problemas probabilidades resueltos
DESCRIPTION
Problemas resueltos de estadistica descriptivaTRANSCRIPT
PROBLEMAS RESUELTOS PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA
Elaborado por el Profesor Jaime Pérez-Kallens L.
ALGUNOS PASOS PARA RESOLVER PROBLEMAS CON PLANTEAMIENTOS EN ESTADÍSTICA
1.- Leer cuidadosamente el enunciado del problema.
2.- Identificar el o los objetivos (para dar respuesta a las preguntas)
3.- Identificar la información relevante que se entrega en el enunciado del problema (fuente de información).
4.- Identificar los conceptos y técnicas (teoría) que se aplicarán para resolver el problema (vistos en clase)
5.- Relacionar la información (3), conceptos y Técnicas (4). Luego elaborar y ejecutar algoritmo (procesamiento)
6.- Obtención de resultados e interpretaciones.
Nota: Los problemas que se entregan en este compendio, se recogieron de varios libros de estadística y de otros documentos académicos.
I.- Introducción a las Probabilidades
1
1.- Identifique el experimento aleatorio y determine su espacio muestral para los siguientes casos:
a) Se lanza una vez una pirinola con cuatro caras numeradas de uno a cuatro.
Experimento aleatorio
Lanzar la pirinola una vez. Espacio muestral
está conformado por cada uno ( resultado del experimento aleatorio) de los cuatro número que pueden obtenerse al lanzar la perinola.
b) Se lanza dos veces la misma perinola antes descrita.
Experimento aleatorio
Lanzar la perinola dos veces.
Espacio muestral
Está conformado por todos los posibles pares de número que pueden obtenerse al lanzar dos veces la perinola.
c) ¿Cuál sería el espacio muestral al lanzar dos pirinolas iguales a la antes descrita, de una manera simultanea? Comente el resultado.
d) Se lanza una vez un dardo a un blanco constituido por una circunferencia de área ( suponemos que el dardo siempre caerá dentro de la circunferencia)
Experimento aleatorio:
Lanzar el dardo al blanco. Se asume que el dardo no va a dar fuera del blanco.
Espacio muestral
e) Se lanza una moneda hasta que aparece una cara.
Experimento aleatorio
2
Lanzar la moneda hasta que aparece cara.
Espacio Muestral.
f) Se seleccionan al azar dos viviendas ubicadas en una cuadra
Caso 1. Selección una a una.
Experimento aleatorio
elegir dos viviendas al azar
Espacio muestral
Caso 2. Selección en forma simultánea (dos a la vez)
Experimento aleatorio
elegir dos viviendas al azar
Espacio muestral
En este caso no se considera el orden de aparición de las viviendas, ya que al elegirse en forma simultánea, no se sabe cual vivienda es primera y cual es segunda.
g) Los artículos provenientes de una línea de producción se clasifican en defectuosos (D) o no defectuosos (N). Se observan los artículos y se anotan su condición. Este proceso se continúa hasta que se produzcan dos artículos defectuosos consecutivos o se hayan verificados cuatro artículos, cualquiera que ocurra primero.
Se van eligiendo artículos al azar hasta encontrar dos artículos defectuosos consecutivos o se hayan verificado 4 artículos.
h) Una caja con ampolletas tiene r (r<N) unidades con filamento rotos. Esas se prueban una a una, hasta que se encuentra una defectuosa.
D: ampolleta con filamento roto B: ampolleta con filamento bueno.
3
N: Total de ampolletas. N-r : Buenas.
i) Un lote contiene artículos que pesan 5,10,15, …….,50 grs.. Supóngase que al menos dos artículos de cada peso se encuentran allí. Se eligen dos artículos del lote. Identifique por X el peso del primer articulo elegido y por Y el peso del segundo artículo. Así el par de número (X,Y) representa un sólo resultado del experimento aleatorio.
Se eligen dos artículos al azar y se les mide su peso.
Espacio muestral: Ω (todos los puntos indicado en el plano cartesiano)
50 . . . . . . . . . .45 . . . . . . . . . .40 . . . . . . . . . .35 . . . . . . . . . .30 . . . . . . . . . .25 . . . . . . . . . .20 . . . . . . . . . .15 . . . . . . . . . .10 . . . . . . . . . .
5 . . . . . . . . . .
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
2.- De un curso conformado por 10 hombres y 20 mujeres, se eligen 3 alumnos al azar con el objeto de conformar un grupo de trabajo.
a) Construir dos espacios muestrales, la selección es uno a uno.
i.- Si se considera sólo a la persona.
Ω = { (persona1, persona2, persona3); (persona1, persona2, persona4)………….. ……………………………………………(persona8, persona9, persona10}
ii.- Si se considera la característica (sexo) descrita en el problema para construir el espacio muestral; se tendría.
Ω={ ( hombre, hombre, hombre); (hombre, hombre, mujer) (hombre, mujer, hombre); (hombre, mujer, mujer); (mujer, mujer, mujer); (mujer, hombre, mujer); ( mujer, hombre, hombre); (mujer, mujer, hombre)}
b) Construir los siguientes sucesos, usando los elementos del segundo espacio muestral:
4
i) el grupo de trabajo está conformado por tres hombres.
ii) el grupo de trabajo está conformado por dos mujeres.
iii) el grupo de trabajo está conformado por al menos dos mujer
3.- Un lote consta de 10 artículos buenos (b), 4 con pequeños defectos (dp) y 2 con defectos graves (dg).
i) Se elige uno al azar, determinar la probabilidad de que sea bueno o tenga un defecto grave.
: Se elige un artículo al azar de los 16
Los sucesos A y B son mutuamente excluyentes.
ii) Si se eligen dos artículos sin sustitución, determine la probabilidad de que exactamente uno sea bueno.
Se eligen dos artículos al azar ( sin sustitución)
4.- En una bodega se encuentran almacenados 10 computadores, de los cuales 4 están con defectos. Se extraen en forma aleatoria uno a uno y se revisan:¿Cuál es la probabilidad de que el último defectuoso se encuentre en:a) La 4º extracción
5
b) La 6º extracción.
_ _ _ _ _ d el computador que sale en la
sexta extracción corresponde al último defectuoso. Luego, en las 5 posiciones anteriores se tienen que acomodar 3 computadores defectuosos y 2 buenos. Lo cual se podría obtener usando combinatoria:
= 10
Las probabilidades se repitan para las 10 alternativas, así el resultado sería:
5.- .- Se dan dos cajas como siguen:
La caja A contiene 3 fichas rojas y 2 blancas La caja B contiene 2 fichas rojas y 5 blancas.
Se selecciona al azar una de las cajas; se elige una ficha de ella y se coloca en la otra caja; luego se selecciona al azar una ficha de la segunda caja. Hallar la probabilidad de que las dos fichas elegidas sean del mismo color.
Si se elige la caja A y se selecciona una ficha de ella roja y se coloca en la caja B, entonces la caja B tiene ahora, 3 fichas rojas y 5 blancas
3/8 R
R 5/8 W 0,6 1/4 R
6
A 0,5 0,4 W 3/4 W 2/3 R R 2/7 0,5 1/3 W B R 5/7 0,5 W
0,5 W
Dado que hay cuatro alternativas que llevan a dos fichas del mismo color:
6.- Sean A y B dos sucesos asociados con un experimento aleatorio. Supóngase que mientras que . Sea .
a) ¿ Para qué valor de p son los sucesos A y B mutuamente excluyentes?
Dos sucesos son mutuamente excluyentes si la intersección entre ellos es vacía. Luego:
0,7= 0,4 + p -0
P = 0,3
b) ¿ Para que valor de p son los sucesos A y B independientes?
Los sucesos son independientes si:
Luego,
7
0,7 = 0,4 + p - 0,4p
0,3 = 0,6 p
P = 0,5
7.- Dado los siguientes sucesos:
= La familia tiene automóvil = La familia no tiene automóvil = La familia tiene un ingreso menor a 5.000 dólares = La familia tiene un ingreso entre 5.000 y 10.000 dólares = La familia tiene un ingreso superior a 10.000 dólares.
y que en la población bajo estudio, se sabe que:
a) Encuentre e interprete el resultado.
= 1- 0,6 - 0,1+ 0,09 = 0,39 Para obtener la probabilidad de , construiremos el siguiente cuadro:
A1 A2
B1 0,21 0,19 0,40B2 0,30 0,20 0,50B3 0,09 0,01 0,10
0,60 0,40 1,00
Las cifras en negrita se entregan en el planteamiento del problema. Las cifras sombreadas en plomo, se obtiene al operar las probabilidades condicionales:
=0,6*0,35=0,21
8
Luego, se completa el cuadro con las probabilidades complementarias yconsiderando que la suma total de las probabilidades de la misma característica en estudio debe dar 1. Interpretación del resultado:
La probabilidad de que una familia no tenga automóvil, ni un ingreso superior a 10.000 dólares es de un 39%.
b) Encuentre e interprete el resultado.
Un 30% de las familias tiene automóvil y un ingreso de la menos 5.000 dólares.
c) Encuentre la e indique lo que se mide.
La probabilidad de que la familia tenga un ingreso superior a 10.000 dólares, dado que no dispone de automóvil.
d) ¿ Los sucesos y son independientes ? ( Pruébelo).
No son independientes.
8.- En cierta ciudad del sur de Chile se publican tres periódicos: A, B y C: Suponga que el 60% de las familias están suscrita al periódico A; el 50% al B y el 50% al C. También se sabe que el 30% están suscrito a A y B; el 20% en B y C; 30% en A y C, y el 10% en los tres. Calcule la probabilidad que una familia escogida al azar:
a) esté suscrita al periódico A, si se sabe que no lo está en B.
b) esté suscrita sólo a uno de los tres periódicos.
9
=
0,1+0,1+0,1=0,3
c) esté suscrita al periódico A, si se sabe que lo está en por lo menos dos periódicos.
9.- Un alumno de Medicina debe tomar la cátedra de Cálculo el segundo semestre de 2011. Este semestre, por motivos especiales tiene tan sólo dos cátedras, que son álgebra y bioestadística, que no son prerrequisitos de cálculo, en el sentido que no son obligación aprobarlos para tomar la cátedra de cálculo.Según estimaciones históricas que se ha conseguido, se sabe que:
- La probabilidad que apruebe cálculo, si aprueba sólo álgebra es de un 70%.
- La probabilidad que apruebe cálculo, si aprueba sólo bioestadística es de un 60%.
- La probabilidad que apruebe cálculo, si aprueba ambas cátedras es de un 80%.
También antecedentes históricos que se han conseguido con los profesores, manifiestan lo siguiente:
- La probabilidad que apruebe sólo álgebra es de un 50%.- La probabilidad que apruebe sólo bioestadística es de un 30%.- La probabilidad que apruebe ambas cátedras es de un 20%.
En base a la información proporcionada, determine:
a) Probabilidad que repruebe cálculo el segundo semestre de 2011.
Definición de los sucesos:
el alumno aprueba álgebra = el alumno aprueba bioestadística = el alumno aprueba cálculo
0,7 0,5 0,3 0,6
0,3
0,4 0,2
10
0,8 0,2
( probabilidad total)
b) Probabilidad que haya aprobado bioestadística, si al final del segundo semestre de 2011 aprueba cálculo.
10.- Una agencia de viajes, organizó tres tipos de excursiones al viejo continente: “ Europa pintoresca” , “ Europa deportiva” y “ Europa Cultural”, que los turistas adquirieron en las siguientes proporciones 45% , 30% y 25%, respectivamente. Para el traslado a dicha zona geográfica se ofrecieron tres alternativas aéreas ( LAN, (AA) Aerolínea Argentina e IBERIA), cuyos respectivos porcentajes de excursionistas para cada uno de los tipos de excursiones ofrecidas, se entregan en el siguiente cuadro:
Línea Aérea E. Pintoresca E. Deportiva E. CulturalLAN 50% 10% 40%AA 15% 80% 5%IBERIA 35% 10% 55%
En base a los datos anteriores se pide determinar:
a) ¿Cuál de las tres líneas aéreas tiene una mayor probabilidad de trasladar un pasajero a Europa, por viaje de alguna de las excursiones señaladas en el enunciado?
b) Si se elije un turista al azar que viajó por IBERIA, ¿Cuál es la probabilidad de que haya adquirido la excursión “ E. Pintoresca” o “ E. Cultural”.
Solución:
el turista adquiere la excursión E. Pintoresca = el turista adquiere la excursión E. Deportiva
= el turista adquiere la excursión E. Cultural
11
= el turista viaja en LAN
= el turista viaja en Aerolíneas Argentina (AA)
= el turistas viaja en IBERIA
a) P( ) = 0,45*0,5+0,30*0,1+0,25*0,4 = 0,355
P( ) = 0,45*0,15+0,30*0,80 +0,25*0,05 = 0,32
P( ) = 0,45*0,35+0,30*0,10+0,25*0,55 = 0,325
LAN tiene mayor probabilidad de trasladar un pasajero a Europa, por alguna de las tres excursiones.
b) = 0,9077
= 0,4846
= 0,4231
11.- En un grupo de granjas, se sabe que las producciones de leche, trigo y frutas son independientes. El 30% de las granjas tienen producción de leche y frutas; el 24% de trigo y frutas y el 12% tiene producción de los tres productos. Si se elige al azar una granja, ¿Cuál es la probabilidad
a) de que tenga producción de a lo menos uno de los tres productos?b) de que tenga producción de leche o trigo, si se sabe que tiene
producción de frutas?
Solución:
A = la granja tiene producción de leche
B = la granja tiene producción de trigo
C = la granja tiene producción de frutas
12
a)
b)
12.- En una universidad en la que se imparten no mas que carreras de ingeniería, ciencias y letras, se titulan el 10% de los estudiantes de ingeniería, el 20% de los estudiantes de ciencias y el 30% de los estudiantes de letras. Se sabe que el 25% de los estudiantes cursan carreras de ingeniera, el 35% cursan carreras de ciencias, y el restante 40% cursan carreras de letras.
a) Si se observa un estudiante titulado cualquiera al azar de esta universidad, ¿cuál es la probabilidad que haya cursado una carrera de ciencias?
b) Si se observan independientemente tres estudiantes cualquiera de esta universidad: ¿Cuál es la probabilidad que al menos uno de ellos se titule?
a) Sean.
I: Un estudiante observado al azar cursa una carrera de ingeniería.
C: Un estudiante observado al azar cursa una carrera de ciencias.
L: Un estudiante observado al azar estudia una carrera de ciencias.
T: Un estudiante observado al azar se titula.
Se tiene:
20,0CTP
Se pide :
b) T1: El primer estudiante observado se titula.T2: El segundo estudiante observado se titula.T3: El tercer estudiante observado se titula. T1, T2, T3 sucesos independientes.
13
i. Se pide ;
13.- Se seleccionan al azar dos cartas entre 10 cartas numeradas de 1 a 10. Hallar la probabilidad de que la suma sea impar:
a) Si las dos cartas se sacan juntas:b) Si se sacan una tras otra sin sustituciónc) Si se sacan una a una con sustitución.
a) Como en este caso no interesa el orden, usaremos combinatoria.
De cuántas manera puedo sacar dos cartas de las 10 cartas que hay:
maneras de elegir dos cartas.
Para que la suma sea impar, una carta tiene que ser par y la otra impar. Luego:
De cuántas maneras elijo una carta par
De cuántas maneras elijo una carta impar
Por lo tanto: tengo 5*5 =25 maneras de elegir una carta par y la otra impar, sin importar el orden.
Así, la probabilidad de elegir un par de carta que la suma sea impar es:
b) Como en el segundo caso interesa el orden y es sin sustitución, se usará la permutación.
De cuántas maneras puedo sacar dos cartas de las 10 que hay:
pares.
De cuántas maneras puedo sacar una carta par
De cuántas maneras puedo sacar una carta impar
14
En este caso tendríamos 25 pares en que la primera carta es par y la segunda impar, luego, tendríamos 25 pares más en que la primera carta es impar y la segunda es par, ya que importa el orden como van saliendo las
carta. Por lo tanto. La probabilidad de que la suma sea impar es:
c) En este tercer caso también interesa el orden y es con sustitución, usaremos sólo la multiplicación.
De cuántas maneras puedo sacar dos cartas de las 10 que hay:
10*10 = 100 pares de cartas.
De cuántas maneras puedo sacar una carta par : 5 De cuántas maneras puedo sacar una carta impar: 5
En este caso tendríamos 25 pares en que la primera carta es par y la segunda impar, luego, tendríamos 25 pares más en que la primera carta es impar y la segunda es par, ya que importa el orden como van saliendo las
carta. Por lo tanto. La probabilidad de que la suma
14.- Un banco local revisa su política de tarjetas de crédito, con el objetivo de cancelar algunas de ellas. En el pasado, el 5% de los clientes con tarjeta ha pasado a ser moroso, esto es ha dejado de pagar sin que el banco pudiera recuperar la deuda. Además, el banco ha comprobado que la probabilidad de que un cliente normal se atrase en un pago es de 0.2. Naturalmente, la probabilidad de que un cliente moroso se atrase en un pago es 1.
(a) Identifica y da nombre a los sucesos que aparecen en el enunciado.
Comenzamos identificando el experimento aleatorio. En este caso consiste en elegir al azar a un cliente del banco que tenga tarjeta de crédito y preguntarnos por los siguientes sucesos.
Para un cliente cualquiera decimos que ha sucedido el suceso:M: el cliente es moroso,A : el cliente se ha atrasado en un pago mensual.
Los conjuntos de sucesos {M,Mc } y {A,Ac} son dos sistemas completos de sucesos. A continuación reescribimos los datos que nos proporciona el enunciado en términos de probabilidades.
P(M) = 0.05,
P(A| Mc) = 0.2, P(A|M) = 1.
15
(b) Elegido un clienta al azar, ¿qué probabilidad hay de que el cliente se atrase en un pago mensual?
Es sencillo darse cuenta de que nos piden calcular P(A). Como {M,Mc} es un sistema completo de sucesos, aplicamos la fórmula de la probabilidad total y tenemosP(A) = P(A| Mc)P( Mc) + P(A|M)P(M).De la fórmula anterior, únicamente desconocemos P( Mc), que podemos calcularlo mediante P( Mc) = 1 − P(M) = 1 − 0.05 = 0.95. Por tanto:P(A) = 0.2 × 0.95 + 1 × 0.05 = 0.24.
(c) Si un cliente se atrasa en un pago mensual, calcular la probabilidad de que el cliente acabe convirtiéndose en moroso.
Nos piden calcular la probabilidad de que el cliente se convierta en moroso (suceso M) sabiendo que se ha atrasado en una mensualidad (suceso A); esto es P(M|A). Como {M,Mc} es un sistema completo de sucesos, aplicando el
teorema de Bayes tenemos que
(d) Al banco le gustaría cancelar la línea de crédito de un cliente si la probabilidad de que éste acabe convirtiéndose en moroso es mayor de 0.25. De acuerdo con los resultados anteriores, ¿debe cancelar una línea si un cliente se atrasa en un pago? ¿Por qué?
De acuerdo con el resultado anterior, la probabilidad de que un cliente que se atrasa en un pago acabe convirtiéndose en moroso es 0.2083, que es menor que la probabilidad 0.25 exigida por el banco. Por lo tanto, no debería de cancelarse la cuenta de un cliente que se atrase en un pago.
15.- En el departamento de personal de cierta empresa, se clasifican a los trabajadores en tres segmentos: profesionales, técnicos y administrativos. El primer grupo antes señalado está conformado por 6 personas, el segundo por 10 personas y el tercero por 20. En base a esta información se pide:
Parte I.- Si de esta población se selecciona un trabajador.
a) Identifique el experimento aleatorio y construya un espacio muestral considerando la segmentación.
ε : Se selecciona un trabajador de esta población
Ω = P, T, A
b) Calcular la probabilidad de seleccionar cualquier trabajador.
16
1/36 probabilidad de seleccionar cualquier trabajador de la población.
c) Calcular la probabilidad de seleccionar un trabajador perteneciente al segmento de los administrativos.
B = el trabajador que se selecciona pertenece a los admini.
P(B) = 20/36.
d) Calcular la probabilidad de seleccionar un trabajador que pertenezca el segmento de los profesionales o al segmento de los técnicos ( construya los sucesos, asígneles probabilidades y realice las operaciones que correspondan ).
C = el trabajador elegido pertenece a los profesionales
D = el trabajador elegido pertenece al los técnicos
Dado que los sucesos C y D son mudamente excluyentes, entonces
P ( C Ụ D ) = P( C ) + P ( D) = 6/36 + 10/36 = 16/36
Parte II Si de esta población se eligen dos trabajadores al azar, uno a uno, sin reposición.
a) Identifique el experimento aleatorio y construya un espacio muestral considerando la segmentación.
ε Se seleccionan dos trabajadores al azar , uno a uno.
Ω = ( P,P) (P,T) ( P,A) ( T,T) ( T,A) ( T,P) (A,P) (A,A) (A,T)
b) Calcular la probabilidad de elegir dos trabajadores pertenecientes al
segmento de los técnicos.
17
A = ( T, T)
P( A) = P (T) P(T/T) = (10/36) * (9/35)
c) Calcular la probabilidad de que los dos trabajadores elegidos pertenezcan al mismo segmento.
B = (T,T) ( P,P) ( A,A)
P( B) = P( (T,T) U (P,P) U (A,A) ) = P(T∩T) + P( P∩P) + P( A∩A)=
P(T)*P(T/T) + P(P)*P(P/P) + P(A)*P(A/A) =
(10/36)*(9/35) + ( 6/36)*(5/35) + (20/36)*(19/35)
Si de esta población se eligen tres trabajadores al azar, uno a uno con reposición.
a) Calcular la probabilidad de elegir tres trabajadores que pertenezcan al segmento de los administrativos.
P( A∩A∩A)= P(A)* P(A)*P(A) =( 20/36)*(20/36)*(20/36) = (20/36)3
b) Calcular la probabilidad de que la muestra contenga dos trabajadores que fueron clasificados como profesionales.
E = ( P,P,A) (P,A,P) ( A,P,P) (T,P,P) (P,T,P) (PPT)
P(E) = 3* (20/36)*(6/36)2 + 3*(10/36)*(6/36)2 =
Si de esta población se elige una muestra de 3 trabajadores, en forma simultanea.
a) Determine la probabilidad de que los tres sean administrativos.
F= Los tres trabajadores elegidos son Administrativos
Usando combinatoria 20 36P(F) = C / C = 1140/ 7140 = 0,1597
3 3
18
b) Determine la probabilidad de que los tres pertenezcan a uno de los tres segmentos.
G = ( A,A,A) , ( P,P,P) , ( T,T,T)
P( G) = 0,1597 + 0,016 + 0,0028 = 0,1785
16.- El profesor Pérez olvida poner su despertador 3 de cada 10 días. Además, se sabe que un 31% de las veces, acaba no llegando a tiempo para dar su clase que se inicia a las 8:00 hrs.; mientras que 2 de cada 10 días en los que olvida poner el despertador, llega a tiempo a dar su clase que se inicia a la hora antes señalada.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el profesor Pérez llegue a tiempo a dar su clase de las 8:00 hrs.?
O = el Sr. Pérez olvida poner el despertador
T = el Sr. Pérez llega a tiempo a dictar la clase de las 8:00 hrs.
P( T) = 1- P(T’) 1- 0,31 = 0,69
b) Si un día no ha llegado a tiempo a dar su clase de las 8:00 hrs. ¿qué probabilidad hay de que haya olvidado poner el despertador la noche anterior?
17.- Un estudiante hace dos pruebas en un mismo día. La probabilidad de que pase la primera es 0,6, la probabilidad de que pase la segunda es 0,8 y la de que pase ambases 0,5. Se pide determinar:
19
a) Probabilidad de que pase al menos una prueba.
Llamemos A = {pasar primera prueba} y B = {pasar segunda prueba}. Se nosproporcionan tres probabilidades: P(A) = 0,6, P(B) = 0,8 y P(A B) = 0,5.
P(A B) = P(A) + P(B) + P(A B) = 0,6 + 0,8 0,5 = 0,9
b) Probabilidad de que no pase ninguna prueba.
P(Ac Bc ) = P(A B)c = 1 P(A B) = 1 0,9 = 0,1
c) ¿Son ambas pruebas son sucesos independientes?
P(A B) = 0,5 P(A) · P(B) = 0,6 · 0,8 = 0,48 A y B no son independientes
d) Probabilidad de que pase la segunda prueba en caso de no haber superado laprimera.
P(B/Ac ) =
. Por un lado P(B Ac ) = P(B)- = 0,8 0,5 = 0,3 y por otro lado P(A ) = 1 P(A) = 1 0,6 = 0,4. Así pues
18.- Juan y Pedro lanzan una pelota a un blanco. La probabilidad de que Juan dé en el blanco es 1/3 y la probabilidad de que dé Pedro es 1/4. Supóngase que Juan lanzaprimero y que los dos chicos se van turnando para lanzar:
a) Calcula la probabilidad de que el primer lanzamiento que dé en el blanco sea elsegundo de Juan.
Llamemos A = {Juan da en el blanco} y B = {Pedro da en el blanco}. Entonces
P(A) = y P(B) =
Además los sucesos A y B son independientes pues el hechode Juan dé o no en el blanco no influye para que Pedro dé o no en el blanco.
Debe de ocurrir que Juan, que es el primero que lanza, no dé en el blanco, queluego tampoco dé Pedro y finalmente, en el siguiente lanzamiento, Juan consigadar en el blanco. Este suceso se puede simbolizar así Ac Bc A, cuya
probabilidad es P(Ac Bc A) = P(Ac ) · P(Bc ) · P(A) =
b) ¿Cuál es la probabilidad de que Juan dé en el blanco en el k ésimo lanzamiento antes de que lo haga Pedro?.
Juan dará antes que Pedro si Juan da la primera vez que lanza.
20
En caso contrario solamente dará antes que Pedro si éste falla y a continuación élacierta. En la siguiente tabla vemos las posibilidades:
Lanzamientode Juan
Suceso: Juan da en el blanco antesque Pedro
Probabilidad
1
2
3
4
…..k
Por tanto la probabilidad de que Juan dé en el blanco antes que Pedro debe decalcularse, sumando todos los resultados de la última columna.
19.- Dos profesores comparten un número de teléfono. De las llamadas que llegan, 2/5 son para el profesor A y 3/5 son para el profesor B. Sus ocupaciones docentes les alejan de este teléfono, de modo que A está fuera el 50% del tiempo y B el 25%.
Calcula la probabilidad de estar presente un profesor cuando le llamen.
Sean A = {llamar al profesor A}, B = {llamar al profesor B}, F = {estar fuera}.
El problema ofrece las siguientes probabilidades: P(A) = 2/5 = 0,4, P(B) = 3/5 = 0,6, P(F/A) = 0,5 y P(F/B) = 0,25. De estas dos últimas probabilidades se deduce claramente la probabilidades P( Fc/A) = 0,5 (del tiempo que A está presente) y P( Fc/B) = 0,75 (del tiempo que B está presente).
La probabilidad de estar presente un profesor cuando le llamen se puede representar así:
P[( Fc A) È ( Fc B)] = P( Fc A) + P( Fc B) = P( Fc/A)·P(A) + P( Fc/B)·P(B)= 0,5 · 0,4 + 0,75 · 0,6 = 0,65.20.- La probabilidad de que un sistema se sobrecargue es 0,4 durante cada prueba de un experimento. Calcule la probabilidad de que el sistema deje de funcionar en tres ensayos independientes del experimento, si las probabilidades de fallar en 1, 2 ó 3 pruebas son iguales a 0,2; 0,5 y 0,8, respectivamente.
21
Construir diagrama de árbol
21.- Se sabe que un paciente responderá al tratamiento de una afección en particular con una probabilidad igual a 0,9. Si se trata a tres pacientes en una forma independiente, encuentre la probabilidad de que al menos uno responda al tratamiento.
Como los sucesos son independientes, entonces se puede establecer los siguiente:
21.- Supóngase que dos televisores defectuosos han sido incluidos en un envío de seis televisores. El comprador empieza a probar los seis televisores uno por uno.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre el último televisor defectuoso en la cuarta prueba?
Determinación de casos que cumplen con la condición.
En las tres primeras selecciones hay un televisor defectuoso y en la cuarta está fijo el segundo televisor defectuoso.
Luego, como se van sacando en forma ordenada, entonces consideremos las siguientes situaciones
22
El primer aparato defectuoso elegido aparece en el primer lugar y los otros sin defectos ocupan los otros lugares menos el cuarto.
d b b d b b 1*4*3*1*2*1= 24
El primer aparato defectuoso aparece en el segundo lugar y los otros no defectuosos aparecen en los otros lugares menos el cuarto
b d b d b b 4*1*3*1*2*1 = 24
El primer aparato defectuosos aparece en el tercer lugar y los otros no defectuosos en el resto de lugares menos en el cuarto.
b b d d b b 4*3*1*1*2*1=24 Por lo tanto, se tiene 72 casos que cumplen condición y donde aparecería el mismo defectuoso. Luego como hay dos defectuosos, se tendrían 144 casos en que en la cuarta prueba saldría el segundo TV defectuoso.
Casos posibles al realizar las pruebas
6 * 5* 4* 3* 2* 1 = 720 casos posibles
Por lo tanto: La probabilidad pedida es
b) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya necesidad de probar más de 4 televisores para encontrar los dos defectuosos?
Casos que cumplen condición:
d d b b b b
d b d b b b
d b b d b b
b d d b b b
b d b d b b
b b d d b b
Ahora, los defectuosos tiene que permutarse de lugar y se tendría un total de 12 casos en que ellos ocupan dos de los cuatro primeros lugares.
23
En el caso de los televisores buenos se ordenaría de 24 maneras diferentes en los 4 lugares que no ocupan los defectuosos.
Por lo tanto, se tendría 12*24= 288 casos que cumplen la condición
Así, la probabilidad pedida es:
22.- Para aprobar el examen de Estadística con preguntas de selección múltiple, un alumno debe elegir aleatoriamente 2 preguntas de 6 y contestarlas correctamente. Cada pregunta consta de 5 alternativas, las cuales responde aleatoriamente cuando no sabe la respuesta correcta. Supóngase que antes de dar el examen, el alumno se consigue la respuesta correcta de 4 de las 6 preguntas.
a) Si el alumno contestó correctamente la primera pregunta, calcule la probabilidad que haya sabido la respuesta correcta.
b) Calcule la función de probabilidad del número de respuestas correctas.
Sean los sucesos:
24
S1 : El alumno sabe la respuesta correcta.C1 : El alumno responde correctamente.P(S1) = 2/3 ; P(C1/S1) = 1 ; P(C1/S1
C) = 1/5 ; P(C1C/S1
C) = 4/5Piden: P(S1/C1) = P(S1C1)/P(C1) = ( P(S1)*P(C1/S1) ) / P(C1)
= ( (2/3)*(1) ) / ( 2/3 + 1/3*1/5 )= ( 2/3 ) / ( 11/15 ) = 10/11 0,909090….
23.- El tránsito de las carreteras que unen las ciudades de A, B y C, es como se señala según las flechas del gráfico adjunto. Suponga que en un día lluvioso, las probabilidades que estas carreteras queden inutilizables son las siguientes:
Carretera I II III I y II I y III II y III I, II y IIIProbabilidad 0,40 0,35 0,30 0,25 0,15 0,10 0,05
a) En un día lluvioso una persona de la ciudad “A” desea transitar a la ciudad “B”, y volver el mismo día. ¿Cuál es la probabilidad de que pueda cumplir con su objetivo?
Sean los eventos:I: Carretera de A a C está cortada. II: Carretera de C a B está cortada.III: Carretera de B a A está cortada.a)
25
b) Una persona de la ciudad “C” transita hacia la ciudad “A” cuando se encuentra lloviendo. ¿Cuál es la probabilidad de que este obligado a seguir por el camino que pasa por la ciudad “B”?
24.- Una cadena de tiendas de pintura produce y vende pinturas de látex y esmaltes. Con base en las ventas de largo plazo, la probabilidad de que un cliente compre látex es 75%, que compre esmalte es 60%. De los que compran pintura de látex, 60% compran rodillos para pintar, de los compran esmalte el 70% compra rodillos y de aquellos que compran los dos tipos de pintura solo el 50% compra rodillos. Suponga que una persona que entra a la tienda compra al menos uno de los tipos de pintura.
a)Al observar un cliente al azar, sabiendo que compro un rodillo para pintar, ¿qué probabilidad hay que haya comprado solo pintura látex?
Solución:
1/ Sean los sucesos: L El cliente compra pintura tipo LátexE El cliente compra pintura tipo EsmalteR El cliente compra Rodillos
2/ Datos:
Además, como la persona que entra a la tienda compra por lo menos uno de los tipos de pintura, tenemos que:
3/ Piden
26
4/
Finalmente:
b)Si se observa independientemente a dos personas que ingresan a comprar, ¿qué probabilidad hay que solo uno de ellos compre los dos tipos de pintura?
1/ Sean los sucesos: El cliente k-ésimo compra los dos tipos de pintura; k
= 1, 2
2/
3/ Piden P(sólo uno de los clientes compre los dos tipos de pintura)
P(sólo el cliente 1 ó sólo el cliente 2 compran los dos tipos de pintura)
Por ser sucesos independientes
27
28