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UNIVRSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITCNICA

"ANTONIO JOS DE SUCRE" VICE-RECTORADO BARQUISIMETO

DEPARTAMENTO DE INGENIERA ELECTRNICA

SISTEMAS DE CONTROL ( Transparencias de clases )

Noviembre, 2000

Realizado por: Ingo. TEODORO PREZ ESCOBAR M.Sc. en Ingeniera Electrnica

TEMA No. 1

FUNDAMENTOS Y MODELOS MATEMTICOS

DE LOS SISTEMAS DE CONTROL

Sistemas de Control. Transparencias de clases. Noviembre-2000. Ingo Teodoro Prez Escobar

Sistemas de Control. Transparencias de clases. Noviembre-2000. Ingo Teodoro Prez Escobar 1

SISTEMA: combinacin de componentes que actan conjuntamente y cumplen un determinado objetivo.

Ejemplos: Sistemas fsicos Sistemas biolgicos Sistemas econmicos

.

.

.

SEAL: estmulo externo o interno a un sistema que generalmente condiciona su comportamiento.

Matemticamente la seal se representa como una funcin de una o ms variables independientes.

Generalmente la variable independiente es el tiempo.

SEAL DE TIEMPO CONTINUO: la seal que asume valores en todo instante de tiempo. SEAL DE TIEMPO DISCRETO: la seal toma valores en determinados instantes de tiempo. SISTEMA DE TIEMPO CONTINUO: sistema donde todas las seales son de tiempo continuo. SISTEMA DE TIEMPO DISCRETO: sistema que presenta al menos una seal de tiempo discreto. SISTEMA DIGITAL: sistema discreto donde alguna de las seales discretas est codificada digitalmente.


SISTEMA DE CONTROL: es un arreglo de componentes fsicos, conectados de tal forma, que dicho arreglo puede regular o dirigir a s mismo o a otro sistema. ENTRADA DE UN SISTEMA DE CONTROL ( Punto de Control ) : es un estmulo o excitacin que se aplica a un sistema de control desde una fuente de energa externa, generalmente con el fin de producir, de parte del sistema de control, una respuesta especfica. SALIDA DE UN SISTEMA DE CONTROL ( Variable Controlada ) : es la respuesta obtenida del sistema. Puede ser, o no, igual a la respuesta especfica que la entrada implica. PERTURBACIN: es una seal que tiende a afectar adversamente el valor de la salida de un sistema. Puede ser INTERNA si es originada por un componente del sistema, o EXTERNA si es originada por una fuente externa. PLANTA: es el objeto fsico que ha de ser controlado. PROCESO: es la operacin que se va a controlar.

CONTROLADOR: son los componentes requeridos para generar la seal de control (Variable Manipulada ) apropiada que se aplica a la Planta.

ACCIN DE CONTROL: es la seal que se aplica al controlador.

REALIMENTACIN: es la propiedad de un sistema (de Lazo cerrado) que permite que la salida sea comparada con la entrada de tal manera que se pueda establecer la accin de control apropiada como funcin de la entrada y la salida.


TERMINOLOGA DE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUES.

FORMA GENERAL DE UN SISTEMA DE CONTROL DE LAZO CERRADO

r(t) entrada c(t) salida e(t) accin de control o seal de error

m(t) seal de control b(t) salida de realimentacin primaria


CLASIFICACIN DE LOS SISTEMAS DE CONTROL.

DE ACUERDO A SU NATURALEZA

Hechos por el hombre Naturales Hbridos

D A LA ACCION DE CONTROL

DE LAZO ABIERTO: la accin de control es independiente de la salida

DE LAZO CERRADO: la accin de control es en cierto modo dependiente de la salida

OTRAS CLASIFICACIONES

Lineal (*) No -lineal

Invariante en el tiempo (*) Variante en el tiempo

Con memoria Sin memora

Causal No causal

Estable Inestable

Determinstico (*) Aleatorio

E ACUERDO


CARACTERSTICAS DE LOS SISTEMAS DE CONTROL.

SISTEMA DE CONTROL DE

LAZO ABIERTO SISTEMA DE CONTROL DE

LAZO CERRADO

1) La exactitud depende de la calibracin de sus componentes.

2) No tienen problemas de inestabilidad.

3) Sensible a las perturbaciones.

4) Diseo ms sencillo.

1) Aumento de la exactitud.

2) Tendencia a la oscilacin.

3) Poco sensible a las perturbaciones.

4) Ms costoso en el diseo.

5) Ms rpidos.

6) Reduccin de la no-linealidad y de la distorsin.

SERVOMECANISMO:

es un sistema de control cuya salida es una posicin mecnica

o una derivada de la posicin ( velocidad, aceleracin, etc. ).


MODELO MATEMTICO DE UN SISTEMA:

Conjunto de ecuaciones que describe la relacin entre las seales del sistema.

Tipos de Modelos Matem ticos Representacin externaRepresentacin interna.

Representacin Externa:

Describe la relacin entre las seales de entrada y salida del sistema.

ECUACIONES DIFERENCIALESECUACIONES EN DIFERENCIACONVOLUCION

Modelo en el dominio del tiempo

FUNCION DE TRANSFERENCIA (funcin de una variable compleja) (Modelo en el dominio de la Frecuencia)

Transformada de LaplaceTransformada de FourierTransformada ZTransformada Discreta de Fourier

Representacin Interna:

Describe la relacin entre las seales de entrada y salida y el estado de un sistema.

Se utiliza un conjunto de variables (de estado) que describe el comportamiento interno del sistema.


SISTEMA LINEAL:

Aquel que cumple con el principio de superposicin:

, = constantes

SISTEMA NO LINEAL:

No cumple el principio de superposicin.


LINEALIZACIN DE UN MODELO MATEMTICO NO LINEAL:

[[[[ ]]]]y t f x t( ) ( )====

Condicin NORMAL de operacin (Punto de Operacin) ( x , y )0 0

SERIE DE TAYLOR

(((( )))) (((( ))))y f x f x f x x x f x x xo oo o==== ==== ++++ ++++

++++( ) ( ) ( ) ( ) !0 0 00

2

2

Si (x - x0 ) es pequeo:

(((( ))))

(((( ))))

y f x f x x x

y y f x x x

y k x

o

o

o o

++++

( ) ( )

( )

0 0 0

0

Variables de desviaciny y y yx x x xo

==== ======== ====

0


SISTEMA INVARIANTE EN EL TIEMPO:

SISTEMA CAUSAL:

La salida en cualquier instante t0 depende nicamente de los valores de la entrada para t


Leyes de la convolucin:

1) CONMUTATIVA: f t f t f t f t1 2 2 1( ( ( ()* ) )* )====

2) DISTRIBUTIVA: [[[[ ]]]]f t f t f t f t f t f t f t1 2 3 1 2 1 3( ( ( ( ( ( ()* ) ) )* ) )* )++++ ==== ++++

3) ASOCIATIVA: [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]f t f t f t f t f t f t1 2 3 1 2 3( ( ( ( ( ()* )* ) )* ) * )====

Convolucin de una funcin con la funcin impulso:

[[[[ ]]]][[[[ ]]]]

1

2

3

4

1 1

1 2 1 2

1 2 1 2

) ( )* ( ) ( ). ( ). ( )

) ( )* ( ) ( )

) ( )* ( ) ( )

) ( )* ( ) ( )

f x x f x d f x

f x x x f x x

f x x x x f x x x

x x x x x x x

==== ====

====

==== ++++

==== ++++

FUNCIN DE TRANSFERENCIA DE UN ELEMENTO ( SISTEMA ):

Es la transformada de Laplace de la respuesta del elemento (sistema)

a la funcin impulso cuando se toman las condiciones iniciales como nulas.


Propiedades de la funcin impulso ( Delta de Dirac ) [[[[ ]]]] ( )t :

a t dt

b t t

c t

) ( )

) ( )

) ( )

para

para t 0

====

====

====

1

0

0

REPRESENTACIN DE UN ELEMENTO (SISTEMA) UTILIZANDO UN DIAGRAMA DE BLOQUES:

c t r t g t( ) ( ) ( )==== [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]c t L C s L G s R s( ) ( ) ( ) ( )==== ==== 1 1

PASOS GENERALES PARA OBTENER LA FUNCIN DE TRANSFERENCIA

1. Determinar la(s) ecuacin(es) diferencial(es) que rige(n) al elemento o sistema

2. Aplicar Transformada de Laplace con condiciones iniciales = 0

3. Obtener la funcin de transferencia G(s) como el cociente C sR s

( )( )


MODELO MATEMTICO DE SISTEMAS MECNICOS

LEY DE NEWTON a) MOVIMIENTO DE TRASLACIN: f m a

====

b) MOVIMIENTO DE ROTACIN: T J ====

ELEMENTOS MECNICOS IDEALES


MODELO APROXIMADO DE UN ENGRANAJE FSICO:

n = NN

1

2

J J J n

B B B n

T T n

e

e

L L

==== ++++

==== ++++

====

1 22

1 22

.

.

.

SERVOMOTORES DE CORRIENTE CONTINUA

Diagrama

T K i i

V K

m f a

c c

o

====

====

1

Kc = constante de la fuerza contraelectromotriz

Vc = fuerza contraelectromotriz


SERVOMOTOR DE C.C. CONTROLADO POR ARMADURA:

Entrada = Va Salida =

(((( ))))

( )( )s

V sK

s sam

m==== ++++ 1

KK

R B K K

R JR B K K

ma e c

a e

a e c

==== ++++

====

++++ m

Km = constante de ganancia del motor m = constante de tiempo del motor K = constante del par motor = K1. If

ECUACIONES PARA LA DEMOSTRACIN DE LA FUNCIN DE TRANSFERENCIA:

(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]

T K I i K i

V K

V i R L didt V

J T B

sV s

Ks R L s J s B K K

m f a a

c c

o

a a a aa

c

e

oo

m e

o

a a a e e c

==== ====

====

==== ++++ ++++

====

====++++ ++++ ++++

1

( )( )

(((( )))) Normalmente R a ==== ++++L ss

V sK

s sa am

m

( )( ) 1


SERVOMOTOR DE C.C. CONTROLADO POR CAMPO:

Entrada = Vf Salida =

(((( )))) (((( ))))

( )( )s

V sK

s s sfm

f m==== ++++ ++++1 1

K KR BLR

JBm f e

f

f

e

e==== ==== ==== f m; ;

Km = constante de ganancia del motor f = constante de tiempo ( elctrica ) K = constante del par motor = K1. Ia m = constante de tiempo ( mecnica )

ECUACIONES PARA LA DEMOSTRACIN DE LA FUNCIN DE TRANSFERENCIA:

(((( )))) (((( ))))

T k I i K i

V i R L didtJ T B

sV s

Ks s s

m a f f

f f f ff

e

oo

m e

of

m

f m

==== ====

==== ++++

====

==== ++++ ++++

1

1 1

( )( )


FORMA GENERAL DE UN SISTEMA DE CONTROL DE LAZO CERRADO

r(t) entrada c(t) salida e(t) accin de control o seal de error

m(t) seal de control b(t) salida de realimentacin primaria

TRAYECTORIA DIRECTA: r(t) - e(t) - g1 (t) - m(t) - g2 (t) - c(t)

TRAYECTORIA DE REALIMENTACIN: c(t) - h(t) - b(t)

FORMA CANNICA DE UN SISTEMA DE CONTROL DE LAZO

CERRADO

G(s) funcin de transferencia DIRECTA

H(s) funcin de transferencia de REALIMENTACIN

G(s) .H(s) funcin de transferencia de LAZO ABIERTO

C (s) / R(s) funcin de transferencia de LAZO CERRADO

E(s) / R(s) razn de la seal de error


EJERCICIO:

El sistema de la figura sirve para gobernar la posicin de una carga mecnica. Las constantes del sistema son las siguientes:

GANANCIA DEL AMPLIFICADOR DE C.C. = A Inductancia de la armadura del motor: La = despreciable Resistencia de la armadura del motor: Ra = 5 ohmios INERCIA DEL MOTOR : Jm = 1,36 . 10-3 N.m.s2 ROCE DEL MOTOR: Bm = despreciable ROCE DE LA CARGA: Bc = 0,136 N.m.s INERCIA DE LA CARGA: Jc = 0,136 N.m.seg2 RELACIN DE ENGRANAJES: n = N1 /N2 =1/10 CONSTANTE DEL PAR MOTOR: K = 0,68 N.m/A CONSTANTE DE F.C.E.M. : Kc = 0,68 V.s/rad Alimentacin de los potencimetros: V Angulo mximo de giro de los potencimetros: 180o

DETERMINAR: a) c rs s( ) ( )

b) Si r ct U t t( ) ( ) ( )====

hallar para

A = 15 A = 200 A = 1500


RESPUESTA DEL SERVOMECANISMO A UN ESCALN:

ORDEN DEL SISTEMA

Si: G s P sQ s( )( )( )====

donde P(s) y Q(s) son polinomios en s

Se dice que,

EL ORDEN DEL SISTEMA = ORDEN DE Q(s)


GRFICO DE FLUJO DE SEAL ( DIAGRAMA DE FLUJO )

Diagrama que representa un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales simultneas

Ecuaciones:

i i 1 2====

==== ====

====V V

R V i R i RV V

R V i R1 2

22 1 3 2 3

2 3

13 2 4. . .


DEFINICIONES

Nudo punto que representa una variable o seal.

Transmitancia ganancia entre dos nudos.

Rama segmento de lnea con direccin y sentido que une dos nudos.

Nudo de entrada nudo que solo tiene ramas que salen.

Nudo de salida nudo que solo tiene ramas que entran.

Nudo mixto nudo que tiene tanto ramas de entrada como ramas que salen.

Camino o trayecto

recorrido de ramas conectadas en el sentido de las flechas de las ramas.

Camino abierto si no cruza ningn nudo mas de una vez.

Camino cerrado (Lazo)

si finaliza en el mismo nudo del cual parti, y no cruza otro nudo mas de una vez.

Ganancia de lazo producto de las transmitancias de las ramas de un lazo.

Lazos disjuntos lazos que no poseen nudos comunes.

Trayecto directo trayecto de un nudo de entrada a un nudo de salida que no cruza ningn nudo mas de una vez.

Ganancia de trayecto directo

producto de las transmitancias de las ramas de un trayecto directo


PROPIEDADES DE LOS GRFICOS DE FLUJO DE SEAL

1. Una rama indica la dependencia funcional de un nudo respecto a otro.

2. Un nudo suma las seales de todas las ramas que entran y transmite esta suma a todas las ramas que salen.

3. Un nudo mixto puede ser considerado como un nudo de salida aadiendo una rama de transmitancia unitaria.

4. Para un sistema dado, el diagrama de flujo no es nico.

DEL DIAGRAMA DE BLOQUES AL DIAGRAMA DE FLUJO

BLOQUE ---------------------------------------> RAMA

FUNCIN DE TRANSFERENCIA ------> TRANSMITANCIA DE LA RAMA

SEAL ------------------------------------------> NUDO

OBSERVACIONES:

1) Un punto de toma seguido de un punto de suma, se debe separar con una rama de ganancia unitaria.

2) Un punto de suma seguido de un punto de toma, se debe separar con una rama de ganancia unitaria.


LGEBRA DE LOS DIAGRAMAS DE FLUJO


FORMULA DE GANANCIA DE MASON

PARA LOS DIAGRAMAS DE FLUJO DE SEAL

P Pi ii

n====

====

11

n = No de trayectos directos

Pi = ganancia del i-simo trayecto directo

= 1 - (las ganancias de todos los lazos) + + (las ganancias de 2 lazos disjuntos) + - (las ganancias de 3 lazos disjuntos) ++++ + (las ganancias de 4 lazos disjuntos) + -

i = valor de cuando se hacen cero las ganancias de los lazos que tocan el i-simo trayecto directo.


EJEMPLO

TRAYECTOS DIRECTOS

LAZOS


MODELO DE LOS PROCESOS INDUSTRIALES

BALANCE DE UNA CANTIDAD QUE SE CONSERVA : MASA O ENERGA

Flujo de masa / energa Flujo de masa / energa Tasa acumulada de de entrada al proceso de salida del proceso masa / energa en el proceso

Se debe utilizar casi todas las reas de la Ingeniera de Proceso ( Ejemplo: la Termodinmica, la Transferencia de calor, flujo de fluidos,

transferencia de masa e Ingeniera de Reaccin )


ANALOGA ELCTRICA DE SISTEMAS MECNICOS

SISTEMA

MECNICO ANALOGA

FUERZA-TENSIN ANALOGA

FUERZA-CORRIENTE

f mdxdt B x k x dt

oo o

==== ++++ ++++ . . . . e Ldidt i R C i dt==== ++++ ++++ . . . .

1 i C dedteR L e dt==== ++++ ++++

1. .

f e i

xo i e

m L C

B R 1/R

k 1/C 1/L


PASOS PARA OBTENER EL CIRCUITO ELCTRICO ANLOGO A UN SISTEMA MECNICO.

(ANALOGA FUERZA-CORRIENTE)

1) Plantear la RED MECNICA de la siguiente forma:

a) Se representan las velocidades de los elementos mecnicos por puntos.

b) Se conectan cada una de las masas, un extremo a su punto de velocidad correspondiente y el otro extremo a tierra comn.

c) Se conectan los otros elementos entre sus correspondientes puntos de velocidad.

d) Se colocan generadores de fuerza (uno por cada fuerza de entrada), un extremo en el punto de velocidad donde se aplica y el otro a tierra comn.

e) Si aparecen velocidades como entradas, se procede al igual que en d), pero utilizando generadores de velocidad.

2) SE CAMBIAN LAS VARIABLES Y LOS ELEMENTOS MECNICOS POR SUS ANLOGOS ELCTRICOS.


TEMA No. 2

ANLISIS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO


RESPUESTA DE UN SISTEMA:

RESPUESTA ESTACIONARIA:

es la salida del sistema cuando t . [[[[ ]]]] ( ) lim c t lim s C st s ==== 0 ( )

es la salida del sistema cuando k .

====

C(z)

z1z limc(k.T) lim

1zk

RESPUESTA TRANSITORIA:

aquella que va desde el estado inicial hasta el estado final.

SEALES DE PRUEBA:

SEAL ESCALN - SEAL RAMPA - SEAL PARABLICA

SEAL IMPULSO - SEAL SENOIDAL

CARACTERSTICAS MAS IMPORTANTES EN EL ANLISIS Y DISEO DE UN SISTEMA DE CONTROL

a) ESTABILIDAD ABSOLUTA Sistema ESTABLESistema INESTABLE

b) ESTABILIDAD RELATIVA

c) ERROR ESTACIONARIO ( EXACTITUD )

d) RAPIDEZ


SISTEMA ESTABLE (ESTABILIDAD BIBO) :

( Bounded-Input Bounded-Output )

El sistema es estable

Si para x t B y t B( ) ( ) 1 2

Entrada Limitada Salida Limitada

implica

para todo t

ESTABILIDAD ABSOLUTA:

Un sistema L.I.T., es ESTABLE si finalmente la salida retorna a su estado de equilibrio cuando el sistema es sometido a una perturbacin.

POLOS DE LAZO CERRADO EN EL SEMIPLANO SISTEMA IZQUIERDO DE s DE CONTROL POLOS DE LAZO CERRADO ESTABLE EN EL INTERIOR DEL CRCULO UNITARIO

( PLANO z )

Un sistema L.I.T., es INESTABLE si contina indefinidamente una oscilacin en la salida, o si la salida diverge sin lmite de su estado de equilibrio

cuando el sistema es sometido a una perturbacin.


ESTABILIDAD ABSOLUTA

SISTEMA DE POLOS DE LAZO CERRADO CONTROL EN EL SEMIPLANO ESTABLE IZQUIERDO DE s

MTODOS DE ANLISIS DE ESTABILIDAD

Clculo directo de los autovalores de la matriz A Clculo directo de las races de la Ecuacin Caracterstica del Sistema Mtodos basados en la Ecuacin Caracterstica del Sistema

Hurwitz

Routh-Hurwitz

Lugar de las Races Criterio de Nyquist Mtodo de Lyapunov

Clculo directo de los autovalores de la matriz A

Ecuacin Caracterstica : 0==== AIs.


CRITERIO DE ESTABILIDAD ABSOLUTA DE ROUTH-HURWITZ ( Determinacin de la cantidad de polos de Lazo Cerrado que estn en el S.P.D. de s )

PROCEDIMIENTO:

Dado C s R s P s Q s( ) ( ) ( ) ( )==== , donde P(s) = polinomio de grado m Q(s) = polinomio de grado n

1) Se dispone Q(s) de la siguiente forma:

Q s a s a s a s a s an n n n n( ) ==== ++++ ++++ ++++ ++++ ++++ ====

0 11

22

1 0

ECUACIN CARACTERSTICA DEL SISTEMA

an 0 y a0 , a1 , a2 , , an-1 , an son Reales

2) Si: ai


TABLA DE ROUTH-HURWITZ:

1a COLUMNA

sn a0 a2 a4 a6 ... aii= par

sn-1 a1 a3 a5 a7 ... aii=impar

sn-2 b1 b2 b3 b4 ...

sn-3 c1 c2 c3 c4 ...

sn-4 d1 d2 d3 d4 ...

s2 e1 e2

s1 f1

s0 g1

ba a a a

a11 2 0 3

1====

; b

a a a aa2

1 4 0 5

1====

; b

a a a aa3

1 6 0 7

1====

...

cb a a b

b11 3 1 2

1====

; c

b a a bb2

1 5 1 3

1====

; c

b a a bb3

1 7 1 4

1====

...

dc b b c

c11 2 1 2

1====

; d

c b b cc2

1 3 1 3

1====

; ...


CASOS ESPECIALES DEL CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ:

1er CASO: UN CERO EN LA PRIMERA COLUMNA ( LOS TRMINOS RESTANTES DE LA FILA NO SON TODOS CERO )

POLOS EN EL S.P.D. POLOS SOBRE EL EJE IMAGINARIO

PROCEDIMIENTO:

- Se remplaza el trmino cero por [[[[ >>>> 0000 ,,,, 0000]]]]

- Se utiliza el procedimiento general

- Si el signo sobre es el mismo que est debajo de l Hay pares de polos sobre el eje imaginario

2o CASO: TODOS LOS COEFICIENTES DE UNA FILA SON CEROS

PARES DE POLOS REALES OPUESTOS Y/O PARES DE POLOS IMAGINARIOS CONJUGADOS Y/0 PARES DE POLOS COMPLEJOS CONJUGADOS

CON PARTES REALES OPUESTAS

PROCEDIMIENTO:

- Se forma un polinomio auxiliar [[[[Qa (s)]]]] ( de orden par ) con los coeficientes de la fila superior a la fila cero

- Se usa los coeficientes de [[[[ ]]]]d Q s dsa ( ) en lugar de la fila cero

- Se utiliza el procedimiento general

- Polos que originan el caso = Races de Qa (s) = 0


ESTABILIDAD RELATIVA:

La estabilidad relativa de un sistema ( estable ) es inversamente proporcional al porcentaje de sobreimpulso ( Mp ) generado por las

oscilaciones amortiguadas de su salida.

Mc t c

cpp====

( ) ( )( ) %100


RAPIDEZ La rapidez del sistema es inversamente proporcional

al tiempo de crecimiento ( tr ).

ERROR ESTACIONARIO

Error estacionario = limt

e(t)

Cuando el error estacionario es diferente de cero

la salida estacionaria de un sistema no coincide con el valor deseado.

limt

e(t) = lim s E(s)s 0


TIPO DE UN SISTEMA.

(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))G s H s

K T s T s T s

s T s T s T sa b m

Np

( ) ( ) ==== ++++ ++++ ++++

++++ ++++ ++++

1 1 1

1 1 11 2

K = ganancia de Lazo Abierto

SISTEMA DE TIPO N

COEFICIENTE DE ERROR

ESTACIONARIO DE POSICIN (Kp)


ESTACIONARIO DE VELOCIDAD (Kv)


ESTACIONARIO DE ACELERACIN (Ka)

K limp s==== 0 G(s) H(s) K limv s==== 0 s G(s) H(s) K lim G s H sa s==== 0 s2 ( ) ( )

ERROR DE POSICIN

ERROR DE VELOCIDAD

ERROR DE ACELERACIN

)(.)( tURtr ====

pp K

REe++++

========1

)(

sRsR ====)(

)(.)( tUtRtr ====

vv K

REe ========)(

2)( sRsR ====

)(2

)(2

tUtRtr ====

aa K

REe ========)(

3)( sRsR ====


(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))G s H s

K T s T s T s

s T s T s T sa b m

Np

( ) ( ) ==== ++++ ++++ ++++

++++ ++++ ++++

1 1 1

1 1 11 2

K = ganancia de Lazo Abierto

TIPO DEL

SISTEMA (N) Kp Kv Ka

0 K 0 0

1 K 0

2 K

3

pK

R++++1

vKR

aKR

TIPO DE SISTEMA (N) ERROR EN ESTADO ESTACIONARIO

POSICIN VELOCIDAD ACELERACIN

0 KR

++++1

1 0 KR

2 0 0 KR

3 0 0 0


SISTEMAS DE 1ER ORDEN:

EJEMPLO:

Para el sistema representado por el siguiente Diagrama de Bloques:

Se pide: a) La funcin de transferencia de lazo cerrado b) La respuesta al escaln c) El anlisis de Estabilidad Absoluta, Estabilidad Relativa, exactitud

y rapidez para la respuesta al escaln d) La respuesta a la rampa e) El anlisis de exactitud para la respuesta a la rampa


SISTEMA DE 2do. ORDEN:

(((( )))) (((( ))))C sR s s s s s s s

n

n n

n( )( ) ==== ++++ ++++

====

22 2

2

1 22

C(s)R(s)

ss

n n

n n

12

22

11

==== ++++ ====

RESPUESTA AL ESCALN:

a) SISTEMA SOBREAMORTIGUADO (((( )))) 1 :

c t eses U t

ns t s t

( ) ( )==== ++++

1

2 12 1 21 2

b) SISTEMA CRTICAMENTE AMORTIGUADO (((( )))) ==== 1

(((( ))))[[[[ ]]]]c t e t U tn t n( ) ( )==== ++++ 1 1

c) SISTEMA SUBAMORTIGUADO (((( )))) 1 :

c t e t U tn t

d

d n

( ) sen tg ( )====

++++

====

1

11

1

21

2

2


PARMETROS MAS IMPORTANTES DE LA RESPUESTA TRANSITORIA DE UN SISTEMA DE 2do. ORDEN:

Mc t c

ce

RBA

e

t

t

pp

s

pd n

rd d

o

====

====

==== ====

==== ====

====

====

t ( 2%) = 4

sn

cuadrante

( ) ( )( )

% %

% %

tg

.

100 100

100 100

1

1 1

1

2

1

2

12

2

2

2


SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR

(((( ))))

(((( )))) (((( ))))(((( ))))

C sK s z

s p s sR s

ii

m

K K KK

rq( ) ( )==== ++++

++++ ++++ ++++ ====

========

1

2 2

112

; n = q + 2 r

Polos y ceros diferentes

Si R(s) =1s

(((( ))))C s

as

as p

b s cs s

K K K K K K

K K KK

rq( ) ==== ++++

++++++++

++++ ++++ ++++ ++++

========

1

2

2

2 211

[[[[ ]]]][[[[ ]]]]

c t a a e b e t

c e t

p tq

Kt

K KK

r

Kt

K KK

r

K K

K K

( ) cos

sen

==== ++++ ++++ ++++

++++

====

====

====

1

2

1

2

1

1

1

; t 0

(((( ))))c t a a e d e tp t K t K K KKrq

K K( ) . sen==== ++++ ++++ ++++ ========

1 211

; t 0

a b co

polo lejano al ejeK K, , , a RESIDUOS son pequeos para

polo cercano a cero y j

Si las relaciones de las partes reales exceden de cinco y no hay ceros cercanos, los polos de lazo cerrado mas cercanos al eje j dominan el comportamiento de la

respuesta transitoria.


LUGAR GEOMTRICO DE LAS RACES

CONTORNO DE RACES

Es el lugar geomtrico de los polos de C(s)/R(s) [[[[ races del sistema ]]]] cuando varios parmetros de G(s).H(s) varan de - a +.

LUGAR DE LAS RACES

Es el lugar geomtrico de los polos de C(s)/R(s) [[[[ races del sistema]]]] cuando un parmetro de G(s).H(s) vara de 0 a +. Generalmente el parmetro

que vara es la ganancia de G(s).H(s).

LUGAR INVERSO DE LAS RACES

Es el lugar geomtrico de los polos de C(s)/R(s) [[[[ o races del sistema ]]]] cuando un parmetro de G(s).H(s) vara de - a 0 .

Generalmente el parmetro que vara es la ganancia de G(s).H(s).

CONDICIN DE ANGULO DEL LUGAR DE LAS RACES:

(((( )))) ==== ++++====G s H s ls so( ). ( )

0180 2 1 ; l = 0, 1, 2, ... ; s0 = raz del sistema

CONDICIN DE MDULO DEL LUGAR DE LAS RACES:

G s H s s s( ) ( ) ======== 0 1 ; s0 = raz del sistema


REGLAS GENERALES PARA CONSTRUIR EL LUGAR DE LAS RACES

1. OBTENER LA FUNCIN DE TRANSFERENCIA DE LAZO ABIERTO EN LA SIGUIENTE FORMA:

(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))G s H s

K s z s z s zs p s p s p

m

n

( ) ( ) ====

1 2

1 2

2. PUNTOS DE ORIGEN ( K=0 ): Son los polos de G(s).H(s) [[[[ incluye los que se encuentran en el infinito ]]]]

3. PUNTOS DE TERMINACIN ( K= ): Son los ceros de G(s).H(s) [[[[ incluye los que se encuentran en el infinito ]]]]

4. NUMERO DE RAMAS SEPARADAS: Corresponde al orden del sistema

m si m n si n

nm

5. LUGAR SOBRE EL EJE REAL: un punto sobre el eje real pertenece al lugar de las races s el nmero total de polos y ceros (sobre el eje real) de G(s).H(s) que hay a la derecha del punto considerado es impar

6. SIMETRA: Los lugares de las races de los sistemas con funciones de transferencia racionales con coeficientes constantes son simtricos con respecto al eje real


7. INTERSECCIN CON EL EJE IMAGINARIO: Se utiliza el Mtodo de ROUTH-HURWITZ

8. ASNTOTAS ( s ) : para grandes valores de s, las ramas del Lugar de las Races son asintticas a rectas con ngulos dados por:

(((( )))) ====

++++

180 2 1o

n m ; = 0, 1, 2, , (n - m -1)

N de asntotas = n - mo

9. CENTROIDE (INTERSECCIN DE LAS ASNTOTAS CON EL EJE REAL):

====

Polos Cerosn m

-

10. NGULOS DE SALIDA Y DE LLEGADA: se coloca un punto de prueba prximo al polo ( o cero ), que pertenece a la rama asociada al polo ( o cero ) y se aplica condicin de Angulo

11. PUNTOS DE RUPTURA: Hay tres mtodos:

a) Son las races de dkds ds

====

====

0 0

dG(s) H(s) que se encuentren en el rango buscado

b) Tabulando K vs. s y hallando K mximo (para salida) K mnimo ( para entrada )

c) Utilizando la tabla de REMEC

12. OTROS PUNTOS: se utiliza la condicin de Angulo con distintos puntos de prueba. Debe obtenerse con suficiente exactitud la forma del Lugar de las Races en el amplio entorno comprendido entre el eje imaginario y el origen.


TEMA No. 3

ANLISIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA


RESPUESTA DE FRECUENCIA

Funcin de Transferencia Senoidal

F(s)

s j

F j

F j F j====

====

====

( )

( ) ( )

Grficas de la Funcin de Transferencia

a) DIAGRAMA DE NYQUIST b) DIAGRAMAS DE BODE c) DIAGRAMA DE NICHOLS

DIAGRAMA DE NYQUIST Representa el mdulo y el ngulo en coordenadas polares cuando vara de 0 a .

DIAGRAMA DE NICHOLS Es un grfico de la amplitud ( Mdulo ) en decibel en funcin de la fase ( Angulo )

en coordenadas rectangulares con variable de 0 a .

DIAGRAMAS DE BODE

a) Diagrama de Amplitud: representa la amplitud en decibel en funcin de log ( de ) en coordenadas rectangulares ( semilogartmicas ) con variable de 0 a .

b) Diagrama de fase: representa la fase en grados en funcin de log () [[[[ de ]]]] en coordenadas rectangulares ( semilogartmicas) con variable de 0 a .


DIAGRAMAS DE BODE

DIAGRAMA DE AMPLITUD F(j ) vs. log dB ; F j F jdB( ) log ( ) ==== 20

DIAGRAMA DE FASE F(j ) vs. log

FACTORES BSICOS DE G(j).H(j)

GANANCIA: K

FACTOR DERIVATIVO: (j )

FACTOR INTEGRAL: 1 j

FACTORES DE 1er ORDEN

1

1

1

1

1

++++

++++

j

j

FACTORES CUADRTICOS

j

1

jn

++++ ++++

++++ ++++

n n

n

j

j

2

2

2 1

2 1

Los productos en la expresin G(j).H(j) pasan a ser sumas, porque se trabaja con logaritmos y ngulos


FRECUENCIA DE CRUCE ( o de TRANSICIN ) DE GANANCIA ( cg )

frecuencia a la cual G j H j( ). ( ) ==== 1 ( 0 dB )

FRECUENCIA DE CRUCE ( o de TRANSICIN ) DE FASE ( cf )

frecuencia a la cual G(j).H(j) = - 180o

MARGEN DE FASE (((())))

es la cantidad de retardo de fase adicional necesaria a cg para que el sistema quede al borde de la inestabilidad-estabilidad

==== ==== ++++ ====MF G j H jo

cg180 ( ) ( )

MARGEN DE GANANCIA ( Kg )

es la cantidad de ganancia adicional (en dB) necesaria a cf para que el sistema quede al borde de la inestabilidad-estabilidad

(((( ))))

K MG G j H j

K MG G j H j

g

g dB dB dB

cf

cf

==== ====

==== ====

====

====

1( ) ( )

( ) ( )

SISTEMA DE FASE MNIMA

sistema con todos los polos y ceros de G(s).H(s) en el S.P.I. de s

SISTEMA DE FASE NO-MNIMA

sistema en el cual G(s).H(s) tienen al menos un polo o cero en el S.P.D. de s


FRECUENCIA DE CORTE DEL SISTEMA (c )

frecuencia a la cual el valor de C R dB est a 3 dB por debajo de su valor a frecuencia cero.

ANCHO DE BANDA DEL SISTEMA (AB)

AB = c - 0

EL ANCHO DE BANDA es inversamente proporcional al TIEMPO DE CRECIMIENTO

DIAGRAMA DE NICHOLS

grfico de la amplitud en decibelios de G(j).H(j) en funcin de la fase en grados de G(j).H(j) en coordenadas rectangulares ( 0 ).

CARTA DE NICHOLS

Lugares de C j R j dB( ) ( ) constante y )( )()(o jRjC constante

para los sistemas con H(s) = 1 en el plano

)( )()()()( o jHjGjHjG dB .


DIAGRAMA DE NYQUIST ( DIAGRAMA POLAR DE G(j).H(j) ) Representa el mdulo y el ngulo de G(j).H(j) en coordenadas polares

cuando vara de 0 a

w M ( o ) 0 -90

0,6 1,42 -128 0,78 1,00 -137

1 0,69 -146 1,25 0,49 -155 1,5 0,35 -163 2,25 0,165 -180

3 0,090 -193 4 0,047 -205 0 -270

K = 1

(((( ))))

G s H sK

s s s

G jw H jwK

jw jw jw

M G jw H jwK

w w w

tag w tag w

( ) ( ) . ( ). ( / )

( ) ( ) . ( ). ( / )

( ) ( ). . /

( ) ( / )

==== ++++ ++++

==== ++++ ++++

==== ====++++ ++++

====

1 5 1

1 5 1

1 5 1

90 5

2 2

1 1


K = 1

w M ( o )

0 -90

0,6 1,42 -128

0,78 1,00 -137

1 0,69 -146

1,25 0,49 -155

1,5 0,35 -163

2,25 0,165 -180

3 0,090 -193

4 0,047 -205

0 -270


CAMINO DE NYQUIST Contorno que incluye el semi-plano derecho de s

TRANSFORMACIN CONFORME DEL CAMINO DE NYQUIST DEL PLANO s EN EL PLANO G(s)H(s) [[[[GH]]]].

PLANO s PLANO [GH]

TRAMO I s

va desde aen forma creciente

o o

====

;

0 90 90 lim G s H s


o s

o o

====

( ) ( )

90 90

TRAMO II s jw w va desde a==== ++++ ++++ ; 0 Diagrama Polar de G(jw)H(jw)

TRAMO III s r

r va desde aen forma creciente

o o

====

; - de

90 90

limG s H s


r s r

o o

==== ( ) ( )

- de

90 90

TRAMO IV s jw w va desde a==== ++++ ; 0 Diagrama Polar de G(-jw)H(-jw)


CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST Z = N + P

Z : cantidad de polos de C/R en el S.P.D. de s N : cantidad de rodeos en sentido horario del punto ( - 1+ 0.j )

por el camino de Nyquist en el Plano GH P : cantidad de polos de GH en el S.P.D. de s

Se dice que un punto est rodeado por un camino cerrado, si se encuentra en su interior.


TEMA No. 4

SNTESIS DE CONTROLADORES


ACCIONES BSICAS DE CONTROL

ACCIN DE CONTROL

forma como el controlador automtico produce la seal de control

Clasificacin de los controladores industriales analgicos de acuerdo a la accin de control

De dos posiciones intermitentes ( ON - OFF )

Proporcionales

Integrales

Proporcional - Integral

Proporcional - Derivativo

Proporcional - integral - derivativo


ACCIN DE CONTROL DE DOS POSICIONES ( ON - OFF )

ACCIN DE CONTROL ACCIN DE CONTROL PROPORCIONAL INTEGRAL

ACCIN DE CONTROL ACCIN DE CONTROL PROPORCIONAL - INTEGRAL PROPORCIONAL - DERIVATIVO

ACCIN DE CONTROL PROPORCIONAL

INTEGRAL DERIVATIVO


COMPENSADOR

dispositivo adicional que se inserta en el sistema para alterar el comportamiento global de modo que el sistema funcione de la forma deseada.

COMPENSADORES DE ACUERDO A SU NATURALEZA

MECANICOS ELECTRICOS HIDRAULICOS NEUMATICOS ETC.

COMPENSACIN SERIE DE ADELANTO DE FASE DE ATRASO DE FASE DE ADELANTO - ATRASO DE FASE


COMPENSACIN DE ADELANTO DE FASE

Red Elctrica

FUNCIN DE TRANSFERENCIA

E sE s

s Ts T

G soi

c( )( ) ( )====

++++

++++ ====

1

1

T R C==== 1 ==== ++++ R

R R2

1 21

(0o


PROCEDIMIENTO PARA DISEAR EL COMPENSADOR DE ADELANTO DE FASE POR EL MTODO DE RESPUESTA DE

FRECUENCIA ( Diagrama de Bode ).

1) Determinar K para satisfacer los requerimientos de coeficientes de error

2) Usando la K as determinada, calcular el MF del sistema no compensado (Utilizar el Diagrama de Bode)

3) Determinar el ngulo ( ) de adelanto de fase necesario que debe ser agregado al sistema para obtener el MF deseado.

4) Determinar m = ++++ ( ==== 5o )

5) Determinar de la ecuacin senm ====

++++11

6) Determinar m como la frecuencia a la cual GH dB ==== 20 log

7) Determinar T de la ecuacin m T

====1

8) Determinar G ss Ts T

c ( ) ====++++

++++

1

1

9) Se inserta un amplificador con ganancia igual a 1 se incrementa la

ganancia del amplificador existente en un factor 1

10) Dibujar el Diagrama de Bode del sistema compensado. Comprobar que las especificaciones dadas se cumplan, de lo contrario repetir los pasos 4 al 10, con un valor diferente para , hasta lograr lo requerido.

11) Determinar los componentes de la Red elctrica (R1 , R2 y C).


COMPENSACIN DE ATRASO DE FASE

Red Elctrica

FUNCIN DE TRANSFERENCIA

(((( ))))E sE s

s Ts T

G soi

c( )( ) ( )====

++++

++++

====1 1

1

T = R2 .C ==== ++++ R RR1 2

2 1


PROCEDIMIENTO PARA DISEAR EL COMPENSADOR DE ATRASO DE FASE POR EL MTODO DE RESPUESTA DE

FRECUENCIA ( Diagrama de Bode )

1) Determinar K para satisfacer los requerimientos de coeficientes de error.

2) Usando la K as determinada, calcular el MF del sistema compensado.

3) Determinar c' para el sistema compensado. Para ello se utiliza la siguiente expresin:

==== ++++ GH MFC deseado

o ' 180 ; 5 12o o

4) Se determina T de la siguiente ecuacin:

1/T = 0,5 c 1/T = 0,1c

= 12o = 5o

5) Determinar (((( ))))GH MdB c==== ==== 1

6) Determinar (((( )))) : - 20 log 1 ====M1

7) Determinar (((( ))))

Gs T

s Tc ====

++++

++++

11

1

8) Comprobar que las especificaciones pedidas se cumplen, de lo contrario repetir los pasos 3 al 8 con un valor diferente para hasta lograr lo requerido

9) Determinar los componentes de la Red elctrica (R1 , R2 y C).


CONTROLADORES CON AMPLIFICADORES OPERACIONALES

SISTEMAS DE CONTROLTransparencias de clasesTEMA N o . 1FUNDAMENTOS Y MODELOS MATEMTICOS DE LOS SISTEMAS DE CONTROL

TEMA N o . 2ANLISIS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO

TEMA N o . 3ANLISIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

TEMA N o . 4SNTESIS DE CONTROLADORES

sistemas de control ( transparencias de clases …tperez/sc1/transparencias (noviembre... · es la...

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