemento

FM: Minimizar H


e) Porcentaje máximo de HIERRO

FV: El producto final debe contener al menos 12% de carbón por unidad

de peso.

FM: H>= 0.12

f) Porcentaje mínimo de carbón

FV: El producto final debe contener no más de 22% de HIERRO por

unidad de peso.

FM: H <= 0.22

g) Cociente salitre/carbón

FV: La cantidad de salitre no puede exceder el 50% de la cantidad de

carbón usado

FM: C <= 0.15G

C - 0.15G <= 0

h) Cantidad de componentes

FV: Para evitar una error de cálculo accidental, la suma de 50% de

grava más 40% de cal más 20% de hierro usados no puede exceder

45% del producto final.

FM: 0.5G + 0.4C +0.2H <= 0.45

i) Balance

FV: se debe mezclar GRAVA, CAL Y HIERRO para producir 1 kg de

cemento.

FM: G + C + H = 1.00

j) Restricciones lógicas

G, C y H >= 0


Minimizar H

Sujeto a:

FM: H>= 0.12

FM: H <= 0.22

FM: C <= 0.15G

C - 0.15G <= 0

FM: 0.5G + 0.4C +0.2H <= 0.45

FM: G + C + H = 1.00

G, C y H >= 0

3. PETRO _ PERÚ, utiliza dos aditivos, M y N, que se mezcla con

gasolinas de alto grado. Después de un cuidadoso análisis se han

determinado las siguientes restricciones:

a. Si se emplea más de un cuarto de litro de aditivos totales por carro

cisterna, los aditivos forman depósitos perjudiciales en los carburadores.

b. 3M + 2N no puede ser menor que un cuarto o la gasolina no tendrá

su color distintivo (un punto principal en las ventas).

c. Medio litro de aditivo x añadiera 100 unidades equivalentes de octano

por carro cisterna y medio litro del aditivo y añadiera 250 unidades

equivalentes de octano por carro cisterna. El número total de unidades

equivalentes por carro cisterna no puede ser menor a 50, a fin de

asegurar los estándares de rendimiento.

d. El aditivo M cuesta $ 200 por medio litro y el aditivo N cuesta $ 500

por medio litro. Determine el modelo matemático para realizar el cálculo

de la mezcla óptima de aditivos.

Solución:


M = cantidad de litros de aditivo M a mezclar para producir 1 litro de

gasolina de alto grado

N = cantidad de litros de aditivo N a mezclar para producir 1 litro de

gasolina de alto grado


a. Se utiliza los aditivos M y N para producir gasolina de alto grado

b. Si se emplea más de un cuarto de litro de aditivos totales por carro

cisterna, los aditivos forman depósitos perjudiciales en los carburadores.

c. 3M + 2N no puede ser menor que un cuarto o la gasolina no tendrá

su color distintivo.

d. Medio litro de aditivo x añadiera 100 unidades equivalentes de

octano por carro cisterna y medio litro del aditivo y añadiera 250

unidades equivalentes de octano por carro cisterna. El número total de

unidades equivalentes por carro cisterna no puede ser menor a 50, a

fin de asegurar los estándares de rendimiento.

e. El aditivo x cuesta $ 200 por medio litro y el aditivo y cuesta $ 500

por medio litro.


FV: Minimizar el costo de los aditivos M y N para producir gasolina de

alto grado

D: Minimizar el costo del aditivo M más el costo del aditivo N utilizados

para producir gasolina de alto grado

FM: Minimizar 600M + 1000N


a) Uso máximo de aditivos

FV: Si se emplea más de un cuarto de litro de aditivos totales por carro

cisterna, los aditivos forman depósitos perjudiciales en los carburadores

D: el aditivo M más el aditivo N deben ser menor de un cuarto de litro

FM: M + N <= 0.25

b) Color distintivo de la gasolina

FV: 3M + 2N no puede ser menor que un cuarto o la gasolina no tendrá

su color distintivo

FM: 3M + 2N >= 0.25

c) Unidades mínimas de octano

FV: Medio litro de aditivo x añadiera 100 unidades equivalentes de

octano por carro cisterna y medio litro del aditivo N añadiera 250

unidades equivalentes de octano por carro cisterna. El número total de

unidades equivalentes por carro cisterna no puede ser menor a 50

D: las unidades de octano añadidos por el aditivo M más las unidades

de octano añadidos por el aditivo N deben ser mayor de 60

FM: 200x + 500y >= 50


M, N >= 0


Minimizar 600M + 1000N

Sujeto a:

M + N <= 0.25

3M + 2N >= 0.25

200x + 500y >= 50

M, N >= 0

IV. PROBLEMAS DE INVERSION

1. LA EMPRESA MINERA CERRO VERDE. ha decidido invertir 2 millones

de dólares en proyectos mineros. El departamento de inversiones ha

identificado 4 proyectos con estrategias de inversión, resultando en

diferentes rendimientos potenciales y riesgos asociados, como se

resume en la tabla.

Proyecto 1 2 3 4

Precio ($/acción) 40 70 100 20

Devolución esperada (%) 25 35 20 10

Categoría de riesgo alto alto mediano mediano

Una forma de controlar el riesgo es limitar la cantidad de dinero

invertido en los diversos proyectos. Para este fin se ha especificado las

siguientes pautas.

a. la cantidad total invertida en proyectos de alto riesgo debe estar

entre 55 y 70% de la cartera.

b. la cantidad total invertida en proyectos de mediano riesgo debe

estar entre 25 y 35% de la cartera.

La empresa minera CERRO VERDE ha especificado que la cantidad

invertida en los proyectos de alto riesgo 1 y 2 deben estar en la tasa 1:2,

respectivamente. La cantidad invertida en los proyectos de mediano

riesgo 3 y 4 debe ser 1:2.

¿Qué proyectos debería recomendar para maximizar la tasa esperada

de retorno?

Solución:


P1 = La fracción de la cartera por invertir en el proyecto 1





a) Capital a invertir $200 000 000

b) Rendimientos potenciales y riesgos asociados: se muestran en la

anterior tabla

c) La cantidad total invertida en proyectos de alto riesgo debe estar


d) La cantidad total invertida en proyectos de mediano riesgo debe


e) La cantidad invertida en los proyectos de alto riesgo 1, 2

deben estar en la tasa 1:2:, respectivamente.

f) La cantidad invertida en los proyectos de mediano riesgo 3 y 4 debe

ser 1:2.


FV: Maximizar el rendimiento total esperado.

D : Maximizar (rendimiento esperado del proyecto 1 + rendimiento

esperado del proyecto 2 + rendimiento esperado del proyecto 3 +

rendimiento esperado del proyecto 4).

FM: Maximizar 0.25P1 +0.35P2 + 0.20P3 + 0.10P4


d) Inversión en proyectos de alto riesgo

FV: La cantidad total invertida en proyectos de alto riesgo debe estar


D: ((la cantidad invertida en el proyecto 1 + la cantidad invertida en el

proyecto 2)) debe estar entre 55 y 70% de la cartera.

FM: P1 + P2 >= 0.55 (mínimo en alto riesgo)

P1 + P2 <= 0.70 (máximo en alto riesgo)

e) Inversión en proyectos de mediano riesgo

FV: La cantidad total invertida en proyectos de mediano riesgo debe


D: ((la cantidad invertida en el proyecto 3 + la cantidad invertida en el

proyecto 4)) debe estar entre 25 y 35% de la cartera.

FM: P3 + P4 >= 0.25 (mínimo en mediano riesgo)

P3 + P4 <= 0.35 (máximo en mediano riesgo)

f) Diversificación de inversión en proyectos de alto riesgo

FV: La cantidad invertida en los proyectos de alto riesgo 1, 2

deben estar en la tasa 1:2:, respectivamente.

D: La cantidad invertida en el proyecto 2 debe ser el doble de lo invertido

en el proyecto 1.

FM: -2P1 + P2 = 0

g) Diversificación de inversión en proyectos de mediano riesgo

FV: La cantidad invertida en los proyectos de mediano riesgo 3 y

4 deben estar en la tasa 1:2, respectivamente.

D: La cantidad invertida en el proyecto 4 debe ser el doble de lo invertido

en el proyecto 3.

FM: -2P3 + P4 = 0

h) Capital de inversión

FV: El capital disponible para invertir en todos los proyectos es de

$200000 000

FM: P1 + P2 + P3 + P4= 2

i) Restricciones lógicas

P1, P2, P3 y P4 >= 0


Maximizar 0.25P1 +0.35P2 + 0.20P3 + 0.10P4

Sujeto a:

P1 + P2 >= 0.55 (mínimo en alto riesgo)

P1 + P2 <= 0.70 (máximo en alto riesgo)

P3 + P4 >= 0.25 (mínimo en mediano riesgo)

P3 + P4 <= 0.35 (máximo en mediano riesgo)

FM: -2P1 + P2 = 0

FM: -2P3 + P4 = 0

FM: P1 + P2 + P3 + P4= 2

P1, P2, P3 y P4 >= 0

2. El MEM ha dispuesto $ 10 millones de dólares de su presupuesto

general para conflictos sociales mineras. 50 por ciento del presupuesto

se utilizara para contratar especialistas: ingenieros de minas,

trabajadores sociales y antropólogos. A un precio de $ 10000, $ 5000 y $

8000, respectivamente. Se ha decidido contratar al menos 20 ingenieros

de minas, y 10 trabajadores sociales. Debido a la demanda de

ingenieros de mina se ha decido contratar no más de 15 trabajadores

sociales. Por razones estratégicas, la proporción de antropólogos a

trabajadores sociales contratados debe estar en el rango de ¼ a ½. El

objetivo es maximizar la utilidad total de estos contratos, en donde las

utilidades individuales están dadas como 1, 3 y 2, respectivamente.

Formular el programa lineal.

Solución:


IM= Número de ingenieros de minas a contratar

TS= Número de trabajadores sociales a contratar

AN= Número de antropólogos a contratar


El MEM dispone de $ 10 millones de dólares de su presupuesto

general para fines de conflictos sociales.

50 por ciento del presupuesto, se utilizara para contratar

profesionales; ingenieros de minas, trabajadores sociales y

antropólogos = 0.50 x $ 10 millones = $ 5 millones

Los ingenieros de minas se contratan por $ 10000.

Los trabajadores sociales por $ 5000.

Los antropólogos por $ 8000.

Se ha decidido que se deben contratar al menos 20 ingenieros de

minas y 10 trabajadores sociales.

Debido a la demanda de ingenieros de minas se ha decidido no

contratar más de 15 trabajadores sociales.

Por razones estratégicas, la proporción de antropólogos a

trabajadores sociales contratados debe estar en el rango de ¼ a ½.

El objetivo es maximizar la utilidad total para realizar contratos, en

donde las utilidades individuales están dadas como 1, 3 y 2,

respectivamente.


FV: Maximizar la utilidad de contratos

D: Maximizar (utilidad de contratos de ingenieros d minas + utilidad de

contratos de trabajadores sociales + utilidad de contrato de

antropólogos) FM: Maximizar 1 x IM + 3 x TS +2 x AN

Maximizar IM + 3TS + 2AN


a) Disponibilidad de presupuesto

FV: El gobierno utilizara $ 5 millones para contratar profesionales.

Ingenieros de minas, trabajadores sociales y antropólogos.

FM: 0.1IM + 0.05TS + 0.08AN <= 5

b) contrato de ingeniero de minas

FV: El MEM debe contratar al menos 20 ingenieros de minas.

FM: IM >= 20

c) contrato de trabajadores sociales

FV: El MEM debe contratar al menos 10 trabajadores sociales.

FM: TS >= 10

d) Demanda de ingenieros de minas

FV: Debido a la demanda de ingenieros de minas el MEM no debe

contratar más de 15 trabajadores sociales.

FM: TS <= 15

e) Razones estratégicas

FV: La proporción de antropólogos a trabajadores sociales contratados

debe estar en el rango de ¼ a ½.

FM: 1/4 = AN/TS = ½

De donde tenemos:

4AN – TS >= 0

2AN – TS<= 0

f) Restricciones lógicas

IM, TS y AN >= 0


Maximizar IM + 3TS + 2AN

Sujeto a:

0.1T + 0.05A + 0.08P <= 5

IM >= 20

TS >= 10

TS <= 15

1/4 = AN/TS = ½

4AN – TS >= 0

2AN – TS<= 0

IM, TS y AN >= 0

3. La gerencia general de Inversiones Mineras TACAZA, está considerando

invertir en 4 prospectos mineros, cada uno de ellos requiere una cierta

cantidad de capital inicial. El asesor financiero de la empresa luego de la

evaluación de la información de cada prospecto, de la inversión inicial,

del factor de riesgo asociado (entre 0 y 1) y la recuperación anual,

presenta la tabla siguiente:

PROYECTO CAPITAL INICIAL (US $)

RIESGO DEVOLUCIÓN

P1 2 000 000 0.40

0.65

P2 3 000 000 0.45

0.55

P3 1 500 000 0.60

0.95

P4 3 500 000 0.55

0.85

El directorio de la empresa ha acordado que el riesgo total, obtenido al

sumar los factores de riesgo de cada proyecto aprobado, no debe

exceder a 3.0. También, cuando mucho dos proyectos pueden tener un

factor de riesgo mayor a 0.5.

Se debe determinar en qué proyectos de debe invertir el presupuesto de

15 millones de dólares que dispone para lograr la mayor recuperación

anual posible.

Formule un modelo matemático.

Solución:


En el presente problema podemos elegir aceptar o rechazar cada una

de las seis propuestas. Entonces crearemos una variable entera para

cada proyecto, de la manera siguiente:

P1 (1, si Inversiones Mineras TACAZA debe invertir en el proyecto 1 Y 0,

si Inversiones Mineras Rinconada SAA no debe invertir en el proyecto 1)


si Inversiones Mineras TACAZA no debe invertir en el proyecto 2)






a. Evaluación de los proyectos:


RIESGO DEVOLUCIÓN

P1 2 000 000 0.40

0.65

P2 3 000 000 0.45

0.55

P3 1 500 000 0.60

0.95

P4 3 500 000 0.55

0.85

b. El riesgo total, obtenido al sumar los factores de riesgo de cada

proyecto aprobado, no debe exceder a 3.0.

c. Cuando muchos dos proyectos pueden tener un factor de riesgo

mayor a 0.5.

d. Se dispone de un presupuesto de US $ 15 000 000.


FV: Maximizar el rendimiento total de las inversiones.

D: Maximizar (rendimiento del proyecto 1 + rendimiento del proyecto 2

+ rendimiento del proyecto 3 + rendimiento del proyecto 4)


RIESGO DEVOLUCIÓN

P1 2 000 000 0.40

0.65

P2 3 000 000 0.45

0.55

P3 1 500 000 0.60

0.95

P4 3 500 000 0.55

0.85

FM: Maximizar 2 000 000 x 0.65P1 + 3 000 000 x 0.55P2 + 1 500 000 x

0.95P3 + 3 500 000 x 0.85P4

Maximizar 130 000P1 + 1 650 000P2 + 1 425 000P3 + 2975 000P4


a) Flujo de efectivo anual

FV: Se dispone de 15 000 000 para invertir anualmente.

D: (Inversión en el proyecto 1 + Inversión en el proyecto 2 + Inversión

en el proyecto 3 + Inversión en el proyecto 4) debe ser menor o igual a

15000000.

FM: 2 000 000P1 + 3 000 000P2 + 1 500 000P3 + 3 500 000P4<=

15000000

4P1 + 6P2 + 3P3 + 7P4<= 30

b) Riesgo total

FV: El riesgo total, obtenido al sumar los factores de riesgo de cada

proyecto aprobado, no debe exceder a 3.0.

D: (el riesgo del proyecto 1 + el riesgo del proyecto 2 + el riesgo del

proyecto 3 + el riesgo del proyecto 4) debe ser menor o igual a 3.0.

FM: 0.40P1 + 0.45P2 + 0.60P3 + 0.55P4<= 3.0


P1, P2, P3 yP4 binarios


Maximizar: 130 000P1 + 1 650 000P2 + 1 425 000P3 + 2975 000P4

Sujeto a:

2 000 000P1 + 3 000 000P2 + 1 500 000P3 + 3 500 000P4<= 15000000

4P1 + 6P2 + 3P3 + 7P4<= 30

0.40P1 + 0.45P2 + 0.60P3 + 0.55P4<= 3.0

P1, P2, P3 yP4 binarios

V. PROBLEMAS DE DISEÑO

1. Una empresa de mecánica de producción, ha recibido un pedido para

hacer cilindros metálicos para los diferentes desperdicios en una mina.

El volumen total del cilindro debe ser al menos de 20 pies cúbicos. El

costo de acero para hacer el costado del contenedor es $3.5 por pie

cuadrado. El costo de la base y la tapa es de $4.5 por pie cuadrado.

Como ingeniero de producción, formule un modelo matemático para

determinar un diseño que minimice el costo del acero requerido.

Solución:


R = radio de la base en pies

H = altura del cilindro en pies


a. El volumen total del contenedor debe ser al menos de 20 pies

cúbicos.

b. El costo de acero para hacer el costado del contenedor es $3.5 por

pie cuadrado.

c. El costo de la base y la tapa es de $4.5 por pie cuadrado.


FV: Minimizar el costo de acero requerido para construir el cilindro de

basura.

D: Minimizar (costo del acero del costado del cilindro + costo del acero

de la base y de la tapa)

FM: Minimizar (2πRH pie2 x $3.5 / pie2 + 2πR2 pie2 x $4.5 / pie2)

Minimizar

7πRH + 9πR2


a) Volumen del contenedor

FV: El volumen total del contenedor debe ser al menos de 20 pies

cúbicos.

D: (πR2H) debe ser al menos de 20 pies cúbicos.

FM: πR2H >= 20

b) Restricciones lógicas

R y H >= 0


Minimizar 7πRH + 9πR2

Sujeto a:

πR2H >= 20

R y H >= 0

2. Una empresa minera desea diseñar un contenedor de residuos sólidos.

El volumen total del cilindro debe ser al menos de 100 pies cúbicos. El

costo de acero para hacer el costado del contenedor es $10 por pie

cuadrado. El costo de la base y la tapa es de $15 por pie cuadrado.

Como ingeniero de producción, formule un modelo matemático para

determinar un diseño que minimice el costo del acero requerido.

Solución:


R = radio de la base en pies

H = altura del contenedor en pies


a. El volumen total del contenedor debe ser al menos de 100 pies

cúbicos.

b. El costo de acero para hacer el costado del contenedor es $10 por

pie cuadrado.

c. El costo de la base y la tapa es de $15 por pie cuadrado.


FV: Minimizar el costo de acero requerido para construir el contenedor

de residuos sólidos.

D: Minimizar (costo del acero del costado del contenedor + costo del

acero de la base y de la tapa)

FM: Minimizar (2πRH pie2 x $10/ pie2 + 2πR2 pie2 x $15 / pie2)

Minimizar

20πRH + 30πR2


a) Volumen del contenedor

FV: El volumen total del contenedor debe ser al menos de 100 pies

cúbicos.

D: (πR2H) debe ser al menos de 100 pies cúbicos.

FM: πR2H >= 100

b) Restricciones lógicas

R y H >= 0


Minimizar 20πRH + 30πR2

Sujeto a:

πR2H >= 100

R y H >= 0

VI. PROBLEMAS DE DISMINUCIÓN DE CONTAMINACIÓN

1. ACEROS AREQUIPA, ha tenido problema en cuanto a la contaminación

no controlada del aire debido a los altos hornos de la planta está en

camino de arruinar la apariencia de la ciudad y de poner en peligro la

ciudad la salud de sus habitantes. Para esto se ha establecido

estándares rigurosos de calidad del aire para la ciudad.

Los tres tipos principales de contaminantes son partículas de materia,

óxidos de azufre e hidrocarburos. Los nuevos estándares requieren que

la compañía reduzca su emisión anual de estos contaminantes en las

cantidades que se presenta en la tabla 1. Cómo lograr estas reducciones

en la forma más económica.

Tabla 1. Estándares de aire limpio de la empresa

Contaminante Reducción requerida de la tasa de emisión anual (millones de

Partículas 70

Óxidos de azufre 160

Hidrocarburos 135

La fabricación de acero tiene dos fuentes principales de contaminación:

los altos hornos para fabricar (lingotes de acero) y los hornos de

fundición para transformar el hierro en acero. En ambos casos los

ingenieros determinaron que los métodos de abatimiento más eficaces

son: 1) aumentar la altura de las chimeneas, 2) usar filtros (con trampas

de gas) en ellas y 3) incluir limpiadores de alto grado en los

combustibles de los hornos.

La tabla 2. Muestra la cantidad de emisión (en millones de libras

anuales) que se puede eliminar de cada tipo de horno mediante el

empleo del método de abatimiento al máximo límite tecnológico.

Tabla 2. Reducción de la tasa de emisión (en millones de libras por año)

con el uso máximo factible del método de abatimiento

Chimeneas más

Filtros Mejores c

Contaminante Altos hornos

Hornos fundición

Altos hornos

Hornos fundición

Altos hornos

Hornos fundición

Partículas 14 11 27 22 19 15

Óxidos de azufre

37 44 20 33 58 51

Hidrocarburos 39 55 30 26 31 22

Se llevó a cabo un análisis para estimar el costo total anual de cada

método de abatimiento. El costo anual de un método incluye el aumento

de los gastos de operación y mantenimiento al igual que la reducción de

los ingresos de vida a cualquier pérdida de eficiencia en el proceso de

producción que puede generar el uso del método. El otro costo

importante es el costo fijo inicial (el capital inicial) que se requiere para

instalar el método.

El análisis permitió estimar los costos anuales totales en millones de

dólares que se presentan en la tabla 3., en la que se incurre al usar los

métodos a toda su capacidad de abatimiento.

Tabla 3. Costo anual por el uso máximo factible del método de

abatimiento (millones de dólares)

Método de abatimiento

Altos hornos Hornos de corazón abierto

Chimeneas más altas

9 11

Filtros 8 7

Mejores combustibles

12 10

En esta etapa todo está listo para desarrollar el marco general del plan

de la compañía para disminuir la contaminación. Éste plan especifica

qué tipo de métodos de reducción deberán emplearse y a que fracciones

de su capacidad para: 1) los altos hornos y 2) los hornos de fundición.

Debido a la naturaleza combinatoria del problema de encontrar un plan

que satisfaga a los requisitos con el menor costo posible, se formó un

equipo de investigación de operaciones para resolverlo. El equipo

decidió enfocar el problema desde un punto de vista de programación

lineal y debe formular un modelo matemático.

Solución:


HA = Fracción del uso máximo de chimeneas más altas para altos

hornos.

HF= Fracción del uso máximo de chimeneas más altas para hornos de

fundición.

FA= Fracción del uso máximo de filtros para altos hornos.

FF= Fracción del uso máximo de filtros para hornos de fundición

MA= Fracción del uso máximo de mejores combustibles para altos

hornos.

MF= Fracción del uso máximo de mejores combustibles para hornos de

fundición.


a. Estándares de aire limpio

Contaminante Reducción requerida de la tasa de emisión anual (millones de

Partículas 70

Óxidos de azufre 160

Hidrocarburos 135

b. Reducción de la tasa de emisión (en millones de libras por año)

con el uso máximo factible del método de abatimiento

Chimeneas más

Filtros Mejores c

Contaminante Altos hornos

Hornos fundición

Altos hornos

Hornos fundición

Altos hornos

Hornos fundición

Partículas 14 11 27 22 19 15

Óxidos de azufre

37 44 20 33 58 51

Hidrocarburos 39 55 30 26 31 22

c. Costo anual por el uso máximo factible del método de abatimiento

(millones de dólares)

Método de abatimiento

Altos hornos Hornos de corazón abierto

Chimeneas más altas

9 11

Filtros 8 7

Mejores combustibles

12 10


FV: Minimizar el costo total de la disminución de la contaminación

mediante métodos de abatimiento.

FM: Minimizar 9 HA + 11 HF + 8FA + 7FF +12MA + 10MF


p) Reducción requerida de la emisión de partículas anualmente

FV: La reducción requerida de emisión de partículas es de 70 millones

de libras anualmente.

D: (reducción de la tasa de emisión empleando el método de

chimeneas más altas para altos hornos + reducción de la tasa de

emisión empleando el método de chimeneas más altas para hornos de

fundición + reducción de la tasa de emisión empleando el método de

filtros para altos hornos + reducción de la tasa de emisión empleando el

método de filtros para hornos de fundición + reducción de la tasa de

emisión empleando el método de mejores combustibles para altos

hornos + reducción de la tasa de emisión empleando el método de

mejores combustibles para hornos de fundición) debe ser mayor o igual

a 70 millones de libras.

FM: 14 CA + 11 CF + 27FA + 22FF +19MA + 15MF >= 70

De manera similar para los métodos de abatimiento de filtros y el uso de

mejores combustibles:

FM: 37 CA + 44 CF + 20FA + 33FF +58MA + 51MF >= 160

FM: 39 CA + 55 CF + 30FA + 26FF +31MA + 22MF >= 135

q) Eficiencia tecnológica de los métodos

FV: La máxima eficiencia tecnológica del método de chimeneas más

altas para altos hornos es del

100%.

FM: CA <= 1

De manera similar para los otros métodos de abatimiento: CF <= 1

FA <= 1

FF <=

MA <= 1

MF <= 1

r) Restricciones lógicas

CA, CF, FA, FF, MA y MF >= 0


Minimizar 9 HA + 11 HF + 8FA + 7FF +12MA + 10MF

Sujeto a:

14 CA + 11 CF + 27FA + 22FF +19MA + 15MF >= 70

37 CA + 44 CF + 20FA + 33FF +58MA + 51MF >= 160

39 CA + 55 CF + 30FA + 26FF +31MA + 22MF >= 135

FM: CA <= 1

FA <= 1

CF <= 1

FF <= 1

MA <= 1

MF <= 1

CA, CF, FA, FF, MA y MF >= 0

problemas de investigacion de operaciones.docx

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