primer trabajo de matemática avanzada

PRIMER TRABAJO DE MATEMÁTICA AVANZADA

MARIA ISABEL SANDOVAL MARTINEZ

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER

BUCARAMANGA

22 DE SEPTIEMBRE DE 2015

María Isabel Sandoval Martínez

1. METODO DE ACELERACIÓN DE RICHARDSON

Esta consiste en una técnica de extrapolación donde se permite incrementar el

orden de aproximación de la derivada de una función sin necesidad de considerar

el número de puntos que inicialmente se consideran en la estimación de esta

derivada1. Richardson partió de la idea calcular un valor M dependientes de una

función F en puntos que dependen de un valor h que es considerado la distancia

desde un xi hasta un xi+1 o xi-1 como se puede ver en la figura 1.

Figura 1. Derivación progresiva, regresiva y central

.

Fuente. Derivada en integral numérica, presentación de clase análisis numérico.

Richardson aseguro que con esto se puede establecer;

1 Carrillo, julio. Derivada en integral numérica, presentación de clase análisis numérico. Universidad industrial de Santander, Bucaramanga


Donde q>p.

Si ahora se tiene en cuenta h2

, se tendrá un nuevo valor estimado

M=N (h/2)+c1( hp

2p)+O(hq) (2)

Si se resta la ecuación 2 de la ecuación 3 se obtiene finalmente

M=2pF ( h2 )−F (h)

2p−1+O(hq) (3)

La ecuación 3 es el método de Richardson para cuando se tiene una función y se desea

llegar al mismo resultado con menos iteraciones

En el presente trabajo se desea acelerar la sumatoria mostrada en la ecuación 4 con la que

se busca hallar el número π, debido a que al resolver esta sin algún método de aceleración

converge después de 88338555 iteraciones con un error absoluto de 10−8.

1+ 122

+ 132

+ 142

+…=π2

6(4)

Entonces se decidió trabajar con la extrapolación de Richardson como método de

aceleración y esto se mostrara a continuación.

Esa serie se puede escribir como una sumatoria así:

π 2

6=∑n=1

∞1n2

(5)


Formula Error

M=N (h)+c1hp+O(hq) (1)

Suponga que se tiene la diferencia

s-sn= ∑n+ 1=1

∞1n2

(6)

Donde

S=sumatoria total

Sn=sumatoria parcial

s-sn= error absoluto

Con la definición de la integral se puede afirmar que la ecuación 6 será igual a la integral

desde n+1 hasta infinito así como se puede ver en la ecuación 6.

s-sn= ∑n+ 1=1

∞1n2

= ∫n+1

∞dnn2

= 1n (6)

Entonces según Richardson esto ecuación podría ser representada como se muestra a

continuación en la ecuación 7 con el objetivo de extrapolar el valor S partiendo de un

valor Sn

Sn=S+ an+ bn2

+ cn3

+… (7)

Richardson en la ecuación 7 asume que n es muy grande entonces los términos de b

n2+ cn3

en adelante serán muy pequeños entonces serán eliminados y la ecuación 7 quedara

como se muestra en la ecuación 8.


Sn=S+ an

(8)

Sn+1=S+ an+1 (9)

Al despejar a de la ecuación 9 y reemplazarlo en la ecuación 8 la ecuación de Richardson

quedara reducida a:

S= (n+1 ) (Sn+1 )−nSn (10)

La ecuación 10 es la primera secuencia de Richardson sin embargo con esta no se logra

acelerar para lograr disminuir la iteraciones es necesario buscar la fórmula para la

segunda secuencia de Richardson.

Para esta secuencia de Richardson se tiene en cuenta b

n2 en la ecuación 11 12 y 13.

Sn=S+ an+ bn2

(11)

Sn+1=S+ a(n+1)

+ b

(n+1)2(12)

Sn+2=S+ a(n+2)

+ b

(n+2)2(13)

Al resolver las ecuaciones 11, 12 y 13 se obtiene la segunda secuencia de Richardson

S=(n+2 )2 (Sn+2 )−2 (n+1 )2 (Sn+1 )+ (n )2Sn

2(14)

Para el presente trabajo se usó la ecuación 14 para acelerar la convergencia con un error

absoluto de 10−10 con la herramienta matlab como se puede ver en la figura 2.

Figura 2. Programación en matlab con la extrapolación de Richardson


Con esta programación se pudo corroborar que con el método de extrapolación de

Richardson se puede converger con menos iteraciones como se puede ver en la tabla 1 de

resultados arrojados por matlab.

Tabla 1. Comparación de los resultados sin Richardson y con Richardson arrojados por el

programador matlab

Error absoluto Iteraciones sin Richardson iteraciones con Richardson

10−5 95492 25

10−6 954929 54


10−8 88338555 251

10−10 - 820

2. Este punto se nos pidió analizar la fórmula de Viete mostrada en la ecuación 14 y

demostrar por qué esta no sirve para valores de n demasiado grandes.

π=lim 2n√2−√2+√2+√2 (14)

Esta demostración se realizó en matlab donde se pudo observar que a medida que

se aumenta n es necesario anidar un √2 y por causa de esto llega un momento en

que el valor de πcalculado con la formula se aleja del πreal y por lo tanto el error

absoluto aumenta, a continuación se mostrara como se hizo el desarrollo de esta

fórmula en matlab en la figura 3, los datos arrojados por la herramienta y una

gráfica que permitirá observar el comportamiento anteriormente explicado en la

tabla 2 y figura 4 respectivamente.

Figura 3 programa en matlab


Fuente. Matlab

Tabla 2. Resultados obtenido en la herramienta matlab

n Error absoluto1 0,08012 0,02013 0,0054 0,00135 3,15E+006 7,89E-017 1,97E-018 4,93E-029 1,23E-02

10 3,08E-0311 7,70E-0412 2,01E-0413 1,22E-0514 8,27E-0515 4,62E-0416 2,57E-0317 1,47E-0218 3,90E-0219 3,90E-0220 8,16E-0121 2,37E+0022 8,59E+0023 8,59E+0024 0,0207


25 0,020726 0,322527 0,858428 3,141629 3,141630 3,141631 3,141632 3,1416. 3,1416. 3,1416

96 3,141697 3,141698 3,1416

Figura 4. Grafica del valor de n vs error absoluto.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

1

2

3

4

5

6

7

8

9

[VALOR DE Y]

Valor n vs Error absoluto

Valor de n

Erro

r abs

olut

o

Como se pude ver en la figura 4, con la ecuación 14 no se obtiene el

comportamiento esperado el error ya que de este se espera que siempre sea

decreciente, sin embargo con esta ecuación para valores de n superiores a 24


comienza a aumentar , por lo tanto se consultó otra fórmula de Viete que funcione

para n mayores a 24 y se encontró la ecuación 15

π= 2

√22

2

√2+√22

2

√2+√2+√22

(15)

La ecuación 15 fue propuesta por Viete para hallar el número π el proceso

consintió en inscribir, en un círculo de radio 1, polígonos regulares de lados de

modo que la sucesión de las áreas resulta una aproximación sucesiva al área del

círculo, igual a π.

Esta fórmula también fue desarrollada en matlab como se muestra en la figura 4 y

de allí se desprendieron los datos mostrados en la tabla 3 y graficados en la figura

5

Figura 4 programa en matlab


Tabla 3. Valores arrojados por el programa para diferentes valores de n

n error absoluto

1 0,08012 0,02013 0,0054 0,00135 3,15E-046 7,89E-057 7,89E-058 1,97E-059 4,94E-06

10 1,23E-0611 3,08E-0712 7,70E-0813 1,93E-0814 4,81E-0915 1,20E-0916 3,01E-1017 1,88E-1118 1,88E-1119 4,70E-1220 1,17E-1221 2,91E-1322 7,06E-1423 1,55E-1424 1,78E-1525 1,78E-1526 3,11E-1527 4,00E-1528 4,00E-1595 4,00E-1596 4,00E-1597 4,00E-1598 4,00E-15

Figura 5. Grafica del valor de n vs error absoluto.


0 20 40 60 80 100 1200

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

el valor n vs error

Series2

valor de n

valo

r n

Como se pudo ver en la tabla 3 y la figura 5 esta nueva ecuación si tiene el

comportamiento esperado ya que el valor del error va disminuyendo a medida que

el valor de n aumenta.

2.1 Demostración de la formula Viete

Esta comienza con una formula familiar

2 β=2cos β sin β

3. para este punto se pidió resolver el siguiente sistema usando la eliminación

gaussiana, esta matriz es conocida como la matriz hilbert y se caracteriza por que

el patrón de su generación responde a la siguiente estructura :

[aij ]= 1i+ j−1 (14)

La característica esencial es que am medida que crece el orden de la matriz el

determinante cada vez es más cercano a cero lo que causa que el cálculo de su

inversa sea muy complicado


La eliminación gaussiana fue realizada en matlab así:

Figura 5. Eliminación gaussiana en matlab.

Y los resultados arrojados fueron estos

X1 = 9.0000

X2 =-36.0000

X3 =30.0000

También se nos pidió comprobar si esta matriz está bien o mal condicionada y esto se

puede hacer de varias formas en matlab

1) El número de condicionamiento se usa para cuantificar el mal condicionamiento de

una matriz y está dado por la siguiente formula

Cond(A)=||A||*||A-1||

Se halló en matlab de dos formas la primera calculando la norma de la matriz y

multiplicándola por la norma de la inversa de esta matriz como se pusde ver en la

figura 3 y Con el comando cond(A) el calcula el condicional de la matriz

directamente sin necesidad de cálculos, se esperaría que si la matriz está bien

condicionada este valor sea igual o cercano a 1, sin embargo para esta matriz el

condicional da 524.0568 hallado de las dos formas


1.0000 X1 0.5000 X2 0.3333 X3= 1

0.5000 X1 0.3333 X2 0.2500 X3 = 0

0.3333 X1 0.2500 X2 0.2000 X3 = 0

Figura 6. Cálculo del condicional de una matriz y uso del comando cond(A)

2) Si se realiza un cambio pequeño en los valores de la matriz original y se genera un

gran cambio en los resultados esto es una señal de que la matriz está mal

condicionada, por ejemplo se cambió el valor aii y lo resultados fueron demasiado

diferentes a comparación de la matriz inicial como se muestra a continuación en la

figura 7.

Figura 7. Eliminación gaussiana cambiando el valor de la posición aii.

Los resultados son los mostrados a continuación

X1 = -2.5714

X2 = 10.2857

X3 = -8.5714


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