presentación conjuntos numericoss
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PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
LIC. HUGO ECHEVERRY
¿Qué puedes decir de este diagrama?
Conjunto de los Números Naturales
Números que utilizamos para contar
N = {1,2,3,4,5,6,7,8, … }
Los puntos suspensivos indican que los números continúan de esa forma, sin terminar nunca.
Conjunto de los Números Enteros
Se compone de los números naturales incluyendo a los números negativos y el 0
Z = {…,-2,-1,0,1,2,3, … }
Conjunto de los Números Racionales
Se compone de los números enteros incluyendo a todo los números que se expresan de la forma donde b ≠ 0
Ejemplos:ba
Incluye fracciones que al convertirlos en decimales son finitos, periódicos…
25.1
...33333.0
Conjunto de los Números Irracionales
Se expresan de la forma donde b ≠ 0, pero su decimal es infinito no periódico
Ejemplos:
ba
...414213562.12 ...14157.3
Conjunto de los Números Reales
Es el conjunto que agrupa a todos los conjuntos anteriores: naturales, enteros, racionales, irracionales
Puede ser considerado un conjunto universal
Veamos su representación
Propiedades de los Números Reales
Son postulados que no requieren demostración
Forman un conjunto de reglas fundamentales para fácil manejo algebraico
Si a, b, c son tres números reales cualesquiera y pertenecen al conjunto de los números reales veamos las propiedades:
Clausurativa
De la suma
a + bLa suma de dos números reales es otro
número real
De la multiplicación
a b
El producto de dos números reales es otro número real
Elemento Identidad o NeutroModulativa
De la suma
a + 0 = a 0 + a = a
El número 0 es el único elemento que conserva la identidad en la operación de
suma
De la multiplicación
a 1 = a1 a = a
El número 1 es el único elemento que conserva la identidad en la operación de
multiplicación
Elemento Inverso
De la suma
a + –a = 0Para todo número a existe un número –a llamado inverso aditivo (opuesto) que
genera su elemento identidad
De la multiplicación
a = 1Para todo número p
(excepto 0) existe un número
llamado inverso multiplicativo
(recíproco) que genera su elemento identidad
a1
a1
Asociativa
De la suma
(a + b) + c = a + (b + c)
De la multiplicación
(a b) c = a (b c)
En ambos casos la forma en que se agrupan no alteran el resultado
final ni en la suma ni en la multiplicación.
Esto no aplica en la resta ni en la división.
Conmutativa
De la suma
a + b = b + a
De la multiplicación
a b = b aEn la suma y en la multiplicación el orden no altera el resultado.
Esto no aplica en la resta ni en la división.
Distributiva
De la suma
a(b + c) = ab + ac(a + b)c = ca + cb
Aquí la multiplicación distribuye a la suma y puede extenderse a
varios números dentro del paréntesis
Ejercicios
Indica a cuál o cuáles de los siguientes conjuntos pertenecen los números de la izquierda de la tabla con una marca de cotejo:
Número/Conjunto numérico
Natural
Cardinal
Entero
Racional
Irracional
Real
11
-7
0
¾
0.272727…
7.25
2.7985413…
1½
Identifica la propiedad en cada enunciado:
7 + 5 = 5 + 7 3 + (5 + 2) = 3 + (2 + 5) (6 3) 1 = 6 (3 1) 5(3 + 2) = 5(3) + 5(2) 7 1 = 7 11 + 0 = 11 9 + -9 = 0 2 ½ = 1
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Ejercicios
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
Completa lo que falta para demostrar la propiedad previa: