PROBLEMAS DE CÁLCULO DE PROBABILIDADES

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Una empresa dispone de 8 empleados (5 hombres y 3 mujeres) para realizar 8 tareas distintas. a) ¿De cuántas maneras se pueden asignar dichas tareas si una persona no puede

realizar más de una tarea? b) ¿De cuántas maneras se pueden asignar dichas tareas si una persona puede

realizar más de una tarea? Si 4 de dichas tareas sólo pueden ser realizadas por hombres: c) ¿De cuántas maneras diferentes pueden ser asignadas en los supuestos a) y b)

anteriores?

Solución a) En este caso se trata de permutaciones sin repetición de 8 elementos dado que

dos agrupaciones sólo se diferencian en el orden. El número de posibles asignaciones es P8 = 8! = 40320.

b) Si una persona puede hacer más de una tarea pueden aparecer elementos repetidos en la asignación y, además, puede haber personas que se queden sin realizar ninguna tarea. Por dichas razones el número de posibilidades son las variaciones con repetición de 8 elementos cuyo número es 8

8VR =88 = 16777216.

c) Suponer que las tareas que sólo pueden realizar hombres son las 4 primeras. En el supuesto a) las otras 4 tareas tendrán que ser realizadas obligatoriamente por 3 mujeres y un hombre por lo que, aplicando la regla fundamental de la combinatoria, el número de posibles asignaciones será 4

45 PV =2880.

En el supuesto b) y aplicando de nuevo la regla fundamental de la combinatoria, el número de posibles asignaciones será 4

845VRVR =5484 = 2560000.

2. En un cruce de una carretera, los automóviles pueden girar a la derecha (D) o a la

izquierda (I) o seguir recto (R). Desde un puesto de observación se registra el sentido de la maniobra de los tres primeros vehículos. a) ¿Cuál es el espacio muestral del experimento? b) Sea A el suceso "a lo más uno de los coches gira a la derecha", B = "todos los

vehículos giran en la misma dirección" y C = "exactamente uno de los coches gira a la derecha". ¿Cuántos sucesos elementales tiene cada suceso?

c) ¿Qué relación existe entre los sucesos B y C?

d) Enunciar y hallar los elementos de los sucesos Bc, A∪C, A∩B, C-B, B∆C, Ac∩Bc

Solución a) El espacio muestral viene dado por todas las tripletas de la forma (w1,w2,w3) con

wi∈{D,I,R}. El número total de elementos es 33VR = 33 = 27

b) El suceso A tiene 32VR + 2

22,1

3 VRPR = 23 + 22!2!1

!3 = 8+3x4 = 20. El suceso B

tiene 3 elementos {(R,R,R),(I,I,I),(D,D,D)} y el C 22

2,13 VRPR = 12 elementos.

c) Son incompatibles d) Bc = “ al menos un vehículo gira en dirección diferente a los demás” y tiene 27-3

= 24 elementos.

A∪C = A ya que C⊆ A

A∩B = {(R,R,R),(I,I,I)} = “los 3 coches giran a la izquierda o continúan recto” C-B = C ya que B y C son incompatibles

B∆C = B∪C al ser B y C incompatibles

Ac∩Bc = dos de los coches giran a la derecha

3. Los 500 trabajadores de una empresa tienen dos semanas de vacaciones pagadas por año. Con el fin de aumentar la productividad la dirección de la empresa realizó una encuesta en las que les preguntó si estaban dispuestos a aceptar una pequeña paga por recortar dichas vacaciones y dejarlas en sólo una semana. La siguiente tabla muestra los resultados obtenidos distinguiendo por sexos

Sexo/Respuesta Si No No contesta Hombres 75 140 30 Mujeres 105 115 35

a) Si se selecciona una persona al azar y resulta ser una mujer ¿cuál es la

probabilidad de que haya contestado que está dispuesta a renunciar a una semana de vacaciones?

b) ¿Son los sucesos “ser mujer” y “estar dispuesta a recortar sus vacaciones” independientes?

c) Se selecciona a dos trabajadores al azar para representar a la empresa en un congreso. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos estén dispuestos a recortar sus vacaciones a cambio de aceptar una pequeña paga?

d) Si los dos trabajadores seleccionados están dispuestos a recortar sus vacaciones, ¿cuál es la probabilidad de que uno sea mujer y el otro un hombre?

Solución Sean H y M los sucesos la persona extraída es hombre o mujer y S, N y NC los sucesos el empleado está dispuesto a recortar sus vacaciones, no está dispuesto y no contesta, respectivamente

a) P(S|M) = =255105 0,4118

b) No porque P(S|M) = 0,4118 ≠ 0,36 = 500180 = P(S)

c) Sea Si = {el i-ésimo trabajador extraído está dispuesto a recortar su paga} i=1,2

Nos piden P(S1∩S2) = P(S1)P(S2|S1) = 499179

500180 = 0,1291

d) Sean Hi y Mi los sucesos el ésimo trabajador extraído es hombre y mujer, respectivamente.

Nos piden P(((H1∩M2)∪(M1∩H2))|(S1∩S2)) = 2 P((H1∩M2)|(S1∩S2)) = 2P(H1|

S1∩S2)P(M2|H1∩S1∩S2) = 2179105

18075 = 0,48883

4.- Para comprobar la experiencia de sus auditores, una compañía importante les manda examinar 25 transacciones, de las cuales 5 tienen algún tipo de error. Si uno de los auditores las selecciona al azar sin reemplazamiento,

a) ¿Cuál es la probabilidad de que seleccione correctamente las 5 transacciones erróneas?

b) ¿Y de que seleccione 2 de las incorrectas?

Solución a) Resolvemos el problema aplicando la regla de Laplace Sea A = “Seleccionar correctamente las 5 transacciones erróneas”

P(A) = =

=

52555

Posibles CasosFavorables Casos 1,88x10-5

También se puede resolver por probabilidad condicionada. En este caso

A = S1∩S2∩S3∩S4∩S5 donde Si = {seleccionar una transacción errónea en la i-ésima extracción}; i=1,…,5 Se tiene que

P(A) = P(S1)P(S2|S1)P(S3|S1∩S2)P(S4|S1∩S2∩S3)P(S5|S1∩S2∩S3∩S4) =

211

222

233

244

255 = 1,88x10-5

b) Resolvemos el problema aplicando la regla de Laplace Sea B = “Seleccionar correctamente 2 de las 5 transacciones erróneas”

P(B) = =

=

525

320

25

Posibles CasosFavorables Casos 0,2146

También se puede resolver por probabilidad condicionada. En este caso

P(B) = 3,25PR P(S1∩S2∩ c

3S ∩ c4S ∩ c

5S ) =

25

2118

2219

2320

244

255

5. Una compañía de seguros del automóvil tiene información de que el 93% de sus clientes que contratan sus seguros tiene cobertura contra robos o de rotura de lunas en su póliza. Además, un 80% tiene cobertura contra robos y un 60% cobertura de rotura de lunas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un nuevo cliente contrate una póliza que tenga ambos tipo de cobertura?

b) Si un cliente contrata un seguro con cobertura contra robos ¿cuál es la probabilidad de que no haya contratado, además, cobertura de rotura de lunas?

c) Se sabe, además, que un 90% de los clientes que contratan un seguro sin ninguna de estas coberturas no tienen accidentes de automóvil, siendo este porcentaje igual a un 80% entre los contratan únicamente una de las dos coberturas e igual a un 70% entre los que contratan ambos tipos de cobertura. Si un cliente ha tenido un accidente ¿cuál es la probabilidad de que tenga ambos tipos de cobertura? Solución Sea R = “Tener cobertura contra robos” y L = “Tener cobertura de rotura de lunas” Nos dicen que P(R∪L)= 0,93, P(R) = 0,8, P(L) = 0,6

a) P(R∩L) = P(R) + P(L) - P(R∪L) = 0,8+0,6-0,93 = 0,47

b) P(Lc|R) = 1- P(L|R) = 1 - ( )80,047,01

)R(PLRP

−=∩ =

80,033,0 = 0,7021

c) Sea A = “Tener un accidente de automóvil” Nos dicen que P(Ac|Rc∩Lc) = 0,90, P(Ac|Rc∩L) = P(Ac|R∩Lc) = 0,80, P(Ac|R∩L) = 0,70 Sabemos, además, que P(R∩L) = 0,47, P(Rc∩L) = P(L)- P(R∩L) = 0,13, P(R∩Lc) = P(R)- P(R∩L)= 0,33, P(Rc∩Lc) = 1-P(R∪L) = 0,07

Nos piden P(R∩L|A) para lo cual aplicamos el Teorema de Bayes Para ello aplicamos previamente el Teorema de la Probabilidad Total P(A) = P(A|R∩L) P(R∩L) + P(A|Rc∩L) P(Rc∩L) + P(A|R∩Lc) P(R∩Lc) + P(A|Rc∩Lc) P(Rc∩Lc) = 0,30x0,47+0,20x0,13+0,20x0,33+0,1x0,07 = 0,24

P(R∩L|A) = ( ) ( )24,0

47,0x30,0)A(P

LRPLR|AP=

∩∩ =0,5875

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. En la asignatura de Estadística, el profesor pide a los alumnos que realicen una serie de trabajos por grupos que a final de curso deberán exponer en clase. Los alumnos se dividen en 7 grupos y el profesor propone 10 trabajos distintos para ser realizados por éstos. a) ¿De cuántas formas distintas se pueden repartir los trabajos entre los grupos,

sabiendo que es posible que varios grupos realicen el mismo trabajo? (Sol. 10000000)

b) ¿Y si se quieren repartir los trabajos evitando que cualquiera de éstos sea realizado por grupos distintos? (Sol. 604800)

c) Al llegar el final del curso, los grupos deben organizarse para exponer los trabajos, y para ello se dispone de 7 tramos horarios distintos. ¿Cuántas formas distintas hay de organizar los turnos para presentar los trabajos? (Sol. 5040)

d) El profesor desea seleccionar dos de los trabajos para ser presentados al premio de investigación de la facultad. ¿Cuántas manteras distintas existen de seleccionar los trabajos que serán presentados a dicho premio? (Sol. 21)

2. En una empresa de 100 empleados (50 hombres y 50 mujeres), se quiere seleccionar

a 4 de ellos para formar parte del comité de empresa a) ¿De cuántas maneras se puede seleccionar dicho comité? (Sol. 3921225) b) Si dicho comité debe estar compuesto necesariamente por 2 hombres y 2 mujer

para salvaguardar la paridad existente en la empresa ¿de cuántas maneras se puede escoger? (Sol. 1500625)

3. Ana va a presentarse al examen de una oposición que consta de 20 temas. Como no

tiene tiempo suficiente de estudiar todos, elige 8, que estudia muy bien. En el examen se sortean 4 temas, de los que Ana debe elegir uno y desarrollarlo. Ana piensa que si le toca alguno de los temas estudiados aprobará ¿Cuál es la probabilidad de que le toque alguno de los temas estudiados? (Sol. 0,8978)

4. Se tienen dos urnas. La primera contiene 6 bolas blancas y 8 negras y la segunda 4

blancas y 12 negras. Se extrae una bola de cada urna. Calcular la probabilidad de que sean del mismo color. (15/28)

5. Una urna A contiene 6 bolas blancas y 3 negras. Otra urna B contiene 7 bolas

blancas y 2 negras. Elegimos una urna al azar y extraemos de ella dos bolas que resultan ser blancas. Hallar la probabilidad de que la urna elegida haya sido la A. Repetir el problema suponiendo que las bolas se extraen con reemplazamiento. (5/12 y 36/85)

6. En un colegio de educación infantil el 10% de los niños practican el patinaje, el 30%

estudian inglés y el 5% realizan las dos actividades. Si se elige un niño al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ni practique patinaje ni estudie inglés? (Sol. 0,65)

7. Un cajón tiene cuatro calcetines negros, seis marrones y dos azules. Se toman dos

calcetines al azar. a. Calcular la probabilidad de que los dos calcetines sean del mismo color. (1/3) b. Si los calcetines elegidos son del mismo color, ¿cuál es la probabilidad de que

sean negros? ¿Y azules? (3/11 y 1/22)

8. Los empleados de una compañía se encuentran distribuidos en 3 divisiones: Administración, Operación de Planta y Ventas. La siguiente tabla indica el número de empleados en cada división, clasificados por sexo.

Divisiones Mujeres (M) Hombres (H) Totales Administración (A) 20 30 50

Operación de Planta (O) 60 140 200 Ventas (V) 100 50 150

Totales 180 220 400 a) Si se elige un empleado al azar

a1) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer? (Sol. 9/20) ¿Y de que trabaje en ventas? (Sol. 3/8) a2) ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre y trabaje en la división de administración? (Sol. 3/40) a3) ¿Cuál es la probabilidad de que trabaje en la Operación de Planta si es mujer? (Sol. 1/3) a4) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer si trabaja en la división de Ventas? (Sol. 2/3)

b) ¿Son los sucesos V y H independientes? (Sol. No) ¿Y los sucesos A y M? (Sol. No)

c) Calcular las siguientes probabilidades: P(A∪M), P(A∩Mc), P(O-H), P(M|A) y P(O∆H) (Sol. 21/40, 3/40, 3/20, 2/5, 7/20)

9. Para evitar discusiones entre sus 9 empleados, un empresario asigna al azar el mes

de vacaciones que disfrutará cada uno de ellos entre tres posibles (Junio, Julio o Agosto). a) ¿Cuál es la probabilidad de que en el mes de Junio haya exactamente 4

trabajadores de vacaciones? (Sol. 0,2048) b) ¿Y de que la empresa tenga que cerrar en Agosto? (Sol. 0,00005) c) ¿Y de que tenga que cerrar alguno de los meses de verano? (Sol. 0,00015)

10. De un estudio realizado en un determinado campus universitario, se sabe que el 35%

de los estudiantes entran al menos una vez a la semana en algunos de los bares del campus y que el 40% de los estudiantes tienen una media de notable o superior. Además, el 30% de los que entran al menos una vez a la semana en los bares del campus tienen una media de notable o superior a) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar entre al menos una

vez a la semana en los bares del campus y tengan una media de notable y superior? (Sol. 0,105)

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar, que tiene una media de notable o superior, entre al menos una vez a la semana en los bares del campus? (Sol. 0,2625)

c) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar entre al menos una vez a la semana en los bares del campus y/o tenga una media de notable o superior? (Sol. 0,645)

d) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar, que tiene una media inferior a notable, no entre en los bares del campus al menos una vez a la semana? (Sol. 0,592)

e) ¿Son los sucesos “entra al menos una vez a la semana en los bares del campus” y “tiene una media de notable o superior” independientes? ¿son mutuamente excluyentes? ¿son colectivamente exhaustivos? (Sol. No. No. No)

11. En un estudio sobre el tamaño de las unidades familiares en una población de 15 familias se extrae una muestra al azar de 5 familias. Se considera que una familia es numerosa si el número de sus miembros es mayor o igual que 5. Si en dicha población el número de familias numerosas es 5: a) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de familias numerosas de la muestra

sea igual a 2 si el muestreo se hace sin reemplazamiento? ¿Y si se hace con reemplazamiento? (Sol. 0,3996 y 0,3292)

b) Suponer que las dos primeras familias de la muestra son numerosas y que el muestreo se ha hecho sin reemplazamiento: ¿cuál es la probabilidad de que las dos siguientes familias a extraer sean numerosas? ¿y de que una sea numerosa y la otra no? (Sol. 1/26; 10/26)

c) De las 15 familias, 8 son católicas y el resto no. En las familias católicas hay 4 familias numerosas. Si se extrae una familias al azar y resulta ser una familia numerosa ¿cuál es la probabilidad de que dicha familia sea católica? (Sol. 0,8)

12. Un avión trimotor tiene tres motores: uno central y dos motores laterales situados en cada ala. El avión se estrellará si falla el motor central y al menos uno de los dos motores laterales. La probabilidad de que ocurra un fallo en el motor central en un vuelo es igual a 0,5% y la de que falle un motor lateral es un 0,8%. Suponiendo que los tres motores funcionan independientemente uno de otro a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un vuelo dado el avión se estrelle? (Sol.

0,007968%) b) Si un avión se ha estrellado ¿cuál es la probabilidad de que dicho fallo se deba a

que uno y sólo uno de los dos motores laterales ha fallado? (Sol. 99.6%) c) Si una persona realiza 100 vuelos al año en aviones trimotores ¿cuál es la

probabilidad de que no se estrelle en un año dado? (Sol. 99.21%) 13. Una empresa solicita un informe a cuatro asesores financieros distintos sobre la

conveniencia de adquirir un determinado paquete de acciones. Consideremos los sucesos

A = ‘El primer asesor aconseja la compra de las acciones’ B = ‘El segundo asesor aconseja la compra del paquete de acciones’ C = ‘El tercer asesor aconseja la compra del paquete de acciones’

Expresar en función de los anteriores y como unión de sucesos disjuntos los siguientes sucesos: i) Los tres asesores aconsejan la compra del paquete de acciones (Sol. A∩B∩C) ii) Exactamente dos de los asesores emiten un informe favorable a la compra de

dichas acciones (Sol. A∩B∩Cc ∪ A∩Bc∩C ∪ Ac∩B∩C) iii) Al menos dos de los asesores aconsejan la adquisición (Sol. D = A∩B∩Cc ∪

A∩Bc∩C ∪ Ac∩B∩C ∪ A∩B∩C) iv) No más de un asesor aconseja la compra (Sol. Dc ) v) Por lo menos uno de los asesores emiten un informe favorable (Sol. A∪B∪C)

14. Una empresa recibe semanalmente pedidos de uno de sus clientes. Se dispone de la siguiente información acerca del tipo de productos que solicita: el 25% de las ocasiones incluye en su pedido el producto A, el 40% de las veces el producto B, y en el 15% de los pedidos se solicitan los dos productos (A y B). Calcular la probabilidad de que la semana próxima este cliente solicite: i) alguno de los dos productos (Sol. 0,5) ii) el producto A y no el B (Sol. 0,10) iii) el producto A o no solicite el B (Sol. 0,75)

15. Una entidad financiera está estudiando la posibilidad de ofertar un par de productos de inversión novedosos a sus clientes. Tras realizar un estudio de mercado la entidad estima que 2/5 de sus clientes contratarán el producto A, y que 1/3 contratarán el producto B. No contratarán ninguno de los dos una tercera parte de los clientes. Al llegar un cliente a la sucursal, obtener la probabilidad de los siguientes sucesos: i) El cliente contrate alguno de los dos nuevos productos (Sol. 2/3) ii) El cliente contrate los dos productos de inversión (Sol. 1/15) iii) El cliente contrate uno solo de los dos productos (Sol. 3/5) iv) Si había decidido contratar el producto B, que no contrate el producto A (Sol.

4/5) v) Un cliente que ha contratado el producto A, no contrate el B (Sol. 5/6)

16. Una compañía de tarjetas de crédito encuentra que el 50% de quienes poseen la tarjeta cubren totalmente sus deudas mensualmente. i) Seleccionados al azar dos usuarios, determina la probabilidad de que ambos

paguen totalmente su deuda ese mes. (El número de personas que poseen la tarjeta es tan grande que no es necesario preocuparse de que la selección se haga con reemplazo o sin él) (Sol. ¼)

ii) Seleccionado un usuario al azar, ¿cuál es la probabilidad de que dicha persona pague totalmente sus deudas en dos meses consecutivos? (Sol. ¼)

iii) ¿En qué hipótesis te apoyaste para responder a los dos apartados anteriores? ¿Te parece alguna de ellas irrazonable? (Sol. Independencia entre deudas. En ii) no es razonable dado que se trata del mismo usuario)

iv) Un examen más detallado de los registros de la compañía muestra que el 90% de los clientes que pagan totalmente una cuenta mensual también lo hacen al mes siguiente y que sólo el 10% de los que no pagan totalmente en un mes cubren totalmente su deuda al mes siguiente. Calcular, en este caso, la probabilidad pedida en el apartado ii). (Sol. 0,45)

v) En las hipótesis de iv) determinar la probabilidad de que un cliente seleccionado al azar no pague totalmente ninguna de las dos cuentas mensuales consecutivas. (Sol. 0,45)

vi) En las mismas hipótesis obtén la probabilidad de que sólo pague una de las dos cuentas (Sol. 0,10)

17. Un departamento de compras encuentra que el 75% de sus pedidos especiales se reciben a tiempo. De los pedidos que se reciben a tiempo, el 80% cumple totalmente las especificaciones; de los que se reciben con retraso, el 40% no cumple las especificaciones. i) Calcular la probabilidad de que un pedido llegue a tiempo y cumpla las

especificaciones (Sol. 0,60) ii) Calcular la probabilidad de que un pedido cumpla las especificaciones (0,75) iii) Si se han recibido cuatro pedidos, calcular la probabilidad de que los cuatro

cumplan las especificaciones (Sol. 0,3164) 18. Un proveedor de ordenadores seleccionó un grupo de 10000 discos e intentó darles

un formato para una máquina en particular. Encontró que había 8847 discos en perfecto estado, 1128 discos que eran utilizables pero tenían sectores dañados y 25 discos que no se podían utilizar. i) ¿Cuál es la probabilidad de que un disco elegido al azar no esté en perfecto

estado? (Sol. 0,1153) ii) Si el disco no está en perfecto estado, ¿cuál es la probabilidad de que no se

pueda utilizar? (Sol. 0,0217)

19. La experiencia indica que alrededor del 10% de los nuevos espectáculos para la televisión se sitúan durante el primer año en el tercio superior de las preferencias del público, cerca del 40% lo hacen en el tercio de en medio y alrededor del 50% en el tercio inferior. Entre los nuevos espectáculos que se ubican en el tercio superior, sólo el 2% de ellos son suspendidos, al igual que el 40% de los que se ubican en el tercio medio y el 85% de los que se ubican en el tercio inferior. i) Calcular la probabilidad de que un nuevo espectáculo sea suspendido (Sol.

0,587) ii) Calcular la probabilidad de que un espectáculo suspendido sea de los ubicados

en el tercio inferior (Sol. 0,724) iii) ¿Se está suponiendo que situación y suspensión son independientes? ¿Qué

significaría independencia en este contexto? (Sol. No. Que lo que ocurre en el primer año es irrelevante para el futuro del espectáculo)

20. En una compañía, los jefes clasifican a los gerentes subalternos según su

rendimiento y capacidad directiva. Las evaluaciones correspondientes al rendimiento son 18% excelente, 71% satisfactorio y 11% insatisfactorio, mientras que las evaluaciones correspondientes a la capacidad directiva son 24% clara, 40% posible y 36% improbable. i) Calcular la probabilidad de que a un gerente subalterno seleccionado al azar le

hayan otorgado la calificación de excelente en la escala del rendimiento y la de clara en la escala de la capacidad directiva (Sol. 0,0432)

ii) ¿Qué hipótesis hiciste al contestar al apartado anterior? ¿Son razonables? Si no lo son, ¿es más factible que la probabilidad que calculaste sea muy alta o muy baja? (Sol. Independencia. No. Baja al ser la relación directa)

21. Cuando el proceso de fabricación de una empresa se encuentra bajo control, el 5%

de las unidades producidas son defectuosas. Si el proceso se encuentra fuera de control, se producen un 30% de unidades defectuosas. La probabilidad de que el proceso se encuentre bajo control es 0,92. Elegida una unidad de forma aleatoria y resultando ser defectuosa, determina la probabilidad de que el proceso de producción se encuentre bajo control. (Sol. 0,6571)

22. En el jardinero del Sr. Rodríguez no se puede confiar. La probabilidad de que olvide

regar el Rosal si no está el Sr. Rodríguez es de 2/3. El Rosal esta en un estado crítico: si se le riega, tiene igual probabilidad de secarse que de progresar; pero solo 0,25 de probabilidad de progresar si no se le riega. 1) Si al regreso del Sr. Rodríguez se encuentra el Rosal seco ¿cuál es la

probabilidad de que el jardinero no lo haya regado? (Sol. 0,75) 2) Para evitar estos percances el Sr. Rodríguez ha instalado 2 sistemas

independientes riego de modo que, si uno de estos sistemas falla, el suministro de agua está asegurado. Si suponemos que probabilidad de que el sistema 1 funcione es 0,9; mientras que la probabilidad de que funcione el sistema 2 es 0,8. a) Encontrar la probabilidad de que ningún sistema se estropee (Sol. 0,72) b) Encontrar la probabilidad de que los dos sistemas se estropeen (Sol. 0,02) c) Encontrar la probabilidad de que al menos un sistema funcione (Sol. 0,98)

23. Una entidad financiera ofrece dos productos (A y B) a un cliente. Se sabe que: (i) la probabilidad de que el cliente contrate el producto B es 6/11; (ii) la probabilidad de que no contrate ninguno de los dos productos es 2/11 y (iii) la probabilidad de que contrate sólo uno de los dos productos es 7/11. Determinar:

a) La probabilidad de que el cliente contrate alguno de los dos productos (Sol. 9/11)

b) La probabilidad de contrate los dos productos (A y B) (Sol. 2/11) c) La probabilidad de que contrate B si ha contratado A (Sol. 2/5) d) La probabilidad de que contrate A y no contrate B (Sol. 3/11) e) La probabilidad de que no contrate A si no ha contratado B (Sol. 2/5)

24. Se ha comprobado que el 48% de las empresas de un sector tienen errores en sus

activos y en sus pasivos financieros y que el 60% de las empresas que tienen errores en sus pasivos también lo tienen en sus activos. Si se elige al azar una empresa, a) ¿qué probabilidad hay de que no tenga errores en los pasivos? (Sol. 1/5) b) Si el 60% de las empresas tienen errores en sus activos ¿qué probabilidad hay de

que una empresa elegida al azar no tenga errores ni en sus activos ni en sus pasivos financieros? (Sol. 0,08)

25. Una empresa solicita un conjunto de productos a 3 proveedores (A, B y C). Las

probabilidades de que los pedidos no lleguen a tiempo son 1/5, 1/4 y 1/3 respectivamente para cada uno de los proveedores, y los sucesos 'El pedido solicitado al proveedor i-ésimo no llega a tiempo' son mutuamente independientes. Calcular la probabilidad de que: a) no llegue a tiempo ninguno de los productos (Sol. 1/60) b) alguno no llegue a tiempo (Sol. 3/5) c) exactamente uno no llegue a tiempo (Sol. 13/30)

26. En una universidad en la que sólo hay estudiantes de Arquitectura, Ciencias y Letras

terminan la carrera el 5% en Arquitectura, el 10% en Ciencias y el 20% en Letras. Se sabe que el 20% del total estudian Arquitectura, el 30% Ciencias y el 50% Letras. Elegido un alumno al azar, determinar: a) Probabilidad de que sea de Arquitectura y haya terminado la carrera. (Sol. 0,01) b) Probabilidad de que haya terminado la carrera. (Sol. 0,14) c) Sabiendo que ha terminado la carrera, probabilidad de que sea de Arquitectura.

(Sol. 1/14) d) Sabiendo que ha terminado la carrera, probabilidad de que no sea de

Arquitectura. (Sol. 13/14) e) Sabiendo que no ha terminado la carrera, probabilidad de que sea de

Arquitectura. (Sol. 19/86) 27. La probabilidad de que un artículo provenga de una fábrica F1 es de 0,6 y la

probabilidad de que provenga de una fábrica F2 es 0,4. La primera produce artículos defectuosos con probabilidad 0,01 y la segunda, con 0,05. a) Se observa un artículo y resulta defectuoso. Calcular la probabilidad de que

provenga de la primera fábrica. (Sol. 3/13) b) Si llegan dos artículos defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de que provengan de

la segunda fábrica? (Sol. 100/169)

28. Una empresa que produce bombillas halógenas las vende a sus clientes en paquetes de 20 unidades. Un cliente puede devolver el paquete al fabricante si en dicho paquete aparecen dos o más bombillas defectuosas (no se encienden). En principio el fabricante piensa en revisar todas las bombillas de cada paquete. Sin embargo, para abaratar costes decide hacer lo siguiente: examina solo 10 bombillas y si no encuentra ninguna defectuosa procede a darlo por correcto. Si un paquete tiene dos bombillas defectuosas, ¿cuál es la probabilidad de que el fabricante lo considere correcto? (Sol. 9/38)

29. A los 65 años la probabilidad de que una persona sea miope es 0,35, la probabilidad de que tenga cataratas es 0,25 y la de que sea miope y tenga cataratas es 0,15. a) Calcular la probabilidad de que a los 65 años una persona sea miope o tenga

cataratas. (Sol. 0,45) b) Calcular la probabilidad de que a los 65 años una persona o bien tenga miopía o

bien tenga cataratas. (Sol. 0,30) c) Si a los 65 años una persona tiene cataratas, ¿cuál es la probabilidad de ser

miope? (Sol. 0,60) d) ¿Son independientes estos dos sucesos? (Sol. No)

30. La probabilidad de que una persona tenga una enfermedad contagiosa es 0.01. Para determinar si un paciente ha contraído esa enfermedad se puede realizar un test. Si una persona está enferma, el test resulta positivo en el 95% de los casos. Pero si la persona en estudio está sana, el test puede dar positivo en un 0.1% de los casos.

a. Se ha realizado el test a un paciente y el resultado ha sido positivo, ¿cuál es la probabilidad de que tenga la enfermedad? (90,56%)

b. Se ha realizado el test a un paciente y el resultado ha sido negativo, ¿cuál es la probabilidad de que tenga la enfermedad? (0,051%)

31. La empresa UNIZAR PIZZA ha tenido mucho éxito con su forma novedosa de fabricar y vender pizzas a los estudiantes de la Universidad de Zaragoza. Con el fin de mejorar sus ventas, UNIZAR PIZZA planea introducir la venta de Lasañas en la Universidad y decide, para ello, contratar los servicios de un profesor de la Facultad de Economía y Empresa para que lleve a cabo un estudio de mercado con los estudiantes de la Universidad con el fin de conocer sus gustos respecto a este tipo de productos. En base a su experiencia, la empresa clasifica la condición del mercado en favorable o desfavorable a dicho producto, estableciendo que existe una probabilidad de que el mercado sea favorable igual a un 45%. Además, por experiencias de otras empresas con estudios de mercado similares al que se va a realizar, UNIZAR PIZZA ha comprobado que en mercados favorables a las Lasañas, los resultados del estudio fueron positivos en un 60% y por el contrario, si el mercado es desfavorable, los resultados fueron positivos en un 40% de las veces.

a) ¿cuál es la probabilidad de que el profesor obtenga un resultado positivo a la venta de Lasañas? (0,49) b) Si, una vez llevado a cabo el estudio del mercado, el profesor comunica a la empresa un resultado positivo, ¿cuál es la probabilidad de que el mercado universitario de Zaragoza sea favorable a la venta de Lasañas? (27/49)

32. El ayuntamiento de una ciudad ha realizado un estudio sobre el gasto energético de los hogares. De este estudio, se desprende que un 60% de los hogares tiene secadora, que un 75% de los hogares tiene aire acondicionado y que un 50% de los hogares tiene las dos cosas (secadora y aire acondicionado). a) Si escogemos un hogar al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga ni secadora ni aire acondicionado? (0,15)

b) Si escogemos un hogar al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga aire acondicionado pero no secadora? (0,25) c) Si escogemos un hogar al azar de entre los que tienen secadora, ¿cuál es la probabilidad de que también tenga aire acondicionado? (0,8333) d) Si escogemos 3 hogares al azar (con reemplazamiento), ¿cuál es la probabilidad de que los tres tengan secadora? (0,216) e) Si escogemos 3 hogares al azar (con reemplazamiento), ¿cuál es la probabilidad de que 1 tenga aire acondicionado y 2 no? (0,141) f) Se sabe que de los hogares que tienen aire acondicionado, un 80% paga más de 100 euros en su factura de electricidad del mes de julio, mientras que de los hogares que no tienen aire acondicionado, un 30% paga más de 100 euros en su factura de electricidad de julio. Si escogemos un hogar al azar, ¿cuál es la probabilidad de que pague más de 100 euros en la factura de electricidad de julio? (0,675) g) Elegimos un hogar al azar y vemos que paga más de 100 euros en su factura de electricidad de julio. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga aire acondicionado? (0,889)

33. Una cadena de supermercados clasifica a sus tiendas como rurales o urbanas, dependiendo de su ubicación. El 30% de sus tiendas son rurales y el resto urbanas. En el año 2014, un 80% de sus tiendas rurales obtuvo beneficios, mientras que solo un 60% de sus tiendas urbanas obtuvo beneficios. a) Si escogemos una tienda al azar de la cadena, ¿cuál es la probabilidad de que sea una tienda urbana con beneficios en 2014? (0,42) b) Si escogemos una tienda al azar de la cadena, ¿cuál es la probabilidad de que haya obtenido beneficios en 2014? (0,66) c) Si escogemos una tienda al azar de entre las que han obtenido beneficios, ¿cuál es la probabilidad de que sea una tienda rural? (0,367) d) Si escogemos cuatro tiendas al azar de la cadena (con reemplazamiento), ¿cuál es la probabilidad de que todas sean urbanas? (0,2401) e) Si escogemos cuatro tiendas al azar de la cadena (con reemplazamiento), ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas sea rural? (0,7599) f) Si escogemos cuatro tiendas al azar de la cadena (con reemplazamiento), ¿cuál es la probabilidad de que una de ellas sea rural y las otras tres urbanas? (0,4116)

34. (Junio 2012 GADE) A) (7 ptos) La probabilidad de que un estudiante apruebe Matemáticas es 0.4. La

probabilidad de aprobar Economía es 0.5 y la probabilidad de aprobar las dos simultáneamente es 0.2. Calcular:

1. La probabilidad de aprobar Matemáticas o Economía (0,7) 2. Probabilidad de aprobar Matemáticas sabiendo que ha aprobado Economía.

(0,4) 3. La probabilidad de aprobar sólo una de las dos (0,5) 4. La probabilidad de no aprobar ninguna de las dos (0,3)

B) (8 ptos) En un examen final entran 14 temas. Por sorteo se sacan dos temas, de los cuales hay que desarrollar uno cualquiera. ¿Cuál es la probabilidad de aprobar de una persona que sólo se ha preparado 5 temas? ¿Y si se sacan tres temas? (55/91 y 10/13)

35. (Septiembre 2012 GADE) A) (5 ptos) En una biblioteca se etiquetan los libros utilizando un código de cinco

símbolos, de los cuales los dos primeros son letras y los tres últimos son tres dígitos del 0 al 9. Suponiendo que hay 27 letras,

1. Calcular cuántos libros podrán etiquetarse como máximo (729000) 2. ¿Y si las letras no pueden repetirse? (702000) 3. En el caso (i), ¿cuál es la probabilidad de que, cogiendo dos libros al azar, los

dos libros tengan las letras “H” y “J” en la etiqueta? (Sin Reemplazamiento: 7,523x10-6. Con reemplazamiento: 7,5267x10-6).

B) (10 ptos) En un sistema de alarma, la probabilidad de que haya un incidente es 0,1. Si éste se produce, la probabilidad de que la alarma suene es 0,95. La probabilidad de que suene la alarma sin que haya incidente es 0,03. Si ha funcio-nado la alarma, calcula la probabilidad de que no haya habido incidente. (0,221)

36. (Junio 2013 GADE) Una empresa que debe decidir si adquiere un determinado paquete de acciones, solicita un informe a dos asesores para que se pronuncien de forma favorable o desfavorable a la compra. Por experiencias anteriores en operaciones similares, se sabe que los dos asesores tienen actitudes ante el riesgo diferentes e independientes. Esta situación se refleja en las probabilidades de aconsejar la compra de este tipo de operaciones, que son respectivamente 0,8 y 0,4. Con esta información a priori: A) (5 puntos) Calcular la probabilidad de que sólo uno de los asesores aconseje el

paquete de acciones. (0,56) B) (5 puntos) Calcular la probabilidad de que ninguno de ellos aconseje adquirir el

paquete de acciones. (0,12) Uno de los consultores sabe que en el plazo de una semana la situación puede cambiar de forma radical y plantea dos informes (uno antes de esa fecha y otro después). La empresa no tiene claro cuando tomar la decisión de la compra de acciones, aunque se inclina más por tomar la decisión antes de esa fecha (con un 80% de posibilidades) que después (con un 20 % de probabilidades). Si se sabe que el informe del consultor tiene un 40 % de probabilidades de ser favorable antes de la fecha, y un 35 % después de ella: C) (10 puntos) Calcular la probabilidad de que la empresa compre las acciones

antes de la semana si tiene el informe favorable del consultor. (0,82)

37. (Septiembre 2013 GADE) Un fabricante de lavavajillas cuenta con dos proveedores de un componente electrónico. Dichos proveedores suministran sus componentes con unas garantías del 90% y el 93%, respectivamente y a partes iguales. Recientemente, el fabricante ha derivado el 70% de sus necesidades a un tercer proveedor (el resto se suministra a partes iguales por los proveedores antiguos) que, aunque a un precio más elevado, garantiza un 97% de componentes correctos. A) (5 puntos) Al montar un componente cualquiera, ¿cuál es la probabilidad de que

resulte inservible o defectuoso? (0,0465) B) (5 puntos) Un componente que es no defectuoso, ¿qué probabilidad tiene de

haber sido suministrado por el nuevo proveedor? (0,712)

C) (5 puntos) Los componentes del nuevo proveedor se examinan extrayendo dos componentes al azar de una muestra de 10. ¿De cuántas formas diferentes pueden seleccionarse? (45)

D) (5 puntos) Un lote de 20 componentes del nuevo proveedor se acepta si al extraer dos componentes se observa que ambos son correctos. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar un lote, suponiendo que en él hay un único componente defectuoso? (0,9)

38. (Junio 2014 GADE) De los equipos que han sido campeones del mundo de fútbol en todos los tiempos, el 30% tenían como primera lengua el castellano y el 60% eran europeos. Además el 20% de los equipos europeos hablaban castellano. Seleccionado al azar un equipo campeón del mundo:

A) (3 puntos) Calcular la probabilidad de que fuera europeo y tuviera como primera lengua el castellano. (0.12)

B) (3 puntos) Si tuviera como primera lengua el castellano, calcular la probabilidad de que fuera europeo. (0.4)

C) (3 puntos) Calcular la probabilidad de que fuera europeo o tuviera como primera lengua el castellano. (0.78)

D) (3 puntos) Calcular la probabilidad de que no sea europeo y no tuviera como primera lengua el castellano. (0.22)

Para elegir al trío arbitral del partido inaugural del próximo campeonato de fútbol hay disponibles 6 árbitros europeos y 14 no europeos. Calcular la probabilidad de que en el trío arbitral:

E) (7 puntos) haya al menos un árbitro europeo. (0.6807) F) (6 puntos) haya al menos un árbitro europeo y uno no europeo. (0.6632)

39. (Septiembre 2014 GADE) En las pasadas elecciones europeas se entrevistó a la salida de los colegios electorales a personas de diferentes edades acerca de su voto. En la siguiente tabla se muestran los datos obtenidos de las personas que respondieron:

Edad Partido PESO PAPA PUEDO < 25 años 3 3 4

25 a 50 años 14 10 10 > 50 años 3 12 1

Seleccionada al azar una de las personas que respondieron a la encuesta, calcular: A) (5 puntos) La probabilidad de que tuviera menos de 25 años o hubiera

votado al partido “PUEDO” (0.35) B) (5 puntos) La probabilidad de que hubiera votado al partido “PAPA” y

tuviera más de 25 años. (0.366) C) (5 puntos) La probabilidad de que tuviera menos de 50 años si votó a

“PUEDO”. (0.933) D) (5 puntos) La probabilidad de que ó tuviera menos de 50 años ó no hubiera

votado a “PESO”. (0.5) E) (5 puntos) ¿Son los sucesos “Tener menos de 25 años” y “Haber votado a

PUEDO” independientes? ¿E incompatibles? (No. No)

40. (Junio 2015 GADE) Una empresa de telecomunicaciones, Mobicuo, comercializa sus servicios con la oferta MOBICUO FUSION, en la que el cliente personaliza su producto eligiendo entre los módulos “Móvil”, “Fibra” y “TV”.

A) (15 puntos) Mobicuo ha estudiado a sus clientes y ha obtenido que un 55% de sus clientes tiene “Fibra”, un 25% de los clientes tienen contratado “Fibra” pero no “Móvil”, si además, un 80% de los clientes tiene Móvil o Fibra: i) (3 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente tenga “Móvil” y

“Fibra”? (0.3) ii) (3 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente tenga “Móvil”? (0.55)

iii) (3 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente tenga únicamente “Móvil” o únicamente “Fibra”? (0.4)

iv) (3 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que tiene “Fibra” tenga también contratado “Móvil”? (0.5455)

v) (3 puntos) Además un 20% de los que tienen “Fibra” contratado tienen también “TV”. ¿Cuál es la probabilidad de contratar “Fibra” y “TV”? (0.11)

B) (10 puntos) El Call Center de Mobicuo está formado por 12 personas: 3 expertos en el plan INTEGRAL, 2 expertos en el plan MOVILIDAD y 7 expertos en el plan FIBRA. Si se realizan turnos de descanso de 6 personas que se asignan al azar (6 personas se quedan trabajando siempre), i) (5 puntos) ¿cuál es la probabilidad de que durante un turno de descanso no

quede trabajando ningún experto en el plan INTEGRAL? (0.0909) ii) (5 puntos) ¿Y la de que haya exactamente 2 expertos de cada uno de los

planes? (0.0682)

41. (Septiembre 2015 GADE) En un colegio donde solo se practican dos deportes se conoce la siguiente información: todos los alumnos deben estar apuntados a, al menos un deporte; el 80% del alumnado practica el deporte α y el 50 % practica el deporte β. Con esta información contesta a las siguientes cuestiones:

A) (6 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno juegue a los dos deportes? (0.3)

B) (4 puntos) ¿Y de que juegue al deporte α, pero no al deporte β? (0.5) Una empresa dispone de 3 máquinas (A, B y C) para la fabricación de una determinada pieza (ROJA). Dicha pieza se puede fabricar indistintamente en cualquiera de las 3 máquinas. Además, se sabe que la tasa de fallos (“probabilidad de que una máquina produzca una pieza defectuosa”) en cada máquina es del 3%, 4% y 5%, respectivamente.

C) (7 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar una de las piezas fabricadas y resulte ser defectuosa? (0.04)

D) (4 puntos) Calcular la probabilidad de que dicha pieza fuera fabricada en la máquina A. (0.25)

E) (4 puntos) La empresa también fabrica piezas VERDES. Un lote está compuesto por 10 piezas, 6 ROJAS y 4 VERDES; si se seleccionan al azar 4 piezas, ¿cuál es la probabilidad de que haya 3 ROJAS y 1 VERDE? (0.38)

42. (Junio 2016 GADE) En una localidad se está sufriendo un brote de gripe. Con los datos de años anteriores, los servicios de prevención sanitaria, estiman que la probabilidad de sufrir una gripe durante la pandemia es de 0,4. Sin embargo también es posible que contraigan un resfriado común con una probabilidad de 0,3. La probabilidad de contagiarse simultáneamente de ambas enfermedades es de sólo 0,15. A) (12 puntos) Calcula las siguientes probabilidades:

i. (3 puntos) Que una persona sufra alguna de las dos enfermedades (0.55) ii. (3 puntos) Que una persona sufra sólo una de las dos enfermedades (0.4)

iii. (3 puntos) Que una persona con resfriado sufra también gripe (0.5) iv. (3 puntos) Que no sufra ninguna de las dos enfermedades (0.45)

B) (13 puntos) Si una empresa de esta localidad dispone de una plantilla de 8 empleados:

i. (3 puntos) Calcula la probabilidad de que todos los empleados tengan gripe (0.48 = 0.0065536)

ii. (2 puntos) ¿Qué hipótesis has utilizado para resolver la pregunta anterior? ¿se puede considerar correcta dicha hipótesis? (Independencia de sucesos)

iii. (4 puntos) Calcula la probabilidad de que al menos un empleado tenga gripe (0.9832)

iv. (4 puntos) Calcula la probabilidad de que al menos dos empleados tengan gripe (0.8936)

43. (Septiembre 2016 GADE) A) (15 puntos) Se llama fiabilidad de un componente electrónico a la probabilidad de que funcione correctamente. Supongamos que un sistema está formado por tres componentes A, B y C que funcionan independientemente, cuyas fiabilidades son 0,9; 0,95 y 0,8, respectivamente.

i. (3 puntos) Calcula la probabilidad de que A y C funcionen correctamente. ¿Qué propiedades empleas? (0.72)

ii. (3 puntos) Calcula la probabilidad de que funcionen correctamente las tres piezas. (0.684)

iii. (3 puntos) Calcula la probabilidad de que no funcionen ninguna de las tres. (0.001)

iv. (3 puntos) Calcula la probabilidad de que al menos una de las tres piezas

funcione correctamente. (0.999) v. (3 puntos) Calcula la probabilidad de que funcione A, sabiendo que funciona

B. (0.9)

B) (10 puntos) Por otra parte, se conoce que si el componente A falla, el sistema queda inutilizado con una probabilidad de 0,75. En caso de que el componente A funcione correctamente, el sistema sólo queda inutilizado con una probabilidad de 0,01.

vi. (5 puntos) Calcular la probabilidad de que el sistema quede inutilizado. (0.084)

vii. (5 puntos) Calcular la probabilidad de que haya fallado A, sabiendo que el sistema ha quedado inutilizado. (0.893)

44. (Febrero 2013 DADE) Se sabe que, en un región, el 20% de todas las explotaciones agrícolas tiene más de 160 acres y que el 60% pertenece a personas de más de 50 años. El 55% de todas las explotaciones agrícolas de más de 160 acres es propiedad de personas de más de 50 años. A) ¿Cuál es la probabilidad de que una explotación agrícola seleccionada al azar

en esta región tenga más de 160 acres y sea propiedad de una persona de más de 50 años? (0,11)

B) ¿Cuál es la probabilidad de que una explotación agrícola de esta región, propiedad de una persona de más de 50 años, tenga más de 160 acres? (0,1833)

C) Para recoger la cosecha de unas explotaciones hay que formar una cuadrilla en la que debe haber dos capataces y cuatro peones seleccionados de un total de 5 posibles capataces y 6 posibles peones. El hermano de uno de los posibles capataces, es peón. Si la cuadrilla se selecciona al azar ¿cuál es la probabilidad de que sean seleccionados los dos hermanos? (0,2667) ¿y de que no sea seleccionado ninguno? (0,20)

45. (Junio 2013 DADE) En el comedor de un campus universitario se observó que el 35% de todos los clientes pedía platos calientes y el 50% eran estudiantes. Además, el 25% de todos los clientes que eran estudiantes pedía platos calientes.

A) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente seleccionado al azar fuera estudiante y pidiera platos calientes? (0,125)

B) Si un cliente seleccionado al azar pedía platos calientes, ¿cuál es la probabilidad de que fuera estudiante? (0,3571)

Se sabe, además, que el 20% de los estudiantes de dicho campus estudia únicamente Ingeniería, el 25% únicamente Economía y el resto otras carreras. Además el 40% de los que estudian únicamente Ingeniería, el 60% de los que estudian únicamente Economía y el 30% de los que estudian otras carreras se piden flan de postre. Elegido un estudiante al azar:

C) ¿Cuál es la probabilidad de que pida flan de postre? (0,395) D) Si un estudiante no ha pedido flan de postre ¿cuál es la probabilidad de que

estudie únicamente Economía? (0,165) E) Se quiere elegir un subcomité de 3 miembros de un comité de estudiantes

compuesto por 8 estudiantes de grado y 4 de doctorado. Si la elección se hace al azar ¿cuál es la probabilidad de que haya al menos un estudiante de doctorado en el comité? (0,7455)

46. (Febrero 2014 DADE) Una entidad desea promocionar el uso de una tarjeta de crédito para lo que realiza un estudio sobre un grupo de clientes para los que mide el número de otros servicios que dichos clientes tienen contratados así como si tienen o no contratada la tarjeta de crédito que el banco quiere promocionar. En la tabla siguiente se muestran los datos:

Nº servicios contratados No tienen la tarjeta Sí tienen la tarjeta 2 o menos 8 2 Entre 3 y 5 18 16

6 o más 8 8

A) Seleccionado un cliente al azar, calcula la probabilidad de que:

i) Tenga contratados 2 o menos servicios o no tenga tarjeta (0,6) ii) O tenga contratados 6 o más servicios o tenga tarjeta (0,433) iii) Tenga contratados 3 o más servicios si no tiene tarjeta (0,765) iv) No tenga tarjeta si tiene contratados 3 o más servicios (0,52)

B) Si se seleccionan 4 clientes al azar, cuál es la probabilidad de que al menos uno tenga contratada la tarjeta de crédito. (0,9049)

C) ¿Son los sucesos ‘contratar entre 3 y 5 servicios’ y ‘tener la tarjeta’ independientes? (No) ¿E incompatibles? (No)

47. (Junio 2014 DADE) El proceso de producción de una fábrica depende del funcionamiento de dos máquinas A y B. La experiencia indica que en un mes dado, la probabilidad de que falle la máquina A es de 1/3, la de que falle la máquina B es de 1/4 y la de que fallen las dos, 1/6. A) El gerente quiere saber para el próximo mes, cuáles son las probabilidades de:

i) Que falle alguna de las dos máquinas (5/12) ii) Que falle una sola de las dos máquinas (1/4) iii) Que no falle ninguna de las dos máquinas (7/12) iv) Que si falla la máquina B, no falle la máquina A (1/3) v) Que si no falla la máquina B, falle la máquina A (2/9)

B) ¿Cuál es la probabilidad de que durante los cuatro próximos meses no falle ninguna de las dos máquinas? (0,1158) ¿Qué hipótesis utilizas para responder a esta cuestión? (Independencia) ¿Es una hipótesis razonable en el contexto de este problema? (No)

48. (Febrero 2015 DADE) En el último informe publicado por el INE sobre datos de salarios recogidos en la Encuesta de Población Activa (EPA) se presentan distintos resultados agrupando a los asalariados en tres grupos: los que perciben un salario bruto mensual superior a 2.159,4 euros (Salario Alto - SA), los que perciben menos de 1.217,4 euros (Salario Bajo - SB) y los que perciben un salario bruto mensual entre estas dos cantidades (Salario Medio - SM). En el informe se indica que el 36,3% de los asalariados a jornada completa ganó más de 2.159,4 euros mensuales en 2013, mientras que el 17,2% percibió menos de 1.217,4 euros. Por el contrario, el 89,5% de los asalariados a tiempo parcial (que representaron el 17,7% del total de asalariados en 2013) ganó menos de 1.217,4 euros mensuales. Y el 1,0% recibió más de 2.159,4 euros. A) (20 puntos) Seleccionada una persona al azar, calcular la probabilidad de los

siguientes sucesos: i) Que perciba un salario medio y trabaje a tiempo completo. (38.27%) ii) Que perciba un salario medio. (39.95%) iii) Que o perciba un salario medio o trabaje a tiempo completo, pero que no

cumpla ambas condiciones simultáneamente. (45.71%) iv) Que no perciba un salario medio y no trabaje a tiempo completo. (16.02%)

B) (5 puntos) Seleccionada una persona al azar, ésta percibe 1500 euros brutos mensuales, ¿cuál es la probabilidad de que sea asalariado a tiempo parcial? ¿Y a tiempo completo? (4.21% y 95.79%)

C) (5 puntos) Si se seleccionan 5 personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que 3 de ellas trabajen a tiempo completo y 2 a tiempo parcial? ¿En qué hipótesis te basas para responder en este apartado? ¿Es razonable en este contexto? (17.46%. Independencia. Sí por ser elevado el número de personas)

49. (Junio 2015 DADE) Una encuesta recientemente publicada en una revista de actualidad económica aborda el tema de los salarios de los directores ejecutivos de grandes compañías y si éstas tienen beneficios o no. Los datos se resumen en la siguiente tabla para 20 compañías:

Salario > 1 millón euros Salario < 1 millón euros La empresa tiene beneficios 2 9

La empresa no tiene beneficios 4 5

A) (12 puntos) Si se selecciona una compañía al azar entre las 20 estudiadas, ¿cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos?: i) (3 puntos) Que el director ejecutivo gane más de 1 millón de euros y que

la empresa no tenga beneficios. (20%) ii) (3 puntos) Que el director ejecutivo gane más de 1 millón de euros o la

empresa no tenga beneficios. (55%) iii) (3 puntos) Que el director ejecutivo gane más de 1 millón de euros si su

empresa no tiene beneficios. (4/9) iv) (3 puntos) Que la empresa tenga beneficios si en su compañía el director

ejecutivo no tiene un salario superior a 1 millón de euros. (9/14) B) (9 puntos) Si se seleccionan 3 compañías al azar, calcular la probabilidad de los

siguientes sucesos: i) (4 puntos) Que ninguno de los directores ejecutivos de las 3 empresas gane

más de 1 millón de euros. (31.93%) ii) (5 puntos) Que como mucho uno de los directores ejecutivos gane más de 1

millón de euros. (79.82%) C) (4 puntos) ¿Son los sucesos “El director ejecutivo de la compañía gana más de 1

millón de euros” y “La empresa tiene beneficios” independientes? ¿E incompatibles? ¿Por qué? (No. No)

50. (Febrero 2016 DADE) Una asignatura X está dividida en tres partes cuyos contenidos son completamente independientes. El profesor realiza un examen de cada una de estas tres partes y aprueba la asignatura a los alumnos que hayan aprobado (nota superior o igual a 5) cada una de las tres pruebas, o que hayan aprobado dos de ellas y hayan obtenido un compensable en la tercera prueba (calificación entre 3 y 5). Se sabe que el 50% de los alumnos superan la primera prueba y que sólo un 20% obtienen compensable. El segundo examen lo aprueban un 60% y un 20% de los alumnos alcanzan el compensable. Finalmente, el tercer examen lo superan el 70% de los alumnos frente a un 10% de compensables. A) (3 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres compensables? (0.004) B) (6 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de aprobar la asignatura? (0.394) C) (6 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de aprobar algún examen? (0.94)

En esta asignatura hay matriculados 20 alumnos y 30 alumnas. D) (5 puntos) ¿De cuantas formas diferentes se pueden elegir cuatro alumnos para

formar una comisión de apuntes de dicha asignatura? ¿Y si la comisión está formada por un presidente, un secretario, un redactor y un responsable de reprografía? (230300 y 5527200)

E) (5 puntos) Elegidos esos cuatro alumnos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que esté constituido por dos alumnos y dos alumnas? (1653/4606=0.35888)

51. (Junio 2016 DADE) Un banco ofrece seguros de hogar y seguros de vida. Se sabe

que el 30% de los clientes de este banco tienen contratado el seguro de hogar que ofrece y que el 60% de los clientes que contratan el seguro de hogar también contratan el de vida. Además el 70% de los clientes tienen algún seguro de este tipo (de vida o de hogar). A) (7 puntos) Calcula la probabilidad de que un cliente tenga un seguro de hogar y

un seguro de vida con el banco.

B) (4 puntos) Calcula la probabilidad de que un cliente tenga un seguro de vida con este banco.

C) (4 puntos) Calcula la probabilidad de que un cliente tenga solo uno de esos dos seguros.

Se eligen 4 clientes al azar,

D) (5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos contrate el seguro de hogar?

E) (5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que uno exactamente contrate el seguro de hogar?

52. (Febrero 2016 GECO) Un banco ofrece a sus clientes dos tipos de fondos de inversión, uno de riesgo bajo y otro de riesgo alto. Se sabe que la probabilidad de que un cliente no asuma riesgo y no invierta en este tipo de fondos es de 0.6; de un 0.3 la probabilidad de que elija un fondo de riesgo bajo y sólo de un 0.05 de que invierta en ambos fondos. A) (5 puntos) Calcula la probabilidad de que un cliente invierta en un fondo de

riesgo alto. (0.15)

B) (5 puntos) Calcula la probabilidad de que un cliente invierta en uno y sólo en uno de los fondos. (0.35)

C) (5 puntos) Si un cliente invierte en un fondo de riesgo bajo ¿cuál es la probabilidad de que no invierta también en uno de riesgo alto? (0.833)

El director de una de las entidades bancarias habla con 5 clientes para informarles de estos fondos de inversión. Si las decisiones de los clientes son independientes entre sí:

D) (5 puntos) Calcula la probabilidad de que al menos un cliente invierta en esos fondos de inversión. (0.92224)

E) (5 puntos) Calcula la probabilidad de que exactamente un cliente no asuma riesgos, es decir, no invierta en esos fondos de inversión. (0.0768)

53. (Junio 2016 GECO) Una entidad bancaria divide a sus clientes en 3 tipos: clientes sin riesgo, de riesgo bajo y de riesgo alto. La proporción de clientes sin riesgo es del 60% y la proporción de clientes de riesgo bajo del 30%, siendo el resto de clientes de riesgo alto. A) (10 puntos) Se eligen 3 clientes al azar (el comportamiento de los clientes ante

el riesgo es independiente entre sí). Calcula: i) (5 puntos) La probabilidad de que al menos uno sea de riesgo alto. (0.271) ii) (5 puntos) La probabilidad de que haya uno de cada tipo. (0.108)

B) (15 puntos) En un estudio que realiza la entidad bancaria sobre impagos ha obtenido que la probabilidad de que un cliente sin riesgo sea moroso es del 1%; entre los clientes de riesgo bajo es de un 5% mientras que la probabilidad de que sea moroso un cliente de riesgo alto es del 30%. iii) (3 puntos) Calcula la probabilidad de que un cliente sea moroso y tenga

riesgo alto. (0.03) iv) (6 puntos) Calcula la probabilidad de que un cliente sea moroso. (0.051) v) (6 puntos) Si un cliente es moroso, ¿cuál es la probabilidad de que sea un

cliente sin riesgo? (0.1176) 54. (Febrero 2017 GECO) Un banco ofrece seguros a sus clientes. Se sabe que el 70%

de los clientes tienen algún seguro contratado con el banco. La entidad financiera quiere premiar la fidelidad (llevar más de 10 años trabajando con la entidad) de sus clientes y abaratar el precio de los seguros para estos clientes. Se ha estimado que si un cliente tiene contratado un seguro con el banco, la probabilidad de que sea un cliente con más de 10 años trabajando con el banco es del 75%, mientras que si no tiene ningún seguro contratado, la probabilidad de que lleve más de 10 años trabajando con el banco es de un 20%. A) (7 puntos) Escribe en términos probabilísticos la información que se ha

proporcionado. ¿Qué porcentaje de clientes llevan trabajando más de 10 años con la entidad?

B) (4 puntos) Si un cliente lleva más de 10 años trabajando con la entidad, ¿cuál es la probabilidad de que tenga algún seguro contratado con el banco?

Los seguros que ofrece el banco pueden ser de vida o de hogar. Se sabe que el 30% de todos los clientes del banco tienen contratado el seguro de hogar y entre los clientes que tienen contratado el seguro de hogar, el 60% también tienen contratado el de vida.

C) (7 puntos) Escribe en términos probabilísticos la información que se ha proporcionado y calcula la probabilidad de que un cliente tenga contratados con el banco los dos tipos de seguros (seguro de hogar y seguro de vida).

D) (4 puntos) Calcula la probabilidad de que un cliente tenga contratado el seguro de vida.

E) (4 puntos) Calcula la probabilidad de que un cliente tenga contratado solo uno de los dos tipos de seguros.

F) (4 puntos) Si un cliente tiene contratado un seguro de vida, calcula la probabilidad de que también tenga contratado uno de hogar.

Si se eligen 4 clientes al azar (las decisiones las toman de forma independiente): G) (5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos tenga

contratado el seguro de hogar? H) (5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente tres clientes tengan

contratado el seguro de hogar?

55. (Junio 2017 GADE) A) (10 puntos) Desde el departamento de finanzas de una multinacional dedicada a la venta de material deportivo en pequeños establecimientos se sabe que el 20%de las ventas se paga con efectivo, el 40% con tarjetas de crédito y un 40% con tarjetas de débito. Veinte por ciento de las compras que se pagan con efectivo, el 90% de las ventas que se pagan con tarjetas de crédito y el 60% de las compras que se pagan con tarjetas de débito son ventas de más de 50 €. Si una persona que está en la fila de la caja va a comprar unas cuerdas de escalada por un importe de 70€, ¿Cuál es la probabilidad de que pague en efectivo? (0.0625) B) (26 puntos) Una administración local convoca una oposición que consta de dos ejercicios realizados por todos los opositores: uno teórico y otro práctico. Para aprobar la oposición es necesario aprobar los dos ejercicios por separado. La probabilidad de aprobar el ejercicio teórico es del 60% y la probabilidad de aprobar el ejercicio práctico del 55%. Se sabe que 1 de cada 5 opositores no aprueban ningún ejercicio. Seleccionado un opositor al azar, calcular:

i) (4 puntos) La probabilidad de aprobar la oposición. (0.35) ii) (4 puntos) La probabilidad de aprobar sólo el ejercicio teórico. (0.25) iii) (4 puntos) Si no ha aprobado el ejercicio práctico, ¿cuál es la probabilidad de

que tampoco apruebe el ejercicio teórico? (0.44) iv) (4 puntos) ¿Son independientes los sucesos “aprobar el ejercicio práctico” y

“aprobar el ejercicio teórico”? ¿Por qué? (No)

Una vez realizadas las pruebas, se han seleccionado 15 personas que se distribuyen de la siguiente manera: 9 mujeres y 6 hombres. Si el departamento de tesorería tiene que elegir a cuatro de estas personas y realiza la selección al azar:

v) (5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que no escoja ningún hombre? (0.092) vi) (5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de escoger a 2 hombres y 2 mujeres? (0.395)

56. (Junio 2017 GECO, 40 puntos) Una empresa de estudios de mercado realiza

informes sobre las perspectivas de locales para abrir nuevas tiendas en centros comerciales de una ciudad. La empresa cataloga sus informes en perspectivas buenas, razonables o malas. A partir de los informes emitidos por la empresa en ocasiones anteriores, se observa que de todas las tiendas que finalmente han tenido éxito, el informe había catalogado las perspectivas buenas en el 70%, de razonables el 20% y de malas el 10%. En el caso de las tiendas que fracasaron, el informe había indicado unas perspectivas buenas el 20% de las veces, razonables el 30% y malas el 50%. Además, se sabe que el 60% de las nuevas tiendas abiertas en centros comerciales de la ciudad tiene éxito y el resto fracasa. A) (7 puntos) Escribe en términos de probabilidades la información que se ha

proporcionado y calcula la probabilidad de que el informe catalogue como malas las perspectivas de un local seleccionado al azar. (0.26)

B) (4 puntos) Si el informe de la empresa de estudios de mercados indica que un local tiene buenas perspectivas, ¿cuál es la probabilidad de que finalmente tenga éxito? (0.84)

C) (3 puntos) ¿Son estadísticamente independientes los sucesos “las perspectivas son buenas” y “la tienda tiene éxito”? (No)

Se eligen aleatoriamente cinco locales para abrir nuevas tiendas: D) (5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una tenga éxito? (0.98976) E) (5 puntos) ¿Y la de que tengan éxito exactamente dos? (0.2304)

Una de las nuevas tiendas comienza a comercializar distintos productos, siendo los artículos A y B los que más éxito tienen entre los clientes. Por ello, el gerente de la tienda realiza sendos pedidos urgentes de estos artículos a sus proveedores para que la tienda no se quede sin existencias de los mismos. Se sabe que la probabilidad de que alguno de los dos pedidos llegue al día siguiente es de 0,8 y la de que lleguen los dos de 0,1. Además se sabe que, si el pedido del artículo A llega al día siguiente, hay una probabilidad de 0,2 de que también lo haga el pedido del artículo B. F) (5 puntos) ¿Qué probabilidad hay de que llegue el pedido del artículo A al día

siguiente? (0.5) G) (3 puntos) ¿Y la de que llegue el pedido del artículo B? (0.4) H) (4 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que llegue sólo uno de los dos pedidos al

día siguiente? (0.7) I) (4 puntos) Si el pedido del artículo B llega al día siguiente, ¿cuál es la

probabilidad de que también llegue el del A? (0.25)

57. (Septiembre 2017 GADE, 38 puntos) Un fabricante de consolas pretende lanzar al mercado un nuevo producto, denominado EXCELSIORTM, que consta de dos partes, una consola portátil y su adaptador para aparatos fijos como pantallas de televisión compatible con productos anteriores. Se ha estimado mediante un estudio de mercado que la probabilidad de que los clientes potenciales compren la consola es del 70% y la de que compren el adaptador del 40%. Asimismo, se estima que la probabilidad de que compren las dos partes alcanza una probabilidad del 20%. Calcular: A) (4 puntos) La probabilidad de que un cliente compre alguna de las dos partes. (0.9) B) (4 puntos) La probabilidad de que un cliente compre solamente una de las partes (0.7) C) (4 puntos) La probabilidad de que un cliente compre el adaptador habiendo comprando la consola. (0.2857) D) (4 puntos) La probabilidad de que un cliente no compre la consola tras comprar el adaptador. (0.5) E) (3 puntos) ¿Son independientes los sucesos “el cliente compra la consola” y “el cliente compra el adaptador”? Justifica tu respuesta. (No) Una vez fabricados las consolas se realiza un primer análisis de los mismos en el departamento de control de calidad. En dicho departamento se examinan las nuevas consolas en lotes de 50 unidades. De cada lote se extraen 5 unidades al azar y si las 5 son correctas se acepta el lote completo. F) (6 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de aceptar un lote en el que haya tres unidades defectuosas? (0.724) Una vez pasados todos los análisis del departamento de control de calidad, se sabe que un 1% de las consolas que quedan y son puestas a la venta son defectuosas. Una tienda adquiere 30 unidades para la venta a sus clientes.

G) (5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna resulte defectuosa? (0.7397) H) (5 puntos) ¿Y la de que haya al menos dos defectuosas? (0.03615) I) (3 puntos) ¿Qué propiedad has utilizado para responder a las dos últimas cuestiones? ¿Es razonable utilizarla? Justifica tu respuesta. (Independencia)

58. (Enero 2018 GECO, 40 puntos) En un departamento de una empresa multinacional el 85% de los trabajadores hablan algún idioma (inglés o francés). El 25% de los que hablan inglés también hablan francés. Además, el porcentaje de empleados que hablan inglés es del 80%. A) (6 puntos) Escribe en términos probabilísticos la información proporcionada.

¿Cuál es la probabilidad de que un empleado no hable ningún idioma? (0.15) B) (5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador hable francés? (0.25) C) (3 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado hable solo inglés? (0.6) D) (3 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado hable solamente un

idioma? (0.65)

Las categorías profesionales en ese departamento son: auxiliar, técnico y manager. El 10% de los empleados que hablan algún idioma son auxiliares, el 25% son técnicos y el resto manager. Entre los que no hablan ningún idioma, el 80% son auxiliares, el 15% técnicos y el resto manager. E) (4 puntos) Escribe en términos probabilísticos la información proporcionada. F) (5 puntos) Si un empleado elegido al azar es manager, ¿cuál es la probabilidad

de que hable algún idioma? (0.9866)

El departamento está formado por 20 personas, 17 de ellas hablan algún idioma y el resto no. Se quiere elegir una comisión de 4 personas. G) (3 puntos) Si la comisión se elige al azar, ¿cuál es la probabilidad de que

exactamente dos personas hablen algún idioma? (0.084) H) (3 puntos) ¿Qué variable aleatoria sería adecuada para responder a la cuestión

planteada en el apartado anterior? Defínela e identifica su distribución. Distribución hipergeométrica X∼ H(20,4,17)

Dentro de la empresa multinacional (el número de empleados es muy elevado) se sabe que el 20% de los empleados tienen menos de 30 años. Se eligen 10 empleados al azar y se define la variable aleatoria X = “número de empleados, entre los 10 elegidos, con menos de 30 años”. I) (8 puntos) Identifica la distribución de la variable aleatoria X. ¿Cuál es el

número medio (número esperado) de empleados menores de 30 años? ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno tenga menos de 30 años? (2 empleados. 0.107)

59. (Junio 2018 GECO, 40 puntos) En una encuesta acerca del destino vacacional de los españoles, se obtuvo que el 80% de los encuestados viajarán estas vacaciones al extranjero o por España. Se sabe que un 60% de los encuestados viajarán al extranjero y un 5% lo hará a ambos destinos (extranjero y por España). A) (6 puntos) Escribe en términos probabilísticos la información proporcionada.

¿Cuál es la probabilidad de que un encuestado no viaje estas vacaciones? (0,2) B) (4 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que un encuestado viaje por España?

(0,25)

C) (3 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que un encuestado viaje solamente al extranjero? (0.55)

D) (3 puntos) Si se elige un encuestado y va a viajar al extranjero, ¿cuál es la probabilidad de que también lo haga por España? (0.0833)

Además, se les preguntó por el uso del coche durante el verano. El 10% de los que viajarán al extranjero no usarán su coche durante las vacaciones, mientras que, del resto de los encuestados, un 70% cogerá el coche en el periodo vacacional.

E) (2 puntos) Escribe en términos probabilísticos la información proporcionada. F) (4 puntos) Si un encuestado es elegido al azar, ¿cuál es la probabilidad de que

no coja el coche? (0.18) G) (3 puntos) ¿Son estadísticamente independientes los sucesos “coger el coche” y

“viajar al extranjero”? Justifica tu respuesta. (No)

Si la encuesta se ha realizado a un número de personas muy elevado (el porcentaje de encuestados que viajan al extranjero es como antes) y se seleccionan 5 encuestados al azar.

H) (4 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que viaje exactamente uno al extranjero? (0.0768)

I) (3 puntos) ¿Qué variable aleatoria sería adecuada para responder a la cuestión planteada en el apartado anterior? Defínela e identifica su distribución. (B(5; 0.6))

Supongamos que, en un grupo de 10 personas, hay 6 que van a viajar al extranjero y 4 que no lo harán. Se eligen 5 personas al azar entre los 10.

J) (3 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente dos personas viajen al extranjero? (0.2381)

K) (3 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una persona viaje al extranjero? (1)

L) (2 puntos) Calcula el número esperado de personas que viajarán al extranjero (entre los 5 elegidos al azar) (3 personas)

60. (Junio 2018 GADE, 40 puntos) Una empresa lleva a cabo proyectos en diferentes departamentos, entre otros los de logística y desarrollo. Se sabe que un 70 % de los proyectos se realizan en el departamento de logística. De los proyectos que se realizan en el departamento de logística, un 65% se realizan también en el departamento de desarrollo. Además, se sabe que un 30% de los proyectos se realizan en uno sólo de estos dos departamentos.

A) (4 puntos) Escribe en términos probabilísticos la información anterior

Si se elige un proyecto al azar: B) (3 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto se realice en los dos

departamentos? (0.455) C) (4 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto no se realice en ninguno

de los dos departamentos? (0.245) D) (3 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto se realice en el

departamento de desarrollo? (0.51)

Analizando los datos de los proyectos ya realizados por la empresa, se sabe que de aquellos que se realizaron en el departamento de logística, un 60% habían sido solicitados por clientes de Zaragoza y de entre los proyectos que no se realizaron en dicho departamento, un 40% habían sido solicitados por clientes de Zaragoza.

E) (2 puntos) Escribe en términos probabilísticos la información proporcionada. F) (4 puntos) Si se elige un proyecto al azar, ¿cuál es la probabilidad que hubiera

sido solicitado por un cliente de Zaragoza? (0.54)

Se están evaluando los proyectos realizados por la empresa. Para ello se eligen cinco proyectos al azar:

G) (4 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos un proyecto se hubiera realizado en el departamento de logística? (0.99757)

H) (4 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que dos se hayan realizado en el departamento de logística? (0.1323)

I) (5 puntos) ¿Qué variable aleatoria sería adecuada para responder los dos apartados anteriores? Defínela e identifica su distribución. ¿Cuál es número medio (valor esperado) de proyectos realizados en el departamento de logística? (B(5, 0.7). 3.5 proyectos)

En el departamento de logística trabajan cinco ingenieros y cuatro administrativos. Para realizar el próximo proyecto se van a seleccionar cuatro miembros de dicho departamento. Si la selección se hace al azar:

J) (3 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que no se seleccione ningún ingeniero? (0.0079)

K) (4 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccionen al menos dos ingenieros? (0.8333)

61. (Septiembre 2018 GADE, 40 puntos) Como todos los años, Jorge va a organizar en el chalet familiar una fiesta de comienzo de curso a la que invita a los amigos del colegio, de la Universidad y a los compañeros de baloncesto.

Sabiendo que el 40% de los invitados son mujeres, que el 30% de los invitados son jugadores de baloncesto y que el 50% de los invitados son hombres que no juegan a baloncesto, responde razonadamente las siguientes cuestiones.

A) (4 puntos) Escribe en términos probabilísticos la información anterior

Si se elige un invitado al azar: B) (3 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer o juegue a baloncesto?

(0.5) C) (3 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que sea una chica que juega a

baloncesto? (0.2) D) (3 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que sea una mujer si sabemos que juega

a baloncesto? (2/3) E) (4 puntos) Si el invitado es hombre, ¿cuál es la probabilidad de que juegue a

baloncesto? (1/6) F) (2 puntos) ¿Son los sucesos “Ser mujer” y “Jugar a baloncesto”

independientes? (No)

Al final de la fiesta se realiza un sorteo en el que se van a repartir 5 premios. Para ello se dispone de una bolsa con papeletas que contienen los nombres de todos los invitados. Para repartir cada premio se elige una papeleta al azar y el nombre que aparezca en la papeleta es el del afortunado. A continuación se devuelve la papeleta a la bolsa y se repite el proceso.

G) (4 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente dos chicas con premio? (0.3456)

H) (3 puntos) ¿Y de que al menos una invitada se lleve un premio? (0.92224) I) (5 puntos) ¿Qué variable aleatoria sería adecuada para responder los dos

apartados anteriores? Defínela e identifica su distribución. ¿Cuál es número medio (valor esperado) de mujeres que se llevarán algún premio? (B(5, 0.4) E[X] = 2)

En total, hay 18 invitados que juegan a baloncesto, 12 chicas y 6 chicos. Escogemos al azar a 5 de ellos para formar un equipo de baloncesto:

J) (3 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo esté formado sólo por chicas? (0.09244)

K) (3 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que esté formado por dos chicas y tres chicos? (0.154062)

62. (Enero 2019 GECO, 35 puntos) Una empresa quiere darse a conocer a través de las redes sociales, para lo cual han lanzado una campaña que publicitan mediante un post en Facebook y otro en Instagram. Para evaluar los resultados de la campaña, los clientes que acuden a este establecimiento y compran algún artículo contestan una encuesta a partir de la cual se obtiene la siguiente información: La probabilidad de que un cliente que ha comprado haya visto el post en Facebook es de 0,2. La probabilidad de que la haya visto el post en Instagram es de 0,4. Finalmente, el 50% de los compradores han visto alguno de los dos post. A) (2 puntos) Escribe en términos probabilísticos la información anterior.

Si se elige un cliente al azar:

B) (3 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya visto ninguna de las dos redes sociales? (0.5)

C) (5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de haya visto sólo uno de los dos post? (0.4) D) (3 puntos) Si el cliente ha visto el post de Facebook, ¿cuál es la probabilidad de que

haya visto también el de Instagram? (0.5) E) (3 puntos) ¿Son independientes los sucesos ver el post en Facebook y ver el post en

Instagram? (No)

Seleccionamos 6 clientes al azar. Suponiendo que el número de clientes es muy elevado:

F) (3 puntos) ¿Qué variable aleatoria sería adecuada para responder los tres apartados siguientes? Defínela e identifica su distribución. (X∼Bin(6, 0.4))

G) (4 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que 2 clientes hayan visto el post de Instagram? (0.31104)

H) (4 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos un cliente hay visto el post de Instagram? (0.953344)

I) (2 puntos) ¿Cuál es número esperado de clientes que han visto el post de Instagram? (2.4)

En un día concreto hubo 10 clientes que realizaron el pago en efectivo, de los cuales 6 eran mujeres. Si se eligen al azar 5 clientes de entre estos 10:

J) (3 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que todos sean mujeres? (0.0238) K) (3 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo 2 de las 5 personas elegidas al azar

sean mujeres? (0.2381)

63. (Junio 2019 GECO, 36 puntos) Una academia realiza la preparación para unas oposiciones que se convocan todos los años y que constan de dos exámenes: uno teórico y otro práctico. Para superar la oposición es necesario aprobar los dos exámenes simultáneamente. En una encuesta realizada a los alumnos de la academia se han obtenido los siguientes resultados: el 40% de los alumnos aprobaron la oposición, el 20% no superaron la prueba teórica y el 90% aprobaron algún examen. A) (3 puntos) Escribe en términos probabilísticos la información anterior.

Si se elige un alumno al azar: B) (3 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno apruebe solo un examen?

(0.5) C) (3 puntos) Sabiendo que un alumno ha aprobado el examen teórico, ¿cuál es la

probabilidad que de que apruebe la oposición? (0.5) D) (3 puntos) Si un alumno no ha aprobado el examen teórico, ¿cuál es la probabilidad

de que tampoco apruebe el examen práctico? (0.5) E) (4 puntos) ¿Son independientes los sucesos aprobar el examen teórico y aprobar el

examen práctico? (Sí) F) (4 puntos) Para matricularse en la academia, los alumnos tienen que superar un test

previo. Se sabe que, entre los mayores de 25 años interesados en matricularse, la probabilidad de superar este test es del 45%. Entre los más jóvenes sólo lo superan el 30%. Sabiendo que el 60% de los que realizan esta prueba son mayores de 25 años, ¿cuál es la probabilidad de superar el test? (0.39)

En el año 2017 la academia tenía matriculados un número muy elevado de alumnos y se realizó una pequeña encuesta para conocer el éxito de los alumnos. Para ello se llamó por teléfono aleatoriamente a 10 de ellos. G) (3 puntos) Para los apartados H, I y J define una variable aleatoria que sea

adecuada para resolverlos. Defínela, identifica su distribución y los parámetros que necesita. (X~Bin(10, 0.4))

H) (4 puntos) ¿Cuál es la probabilidad que tres de los alumnos a los que se ha llamado hayan aprobado la oposición? (0.215)

I) (4 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos lo haya hecho? (0.006)

J) (2 puntos) ¿Cuál sería el número esperado de alumnos aprobados? (4)

En el año 2018 la academia sólo tenía matriculados 15 alumnos, de los cuales solamente 6 aprobaron la oposición. Si escogemos a 5 de ellos al azar: K) (3 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que 2 hayan aprobado la oposición?

(0.4196) 64. (Junio 2019 GADE, 35 puntos) Una empresa del sector de la automoción radicada en Aragón, fabrica llantas para ser montadas, entre otros por dos fabricantes de vehículos: una marca de origen francés, Voilà, y otra de origen japonés, Yama. El 40% de las llantas producidas son aptas para ser montadas en un coche Voilà. Un 35% de llantas fabricadas no son aptas para ser montadas, ni en un coche de la marca Voilà ni en uno de la marca Yama. De las llantas fabricadas para ser montadas en un coche Voilà, el 25% son aptas para su montaje en un coche Yama. A) (4 puntos) Escribe en términos probabilísticos la información proporcionada. Calcula la probabilidad de que una llanta sea apta para ser montada en un coche Voilà y en uno Yama. B) (4 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que una llanta sea apta para su montaje en un coche de la marca Yama? (0.35) C) (3 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que una llanta sea apta para ser montada en un coche Voilà pero no en uno Yama? (0.3) D) (3 puntos) Calcula la probabilidad de que una llanta fabricada sea apta para ser montada sólo en uno de los modelos. (0.55) E) (8 puntos) El control de calidad es realizado mediante un ensayo estandarizado de lotes de 20 llantas por hora, 14 sobre llantas que van destinadas a exportar y 6 al mercado nacional. El control se realiza sobre 7 de esas llantas elegidas al azar en el lote. Responde a los siguientes apartados.

E.1) (5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 1 vaya al mercado nacional? (0.9557)

E.2) (3 puntos) ¿Qué variable aleatoria sería adecuada para responder a la cuestión planteada en el apartado anterior? Defínela e identifica su distribución. (X ~ HG(20; 6; 7))

F) (13 puntos) Entre los tipos de llantas que se fabrican, el 63% tienen un beneficio inferior a los 3€ por llanta. Si se seleccionan 8 llantas al azar:

F.1) (3 puntos) Define e identifica la distribución de la variable aleatoria adecuada para responder a los tres apartados siguientes. (X ~ Bi (8, 0.63)) F.2) (3 puntos) Calcula la probabilidad de que, entre las 8 seleccionadas,

exactamente dos llantas tengan un beneficio inferior a 3€. (0.0285) F.3) (5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que, entre las 8 seleccionadas, como

mucho una tenga un beneficio superior a los 3€? (0.1414) F.4) (2 puntos) ¿Cuál es el número esperado de llantas con un beneficio

inferior a los 3€? ¿Y su varianza? (5.04 y 1.865)

65. (Septiembre 2019 GADE, 36 puntos) En una empresa un artículo final está conformado por 6 procesos de ensamblaje cuya calidad de montaje es independiente y con una tasa de fallo común estimada del 5%. El fallo en cualquiera de los procesos ocasiona que el artículo final resulte defectuoso, no habiendo otras causas de fallo o defecto en éste.

A) (4 puntos) Obtén la probabilidad de que un artículo final no resulte defectuoso (0.7351)

B) (5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los procesos de montaje haya fallado? ¿Y la probabilidad de que haya fallado uno? (0.2649; 0.2321)

C) (4 puntos) Calcula la probabilidad de que no hayan fallado simultáneamente los 6 procesos de montaje (~0)

D) (5 puntos) Indica qué variable aleatoria permite o facilita evaluar las probabilidades pedidas en los apartados anteriores, justificando su adecuación e hipótesis del modelo. Indica cuál es su valor esperado. ( . E[X] = 0.3)

El control de calidad final del producto se realiza eligiendo lotes de 30 artículos de los que se extrae una muestra de 6 para su inspección. Si dicha muestra contiene algún defectuoso, se procede a inspeccionar completamente el lote.

E) (5 puntos) Si uno de estos lotes de 30 contiene dos artículos defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de tener que proceder a inspeccionar completamente el lote? (0.3655)

F) (4 puntos) Si uno de estos lotes de 30 contiene 3 defectuosos, ¿cuál sería, en este caso la probabilidad de inspeccionar completamente el lote? (0.5015)

El proceso de montaje se realiza en dos plantas, siendo los artículos finales montados clasificados (en función de su calidad) para venta exterior, para venta nacional y para reciclado. La tabla recoge los porcentajes conjuntos de artículos para cada planta y destino.

Destino/Planta Planta 1 Planta 2 Venta exterior 15% 25% Venta nacional 21% 12% Reciclado 14% 13%

Indicando los sucesos y operaciones entre sucesos apropiados, calcula las probabilidades de que:

G) (3 puntos) Un artículo sea destinado a la venta. (0.73) H) (3 puntos) Un artículo de la planta 1 no sea destinado a la venta (0.28) I) (3 puntos) Un artículo de reciclado haya sido montado en la planta 2. (0.4815)

66. (Enero 2020 GECO, 35 puntos) Una persona está pensando contratar algún servicio de streaming para ver películas y series. Para ello va a estudiar dos posibilidades: Netflix y HBO. En base a estadísticas previas se sabe que la probabilidad de que una persona contrate Netflix es del 55%. Además, la probabilidad de que una persona no contrate Netflix ni HBO es del 40%. Por otro lado, la probabilidad de que una persona que ha contratado Netflix contrate también HBO es del 20%. A) (3 puntos) Escribe en términos probabilísticos la información anterior.

Seleccionada una persona al azar: B) (3 puntos) Calcula la probabilidad de que contrate Netflix o HBO. C) (3 puntos) Calcula la probabilidad de que contrate Netflix y HBO. D) (3 puntos) Calcula la probabilidad de que contrate solo uno de los dos tipos de

servicio. E) (3 puntos) Calcula la probabilidad de que contrate HBO. F) (2 puntos) ¿Son estadísticamente independientes los sucesos “contratar Netflix” y

“contratar HBO”? ¿Por qué?

Seleccionamos 10 personas al azar. Suponiendo que el número de personas que están interesadas en contratar un servicio de estas características es muy elevado: G) (3 puntos) ¿Qué variable aleatoria sería adecuada para responder los tres apartados

siguientes? Defínela e identifica su distribución. H) (3 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que tres personas contraten Netflix? I) (4 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 2 personas contraten Netflix? J) (2 puntos) Calcula la varianza de las personas que contratan Netflix.

El pasado viernes hubo 30 personas que contrataron Netflix, de los cuales 16 comenzaron a ver la serie “Vikings”. Si se eligen al azar 7 personas de entre estas 30: K) (3 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que todos hayan comenzado a ver la serie? L) (3 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que, como mucho, 1 haya comenzado a ver

la serie?