• S1= COS(ωct)

• S2= SEN(ωct)

• S3= COS(ωct) + SEN(ωct)

• S4= 3*COS(ωct)

• S5= 3*SEN(ωct)

• S6= 3*COS(ωct) + 3*SEN(ωct)

• S7=0

• S8=0

PROBLEMA 1: Q4 Enero 2007: Kevin y María Mercedes Mongialt Se tiene una señal binaria b(t) NRZ (+1,-1) polar equiprobable de 1000 bps.

Se toman los bits de 3 en tres y se forman tres secuencias mas lentas b1(t), b2(t) y b3(t).

Con ellas se modifica una portadora de 2KHz para obtener una señal modulada cuya

Expresión es la siguiente:

(2+ b3(t)) [(0.5(1+ b1(t))Cosωct + 0.5(1+ b2(t))Senωct) ]

a) Determine las formas de onda sk(t) que están involucradas y dibuje una

muestra de la señal modulada en donde aparezcan todos los símbolos. Sea preciso en las

amplitudes y tiempos

b) Determine la constelación con valores numéricos precisos

c) Determine la potencia de la señal modulada

Suponga que esta señal modulada se envía por un canal que le agrega ruido blanco

gaussiano. El receptor es un correlacionador

c) (3 puntos) Determine la cota superior de la probabilidad de error

a)

b3 b2 b1

-1 -1 -1

-1 -1 1

-1 1 -1

-1 1 1

1 -1 -1

1 -1 1

1 1 -1

1 1 1

P1= P2= P3= P4= P5= P6= P7= P8= 1/8

EQUIPROBABLES

b) Constelacion

( )1

2*cos c

s

tt

µ ω=

( )2

2* c

s

sen tt

µ ω=

32

st

32

st

2

st

2

st

bs tt *3=

c) Energía Promedio

d) Probabilidad de Error

PROBLEMA 2: Comunicaciones II. UCAB. Quiz 3. Junio 2007

Realizado por: Trautmanis, Eriks Seguerit, Vanessa Suponga 3 sistemas de comunicaciones digitales denominados A, B y C,

cuyas ubicaciones en las curvas de Pe vs. E/η se muestran a continuación

a) ¿Cuál de los tres sistemas es más fuerte frente al ruido? EXPLIQUE

b) Si B y C son sistemas casi idénticos (misma modulación, misma potencia, receptor

adaptado en ambos, mismo canal), ¿cuál transmite más símbolos por segundo? EXPLIQUE

2 22 2 2 2 2 2

1 1 1 12 3* *2 3* 3*

8 2 8 2 2 8 2 8 2 2

20*

8

*

20

8

s s s s s sp

p s

p x s

x

t t t t t tE

E t

E S t

S

= ∗ ∗ + + + + +

=

=

=

2

*2

4*4*2 1 1 1 12 2 2 2* *2 * *3*2 * * *2 *

8 2 8 2 8 2 8 2 8 2

4*4*5 2 12 2* * *

4 2 8 2 8

e simbolo

s s s s

se

s s

e

dP P Q

t t t tt

P Q Q Q Q Q

t tt

P Q Q Q

η

η η η η η

η η

=

= + + + +

= + +

2

s

η

c) Si A y B son sistemas casi idénticos (todo igual menos la potencia de transmisión),

¿aproximadamente en cuantos dB hay que subir o bajar la potencia de transmisión de A

para convertirse en B? EXPLIQUE

Respuestas:

a) Como se puede observar en la grafica, el sistema con menor Pe (probabilidad de error) es

el ¨C¨ por lo tanto es el que posee mayor fortaleza ante el ruido.

b) Para poder demostrar que sistema transmite más símbolos por segundo se parte de lo

siguiente:

Como se establece que se trabaja en un mismo canal el ruido es el mismo para ambos

sistemas con lo que se puede decir lo siguiente

Ahora expresamos cada ecuación en función de su sistema correspondiente

A través de la grafica se nota que la relación energía sobre ruido del sistema ¨C¨ es mayor a

la del sistema ¨B¨ por lo podemos decir lo siguiente

Como las potencias y el ruido son iguales en ambos sistemas se obtiene lo siguiente

Como se pide el número de símbolos por segundo debemos expresar la ecuación anterior en

función de Fs

Llegamos a la conclusión de que el ¨B¨ es el que transmite más símbolos por segundo

c) Para determinar en cuantos Db hay que subir o bajar la potencia de transmisión del

sistema ¨A¨ se parte de lo siguiente:

Basándose en la grafica se puede aproximar los valores de la relación energía a ruido de los

sistemas de la siguiente manera

Como la relación energía a ruido es expresada en Db se debe hacer lo siguiente

Luego se despeja Ts en ambas ecuaciones

Ahora se procede a igualar las ecuaciones

Dado que el ruido es el mismo queda lo siguiente

Por último se obtiene que

Llegando a la conclusión de que la potencia de transmisión de el sistema ¨A¨ debe

incrementarse en 0.5 Db para convertirse en el sistema ¨B¨

PROBLEMA 3: Comunicaciones II. UCAB. Parcial 2. Diciembre

2009

Problema 1: Se tienen una señal modulada cuya constelación (a la salida del transmisor) y

base se muestra. Los símbolos son equiprobables.

Dicha señal se envía por un canal que solo contamina con ruido blanco gaussiano. El receptor es el

óptimo (GS). Cuando se envía la señal (apagando el ruido) correspondiente al símbolo “3a” de la constelación, el voltaje máximo que se obtiene a la salida del receptor GS es igual a 1 volt. Asimismo

cuando se “apaga” la señal la potencia de ruido es igual a 6.9 mw

a) (4 puntos) Escriba la expresión de la Probabilidad de error por símbolo a la salida sin usar la

constelación y determine su valor usando las tablas de Gauss. NO PUEDE USAR EL

ELEMENTO

η2

2dQ

SOLUCIO":

Si se sabe que cuando se transmite el elemento 3a la salida es 1 volt ya se tienen los 4 niveles

(1, 1/3, -1/3 y -1). Por equiprobabilidad se tienen los umbrales: -2/3, 0, 2/3

Así:

Pe=(1/4)[P(1+n0<2/3)+P(1/3 + n0>2/3)+ P(1/3 + n0<0)+ P(-1+n0>2/3)+P(-1/3 + n0<-2/3)+ P(-

1/3 + n0>0)]

=(3/2)Q(4.01)=4.75x10-5

b) (4 puntos) Determine ahora el valor de d que le ofrece la Probabilidad de error que obtuvo en

la parte a. En base a este determine la potencia de la señal transmitida

5-

2

4.75x102

)2(

4

6=

=

η

aQPe

A la salida del Rx óptimo el ruido produce una potencia de 6.9 mw y esto es igual a η/2 Por ende podemos despejar a=1/3. Con esto podemos calcular la Energía promedio=5a

2

Finalmente la potencia es igual a la Energía promedio por fs

S=E. fs=10000/9

c) (3 puntos) La velocidad de transmisión sube y, para compensar, la potencia de transmisión se

triplica para lograr que la Pe permanezca igual. Determine la nueva velocidad de transmisión

Hay que mantener E=Potencia*ts

Si la potencia se triplica, ts debe bajar a un tercio del anterior, es decir la tasa de

transmisión también se triplica

fsnueva=3 fsoriginal

PROBLEMA 4

RESUELTO POR ABELIS SALAZAR

Diciembre 2010 Secc 01

a)

b)

Valores Máximos: 0.3, 0.1, -0.3, -0.1

Umbrales: 0.2, 0, -0.2

c)

)02.0(2

3)

2

1.0(

2

3)1.0(

4

6)2.01.0(

4

1)2.01.0(

4

1

)2.03.0(4

1)01.0(

4

1)01.0(

4

1)2.03.0(

4

1

000

0000

ηηQQnPnPnP

nPnPnPnPPe

==>=−<+−+−<++

−>+−+>+−+<++<+=

PROBLEMA 5

RESUELTO POR ABELIS SALAZAR Diciembre 2010 Secc 01

a)

b) S1 no tiene proyección sobre U2 => 0V

PROBLEMA 6

RESUELTO POR ABELIS SALAZAR

DICIEMBRE 2010 SECC 02

Describa el sistema de toma de decisiones con todo el detalle numérico posible

PROBLEMA 7

RESUELTO POR MICHELLE BARBOUR

Observe la siguiente constelación

a) Determine que tipo de modulación representaría sabiendo que I=u1(t) es un coseno de frecuencia de portadora y Q=u2(t) es un seno de frecuencia de portadora. Explique.

b) Partiendo de la constelación, determine la energía promedio sabiendo que A=2. Use la simetría de la constelación.

c) Determine la probabilidad de que se cometa un error cuando se transmite el símbolo 1; considere que los símbolos son equiprobables y que el ruido presente es bastante pequeño (p<10-4).

d) Suponga que tiene una modulación 8PSK con la misma energía promedio que la descrita hasta ahora. Determine la Pe por símbolo de la modulación anterior y de esta y determine cual es mejor.

RESPUESTA: a) Representa una modulación de amplitud y fase ya que cada símbolo tiene componentes sen y cos de pesos variables. b)

( ) ( ) ( )10

48

1102

8

1182

8

12

222

=

××+××+××=

Ep

Ep

c) ( )

=

×=

=

ηηη

2

4

1

2

2

8

12

2"1"/

22

1 QA

Qd

QSTeP S

El S1 se puede convertir en S2 y S6

d) En la actual:

=

=

ηη

AQ

dQPe

4

7

28

14 2

En 8PSk

=

=

××=

ηη

π

η

AQ

senE

Qd

QPe855.0

22

82

22

88

12

2

8PSK resulta peor!

PROBLEMA 8

EC3413 Comunicaciones II Tercer Quiz 30% Diciembre 1999

Se tiene un tren de datos binarios (1 y 0 equiprobables) a velocidad de 1000 bits por

segundo. De este se extraen dos secuencias mas lentas a(t) y b(t) NRZ polar de potencia

unitaria: la primera representa cada bit par y b(t) representa los bits impares. Con estas

se construye una señal modulada sobre una portadora de 2000 Hz, y cuya expresión es:

XMOD(t)=a(t)(u1(t)+(b(t)+1)u2(t))

Donde u1(t) y u2(t) son las funciones ortonormales sinusoidales asociadas a la

modulación.

a) Defina explícita y totalmente u1(t) y u2(t).

Los secuencias a(t) y b(t) tiene un ritmo de 1/(2tb)

Por lo tanto:

t4000Sent2

2)t(u

t4000Cost2

2)t(u

b2

b1

π=

π=

b) Dibuje la constelación.

c)Dibuje una muestra representativa de la señal modulada en el dominio del

tiempo(debe tener valores de amplitudes, frecuencias y fases precisos).

La gráfica está compuesta por trozos de sinusoides de amplitud 1000 y

5000

Las fases pueden ser 0(cosenos) , π (-cosenos) , arctg(2)=63.43° y 63.43°

+180°. En cuanto al número de ciclos por cada trozo, como fc=2000Hz y

fsimbolo=500Hz, entonces se tendrán 4 ciclos de portadora por cada símbolo.

d) Determine la DEP de XMOD(t) cuando a(t)=1 y conociendo que el espectro de

toda señal NRZ de potencia P es igual a G(f)=PtsSinc2fts.

t4000Sen)1)t(b(1000t4000Cos1000 π++π

La DEP de b(t)+1 es

)f(t2fSinct2)f(G b2

bb δ+=

La DEP total será entonces

2b

2 t2)2000f(Sinc5.0t2)2000f(Sinc5.0))2000f()2000f((500 ++−++δ+−δ

e)Determine el ancho de banda.

El ancho de banda es 2(1/2tb)=fbit=1KHz

f) La señal modulada se envía por un canal que la contamina con ruido blanco

gausseano de media cero, y se detecta con detectores coherentes. Deduzca la

expresión de la probabilidad de error por símbolo en función de la distancia

mínima en la constelación y de la DEP del ruido(η/2). Utilice el factor

η=

η+

η+

η+

η 2

4Q

2

3

2

4Q

4

1

2

4Q

4

1

2

4xQ2x

4

1

2

4xQ2x

4

1

(6 puntos)

g)Dibuje en forma precisa una constelación de una señal modulada en QPSK

que tenga la misma potencia que la de XMOD(t).

PROBLEMA 9

Problema 6.16 del Haykin

Compare la relación S/N requerida por los sistemas 16-PSK y 16-QAM de manera que

ambos produzcan una probabilidad de error por símbolo de 10-3.

Utilizando la cota superior para Pe, se tiene

16-PSK

3s

2

e 1016

SenE2

Q22

dQ2P −=

π

η=

η=

dB55.21E

06.143E

3.316

SenE2

dB

s

s

s

=

η

=η

=π

η

16-QAM

dB61.17)E

(

8.57E

4.310

E2

1010

E2Q3

2

dQ3P

dBs

ss

3s2

e

=η

=η

=η

=

η=

η= −

PSK requiere casi 4 dB mas de Energía que QAM