EC2412 MUESTREO-CUANTIFICACION

Problema 1: Una señal sinusoidal de frecuencia f0=30 Hz, es muestreada uniformemente de forma que si se dibuja un cuarto de ciclo de la señal muestreada se observa lo siguiente:

A partir de esta señal se quiere recuperar la señal sinusoidal original usando un filtro cuya respuesta en frecuencia se muestra a la derecha de la figura anterior.

Determine B a fin de que el filtro de recepción sea el más barato posible

Respuesta:

Hz1800fseg301muestras60seg

301ciclo1 s =⇒→⇒= y f0=30Hz Hz1770301800B =−=⇒ ,

como se puede observar en la siguiente figura: (En realidad debe ser un poco menor que 1770 Hz)

Problema 2 Un mensaje x(t) tiene una función densidad de probabilidad uniforme a trozos.

1 X

p(x)

0.2

A

B

Este mensaje se quiere "compandir" antes de ser cuantificado uniformemente utilizando 256 niveles de cuantificación, utilizando un sistema con la siguiente función característica, adecuada a la distribución probabilística de la señal:

c(x ) =2. 5x Para 0 ≤ x ≤ 0.2

58

x + 38

Para0. 2 ≤ x ≤ 1⎧ ⎨ ⎩

Y en forma similar para el lado negativo

a) Determine cuantos niveles de cuantificación, del cuantificador uniforme,usará la señal de entrada cuando ésta se encuentra en el rango de 0.1 a 0.3 voltios.(Considerando la compansión) b) Determine A y B si se sabe que el factor de perfeccionamiento de la compansión CI =1,02. c) Determine la relación señal a ruido en dB con y sin compansor. Respuesta: a) Determine cuantos niveles de cuantificación, del cuantificador uniforme,usará la señal de entrada cuando ésta se encuentra en el rango de 0.1 a 0.3 voltios.(Considerando la compansión)

Esto implica que para 0.1 a 0.3 existe un rango dinámico de salida de 16

92

13.02.0

5.025.02.01.0

→⇒→

→⇒→

169x4

1 <<

32kka25.0v10x8125.7a2Ma 3 =⇒=⇒=⇒= − y 72b169ba =⇒=

Es decir que entre 0.1 y 0.3 “se usarán” 40 niveles b) Determine A y B si se sabe que el factor de perfeccionamiento de la compansión CI =1,02.

( )( )( ) ( ) ( ) [ ] 1

11

2.0

0

1

2.022

11

12

x1 B1.4A064.0

39.0B4.0

39.0B2

25.6A4.0dx

85B2dx

5.2A2

x'C

dxxpC −−

−−

−

+=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡= ∫ ∫∫

[ ] 9804.0B1.4A064.002.1B1.4A064.0 1 =+⇒=+ − , Por otro lado tenemos que:(Por la función de

Probabilidad) 9804.0B1.4B256.016.04.0

B6.11A1B6.1A4.0 =+−⇒−

=⇒=+→

65.1A21.0B =⇒= c) Determine la relación señal a ruido en dB con y sin compansor.

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2

2

Q ax12log10N

S , donde 15.0dxBx2dxAx2x1

2.0

22.0

0

22 =+= ∫∫

( ) dB69.44)10x8125.7(

15.012log10NS

23Q=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

,

la cantidad en decibeles que aumenta la relación señal a ruído es: 10 log(1.02)=0.086Db

( ) dB77.44NS

QCompansor=

Problema 3 Una señal analógica aleatoria, uniformemente distribuida, tiene una densidad espectral de potencia como la mostrada

Gx(f)

2200 4000 Hz

0.01

Esta señal se desea digitalizar. a) Determine la mínima frecuencia de muestreo que permitiría rescatar la señal sin distorsión en el receptor, si se sabe que el filtro de recepción es un pasabajos ideal. b) Calcule la relación señal a ruido a la salida de un cuantificador uniforme de 16 niveles. Respuesta: a) Determine la mínima frecuencia de muestreo que permitiría rescatar la señal sin distorsión en el receptor, si se sabe que el filtro de recepción es un pasabajos ideal. El valor de N máximo para el espectro mostrado es:

122,118002200

=⇒=== nBW

fN L

Max , Por lo tanto la frecuencia de muestreo permitida para ese valor de

N es:

40004400400021

2=⇒≤≤⇒≤≤

+ SSL

SM ff

N

ff

N

f

b) Calcule la relación señal a ruido a la salida de un cuantificador uniforme de 16 niveles

VManM 2416 =⇒=⇒= y 3

3601.0180022

2 Vxxx === (Por estar uniformemente distribuída)

( ) dBMV

V

a

xN

SQ

08,244

312log1012log10 22

2

2

2

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Problema 4

Encuentre y grafique con absoluta precisión la característica de compansión óptima

requerida para la cuantificación no uniforme de una señal con la siguiente función de

densidad de probabilidades.

Respuesta al problema 4

El valor que debe tomar Px(x) entre 2 y 4 debe ser tal que haga que el área total bajo la

curva entre -4 y 4 sea igual a 1. Si ese valor se denomina A, se puede calcular de la

siguiente manera:

( )2 2 2 2 16

1 112

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⇒ =A A

Px(x) queda definida de la siguiente manera:

Debido a las características de la función de densidad de probabilidad, la curva de

compansión debe expandir los valores que toma x entre 0 y 2 y comprimir los valores

de x entre 2 y 4. Por lo tanto una curva de compansión podría ser la indicada:

[ ]C

P (x)

C '(x)dx

adx

bdx

a bIX= ⋅

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

=⋅

+⋅

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

−

− −−

∫ ∫∫24

4 1

2 22

4

0

2 1

2 2

12

16

1 112

1 23

13

Existe una dependencia entre a y b, ya que las dos rectas deben tener el mismo

valor en x = 2.

a x b x b

a b ba b

x x⋅ = ⋅ − +

⋅ = − += − +

= =2 24 4

2 2 4 42

Sustituyendo en CI

( )C

b bI =

⋅ − ++

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−2

3 2

132 2

1

Para que la potencia de ruido sea mínima, hay que encontrar el valor de b de manera

que CI sea máxima. Esto se realiza derivando la función e igualándola a cero.

[ ]( )

[ ]

ba

bbbbb C b

bbbb

bbbbb

bb bC

b

I

I

1.115=a 2885.02

0.885=b 09619214472180

163240249961921447218

31

232

2345

234

23451

22

⇒+−=+−=

⇒=+−+−⇒=

+−+−+−+−

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+−⋅=

−

∂∂

∂∂

∂∂

Con estos valores de a y b se obtiene el valor de CI máximo.

( ) ( )1.04

89031

11.132

31

32

1

22

1

22máx=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⋅+

⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +=

−−

.baCI

Problema 5

Un mensaje x(t) tiene una función de densidad de probabilidad dada por Px(x) y se

quiere comprimir, antes de ser cuantificado, utilizando un sistema con la función

característica dada por C(x).

Usando como criterio el factor de perfeccionamiento de compansión CI dado por:

( )

( )[ ]C

P x

C ' x dxI

x=⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

−

−

∫ 21

1 1

a.- Determine P1 y P2 para mejorar la relación señal a ruido.

b.- Calcule CI y determine cuántos dB mejora la (S/N)Q.

Respuesta al problema 5

a.- Cálculo de A. (Nota: el problema en realidad se puede realizar sin la necesidad

de encontrar el valor de A, ya que al derivar CI e igualarlo a cero, desaparece la

constante A ). 2

12

21 4

9⋅ +

⋅= ⇒A

A A=

Las ecuaciones que describen las rectas tanto en Px(x) como en C(x) son las

siguientes:

1

22

21

1

22

21

1

41

0

1

41

22

21 3

23

123

43242

−−−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅+⋅=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

+⋅−⋅= ∫ ∫ PPP

A

P

Adx

P

Adx

P

AxACI

La dependencia entre P1 y P2 proviene de que en x = ¼ las dos rectas deben tener igual

valor.

431

44

1

21221

4122

411

+−=⇒+−=

+−⋅=⋅==

P P PPP

PxPx Pxx

Sustituyendo en CI se tiene

( )C

P PI =⋅ − +

+⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−1

3 3 4

232

22

2

1

Para obtener los valores de P2 que hagan CI máxima, hay que derivar CI e igualarla a

cero para luego despejar P2.

[ ]( )

( )

( )

( )( )

2

22

22

32

42

52

62

22

23

2

2

22

22

22

222

1

22

2222

32

4331.19243232481

256576432114

32

4331

32

4331

32

4331

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+−−+−

−+−=

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

+−∂∂

−

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+−∂∂

=∂∂

−

PPPPPP

PPP

PP

PPP

PPPC

P I

105,1P 965,0P

0256576432114

1

2

22

23

2

==⇒

=−+− PPP

b.- El valor de CI es:

( ) ( )C

. .I =

⋅+

⋅

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−1

3 1105

2

3 0 96510112 2

1

.

La cantidad en decibeles que aumenta la relación señal a ruido, ( S/N )Q, es:

10 1011Log( ). = 0.048 dB

Problema 6

Una señal tiene la siguiente función de densidad de probabilidad:

a.- Determine el paso de un cuantificador uniforme de 8 niveles.

b.- Determine la característica de compansión necesaria para lograr que los niveles de

la señal cuantificada sean equiprobables.

Respuesta al problema 6

a.- a = paso del cuantificador

M V . Va= ⇒ = =8 28

0 25

b.- Hay que encontrar una curva de compansión c(x) que transforme la variable

aleatoria x en otra con distribución uniforme que se adapte mejor a los 8 niveles de

cuantificación igualmente espaciados.

Hay que dividir la función de densidad de probabilidad de x en ocho trozos que tengan

la misma probabilidad ( igual a 1/8 ).

( )− + = ⇒ + = ⇒ =∫ x dx -a

a a= - .a

118 2

18

112

3 01330

2

( )

( )

− + = ⇒ + − = ⇒ =

− + = ⇒ + − = ⇒ =

∫

∫

x dx - b b b= - .

x dx -c

c c= .

-

b

-

c

1 18 2

18

18

1 12

2 0 2929

118 2

14

18

12

0 5

112

3

2

112

2

2

La curva de compansión debe transformar linealmente los 8 segmentos en que fue

dividido x, en 8 segmentos igualmente espaciados, como se muestra a continuación.

Problema 7

Una señal aleatoria ergódica x(t) tiene una función de densidad de probabilidad igual a:

Esta señal es muestreada y cuantificada uniformemente ( x(nts) = xq(nts) + eq(nts) ).

Si se utilizan 2 niveles de cuantificación, calcular:

a.- La potencia del error de cuantificación ( E[ eq2(nts) ] )

b.- La potencia de la señal cuantificada ( E[ xq2(nts) ] )

Respuesta al problema 7

a.- Para 2 niveles, la curva de cuantificación de la señal x(nTs) es xq(nTs) y la función de

densidad de probabilidad de xq(nTs) es Pxq, tal y como se muestra

La potencia del error de cuantificación es:

[ ] ( ) ( ) ( )

( ) ( )

eq (t) E e (t) E x(t) x (t) x x P x dx

x x dx x x dx

q q q X2 2 2 2

1

1

2

1

0 2

0

112

1 12

1

= = −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= − ⋅ ⋅

= − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅ + ⋅ + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⋅ − + ⋅ =

−

−

∫

∫ ∫ 1

12

b.- La potencia de la señal cuantificada es:

( ) ( )[ ] ( )

( )

( )41tqx

41

81

81

21

21

21

21-

21

21

21

21

2

22

1

0

20

1

22

1

1

222

=

=+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=

⋅⋅==

→

∫∫

∫

−

−

dxxxdxxxtx

dx=xPxtxEtx

q

qXqqq

δδ

Problema 8

Una señal de video tiene el siguiente espectro de potencia:

Esta señal se muestrea idealmente a fs = 42 MHz. Determine (analítica o gráficamente)

si ella puede ser recuperada, después de este muestreo, con un filtro pasabanda ideal

ubicado entre 60 MHz y 66 MHz.

Respuesta al problema 8

Si una señal pasabanda cumple f

BWL ≥ 1

Entonces podrá ser muestreada a una frecuencia de muestreo menor al

límite de Nyquist ( que en este caso sería: fNyquist = 2fmáx = 2·66MHz = 132MHz ).

Para el caso de la señal analizada esta condición se cumple ya que:

fBW

MHz MHz

L = =606

10

La frecuencia de muestreo fs, debe satisfacer la siguiente condición para que no haya

solapamiento de espectros.

21

2⋅+

≤ ≤⋅f

N f f

NM

sL

donde N es un número entero que representa la cantidad de veces que el espectro

original se puede repartir entre -fL y +fL. Los valores permisibles para N están entre 1 y

(fL / BW).

Para verificar si fs está dentro de los valores permitidos, se buscará qué valor de N

corresponde a la frecuencia de muestreo fijada.

86.2 N 86.2 MHz42

MHz602ff2 N

Nf2f

14.2 N 14.21 MHz42

MHz6621ff2 N f

1Nf2

s

LLs

s

Ms

M

≤⇒=⋅

=⋅

≤⇒⋅

≥

≥⇒=−⋅

=−⋅

≥⇒≤+

⋅

Los resultados obtenidos indican que para la frecuencia fs = 42 MHz, no existe ningún

número entero válido para N que impida un solapamiento entre los espectros. Por lo

tanto no se puede recuperar la señal.

Problema 9

Observe el siguiente sistema:

( )

( ) ( )

X(f)f

senf

f ff

H f T ff

m t t nT

f KHz

f f

c c c

sc

s

c

s Nyquist

= ⋅ ⋅⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ⋅

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= ⋅⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= −

=

= ⋅

∏

∏∑

12 2 2

2

112

2 π

δ

Determine las expresiones de xs(t) y y(t)

Respuesta al problema 9

El espectro en frecuencia de la señal x(t) viene definido por el cuadrado de un seno

cuyo período es:

KHz=fc= T Tfc

4 4 212

1−⇒=⋅ ππ

( Nota: Las unidades del período de X(f) son en Hertz, por ser un espectro )

Gráficamente X(f) se representa de la siguiente manera:

El ancho de banda correspondiente a este espectro es igual a 1KHz, por lo tanto,

según las indicaciones del problema, al multiplicar x(t) por m(t), se está muestreando la

señal a la mitad de la frecuencia de Nyquist, quedando la frecuencia de muestreo igual

a:

ff KHz KHz fsNyquist

c= =⋅

= =2

2 12

1

El utilizar esta frecuencia de muestreo implica que la señal xs(t) resulta en un

solapamiento de espectros. Pero si se analiza cuáles son las señales que se están

superponiendo en cada punto del espectro de xs(t) se obtiene lo siguiente:

Por ejemplo, dentro del rango de frecuencias de 0KHz a 1KHz, Xs(f) se rige por la

siguiente ecuación:

( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅= c

ccs ff

ff

ffX

2sen

21

2sen

21 22 ππ

Pero el segundo término es un seno elevado al cuadrado desfasado ¼ de período, lo

que lo convierte en un coseno cuadrático. Por lo tanto, la expresión de Xs(f) queda

definida de la siguiente manera:

( )21

2cos

2sen

21 22 =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅= f

ff

ffX

ccs

ππ

Esta expresión es válida para cualquier valor de f, lo que indica que el espectro de

amplitud de Xs(t) es una constante. Al antitransformar Xs(f) obtenemos xs(t).

Al pasar xs(t) por el filtro pasabajo ideal se obtiene lo siguiente:

Para obtener y(t) hay que antitransformar Y(f).

[ ] ( )

( )

y(t) Y(f)f f f

f f tc c c

c c= = ⋅⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

− − ∏F F1 12 2

12

12

12

2 2sinc

y(t)1

fsinc 2f t

cc

Problema 10

Una señal tiene el siguiente espectro de amplitud:

Se desea discretizar en tiempo esta señal muestreándola a una frecuencia fs apropiada,

para luego poder recuperarla con un filtro pasabanda. Deduzca analíticamente y

consiga el valor de fs más conveniente.

Respuesta al problema 10

El valor de N máximo para el espectro mostrado anteriormente es el siguiente:

N fBW

KHz KHz

Lmax = = =

201

20 ( ya que según el gráfico fL=20KHz y BW=1KHz )

Por lo tanto, la frecuencia de muestreo permitida para este valor de N, es la siguiente: 2

12

2 2120 1

2 2020

2 2

⋅+

≤ ≤⋅

⋅+

≤ ≤⋅

≤ ≤ ⇒ =

fN

f fN

KHz f KHz

KHz f KHz

Ms

L

s

s fs 2 KHz

Problema 11(2422p3sd00) La figura presenta un trozo arbitrario de 1mseg de una señal pasabajo aleatoria uniformemente distribuida entre –1v y 1v. También se muestra el sistema por donde pasa.

Se obtienen los siguientes datos:

a. La señal x(t) se muestrea exactamente a la menor frecuencia posible para poder recuperar posteriormente la señal.

b. La relación señal a ruido a la salida del cuantificador es igual a 64

En base a estos datos:

1. Determine la potencia de la señal x(t)

2. Dibuje con absoluto detalle (escala de tiempo y amplitud) y total explicación( para el mismo intervalo de 1 mseg de la señal de entrada ) la señal a la salida del cuantificador asumiendo que la señal cuantificada ocupa 7.5KHz aproximadamente

3. Calcule la potencia de la señal cuantificada(xQ(t))

Solución Problema 11

a. La potencia de una señal uniformemente distribuida entre – v y v se calcula

mediante la siguiente integral: ∫v

v

x dxxpx–

2 )( es 3

2v . Sabemos que v es 1, por lo

tanto la potencia de la señal es igual a 31 .

b. Nos dicen que la señal cuantificada tiene kHzW 5.7= y sabemos que el ancho de banda de una señal cuantificada es igual al número de bits de cuantificación multiplicado por el ancho de banda de la señal original. Para cuantificar sabemos

que QN

S⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ = 64 =

12

2

2

a

x =

12

31

2a= 23

12a

.

Despejamos al paso de cuantificación: 643

122

⋅=a = 0,0625 → 25,0=a . Tenemos

la fórmula Mav =2 → 25,012 ⋅

=M = 8. Siendo este último valor el número de

niveles de cuantificación y por la regla nM 2= donde n es el número de bits usados en el proceso, obtenemos que 3=n .

Por lo tanto el ancho de banda de la señal original es:

kHzkHz

n

kHzW 5,2

35,75,7

=== .

Y debido a que, por dato, la frecuencia de muestreo es la menor frecuencia posible, es decir, Nyquist, concluimos que la frecuencia de muestreo es el doble de la frecuencia del mensaje lo cual es kHzkHzffs NYQUIST 55,22 =⋅== . Entonces

el tiempo transcurrido entre una muestra y otra es mskHzfs

ts 2,05

11=== . Con

estos valores podemos dibujar las gráficas solicitadas:

c. La potencia de la señal cuantificada se calcula multiplicando el tiempo que transcurre la señal en cada nivel de cuantificación por la probabilidad de dicho nivel. En este caso la potencia sería igual a

( ) ( ) ( ) ( ) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅+⋅+⋅

81875,0

81625,0

81375,0

81125,02 2222 0,32 debido a que

la señal cuantificada permanece en cada nivel de cuantificación, cuya

probabilidad es para todos de 81 porque es una cuantificación uniforme. El factor

de 2 es porque los niveles negativos producen la misma potencia que los positivos.

Problema 12

Una señal aleatoria banda base x(t) con valores entre -1y 1 (con fdp como la mostrada ) es muestreada cada 0.15 mseg. usando un muestreador tope plano. Esa señal luego se cuantifica usando el cuantificador mostrado. La señal se puede recuperar con un LPF sin distorsión.

a. Dibuje una posible señal cuantificada (detalle tiempos y amplitudes) b. Determine el nivel DC de la señal a la salida del cuantificador. c. Determine la potencia de la señal cuantificada. d. Determine el máximo ancho de banda de la señal x(t)

Solución Problema 12: a. Se sabe por las características del cuantificador que los posibles valores de salida son (±0.25V, ±0.5V, ±1V), como la señal de entrada es muestreada cada 0.15 mseg, se sabe que este será el valor de nuestros pasos en la salida del cuantificador. Por ende la señal de salida debe tener esas características, por dar un ejemplo mostraremos lo siguiente:

b. Para hallar el valor DC de la señal de salida se usara lo siguiente: - Se sabe cuales son los únicos posibles valores de voltaje a la salida.

- Se puede calcula la probabilidad de que salga cada uno de esos valores, usando la fdp.

El área debajo de la curva será el valor de la probabilidad de cada valor y análogamente se hará con al lado negativo. P1(0<x<0.1)= 0.1 P4(0>x>-0.1)= 0.1 P2(0.1<x<0.2)=0.2 P5(-0.1>x>-0.2)=0.2 P3(0.2<x<1)=0.2 P6(-0.2>x>-1)=0.2 V1=0.25 V2=0.5 V3=1 - Usando eso se puede decir que el valor DC de la señal será la sumatoria de los distintos valores de voltaje multiplicado por su probabilidad de ocurrencia.

ΣVi*Pi Y tendremos DC=0.1*V1+0.2*V2+0.2*V3+0.1*(-V1)+0.2*(-V2)+0.2*(-V3) DC=0 Esto se debe a la simetría tanto de la fdp como la simetría con respecto al eje del cuantizador. c. Similarmente como en el caso anterior ahora para calcular la potencia se usa el valor del voltaje al cuadrado por su probabilidad de ocurrencia por ende la formula será así. Pot=P1*V12+P2*V22+P3*V32+P4*(-V1) 2+P5*(-V2) 2+P6*(-V3) 2 Pot=0.1*V12+0.2*V22+0.2*V32+0.1*(-V1) 2+0.2*(-V2) 2+0.2*(-V3) 2

En este caso ya no será cero ya que el efecto de los signos se elimina con el cuadrado Pot=0.625

d. Para determinar el máximo ancho de banda sabemos que por el teorema de nyquist la frecuencia de muestreo debe ser mayor o igual a dos veces el ancho de banda a modo tal de poder recuperar la señal.

Fs≥2*W

Despejando se obtiene que:

W≤Fs/2

Como Ts es 0.15mseg. Fs=1/Ts=6.66KHz Por lo tanto

Wmax=3.33KHz Problema 13

Solución Problema 13 : Parte A) El hecho de que la relación señal a ruido haya mejorado en 3dB después de la compansión, lo podemos expresar matemáticamente de la siguiente manera: 10.log(S/Nc) = 10.log(S/N) + 3dB (1) donde S/Nc es la relación señal a ruido después de haber sido compandida la señal. Sabemos que la relación señal a ruido mejora con respecto al factor de mejoramiento C1, explicado en la guía de cuantificación no uniforme, por lo que se puede rescribir: S/Nc = (S/N).C1; Resolvemos (1) aplicando antilogaritmo:

=> C1 = 2 Las derivadas del compansor son: C’(x) 3 , 0<x<0.25

1/3 , 0.25<x<1 Sustituimos en la siguiente función:

Como la función P(x) es simétrica multiplicamos por 2 los intervalos positivos.

(1/9).A + 27.B = 1 (2)

La segunda relación se obtiene del área de la fdp = 1.

Area(fdp) = 1 = 2.A.(0.25) + 2.B.(0.75)

A.(1/2) + B.(3/2) = 1 (3)

Sustituyendo (2) en (3) se obtienen los siguientes resultados: B = 0.02916

A = 1.915

Parte B) Para calcular la relación señal a ruido primero necesitamos la potencia de la señal original la cual viene dada por:

resolvemos

Al sustituir los valores de A y B encontrados se obtiene que E[x2] = 0.0416 Y se sabe que para un cuantificador no uniforme la relación señal a ruido es:

Como el cuantificador es 8 niveles, M = 8 y la máxima amplitud A =1, sabemos que a = (1/4). Finalmente (S) = 12x16x0.0416x2 = 15.97 N En dB seria [S/N]dB = 12.03 dB Parte C) Si la señal solo pasa por el cuantificador uniforme se pierde el efecto del factor de mejoramiento (C1) introducido por el Compansor, entonces nos queda:

S = 12x16x0.0416.= 7.98 N En dB seria [S/N]dB = 9.03 dB Problema 14 (p3em04) Una señal aleatoria x (t) tiene una fdp tal y como se muestra en la figura de la izquierda, mientras que su DEP está representada por la figura de la derecha.

Dicha señal se muestrea adecuadamente (Nyquist, ideal) y pasa por un Cuantificador no-uniforme el cual puede ser modelado por: un compansor (Con la característica c(x) definida a continuación) seguido de un Cuantificador uniforme de 8 niveles y simétrico respecto al cero.

Estos dos sistemas en cascada son equivalentes a un cuantificador no uniforme, simétrico respecto al cero, como el siguiente:

a) Determine α b) Determine la probabilidad de que XQ sea igual a -0.125.

Solución Problema 14 a) La función del compansor esta definida por C(x)

Si la graficamos se tiene una recta con una misma pendiente de -0,5 a 0,5; y otras dos con una pendiente mayor que van de -0,5 a -1 y de 0,5 a 1 respectivamente.

El cuantificador uniforme se visualiza en la siguiente gráfica:

Para hallar el valor de alfa (α), lo que hacemos es evaluar los valores límites del compansor y verificar donde quedan ubicados dentro del cuantificador uniforme para hacer los pasos del cuantificador no uniforme.

Evaluamos los valores limítrofes de la primera recta con valores X positivos del compansor, que va de cero (0) a cero coma cinco (0,5) 5,00 → y calculamos los valores de C(x)

25,05,05,0)5,0(;005,0)0( =⋅==⋅= CC Entonces observamos que aunque en el compansor va de 5,00 → en el cuantificador uniforme equivale al primer nivel completo que va de 25,00 → , esto demuestra que esta recta del compansor alarga el valor del cuantificador no uniforme en ese intervalo. En la gráfica del cuantificador no uniforme se aprecia mejor esta relación. El siguiente paso del cuantificador uniforme va hasta 0,5, entonces si evaluamos en la función de C (x) correspondiente a los valores de x entre 0,5 y 1, sustituyendo x por alfa (α) y lo igualamos a 0,5 podemos despejar alfa (α). En el compansor va de α→5,0

25,05,075,05,05,05,1)5,0( =−=−⋅=C

667,015,15,05,05,1 =⇒=⇒=− ααα A continuación se muestra el gráfico de QX con los valores especificados:

b) Para determinar la probabilidad de que QX sea igual a -0,125, nos ubicamos en la fdp y calculamos el área que abarca los valores de 5,00 −→ en el eje x.

Para calcular la altura de la fdp, sabemos que el área total vale uno (1), entonces el área de cada triángulo vale ½, y de la ecuación despejamos la altura

121

22=⇒=⇒

⋅= h

hhbAT

para calcular el valor de la fdp en x = -0,5 lo hacemos por la ecuación de la recta

112

12 −=⇒−−

= mxx

yym

xmy ⋅= 5,05,0 =⇒−= yx

Teniendo la base y la altura del triángulo podemos calcular el área rayada:

81

221

21

2=

⋅=

⋅=

hbAT

81)125,0( =−=QXP