Problemas de Probabilidades y Estadística 1º.- (Cantabria, Junio, 1994) Al controlar la cantidad de un producto envasado, se eligen tres al azar de una caja que contiene 50 envases. Por término medio, sabemos que en cada caja hay 5 cuya calidad es deficiente. Determinar las probabilidades siguientes:

1º.- De que entre los tres no haya ninguno, uno o dos deficientes. 2º.- Si el primero resulta deficiente, ¿cuál es la probabilidad de que entre los tres haya uno o dos deficientes?

SOLUCIÓN:

Designamos por DDD al suceso “los tres sean deficientes” 1) La probabilidad que se pide viene dada por 1 - p(“los tres sean deficientes”).

5 4 3 96( ) 0 '000550 49 48 245

p DDD = = =

Luego la probabilidad pedida será: p = 1 - 0'0005 = 0'9995 2) La probabilidad de que los otros dos sean deficientes viene dada por:

4 3 0 '00549 48

p = =

Luego la probabilidad de que entre los tres haya uno o dos deficientes vendrá dada por 1 - 0'005 = 0'995.

2º.- (Santander, Junio, 1998) En una determinada población hay tres lugares de diversión a los que suele ir un grupo de amigos. Las probabilidades de que vayan al primero, segundo o tercero son, respectivamente, 0'3, 0'5, y 0'7. Hallar la probabilidad de que el grupo de amigos vaya:

Solamente a uno de los lugares. Únicamente a dos de los lugares. A los tres lugares.

SOLUCIÓN:

1. A partir del diagrama en árbol puede verse que el suceso “ir a un único lugar” se verifica cuando ocurran cualquiera de los tres siguientes:

1) A B C∩ ∩ siendo (p A B ) 0 '3 0 '5 0 '3C∩ ∩ = ⋅ ⋅

2) A B C∩ ∩ siendo (p A B ) 0 '7 0 '5 0 '3C∩ ∩ = ⋅ ⋅

3) A B C∩ ∩ siendo ( ) 0 '7p A B C 0 '5 0 '7∩ ∩ = ⋅ ⋅

La probabilidad de la unión de estos tres sucesos vendrá dada por la suma de probabilidades de cada uno de ellos y será:

p(“ir a un único lugar) = 0'395

A

A

B

B

B

B

C

C

C

C

C

C

C

C

0'3

0'7

0'5

0'5

0'5

0'5

0'7

0'7

0'7

0'7

0'3

0'3

0'3

0'3

2. El suceso “ir únicamente a dos de los lugares” se dará cuando ocurra alguno de los siguientes sucesos:

a) A B C∩ ∩ siendo (p A B ) 0 '3 0 '5 0 '3C∩ ∩ = ⋅ ⋅

b) A B C∩ ∩ siendo ( ) 0 '3 0 '5 0 '7Cp A B∩ ∩ = ⋅ ⋅

c) A B C∩ ∩ siendo (p A B ) 0 '7 0 '5 0 '7C∩ ∩ = ⋅ ⋅

La probabilidad del suceso “ir únicamente a dos de los lugares” será la suma de las anteriores: p(“ir únicamente a dos de los lugares” = 0'395

A B C∩ ∩3. El suceso ir a los tres lugares ocurre cuando se produce el resultado

cuya probabilidad es ( ) 0 '3 0 'p A B C 5 0 '7 0 '105∩ ∩ = ⋅ ⋅ =

3º.- (septiembre 2002) Disponemos de 3 dados cúbicos de colores. El primero tiene 4 caras verdes y dos rojas, el segundo tiene 5 caras verdes y una roja, y el tercero tiene todas las caras rojas. Para elegir el dado coloreado, se lanza antes un dado normal numerado del 1 al 6. Si sale 1 o 2, elegimos el primer dado, si sale 3, 4 o 5, elegimos el segundo dado, y si sale un 6, elegimos el tercer dado. a) Determina el espacio muestral del experimento consistente en lanzar el dado normal y luego el coloreado correspondiente. b) Calcula la probabilidad de obtener color verde. c) Calcula la probabilidad de haber jugado con el dado con todas las caras rojas, sabiendo que hemos obtenido color rojo. 4º.- (Andalucía, Junio 2002) Los alumnos de bachillerato de un I.E.S. proceden de tres localidades, A, B y C, siendo un 20% de A, un 30% de B y el resto de C. El 80% de los alumnos de A cursa 1º de Bachillerato y el resto 2º. El 50% de los alumnos de B cursa 1º de Bachillerato y el resto, 2º. El 60% de los alumnos de C cursa 1º de Bachillerato y el resto, 2º. a) Seleccionado, al azar, un alumno de Bachillerato de ese centro, ¿cuál es la probabilidad de que sea de 2º?. b) Si elegimos, al azar, un alumno de Bachillerato de ese I.E.S. y este alumno es de 1º, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la localidad B? SOLUCIÓN

Llamamos B1 = “estudiar 1º de Bachillerato” B2 = “estudiar 2º de bachillerato” Construimos el diagrama de probabilidades que aparece en el margen. a) Por el teorema de las probabilidades totales:

A

B

C

B1

B1

B1

B2

B2

B2

0,2

0,5

0,3

0,2

0,5

0,6

0,4

0,8

0,5

( 2) ( ) ( 2 / ) ( ) ( 2 / ) ( ) ( 2 / )p B p A p B A p B p B B p C p B C= + + de donde:

( 2) 0, 2 0, 2 0,3 0,5 0,5 0, 4 0,39p B = ⋅ + ⋅ + ⋅ =

b) Se pide . ( / 1)p B BAplicando la fórmula de Bayes:

( ) ( 1/ ) ( ) ( 1/ )( / 1)( 1) 1 ( 2)

p B p B B p B p B Bp B Bp B p B⋅ ⋅

= =−

De donde: 0,3 0,5( / 1) 0,251 0,39

p B B ⋅= ≈

−

5º.- (Andalucía, junio 1998) Se dispone de un mazo de 450 fichas de estudiantes de una escuela de idiomas. Cada estudiante cursa un solo idioma de los tres que se imparten. El número de mujeres es 3/2 del de hombres y los estudiantes de inglés representan el 80% del alumnado. El número de estudiantes de francés duplica al número de estudiantes de alemán. Sea M el suceso “sacar una ficha de mujer” al extraer una ficha al azar del citado mazo (análogamente, sean H, I, F y A sacar hombre, inglés, francés y alemán, respectivamente). Sabiendo que M/A es el suceso seguro y que M/F y H/F son equiprobables, determine: a) Probabilidad de F. Probabilidad de M∩I. b) Probabilidad de F/M. SOLUCIÓN Se construye la siguiente tabla:

I F A H 150

(6)30 (5)

0 (4)

180 (1)

M 210 (6)

30 (5)

30 (4)

270 (1)

360 (2)

60 (3)

30 (3)

450

Se rellena, en primer lugar (1), los valores del número total de mujeres y de hombres. A continuación (2) el número total de alumnos de inglés. En tercer lugar (3) el total de alumnos de francés y alemán que en total son 90 = 450 – 360. En cuarto lugar (4), por la condición de que M/A es el suceso seguro, se rellena el número de mujeres y de hombres que estudian alemán. En quinto lugar (5), por la condición M/F y H/F son equiprobables, completamos el número de hombres y el número de mujeres que estudia francés. Por último (6), restando se completa el número de alumnas y de alumnos de inglés.

a) 60 2( )450 15

p F = = ; 210 7( )450 15

p M I∩ = =

b) ( ) 30 1( / )

( ) 270 9p F Mp F M

p M∩

= = =

6º.- (Andalucía, junio 1998) Ana, Juan y Raúl, que están esperando para realizar una consulta médica, sortean, al azar, el orden en que van a entrar. a) Calcule la probabilidad de que los dos últimos en entrar sean hombres. b) Determine si son independientes los sucesos: S1 = “la mujer entra antes que alguno de los hombres” S2 = “los dos hombres entran consecutivamente” SOLUCIÓN M = “entra una mujer”

H = “entra un hombre” Si construimos el diagrama de probabilidades, que aparece al margen, tendremos:

a) La probabilidad pedida en este apartado es:

1( )3

p MHH =

b) S1 = {HMH, MHH} S2 = {HHM, MHH} S1 ∩ S2 = {MHH}

12 1 1 2( ) ( ) ( )3 2 3 3

p S p HMH p MHH= + = ⋅ + =

22 1 1 2( ) ( ) ( )3 2 3 3

p S p HHM p MHH= + = ⋅ + =

1 21( ) ( )3

p S S p MHH∩ = =

Para que los sucesos sean independientes: 1 2 1 2( ) ( ) ( )p S S p S p S∩ = ⋅

Como 1 2 1 21 4( ) ( ) ( )3 9

p S S p S p S∩ = ≠ ⋅ = , los sucesos son dependientes.

7º.- (Cantabria, Junio, 1994) Al controlar la cantidad de un producto envasado, se eligen tres al azar de una caja que contiene 50 envases. Por término medio, sabemos que en cada caja hay 5 cuya calidad es deficiente. Determinar las probabilidades siguientes:

1º.- De que entre los tres no haya ninguno, uno o dos deficientes. 2º.- Si el primero resulta deficiente, ¿cuál es la probabilidad de que entre los tres haya uno o dos deficientes?

SOLUCIÓN Designamos por DDD al suceso “los tres sean deficientes”

1) La probabilidad que se pide viene dada por 1 - p(“los tres sean deficientes”).

5 4 3 96( ) 0 '000550 49 48 245

p DDD = = =

Luego la probabilidad pedida será: p = 1 - 0'0005 = 0'9995 2) La probabilidad de que los otros dos sean deficientes viene dada por:

4 3 0 '00549 48

p = =

Luego la probabilidad de que entre los tres haya uno o dos deficientes vendrá dada por 1 - 0'005 = 0'995.

8º.- Sean A y b dos sucesos tales que1( )2

p A = y 3( )5

p B = .

Calcula, razonadamente, para qué valor de los sucesos A y B son independientes. (p A B∪ ) SOLUCIÓN Sabemos que:

H

M

H

H

M 2/3

1/3

1/2

1/2

H

H

M

a)

( ) ( ) ( ) ( )p A B A p B p A B∪ = + − ∩p b) Si los sucesos A y B son independien

tes: (p A ) ( ) ( )B p A p B∩ =

De b) obtenemos: 1 3( ) ( ) ( ) .2 5

p A B p A p B 310

∩ = = =

Sustituyendo en a) 1 3( )2 5

p A B∪ = +3 4

10 5− =

9º.- (Santander, Septiembre, 1996) Una bolsa contiene 150 bolas lisas y 50 rugosas. Se extraen tres bolas, una a una y sin reemplazamiento. Se pide: 1.- Formar el espacio muestral y asignar la probabilidad correspondiente a cada suceso. 2.- ¿Cuál es la probabilidad de haber extraído dos bolas lisas?. 3.- ¿Cuál es la probabilidad de haber extraído, al menos, dos bolas lisas?. 4.- Si la primera extracción ha sido una bola lisa, ¿cuál es la probabilidad de haber extraído, al menos, una bola rugosa?. SOLUCIÓN

a) El espacio muestral está formado por 23 = 8 puntos muestrales que pueden determinarse por medio de un diagrama de probabilidades: E = {LLL, LLR, LRL, LRR, RLL, RLR, RRL, RRR}

150 149 148 5513( )200 199 198 13134

p LLL = ⋅ ⋅ =

150 149 50 3725( ) ( ) ( )200 199 198 26268

p LLR p LRL p RLL= = = ⋅ ⋅ =

150 50 49 1225( ) ( ) ( )200 199 198 26268

p LRR p RLR p RRL= = = ⋅ ⋅ =

50 49 48 98( )200 199 198 6567

p RRR = ⋅ ⋅ =

b) 3725 3725( 2 ) ( ) ( ) ( ) 326268 8756

p X L p LLR p LRL p RLL= = + + = ⋅ =

c) 3725 5513( 2 ) ( 2 ) ( ) 0,88756 13134

p X L p X L p LLL≥ = = + = + ≈ 5

d) 3725 1225( ) ( ) ( ) 2 0,326268 26268

p LLR p LRL p LRR+ + = ⋅ + = 3

10.- (Castilla – La Mancha, junio 1998) La probabilidad de que tenga lugar el contrario de un suceso A es 1/3, la probabilidad de un suceso B es ¾ y la probabilidad de que ocurran a la vez los sucesos A y B es 5/8. Determina: I) Probabilidad de que se verifique el suceso A o el suceso B. II) Probabilidad de que no se verifique A y no se verifique B. III) Probabilidad de que ocurra A sabiendo que se ha verificado B. IV) Independencia de los sucesos A y B. SOLUCIÓN I) ( ) ( ) ( ) ( )p A B p A p B p A B∪ = + − ∩

2( ) 1 ( )3

p A p A= − =

, por lo tanto:

2 3 5 19( )3 4

p A B∪ = + − =8 24

II)

5( ) 1 ( )24

p A B p A B∪ = − ∪ =

5( ) 58( / ) 3( ) 6

4

p A Bp A Bp B∩

= = =III)

IV) A y B son independientes si ( ) ( ) ( )p A B p A p B∩ = ⋅

Como 6

12=( ) ( )p A p B⋅ y

5( )8

p A B∩ = , los sucesos A y B son dependientes.

11.- Se tienen dos urnas U1 y U2 cuyo contenido en bolas rojas, azules y verdes es: en la urna U1, 4 bolas azules, 3 bolas rojas y 3 verdes; en la urna U2, 4 rojas, 5 azules y 1 verde. Se lanzan tres monedas y si se obtienen exactamente dos caras se extrae una bola de la urna U1, en otro caso se extrae de la urna U2. Se pide: 1) Hacer un diagrama para el experimento aleatorio de lanzar tres monedas. 2) Calcular la probabilidad de que la bola extraída sea azul. SOLUCIÓN

E = {CCC, CCX, CXC, CXX. XCC, XCX, XXC, XXX} Los sucesos que dan exactamente dos caras al lanzar la moneda son: {CCX, CXC, XCC}

3")8

Por lo tanto: ( " 2p X sacar caras= =

que es la probabilidad de ir a la urna U1. El suceso contrario al anterior será

5( " 2 ")8

p X no sacar caras= = que es la

probabilidad de ir a la urna U2.

Según el teorema de las probabilidades totales:

1 1 2 2( ) ( ) ( / ) ( ) ( / )p A p U p A U p U p A U= +

Luego:

3 4 5 5 37( )8 10 8 10 80

p A = + =

12.- (Madrid, junio, 1994) Se sabe que en cierta población, la probabilidad de ser hombre daltónico es un doceavo y la probabilidad de ser mujer daltónica es un veinticincoavo. La proporción de personas de ambos sexos es la misma. Se elige una persona al azar.

1.- Si la persona elegida es hombre, hallar la probabilidad de que sea daltónico. 2.- Si la persona elegida es mujer, hallar la probabilidad de que sea daltónica. 3.- ¿Cuál es la probabilidad de que la persona elegida padezca daltonismo?. 4.- Si una persona elegida al azar resulta no ser daltónica, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre?.

SOLUCIÓN:

U1

U2

A

3/8

5/8

4/10

A

noA

noA

5/10

H

M

D

D

0'5

0'5

nD

nD

1/12

11/12

1/251/25

24/25

Del diagrama de árbol adjunto se obtiene:

a)

10 '5( ) 12( / )( ) 0 '5 12

p H Dp D Hp H

⋅∩ 1= = =

b)

10 '5( ) 25( / )( ) 0 '5 25

p M D 1Mp M

⋅∩= = =p D

c) p(D) = p(H) p(D/H) + p(M) p(D/M)

1 10 '5 0 '5 0 '0612 25

= ⋅ + ⋅ =

d) Aplicando la fórmula de Bayes, tendremos:

110 '5( ) ( / ) 12( / ) 0 '49( ) ( / ) ( ) ( / ) 1 ( )

p H p nD Hp H nDp H p nD H p M p nD M p D

⋅⋅= =

⋅ + ⋅ −=

13.- (Oviedo, junio, 1994) En cierta floristería recibieron cantidades iguales de rosas y gladiolos, cuyo color es blanco o amarillo. El 60% de los gladiolos son de color amarillo, mientras que el 70% de las rosas son de color blanco. a Si elegimos una rosa, ¿qué probabilidad tenemos de que sea de color amarillo?. b Si cogemos dos gladiolos ¿Cuál es la probabilidad de que sean de distinto color?. c ¿Qué proporción de flores son de color blanco?. SOLUCIÓN a) Del diagrama de árbol de la ilustración tenemos:

R

G

B

A

B

A

0'5

0'5

0'7

0'3

0'4

0'6

b) Del diagrama de la siguiente ilustración se obtiene la siguiente información: sea D el suceso “coger dos gladiolos de colores distintos”. Se tiene:

( ) 0 '5 0 '3( / ) 0 '3( ) 0 '5

p A Rp A Rp R∩ ⋅

= = =

D = {BA, AB} de donde: p(D) = p(AB)+p(BA) = 0'4 0'6 + 0'6 0'4 = 0'48 c) Del primer diagrama se obtiene: p(B) = p(R) p(B/R) + p(G)p(B/G) = 0'5 0'7 + 0'5 0'4 = 0'55

B

A

B

A

A

B

0'4

0'4

0'40'6

0'6

0'6

14.- El 25% de las familias de cierta comunidad autónoma española no sale fuera de la misma durante las vacaciones de verano. El 65% veranea por el resto de España y el 10% restante se va al extranjero. De los que se quedan en su comunidad autónoma, sólo un 10% no utiliza el coche en sus desplazamientos. Esta proporción aumenta al 30% entre los que salen al resto de España y al 90% entre los que viajan al extranjero.

a Elegida una familia al azar, ¿qué probabilidad existe de que pase sus vacaciones fuera de su comunidad y no utilice el coche?

b Calcular el porcentaje de familias de esa comunidad que utiliza el coche en sus

desplazamientos de vacaciones de verano.

c Una familia no usa coche en sus vacaciones de verano. ¿Cuál es la probabilidad de que salga de su comunidad autónoma al resto de España?.

SOLUCIÓN Hacemos las siguientes designaciones de sucesos: A = “no sale fuera de su CCAA” R = “sale al resto de España” E = “viaja al extranjero” C = “hace uso del coche” = “no hace uso del coche” a) El suceso “pasa sus vacaciones fuera de su comunidad y no utiliza coche” ocurre cuando se

producen los siguientes sucesos: R C∩ y E C∩ . En consecuencia:

p(“pasa sus vacaciones fuera de su comunidad y no utiliza coche”) =

( ) ( ) 0 '65 0 '3 0 '1 0 '9 0 '285p R C p E C∩ + ∩ = ⋅ + ⋅ =

b) La probabilidad de utilizar coche viene dada por:

( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / )0 '9 0 '25 0 '7 0 '65 0 '1 0 '1 0 '69

p C p A p C A p R p C R p E p C E= + + == ⋅ + ⋅ + ⋅ =

Luego lo utiliza el 69% de las familias.

c) Se trata de hallar la probabilidad de que “viaje al resto de España (R) supuesto que no utiliza coche ()” , es decir . Aplicando la fórmula de Bayes tendremos:

( ) ( ) 0 '3 0 '65( / ) 0 '631 ( ) 1 0 '69( )

p C R p C Rp R Cp Cp C

∩ ∩ ⋅= = = =

− −

15.- Una encuesta revela que el 30% de la población tiene estudios, de los cuales el 12% no tiene trabajo. Del 70% que no tiene estudios, un 25% no tiene trabajo. Determina razonadamente:

a El tanto por ciento de la población que no tiene trabajo.

b La probabilidad de que tenga estudios una persona elegida al azar entre las que tienen trabajo.

c La probabilidad de que tenga estudios una persona elegida al azar entre las que

no tienen trabajo. SOLUCIÓN Los datos proporcionados se pueden colocar en una tabla de doble entrada como la siguiente,

donde E = “tiene estudios”, T = “trabaja”, E = “no tiene estudios” y T =”sin trabajo”.

T T

E 30

E

70

Para completar la tabla basta calcular los porcentajes indicados en el enunciado. Por ejemplo el porcentaje de individuos con estudios que no tienen trabajo será: 30. 0'12 = 3'6 y el de individuos con estudios que trabaja: 30 - 3'6 = 26'4. Siguiendo así se completará la tabla que quedará:

T T

Totales

E 26'4 3'6 30

E

52'5 17'5

70

Totales 78'9 21'1 100

A partir de la tabla tendremos a El tanto por ciento que no tiene trabajo: 21'1%.

b 26 '4( / ) 0 '334678'9

p E T = =

c 3'6( / ) 0 '170621'1

p E T = =

16.- Se lanzan un par de monedas y se anotan los resultados. Se consideran los siguientes sucesos:

A = “sacar cara en la primera moneda”. B = “sacar cara en la segunda moneda” E = “sacar exactamente cara”.

Se pide estudiar si A, B y E son sucesos independientes o no. SOLUCIÓN El espacio muestral vendrá dado por: U = {CC, CX, XC, XX}

A = {CC, CX}; B = {CC, XC} E = {CX, XC}

A ∩B = {CC} A ∩ E = {CX} B ∩ E = {XC}

A∩B∩E = { Ø }

De donde: p(A) = p(B) = p(E) =2 14 2= ;

1( ) ( ) ( )4

p A B p A p B∩ = = ⋅ ;

1( ) ( ) (4

p A E p A p E∩ = = ⋅ ) ; 1( ) ( ) ( )4

p B E p B p E∩ = = ⋅

Luego se cumple la primera condición; sin embargo: p(A ∩ B ∩ E) = p(Ø) = 0 y por lo tanto es

distinta de 1( ) ( ) ( )8

p A p B p E⋅ ⋅ = . En consecuencia los tres sucesos son dependientes.

17.- La probabilidad de que tenga lugar el contrario de un suceso A es 1( )3

p A = , la

probabilidad de un suceso B es 3( )4

p B = y la probabilidad de que ocurran a la vez los sucesos

A y B es 58

. Determina:

S Probabilidad de que se verifique el suceso A o el suceso B. S Probabilidad de que no se verifique A y no se verifique B S Probabilidad de que ocurra A sabiendo que se ha verificado B S Independencia de los sucesos A y B.

SOLUCIÓN De los datos del problema obtenemos:

a) De 1( )3

p A = se sigue que 1 2( ) 1 ( ) 13 3

p A p A= − = − =

b) 5( )8

p A B∩ =

La probabilidad de que se verifique A o B vendrá dada por: ( ) ( ) ( ) ( )p A B p A p B p A B∪ = + − ∩ ,

De donde:2 3 5 19( )3 4 8 24

p A B∪ = + − =

La probabilidad de que no se verifique A y no se verifique B vendrá dada por (p A B∩ ) . De

acuerdo con las leyes de Morgan: A B A B∩ = ∪ con lo que:

19 5( ) ( ) 1 ( ) 124 24

p A B p A B p A B∩ = ∪ = − ∪ = − =

La probabilidad de que ocurra A sabiendo que se ha verificado B, vendrá dada por:

5( ) 58( / ) 3( ) 6

4

p A Bp A Bp B∩

= = =

Los sucesos A y B serán independientes si se verifica: ( ) ( ). (p A B p A p B)∩ =

2 3 1 5( ). ( ) . ( )3 4 2 8

p A p B p A B= = ≠ = ∩ luego A y B son dependientes.

18.- Para diagnosticar una grave enfermedad E existe una prueba T. Si una persona padece la enfermedad y se somete a la prueba T, la probabilidad de que de positivo es del 96 % . En el caso de que esté sana, la probabilidad de que de negativo al someterla a la prueba T será del 94 %. a) Cierta persona se somete a la prueba y el resultado es positivo. ¿Cuál es la probabilidad de que padezca la enfermedad, sabiendo que a su edad una de cada 150 personas tiene la enfermedad sin saberlo?. b) Suponiendo que el resultado de la prueba T hubiera sido negativo, ¿Cuál es la probabilidad de que, a pesar de ello, tenga la enfermedad?. SOLUCIÓN

Para resolver el problema pueden considerarse

E no E

P

los siguientes sucesos: E1 = “padece la enfermedad” E2 = “no padece la enfermedad” P = “da positivo en el test T”

11( )

150p E =

2149( )150

p E =

1( / ) 0 '96p P E = ; 2( / ) 0 '06p P E = De acuerdo con el teorema de las probabilidades totales:

p(P) = p(E1) p(P/ E1) + p(E2) p(P/ E2)

De donde: 1 149( ) 0 '96 0 '06

150 150p P = ⋅ + ⋅

Para resolver el apartado a) hay que hallar p(E1/ P) , es decir, la probabilidad de que esté enfermo supuesto que ha dado positivo. Aplicando el teorema de Bayes:

1 11

1 1 2 2

0 '96( ) ( / ) 150( / ) 0 '96 149 0 '06( ) ( / ) ( ) ( / )

150 150

p E p P Ep E Pp E p P E p E p P E

⋅= =

⋅⋅ + ⋅ + lo que aproximadamente

equivale a 10%. 19.- (Santander, Junio, 1996) En un determinado almacén hay tres estanterías y en cada una de ellas dos tipos de productos A y B. En la primera hay 140 productos y se sabe que un 25% son del tipo A. En la segunda hay 130 productos y se sabe que 91 son del tipo B. Y en la tercera hay 30 del tipo A y 80 del tipo B. 1.- Hacer una tabla que recoja la información anterior. 2.- Del total de los productos, ¿qué porcentaje corresponde a cada estantería?. 3.- Calcular la probabilidad de que un producto elegido al azar sea del tipo A. 4.- Si se sabe que el producto elegido no pertenece a la primera estantería, ¿cuál es la probabilidad de que sea del tipo B?. SOLUCIÓN 1.- Puede elaborarse una tabla como la que sigue (E1, E2, E3 representan cada una de las tres estanterías, A y B los productos)

E1 E2 E3 Totales

A 35 39 30 104

B 105 91 80 276

140 130 110 380

Tot. 36'8% 34'2% 29%

2.- El cálculo de los porcentajes del total de los productos que correspondientes a cada estantería figura en la última fila de la tabla. 3.- Para calcular la probabilidad de se puede aplicar el Teorema de las probabilidades totales:

1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / )

35 39 300 '368 0 '342 0 '29 0 '2814 130 110

p A p E p A E p E p A E p E p A E= + +

= + + =

=

4.- Se trata de calcular 1( / )p B E . Para ello:

2 311

11

( ) (( )( / )1 ( )( )

p B E p B Ep B Ep B Ep Ep E

∩ + ∩∩= =

−)=

91 800 '342 0 '29130 110 0 '711 0 '368

+=

−

20.- Las probabilidades de acertarle a un blanco de tres tiradores, A, B y C son, respectivamente, 1/6, 1/4 y 1/3. Cada uno de ellos dispara una sola vez al blanco. Hallar: a) El espacio muestral. b) Las probabilidades de que acierte uno solo. d) La probabilidad de que al menos uno acierto. SOLUCIÓN

Sea A la probabilidad de que acierte el tirador A y nA la de que no acierte. Análogamente para B y C. Formamos un diagrama de probabilidades como el que se muestra al margen. a) De él obtenemos el espacio muestral que será: E = {(A B C), (A B nC), (A nB C), ( A nB nC), (nA B C), (nA B nC), (nA nB C), (nA nB nC)} b) Las probabilidades de que acierte uno solo vendrán dadas por: p = p( A nB nC) + p(nA B nC) + p(nA nB C) Es decir:

1 3 2 5 1 2 5 3 1 316 4 3 6 4 3 6 4 3 72

p = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

c) La probabilidad de tener algún acierto es la probabilidad del suceso complementario “no tener ningún acierto”. Como p(“no tener ningún acierto”) = p(nA nB nC), tendremos:

5 3 2 71 ( ) 16 4 3 12

p p nA nB nC= − = − ⋅ ⋅ =

21.- En una rifa hay 100 números y hemos comprado 2. 1. Si en la rifa hay un solo premio, ¿qué probabilidades tenemos de conseguirlo? 2. Si en la rifa hay dos premios: a) ¿Qué probabilidades tenemos de conseguir al menos un premio? b) ¿Qué probabilidad tenemos de conseguir los dos? SOLUCIÓN Si designamos por P al suceso “obtener premio” y por nP al contrario, tendremos: 1) Si hay un solo premio. p(P) = 2/100 = 0,02 2) Si hay dos premios, construimos el correspondiente diagrama de probabilidades

A

nA

B

B

nB

nB

1/6

5/6 1/4

3/4

1/4

C

C

C

C

nC

nC

nC

nC

3/4

1/3

1/3

1/3

1/3

2/3

2/3

2/3

2/3

La probabilidad del suceso “conseguir al menos un premio” será 1 menos la probabilidad del suceso “no conseguir ningún premio” puesto que son complementarios. Es decir: 1 (p p nP nP)= −

Como puede verse en el diagrama de probabilidades,

97( ) 0,9898

p nP nP = ⋅

De donde:

P(“conseguir al menos un premio”) = 971 0 ,98 0,0499

− ⋅ ≈

22.- (Santander, Septiembre, 2000) El volumen de producción de tres plantas diferentes de una fábrica es de 500 unidades la primera, 1000 unidades la segunda y 2000 unidades la tercera. Sabiendo que el porcentaje de unidades defectuosas producidas en cada planta es del 1%, 0'8% y 2% respectivamente: a) Calcular la probabilidad de que al seleccionar una unidad al azar sea defectuosa. b) Si se ha seleccionado una unidad que ha resultado no ser defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad que proceda de la segunda planta?. SOLUCIÓN:

La primera planta produce 500 unidades de un total de 3500 por

lo tanto produce 17

, la segunda 27

y la tercera el resto, es decir,

47

. Con ello y el resto de datos podemos elaborar el siguiente

diagrama de árbol. a) La probabilidad de que al seleccionar una unidad al azar sea defectuosa, vendrá dada por:

( ) ( 1) ( / 1) ( 2) ( / 2) ( 3) ( / 3)p D p P p D P p P P D P p P P D P= + +

De donde: 1 2 4( ) 0 '01 0 '008 0 '027 7 7

p D = ⋅ + ⋅ + ⋅

lo que da como resultado: ( ) 0 '015p D =

Aplicando la fórmula de Bayes:

2 0 '992( 2) ( 2) 7( 2 / ) 0 '28771 ( ) 0 '015( )

p D P p D Pp P Dp Dp D

⋅∩ ∩= = = =

−

23.- (Santander, Junio, 1997) Una empresa tiene tres centros de producción y el número total de unidades producidas es de 7000. El primer centro produce 1000 unidades de las cuales 300 son excelentes, 500 normales y 200 regulares. El segundo centro produce 2000 unidades de las cuales 1000 son excelentes, 750 normales y 250 regulares. El tercer centro produce 4000 unidades de las cuales 2000 son excelentes, 1750 normales y 250 regulares. Se pide: 1.- Realizar una tabla que recoja la información anterior. 2.- Determinar la probabilidad de que un producto elegido al azar sea excelente. 3.- Si se sabe que un producto no procede del primer centro y ha sido elegido al azar, determinar la probabilidad de que sea regular. 4.- Si se sabe que un producto no es normal y ha sido elegido al azar, determinar la probabilidad de que proceda del segundo centro.

P

nP

P

P

nP

nP

0,02

0,98

1/99

98/99

2/99

97/99

P1D

D

P2D

D

P3D

D

2/7

1/7

4/7

0'01

0'008

0'02

0'992

0'98

0'99

24.- (Santander, Septiembre, 1997) En un determinado centro de enseñanza todos los alumnos aprueban alguna asignatura. Se conoce que el 30% aprueba la asignatura A, el 40% la asignatura B y el 5% aprueban ambas. Calcular las siguientes probabilidades de que un alumno 1.- Apruebe cualquier otra asignatura. 2.- Apruebe la A y no la B. 3.- Si aprueba la B que no apruebe la A. 25.- (Santander, Septiembre, 1998) El 10% de los miembros de un determinado colectivo juega al golf, y el 50% va de vacaciones. Calcula las siguientes probabilidades: 1.- Que uno juegue al golf y vaya de vacaciones. 2.- Que uno juegue al golf o vaya de vacaciones. 3.- Que tres no jueguen al golf. 4.- Que dos jueguen al golf o no vayan de vacaciones. 26.- (Santander, Septiembre, 1999) De una baraja de 48 cartas se extraen sucesivamente dos cartas. Calcular la probabilidad de que: 1.- Las dos sean copas. 2.- Al menos una sea copa. 3.- Una sea copa y la otra oros. 4.- La primera sea copas y la segunda espadas. 27.- (Santander, Junio, 1999) En un determinado curso están matriculados 80 varones y 40 mujeres. Aprueban el curso completo 60 varones y 32 mujeres. 1.- Determinar la probabilidad de que un alumno del curso sea varón y apruebe. 2.- Determinar la probabilidad de que una de las personas matriculadas suspenda. 3.- Una de las personas matriculadas ha aprobado, determinar la probabilidad de que sea mujer. 28.- Una planta embotelladora recibe los tapones de corcho de tres proveedores A, B y C que le suministran el 55 %, 30 % y 15 % respectivamente del total. Se estima que un 2% de los que suministra A son defectuosos, y lo mismo ocurre con el 4% de los de b y 6% de los de C.

a) ¿Qué porcentaje de botellas tendrá el tapón defectuoso?.

b) Si se toma una botella al azar y el corcho es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de A?.

29.- (León, junio, 1994). Se tienen tres recipientes, A, B y C. El recipiente A contiene 3 galletas de vainilla y 2 de chocolate. El B contiene 3 de chocolate y 2 de vainilla, y el C contiene 2 de chocolate y 1 de vainilla.

(a).- Se elige un recipiente al azar y se coge una galleta también al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de chocolate?.

(b+).- Se elige una galleta al azar y ha resultado ser de vainilla, ¿cuál es la probabilidad de que provenga del recipiente C?

30.- La probabilidad de que un alumno apruebe Matemáticas es 0'6, la de que apruebe Lengua es 0'5 y la de que apruebe ambas es 0'2. Hallar la probabilidad de:

a) que apruebe al menos una de las dos asignaturas.

b) que no apruebe ninguna de las dos asignaturas.

c) que apruebe Matemáticas y no apruebe Lengua. .- Un grupo de pacientes se ha sometido a un tratamiento médico. La distribución, según edad y 31respuesta, ha sido la recogida en la siguiente tabla:

Mejoran ≤30 años De 31 a 60 > 60 años

SI 22'5 % 17'5 % 35 %

NO 7'5 % 7'5 % 10 %

Se selecciona al azar uno de estos pacientes. Se pide:

a) Sabiendo que tiene 36 años, ¿cuál es la probabilidad de que el tratamiento haya sido eficaz?.

b) Se nos dice que ha experimentado mejora, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga más de 60 años?.

c) Si se seleccionan dos pacientes al azar y el primero tiene más de 60 años, ¿cuál es la probabilidad de que el segundo también tenga más de 60 años?.

32.- (Cantabria, Junio, 1994) Se sabe que el cociente intelectual de los alumnos de una universidad se distribuye según una ley normal de media 100 y varianza 729.

1º.- Hallar la probabilidad de que una muestra de 81 alumnos tenga un cociente intelectual medio inferior a 109.

2º.- Hallar la probabilidad de que una muestra de 36 alumnos tenga un cociente intelectual medio superior a 109.

3º(+).- Elegida una muestra de 225 alumnos, determinar al nivel de confianza del 97%, el intervalo en que se encontrará la media muestral.

SOLUCIÓN:

La población viene caracterizada por la normal (100, 729) (100, 27)N N= La distribución

muestral de medias seguirá también una normal caracterizada por: 27(100, )Nn

, siendo n el

tamaño de la muestra.

1.-En consecuencia, 109 100( 109) ( ) ( 3) 0 '998727

81

P X p z p z−< = ≤ = ≤ =

2.- 109 100( 109) ( ) 1 ( 2) 1 0 '9772 0 '022827

36

P X p z p z−> = ≥ = − ≤ = − =

3.- El intervalo de confianza vendrá dado por: 27 27100 ,100225 225c cz z⎛ ⎞− +⎜ ⎟

⎝ ⎠siendo zc el

valor crítico para el nivel de confianza del 97%, de donde 1 0 '97( ) 0 '985

2cp z z +≤ = = luego

.zc = 2'17 y el intervalo será: (96'1, 103'9) 33.- (León, junio, 1994) Una muestra aleatoria de 100 alumnos que se presenta a las pruebas de selectividad, revela que la media de edad es de 18'1 años.

(a).- Halla un intervalo de confianza de 90%, para la edad media de todos los alumnos que se presentan a las pruebas, sabiendo que la desviación típica de la población es 0'4.

(b+).- Calcula el tamaño de la muestra que hemos de tomar si queremos establecer un intervalo de confianza para la media de la población con error menor que 0'2 años al nivel de confianza de 97%.

SOLUCIÓN:

Utilizando 18'1x = como estimador puntual de la media de la población, tendremos una

distribución muestral de medias que se aproximará a una normal 0'4(18'1, )100

N

a) El intervalo buscado vendrá dado por: 0 '4 0 '418'1 ,18'1100 100c cz z⎛ ⎞− +⎜ ⎟

⎝ ⎠ donde para hallar el

valor crítico partiremos de 1 0 '90( ) 0 '

2cp z z 95+≤ = = de donde zc = 1'645.

Luego el intervalo será: (18'1-1'645.0'04, 18'1+1'645.0'04) = (18'03, 18'17).

b) El error viene dado por 0 '4 0 '2cE z

n= < (*), donde para calcular zc, tendremos

1 0 '97( ) 0 '9852cp z z +

≤ = = de donde: zc = 2'17.

Despejando n de (*), tendremos:

22 '17 0 '4 18'850 '2

n ⋅⎛ ⎞> =⎜ ⎟⎝ ⎠

Luego n > 19

34.- Las tallas de 3000 jóvenes están normalmente distribuidas siendo la media 173 cm y la desviación típica 7'6 cm. Si se toman 80 muestras de tamaño 25 de esta población, determinar:

1) La media y la desviación típica de la distribución muestral de medias en el caso que el muestreo se haga:

a) con reposición b) sin reposición. 2) En cuántas muestras podemos esperar encontrar una media comprendida entre 168 cm y 174 cm. 3) En cuantas muestras será la media menor que 168 cm.

SOLUCIÓN 1) a) Si es con reposición xµ µ= = 173 cm y la desviación típica de la distribución de muestreo

de medias estará relacionada con la desviación típica de la población por x nσσ = de

donde:7 '6 1'5225xσ = =

b) Si el muestreo se hace sin reposición xµ µ= = 173 cm y la desviación típica:

1x

N nNn

σσ −=

− donde N es el tamaño de la población y n el de las muestras, luego:

7 '6 3000 253000 125xσ −

=−

= 1'51

2) En primer lugar se han de tipificar los valores de la variable de acuerdo con la fórmula

X

X

Xz

µσ−

= . De donde:

168 tipificada será 168 173 3'3

1'52−

= = −

174 tipificada será 174 173 0'66

1'52−

= =

de donde

(168 174) ( 3'3 0'66) ( 0'66) [1 ( 3'3)] 0'7449P X P z p z p z≤ ≤ = − ≤ ≤ = ≤ − − ≤ =

Por lo tanto, cabe esperar que el 74'5% de las muestras tengan medias entre 168 cm y 174 cm. Es decir, 80 . 0'7449 = 59 muestras. 3) La probabilidad de que la media esté por debajo de 168 cm vendrá dada

por: ( 168) ( 3'3) 1 ( 3'3) 1 09995 0'0005P X P z p z≤ = ≤ − = − ≤ = − =

Luego cabe esperar que haya 80 . 0'0005 = 0'04 muestras, es decir, en ninguna. 35.- El 30% de los chicos de una población son rubios. Si se toma una muestra aleatoria de tamaño 150, ¿cuál es la probabilidad de obtener, al menos, un 25% de chicos rubios? SOLUCIÓN: Suponiendo que la población es muy grande (N > 100n) se puede prescindir de que el muestreo se haya hecho con o sin reemplazamiento. Como n = 150 > 30, la distribución de muestreo de proporciones se aproxima a una normal de

media 0,3 y desviación típica 0'3(1 0 '3)

150Pσ−

= , es decir N(0'3, 0'037).

Tipificando el valor de P de 0'25 tendremos: 0'25 0'3 1'35

0'037z −= = − En consecuencia: P(X ≥0'25)

= P(z≥-1'35) =P(z <1'35) = 0'9115, es decir el 91%. 36.- Las lámparas de un fabricante A tienen una vida media de 1400 horas con desviación típica de 200 horas. Las de un fabricante B tienen una vida media de 1200 horas con desviación típica de 100 horas. Si se toma una muestra de 125 lámparas de cada fábrica, ¿cuál es la probabilidad de que las de A tengan una vida media que sea al menos (a) de 160 horas y (b) de 250 horas más que las de B? SOLUCIÓN

Si designamos la vida media de las muestras de lámparas de A por AX y por BX la vida media

de las muestras de lámparas de B, entonces: 1400 1200 200X A X B X A X Bµ µ µ− = − = − =

2 2 2 2

1 2

1 2

100 200 20 .125 125X A X B h

n nσ σσ − = + = + =

Con lo que tendremos un distribución normal N(200, 20)

La variable tipificada para la diferencia de medias vendrá dada por

( ) ( )A B X A X B

X A XB

X Xz

µ µσ −

− − −=

En (a) tendremos 160 200 2

20z −= = − , luego:

160X A XBµ − ≥ = P(z ≥ - 2) = P(z ≤ 2) = 0'9772.

En (b) tendremos 250 200 2 '5

20z −= = , luego:

250X A X Bµ − ≥ = P(z ≥ 2'5) = 1 - P(z < 2'5) = 1 - 0'9938 = 0'0062.

37.- Una muestra aleatoria de 100 alumnos de un colegio da una talla media de 1'73 m y una varianza s2 = 0'00245 m. Hallar los límites de confianza al 95% y al 99% para la media µ del colegio. SOLUCIÓN

Usamos 1'73x = como estimador puntual no sesgado de µ. La distribución muestral de medias

es aproximadamente normal N(1'73,nσ

) donde σ es la desviación típica de la población. Se

puede demostrar que si se emplea s en lugar de σ, no se altera significativamente el nivel de confianza siempre que el tamaño de las muestras n sea mayor que 30.

En consecuencia los límites de confianza al 95% serán 1'96 , 1'96x xn nσ σ⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎣ ⎦

Sustituyendo σ por 0 '00245 0 '0495s = = quedará:

[ ]0 '0495 0 '04951'73 1'96 ,1'73 1'96 1'72,1'74100 100

⎡ ⎤− + =⎢ ⎥⎣ ⎦ que representa el intervalo de

confianza al 95%. 38.- (septiembre 2002) Los fabricantes de los cereales “Mellogs” afirman que el peso de cada paquete de sus cereales es de 500 gr. al menos. Sabemos que el peso de dichos paquetes sigue una distribución normal de desviación típica 60 gr. Para confirmar la afirmación de los fabricantes, se toman 6 paquetes al azar, obteniéndose los pesos: 490, 450, 505, 520, 500, 475.

¿Tienen razón los fabricantes, con el 95% de confianza? 39.- (Santander, Junio, 1996) En una revista se afirma que la estatura media de las personas de una determinada comarca es 1'80 m. Para comprobar si la afirmación es correcta con un grado de confianza del 95%, se toma al azar una muestra de 85 personas a las que medimos sus alturas, obteniendo una media de 1'77 m y una desviación típica de 0'12 m. ¿A qué conclusiones llegaremos suponiendo que los datos se distribuyen con normalidad?. 40.- (Santander, Septiembre, 1996) 900 cigarrillos son sacados de una cadena de producción y se observa que 45 de ellos son defectuosos. 1. Estimar la proporción de defectuosos. 2. Hallar el intervalo de confianza del 90 % de la proporción de defectuosos. 3. Hallar el intervalo de confianza del 98 % de la proporción de defectuosos.

41.- (Santander, Junio, 1997) Al medir el diámetro de los cojinetes producidos por una empresa se estima que la desviación típica de dicho diámetro es 0'05 cm. Se han hecho 121 mediciones. ¿Se puede afirmar, con el 99% de confianza, que el error en la estimación de la media no excederá a 0'01 cm? 42.- (Santander, Septiembre, 1997) 200 de cada 500 personas votan a un determinado partido político. Se pide: 1.- Estimar la proporción de votantes. 2.- Calcular con un nivel de confianza del 99%, el intervalo en el que se encontrará la verdadera proporción de votantes. 43.- (Santander, Junio, 1998) Se conoce que 25 de cada 1000 objetos elaborados por una empresa son defectuosos. De qué tamaño conviene tomar una muestra para que la proporción estimada de defectuosos no difiera de la verdadera en más de un 5% con un nivel de confianza de un: 1.- 95% 2.- 99% 3.- 99'9%. 44.- (Santander, Septiembre, 1998) De una muestra de 900 jóvenes observamos un tiempo medio de 3 horas dedicado al estudio con 30 minutos de desviación típica. Calcular el intervalo de confianza del tiempo medio que los jóvenes dedican al estudio con un nivel de confianza del 1.- 68'26%. 2.- 95'44%. 3.- 99'73% 45.- (Santander, Junio, 1999) Las medidas de los diámetros de una muestra al azar de 200 cojinetes de bolas, hechos por una determinada máquina, dieron una medida de 2 cm y una desviación típica de 0'1 cm. Hallar los intervalos de confianza del: 1.- 68'26 %. 2.- 95'44 %. 3.- 99'73% para el diámetro medio de todos los cojinetes. 46.- (Santander, Septiembre, 1999) Una muestra de 100 votantes elegidos al azar entre todos los de un distrito, indicó que el 55% de ellos estaba a favor de un candidato determinado. Hallar los intervalos de confianza del: 1.- 68'26%, 2.- 95'44%, 3.- 99'73%, para la proporción de todos los votantes que estaban a favor del candidato. 47.- (Santander, Junio, 2000) Tomada al azar una muestra de 500 personas de una determinada comunidad, se encontró que 300 leían la prensa diaria regularmente.

1.- hallar, con un intervalo de confianza del 90%, un intervalo para estimar la proporción de lectores entre las personas de esa comunidad. 2.- A la vista del resultado anterior, se pretende repetir la experiencia para conseguir una cota del error de 0'05% con el mismo nivel de confianza del 90%. ¿Cuántos individuos ha de tener la muestra?.

48.- (Santander, Septiembre, 2000) Se ha lanzado 100 veces una moneda obteniéndose 62 caras. Estimar la probabilidad de “cruz” mediante un intervalo de confianza del 95%. Basándonos en la experiencia anterior, se pretende estimar la probabilidad de “cruz” con un error menor que 0'002 y un nivel de confianza del 95%. ¿Cuántas veces hemos de lanzar la moneda?.

49.- (La Laguna, Junio, 1998) Un estudio realizado sobre una muestra de 40 aviones comerciales revela que la antigüedad media de éstos es de 13'41 años con una desviación típica muestral de 8'28 años.

Hallar, con un nivel del 90% de confianza, en que intervalo se encuentra la antigüedad media de la flota comercial.

Si se quisiera obtener un nivel de confianza del 95% cometiendo el mismo error de estimación que en el apartado anterior y suponiendo también que s = 8'28 años, ¿cuántos elementos deberían componer la muestra?

50.- (Andalucía, Junio, 1998) La variable altura de las alumnas que estudian en una escuela de idiomas sigue una distribución normal de media 1'62 m y desviación típica 0'12 m.

Hallar la media y la desviación típica de la distribución muestral de medias de esta población, si se toman muestras de tamaño 100.

Determinar la probabilidad de que la media de una muestra aleatoria de 100 alumnas sea mayor que 1'60 m.

51.- (Islas Baleares, Junio, 1998) En una determinada población se toma una muestra al azar de 256 personas. De esta muestra, el 20% de las personas lleva gafas graduadas y el 80% restante no.

Calcula el intervalo de confianza aproximado para la proporción poblacional de las personas que llevan gafas graduadas para un nivel de confianza del 95%.

52.- (Andalucía, Junio, 1998) Se ha tomado una muestra de los precios de un mismo producto alimenticio en 16 comercios, elegidos al azar en un barrio de una ciudad, y se han encontrado los siguientes precios:

95, 108, 97, 112, 99, 106, 105, 100, 99, 98, 104, 110, 107, 111, 103, 110 Suponiendo que los precios de este producto se distribuyen según una ley normal de varianza 25 y media desconocida:

a.- ¿Cuál es la distribución de la media muestral?

b.- Determine el intervalo de confianza, al 95%, para la media poblacional. 53.- (Islas Baleares, Junio, 1998) Se supone que la estatura de los chicos de 18 años de cierta población sigue una distribución normal de media 162 cm y desviación típica 12 cm. Se toma una muestra al azar de 100 de estos chicos encuestados y se calcula la media. ¿Cuál es la probabilidad de que esta media esté entre 159 y 165 cm? 54.- (Madrid, Junio, 1998) Un fabricante de electrodomésticos sabe que la vida media de éstos sigue una distribución normal con media µ =100 meses y σ = 12 meses. Determínese el mínimo tamaño muestral que garantiza, con una probabilidad de 0'98, que la vida media de los electrodomésticos en dicha muestra se encuentra entre 90 y 110 meses. 55.- (Zaragoza, Junio, 1998) La desviación típica de la altura de los habitantes de un país es 10 cm. Calcular el tamaño mínimo que ha de tener una muestra de habitantes de dicho país para que el error cometido al estimar la altura media sea inferior a 1 cm con un nivel de confianza del 99%. ¿Y si el nivel de confianza es del 95%?. Explicar los pasos seguidos para obtener las respuestas.

56.- En una muestra aleatoria de 1000 personas, el 65% están a favor de que el Ministerio de Educación suprima los exámenes de selectividad. Halla el intervalo de confianza al nivel del 99% en que se encontrará la proporción favorable de la población. Sabemos que una encuesta realizada una año antes daba un porcentaje del 68% favorable. a la supresión, ¿cae este valor dentro del intervalo de confianza anterior?. ¿Qué conclusiones se obtienen respecto a la evolución de la opinión sobre este tema? Si la empresa encuestadora quiere un error máximo de 0'025 en la estimación de la proporción favorable con el mismo nivel de confianza, ¿de qué tamaño debería tomar la muestra?.