primera práctica de laboratorio

7/26/2019 Primera Prctica de Laboratorio

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PRIMERA PRCTICA CALIFICADA

ENUNCIADO DEL PROBLEMA

El gancho de la gra mostrada a continuacin ejerce un peso de 800

N, La cual est sujetada por 10 cables de 6 metros y seccin circular,

5 a cada extremo del gancho. Mediante el mtodo de elementos

finitos, utilizando 3 elementos, calcular el esfuerzo en cada elemento

y la reaccin en la parte superior de la gra que sujeta a los cables.

Datos de los cables:

Longitud total = 6000 mm

A de seccin = 3500 mm2

Mdulo de elasticidad: E = 3.0x105N/mm2

Densidad del material: Y = 78,45x10-6N/mm3

1


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SOLUCION:

1.DIAGRAMA DE CARGA Y CONTORNO Y DCL DEL CUERPO

2

R1R1


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2.MODELADO DEL CUERPO REAL

Se consideraran tres elementos finitos. Para facilitar los clculos los

elementos finitos tendrn longitud de 2m cada uno.

Asumimos que entre los 5 cables de cada lado las diferencias de

esfuerzos sern despreciables, por lo tanto trabajamos con un solo

cable grueso equivalente por lado. Entonces el modelado del cuerpo

sera el siguiente: (Imgenes extradas del modelo elaborado en

software de CAD de ingeniera Solidworks 2013.)

3

Pgancho =800 N800 N

Cable 1

Nodo 1 Elemento (3)Elemento (2)Elemento (1) Nodo 4Nodo 2 Nodo 3

Q 4Q 1 = 0 Q 3Q 2

Nodo 1 Elemento (3)Elemento (2)Elemento (1) Nodo 4Nodo 3Nodo 2


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Cuadro de conectividad para ambos cables:

e

NODOS GDL (Q) le

(mm)

Ae

(mm2)1er 2do 1er Nodo 2do Nodo

(1) 1 2 Q1 Q2 2000 3500

(2) 2 3 Q2 Q3 2000 3500

(3) 3 4 Q3 Q4 2000 3500

Luego el vector de desplazamiento para cada cable ser:

[ ]mm

Q

Q

QQ

=

4

3

2

0

Donde Q1 = 0 pues los cables estn sujetos y fijados en la posicin

mostrada a la polea, y los dems desplazamientos son incgnitas que

tendrn que ser calculadas.

3.VECTOR DE CARGA

Analizando las fuerzas en cada elemento finito:

4

Cable 2


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( )

( )

( )

( )

( )N

AxlyF

NAxly

F

NAxly

F

NAxly

F

NRAxly

F

725.2742

725.2742

725.2742

725.274

2

725.2742

33

3

22

3

22

2

11

2

1

11

1

==

==

==

==

+==

( )NPgancho

AxlyF 725.1074

2

33

4 =+=

Ahora analizamos las fuerzas para todo el cuerpo:

NFF

NFFF

NFFF

NRFF

725.1074

45.549

45.549

725.274

3

44

3

3

2

33

2

2

1

22

1

1

11

==

=+=

=+=

+==

Entonces, el vector carga se expresara de la siguiente manera

[ ]N

R

FF

F

F

F

+

=

=

725.1074

45.549

45.549

725.274

4

3

2

11

1

4.MATRIZ DE RIGIDEZ

A continuacin pasamos a calcular la matriz de Rigidez Global, que

est determinada por la siguiente ecuacin:

5


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=

0000

0000

0011

0011

1l

AE

Ki

+0000

0110

0110

0000

2l

AE

1100

1100

0000

0000

3l

AE

Reemplazando para los valores calculados y utilizando la tabla de

conectividad obtenemos:

=

0000

0000

0011

0011

2000

1033500

1

5xxK

i

+

0000

0110

0110

0000

2000

1033500

2

5xx

+

1100

1100

0000

0000

2000

1033500

3

5xx

Finalmente:

mm

NxK

i

=

25.525.500

25.550.1025.50

025.550.1025.5

0025.525.5

108

6


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5.ECUACIONES DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO

La ecuacin de rigidez est determinada por la siguiente ecuacin:

= QKF ii

Lo que con nuestros valores calculados tenemos:

+

725.1074

45.549

45.549

725.2741

R

=

25.525.500

25.550.1025.50

025.550.1025.5

0025.525.5

108 x

.

4

3

2

0

Q

QQ

Para obtener los desplazamientos tomamos la siguiente submatriz:

725.1074

45.54945.549

x8

10=

25.525.50

25.550.1025.5025.550.10

.

4

32

Q

QQ

Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos:

mmxQ

mmxQ

mmxQ

6

4

6

3

6

2

10281000.9

10233904.7

10140238.4

=

=

=

Y para obtener la reaccin en el empotramiento tomamos la siguiente

submatriz:

7


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[ ] [ ]

=+

4

3

28

1

0

0025.525.510725.274

Q

Q

QxR

Resolviendo obtenemos:

NR 35.2448=

NR 175.1224

1 =

6.CLCULO DE ESFUERZOSPara calcular los valores de los esfuerzos por elemento, aplicamos la

siguiente ecuacin:

[ ]

+

=

111

i

i

e

e

Q

Q

l

E

Y obtenemos lo siguiente:

[ ]21

6

1

5

1 6210357.010

140238.4

011

2000

103

mm

mNx

x=

=

[ ]22

6

2

5

2 4640499.010

233904.7

140238.411

2000

103

mm

mNx

x=

=

[ ]23

6

3

5

31 3070644.010

281000.9

233904.711

2000

103

mm

mNx

x=

=

7.RESULTADOS

8


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Finalmente, los resultados son mostrados en la siguiente tabla:

NR 175.12241

=

21 6210357.0

mm

mN=

22 4640499.0

mm

mN=

23 3070644.0

mm

mN=

8.DIAGRAMA DE FLUJO

INICIO

INGRESO DE DATOSCONSTANTES: E, f, tVECTORES: L, A, P

CALCULO DE VECTORES A USARSE

F=

+

+

+

+

PganchoAL

ALAL

ALAL

RAL

2

22

22

2

3

23

12

1

1

; K=

+

+

3

3

3

3

3

3

2

2

3

3

2

2

2

2

1

1

2

2

1

1

1

1

1

1

00

0

0

00

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

9


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TRAFORMACION DE ECUACION MATRICIAL

+

+

+

+

PganchoAL

ALAL

ALAL

RAL

2

22

22

2

3

23

12

1

1

=

+

+

3

3

3

3

3

3

2

2

3

3

2

2

2

2

1

1

2

2

1

1

00

0

00

001

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

4

3

2

1

Q

Q

Q

R

IMPRESIN DE RESULTADOS

3214321 ,,,,,, EEEQQQR

FIN

Luego escribimos el siguiente Script en MATLAB:

clc;

clear;

L=input('Ingrese la longitud de los cables= ');

A=input('ingrese el rea de la seccin de los cables= ');

Pgancho=input('Ingrese el peso del gancho ');

n=input('Ingrese el nmero de elementos a considerar= ');

L=L/n;

=!"#$%&((*+));

,=-&(%);

.=eros(n0);

.=.(1n02);

3=eros(n0);4=ee(n0);

3=3(1n2);

5ori=1n

3(i2)=&A&L;

4(i2i0)=*4(i2i);

4(i02i)=*4(i2i);

end

4=40ee(n0);

4(2)=;

4(n02n0)=;

10


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4=(A&,/6)&4;

3(2)=&A&L/6;

3(n02)=&A&L/60Pgancho;

5=3(61n02);

7=4(61n0261n0);

8=.(61n02);8=in9(7)&5;

.(61n02)=8;

:=4(21n0)&.*3(2);

:=:/6;

5ori=1n

es(i2)=,/L&* ?@:ABC? L?@ :,@DLAC?@

disp(' :,@DLAC?@');

disp('============');

disp(',L E,F?: C,@PLAGA>I,B? ,@1');disp(.);

disp('LA :,AFFI?B ,B FACA FAHL, ,@1');

disp(:);

disp('##############################' );

disp(',L E,F?: C, ,@3D,:G?@ ,@');

disp(es');

9.USO DEL PROGRAMA DE MATLAB

Ejecutamos el programa e ingresamos los datos que nos pide:

Ingrese la longitud de los cables= 6000ingrese el rea de la seccin de los cables= 3500Ingrese el peso del gancho 800Ingrese el nmero de elementos a considerar= 3

Y como resultados obtendr:

..............................RESULTADOS

============

11


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EL VECTOR DESPLAZAMIENTO1.0e-05 *

00.41390.72320.9278

LA REACCION EN CADA CABLE-1.2237e+03

..............................EL VECTOR DE ESFUERZOS

1.0e-03 *

0.62080.46390.3070

CONCLUSIONES

Efectivamente el mtodo de Elementos Finitos es muy eficaz en laobtencin muy aproximada de resultados y si se cuenta con unacomputadora como herramienta de clculo se obtiene el valor exacto delos resultados de forma rpida.

12


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Se puede apreciar que los resultados de MATLAB son bastanteaproximados a los obtenidos con el clculo hechos a mano, es decir quelos resultados del procedimiento con 3 elementos finitos es suficiente

para obtener valores confiables como resultados.

Tambin se observa que el valor que arroja MatLab como resultadoconverge muy rpido a partir de 2 elementos, es decir que el problematambin se ha podido resolver aplicando los mtodos clsicos desolucin, obteniendo resultados aceptables para la ingeniera.

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Referencias Bibliogrficas:

MatLab codes for Finite Elements Analysis Ferreyra.

Introduccin al Mtodo de Elementos Finitos para la Ingeniera Chandrupatla 2da edicin.

Elementos Finitos Saeed Moaveni 2da edicin.

Manuscrito del Curso de Clculo por Elementos Finitos Ing.Cueva Pacheco Ronald Facultad de Ingeniera Mecnica UNI

Teora dictada en clase Ing. Abregu Leandro Edwin Facultadde Ingeniera Mecnica UNI

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