Revista Colombiana de Física, Vol. 42, No. 2 de 2010.

* roscarrillom@gmail.com

Kepler Vs Marte, un Guerrero Difícil de Someter Kepler Vs Mars, a Warrior Hard to Beat

R. Carrillo M. * a, H. Paz a

a Grupo de Investigación en Historia y Enseñanza de la Física, Facultad de Ciencias Básicas Universidad Popular del Cesar, Colombia.

Recibido 12.04.10; Aceptado 01.12.10; Publicado en línea 17.01.11.

Resumen

El problema fundamental de Kepler, Copérnico y Tolomeo para determinar la órbita de los planetas, consistió en que no existe una relación exacta o explícita para determinar la posición o la longitud heliocéntrica en función del tiempo, o sea, la forma en que la dirección de un planeta θ (t) cambia con el tiempo t. Ello hacía que buscaran a tanteo el valor de cada uno de los términos de una serie infinita que conforman dicha solución. Kepler abordó el problema de una forma diferente: se dedicó a encontrar las órbitas matemáticas verdaderas que siguen los planetas. Con la forma encontrada por Kepler y con la ayuda de la técnica del análisis de Fourier se encuentran todos los términos que conforman θ(t) con la precisión que uno requiere. Palabras clave: Problema, Kepler, Longitud heliocéntrica.

Abstract

The fundamental problem of Kepler, Copernicus and Ptolemy to determine the orbits of the planets, was that there is no exact or explicit relation to determine the position or the heliocentric longitude as a function of time, that is, the way the direction of a planet θ(t) changes with time t. This implied seeking to score the value of each of the terms of an infinite series that make up this solution. Kepler approached the problem differently: he began to find the real math that the orbits of the planets follow. With the form found by Kepler and with the help of Fourier analysis technique all the terms that make θ (t) are found with the precision that one requires. Keywords: Problem, Kepler, Heliocentric longitude. PACS: 95.00.00; 95.10,-a; 9510ce; 95.10Eg.

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1. Introducción

Johannes Kepler completó la revolución iniciada por Copérnico e inició la suya propia al desechar la idea meta-física según la cual el movimiento perfecto de los planetas debía ser circular, puesto que el círculo representaba plató-nicamente la perfección de la creación. Esta concepción era tan arraigada, que aún aprisionó la mente del mismo Galileo.

Kepler acogió un modelo planetario heliocéntrico ca-suístico, es decir que los planetas conocidos orbitaban alrededor del Sol, pero no sabía la causa que producía este

efecto planetario. Newton sería quien propondría un mo-delo planetario causal, introduciendo la idea de fuerza gravitatoria como la causante de la curvatura del movi-miento de los planetas. El mismo Newton partiendo de su modelo dedujo de forma teórica las tres leyes empíricas planetarias que Kepler había descubierto unos años antes utilizando las precisas observaciones que le legó Ticho Brahe. Kepler en su proyecto astronómico se propuso someter a Marte, pero el gran guerrero se alejaba mucho de la circularidad perfecta según las precisas observaciones de Brahe. Los ciclos y epiciclos estaban lo suficientemente desgastados como para insistir con ellos en la explicación

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de la enorme excentricidad de Marte. Kepler en un princi-pio trató de hallar los términos que conforman la longitud heliocéntrica o amplitud angular θ(t). Esta amplitud angu-lar es un parámetro planetario que se mide respecto de una dirección fija que pasa por el Sol; θ(t) viene a ser el ángulo medido entre dicha dirección y cualquier otra dirección dada entre el planeta y el Sol, que de hecho varía con el tiempo. Pero Kepler daría un vuelco al proponerse encon-trar la verdadera orbita de Marte con la ayuda de los datos muy precisos de Tycho Brahe. Inmediatamente después de satisfacer el sueño de su vida, es decir encontrar la verda-dera “armonía de los mundos” enmarcada en sus tres leyes empíricas que son sin duda las primeras leyes en la historia de la astronomía, él se aventuró a buscar explicaciones más fundamentales o físicas de tales comportamientos planeta-rios. Con Kepler la conexión entre la astronomía y la po-tencia física se hizo más explícita; el decía: “El Sol es el único que por su dignidad y poder parece conveniente para ese deber motriz (de mover los planetas) y merecedor de convertirse en el hogar del mismo Dios” [1].

Kepler trató de explicar el comportamiento planetario suponiendo que cada planeta estaba sujeto a “... dos in-fluencias colectivas, una proveniente del Sol y una segunda localizada en el propio planeta” [2]. Estas influencias son la gravedad y la inercia como lo sabemos hoy. Kepler no llegó a formular tales conceptos, pero dejó una semilla preparando el camino para que Newton estableciera las dos leyes dinámicas que explican la excentricidad de las órbi-tas. Kepler reemplazó las ruedas ficticias por fuerzas re-ales y este fue su gran paso revolucionario.

En este trabajo proponemos, a quienes enseñen tópicos de astronomía, encontrar todos los términos que conforman la amplitud angular θ(t), con la ayuda de la moderna herramienta matemática del análisis de Fourier. Esto se pude hacer precisamente porque el modelo gravitatorio prevé un movimiento periódico con una gran aproxima-ción.

2. Dificultades Naturales de la Observación

La teoría copernicana encaja muy bien en planetas de poca excentricidad como Venus, la Tierra, Júpiter y Satur-no, pero resulta anómala para Marte; aunque había algo de correcto, había que transformarla para dar explicación al extraño comportamiento de Marte. A Kepler le cuadraba muy bien esta tarea por la talla del problema y por la gran energía que poseía. Al principio se dedicó a resolver algu-nas imprecisiones en los cálculos de Copérnico, pero no resolvió el problema de fondo << la excentricidad de Mar-te>>. Él abordó el problema buscando excentricidades de primero, segundo y tercer orden consiguiendo mejorar

algo, pero no logró una completa explicación al problema planteado.

El problema fundamental que tenía es que no existe una función matemática sencilla para la forma en que la direc-ción de un planeta cambia con el tiempo. Hoy sabemos que la llamada longitud heliocéntrica tiene que expresarse en la forma de una serie infinita de términos cuando se utiliza el tiempo como variable independiente (las observaciones se hacen en evaluación temporal). Y lo que Kepler y sus antecesores hacían en sus largos cálculos era tratar de en-contrar esta serie matemática en varios órdenes de aproxi-mación.

La tarea se complica demasiado cuando se pasa de un orden a otro y desarrollarla manualmente se hace imposi-ble. En lugar de ello Kepler cambia de frente y se propone encontrar la forma de la órbita planetaria, es decir determi-nar “r” no en términos del tiempo sino de la longitud helio-céntrica “θ”, o sea se propuso encontrar una relación ma-temática r(θ). El nuevo enfoque le dio una respuesta ele-gante y relativamente simple y directa: r variaba con θ según la relación:

,cos1

1

θe+

siendo " "e la excentricidad y “θ” el ángulo formado con el perihelio del planeta. Él supo inmediatamente que defi-nía una elipse.

La forma matemática normal de esta elipse es:

( ) ( ) ( )21

11 cos

a er

eθ

θ−

=+

donde “a ” es la longitud del semieje mayor de la elipse y " "e la excentricidad.

3. Manejo de la Longitud Heliocéntrica θθθθ(t) y su Conexión con el Análisis de Fourier

Kepler no conocía en ese entonces un desarrollo mate-mático que le permitiera encontrar todos los términos que conforman la longitud heliocéntrica θ(t). En la actualidad se expresa de manera aproximada mediante una serie infi-nita de términos armónicos cuando se emplea el tiempo como variable independiente:

( ) 1 2 2 ... ( )nt wt a sen wt a sen wt a sen nwtθ = + + + +

Todos estos coeficientes an se encuentran utilizando la herramienta matemática del análisis de Fourier, donde “e” es la excentricidad de la órbita planetaria y w el movimien-to angular medio del planeta definido en términos del pe-riodo sideral P,

R. Carrillo M ., H. Paz: Kepler Vs Marte, un Guerrero Difícil de Someter

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Pw

π2=

De la ecuación (1) y de la segunda ley planetaria de Kepler, en la cual el área barrida en un tiempo dt es

21

2

dr L

dt

θ = , donde L abw= ; a y b son los semiejes de la

orbita elíptica descrita por el planeta.

Obsérvese que L no depende de los coeficientes obte-nidos en el desarrollo matemático para ( )tθ . De la mecá-

nica clásica sabemos que L está conectada con una cons-tante de movimiento planetario llamada cantidad de movi-miento angular.

De la geometría analítica se conoce que 2

22

1b

ea

= − y

combinando apropiadamente esta relación con la ecuación (1) y la constante “L” se obtiene:

( )[ ] ( )2

32 2

1 cos 2

1

d we

dte

θ θ= +−

Esta ecuación diferencial no tiene solución exacta con respecto a t, de aquí sólo se puede obtener una serie infini-ta. Intentemos construir esta serie de términos proponien-do una serie de Fourier de la forma

( )1

(3)nn

t wt a Sen nwtθ=

= +∑

Esta serie es compatible con t=0, para el cual θ(0) = 0 y es compatible con t = P, para el cual θ(P) =w, P = 2π.

El problema matemático consiste en encontrar a todos los coeficientes a de la serie (3). De las ecuaciones (2) y (3) se obtiene:

[ ]

( )

2

312 2

1 cos1 cos (4)

1n

n

ena nwt

e

θ=

+− =

−∑

Sea ( ) [ ]

( )

2

32 2

1 cos1

1

ef

e

θθ

+= −

−

la función de entrada que se descompone en la serie de la derecha. Para despejar los coeficientes an se utiliza la rela-ción de ortogonalidad

0 0( )cos( ) cos( )cos( )

T T

nf mwt dt na nwt mwt dtθ = ∑∫ ∫

,1 2n n m

n

Tn a δ

=

= ∑

La anterior se obtiene utilizando el concepto de ortogona-lidad. Despejando an se obtiene

[ ]

( )( )

2

302 2

1 cos1 cos 5

1

T

n

ewa nwt dt

ne

θπ

+ = −

−

∫

De la ecuación (5) podemos encontrar todos los térmi-nos de la serie que se requieran para obtener la mayor precisión en el cálculo de la longitud heliocéntrica. A manera de ejemplo calculemos el primer término

[ ]( )

−−

+= ∫∫TT

dtwtdtwt

e

ewa

002

32

2

1 coscos

1

cos1 θπ

Para n=1 tenemos: con aproximación wt=θ

( )[ ]

( )2

1 13 3/ 20 22 2

21 cos cos

11

Tw ea e wt wt dt a

eeπ= + ⇒ =

−−∫

De la misma manera para n=2 se obtiene el término

( )[ ]

( )2

2

2 23 3/20 22 2

1 cos cos 24 12 1

Tw ea e wt wt dt a

eeπ= + ⇒ =

−−∫

Cuando se tienen suficientes términos de la serie se en-cuentran todas las aproximaciones que encontraban los antiguos observadores de los planetas.

4. Consideraciones Generales

Se ha demostrado que no hay una solución exacta para la amplitud angular θ (t) y que por lo mismo esta debe darse como una serie infinita de términos. Aquí hemos mostrado un método matemático para hallar en forma aproximada dicha serie.

El hecho de que el parámetro θ debe calcularse como una serie de términos implica que deben introducirse per-turbaciones de primero, segundo y de orden superior que aparecen, previstas tanto en las ecuaciones dinámicas new-tonianas como también en las ecuaciones relativistas gene-rales de Einstein. Aunque este artículo está enmarcado en una problemática histórica se hizo importante relacionarlo con la forma moderna de solucionarlo y con la rigurosidad matemática implicada.

Referencias

[1] Manson Stephen, Historia de las ciencias, Alianza, Madrid 1997.

[2] Arthur Koestler. Kepler, Salvat, Barcelona 1985.

[3] Fred Hoyle., De Stonehenge a la cosmología contem-poránea de Copérnico. Alianza, Madrid, 1982.

[4] T.S Hill. Filosofía de las ciencias, Alambra, Barcelona.