problemas de combinacion e igualacion

5/28/2018 Problemas de Combinacion e Igualacion

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RESOLUCIN DE PROBLEMAS

ARITMTICOS EN EDUCACIN

PRIMARIA

EOEP DE PONFERRADA


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EQUIPO DE ORIENTACIN EDUCATIVAY PSICOPEDAGGICA DE PONFERRADAHuertas de Sacramento S/N; Tel: 987 41 74 01. correo: [email protected] web:http://centros6.pntic.mec.es/equipo.general.ponferrada/

RELACIN DE DOCUMENTOS Y MATERIALES QUE SE PRESENTAN:

1. Documento impreso: Resolucin de problemas aritmticos en educacin primaria.2. Soporte informtico, que consta:

a. Documento en formato Word 2000 y pdf, para su visualizacin en el programaAcrobat Reader: Resolucin de problemas aritmticos en Educacin Primaria.

b. Documento que incluye solamente la base terica: resolucin de problemas basestericas, ya que el mencionado en el apartado anterior, incluye todas las grficas deltratamiento estadstico, que solamente tienen un inters de investigacin.

c. Presentaciones en Power Point, cuyo objetivo fundamental es facilitarle al profesor ladiscriminacin de las diferentes categoras y tipos de problemas. Dichas presentacionesson:

- Categoras y tipos de problemas de suma y resta: Cambio, Combinacin,Comparacin e Igualacin.- Categoras y tipos de problemas de multiplicar y dividir: Multiplicacin-Divisin Razn, Multiplicacin-Divisin Comparacin, Multiplicacin-DivisinFrmula y Multiplicacin-Divisin Combinacin tambin llamado ProductoCartesiano.- Representaciones esquemticas de las diferentes categoras y tipos de problemasde suma y resta listas para imprimir. Estas representaciones facilitan laclasificacin de los problemas en sus respectivas categoras y tipos.

d. Apartados del documento principal en formato Word 2000 y pdf:- Modelos de problemas. Se puede encontrar un listado de problemas de cada

categora y tipo, para trabajar con los alumnos. Tambin sirven como base paraque el profesor pueda crear otros a partir de ellos.- Bibliografa.- Interpretacin estadstica.- Documentos explicativos de las diferentes categoras y tipos de problemas.

Proyecto de Formacin en Centros C.F.I.E. De PONFERRADA 2


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Proyecto de Formacin en CentrosCFIE DE PONFERRADA

Curso 2002-2003

E.O.E.P DE PONFERRADAAntonio Cantero Cajangel Hidalgo PrezBegoa Merayo Valle

Francisco Primo Riesco MarcoAna Sanz Sanz

Aurelio Vega Martnez

CENTROS COLABORADORESCRA DE CARUCEDO

CRA DE TORAL DE MERAYOC.P. SAN BERNARDO



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INDICE

PRESENTACIN

I.- INTRODUCCIN

II.- CLASIFICACIN, ORDEN Y SECUENCIACIN DE LAS CATEGORASY TIPOS DE PROBLEMAS EN FUNCIN DE SU ESTRUCTURASEMNTICA:

A).- PROBLEMAS DE SUMA Y RESTA CON UNA OPERACIN :

A-1.- CATEGORA DE CAMBIO Y SUS TIPOS :

Cambio 1Cambio 2Cambio 3Cambio 4Cambio 5Cambio 6

A-2.- CATEGORA DE COMBINACIN Y SUS TIPOS :Combinacin 1Combinacin 2

A-3.- CATEGORA DE COMPARACIN Y SUS TIPOS:Comparacin 1Comparacin 2Comparacin 3Comparacin 4Comparacin 5Comparacin 6

A-4.- CATEGORA DE IGUALACIN Y SUS TIPOS:Igualacin 1Igualacin 2

Igualacin 3Igualacin 4Igualacin 5Igualacin 6

B).- PROBLEMAS DE MULTIPLICAR Y DIVIDIR CON UNA OPERACIN

B-1.- CATEGORA MULTIPLICACIN - DIVISIN RAZN Y SUS TIPOS:Multiplicacin-Razn 1Multiplicacin-Razn 2Multiplicacin-Razn 3Divisin-Particin-RaznDivisin-Cuoticin-Razn



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B-2.- CATEGORA DE MULTIPLICACIN-DIVISIN ESCALARES.

B2.1 MULTIPLICACIN-DIVISIN COMPARACIN Y SUS TIPOS :Multiplicacin Comparacin en msDivisin Particin Comparacin en msDivisin Cuoticin Comparacin en msMultiplicacin Comparacin en menosDivisin Particin Comparacin en menosDivisin Cuoticin Comparacin en menos

B2.2 MULTIPLICACIN-DIVISIN FRMULA Y SUS TIPOS :Multiplicacin FrmulaDivisin Cuoticin FrmulaDivisin Particin Frmula

B-3.- CATEGORA DE MULTIPLICACIN-DIVISIN COMBINACIN OPRODUCTO CARTESIANO Y SUS TIPOS:

Multiplicacin Combinacin o Producto CartesianoDivisin Combinacin o Producto Cartesiano

III.- DIFICULTADES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS:

* DIFICULTADES QUE SE DERIVAN DE LA PRCTICA ESCOLAR* DIFICULTADES IMPLCITAS QUE SE DERIVAN DE LA TAREA DE RESOLVERPROBLEMAS

IV.- PASOS Y TIPOS DE AYUDAS EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS

V.- INTERPRETACIN ESTADSTICA:

A. ANLISIS DE DATOS RELATIVOS A PROBLEMAS DE UNA OPERACINB. INTERPRETACIN ESTADSTICA POR EDITORIALES.

B1. PROBLEMAS CON UNA OPERACIN DE SUMA O RESTAB2. PROBLEMAS CON UNA OPERACIN DE MULTIPLICAR O

DIVIDIRC. ANLISIS DE DATOS RELATIVOS A PROBLEMAS DE DOS OPERACIONES.D. ANLISIS DE DATOS RELATIVOS A PROBLEMAS DE TRES O MS

OPERACIONES.E. ANLISIS DE DATOS ATENDIENDO AL NMERO DE OPERACIONES.

VI.- CONCLUSIONES FINALES

VII.- BIBLIOGRAFA



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ANEXO 1: Tablas y grficos de problemas de una operacin

ANEXO 2: Tablas y grficos de problemas de dos operaciones

ANEXO 3: Tabla resumen

ANEXO 4: Modelos de problemas de suma, resta, multiplicacin y divisin



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PRESENTACIN:

Como componentes de un Equipo de Orientacin Educativa y Psicopedaggica (E.O.E.P.),frecuentamos las aulas y, conjuntamente con los profesores, procuramos buscar respuestas a las

dificultades de aprendizaje que presentan los alumnos. Muchas de dichas dificultades se refieren alrea de Matemticas y, dentro de ella, al mbito de la resolucin de problemas.

En el trabajo que como grupo realizamos el curso 2001/2002 sobre la Batera deEvaluacin de Kaufman para Nios (K-ABC), al analizar la prueba de Aritmtica, una de las quecomponen la Escala de Conocimientos, se puso claramente de manifiesto que esta materia implicala activacin simultnea de mltiples destrezas cognitivas y requiere la utilizacin de los dosestilos bsicos de procesamiento mental, es decir, el secuencial y el simultneo. Tambin se llega la conclusin de que, en consecuencia, el docente debe conocer cul de dichos estilos emplea elalumno, ya que ello tendr una influencia decisiva tanto en su proceso general de aprendizajecomo, ms concretamente, en el de la resolucin de problemas aritmticos.

Del anlisis de los resultados de determinadas pruebas colectivas aplicadas a los alumnosde diversos centros del sector en el que intervenimos como Equipo, se dedujo que, comparndolascon la media nacional, el rendimiento que obtenan en el mbito de la resolucin de problemas era

bastante bajo. Si a esto aadimos que, segn evaluaciones internacionales, la media espaola sesita por debajo de la de otros pases de similar desarrollo econmico, la necesidad de interveniren este campo se hace ms patente.

Los profesores, por su parte, tambin manifiestan que no existe una relacin satisfactoriaentre el mucho tiempo que se dedica en las aulas a plantear problemas aritmticos a los alumnos yel escaso desarrollo que stos consiguen en las habilidades para su resolucin.

Ante esta situacin, y como servicio externo de apoyo y asesoramiento a la escuelaimplicado en la mejora de la enseanza, promovimos un grupo de trabajo con una doble finalidad:

- Analizar este mbito concreto de la aritmtica desde el punto de vista cientfico-didctico ysacar conclusiones prcticas de cara al quehacer diario de los docentes en sus aulas.

- Descubrir dnde, cundo, cmo o por qu se producen interrupciones o grandes saltos enla secuencia de conocimientos y conceptos, los cuales deben seguir un orden progresivo dedificultad.

As pues, el documento resultante que presentamos, pretende convertirse en un aliado fiel delprofesorado para trabajar la resolucin de problemas en el aula y tiene como objetivo prioritarioproporcionarle un material que pueda integrarse fcilmente en el libro de texto,independientemente de la editorial que utilice como soporte; un material que le ayude a mejorarlas dificultades derivadas de los fallos de secuenciacin descubiertos; un material, en definitiva,que pueda aplicarse directamente en el aula o que sirva de modelo para ampliarlo en aquellosaspectos que resulten ms deficitarios.

Con esta esperanza e ilusin pretendemos contribuir a colmar un vaco y a satisfacer unanecesidad sentida por todos en este mbito de la resolucin de problemas. Es difcil predecir hastaqu punto se conseguirn dichas pretensiones, pero al menos que por no haberlo intentado que no

quede.



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Queremos agradecer la valiosa colaboracin que el profesorado del C.R.A. deCARUCEDO, del C.R.A. de TORAL DE MERAYO y del C. P. SAN BERNARDO (SanMiguel de la Dueas) nos prest clasificando los problemas de gran parte de los materialesdidcticos utilizados, tales como los libros de texto de Anaya y de Santillana o los cuadernillos deRubio.

No olvidemos que:Nuestro trabajo es desafiante y siempre un reto, no un obstculo insuperable.En educacin no existe la ltima palabra.Todos los problemas tienen solucin. Si un problema no tiene solucin ser otra cosa,

pero no un problema.



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I.- INTRODUCCIN:

Los problemas aritmticos estn y han estado siempre presentes en los currculosescolares, debido a las siguientes razones:

- Constituyen un procedimiento para cuantificar situaciones de la vida diaria, es decir, paraaplicar modelos matemticos a situaciones concretas.

- Permiten practicar, ensayar y aplicar el lenguaje matemtico como una parte del cdigolingstico ordinario, ya que la clasificacin de los problemas desde el punto de vista de suestructura semntica requiere hacer un anlisis de la informacin verbal que contienen.

- Los problemas aritmticos son una va para trascender la realidad, aplicando una formaespecfica de tratamiento de los datos, que hace posible volver a integrar y explicar de formams satisfactoria esa realidad de la que haba partido.

- La resolucin de problemas es un medio de aprendizaje y refuerzo de contenidos.

- La resolucin activa de problemas es considerada como el mtodo ms conveniente deaprender matemticas.

- La clave de la resolucin de los problemas est en el nivel de integracin que el nio tiene entreel razonamiento cuantitativo y el conteo.

- La resolucin de problemas requiere un alto grado de comprensin, de razonamiento y dememoria, as como la integracin de destrezas cognitivas.

- La resolucin de los problemas es la vertiente utilitarista e instrumental de las matemticas.Para la mayor parte de los alumnos, ste va a ser el nico contacto que en su vida futura tendrncon los conocimientos matemticos.

La enseanza-aprendizaje de los problemas aritmticos elementales debe contemplar todotipo de problemas, ya que el abanico o surtido que de ellos aportan los libros de texto y loscuadernillos de trabajo que se utilizan en el aula, no suele ser completo ni variado, comotendremos ocasin de ver.

Nuestra hiptesis de partida y la razn de nuestro trabajo es:

Si trabajamos todas las categoras y tipos de problemas, respetando las secuencias deprogresin en conocimientos y conceptos, entonces mejorar el rendimiento de los alumnos enel mbito de la resolucin de los problemas aritmticos.

Normalmente los problemas se clasifican segn el nmero de operaciones que se necesitanpara resolverlos. As se habla de problemas de una operacin, de dos operaciones, de tres o ms.Este enfoque general empleado por los libros de texto y cuadernillos de trabajo, responde a un

planteamiento no del todo idneo. Normalmente se juzgan los problemas de una operacin comosencillos y adecuados a los cursos ms bajos, pero esto no es totalmente cierto. S que hay

problemas de una operacin que son muy sencillos y aplicables a dichos cursos; sin embargo, hayotros de una operacin que son muy complicados porque aparecen envueltos en un lenguaje muy



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elaborado o porque reflejan situaciones poco frecuentes.

Fijmonos en el siguiente problema:Yo tengo 8 cromos. Si tengo 5 ms que tu, cuntos tienes t?

Dicho problema es ms difcil que el de dos operaciones enunciado a continuacin, porquela palabra msque aparece en el enunciado induce a una operacin de suma, cuando lo correctoes realizar una resta:

Tena 12 cromos, jugando gan 7 cromos y luego perd 4. Cuntos cromos mequedan?

Por ello, un enfoque ms adecuado sera aquel que contemplara la presencia de abundantesproblemas sencillos de una operacin en los cursos ms bajos y otros ms complejos en los cursosms altos. No se debe actuar como si la necesidad de realizar problemas de una operacin fuerahacindose inferior conforme avanzan los cursos. Esto puede ser cierto en el caso de los

problemas consistentes que aparecen con frecuencia propuestos en los libros de texto, pero no loes en el de los problemas inconsistentes, los cuales no aparecen o son muy escasos, como secomprobar posteriormente.

Por problemas CONSISTENTES entendemos aquellos cuyos trminos (datos y preguntas)se presentan en el mismo orden que corresponde a la operacin aritmtica requerida para suresolucin. Y as, si es de restar, primero aparece el minuendo y despus el sustraendo; si es dedividir, primero aparece el dividendo y luego el divisor. Por lo que respecta a la pregunta, en estetipo de problemas, debe ir al final del texto y preguntar por la cantidad final.

Dichos problemas sirven fundamentalmente para que los alumnos ejerciten las operaciones

aritmticas y se familiaricen con la tarea. Su presencia, como se ver ms adelante es abundante yreiterativa hasta la saciedad en los libros de texto y cuadernillos de trabajo analizados.

Ejemplos de problemas CONSISTENTES:

Tena 6 coches y me regalaron otros 4. Cuntos coches tengo ahora?

Tena 12 caramelos y regalo 4 a mi hermano. Cuntos caramelos me quedan?

Por problemas INCONSISTENTES entendemos aquellos cuyos trminos (datos ypreguntas) se presentan en orden inverso al que corresponde a la operacin aritmtica requerida

para su resolucin. Y as, si es de restar, primero aparece el sustraendo y luego el minuendo, o sies de dividir, primero aparece el divisor y luego el dividendo. En dichos problemas la pregunta serefiere a la cantidad inicial o a la transformacin y se formula al principio o en medio delenunciado. Segn Orrantia y colaboradores tambin podramos llamar inconsistentes aquellos

problemas cuyo enunciado contiene un concepto verbal con significado contrario a la operacinrequerida para su resolucin como puede ser ms cuando es de restar o menos cuando es desumar.

En nuestro trabajo consideramos como inconsistentes todos los problemas que cumplencualquiera de los criterios anteriormente mencionados.

Los problemas inconsistentes, adems de servir para ejercitar las operaciones, desarrollanlas estrategias de resolucin. Su presencia es muy escasa o incluso nula en los libros de texto y enlos cuadernillos de trabajo analizados.



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Cuando un alumno resuelva mal un problema porque en el texto est alterado el orden delos datos, se le debe proponer con dichos datos expresados en el orden correspondiente a laoperacin requerida.

Vase el siguiente problema: Regalo 3 caramelos y tena 12. Cuntos me quedan?Losdatos no siguen el orden correspondiente a la operacin requerida para su resolucin, por lo que siel nio no lo resuelve correctamente, debemos plantearle el enunciado de la forma siguiente: Tena12 caramelos y regalo 3. Cuntos me quedan?

Cuando resuelve mal un problema porque se pregunta por la cantidad inicial o por latransformacin, se le debe proponer preguntndole por la cantidad final.

En el siguiente problema, cuntas canicas tena cuando empec a jugar, si gan 5 y

ahora tengo 12?,se pregunta por la cantidad inicial. Si el alumno no fuera capaz de resolverlocorrectamente, habra que planterselo preguntando por la cantidad final, es decir, Cuando empeca jugar tena 7 canicas y gan 5, cuntas tengo ahora?

La ubicacin de la pregunta en el enunciado, as como el orden de aparicin de los datos,pueden ofrecer una secuencia que nada tenga que ver con el orden lgico que demanda lasituacin.

Lo que acabamos de decir slo vale para un tratamiento inicial, porque este tipo deproblemas hay que saber resolverlos sea cual sea el orden de aparicin de los datos y la posicinde las preguntas.

Tambin podramos llamar inconsistentes a aquellos problemas cuyo enunciado contieneun concepto verbal con significado contrario a la operacin requerida para su resolucin, como

puede ser mscuando es de restar o menoscuando es de sumar.

Ejemplos de problemas INCONSISTENTES y CONSISTENTES:

Cunto dinero le falta a Juan, que tiene 12 euros, para tener la misma cantidad que Andrs, quetiene 18 euros?

Este es un problema INCONSISTENTE porque la pregunta est situada al principio yadems el orden de los datos es inverso al requerido por la operacin, es decir, primero aparece el

sustraendo y despus el minuendo.

Andrs tiene 18 euros. Le da 12 a Juan. Cunto dinero le queda a Andrs?Este es un problema CONSISTENTE porque la pregunta est al final y los datos colocados

en el orden que exige la operacin, es decir, primero el minuendo y despus el sustraendo.

Antonio tiene 10 euros, Rebeca tiene 4 euros. Cuntos euros ms que Rebeca tiene Antonio?Este es un problemas inconsistente porque la resolucin del problema induce al error, ya

que el concepto verbal ms el alumno lo asocia con aadir o sumar, mientras que el problema seresuelve restando.

Ante la sospecha bien fundada de que ni nuestros libros de texto ni los cuadernillos derefuerzo o ampliacin al uso trabajan de forma equitativa todas las categoras y tipos de



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problemas, hemos decidido hacer un anlisis de los mismos, desde el punto de vista de suestructura semntica, partiendo de los materiales didcticos utilizados en varios centros dondeintervenimos como asesores externos. Dichos materiales en este caso fueron los libros de texto deSantillana y los de Anaya, as como los cuadernillos de estas dos editoriales, los de SM y Rubio.Para este anlisis hemos tenido en cuenta los siguientes criterios:

- Identificacin de la categora y tipo de problema.

- La secuenciacin de acuerdo a la lgica interna de la Aritmtica.

- Estar bien secuenciados de acuerdo con el desarrollo evolutivo del nio y con el nivelacadmico (curso-ciclo y edad).

- Conocer los prerrequisitos, las ayudas, la didctica y el variado uso del vocabulariomatemtico.

- Coincidir con el estilo de procesamiento mental que hace el alumno de la informacin(secuencial-simultneo), aunque en la resolucin de problemas es necesaria la integracinde ambos procesos.

- Trabajar la variabilidad perceptiva o pensamiento divergente para favorecer laflexibilidad mental del nio.

TODO LO ANTERIOR PODEMOS SINTETIZARLO EN LA SIGUIENTE TABLA DEREGISTRO:



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CATEGORA TIPOSSECUENCIACIN EVOLUTIVA Y

ACADMICACA1 CA2 Ciclo I (1EP) 6 aos.CA 3 CA4 Ciclo I-II (2-3 EP) 7 - 8 aosCAMBIO

CA 5 CA6 Ciclo I-II (2-3 EP) 8 - 9 aosCO1 Ciclo I (1 EP) 6 aosCOMBINACIN

CO2 Ciclo I-II (2-3EP) 8 aosCM1 Ciclo I-II (3 EP) 8 aosCM2 Ciclo I-II (1-3 EP) 6 - 8 aosCM3 Ciclo I-II (2-3 EP) 8-9 aosCM4 Ciclo I (2 EP) 7-8 aosCM5 Ciclo I-II (2-3 EP) 8-9 aos

COMPARACIN

CM6 Ciclo I-II (2-3 EP) 8-9 aos

SUMAYRESTA

IGULACIN IG : 1,2,3,4,5 y 6 Ciclo II-III (3-4-5 E.P.) 9 - 11 aos

MULTIPLICACIN-RAZN MR1 MR2 MR3 Ciclo I-II (2-3 E.P.) 7 - 8 aosDPR Ciclo I-II (2-3 E.P.) 7 - 8 aos

DIVISIN-RAZNDCR Ciclo I II (3 E.P.) 8 aos.

MULTIPLICACIN-COMPARACIN EN MS

MCM EN + Ciclo II-III (4-5 E.P) 9-11 aos

DIVISIN PARTICINCOMPARACIN EN MS

DPCM EN + Ciclo II-III (4-5 E.P) 9-11 aos

DIVISIN CUOTICINCOMPARACIN EN MS

DCCM EN + Ciclo II-III (4-5 E.P) 9-11 aos

MULTIPLICACINCOMPARACIN EN MENOS

MCM EN - Ciclo III (5-6 E.P) 10-11 aos

DIVISIN PARTICIN ENMENOS

DPCM EN - Ciclo III (5-6 E.P) 10-11 aos

DIVISIN CUOTICIN ENMENOS

DCCM EN - Ciclo III (5-6 E.P) 10-11 aos

MULTIPLICACIN FRMULA MF Ciclo III (5-6 E.P) 10-11 aosDIVISIN PARTICIN

FRMULADPF Ciclo III (5-6 E.P) 10-11 aos

DIVISIN CUOTICINFRMULA

DCF Ciclo III (5-6 E.P) 10-11 aos

MULTIPLICACIN-COMBINACINO PRODUCTO CARTESIANO

MCO PC1 Ciclo III (5-6 E.P) 10-11 aos

MULTIP

LICACINYDIVISIN

DIVISIN-COMBINACIN OPRODUCTO CARTESIANO

DPCO PC1 Ciclo III (5-6 E.P) 10-11 aos

PRERREQUISITOSYVO

CABULARIO

E

STILODEPROCESAMIENTOD

ELAINFORMACIN

PENSAMIENTODIVERGENTE

PRERREQUISITOS Y VOCABULARIO:

Por prerrequisitos entendemos que desde el principio se debe trabajar:* La integracin del razonamiento cuantitativo (protocuantitativos) con el conteo (cadena numrica).* Que el aprendizaje de los nmeros y de las operaciones se de en un contexto significativo* Hacer modelizaciones de situaciones en el contexto del aula (entrenar al alumno en situaciones concretas).* La comprensin lectora, termino a termino.* El vocabulario: consiste en trabajar la variabilidad lingstica. Ya que, la resolucin de los problemas desde el punto de vistasemntico requiere hacer un anlisis de la informacin verbal del problema.* Que los problemas se presenten en el momento en que los alumnos sean capaces de conceptualizarlos.

ESTILO DE PROCESAMIENTO DE LA INFORMACIN:* Procesamiento Simultneo: consiste en hacer la representacin del problema. Todo problema debe ser representado.* Procesamiento Secuencial: consiste en establecer los pasos.* Procesamiento Integrado (secuencial ms simultneo): consiste en integrar los datos para operar y hacer las preguntas dereflexin (contrastar la solucin con los datos del problema).

PENSAMIENTO DIVERGENTE:* Que la oferta de tipos y categoras de problemas sea muy amplia y que abarque muchas situaciones.* Resolver los problemas de todas las formas posibles.

* Plantear el mismo problema de formas diferentes.* Hacer preguntas distintas ante el mismo problema.



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Una vez que hemos conseguido poner nombre y apellidos a cada problema, es decir,clasificarlo atendiendo a la categora, al tipo y a la adecuacin del nivel de dificultad, pasaremos aanalizar el material didctico utilizado en el aula, a fin de sacar conclusiones en base a las cualesestablecer pautas para mejorar y completar dicho tratamiento.

Posteriormente ser la ejecucin del mismo material, por parte del alumno y del profesoren el aula el termmetro que nos indique cmo van siendo sus xitos o fracasos y su nivel deadecuacin. Esta ser la informacin que nosotros necesitamos para ajustar mejor el estilo deenseanza del profesor al estilo de procesar la informacin que tiene el alumno y sus necesidadeseducativas por arriba y por abajo, en el mbito de la resolucin de problemas aritmticos.

Pretendemos, en definitiva, elaborar un material relativo a la resolucin de problemas quele permita a cada profesor seguir con sus libros de texto, con sus cuadernillos y con sus

programacin, as cmo ir complementando todo ello con la experimentacin e innovacin de

dichas propuestas.

En resumen, por tanto, las finalidades de este trabajo son tres:

1- FINALIDAD PREVENTIVA: Porque trata de evitar la aparicin de posibles dificultades oalteraciones en el mbito de la resolucin de problemas aritmticos, mediante el desarrollo de unrepertorio de habilidades bien secuenciadas, que permitan afrontar todas sus categoras y tiposdesde el punto de vista de la estructura semntica.

2- FINALIDAD CORRECTIVA: Porque se proponen recursos para solucionar dificultadesconcretas en la resolucin de problemas, tales como la clasificacin de los mismos, su

secuenciacin y algunos modelos, adems de otros de carcter didctico.

3- FINALIDAD OPTIMIZADORA: Porque puede servir para :Hacer una mejor secuenciacin de los contenidos en este mbito.Adaptarse al ritmo de aprendizaje de los alumnos.Responder a las necesidades tanto de los alumnos como de los profesores.Integrar en el currculo, los distintos tipos y categoras de problemas a travs de la programacin

de aula, del libro de texto que se utilice en cada caso, de otros programas y materiales existentestambin en el mercado relativos a este mbito.

Trabajar la resolucin de todas las categoras y tipos de problemas de forma contextual,sistemtica y coherente a lo largo de la etapa de Educacin Primaria, respetando el nivel de

dificultad correspondiente.



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II. CLASIFICACIN, ORDEN Y SECUENCIACIN DE LASCATEGORAS Y LOS TIPOS DE PROBLEMAS EN FUNCINDE SU ESTRUCTURA SEMNTICA:

Algunos autores como Orrantia y colaboradores, clasifican los problemas de estructuraaditiva en tres categoras bsicas: cambio, combinacin y comparacin. Otros, sin embargo, comoJ. Luis Luceo Campos y Jaime Martnez Montero, por cuya clasificacin hemos optado en el

presente trabajo, aaden a las anteriores la categora de igualacin.

Para la clasificacin de los problemas de cambio y combinacin tambin hemos seguido elcriterio de Luceo y Martnez Montero, quienes establecen la diferencia entre ambos en base a quelas cantidades utilizadas sean de la misma (cambio) o de distinta (combinacin) naturaleza. Nohemos tenido en cuenta el criterio seguido por Orrantia y colaboradores basado en la situacin

planteada, segn que esta sea dinmica (cambio) o esttica (combinacin).

Los de estructura multiplicativa los hemos dividido en los siguientes tipos, siguiendotambin a Luceo y a Martnez Montero: multiplicacin-divisin-razn, multiplicacin-divisin-escalares y multiplicacin-divisin-combinacin (producto cartesiano).

As pues, en cada problema tendremos en cuenta:-Categora y tipo.-Nivel de dificultad por edades, ciclo y curso acadmico.-Enunciado modelo.



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A) PROBLEMAS DE SUMA Y RESTA CON UNA OPERACINA) PROBLEMAS DE SUMA Y RESTA CON UNA OPERACIN

A1.- CATEGORA DE CAMBIO Y SUS TIPOSA1.- CATEGORA DE CAMBIO Y SUS TIPOS

LA CATEGORA DE CAMBIO (CA): Se trata de problemas en los que se parte de unacantidad, a la que se aade o se le quita otra de la misma naturaleza.LA CATEGORA DE CAMBIO (CA): Se trata de problemas en los que se parte de unacantidad, a la que se aade o se le quita otra de la misma naturaleza.

En los problemas de Cambio se puede preguntar por la cantidad final , por la cantidadresultante de la transformacin, y por ltimo la cantidad inicial. Cada una de estas tres

posibilidades se puede enfocar desde dos puntos de vista: la cantidad crece o decrece. De aqusurgen los 6 tipos de problemas de Cambio (CA1; CA2; CA3, CA4; CA5; CA6).

En los problemas de Cambio se puede preguntar por la cantidad final , por la cantidadresultante de la transformacin, y por ltimo la cantidad inicial. Cada una de estas tres

posibilidades se puede enfocar desde dos puntos de vista: la cantidad crece o decrece. De aqusurgen los 6 tipos de problemas de Cambio (CA1; CA2; CA3, CA4; CA5; CA6).

TIPO DEPROBLEMAS

NIVELACADMICO

ENUNCIADO TIPO Y EXPLICACIONES

CA1(cambio-unin)

Se conoce cantidad inicial. Se lehace crecer. Se pregunta por la

cantidad final.

Ciclo I (1EP)6 aos.

CAMBIO 1.. Se parte de una cantidad inicial a la que se hace crecer. Sepregunta por la cantidad final resultante de la misma naturaleza. Es un

problema de sumar.*"Antonio tena en su hucha 8 euros. Despus de su comunin, metiotros 12 euros. Cunto dinero tiene ahora en la hucha "?

*Montse tena 4 aros antes de comenzar la clase de educacin fsica. Alfinalizar la clase sus alumnos le dan 5 ms . Cuntos aros tiene ahoraMonse?

CA2 (cambio-separacin)

Se le hace disminuir. Se preguntapor la cantidad final

Ciclo I (1EP)6 aos

CAMBIO 2. Se parte de una cantidad inicial a la que se le hace disminuir.Se pregunta por la cantidad final resultante de la misma naturaleza. Es unproblema de restar...

*"Antonio tena en su hucha 8 euros. En su cumpleaos se ha gastado 5euros. Cunto dinero tiene ahora en la hucha"?

*Lourdes tiene 5 bolas y le da 2 a Israel Cuntas le quedan?.CA 3 (cambio-unin)

Se conoce cantidad inicial y final(mayor). Se pregunta por aumento

Ciclo I-II( 2-3 EP)7 - 8 aos

CAMBIO 3. Se parte de una cantidad inicial y, por una transformacin,se llega a una cantidad final conocida y mayor que la inicial. Se preguntapor la transformacin. Es un problema de restar:*"Andrs tena 14 tazos. Despus de jugar ha reunido 18. Cuntos haganado?"

*Raquel tiene 15 lapiceros Cuntos ms necesitar para tener 17 entotal?

CA 4 (cambio-separacin)

Se conoce cantidad inicial y final(mayor). Se pregunta por aumento

Ciclo I-II( 2- EP)7 - 8 aos

CAMBIO 4. Se parte de una cantidad inicial y, por una transformacin,se llega a una cantidad final conocida y menor que la inicial. Se preguntapor la transformacin. Es un problema de restar:

*"Andrs tena 14 tazos. Despus de jugar le quedan slo 8 tazos.Cuntos ha perdido?"* Beln tiene 17 chicles, da algunos a Pablo y le quedan 5. Cuntoschicles dio a Pablo?

CA 5 (cambio-unin)

Se conoce cantidad final y su

aumento. Se pregunta cantidadinicial.

Ciclo I-II( 2-3 EP)8 - 9 aos

CAMBIO 5. Se tiene que construir la cantidad inicial conociendo lo questa ha crecido y la cantidad resultante. Es un problema de restar:

*"Jugando he ganado 7 canicas, y ahora tengo 11. Cuntas canicastena antes de empezar a jugar?

* Hctor tiene algunos caramelos y le dan dos ms. Tiene entonces 7caramelos . Cuntos caramelos tena al principio?

5 ?

CA1

+3

?8

-3

CA2

5 8

?+

CA3

58

?-

CA4

? 8

+3

CA5



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TIPO DEPROBLEMAS

NIVELACADMICO


CA 6 (cambio-separacin)

Se conoce cantidad final y sudisminucin. Se pregunta cantidad

inicial.

Ciclo I-II( 2-3 EP)8 aos

CAMBIO 6. Se tiene que construir la cantidad inicial conociendo lo questa ha disminuido y la cantidad resultante. Es un problema de sumar:

*"Jugando he perdido 7 canicas, y ahora me quedan 4. Cuntas canicas

tena antes de empezar a jugar?"*Marta tiene algunos rotuladores . Da 2 a Jorge y le quedan 5rotuladores Cuntos rotuladores tena al principio?

5?

-3

CA6



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5 ?

CA1 ?

8

-3

CA2

5 8

?+

CA3 5

8

?-

CA4

? 8

+3

CA5 5?

-3

CA6

+3

Se parte de una cantidad a la que seaade/quita otra de la misma naturaleza

Se conoce cantidad inicial.Se le hace disminuir. Se

pregunta por la cantidadfinal

Se conoce cantidad inicial.Se le hace crecer. Se

pregunta por la cantidadfinal

Se conoce cantidad inicial yfinal (mayor). Se pregunta

por aumento

Se conoce cantidad inicial yfinal (menor). Se pregunta

por la disminucin.

Se conoce cantidad final y suaumento. Se pregunta

cantidad inicial.

Se conoce cantidad final y sudisminucin. Se pregunta

cantidad inicial.

PROBLEMAS DE CAMBIO



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A2.- CATEGORA DE COMBINACIN Y SUS TIPOSA2.- CATEGORA DE COMBINACIN Y SUS TIPOS

LA CATEGORA DE COMBINACIN (CO): Se trata de problemas en los que setienen dos cantidades, las cuales se diferencian en alguna caracterstica, y se quiere saber lacantidad total que se obtiene cuando se renen las anteriores, o cuando conociendo la total y unade aquellas, se quiere saber cul es la otra. De aqu surgen dos tipos de problemas: CO1 y CO2.

LA CATEGORA DE COMBINACIN (CO): Se trata de problemas en los que setienen dos cantidades, las cuales se diferencian en alguna caracterstica, y se quiere saber lacantidad total que se obtiene cuando se renen las anteriores, o cuando conociendo la total y unade aquellas, se quiere saber cul es la otra. De aqu surgen dos tipos de problemas: CO1 y CO2.

TIPO DEPROBLEMAS

NIVELACADMICO ENUNCIADO TIPO Y EXPLICACIONES.

CO 1

Se conocen las dos partesy se pregunta por el todo.

Ciclo I(1 EP)6 aos

COMBINACION 1. Es el clsico problema en que las dos partes se renen paraformar un todo. Es un problema de sumar.

"Luisa tiene 12 bombones rellenos y 5 normales. Cuntos bombones tiene Luisaen total?"

CO 2

Se conoce el todo y unade las partes. Se pregunta

por la otra.

Ciclo I-II (2-3EP)8 aos

COMBINACIN 2. Es el problema inverso al anterior, puesto que se conoce eltodo y una de las partes, y se pregunta por la otra. Es un problema conmutativo yde restar:

*"Luisa tiene 12 bombones contando los rellenos y los normales. Si tiene 10rellenos, cuntos bombones normales tiene Luisa?"

*En clase hay 15 alumnos; 9 son nios y el resto nias Cuntas nias hay?

*En clase hay 15 alumnos; 4 estn sentados y el resto de pi Cuntos niosestn de pi?

3

5

?

CO1

3

?

8

CO2

COMBINACIN

3

5

?

CO1

Se conocen las dos partes y se pregunta por el todo.

3

?

8

CO2

Se conoce el todo y una de las partes. Se preguntapor la otra.



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A3.- CATEGORA DE COMPARACIN Y SUS TIPOSA3.- CATEGORA DE COMPARACIN Y SUS TIPOSLA CATEGORA DE COMPARACIN (CM): Esta categora comprende aquellos

problemas en los que se comparan dos cantidades. Los datos del problema son precisamente esascantidades y la diferencia que existe entre ellas. De estas dos cantidades, una es la comparada yotra la que sirve de referente. La diferencia es la distancia que se establece entre ambas.

LA CATEGORA DE COMPARACIN (CM): Esta categora comprende aquellosproblemas en los que se comparan dos cantidades. Los datos del problema son precisamente esascantidades y la diferencia que existe entre ellas. De estas dos cantidades, una es la comparada yotra la que sirve de referente. La diferencia es la distancia que se establece entre ambas.

En el problemaJuan tiene 4 euros y Luisa tiene 3 euros ms. Cuntos euros tiene Luisa?, lacantidad comparada es la de Luisa, y los euros de Juan constituyen el referente.

En el problemaJuan tiene 4 euros y Luisa tiene 3 euros ms. Cuntos euros tiene Luisa?, lacantidad comparada es la de Luisa, y los euros de Juan constituyen el referente.

En los problemas de comparacin se puede preguntar por la diferencia si se conocen lasdos cantidades, por la cantidad comparada cuando se conocen el referente y la diferencia, o por lacantidad referente, si se conocen la comparada y la diferencia. Como adems se puede preguntar

por cuntos ms o por cuntos menos, resultan seis tipos de problemas de Comparacin (CM1;CM2; CM3; CM4; CM5; CM6).

En los problemas de comparacin se puede preguntar por la diferencia si se conocen lasdos cantidades, por la cantidad comparada cuando se conocen el referente y la diferencia, o por lacantidad referente, si se conocen la comparada y la diferencia. Como adems se puede preguntar

por cuntos ms o por cuntos menos, resultan seis tipos de problemas de Comparacin (CM1;CM2; CM3; CM4; CM5; CM6).

TIPO DEPROBLEMAS

NIVELACADMICO ENUNCIADO TIPO Y EXPLICACIONES

C M 1

Conocemos las dos cantidades.Se pregunta por la diferencia

en ms.

Ciclo I-II (3EP)8 aos

COMPARACIN 1. Es uno de los clsicos problemas de comparacin, en el quese expresan las dos cantidades y se pregunta por la diferencia y en el sentido delque tiene ms. Es un problema de restar:

"Marcos tiene 8 euros. Raquel tiene 5 euros. Cuntos euros ms que Raqueltiene Marcos?".

Es una situacin, en la que se conocen las cantidades que tienen los dosujetos, y se pregunta por la diferencia en ms que tiene la cantidad mayorrespecto a la menor.

Es un problema de mediana dificultad se trabaja fundamentalmente en 2Ciclo de EP. Es difcil porque la formulacin del problema induce al error, yaque el alumno asocia aadir a sumar

C M 2

Conocemos las dos cantidades.Se pregunta por la diferencia

en menos.

Ciclo I-II (1-3EP)6-8 aos

COMPARACIN 2. Es otro de los clsicos problemas de comparacin, en elque se expresan las dos cantidades y se pregunta por la diferencia y en el sentidodel que tiene menos. Es un problema de restar:

"Marcos tiene 37 euros. Raquel tiene 12 euros. Cuntos euros menos queMarcos tiene Raquel?"

Es una situacin, en la que se conocen las cantidades que tienen los dosujetos, y se pregunta por la diferencia en menos que tiene la cantidad menorrespecto a la mayor.

Es un problema de mediana dificultad, se trabaja fundamentalmente en 2

Ciclo de EP.

C M 3

Se conoce la cantidad del 1 yla diferencia en ms del 2. Se

pregunta por la cantidad del 2

Ciclo I-II (2-3EP)8-9 aos

COMPARACIN 3. Situacin en la que se quiere averiguar la cantidadcomparada conociendo la referente y la diferencia en ms de sta. Es unproblema de sumar.

"Ester tiene 8 euros. Irene tiene 5 euros ms que ella. Cunto dinero tieneIrene?"

En esta situacin de comparacin conocemos la cantidad que tiene el 1sujeto ( Ester), y la diferencia en ms que tiene el otro sujeto( Irene) Ahora sepregunta por la cantidad total que tiene el 2 sujeto ( Irene).

58

+?

CM1

Cuntos ms?

58

-?

CM2

Cuntos menos?

5 ?

CM3

3+



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TIPO DE NIVELACADMICO

ENUNCIADO TIPO Y EXPLICACIONESPROBLEMAS

C M 4

Se conoce la cantidad del 1 yla diferencia en menos del 2.

Se pregunta por la cantidad del2

Ciclo I (2EP)7-8 aos

COMPARACIN 4. Situacin en 1a que .se quiere averiguar la cantidadcomparada conociendo la referente y la diferencia en menos de sta. Es unproblema de restar:

"Ester tiene 8 euros. Irene tiene 5 euros menos que ella. Cunto dinero tieneIrene?"

En esta situacin de comparacin conocemos la cantidad que tiene el 1 sujeto(Ester), y la diferencia en menos que tiene el otro sujeto( Irene) Ahora sepregunta por la cantidad total que tiene el 2 sujeto ( Irene).

Es un Problema para el 1 Ciclo de EP. Aunque algunos alumnos no lodominan hasta el 2 Ciclo.

C M 5

Se conoce la cantidad del 1 ysu diferencia en ms con la del

2. Se pregunta por cantidaddel 2

Ciclo II-III (2-3 EP)8-11 aos

COMPARACIN 5. Situacin en la que se quiere averiguar la cantidad referenteconociendo la comparada y la diferencia en ms de sta. Es un problema derestar:

"Rosa tiene 17 euros, y tiene 5 euros ms que Carlos. Cuntos euros tieneCarlos?"

Es una situacin en la que se requiere saber a cuanto asciende una 2cantidad, conociendo una 1 mayor y su diferencia con la 2. Se trata de comparardos cantidades, de las que una de ellas est sin construir, y en su construccinradica la solucin del problema.

Es un problemas para el 2 - 3 Ciclo de E P, y requiere mucho entrenamiento.C M 6

Se conoce la cantidad del 1 ysu diferencia en menos con la

del 2. Se pregunta porcantidad del 2

Ciclo II-III (2-3 EP)8-11 aos

COMPARACIN 6. Situacin en la que se quiere averiguar la cantidad referenteconociendo la comparada y la diferencia en menos de sta. Es un problema desumar:

"Rosa tiene 17 euros, y tiene 5 euros menos que Carlos. Cuntos euros tieneCarlos?"

Es una situacin en la que se requiere saber a cuanto asciende una 2 cantidad,conociendo una 1 menor y su diferencia con la 2. Se trata de comparar doscantidades, de las que una de ellas est sin construir, y en su construccin radicala solucin del problema.

Es un problemas para el 2 - 3 Ciclo de E P. Y requiere muchoentrenamiento .

?8

3-

CM4

?8

3+

CM5

5 ?

CM6

3-



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PROBLEMAS DE COMPARACIN

58

+?

CM1 58

-?

CM2

5 ?

CM3

3+

?8

3-

CM4

?8

3+

CM5 5 ?CM6

3-

Comparacin de dos cantidades

Conocemos las dos cantidades. Sepregunta por la diferencia en ms.

Conocemos las dos cantidades. Sepregunta por la diferencia en menos.

Cuntos ms? Cuntos menos?

Se conoce la cantidad del 1 y la

diferencia en ms del 2. Se pregunta porla cantidad del 2

Se conoce la cantidad del 1 y la

diferencia en menos del 2. Se preguntapor la cantidad del 2

Se conoce la cantidad del 1 y sudiferencia en ms con la del 2. Se

pregunta por cantidad del 2

Se conoce la cantidad del 1 y sudiferencia en menos con la del 2. Se




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A4.- CATEGORA DE IGUALACIN Y SUS TIPOS

LA CATEGORA DE IGUALACIN (IG): La categora de Igualacin comprende losproblemas que contienen dos cantidades diferentes, sobre una de las cuales se acta aumentndolao disminuyndola hasta hacerla igual a la otra. De estas dos cantidades, una es la cantidad aigualar y la otra es la cantidad referente. La transformacin que se produce en una de dichascantidades es la igualacin. Vase el problema: Marcos tiene 8 euros. Raquel tiene 5 euros.Cuntos euros tiene que perder Marcos para tener los mismos que Raquel? La cantidadreferente es la de Raquel, la que se ha de igualar es la de Marcos, y la igualacin se produce altransformar el nmero de euros que tiene ste ltimo.

Aunque algunos especialistas funden esta categora con la de Comparacin, no parece que

se trate de la misma, ya que cada una requiere manipulaciones distintas, es decir, mientras quecuando se compara no se aade ni se quita nada, cuando se iguala necesariamente se aade o quitaalgo. En este sentido, la categora de Igualacin es un trmino medio entre la de Comparacin y dela de Cambio.

La categora de igualacin tambin cuenta con seis tipos de problemas derivados de si sepregunta por la cantidad a igualar, por la referente o por la igualacin, que a su vez adquieren dosformas segn que la igualacin sea de aadir o de quitar.

IGUALACIN 1 (IG1): Plantea una situacin en la que se conocen las cantidades aigualar y la referente, y se pregunta cunto hay que aadir (igualacin) a la primera para alcanzarla segunda. Es un problema de restar.

Vase el problemaMarcos tiene 8 euros . Raquel tiene 5 euros . Cuntos euros le tienenque dar a Raquel para que tenga los mismos que Marcos. Presenta una situacin de igualacin,en la que se conocen las cantidades que tienen los dos sujetos y se pregunta por el aumento quetiene que sufrir la cantidad menor para ser idntica a la mayor.

En este problema la dificultad se incrementa porque el alumno asocia el vocablo aadira la operacin de sumar. Es decir, el enunciado induce a error, por lo que este tipo de

problemas no debera introducirse antes del Segundo Ciclo de Educacin Primaria.

IGUALACIN 2 (IG2): Plantea una situacin en que se conocen las cantidades a igualary la referente, y se pregunta cunto hay que detraer (igualacin) a la primera para alcanzar lasegunda. Es un problema de restar.

Vase el problemaMarcos tiene 8 euros . Raquel tiene 5 euros . Cuntos euros tiene queperder Marcos , para tener los mismos que Raquel?Es una situacin de igualacin, en la que seconocen las cantidades que tienen los dos sujetos y se pregunta por la disminucin que tiene quesufrir la mayor para ser idntica a la menor.

IGUALACIN 3 (IG3): Plantea una situacin en la que se conoce la cantidad referente yla igualacin ( aadiendo) que debe sufrir la cantidad a igualar, que es la que se desconoce. Es un

problema de restar muy difcil.



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Vase el problemaJuan tiene 17 euros. Si Rebeca ganara 6 euros, tendra los mismos queJuan . Cuntos euros tiene Rebeca? Plantea una situacin de igualacin en la que para igualaruna cantidad hay que sustraerle otra conocida que es menor y se pregunta por la resultante.

Se trata de un problema de restar muy difcil, que muchos nios del Tercer Ciclo deEducacin Primaria no son capaces de solucionar. La principal dificultad radica en que el vocabloganarutilizado en el enunciado induce al alumno a sumar, es decir, a realizar la operacincontraria a la requerida para la correcta solucin del problema.

IGUALACIN 4 (IG4): Plantea una situacin en la que se conoce la cantidad referente yla igualacin (detrayendo o quitando) que debe sufrir la cantidad a igualar, la cual se desconoce.Es un problema de sumar muy difcil que muchos nios del Tercer Ciclo de Primaria no soncapaces de resolver.

Vase el problemaJuan tiene 17 euros. Si Rebeca perdiera 6 euros, tendra los mismos

que Juan . Cuntos euros tiene Rebeca? Su dificultad radica en que el vocablo perderempleado en el enunciado induce al alumno a restar, es decir, a realizar la operacin contraria ala requerida para la correcta resolucin del problema.

IGUALACIN 5 (IG5): Plantea una situacin en la que se conoce la cantidad a igualar yla igualacin (aadiendo o en ms), debiendo averiguar la cantidad que sirve de referente. Es un

problema de sumar.

Vase el problemaMarcos tiene 8 euros. Si le dieran 5 euros ms, tendra los mismos quetiene Rafael. Cuntos euros tiene Rafael?Plantea una situacin de igualacin en la que se conocela cantidad que tiene un sujeto y cunto se le tiene que dar para alcanzar la cantidad que tiene el

otro. Se pregunta por la cantidad que tiene este ltimo. Es un problema del segundo ciclo deEducacin Primaria, aunque algunos no lo dominan hasta el tercero.

IGUALACIN 6 (IG 6): Plantea una situacin en la que se conoce la cantidad a igualar yla igualacin (quitando o en menos), debiendo averiguar la cantidad que sirve de referente. Es un

problema de restar.

Vase el problemaMarcos tiene 8 euros . Si perdiera 5 euros ms, tendra los mismos quetiene Rafael.Cuntos euros tiene Rafael?Plantea una situacin de igualacin en la que se conocela cantidad que tiene un sujeto y cunto se le tiene que quitar para alcanzar la cantidad que tieneotro. Se pregunta por la cantidad que tiene este ltimo. Es un problema del segundo Ciclo de

Educacin Primaria, aunque algunos no lo dominan hasta el tercero.



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PROBLEMAS DE IGUALACINPROBLEMAS DE IGUALACIN

LA CATEGORA DE IGUALACIN: Rene los problemas que contienen doscantidades diferentes, y se acta en una de ellas aumentndola o disminuyndola hasta conseguir

hacerla igual a la otra.

LA CATEGORA DE IGUALACIN: Rene los problemas que contienen doscantidades diferentes, y se acta en una de ellas aumentndola o disminuyndola hasta conseguir

hacerla igual a la otra.

TIPO DEPROBLEMAS

NIVELACADMICO

ENUNCIADO TIPO y explicaciones

I G 1

Conocemos cantidades del 1y del 2. Se pregunta por

aumento cantidad menor paraigualarla a la mayor.

Ciclo II( 3- 4 E.P.)9 - 10 aos

IGUALACIN 1 (IG1): Plantea la situacin en que se conocen lascantidades a igualar y la referente, y se pregunta cuanto hay que aadir(igualacin) a la cantidad a igualar para alcanzar la referente. Es un problemade restar.

Marcos tiene 8 euros. Raquel tiene 5 euros . Cuntos euros letienen que dar a Raquel para que tenga los mismos que Marcos?

Es una situacin de igualacin, en la que se conocen las cantidades que tienenlos dos sujetos, y se pregunta por el aumento que tiene que sufrir la cantidadmenor para ser idntica a la mayor.

Es un problema un tanto difcil porque el alumno asocia aadir a sumar . En este sentido la formulacin del problema induce al error. Es unproblema del 2 Ciclo de EP

I G 2

Conocemos cantidades del 1y del 2. Se pregunta por

disminucin cantidad mayorpara igualarla a la menor.


IGUALACIN 2 (IG2) : Plantea la situacin en que se conocen lascantidades a igualar y la referente, y se pregunta cuanto hay que detraer(igualacin) a la cantidad a igualar para alcanzar la referente. Es un problemade restar.

Marcos tiene 8 euros . Raquel tiene 5 euros . Cuntos eurostiene que perder Marcos , para tener los mismos que Raquel?

Es una situacin de igualacin, en la que se conocen las cantidadesque tienen los dos sujetos, y se pregunta por la disminucin que tiene quesufrir la cantidad mayor para ser idntica a la menor.

I G 3

Conocemos cantidades del 1y lo que hay que aadir a la

2 para igualarla con la 1. Sepregunta por la cantidad del

2.


IGUALACIN 3 (IG3): Plante la situacin en que se conoce la cantidadreferente y la igualacin ( aadiendo) que debe sufrir la cantidad a igualar, que es la que se desconoce . Es un problema de restar muy difcil.

Juan tiene 17 euros. Si Rebeca ganara 6 euros, tendra los mismos

que Juan. Cuntos euros tiene Rebeca?

Es una situacin de igualacin en que para igualar una 1 cantidadhay que sustraer de una 2 , que es mayor. Y se pregunta por la 2 cantidad.

Se trata de un problema de restar muy difcil , que no todos los niosen el 3 Ciclo de E P . son capaces de solucionar.

La dificultad principal radica en que refleja una situacin de igualacin enque, para alcanzar la solucin, se debe realizar lo contrario de lo que seala elenunciado

IG

8

+

IG1 58

+

IG1 55

58

-

IG2 58

-

IG2

??8

3

+3



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TIPO DEPROBLEMAS

NIVELACADMICO

ENUNCIADO TIPO y explicaciones

I G 4

Conocemos cantidades del 1y lo que hay que quitar a la 2para igualarla con la 1. Se

pregunta por la cantidad del2.


IGUALACIN 4 (IG4 ) Plante la situacin en que se conoce la cantidadreferente y la igualacin ( detrayendo o quitando) que debe sufrir lacantidad a igualar , que es la que se desconoce . Es un problema de - sumarmuy difcil.

Juan tiene 17 euros. Si Rebeca perdiera 6 euros, tendra losmismos que Juan . Cuntos euros tiene Rebeca

Se trata de un problema de sumar muy difcil , que no todos losnios en el 3 Ciclo de E P . son capaces de solucionar.

La dificultad principal radica en que refleja una situacin de igualacin enque, para alcanzar la solucin, se debe realizar lo contrario de lo que seala elenunciado.

I G 5

Conocemos cantidadesdel 1 y lo que hay queaadirle para igualarlacon la del 2. Se preguntapor la cantidad del 2.

Ciclo II-III

( 3- 4-5 E.P.)9 - 11 aos

IGUALACIN (IG5): Plantea la situacin en la que se conoce la cantidad a

igualar y la igualacin (en ms), debiendo averiguar la cantidad que sirve dereferente. Es un problema de sumar.

Marcos tiene 8 euros . Si le dieran 5 euros ms, tendra losmismos que tiene Rafael. Cuntos euros tiene Rafael?

Es una situacin de Igualacin en la que se conoce la cantidad quetiene un sujeto y cunto le tiene que dar para alcanzar la cantidad que tieneotro sujeto . Se pregunta por la cantidad que tiene el 2 sujeto.

Es un problema del segundo ciclo de EP , aunque algunos no lodominan hasta el tercero ciclo.

I G 6

Conocemos cantidadesdel 1 y lo que hay quequitarle para igualarlacon la del 2. Se pregunta

por la cantidad del 2.

Ciclo II-III( 3- 4-5 E.P.)9 - 11 aos

IGUALACIN ( I G 6): Plantea la situacin en la que se conoce la cantidada igualar y la igualacin (quitando), debiendo averiguar la cantidad que sirvede referente. Es un problema de restar.

Marcos tiene 8 euros . Si perdiera 5 euros ms, tendra los mismosque tiene Rafael. Cuntos euros tiene Rafael?

Es una situacin de Igualacin en la que se conoce la cantidad quetiene un sujeto y cunto le tiene que quitar para alcanzar la cantidad que tieneotro sujeto . Se pregunta por la cantidad que tiene el 2 sujeto.

Es un problema del 1 Ciclo de EP , aunque algunos no lo dominanhasta el 2 Ciclo.

?5

-3

IG4

55IG5

?

+3

?8

IG6

-3



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PROBLEMAS DE IGUALACIN

Igualamos dos cantidades aumentando o disminuyendo una de ellas.

?8IG3 ?

+3

5

-3

IG4

5IG5 ?

+3

?8

IG6

-3

Conocemos cantidades del 1 y del 2.Se pregunta por aumento cantidadmenor para igualarla a la mayor.

Conocemos cantidades del 1 y del 2.Se pregunta por disminucin cantidad

mayor para igualarla a la menor.

Conocemos cantidades del 1 y lo quehay que aadir a la 2 para igualarla

con la 1. Se pregunta por la cantidaddel 2.

Conocemos cantidades del 1 y lo quehay que quitar a la 2 para igualarla


Conocemos cantidades del 1 y lo quehay que aadirle para igualarla con ladel 2. Se pregunta por la cantidad del

2.

Conocemos cantidades del 1 y lo quehay que quitarle para igualarla con ladel 2. Se pregunta por la cantidad del

2.

5

8

-

IG28

+

IG1

5

??8IG3 ?

+3

5

-3

IG4

55IG5 ?

+3

?8

IG6

-3

Conocemos cantidades del 1 y del 2.Se pregunta por aumento cantidadmenor para igualarla a la mayor.

Conocemos cantidades del 1 y del 2.Se pregunta por disminucin cantidad

mayor para igualarla a la menor.

Conocemos cantidades del 1 y lo quehay que aadir a la 2 para igualarla


Conocemos cantidades del 1 y lo quehay que quitar a la 2 para igualarla


Conocemos cantidades del 1 y lo quehay que aadirle para igualarla con ladel 2. Se pregunta por la cantidad del

2.

Conocemos cantidades del 1 y lo quehay que quitarle para igualarla con ladel 2. Se pregunta por la cantidad del

2.

5

8

-

IG2

5

8

-

IG28

+

IG1

5

8

+

IG1

55



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PROBLEMASPROBLEMAS DE CAMBIO

5 ?CA1 ?8

-3

CA2

5 8

?+

CA3 58

?-

CA4

? 8

+3

CA5 5?

-3

CA6

PROBLEMAS DE COMBINACIN

3

5?CO1

3

?8

CO2

PROBLEMAS DE IGUALACINPROBLEMAS DE COMPARACIN

58

+?

CM1 58

-?

CM2

5 ?CM3

3+

?8

3-

CM4

?8

3+

CM5 5 ?CM6

3-

??8IG3 ?

+3

5

-3

IG4

55IG5 ?

+3

?8IG6

-3

+3

Se parte de una cantidad a la que se aade/quita otra de la misma naturaleza

Se conoce cantidad inicial. Se le hace crecer.Se pregunta por la cantidad final

Se conoce cantidad inicial. Se le hacedisminuir. Se pregunta por la cantidad final

Se conoce cantidad inicial y final (mayor). Sepregunta por aumento

Se conoce cantidad inicial y final (menor). Sepregunta por la disminucin.

Se conoce cantidad final y su aumento. Sepregunta cantidad inicial.

Se conoce cantidad final y su disminucin. Sepregunta cantidad inicial.

Se conocen dos cant idades q ue se diferencian en alguna caracterstica.



Comparacin de dos cantidades

Conocemos las dos cantidades. Sepregunta por la diferencia en ms.

Conocemos las dos cantidades. Sepregunta por la diferencia en menos.

Se conoce la cantidad del 1 y ladiferencia en ms del 2. Se pregunta

por la cantidad del 2

Se conoce la cantidad del 1 y ladiferencia en menos del 2. Se pregunta

por la cantidad del 2

Se conoce la cantidad del 1 y su

diferencia en ms con la del 2. Sepregunta por cantidad del 2

Se conoce la cantidad del 1 y sudiferencia en menos con la del 2. Se


Igualamos dos cantidades aumentando o disminuyendo una de ellas.

Conocemos cantidades del 1 y del 2. Sepregunta por aumento cantidad menor para

igualarla a la mayor.

Conocemos cantidades del 1 y del 2. Sepregunta por disminucin cantidad mayor para

igualarla a la menor.

Conocemos cantidades del 1 y lo que hay queaadir a la 2 para igualarl a con la 1. Se

pregunta por la cantidad del 2.

Conocemos cantidades del 1 y lo que hay quequitar a la 2 para igualarla con la 1. Se

pregunta por la cantidad del 2.

Conocemos cantidades del 1 y lo que hay queaadirle para igualarl a con la del 2. Sepregunta por la cantidad del 2.

Conocemos cantidades del 1 y lo que hay quequitarle para igualarla con la del 2. Sepregunta por la cantidad del 2.

Cuntos ms? Cuntos menos?

58

-

IG2 58

-

IG28

+

IG1 58

+

IG1 55


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B).-PROBLEMAS DE MULTIPLICAR Y DIVIDIR(ACLARACIN DE CONCEPTOS)

Los problemas de multiplicar y dividir suponen nuevas dificultades para los alumnos deEducacin Primaria como consecuencia de las cantidades que utilizan y las relaciones que seestablecen entre ellas.

As pues, para salvar estas dificultades es imprescindible comprender la naturaleza dedichas cantidades, porque de ello depende la clasificacin de los problemas de estructuramultiplicativa desde el punto de vista semntico.

El tratamiento didctico de los problemas con esta estructura requiere tener en cuenta: lanaturaleza del multiplicador, la distincin entre cantidades intensivas y extensivas, y lascombinaciones entre los elementos que las componen.

1.- EL MULTIPLICADOR:Es un concepto nuevo y representa una cantidad desconocida hasta ahora por los alumnos

de esta etapa. Por ello lo primero que hay que conseguir es que comprendan el nmeromultiplicador como algo distinto a los nmeros que han venido utilizando y consigan darle unsignificado diferente. Debe entender el multiplicador como una unidad flexible, es decir, que noest preestablecida de antemano, sino que hay que determinarla en cada situacin problemtica.Debe entenderlo tambin como un mecanismo que permite economizar tiempo y esfuerzosustituyendo varias sumas por una sola operacin. Cuando un nio utiliza la suma para resolver un

problema de multiplicar es que no ha entendido el significado del multiplicador.

* El multiplicador puede ser el nmero que indica cuntas veces se repite una cantidad de lamisma naturaleza. Por ejemplo, si un nmero de naranjas se repite una determinada serie deveces el resultado sigue siendo naranjas, es decir no existe transformacin del referente comoocurra en algunos problemas de estructura aditiva.

* El multiplicador tambin puede indicar una cantidad de diferente naturaleza a la representadapor el multiplicando. Por ejemplo, si queremos saber el precio de 30 kg de naranjas a 2 euros elkg, el resultado ya no son naranjas sino euros, es decir, cambia el referente. En cambio enalgunos problemas de estructura aditiva el resultado siempre era de la misma naturaleza que lade los elementos de la suma o la resta.

* El multiplicador puede representar una proporcin/razn que se establece entre dos cantidades.En este caso tampoco hay transformacin del referente, ni existe una realidad fsica como en elcaso de las repeticiones, sino slo una relacin mental entre dichas cantidades.

* En el producto cartesiano combinamos las cantidades del multiplicando y del multiplicadorpara obtener una tercera (producto) diferente.



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2.- CANTIDADES EXTENSIVAS E INTENSIVAS:Las cantidades extensivas son aquellas que tienen una extensin y pertenecen al mundo

real (manzanas, mesas, dinero, etc.). Dichas cantidades pueden ser: continuas (longitud, peso,capacidad...) o discontinuas (naranjas, dinero, caramelos...).

Las cantidades intensivas son aquellas que se forman por combinacin o razn decantidades extensivas. Son razones o proporciones que establecemos, pero que no estnfsicamente en ninguna parte. Por ejemplo, unidades de producto por envase, kilmetros por hora,densidad. Un caso especial de este tipo de cantidades intensivas son los escalares, o proporciones aescala que se establecen entre cantidades extensivas o intensivas.

Existen distintas combinacin de cantidades extensivas para formar cantidades intensivas:

* Extensivas discontinuas / extensivas discretas: bombones por caja, cigarrillos por paquete...

* Extensivas discontinuas / extensivas continuas: ndice de natalidad (personas nacidas / tiempo).* Extensivas continuas / extensivas continuas: kilmetros por hora, metros cuadrados...

Las cantidades intensivas suponen nuevas dificultades en la resolucin de problemasporque implican la combinacin de magnitudes distintas para obtener otra diferente a lasanteriores. Por ejemplo, si se relaciona el espacio con el tiempo, se obtiene la velocidad.

3.- LAS COMBINACIONES (PRODUCTO CARTESIANO)La multiplicacin es una operacin que permite resolver las combinaciones que se pueden

establecer entre los elementos de dos conjuntos. Por ejemplo, calcular cuntas parejas de baile se

podran formar con un conjunto de chicos y otro de chicas.

Las distintas combinaciones se construyen mentalmente, si bien algunas se puedenreproducir en la realidad y otras no.

LOS PROBLEMAS DE DIVIDIR:A partir de una multiplicacin dada (60 x 4 = 240), se originan dos posibles divisiones

(240 : 60 = 4 y 240 : 4 = 60) en funcin de la cantidad que se tome por divisor. Ambas sonconceptualmente iguales, pero una es una particiny la otra es una cuoticino agrupamiento.

Ejemplo: Se contratan 4 autobuses para realizar una excursin. Cada autobs transporta

60 pasajeros. Cuntos pasajeros viajan en los cuatro autobuses?

La divisin de particincorrespondera al siguiente problema Se reparten por igual 240pasajeros entre 4 autobuses. Cuntos pasajeros viajan en cada uno?

La divisin de cuoticin o agrupamientocorrespondera al siguiente problema: Sereparten por igual 240 pasajeros entre varios autobuses. Si cada autobs transporta 60

pasajeros, cuntos autobuses se necesitan?



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DIVISIN PARTITIVA: Sera aquella en la que el dividendo (pasajeros) y el divisor(autobuses)son de distinta naturaleza. Se hace una particin del conjunto de pasajeros porque se

pregunta por la resolucin de la proporcin o correspondencia establecida en el problema demultiplicar (60 pasajeros por autobs).

DIVISIN CUOTITIVA O POR AGRUPAMIENTO: Sera aquella en la que eldividendo (pasajeros)y el divisor (pasajeros por autobs)son de la misma naturaleza. Se

pregunta por el nmero de autobuses, es decir, una realidad concreta y no por una relacin o reglade reparto. As pues, no es correcto decir sin ms matizaciones que la divisin es un reparto, yaque en este caso lo que se establece es la cuota o unidad a partir de la cual se lleva a cabo dichoreparto.

Aclarados estos conceptos, en el apartado siguiente presentamos las categoras semnticasde los problemas de estructura multiplicativa (problemas de multiplicar/dividir). Para laclasificacin semntica de estos problemas nos fijaremos en el carcter y tipo de cantidades que se

utilizan..



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B1- CATEGORA DE MULTIPLICACIN - DIVISIN RAZN Y SUSTIPOS

(RAZN O ISOMORFISMO DE MEDIDAS)

En esta categora de problemas existen dos espacios de medida entre los cuales seestablece una funcin de proporcionalidad directa, es decir, que al aumentar o disminuir una oambas medidas, el resultado aumenta o disminuye en la misma proporcin. Se trata de problemasque utilizan cantidades extensivas continuas o discretas. Es la categora ms sencilla, ya que no

plantea contradicciones entre su sentido y las operaciones con las que se resuelven. Dichasoperaciones guardan un estrecho parentesco con las de sumar y restar, por lo que no es extraoque a veces los alumnos los resuelvan utilizando estas ltimas.

TIPO DEPROBLEMA

NIVELACADMICO


Multiplicacin

Razn 1

Ciclo I-II

(2-3 E.P.)7 - 8 aos

*Agustn lleva al contenedor 8 envases vacos de vidrio , va cuatro veces en el

da, y siempre que va lleva el mismo n de envases. Cuntos envases hallevado en total durante el da?

@ Dada una cantidad de determinada naturaleza (multiplicando) y elnmero de veces que se repite (multiplicador-Razn 1), se pregunta por lacantidad resultante (producto), que es de la misma naturaleza que elmultiplicando.

MultiplicacinRazn 2

Ciclo I-II(2-3 E.P.)7 - 8 aos

* Hay 4 montones de manzanas, cada montn tiene 32 manzanas. Cuntasmanzanas hay en total en los 4 montones?

En este problema los montones suponen un concepto intermedio entre losde razn 1 y los de razn 3, ya que todava obtenemos manzanas, es decir, el

multiplicando. Pero en el caso de los cuentos ya no obtenemos cuentos, sinoeuros.Nota: Los problemas de multiplicar deben graduarse segn esta pauta, porquepermiten realizar sin saltos bruscos las transformaciones del multiplicando ala hora de obtener el producto.El producto es de la misma naturaleza que el multiplicando y el multiplicador.Hay dos cantidades de la misma naturaleza .Aqu los 4 montones de manzanas son el multiplicador y la Razn 2.@ Dadas dos cantidades de la misma naturaleza (multiplicando ymultiplicador), se pregunta por la cantidad resultante (producto) que es de lamisma naturaleza.

Multiplicacin

Razn 3

Ciclo I-II

(2-3 E.P.)7 - 8 aos

*Jaime compra 5 cuentos. Cada cuento cuesta 3 euros Cuntos euros pag?

- En este tipo de problemas existen dos espacios de medida: Medida1 (cuentos). Medida 2 (euros). Y son extensivas.

Es un problema de multiplicar y establece una relacin o proporcin fijaque se cumple en todos los casos comprendidos en el multiplicador, y sequiere saber el total.

Aqu no mezcla libros con euros como puede hacer en el caso del ProductoCartesiano. El n de libros es el artificio que se emplea para saber cuntasveces se ha de repetir la cantidad de 3 euros . No multiplica, por tanto,libros por euros, sino que repite euros tantas veces como libros ha comprado.Aqu el producto es de la misma naturaleza que el multiplicando y la Razn 3es el multiplicador (5 libros), porque repetimos euros tantas veces como librosse han comprado.

@ Dada una cantidad de naturaleza A (multiplicando) y otra de naturalezaB (multiplicador- Razn3), se pregunta por la cantidad resultante (producto)de la misma naturaleza que el multiplicando.



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TIPO DE NIVELENUNCIADO TIPO Y EXPLICACIONES

PROBLEMA ACADMICO

DivisinParticin /Razn

Ciclo I-II(2-3 E.P.)7 - 8 aos

*Una coleccin consta de 96 cromos. Su lbum tiene 12 pginas . En todasellas se pega el mismo n de cromos. Cuntos cromos se pegan en cadapgina ?

- Es un problema que se resuelve con una divisin Partitiva, porque eldividendo y el divisor son de la misma naturaleza. Por ello divide o parte elconjunto de cromos en subconjuntos iguales.@ Dada una cantidad de naturaleza A (dividendo) y otra de naturaleza B(divisor), se pregunta por la cantidad resultante (cociente) de la mismanaturaleza que el dividendo.

DivisinCuoticin O

agrupamientoRazn

Ciclo . I -II( 3 E.P.)

8 aos.

*Una coleccin consta de 96 cromos. Si en cada pgina del lbum pegamos 8cromos . Cuntas pginas tendr el lbum?

* Lourdes ha comprado varias bolsas de caramelos. Si cada bolsa cuesta 25cntimos de euro y le han cobrado 75 cntimos , Cuntas bolsas compr?

- Son problemas que se resuelven con una divisin CUOTITIVAporque el dividendo, y el divisor son de la misma naturaleza y pregunta por lacuota o parte, que es una cantidad extensiva y que no significa ningunaproporcin o cantidad fija.@ Dadas dos cantidades de la misma naturaleza (dividendo y divisor), se

pregunta por la cantidad resultante (cociente) de distinta naturaleza que lasanteriores.



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B2- CATEGORA DE MULTIPLICACIN - DIVISIN ESCALARES

1. COMPARACIN : Utilizan los trminos veces ms, veces menos,doble, triple, etc.

2.Su vocabulario puede dar lugar a interpretaciones errneas de la relacin escalar, que en

muchos casos es interpretada por los nios como aditiva en el caso de 3 veces ms y como restaen el caso de 3 veces menos. Esto indica que el alumno se limita a una interpretacin cualitativa,sin entrar a considerar el carcter que tiene la expresin. Para evitar este problema se deben crearlas situaciones didcticas, que permitan diferenciar entre el veces ms y veces menos, por unlado, y el sentido del ms y del menos de la suma y de la resta.

El lenguaje que se emplea en el problema es incongruente con el sentido con el que sepresentan las operaciones que lo resuelven.

El carcter del texto que envuelve al problema es de tipo esttico. Como en las categoras

aditivas de Comparacin y Combinacin, la categora de Escalares tiene un aspecto esttico, queimplica la ausencia de acciones. Ello hace que slo intervengan verbos de estado, y no aparezcanpor ningn lado verbos de accin.

2. FRMULA: Son los que dependen de una frmula. Por ejemplo los que liganvelocidad, tiempo y espacio recorrido.

B2.1- MULTIPLICACIN / DIVISIN COMPARACINa- PROBLEMAS ESCALARES DE COMPARACIN(utilizan los trminos veces mas, veces menos, doble, triple).

TIPO DEPROBLEMA

NIVELACADMICO


MultiplicacinComparacin enms

Ciclo II-III( 4-5 E.P. )9-11 aos

*Juan tiene 8 euros . Luisa tiene cuatro veces ms dinero que l. Cunto dinerotiene Luisa?

*Carmina recibe cada fin de semana 25 euros. Su hermana Lourdes 4 vecesms. Cunto dinero recibe Lourdes?

- Son problemas de multiplicar , que expresan la regla de proporcin entre eldinero de ambos sujetos. Es un problema complejo, ya que es difcil hacer elentronque con las estructuras aditivas.@ Dada la cantidad de uno (multiplicando) y las veces que otro la tiene de ms(multiplicador), se pregunta por la cantidad resultante (producto) de la mismanaturaleza que el multiplicando.

Divisin/Partitivacomparacin enms

Ciclo II-III( 4-5 E.P. )9-11 aos

*Luisa tiene 32 euros, que es cuatro veces ms que el dinero que tiene Juan.Cuntos euros tiene Juan?

* Fabin recibe cada mes una cantidad de dinero. Su hermana Mara recibe 4veces ms, es decir, 100 euros. Cunto recibe Fabin?

Estos problemas se resuelven con una divisin partitiva porque:o Se pregunta el n de euros por vez, que es la cantidad

intensiva .o El dividendo y el divisor son de distinta naturaleza.

@ Dada la cantidad de uno (dividendo) y las veces que otro la tiene de ms(divisor), se pregunta por la cantidad resultante (cociente) de la misma naturalezaque el dividendo.



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a- PROBLEMAS ESCALARES DE COMPARACIN

Divisin

Cuotitiva o poragrupamiento/Comparacin enms.

Ciclo II-III

( 4-5 E.P. )9-11 aos

* Begoa tiene 32 euros. Paco tiene 8 euros. Cuntas veces ms dinero tiene

Begoa que Paco?* Antonio recibe cada fin de semana 25 euros. Su primo Daniel 100 euros.Cuntas veces ms recibe Daniel que Antonio ?

Estos problemas se resuelven con una divisin Cuotitiva. Es un problemade pura comparacin, puesto que no hay nada que se parezca a un reparto. EsCuotitiva porque:

- Se pregunta por el n de euros por vez , que es la cantidad intensiva.- El dividendo y el divisor son de la misma naturaleza.

@ Dadas dos cantidades de la misma naturaleza (dividendo y divisor), sepregunta por el nmero de veces (cociente) que una es mayor que otra.

MultiplicacinComparacin enmenos

Ciclo III( 5-6 E.P. )10 -11 aos,

* Aurelio tiene 8 euros. Tiene tres veces menos dinero que Ana. Cunto dinerotiene Ana?

Este problema se resuelve con una multiplicacin , pero es muy difcilporque su sentido y vocabulario induce a otras operaciones ( resta o divisin ).Es difcil relacionarlo con las estructuras aditivas.

@ Dada la cantidad de uno (multiplicando) y las veces que otro la tiene demenos (multiplicador), se pregunta por la cantidad resultante (producto) de lamisma naturaleza que el multiplicando.

Divisin Partitiva/ Comparacin enmenos

Ciclo III( 5-6 E.P. )10 -11 aos

* ngel tiene 36 euros. Marta tiene cuatro veces menos dinero que ngel .Cuntos euros tiene Marta?

Este problema se resuelve con una divisin Partitiva. Los 36 euros sedividen en cuatro partes, donde cada una de ellas es idntica al dinero de Marta .Se busca la cantidad intensiva (euros / vez). Se puede iniciar a finales del 2Ciclo. Debe ser abordado despus del homlogo de multiplicar.

@ Dada la cantidad de uno (dividendo) y las veces que otro la tiene de menos(divisor), se pregunta por la cantidad resultante (cociente) de la misma naturalezaque el dividendo.

DivisinCuotitiva o poragrupamiento /Comparacin enmenos


*M Carmen tiene 45 euros . Flix tiene 9 euros Cuntas veces menos dinerotiene Flix que M Carmen ?

Este problema se resuelve con una divisin Cuotitiva, porque el dividendoy el divisor son de la misma naturaleza.

Se puede iniciar a finales del 2 Ciclo. Debe ser abordado despus delhomlogo de multiplicar

@ Dadas dos cantidades de la misma naturaleza (dividendo y divisor), sepregunta por el nmero de veces (cociente) que una es menor que otra.

(utilizan los trminos veces mas, veces menos, doble, triple).TIPO DE

PROBLEMANIVEL

ACADMICOENUNCIADO TIPO Y EXPLICACIONES



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B2.2- PROBLEMAS ESCALARES DE FRMULA

b.- PROBLEMAS ESCALARES DE FRMULA (son los que dependen de una frmula, por ejemplo, los queligan velocidad, tiempo y espacio recorrido.)MultiplicacinFrmula


* Un seor recorre 45 Km. en una hora . Cuntos Km. recorrer en 3horas?

@ Equivale a un problema de Multiplicacin Razn 3, aunque utilizaconceptos de espacio y tiempo que implican una mayor dificultad.

Divisin Cuotitiva opor agrupamientoFrmula


* Si caminas a una velocidad de 5 Km. por hora. Cuntas horastardars en recorrer 25 Km.?

@ Equivale a un problema de Divisin Razn Couticin, aunque utilizaconceptos de espacio y tiempo que implican una mayor dificultad.

Divisin PartitivaFrmula


* A qu velocidad ir un coche, si en 5 horas recorre 650 Km.?

@ Equivale a un problema de Divisin Razn Particin, aunque utilizaconceptos de espacio y tiempo que implican una mayor dificultad.



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B3- CATEGORA DE MULTIPLICACIN-DIVISIN COMBINACIN OPRODUCTO CARTESIANO

Esta categora implica la combinacin de dos cantidades determinadas, para formar unatercera que no es igual ni al multiplicando ni al multiplicador. Es el caso del producto cartesiano,donde se establece la combinacin uno a uno de los elementos de los dos factores, conindependencia del orden de colocacin de los mismos.

Son problemas muy difciles para los nios. Emplean cantidades simtricas, puesto queambas juegan el mismo papel. Por ello la multiplicacin es conmutativa y tan slo se presenta untipo de problemas de dividir.

TIPO DEPROBLEMA

NIVELACADMICO


MultiplicacinCombinacin o

ProductoCartesiano1(PC 1)

Ciclo III( 5-6 E.P. )

10 -11 aos

* En un baile hay 3 chicos y 2 chicas. Cuntas parejas distintas sepueden formar?

* De cuntas formas distintas se pueden combinar 4 camisas y 3corbatas?

Es un problema de multiplicar muy difcil, que los niostoman en muchas ocasiones como de sumar, puesto que su estructurarecuerda los problemas de Combinacin 1.

@ Dadas dos cantidades de distinta naturaleza (multiplicando ymultiplicador), se pregunta por el nmero de combinaciones posibles(producto).

Divisin

Combinacin oProductoCartesiano 2(PC 2)

Ciclo III

( 5-6 E.P. )10 -11 aos

* En un baile hay 3 chicos y algunas chicas. Se pueden formar 6

parejas distintas entre ellos. Cuntas chicas hay en el baile?

* Se pueden combinar de 12 formas distintas camisas y corbatas. Sihay 4 camisas, cuntas corbatas son necesarias?

Es un problema de dividir. Como las cantidades sonintercambiables, se trata de hacer combinaciones en las que no hayninguna transformacin. La multiplicacin de la que procede estadivisin es conmutativa. La cantidad intensiva que forma, es siempreuna camisa / una corbata.

@ Dada una cantidad (dividendo) y el nmero de combinaciones(divisor), se pregunta por la otra cantidad que se combina (cociente).



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III.- DIFICULTADES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS

1. DIFICULTADES QUE SE DERIVAN DE LA PRCTICA ESCOLAR

- No se suele ubicar al alumno en la situacin del problema.

- Los problemas contenidos en el material didctico que se utiliza en las aulas, suponen una grancantidad y se presentan de forma bastante variada, pero son muy montonos y repetitivos. Enmuchos casos tienden a ligarse a determinada operacin. Por otra parte, la presencia de algunosde los tipos es muy escasa o incluso nula.

- Suele olvidarse el paso de las representaciones lingstica y grfica del problema.

- Frecuentemente no se adecua el nivel de dificultad de dichos problemas con el de competencia

del alumno, producindose grandes saltos y rupturas que dificultan el aprendizaje en estembito.

2. DIFICULTADES IMPLCITAS QUE SE DERIVAN DE LA TAREA DE RESOLVERPROBLEMAS:

- El texto del problema por razn del tamao, la complejidad sintctica, etc. Es imprescindibledesarrollar estrategias para analizar el enunciado.

- La situacin de la pregunta en el texto.

- El orden de aparicin de los datos.

- El tamao de los nmeros empleados.

problemas de combinacion e igualacion

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