PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE PROBABILIDADES y VARIABLES ALEATORIAS Enunciado 1

Altube y Vitoria son dos estaciones metereológicas. Representaremos por A y V el que llueva respectivamente en Altube y Vitoria durante cualquier periodo de 24 horas en el mes de Junio; se observa que P(A) = P(V) = 0, 40 y que P(A V) = 0, 28. Determínense las dos probabilidades condicionales P(A/V) y P(V/A), así como la probabilidad total P(A V). ¿Son independientes A y V?

Para obtener las probabilidades condicionadas aplicamos la expresión P(A B) = P(A) • P(B/A) = P(B) • P(A/B )

que en nuestro caso será

Para obtener la probabilidad total consideramos P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

con lo que resultará P(A V) = P(A) + P(V) – P(A V)= 0, 40 + 0, 40 - 0, 28 = 0, 52

Se dice que dos sucesos son independientes si su probabilidad compuesta es igual al producto de sus probabilidades incondicionales respectivas. La definición formal de

independencia de dos sucesos es que se cumpla P(B/A) = P(B) ; P(A/B) = P(A)

Por consiguiente, teniendo en cuenta que la ley general de probabilidad compuesta se expresa :

P(A B C ••• M N) =P(A)•P(B/A)•P(C/A B) ••• P(N/A B C ••• M)

podemos ver que en el caso de sucesos independientes la probabilidad compuesta toma la forma simétrica

P(A B) = P(A)•P(B).En nuestro caso resulta fácil comprobar que los dos sucesos no son independientes ya que

se tiene : P(A/V) P(A) ; P(V/A) P(V) P(A V) P(A)•P(V)

Enunciado 2

Dados P(A) = a , P(B) = b y P(A B) = a.b, demuéstrese que

se factorizan en la forma indicada por la definición general de independencia, es decir como producto de las probabilidades de los componentes de la combinación.

RESPUESTA 2.

Uno de los axiomas básicos de la teoría de la probabilidad enuncia : La probabilidad P(E) de un suceso E es un número real comprendido entre 0 y 1. La probabilidad de que ocurra

un suceso imposible es 0 y la de un suceso seguro, l ; en general si para dos sucesos se tiene P(E1) + P(E2) = 1 , decimos que E1 y E2 son sucesos complementarios uno del otro. También se dice que E1 y E2 son mutuamente excluyentes. Considerando lo dicho en el párrafo anterior, tenemos :

Pero el suceso A solo puede ocurrir de dos formas mutuamente excluyentes : en conjunción con B o en conjunción con el complementario de B. Por tanto, tendremos según el teorema que nos da la probabilidad total para sucesos mutuamente excluyentes, y cuyo enunciado es :

Si A , B, ••• , N son sucesos mutuamente excluyentes, entonces :

P(A B ••• N) = P(A) + P(B) + ••• + P(N)

y de esta expresión podemos deducir (siendo S el Suceso seguro) :

de donde, por sustitución :

y análogamente :

Finalmente, como los cuatro pares de sucesos son exhaustivos su probabilidad total es la unidad, y como son mutuamente excluyentes, podemos aplicar el teorema anterior obteniendo :

y sustituyendo los valores conocidos

Este último resultado se puede obtener siguiendo el mismo proceso que en los dos primeros, es decir:

El requisito de la factorización se satisface, por tanto, en todos los casos.Enunciado 3

Un mecanismo eléctrico que contiene cuatro interruptores sólo funciona cuando todos ellos están cerrados. En sentido probabilístico, los interruptores son independientes en lo que se refiere al cierre o a la apertura, y, para cada uno de ellos, la probabilidad de que no funcione es 0,1. Calcúlese la probabilidad de que no funcione el mecanismo en conjunto, despreciando todas las causas que pueden hacer que el mecanismo no funcione, excepto los propios interruptores.

Representando por F el hecho de que el mecanismo no funcione y por el suceso complementario, es decir, que el mecanismo funcione, aplicamos el axioma enunciado en el prob1ema anterior (propiedad 1) y tenemos :

Llamando S1 al suceso de que el interruptor 1 esté cerrado y al suceso complementario

(que esté abierto), se sabe que , luego:

Y análogamente para los otros interruptores. El mecanismo solo funciona cuando los

interruptores están cerrados, y esto corresponde al suceso compuesto , luego :

Aplicando ahora el teorema sobre la ley de la probabilidad compuesta para sucesos independientes, tenemos :

y a partir de ahí :

Esta es la forma más sencilla de resolver el prob1ema, pero es instructivo resolverlo empleando el teorema de la ley general de la probabilidad total :

La probabilidad P(A B ••• N) es igual a la suma algebraica de las probabilidades de los sucesos en todas las combinaciones posibles distintas, es decir, suceso único, parejas, ternas, … , N-tuplas. El signo es positivo para las combinaciones de orden impar (suceso único, ternas, …) y negativo para las combinaciones de orden par (parejas, cuaternas, … ).

Como el mecanismo no funcionará siempre que uno de los interruptores esté abierto, el

suceso F es equivalente al suceso compuesto . Tenemos que usar la ley general de la probabilidad total porque los sucesos son independientes, y, por tanto , no son mutuamente excluyentes. Entonces, por el teorema enunciado anteriormente :

Observamos que hay cuatro sucesos simples, seis parejas, cuatro temas y un cuarteto. Como los sucesos son independientes, la probabilidad compuesta es igual al producto de las probabilidades simples correspondientes, y como éstas son uniformes, podemos agrupar los términos del mismo grado escribiendo :

P(F) = 4.(0,1) - 6.(0,1)2 + 4.(0,1)3 - (0,1)4 = 0,4 - 0,06 + 0,004 - 0,0001 = 0,3439

Vemos que, aunque este método de solución es mucho más complicado que el primero y no es recomendable en una situación en la que aquel se pueda aplicar, conduce a la respuesta correcta, e ilustra el hecho general de que todos los métodos que utilizan los principios matemáticos adecuados de forma válida, llevarán a los mismos resultados.Enunciado 4

En un almacén se tiene que despachar 60 pedidos, y se sabe que 5 de ellos son de una cierta mercancía A. Si se cumplimentan los 60 pedidos al azar, ¿cual es la probabilidad de que el primero y el cuarto pedido sean de la mercancía A y de que simultáneamente no lo sean el segundo y el tercero?. ¿Cual es la probabilidad de que en los cuatro primeros pedidos a cumplimentar haya al menos dos pedidos de la mercancía A?

Vamos a representar por A el suceso consistente en que un pedido determinado que se

esté despachando sea de la mercancía A, y por el suceso complementario consistente en que no sea de la mercancía A.

Como la probabilidad de que un pedido determinado se refiera a una clase de mercancía

determinada (sea A ó ) está influida por el número de pedidos de la misma clase que se hayan despachado antes, este problema ilustra la ley general de la probabilidad compuesta,

expresada en la Ley general de la probabilidad compuesta :

Una buena forma de considerar el problema es imaginar un mazo de 60 cartas, todas

iguales , excepto que 5 de ellas están señaladas con A y 55 señaladas con . La acción de cumplimentar los pedidos se puede asociar a la de sacar cartas de un mazo bien barajado, de forma que todas las cartas que se pueden sacar en una prueba determinada tienen las

mismas probabilidades de ser elegidas.

El suceso de que los pedidos primero y cuarto sean de la mercancía A y el segundo y

tercero no , corresponde a sacar la sucesión de cartas A , , , A. Como hay 5 cartas señaladas con A, la probabilidad de que la primera carta sea una A es 5/60. En la segunda

prueba hay 59 cartas en la baraja, y 55 de ellas están señaladas con . Luego la probabilidad condicionada de que la segunda carta sea una es 55/59. En la tercera prueba quedan 58 cartas, y 54 de ellas están señaladas con . Luego, la probabilidad condicionada

de que la tercera carta sea una es 54/58. Finalmente, en la cuarta prueba quedan 57 cartas, de las cuales 4 están señaladas con A, luego la probabilidad de que la cuarta carta

sea una A es 4/57. Por tanto, multiplicando estas probabilidades de acuerdo con el teorema que expresa la ley general de la probabilidad compuesta, obtenemos :

Si llamamos E al suceso de que al menos dos pedidos de los cuatro primeros a

cumplimentar sean de la mercancía A, su probabilidad es igual a , siendo el suceso de que los primeros cuatro pedidos contengan menos de dos pedidos de la

mercancía A, es decir, cero ó uno. Pero la probabilidad de que ninguno de los pedidos sea de la mercancía A está dada por:

Como el suceso de que uno de los pedidos sea de la mercancía A puede ocurrir de cuatro formas mutuamente excluyentes, su probabilidad total es :

Por todo ello tendremos :

y la probabilidad buscada es :

Enunciado 5

Un lote de N objetos contiene k defectuosos, aunque la mayoría, N-k, están en buenas condiciones. Si se eligen al azar n objetos, ¿cual es la probabilidad de que los primeros c objetos (c < k) sean defectuosos y el resto , n-c, no lo sean? ¿Cual es la probabilidad total de que, de los n objetos elegidos al azar, c sean defectuosos?

Los principios que intervienen en este problema son casi los mismos que los del ejemplo anterior. Según el teorema que expresa la ley general de la probabilidad compuesta, la probabilidad P(E) de obtener una sucesión de c objetos defectuosos seguida de n-c objetos en buenas condiciones viene dada por un producto de fracciones tales que cada numerador es igual al número de objetos de la clase correspondiente que se pueden elegir al ejecutar la prueba, y cada denominador es igual al correspondiente número total de todos los objetos que hay en ese momento. Luego :

Podemos expresar este resultado en forma más compacta multiplicándolo y dividiéndolo por la cantidad :

con lo que obtenemos :

La probabilidad de obtener cualquier otra sucesión de c objetos defectuosos de un total de n pruebas se calcularía de la misma forma. Los numeradores, como hemos observado en el problema anterior, contendrían el mismo conjunto de factores, aunque en un orden diferente, y darían el mismo producto que en dicho caso; los denominadores no cambiarían, y, por tanto, su producto sería el mismo que en el caso anterior. Entonces, todas las sucesiones que contengan c objetos defectuosos de un total de n pruebas tienen la misma probabilidad que la dada por la ecuación (*). El número S de sucesiones distintas que contienen exactamente c objetos defectuosos de un total de n es igual al número de permutaciones Pm(n; c, n-c) de n objetos tomados de n en n, siendo c objetos de una clase y el resto de otra; es decir:

La probabilidad total, P(c), de obtener exactamente c objetos defectuosos en un total de n pruebas es igual al número de sucesiones S multiplicado por su probabilidad común, P(E), es decir:

Podemos reagrupar estos términos para obtener una fórmula mas elegante :

Expresión conocida con el nombre de ley hipergeométrica de la probabilidad.

Enunciado 6

Una experiencia puede dar k resultados posibles mutuamente excluyentes, R1, R2, … , Rk cuyas probabilidades respectivas son p1, p2, … , pk, siendo su probabilidad total igual a la unidad, es decir, p1 + p2 + … + pk = l. Si se ejecutan N pruebas independientes de la experiencia, ¿cuál es la probabilidad de obtener exactamente n1 resultados del primer tipo, n2 del segundo,…, y nk del k-ésimo, siendo n1 + n2 + … + nk = l.= N?.

RESPUESTA 6.

Como las pruebas son independientes, la probabilidad de obtener un resultado determinado cualquiera Ri en una prueba dada no está influida en absoluto por los resultados de otras pruebas. Por tanto, la probabilidad Ps de una sucesión determinada cualquiera de resultados es igual al producto de sus probabilidades incondicionales separadas y, por tanto,

El número S de sucesiones distintas que dan el número deseado de resultados de cada clase es igual a Pm(N ; n1, n2,… , nk) y la probabilidad total P(n1, n2,… , nk) viene dada por el producto S.Ps ;por consiguiente :

Esta expresión se conoce con el nombre de ley polinomial de la probabilidad. Esto procede del hecho de que el término general del desarrollo del polinomio (p1 + p2 + … + pk)N viene dado por una expresión del mismo tipo que la (*). El caso especial con k = 2, que corresponde a dos alternativas (E, ), se conoce como ley binomial (le la probabilidad. Si tenemos en cuenta que n2 = N-n1 y que p2 = l-p1; obtenemos :

puesto que la fórmula de las permutaciones para dos alternativas Pm(n , n1, n2) se reduce a la fórmula de combinaciones C(N , n1 ).

Enunciado 7

El informe de un ingeniero sobre las causas de avería en los calentadores de agua domésticos reveló que el 90% de las averías se debían a uno de estos tres factores : escapes en las soldaduras, escapes en las juntas, o corrosión en puntos aislados, siendo las probabilidades respectivas de 0, 4 ; 0, 3 y 0, 2. Despreciando la posibilidad remota de que se produzcan averías simultáneas, y suponiendo pruebas independientes, ¿cual es la probabilidad de que una muestra aleatoria de cinco averías contenga dos casos de escapes en las soldaduras, dos de escapes en las juntas, uno de corrosión en un punto aislado y ninguno debido a otras causas?.

7.

Aceptando la hipótesis de que las averías simultáneas son despreciables, podemos considerar los diferentes tipos de averías como sucesos mutuamente excluyentes, e incluyendo la categoría de "averías diversas", obtenemos un sistema exhaustivo. Por tanto, podemos aplicar directamente la ley polinomial de la probabilidad, y la solución está dada por :

Enunciado 8

La probabilidad de que un vendedor a domicilio consiga una venta en un solo intento es 1/6. ¿Cual es la probabilidad de que consiga al menos una venta en los cinco intentos siguientes?¿Cual es la probabilidad de que consiga, en esos cinco intentos, cuatro o más ventas?.

Aunque puede no ser estrictamente cierto, vamos a suponer que un intento no afecta a otro, por lo que podemos aplicar la ley binomial de la probabilidad. Representando por P(S, R) la probabilidad de obtener exactamente S ventas y R negativas en S+R intentos, la probabilidad P(E) del suceso de que el vendedor consiga al menos una venta es igual a l-P( ), siendo el suceso complementario de que no consiga ninguna venta. En este caso tenemos S+R = 5, y es equivalente a (0, 5), luego :

y la probabilidad de conseguir al menos una venta es P(E) = 1 - P( ) = 0, 598 El suceso E' de conseguir cuatro o más ventas se puede producir de dos maneras mutuamente excluyentes : consiguiendo exactamente cuatro ventas o consiguiendo exactamente cinco ventas. Luego:

Enunciado 9

Tres personas, A, B, C, juegan lanzando una moneda cada una al dar una señal, y comparan los resultados. Gana el jugador cuya moneda cae en posición distinta de la de los otros dos; si las tres monedas caen en la misma posición, se repite el lanzamiento hasta que una sea diferente. Suponiendo que no se hacen trampas y que se usan monedas equilibradas, demuéstrese que todos los jugadores tienen las mismas probabilidades de ganar. Calcúlese la probabilidad de que, en una serie de seis partidas, C pierda, al menos cinco veces.

RESPUESTA 9.

Vamos a representar por H o T los posibles resultados del lanzamiento de una moneda y enumerar los resultados en el orden de los jugadores A, B, C, con lo que podemos expresar

los resultados posibles y designar a los ganadores como sigue Casos en que gana C : (H , H , T) ; (T , T , H)

Casos en que gana B : (H , T , H) ; (T , H , T)

Casos en que gana A : (T , H , H) ; (H ;T , T) Como hay seis resultados igualmente probables, y cada jugador gana en dos de ellos, todos los jugadores tienen las mismas probabilidades de ganar, es decir, 1/3. Si representamos por (W , L) el suceso de que el jugador C gane exactamente W veces y pierda exactamente L veces de un total de W+L partidas, el suceso E de que pierda al menos cinco de seis partidas se puede producir de dos formas mutuamente excluyentes, (l; 5) y (0; 6), cuyas respectivas probabilidades están dadas por la ley binomial. Por tanto:

Enunciado 10

Tres urnas, U1 , U2 , U3 , contienen bolas blancas, negras y rojas en proporciones diferentes. U1 contiene una bola blanca, dos negras y tres rojas; U2 contiene dos bolas blancas, una negra y una roja, y U3 contiene cuatro bolas blancas, cinco negras y tres rojas. Sacamos dos bolas de una urna, sin saber de que urna son. Si resulta que una bola es blanca y la otra es roja, calcúlense las probabilidades respectivas de que la urna de la cual se han sacado las bolas sea la U1 , la U2 ó la U3.

RESPUESTA 10.

Podemos suponer razonablemente que las tres urnas tienen la misma probabilidad de haber sido elegidas, por lo que tenemos P(Ui) = 1/3 (i = 1, 2, 3). Las probabilidades condicionadas del suceso A (sacar una bola blanca y otra roja, a la vez) las calculamos como sigue : En la urna U tenemos una bola blanca y tres rojas frente a 6 bolas en total. Esto supone que tenemos tres casos favorables dados por la bola blanca con cada una de las rojas y 15 casos posibles que resultan del número de combinaciones de 6 elementos tomados de dos en dos, C(6, 2) = 6!/2!(6-2)! = 15. Por todo ello, la probabilidad P(A/U1) vale 3/15 = 1/5. De forma análoga obtenemos también P(A/U2) = 1/3 P(A/U3) = 2/11.

Sustituyendo estos valores en la fórmula de Bayes, obtenemos las probabilidades respectivas

Resulta evidente que la suma de los tres casos es la unidad.

Enunciado 11

Una compañía de seguros sabe por su propia experiencia que los clientes que tienen fondos suficientes en sus cuentas corrientes ponen, por error, fecha adelantada en los cheques una vez cada 1000, mientras que los clientes que firman cheques sin fondos ponen siempre fecha adelantada. El último grupo constituye el 1 % del total. Un cajero recibe un cheque de un cliente con fecha adelantada. ¿Cual es la probabi1idad de que ese cliente tenga fondos insuficientes?.

RESPUESTA 11.

Vamos a representar por A el suceso consistente en que un pedido determinado que se

esté despachando sea de la mercancía A, y por el suceso complementario consistente en que no sea de la mercancía A.

Como la probabilidad de que un pedido determinado se refiera a una clase de mercancía

determinada (sea A ó ) está influida por el número de pedidos de la misma clase que se hayan despachado antes, este problema ilustra la ley general de la probabilidad compuesta, expresada en la Ley general de la probabilidad compuesta :

Una buena forma de considerar el problema es imaginar un mazo de 60 cartas, todas

iguales , excepto que 5 de ellas están señaladas con A y 55 señaladas con . La acción de cumplimentar los pedidos se puede asociar a la de sacar cartas de un mazo bien barajado, de forma que todas las cartas que se pueden sacar en una prueba determinada tienen las mismas probabilidades de ser elegidas.

El suceso de que los pedidos primero y cuarto sean de la mercancía A y el segundo y

tercero no , corresponde a sacar la sucesión de cartas A , , , A. Como hay 5 cartas señaladas con A, la probabilidad de que la primera carta sea una A es 5/60. En la segunda

prueba hay 59 cartas en la baraja, y 55 de ellas están señaladas con . Luego la probabilidad condicionada de que la segunda carta sea una es 55/59. En la tercera prueba quedan 58 cartas, y 54 de ellas están señaladas con . Luego, la probabilidad condicionada

de que la tercera carta sea una es 54/58. Finalmente, en la cuarta prueba quedan 57 cartas, de las cuales 4 están señaladas con A, luego la probabilidad de que la cuarta carta sea una A es 4/57. Por tanto, multiplicando estas probabilidades de acuerdo con el teorema que expresa la ley general de la probabilidad compuesta, obtenemos :

Si llamamos E al suceso de que al menos dos pedidos de los cuatro primeros a

cumplimentar sean de la mercancía A, su probabilidad es igual a , siendo el suceso de que los primeros cuatro pedidos contengan menos de dos pedidos de la mercancía A, es decir, cero ó uno. Pero la probabilidad de que ninguno de los pedidos sea de la mercancía A está dada por:

Como el suceso de que uno de los pedidos sea de la mercancía A puede ocurrir de cuatro formas mutuamente excluyentes, su probabilidad total es :

Por todo ello tendremos :

y la probabilidad buscada es :

Enunciado 12

Se lanza una moneda y, si sale cara, se mete una bola negra en una urna; si sale cruz, se

mete en la urna una bola blanca. Se hace esta operación cuatro veces. A continuación otra persona saca dos bolas simultáneamente de la urna, que resultan ser negras. ¿Cual es la probabilidad de que en la urna hubiera dos bolas blancas y dos negras?.

Debido al método utilizado para llenar la urna, existen cinco posibilidades para la distribución final del color de las cuatro bolas, y se puede calcular la probabilidad de que se

produzca cada una de las distribuciones de colores. Son las siguientes : grupos de 4 bolas blancas (B1) = 4!/4!0! = 1

grupos de 3 blancas y una negra (B2) = 4!/3!1! = 4

grupos de 2 blancas y 2 negras (B3) = 4!/2!2! = 6

grupos de 1 blanca y 3 negras (B4) = 4!/1!3! = 4

grupos de 4 bolas negras (B5) = 4!/0!4! = 1 En total tenemos 2n = 24 = 16 grupos, por lo que las probabilidades respectivas son :

P(B1) = 1/16 ; P(B2) = 4/16 ; P(B3) = 6/16 ; P(B4) = 4/16 ; P(B5) = 1/16En el caso que estamos considerando, el suceso A (sacar dos bolas negras) no puede

ocurrir con los antecedentes B, y B0, por lo que las probabilidades condicionadas P(A/B1) Y P(A/B2) tienen que ser nulas. Las otras tres probabilidades condicionadas se calculan como

sigue : para la primera tenemos 1 caso favorable y 6 casos posibles que resultan del número de combinaciones de 4 elementos tomados de 2 en 2. Así pues:

P(A/B3 ) = 1/C(4, 2) = 1/6Para la segunda y tercera, por una deducción análoga tenemos

P(A/B4) = C(3, 2)/C(4, 2) = 1/2 ; P(A/B5) = C(4, 2)/C(4, 2) = 1Por lo tanto, la probabilidad buscada viene dada por la fórmula de Bayes

Enunciado 13

Un avión cubre diariamente el servicio entre dos ciudades. Suponemos que la probabilidad de accidente en día sin niebla es 0, 002 y en dia con niebla 0, 01. Cierto día de un mes que hubo 18 días sin niebla y 12 con niebla se produjo accidente. Calcular la probabilidad de que el accidente haya ocurrido : a) en día sin niebla ; b) en día con niebla..

Sea A1 el suceso "día sin niebla" ; A2 el suceso "día con niebla" y B el suceso "ocurrir accidente". Se tiene :

y aplicando la fórmula de Bayes :

Enunciado 14

En un segmento AB, un punto C está situado entre A y B de forma que la distancia a = AC es mayor que la distancia b = CE. Elegimos un punto X al azar en el segmento AC y un punto Y al azar en el segmento CB . ¿Cual es la probabilidad de que los segmentos AX , XY e YB puedan formar un triángulo?.

Consideremos la figura adjunta, y sea x la distancia de A a X, e y la distancia de Y a B.

Sin tener en cuenta si los segmentos citados pueden o no formar un triángulo, todos los valores posibles de x tienen que estar comprendidos en el intervalo de 0 a a, y todos los posibles valores de y tienen que estar comprendidos en el intervalo de 0 a b. Vamos a llamar región admisible a los intervalos posibles de estas dos variables y eligiendo un

sistema de coordenadas rectangulares, tal como se muestra en la figura, podemos representar esta región admisible por un rectángulo de base a y altura b. El problema a

resolver es entonces encontrar la porción de la región admisible que contiene a todos los puntos tales que los segmentos puedan formar un triángulo.

Si el área de esta porción es r, la probabilidad buscada es r/ab, ya que el área total de la región admisible es ab. Para que los tres segmentos puedan corresponder a los lados de un triángulo es necesario y suficiente que la longitud de cada uno de los tres segmentos

sea menor que la suma de los otros dos. Este hecho conduce a las tres condiciones siguientes :

Condición 1 : x < (a + b - x - y) + y que es equivalente a x < (a + b)/2

Condición 2 : (a + b - x - y) < x + y que también se pone x + y > (a + b)/2

Condición 3 : y < (a + b - x - y) + x es decir, y < (a + b)/2 Como estas tres condiciones se tienen que satisfacer simultáneamente, es evidente que x

tiene que estar a la izquierda de la recta x = (a + b)/2, que y tiene que estar por debajo de la recta y = (a + b)/2, y que, al mismo tiempo, x e y tienen que estar simultáneamente por encima de la recta x + y = (a + b)/2. Todo esto se puede ver geométricamente en la figura. anterior, en la cual el área rayada representa los puntos que satisfacen las tres desigualdades. Solo la parte del área rayada que solapa con el rectángulo contendrá a los puntos que satisfacen todas las condiciones del problema. Para obtener el área de la zona de solapamiento tenemos que restar al área de todo el triángulo rayado, dada por

el área de la parte rayada que se encuentra por encima de la recta y = b. Haciendo 1as operaciones pertinentes resulta para la zona de solapamiento b2/2. Así, la probabilidad del suceso es :

Enunciado 15

Considérese un conjunto formado por un número infinito de rectas coplanarias de longitud infinita. Las rectas son paralelas, y la distancia entre una de ellas y la siguiente es d. Se lanza al azar una aguja de longitud a (siendo a menor que d) sobre el conjunto de rectas. ¿Cual es la probabilidad de que la aguja corte a alguna de las rectas?.

Este problema se conoce como el problema de la aguja de Buffon. Consideremos la figura adjunta, y sea x la distancia perpendicular desde el punto medio de la. aguja a la recta más

próxima, y sea el ángulo que la aguja forma con la perpendicular a la recta. Entonces x

toma un valor aleatorio comprendido entre 0 y d/2, y el ángulo toma un valor aleatorio comprendido entre - /2 y + /2.

En la figura podemos observar que si x es menor que (a/2).cos , la aguja cortará a una de las rectas ; y si es mayor que esa cantidad, no la cortará.

Por tanto, la curva x = (a/2).cos es la frontera entre las regiones de intersección y de no intersección.

Tenemos entonces un rectángulo de altura d/2 y base , cuya superficie representa el

campo total de valores posibles de x y .

el área situada bajo la curva x = (a/2).cos es la parte de la región admisible para la cual la aguja corta las rectas. Por tanto, la probabilidad buscada es

Enunciado 16

La base x y la altura y de un triángulo se obtienen eligiendo dos puntos X e Y al azar sobre dos segmentos de longitudes a y b, respectivamente. ¿ Cual es la probabilidad de que el área del triángulo de base x y de altura y sea menor que ab/4?

Como el área del triángulo es xy/2, es esta cantidad la que tiene que ser menor que ab/4. Pero la hipérbola xy = ab/2 divide al área admisible, (que es un rectángulo de base a y altura b) en las partes I y II de la figura adjunta. Las parejas de valores de x e y que se encuentren dentro de la parte I determinarán triángulos de área menor que ab/4, y, evidentemente, los puntos de la parte II determinarán triángulos de área mayor que ab/4.

Para determinar el área de la región I tenemos dos partes : en la primera de las sub regiones no tenemos complicación pues se trata del rectángulo de altura b y base a/2. El área de la segunda subregión es la dada por la parte inferior de la hipérbola xy = ab/2 entre los limites a/2 y a, es decir :

Por todo ello, la probabilidad buscada es :

Enunciado 17

Se corta un triángulo de una lámina metálica delgada. Se lanza el triángulo al azar sobre un tablero rayado como en el problema de la aguja de Buffon. La distancia d entre cada dos rectas es mayor que cada uno de los lados del triángulo. ¿Cual es la probabilidad de que el triángulo tape un trozo cualquiera de una cualquiera de las rectas?

Llamemos A , B Y C a los lados del triángulo, ya, b , c a sus longitudes respectivas. Si una recta corta al borde del triángulo, tiene que cortar a dos lados y solo a dos. Por tanto, si corta al triángulo, corta a A y B, o a A y C, o a B y C. Sean P(A, B) P(A, C) y P(B, C) las probabilidades respectivas de estos sucesos. Entonces la probabilidad total de que se

produzca la intersección es : P = P(A , B) + P(A , C) + P(B , C)

Pero las probabilidades respectivas P(A) , P(B) , P(C) de que una recta corte a uno cualquiera de los lados A , B , e se pueden expresar también, según la ley de la

probabilidad total : P(A) = P(A, B) + P(A, C) ; P(B) = P(A, B) + P(B, C) ; P(C) = P(A, C) + P(B, C)

y estas expresiones nos indican, por ejemplo, que la probabilidad de que sea cortado el lado A es igual a la probabilidad de que sean cortados los lados A y B ó los lados A Y C, y

puesto que estos dos sucesos son mutuamente excluyentes, lo uno implica lo otro. Las otras expresiones se traducen en la misma forma.

Sumando las tres ecuaciones se obtiene : P(A) + P(B) + P(C) = 2.P(A, B) + 2.P(A, C) + 2.P(B, C) = 2.P

y, por tanto :

Podemos aplicar ahora el resultado del problema de la aguja de Buffón al cálculo de P(A) , P(B) y P(C) , ya que estas probabilidades dependen de las longitudes de los lados ; en consecuencia,

Nota.- En el estudio del problema hemos omitido el símbolo de intersección, pero es evidente que se tiene :

Enunciado 18

Un avión con tres bombas trata de destruir una línea férrea. La probabilidad de destruir la línea con cualquiera de las bombas es 1/3. ¿Cual es la probabilidad de que la línea quede destruida si el avión emplea las tres bombas?

Enunciado 19

Una mecanógrafa tiene escritas N cartas y N sobres. Si pone al azar las cartas en los sobres, se pide : a) Probabilidad de tener al menos k coincidencias.

b) Probabilidad de tener exactamente k coincidencias.

El número de casos posibles que se pueden dar es N!. Si llamamos A i al suceso de que la carta i se introduzca en el sobre i, tenemos para dicho suceso :

y la probabilidad de que para algún par de cartas y sobres ocurra el suceso es :

Es evidente que la probabilidad de tener al menos 0 coincidencias es la unidad, puesto que podemos tener exactamente 0 coincidencias, o exactamente 1 coincidencia, o exactamente 2 coincidencias, etc.Por otro lado , la probabilidad de tener exactamente 0 coincidencias será igual a la probabilidad total menos la probabilidad de tener alguna coincidencia, es decir :

Podemos escribir así que la probabilidad de tener exactamente K coincidencias vendrá dada por :

donde denota el número de veces que puede haber k coincidencias, y es la probabilidad de tener exactamente 0 coincidencias en (N-k) elecciones. Esta expresión se

puede interpretar como sigue : es la probabilidad de que haya k aciertos entre las N cartas, y nos quedan (N-k) para las que no debe existir ningún acierto (su probabilidad es

. Como estas (N-k) cartas se pueden poner de (N-k)! formas distintas, tenemos la expresión dada, que también se puede escribir :

Finalmente, la probabilidad de tener al menos k coincidencias vendrá dada por la probabilidad de tener exactamente k coincidencias más la probabilidad de tener exactamente k+1 coincidencias, etc, es decir :

Es fácil ver que se tiene

Enunciado 20

En cierta población humana el índice cefálico i se distribuye normalmente entre los indivíduos. Hay 58 % de dolicocéfalos (i 75), 38 % de mecocéfalos (75 i 80) y 40 % de braquicéfalos (i 80). Hállense la media y la desviación típica de i.

Para la distribución normal, si definimos la variable reducida t, se tiene :

Por los datos del problema podemos escribir :

habiendo obtenido los valores en las tablas para la ley normal reducida. De dichos valores podemos hacer :

Es decir, la media de la distribución vale = 74, 355 , y la desviación típica = 3, 225

Podemos ver que se tiene :

Enunciado 21

El peso en toneladas de los rollos de acero fabricados en una planta se distribuye normalmente N(10 , 0,5). Solo se admiten los rollos con peso comprendido entre 9,5 y 11 Tm. ¿Cual es la probabilidad de rechazar un rollo dado?. La probabilidad de rechazar un rollo dado viene dada como la probabilidad contraria a admitir un rollo, es decir:

Para conocer los límites de integración , sabemos que solo se admiten los rollos con peso comprendido entre 9,5 y 11 toneladas,

Tenemos entonces :

Enunciado 22

Se hace un disparo con cada uno de tres cañones, siendo la probabilidad de hacer blanco 0,1 0,2 y 0,3, respectivamente. Calcúlese la probabilidad de cada uno de los números posibles de blancos.

Los números posibles de blancos son : a) 3 si se hace blanco con cada uno de los cañones.

b) 2 si se falla en un disparo.c) 1 si se fallan dos disparos

d) 0 si se fallan los tres disparos.En el caso (a), la probabilidad de acertar en todos los disparos vendrá dada como el

producto de las probabilidades independientes de acertar cada disparo, es decir : P(ABC) = P(A).P(B).P(C) = (0,1).(0,2).(0,3) = 0,006En el caso tercero tenemos varias posibilidades :

1ª) Probabilidad de acertar A y fallar B y C : P(A).P(B').P(C') = P(A)[1 - P(B)][1 - P(C) = 0,1 x 0,8 x 0,7 = 0,056

2ª) Probabilidad de acertar B y fallar A y C : P(A').P(B).P(C') = [1 - P(A)]P(B)[1 – P(C)] = 0,9 x 0,2 x 0,7 = 0,126

3ª) Probabilidad de acertar C y fallar A y B : P(A') .P(B') .P(C) = [1 - P(A)] [1 - P(B)] P(C) = 0,3 x 0,9 x 0,8 = 0,126

Así pues, la probabilidad total de fallar dos disparos será : 0,056 + 0,126 + 0,216 = 0,392

Puesto que cada disparo es independiente de los otros dos, la probabilidad de fallar en todos vendrá dada por el producto de las probabilidades respectivas de fallo, es decir

P(A'B'C') = P(A').P(B').P(C') = [1 - P(A)][1 - P(B)][1 – P(C)] = 0,9x0,8x0,7 = 0,504Finalmente, para el segundo caso tenemos : 1ª) Probabilidad de acertar A y B fallando C :

P(A) .P(B) .P(C) = P(A) .P(B)[ 1 – P(C)] = 0,1 x 0,2 x 0,7 = 0,0142ª) Probabilidad de acertar A y C fallando B :

P(A).P(B').P(C) = F(A)[1 - P(B)]P(C) = 0,1 x 0,8 x 0,3 = 0,0243a) Probabilidad de acertar B y C fallando A :

P(A').P(B).P(C) = [1 - P(A)P(B).P(C) = 0,9 x 0,2 x 0,3 = 0,054En consecuencia, la probabilidad total de acertar en dos disparos será : 0,014 + 0,024 + 0,054 = 0,092

Enunciado 23

Cada coeficiente de la ecuación ax2 . + bx + c = 0 se determina por medio de una tirada de un dado ordinario. Hállese la probabilidad de que la ecuación tenga: a) Raíces reales. b) Raíces racionales.

Para que las raíces de la ecuación sean reales se ha de tener

Hay tres posibles parámetros a, b y c, cada uno con 6 posibles valores. Esto nos da como casos posibles 6 x 6 x 6 = 216

Para encontrar los casos favorables hacemos b2 = 1 ? 4.ac 0 casos

b2 = 4 4.ac (1, 1) ? 1 caso b2 = 9 4.ac ? (1, 1), (1, 2), (2, 1) 3 casos

b2 = 16 ; ac = (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (4, 1) 8 casos b2 = 25 ; ac = Los anteriores + (1, 5), (1, 6), (2, 3), t3, 2), (5, 1), (6, 1) 14 casos

b2 = 36 ; ac = Los dos casos anteriores + (2, 4), (3, 3), (4, 2) 17 casosTenemos así 43 casos favorables, lo cual nos da como probabilidad de que las raíces sean

reales : P(a) = 43/216 Las raíces racionales serán aquellas en las que b2 - 4.ac sea un cuadrado perfecto. A partir del espacio muestral anterior obtenemos los siguientes casos

válidos : b2 = 4 ; ac = (1, 1) ; 1 caso

b2 = 9 ; ac = (1, 2), (2, 1) ; 2 casos b2 = 16 ; ac = (1, 3), (1, 4), (2, 2), (3, 1), (4, 1) ; 5 casos

b2 = 25 ; ac = (1, 4), (1, 6), (2, 3),(3, 2), (4, 1), (6, 1)(2,2) ; 7 casos b2 = 36 ; ac = (2, 4), (3, 3), (4, 2), (1,5), (5,1); 17 casos

Tenemos un total de 20 casos válidos, por lo que la probabilidad de obtener raíces racionales será : P(b) = 20/216 = 5/54

Enunciado 24

El número de coches, por minuto, que llega a una estación de servicio entre las 4 y las 6 horas de la tarde es de 3,5. Determinar la probabilidad de que entre las 4 horas y las 4 horas 30 minutos se reciban más de 120 coches en la estación de servicio.

Se trata de un proceso con ley de Poisson de parámetro = 3, 5, por lo que tendremos :

Que entre las 4 y las 4, 30 h. se reciban más de 120 coches es equivalente a que en

promedio se reciban más de 120/30 = 4 coches por minuto. Por consiguiente, la probabilidad buscada es :

P(x > 4) = 1 - [P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4)]donde P(0), P(1), P(2), P(3) y P(4) se obtienen a partir de la expresión (1) sin más que sustituir r por 0,1, 2, 3 y 4 ; es decir:

Enunciado 25

Se tienen dos muestras de opinión efectuadas sobre el electorado inglés, respectivamente (n1 = 300) y (n2 = 600) ; en la primera el 42 % de los encuestados favorecía la entrada de los conservadores en el gobierno y en la segunda, el porcentaje de los partidarios era del 44 %. ¿Pueden proceder ambas muestras de una misma población de votantes admitiendo un grado de confianza del 95? Se entiende que los encuestados respondieron sí ó no sin abstenciones.

Según sabemos por teoría, se deberá tener :

lo que significa que t debe pertenecer al intervalo dado. Bajo esas condiciones, la hip6tesis de que ambas muestras proceden de una misma población se podrá aceptar con una

seguridad del 95 %. Con los datos del problema tenemos : m1 = 0,42 , n1 = 300 ; m2 = 0,44 ; n2 = 600

Sustituyendo en la ecuación anterior resulta:

Por lo tanto, podemos decir con una seguridad del 95 % que las dos muestras pertenecen a la misma población. Los valores -1,96 ; +1,96 resultan de aproximar a 95 % el intervalo de confianza de la muestra. Si ponemos que la variable se encuentra en el intervalo :

Así que en este caso lo que se ha hecho es tomar t dentro del intervalo indicado.