Casos y problemas resueltos II: Conceptos y Modelos Bsicos -Probabilidad condicional-Probabilidad con modelo binomial-Probabilidad con modelo Poisson-Probabilidad con modelo normal Probabilidades Aplicadas a las Ciencias Sociales Patricio Alcano Martnez Probabilidades Aplicadas a las Ciencias Sociales-Problemas resueltosClculo de probabilidades: Conceptos y modelos bsicosPatricio Alcano Martnez Derechos ReservadosPalabras inicialesEstimados usuari@s: Este material que pongo a su disposicin est creado a partir de situaciones en distintos mbitos de las Ciencias Sociales. Los datos han sido cambiados para ajustarlos a un criterio didctico. Por ello, la informacin y conclusiones que se puedan inferir, no son necesariamente vlidas. Este volumen est dirigido a tratar el tema del clculo de probabilidades y a los conceptos y modelos bsicos que lo sustentan. El lector deber manejar los conceptos y teoremas fundamentales de probabilidad; simple, compuesta y condicional y exhibir competencia en el clculo de probabilidad bsica en modelos Poisson, binomial y normal. Para trabajar con este material el usuario deber hacer uso de calculadora y de la tabla de probabilidades de la normal estndar Z, que se anexa en la ltima pgina. El uso comercial de este material est prohibido. Se permite su uso con fines didcticos, citando la fuente de acuerdo a normas APA.Atentamente;Patricio Alcano Martnez2Probabilidades Aplicadas a las Ciencias Sociales-Problemas resueltosClculo de probabilidades: Conceptos y modelos bsicosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados3Ca s o1 : TVy n i os con s obrep es ou obes i d a dUnes t u dio enel mbit ode las a lu d con fir m qu e cu a n t osm sa n u n ciosde a limen t osvenlosn i osenlat elevis in , m sca lor a s in gier enyqu e es t e pr oces o esu n ode lospr in cipa lesfa ct or esqu eh aa u men t a do enfor ma a la r ma n t e laobes ida d en t r e ellos . En lo qu e r es pect a alapobla cinde Es t a dosUn idos , los da t oses t a ds t icoss e a la n qu e el 25% de losn i os de en t r e 8 y 16 a osvenm s de cu a t r o h or a sdia r ia sde t elevis inyqu e el 42% de es t osmu es t r a ns obr epes o uobes ida d. En t r e losn i osde lamis maeda d qu e venmen osde 4 h or a sde t elevis ina l da ,s olo u n18% pr es en t at a lcon dicin .Seg nes t osda t os , enlos n i osde en t r e 8 y 16 a osenEs t a dosUn idos :1 . 1 . Cu l esla pr oba bilida d de qu eu nn i o de en t r e 8 y 16 a os veaTVmen osde 4 h or a sde TV a lda ?1 . 2 . Cu l esla pr oba bilida d de qu eu nn i o de en t r e 8 y16 a os veaTVm sde 4 h or a sa l day pr es en t e s obr epes o uobes ida d?1 . 3 . Cu l esla pr oba bilida d de qu eu nn i o de en t r e 8 y16 a os pr es en t e s obr epes o uobes ida d?1 . 4 . Cu l esla pr oba bilida d de qu eu nn i o de en t r e 8 y16 a osveaTVmen osde 4 h or a sa l dada do qu e pr es en t as obr epes o uobes ida d?1 . 5 . Cu l esla pr oba bilida d de qu eu nn i o de en t r e 8 y16 a os pr es en t e s obr epes o uobes ida d, da do qu e veTV m sde4 h or a sdia r ia s ?Solu c in :1 . 1 . Cu l esla pr oba bilida d de qu eu nn i o de en t r e 8 y16 a os veaTVmen osde 4 h or a sde TV a lda ?De a cu er do alosda t osda dos , u n25% de losn i osde en t r e 8 y16 a osve TV m sde 4 h or a sa l da . Porlot a n t o, el75% veTV men osde es e t iempo.Expr es a n do75% como pr oba bilida d, qu eda : 0,75.R: Lapr oba bilida d de qu eu nn i o de en t r e 8 y 16 a os veamen os de 4 h or a sde TV a l daes0, 75.1 . 2 . Cu l esla pr oba bilida d de qu eu nn i o de en t r e 8 y16 a os veaTVm sde 4 h or a sa l day pr es en t e s obr epes o uobes ida d?Enes t e ca s o debenda r s e doss u ces os : verTV m sde4 h or a sa l day pr es en t a rs obr epes o uobes ida d. En t on ces , a plica n do lapr opieda d del pr odu ct o:P = 0,25 x 0, 42 = 0,105R: lapr oba bilida d de qu eu nn i o de en t r e8 y 16a os veaTVm sde 4 h or a sa l day pr es en t es obr epes o uobes ida d es0, 105.Probabilidades Aplicadas a las Ciencias Sociales-Problemas resueltosClculo de probabilidades: Conceptos y modelos bsicosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados41 . 3 . Cu l esla pr oba bilida d de qu eu nn i o de en t r e 8 y16 a os pr es en t e s obr epes o uobes ida d?Pa r alosefect osde c lcu lo, s e u s a r els igu ien t e dia gr a made r bol:Sea nloss u ces os :M = veTV m sde 4 h or a sa l daS = pr es en t a s obr epes ouobes ida dComo s e pu ede a dver t ir , a mba sr a ma sdes a r r olla da sn u mr ica men t e da n como r es u lt a do n i oscons obr epes o uobes ida d. Por lo t a n t o:P(S) = 0,105 + 0, 135 = 0,24R: lapr oba bilida d de qu eu nn i o de en t r e8 y 16a os pr es en t e s obr epes ouobes ida d es0, 24.1 . 4 . Cu l esla pr oba bilida d de qu eu nn i o de en t r e 8 y16 a osveaTVmen osde 4 h or a sa l dada do qu e pr es en t as obr epes o uobes ida d?Sea nloss u ces os :M = veTV m sde 4 h or a sa l daS = pr es en t a s obr epes ouobes ida dSe pr egu n t a porP(M/ S).Des a r r olla n do:) S ( P) S y ' M ( P) S / ' M ( P =De a cu er do a ldia gr a mayel c lcu lo a n t er ior :P(M y S)= 0,135P(S) = 0,24SSSSMM0,250,750,420,180,580,82P(M y S) = 0,25 x 0,42 = 0,105P(M y S) = 0,75 x 0,18 = 0,135Probabilidades Aplicadas a las Ciencias Sociales-Problemas resueltosClculo de probabilidades: Conceptos y modelos bsicosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados5Reempla za n do:5625 , 024 , 0135 , 0) S ( P) S y ' M ( P) S / ' M ( P = = =R: lapr oba bilida d de qu eu nn i o de en t r e 8 y 16 a osvea TV men osde 4 h or a sa l dada do qu e pr es en t as obr epes o uobes ida d es 0,5625.1 . 5 . Cu l esla pr oba bilida d de qu eu nn i o de en t r e 8 y16 a os pr es en t e s obr epes o uobes ida d, da do qu e ve TV m sde 4 h or a sdia r ia s ?Sea nloss u ces os :M = veTV m sde 4 h or a sa l daS = pr es en t a s obr epes ouobes ida dSe t ien e qu e:P(M) = 0,25P(S y M)= 0,105Se pide P(S/ M)Des a r r olla n do lapr oba bilida d con dicion a l:) M ( P) M y S ( P) M / S ( P = = 25 , 0105 , 0= 0,42R: lapr oba bilida d de qu eu nn i o de en t r e 8 y 16 a os pr es en t e s obr epes ouobes ida d, da do qu e ve TV m sde 4 h or a sdia r ia ses0,42, t a l como es t a bada do el da t o enel en u n cia do del pr oblema !Probabilidades Aplicadas a las Ciencias Sociales-Problemas resueltosClculo de probabilidades: Conceptos y modelos bsicosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados6Ca s o2 :Bol i t a s en u n a u rn aEnu n au r n acu yo con t en ido n o pu ede ver s e des de a fu er ah a y cier t aca n t ida d de bolit a sbla n ca sy u n a bolit ar oja . Al ext r a er de laca jadosbolit a sa la za rs inr eempla za mien t o,lapr oba bilida dde qu e a mba sr es u lt en bla n ca ses de 1/ 2. 2 . 1 . Ca lcu la rel n mer o de bolit a sbla n ca s qu e t ien e la ca ja .Solu c in :2 . 1 . Ca lcu la rel n mer o de bolit a sbla n ca s qu e t ien e la ca ja .Pr oba bilida dde bolabla n caenlaext r a ccin(1):Tot a l bolit a sbla n ca s : xTot a l bolit a senlau r n a :x + 1Pr oba bilida d (bla n ca1) = 1 xx+Pr oba bilida dde bolit abla n caen laext r a ccin(2),da do qu e yas a li u n abla n ca :Tot a l bolit a sbla n ca s : x 1, por qu e yas a li u n abla n ca .Tot a l bolit a senlaca ja : x, por qu e yas e s a c u n a .Pr oba bilida d (bla n ca2) = x1 x Pr oba bilida ddosbolit a s bla n ca s :Porpr opieda d mu lt iplica t iva , es t apr oba bilida d esigu a l a :1 xx+ x1 x Seg nda t os , es t o esigu a l a1/ 2.En t on ces : 1 xx+ x1 x = 21Des peja n do x:1 x1 x+= 212x 2 = x + 1x = 3R: enla ca jah a y t r es bolit a sbla n ca sProbabilidades Aplicadas a las Ciencias Sociales-Problemas resueltosClculo de probabilidades: Conceptos y modelos bsicosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados7Ca s o3 :Pel i rrojosSe s a be qu e lapr oba bilida d de qu eu nn i o n a zcapelir r ojo esde 0,012. Unes t u dio es t in t er es a do ens a berlapr oba bilida d de qu er es u lt en 0, 1, 2, pelir r ojosen u n amu es t r ade 800 r ecinn a cidos , in depen dien t es u n osde ot r os .3 . 1 . Pla n t ee u nmodelo de pr oba bilida d a decu a do a l ca s o.3 . 2 . Iden t ifiqu e la scon dicion esqu e h a cen pos iblelaa plica cin de es e modelo.3 . 3 . Cu l esla pr oba bilida d de qu e en t r e 800 r ecinn a cidosh a ya10 pelir r ojos ?3 . 4 . Cu l es lapr oba bilida d de qu e en t r e 800 r ecinn a cidosh a ya5 o 6pelir r ojos ?3 . 5 . Cu l es lapr oba bilida d qu e en500 r ecinn a cidosh a ya4 pelir r ojos ?Solu c in :3 . 1 . Pla n t ee u nmodelo de pr oba bilida d a decu a do a l ca s o.El modelo de pr oba bilida d a decu a do esel dePois s on . El pa r met r odel modeloes p n = = 800 0,012 =9,6El modelo es ,en t on ces :! x6 , 9 e) x ( fx 6 , 9 = ; conx = 0,1, 2, 800.Sien do X =n mer o de n i os (a s ) pelir r ojosenu n amu es t r ade 800 r ecinn a cidos .3 . 2 . Iden t ifiqu e la scon dicion esqu e h a cen pos iblelaa plica cin de es e modelo.Esa plica ble elmodelo de Pois s onpor qu e:1) El exper imen t o est pica men t ebin omia l, per o p = 0,012 esmu ypequ e o. Pores t ar a znesm sa plica ble el modelo de Pois s on qu e el bin omia l.2) El va lor es per a do n p = 9,6 es t den t r o del r a n go a cept a ble pa r ael pa r met r o del modelo Pois s on .3 . 3 . Cu l esla pr oba bilida d de qu e en t r e 800 r ecinn a cidosh a ya10 pelir r ojos ?Se va lor ala fu n cinf(x)pa r ax = 10.! 106 , 9 e) 10 x ( f10 6 , 9 = = = 0,1241R: Lapr oba bilida d de qu een800 r ecinn a cidosr es u lt en 10 pelir r ojoses0,1241.3 . 4 . Cu l es lapr oba bilida d de qu e en t r e 800 r ecinn a cidosh a ya5 o 6pelir r ojos ?Se pide) 6 x 5 ( f s s . Aplica n do la pr opieda dde las u ma de even t os :) 6 x 5 ( f s s =) 6 x ( f ) 5 x ( f = + =Probabilidades Aplicadas a las Ciencias Sociales-Problemas resueltosClculo de probabilidades: Conceptos y modelos bsicosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados8Se va lor ala fu n cinf(x)pa r ax = 5 y pa r a x = 6:! 56 , 9 e) 5 x ( f5 6 , 9 = = = 0,0460! 66 , 9 e) 6 x ( f6 6 , 9 = = = 0,0736En t on ces :) 6 x 5 ( f s s = 0,0460 + 0, 0736 = 0,1196.R: Lapr oba bilida d de qu een800 r ecinn a cidosr es u lt en 5 o 6 pelir r ojoses0,1196.3 . 5 . Cu l esla pr oba bilida d qu e en500 r ecinn a cidosh a ya4 pelir r ojos ?Si s e ca mbiala mu es t r a ,ca mbiael va lordel pa r met r o. Enefect o,= 500 0,012 =6.Ca lcu la n do a h or a f(7):! 76 e) 7 x ( f7 6 = = = 0,1377R: Lapr oba bilida d de qu een500 r ecinn a cidosr es u lt en 7 pelir r ojoses0, 1377.Probabilidades Aplicadas a las Ciencias Sociales-Problemas resueltosClculo de probabilidades: Conceptos y modelos bsicosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados9Ca s o4 :ca jeroa u t om t i coEln mer odeper s on a s qu ellega n ca da 5min u t os a u n ca jer oa u t om t icoes t da doporlafu n cinde pr oba bilida d:! x6 , 4 e) x ( fx 6 , 4 = , conx = 0,1, 2, 4 . 1 . Ca lcu lela pr oba bilida ddequ een ella ps ode5min u t os llegu en 7per s on a s a es e ca jer o.4 . 2 . Ca lcu lela pr oba bilida ddequ een ella ps ode5min u t os llegu en 2o3per s on a s a es e ca jer o.4 . 3 . Ca lcu lela pr oba bilida ddequ een ella ps ode8min u t os llegu en 6per s on a s a es e ca jer o.Solu c in :4 . 1 . Ca lcu lela pr oba bilida ddequ een ella ps ode5min u t os llegu en 7per s on a s a es e ca jer o.Ca lcu la n do f(x=7) enlafu n cin :! 76 , 4 e) 7 x ( f7 6 , 4 = = = 0,0869R:la pr oba bilida ddequ een ella ps ode5min u t os llegu en 7per s on a s a es eca jer o es0,0869.4 . 2 . Ca lcu lela pr oba bilida ddequ een ella ps ode5min u t os llegu en 2o3per s on a s a es e ca jer o.Lapr oba bilida d f(2 o 3) = f(x=2) + f(x=3).! 26 , 4 e) 2 x ( f2 6 , 4 = = = 0,1063! 36 , 4 e) 3 x ( f3 6 , 4 = = = 0,1631f(2 o 3) = 0,1063 + 0,1631 = 0,2694R:la pr oba bilida ddequ een ella ps ode5min u t os llegu en 2o3per s on a s a es e ca jer o es0,2694.4 . 3 . Ca lcu lela pr oba bilida ddequ een ella ps ode8min u t os llegu en 6per s on a s a es e ca jer o.Pr imer oh a yqu et r a n s for ma r elpa r met r o ,declien t es ca da 5min u t os a clien t es ca da8 min u t os .Probabilidades Aplicadas a las Ciencias Sociales-Problemas resueltosClculo de probabilidades: Conceptos y modelos bsicosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados10u t os min 8clien t esu t os min 5clien t es 6 , 4 =Des peja n do: = 7,36 clien t esporca da 8 min u t os .! 636 , 7 e) 6 x ( f6 36 , 7 = = = 0,1405R:la pr oba bilida ddequ een ella ps ode8min u t os llegu en 6per s on a s a es eca jer oes0,1405.Probabilidades Aplicadas a las Ciencias Sociales-Problemas resueltosClculo de probabilidades: Conceptos y modelos bsicosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados11Ca s o5 :Ta t u a jesSe ca lcu laqu e 1 de ca da 8 per s on a senel mu n do t ien e a l men osu nt a t u a je enelcu er po. Sobr e laba s ede es t ain for ma cin , ca lcu le lo s igu ien t e:5 . 1 . Cu n t a sper s on a s es t a r a nt a t u a da senu n amu es t r aa lea t or iade t a ma o 280?5 . 2 . Enu n a mu es t r aa lea t or iade 20per s on a s , cu l eslapr oba bilida d de qu e 3 t en ga nt a t u a je ens ucu er po?5 . 3 . Enu n a mu es t r aa lea t or iade 10per s on a s , cu l eslapr oba bilida d de qu e 1 o 2 t en ga nt a t u a je ens ucu er po?Solu c in :El da t o cen t r a lqu e pla n t eaes t e ca s o esqu e, en lapobla cin , p =1/ 8 = 0, 125.5 . 1 . Cu n t a sper s on a s es t a r a nt a t u a da senu n amu es t r aa lea t or iade t a ma o 280?Cor r es pon dea l c lcu lo del va lores per a do cu a n do p = 0,125 y n= 280.E(x) = 280 0,125 = 35R: Se es per aen con t r a r35 per s on a st a t u a da s .5 . 2 . Enu n a mu es t r aa lea t or iade 20per s on a s , cu l eslapr oba bilida d de qu e 3 t en ga nt a t u a je ens ucu er po?Cor r es pon deau nexper imen t o bin omia l, conn=20, p = 0,125 yx = 3.Pla n t ea n do elc lcu lo:f(x = 3) = 17 3875 , 0 125 , 0 )320( = 0,2300R: lapr oba bilida d de qu e3 t en ga nt a t u a je ens ucu er po es0,2300.5 . 3 . Enu n a mu es t r aa lea t or iade 10per s on a s , cu l eslapr oba bilida d de qu e 1 o 2 t en ga nt a t u a je ens ucu er po?Cor r es pon deau nexper imen t o bin omia l, conn= 10, p =0,125 y x = 1 y 2.Pla n t ea n do elmodelo:f(x) = x 10 x875 , 0 125 , 0 )x10(; x = 0,1, 2, , 10.f(x=1) = 9 1875 , 0 125 , 0 )110( = 0,3758f(x=2) = 8 2875 , 0 125 , 0 )210( = 0,2416En t on ces : f(1 o2) = 0,3758 +0,2416 = 0,6174.R: lapr oba bilida d de qu eendiez, 1 o 2 t en ga n t a t u a je ens ucu er po es0,6174.Probabilidades Aplicadas a las Ciencias Sociales-Problemas resueltosClculo de probabilidades: Conceptos y modelos bsicosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados12Ca s o6 :Ap roba ci n a Ba ch el etSe t ien e qu e el n ivel de a cept a cin del gobier n o de lapr es iden t aBa ch eleta ba r caa u n78% de lapobla cin .Se r equ ier e r ea liza ru nes t u dio mu es t r a lconu n a mu es t r ade per s on a senlaqu e h a yaa l men osh a yau n aqu e NO a cept e a l gobier n o.6 . 1 . Ca lcu le el t a ma o n eces a r io de lamu es t r apa r aqu e ello ocu r r a .Solu c in :Si h a y u n78% de a cept a cin ,h a br , como s u ces o con t r a r io,u n22%qu e n o a cept aa l gobier n o. Sih a y qu e s a ca ru n amu es t r ade t a ma o nenlacu a l s e t en gau n99% de con fia n zade qu e a l men osu n o n o a cept ea l gobier n o, s e es t enpr es en ciade u n as it u a cinmodela ble con ladis t r ibu cinbin omia l:x n x78 , 0 22 , 0 )xn( ) x ( f = ; x = 0,1, 2, , n .Sien do X =n mer o de per s on a squ e n o a cept a na l gobier n o enu n amu es t r ade t a ma o n .Lapr oba bilida d de qu e enlamu es t r ah a ya a l men osu n aqu en o a cept e es :) n ( f ... ) 2 ( f ) 1 ( f ) 1 x ( f + + = > = 0,99O, lo qu e eslo mis mo, envir t u d del s u ces o con t r a r io:) 0 ( f 1 ) 1 x ( f = >Ca lcu la n do f(0):n 078 , 0 22 , 0 )0n( ) 0 ( f = = n78 , 0En t on ces :1 -n78 , 0 = 0,99Des peja n do:n78 , 0 = 1 - 0,99n78 , 0 = 0,01 / log01 , 0 log 78 , 0 log n =78 , 0 log01 , 0 logn = = 18,5R: Esdecir ,s e r equ ier en 19 per s on a sdelapobla cincor r es pon dien t e.Probabilidades Aplicadas a las Ciencias Sociales-Problemas resueltosClculo de probabilidades: Conceptos y modelos bsicosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados13Ca s o7 : Ti em p od ep erm a n en ci a en l a s red es s oci a l esSe h ain ves t iga do el t iempo qu e cier t o t ipo de u s u a r io de In t er n etper ma n ece dia r ia men t e enla sr edess ocia les , en con t r a n do qu e es t e t iempo s e dis t r ibu ye n or ma lmen t e,conmedia4,2 h or a sydes via cines t n da r1,25 h or a s .Si es t o esa s :7 . 1 . Qu % de losu s u a r iosper ma n ece m sde 5h or a senlar ed?7 . 2 . Cu l es lapr oba bilida d de qu eu nu s u a r io per ma n ezcaenla s r edes s ocia lesmen osde 3 h or a sa l da ?7 . 3 . Cu l esla pos icin r ela t iva de u ns u jet o qu e per ma n ece dia r ia men t e 6 h or a senIn t er n et ?7 . 4 . Cu l es t iempo mn imo qu e per ma n ecencon ect a dosaIn t er n et loss u jet osqu e es t nenel 30% s u per iordel t iempo de per ma n en cia ?Solu c in :Porlosda t osda dos , s e u s a r el modelo n or ma l,con = 4,2 y= o 1,25.7 . 1 . Qu % de losu s u a r iosper ma n ece m sde 5h or a senlar ed?Pr imer o s e es t a n da r izax =5 h or a s :z =64 , 025 , 12 , 4 5=El % pedido cor r es pon de a l r eaba jo lacu r van or ma l es t n da rdes de z = 0,64 h a s t ain fin it o. Seg nt a bla :P(z > 0,64) = 0,2611.Lu ego, el 26, 11% de losu s u a r iosper ma n ecenm sde5 h or a senIn t er n et .7 . 2 . Cu l es lapr oba bilida d de qu eu nu s u a r io per ma n ezcaenla sr edess ocia lesmen osde 3 h or a sa l da ?Pr imer o s e es t a n da r izax =3 h or a s :z =96 , 025 , 12 , 4 3 =Lapr oba bilida d pedidacor r es pon de a l r eaba jo la cu r van or ma l es t n da rDes de z = -0, 96 h a s t amen osin fin it o.z0, 1685- 0, 96 05,00, 26114, 2x0 0,64zProbabilidades Aplicadas a las Ciencias Sociales-Problemas resueltosClculo de probabilidades: Conceptos y modelos bsicosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados14Seg nt a bla :P(z s -0,96) = 0,1685.Lu ego, lapr oba bilida d de qu e u nu s u a r io per ma n ezcamen os de 3 h or a s enIn t er n etes0,1685.7 . 3 . Cu l esla pos icin r ela t iva de u ns u jet o qu e per ma n ece dia r ia men t e 6 h or a senIn t er n et ?Pr imer o s e es t a n da r izax =6 h or a s :z =44 , 125 , 12 , 4 6=Seg nt a bla ,es t e va lorqu edas obr e el92,5%de lapobla ciny ba jo el 7,5% de ella .Porlo t a n t o, es t es u jet o s e h a llas obr e el92,5%de lost iemposdeper ma n en ciade lapobla cin .7 . 4 . Cu l es t iempo mn imo qu e per ma n ecencon ect a dosaIn t er n et loss u jet osqu e es t nenel 30% s u per iordel t iempo de per ma n en cia ?Las it u a cins e gr a ficaen lafigu r aa dju n t a .Acs econ oce el r ea , per o s e des con oce elva lorde la va r ia ble qu e dejael 30% s obr e l y el 70% ba jo l. Se t r a t ade u nper cen t ilde ladis t r ibu cinn or ma l es t n da r .Seg nt a blaes t n da r ,el va lorde zqu e cu mple cones t a scon dicion esesZ = 0,52 (t oma n do el va lor m scer ca n o)En t on ces :=25 , 12 , 4 x0,52. Des peja n do x:x = 0,52 1,25 + 4,2 = 4,85 h or a s .R: Es t o es ,el s egmen t o del 30% de los u s u a r iosqu e m st iempo per ma n ecencon ect a dos , per ma n ecealo men os4, 85 h or a sa l da .30%X= ?4, 2horasProbabilidades Aplicadas a las Ciencias Sociales-Problemas resueltosClculo de probabilidades: Conceptos y modelos bsicosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados15Ca s o8 :t i em p od ep ru ebaSe s a be qu e elt iempo qu e emplea nla s per s on a sen r ea liza rycomplet a rcier t a pr u ebaps icomt r ica s e dis t r ibu ye n or ma lmen t e conmedia 18 min u t osy des via cines t n da r4 min u t os .8 . 1 . Ca lcu le lapr oba bilida d de qu e u ns u jet o emplee m sde 15 min u t osencomplet a rlapr u eba .8 . 2 . Si 340 per s on a sr in denlapr u eba , cu n t os de elloscomplet a r nlapr u ebaenmen os de 20 min u t os ?Solu c in :Modelo n or ma l con = 18 y= o 48 . 1 . Ca lcu le lapr oba bilida d de qu e u ns u jet o emplee m sde 15 min u t osencomplet a rlapr u eba .Es t a n da r iza n do x = 15z = 418 15 = 0,75P(z > 0,75) = 0, 7734R: lapr oba bilida d de qu eu ns u jet o emplee m sde 15 min u t osencomplet a rlapr u ebaes0,7734.8 . 2 . Si 340 per s on a sr in denlapr u eba , cu n t os de elloscomplet a r nlapr u ebaenmen osde 20 min u t os ?Es t a n da r iza n do x = 20z = 418 20 = 0,5P(z < 0,5) = 0,6915En t on ces :N = 340 0,6915 = 235 per s on a sR: De la s340per s on a squ e r in denlapr u eba , 235 complet a r nla pr u ebaenmen osde 20 min u t os .?-0,75z0,5z?Distribucin normal estndar Z - N(0, 1) 0 izz p Valores de la probabilidad p superior por sobre z Z0,000,010,020,030,040,050,060,070,080,09 0,00,50000,49600,49200,48800,48400,48010,47610,47210,46810,4641 0,10,46020,45620,45220,44830,44430,44040,43640,43250,42860,4247 0,20,42070,41680,41290,40900,40520,40130,39740,39360,38970,3859 0,30,38210,37830,37450,37070,36690,36320,35940,35570,35200,3483 0,40,34460,34090,33720,33360,33000,32640,32280,31920,31560,3121 0,50,30850,30500,30150,29810,29460,29120,28770,28430,28100,2776 0,60,27430,27090,26760,26430,26110,25780,25460,25140,24830,2451 0,70,24200,23890,23580,23270,22960,22660,22360,22060,21770,2148 0,80,21190,20900,20610,20330,20050,19770,19490,19220,18940,1867 0,90,18410,18140,17880,17620,17360,17110,16850,16600,16350,1611 1,00,15870,15620,15390,15150,14920,14690,14460,14230,14010,1379 1,10,13570,13350,13140,12920,12710,12510,12300,12100,11900,1170 1,20,11510,11310,11120,10930,10750,10560,10380,10200,10030,0985 1,30,09680,09510,09340,09180,09010,08850,08690,08530,08380,0823 1,40,08080,07930,07780,07640,07490,07350,07210,07080,06940,0681 1,50,06680,06550,06430,06300,06180,06060,05940,05820,05710,0559 1,60,05480,05370,05260,05160,05050,04950,04850,04750,04650,0455 1,70,04460,04360,04270,04180,04090,04010,03920,03840,03750,0367 1,80,03590,03510,03440,03360,03290,03220,03140,03070,03010,0294 1,90,02870,02810,02740,02680,02620,02560,02500,02440,02390,0233 2,00,02280,02220,02170,02120,02070,02020,01970,01920,01880,0183 2,10,01790,01740,01700,01660,01620,01580,01540,01500,01460,0143 2,20,01390,01360,01320,01290,01250,01220,01190,01160,01130,0110 2,30,01070,01040,01020,00990,00960,00940,00910,00890,00870,0084 2,40,00820,00800,00780,00750,00730,00710,00690,00680,00660,0064 2,50,00620,00600,00590,00570,00550,00540,00520,00510,00490,0048 2,60,00470,00450,00440,00430,00410,00400,00390,00380,00370,0036 2,70,00350,00340,00330,00320,00310,00300,00290,00280,00270,0026 2,80,00260,00250,00240,00230,00230,00220,00210,00210,00200,0019 2,90,00190,00180,00180,00170,00160,00160,00150,00150,00140,0014 3,00,00130,00130,00130,00120,00120,00110,00110,00110,00100,0010 3,10,00100,00090,00090,00090,00080,00080,00080,00080,00070,0007 3,20,00070,00070,00060,00060,00060,00060,00060,00050,00050,0005 3,30,00050,00050,00050,00040,00040,00040,00040,00040,00040,0003 3,40,00030,00030,00030,00030,00030,00030,00030,00030,00030,0002 3,50,00020,00020,00020,00020,00020,00020,00020,00020,00020,0002 3,60,00020,00020,00010,00010,00010,00010,00010,00010,00010,0001 3,70,00010,00010,00010,00010,00010,00010,00010,00010,00010,0001 3,80,00010,00010,00010,00010,00010,00010,00010,00010,00010,0001 3,90,00000,00000,00000,00000,00000,00000,00000,00000,00000,0000 Valores calculados con la funcin DISTR.NORM.ESTAND(z)de Excel.Gentileza de PatoAlka S. A. DERECHOS RESERVADOS. Ao 2011. Distribucin normal estndar Z - N(0, 1) 0 izz p Valores de la probabilidad p inferior, por debajo de z Z0,000,010,020,030,040,050,060,070,080,09 0,00,50000,50400,50800,51200,51600,51990,52390,52790,53190,5359 0,10,53980,54380,54780,55170,55570,55960,56360,56750,57140,5753 0,20,57930,58320,58710,59100,59480,59870,60260,60640,61030,6141 0,30,61790,62170,62550,62930,63310,63680,64060,64430,64800,6517 0,40,65540,65910,66280,66640,67000,67360,67720,68080,68440,6879 0,50,69150,69500,69850,70190,70540,70880,71230,71570,71900,7224 0,60,72570,72910,73240,73570,73890,74220,74540,74860,75170,7549 0,70,75800,76110,76420,76730,77040,77340,77640,77940,78230,7852 0,80,78810,79100,79390,79670,79950,80230,80510,80780,81060,8133 0,90,81590,81860,82120,82380,82640,82890,83150,83400,83650,8389 1,00,84130,84380,84610,84850,85080,85310,85540,85770,85990,8621 1,10,86430,86650,86860,87080,87290,87490,87700,87900,88100,8830 1,20,88490,88690,88880,89070,89250,89440,89620,89800,89970,9015 1,30,90320,90490,90660,90820,90990,91150,91310,91470,91620,9177 1,40,91920,92070,92220,92360,92510,92650,92790,92920,93060,9319 1,50,93320,93450,93570,93700,93820,93940,94060,94180,94290,9441 1,60,94520,94630,94740,94840,94950,95050,95150,95250,95350,9545 1,70,95540,95640,95730,95820,95910,95990,96080,96160,96250,9633 1,80,96410,96490,96560,96640,96710,96780,96860,96930,96990,9706 1,90,97130,97190,97260,97320,97380,97440,97500,97560,97610,9767 2,00,97720,97780,97830,97880,97930,97980,98030,98080,98120,9817 2,10,98210,98260,98300,98340,98380,98420,98460,98500,98540,9857 2,20,98610,98640,98680,98710,98750,98780,98810,98840,98870,9890 2,30,98930,98960,98980,99010,99040,99060,99090,99110,99130,9916 2,40,99180,99200,99220,99250,99270,99290,99310,99320,99340,9936 2,50,99380,99400,99410,99430,99450,99460,99480,99490,99510,9952 2,60,99530,99550,99560,99570,99590,99600,99610,99620,99630,9964 2,70,99650,99660,99670,99680,99690,99700,99710,99720,99730,9974 2,80,99740,99750,99760,99770,99770,99780,99790,99790,99800,9981 2,90,99810,99820,99820,99830,99840,99840,99850,99850,99860,9986 3,00,99870,99870,99870,99880,99880,99890,99890,99890,99900,9990 3,10,99900,99910,99910,99910,99920,99920,99920,99920,99930,9993 3,20,99930,99930,99940,99940,99940,99940,99940,99950,99950,9995 3,30,99950,99950,99950,99960,99960,99960,99960,99960,99960,9997 3,40,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,9998 3,50,99980,99980,99980,99980,99980,99980,99980,99980,99980,9998 Valores calculados con la funcin DISTR.NORM.ESTAND(z)de Excel.Gentileza de PatoAlka S. A. DERECHOS RESERVADOS. Ao 2011.