UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS

CONTABILIDAD Y AUDITORÍA

ASIGNATURA:

ESTADÍSTICA II

CURSO: CA4-7

ALUMNA:

CINDY XIOMARA FILIÁN CEVALLOS

PROFESOR:

ING. FRANCISCO BAHAMONDE

TEMA:

EJERCICIOS DE PROBABILIDAD Y

TEOREMA DE BAYES

DEBER

HACER 20 EJERCICIOS DE PROBABILIDAD Y 5 EJERCICIOS SOBRE

PROBABILIDAD CONDICIONAL DE BAYES.

EJERCICIOS DE PROBABILIDAD

1. UNA URNA CONTIENE 5 BOLAS FUCSIAS, 5 BOLAS BLANCAS Y 2

BOLAS AMARILLAS. CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE AL

EXTRAER UNA BOLA AL AZAR:

a) SEA FUCSIA

5 BF E1: Salga fucsia

5 BB P (E1) = 512

2 BA

12

b) NO SEA BLANCA

E2: No sea blanca

P (E2) = 512

+ 212

= 712

2. SE SELECCIONA AL AZAR UNA CARTA DE UN NAIPE COMPLETO,

CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE LA CARTA SE A UN AS.

E1: Salga un As

P (E1) = 452

= 113

3. SE LANZA UNA MONEDA 3 VECES, CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE

QUE ME SALGA UNA CRUZ.

c

c

s

c

c

C, C, C

C, C, S

C, S, S E1: Salga una cruz

C, S, C P (E1) = 38

S, S, S

S, S, C

S, C, C

S, C, S

4. SE LANZA UN DADO AL AIRE, CALCULAR LA PROBABILIDAD DE

QUE CAIGA UN NÚMERO IMPAR.

EM = 1, 2, 3, 4, 5, 6

E1: Número impar

P (E1) = 36=12

5. UNA CAJA CONTIENE 2 LÁPICES ROJOS, 3 VERDES Y 5 MORADOS,

CALCULAR LA PROBABILIDAD DE QUE AL SELECCIONAR UN LÁPIZ

AL AZAR:

a) SEA ROJO

2 LR E1: Sea rojo

3 LV P (E1) = 210

=15

5 LM10

b) SEA VERDE O MORADO

E1: Sea verde

s

s

c

s

c

c

s

s

P (E1) = 310

E2: Sea morado

P (E2) = 510

P (E1 + E2) = P (E1) + P (E2) = 310

+ 510

= 810

6. CALCULAR LA PROBABILIDAD DE QUE AL SACAR UNA CARTA DE

UN NAIPE AL AZAR SEA ROJA.

E1: Carta roja

P (E1) = 2652

=12

7. SE LANZA UNA MONEDA 3 VECES, CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE

QUE ME SALGA CARA EN EL ÚLTIMO LANZAMIENTO.

C, C, C

C, C, S E1: Cara en el 3er lanzamiento

C, S, S P (E1) = 48

C, S, C

S, S, S

S, S, C

S, C, C

S, C, S

8. CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE AL LANZAR 2 DADOS AL AIRE

SALGA UNA SUMATORIA DE 10.

c

s

c

s

c

c

s

s

c

s

s

c

c

s

1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1

1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2

EM = 1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3

1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4

1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5

1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6

E1: Sume 10

P (E1) = 336

9. UN CARTÓN CONTIENE 8 ESFEROS AZULES, 3 ROSADOS Y 3

NEGROS, CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE AL SELECCIONAR

UN ESFERO AL AZAR:

a) SEA ROSADO

8 EA

3 ER

3 EN

14

E1: Sea rosado

P (E1) = 314

b) SEA AZUL O NEGRO

E1: Sea azul

P (E1) = 814

E2: Sea negro

P (E2) = 314

P (E1 + E2) = P (E1) + P (E2) = 814

+ 314

=1114

10.CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE AL SELECCIONAR UNA CARTA

DE UN NAIPE AL AZAR SEA UN 2 O UNA CARTA NEGRA.

E1: Sacar un 2

E2: Sacar una carta negra

P (E1 U E2) = P (E1) + P (E2) - P (E1 ∩ E2) = 452

+ 2652

− 252

=2852

11.SE LANZA UNA MONEDA 2 VECES, CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE

QUE ME SALGA CARA Y SELLO.

C, C

E1: Salga cara y sello

C, S P (E1) = 24

S, S

S, C

12.CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE AL LANZAR UN DADO AL AIRE

ME SALGA 6 O DE QUE ME SALGA UN NÚMERO PAR.

E1: Salga 6

c

s

s

c

c

s

P (E1) = 16

E2: Salga número par

P (E2) = 36

P (E1 + E2) = P (E1) + P (E2) = 16+ 36=46

13.UN BAÚL CONTIENE 10 BOLAS MORADAS, 5 BOLAS CELESTES Y 5

BOLAS GRISES, CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE AL

SELECCIONAR 2 BOLAS CON REEMPLAZO:

a) AMBAS SEAN CELESTES

E1: Sea celeste

P (E1) = 520

P (E1 * E1) = 520

∗5

20=116

b) NINGUNA SEA MORADA

E2: No sea morada

P (E1) = 520

+ 520

=1020

14.SE LANZA UN DADO AL AIRE, CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE

CAIGA UN NÚMERO PAR.

EM = 1, 2, 3, 4, 5, 6

E1: Número par

P (E1) = 36=12

15.SE LANZA 2 DADOS AL AIRE, CUA´L ES LA PROBABILIDAD DE

OBTENER UNA SUMATORIA DE 4.

1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1

1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2

EM = 1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3

1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4

1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5

1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6

E1: Sume 4

P (E1) = 336

16.SE SELECCIONAN 2 CARTAS DE MANERA ALEATORIA Y CON

REEMPLAZO DE UNA BARAJA, CALCULAR LA PROBABILIDAD DE

QUE:

a) AMBAS SEAN ROJAS

E1: Sea roja

P (E1) = 2652

P (E1 * E1) = 2652

∗26

52=14

b) AMBAS SEAN NEGRAS

E2: Sea negra

P (E2) = 2652

P (E2 * E2) = 2652

∗26

52=14

17.SE LANZA UNA MONEDA 3 VECES, CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE

QUE ME SALGAN 3 CARAS.

C, C, S

C, C, S E1: Salga 3 caras

C, S, S P (E1) = 18

C, S, C

S, S, S

S, S, C

S, C, C

S, C, S

18.UNA URNA CONTIENE 2 BOLAS VERDES, 3 BOLAS CAF{ES Y 4

BOLAS AMARILLAS, CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE AL SACAR

2 BOLAS AL AZAR, SIN REEMPLAZO:

a) AMBAS SEAN VERDES

2 BV

3 BC

c

s

c

s

c

c

s

s

c

s

s

c

c

s

4 BA

9

E1: 1ra Sea verde

P (E1) = 29

E2: 2 da Sea verde

P (E2) = 18

P (E1 * E2) = 29∗1

8=136

b) SEAN CAFÉ Y VERDE

E1: Sea café

P (E1) = 39

E2: Sea verde

P (E2) = 28

P (E1 * E2) = P (E1) * P (E2) = 39+ 28= 112

∗2=16

19.CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE AL SELECCIONAR UNA CARTA

AL AZAR DE UN NAIPE COMPLETO SEA 4.

E1: Salga 4

P (E1) = 452

20.SE LANZA UN DADO AL AIRE, CALCULAR LA PROBABILIDAD DE

QUE CAIGA UN 2 O UN 3.

E1: Caiga 2

P (E1) = 16

E2: Caiga 3

P (E2) = 16

P (E1 + E2) = P (E1) + P (E2) = 16+ 16=13

EJERCICIOS DE PROBABILIDAD CONDICIONAL DE BAYES

1. SE TIENE 3 CAJAS; LA PRIMERA CAJA CONTIENE 2 LÁPICES ROJOS

Y 2 AZULES; LA SEGUNDA CAJA CONTIENE 1 LÁPIZ ROJO Y 3

AZULES Y LA TERCERA CAJA CONTIENE 3 LÁPICES ROJOS Y 1

AZUL. ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE AL SELECCIONAR 1

LÁPIZ AL AZAR DE CUALQUIERA DE LAS CAJAS SEA ROJO? ¿CUÁL

ES LA PROBABILIDAD DE QUE EL LÁPIZ SELECCIONADO SEA DE LA

PRIMERA CAJA?

P (R/A1) = P (A1) * P(R/A1) = 13∗2

4=212

P (R/A2) = P (A2) * P(R/A2) = 13∗1

4=112

P (R/A3) = P (A3) * P(R/A3) = 13∗3

4=312

2 rojos

2 azules

1 rojo

3 azules

3 rojos

1 azul

P (A1) = 1/3

P (A2) = 1/3

P (A3) = 1/3

P (R/A1) = 2/4

P (R/A2) = 1/4

P (R/A3) = 3/4

P (R) =P (A1) * P(R/A1) + P (A2) * P(R/A2) + P (A3) * P(R/A3)

P (R) =212

+ 112

+ 312

= 612

P (A1/R) = P ( A1 )∗P(R/ A1)

P (R )

P (A1/R) =

212612

=26

2. P (A1) = 0.60, P (A2) = 0.40, P (B1/A1) = 0.05 Y P (B1/A2) = 0.10.

DETERMINAR P(A1/B1) POR EL TEOREMA DE BAYES.

P (A1) = 0.60 P (B/A1) = 0.05

P (A1) * P (B/A1) = 0.60 * 0.05 = 0.03

P (A2) = 0.40 P (B/A2) = 0.10

P (A2) * P (B/A2) = 0.40 * 0.10 = 0.04

P (A1/B) = P ( A1 )∗P (B /A1)

P ( A1 )∗P(B/A 1)+P (A 2 )∗P(B /A2)

P (A1/B) =0.03

0.03+0.04

P (A1/B) =37

3. TENEMOS 2 BOLSAS; LA PRIMERA BOLSA CONTIENE 6

CARAMELOS ROJOS Y 4 CARAMELOS VERDES; LA SEGUNDA

BOLSA CONTIENE 5 CARAMELOS ROJOS Y 5 VERDES. ¿CUÁL ES LA

PROBABILIDAD DE QUE AL SACAR UN CARAMELO AL AZAR SEA

VERDE? ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE EL CARAMELO

SELECCIONADO SEA DE LA SEGUNDA BOLSA?

P (V/B1) = P (B1) * P (V/B1) = 12∗4

10=420

P (V/B1) = P (B1) * P (V/B1) = 12∗5

10=520

P (V) =P (B1) * P(V/B1) + P (B2) * P(V/B2)

P (R) =420

+ 520

= 920

6 rojos

4verdes

5 rojos

5 verdes

P (B1) = 1/2

P (B1) = 1/2

P (V/B1) = 4/10

P (V/B2) = 5/10

P (B2/V) = P (B1 )∗P(V /B2)

P (V )

P (A1/R) =

520920

=59

4. SE LANZA UN DADO AL AIRE, ENCUENTRE LA PROBABILIDAD DE

QUE CAIGA 4, SI SE SABE QUE CAERÁ UN NÚMERO PAR.

A: Evento de que salga 4

B: Evento de que salga par

P (A) = 16

P (B) = 36

P (A/B) =

1636

=13

5. P (A1) = 0.20, P (A2) = 0.40 Y P (A3) = 0.40. P (B1/A1) = 0.25 Y P (B1/A2)

= 0.05 Y P (B1/A3) = 0.10. DETERMINAR P (A3/B1) POR EL TEOREMA

DE BAYES.

P (A1) = 0.20 P (B/A1) = 0.25

P (A1) * P (B/A1) = 0.20 * 0.25 = 0.05

P (A2) = 0.40 P (B/A2) = 0.05

P (A2) * P (B/A2) = 0.40 * 0.05 = 0.02

P (A3) = 0.40 P (B/A3) = 0.10

P (A3) * P (B/A3) = 0.40 * 0.10 = 0.04

P (A3/B) = P ( A3 )∗P (B /A3)

P ( A1 )∗P(B/A 1)+P (A 2 )∗P(B /A2)+P (A3 )∗P(B/ A3)

P (A3/B) = 0.04

0.05+0.02+0.04

P (A3/B) = 411

EJERCICIO DEL EXAMEN

UN ALMACÉN ESTÁ CONSIDERANDO CAMBIAR SU POLÍTICA DE OTORGAMIENTO DE CRÉDITOS PARA REDUCIR EL NÚMERO DE CLIENTES QUE FINALMENTE NO PAGAN SUS CUENTAS.

EL GERENTE DE CRÉDITOS SUGIERE QUE EN LO FUTURO EL CRÉDITO LE SEA CONCEDIDO A CUALQUIER CLIENTE QUE SE DEMORE UNA SEMANA O MÁS EN SUS PAGOS EN OCASIONES DISTINTAS. LA SUGERENCIA DEL GERENTE SE BASA EN EL HECHO DE QUE EN EL AÑO PASADO, EL 90% DE TODOS LOS CLIENTES QUE FINALMENTE NO PAGARON SUS CUENTAS, SE HABÍAN DEMORADO EN SUS PAGOS EN POR LO MENOS DOS OCASIONES.

SUPONGA QUE DE UNA INVESTIGACIÓN INDEPENDIENTE ENCONTRAMOS QUE EL 2% DE TODOS LOS CLIENTES (CON CRÉDITO) FINALMENTE NO PAGAN SUS CUENTAS Y QUE DE AQUELLAS QUE FINALMENTE SI LAS PAGAN EL 45% SE HAN DEMORADO EN POR LO MENOS 2 OCASIONES.

ENCONTRAR LA PROBABILIDAD DE QUE UN CLIENTE QUE YA SE DEMORO POR LO MENOS 2 OCASIONES FINALMENTE NO PAGUE SU CUENTA Y CON LA INFORMACIÓN OBTENIDA ANALICE LA POLÍTICA QUE HA SUGERIDO EL GERENTE DE VENTAS.

A: Si pagan

B: No pagan

P (B) = 0.90 P (A/B) = 0.02

P (A/B') = 1 -0.02 = 0.98

P (B') = 1 – 0.90 = 0.10

P (B/A) =

P( AB )∗P (B )

P ( AB )∗P (B )+P( AB' )∗P (B' )=

(0.02 ) (0.90 )(0.02 ) (0.90 )+ (0.98 ) (0.10 )

=0.155172