mathevolution.files.wordpress.com · Índice presentación ........................... 5 capÍtulo...

Matemática 10. Primer Año de Bachillerato

R

E

S

P

U

E

S

T

A

S

232

67. a) 1 b) 1 c) 10

68. a) 2 < x < 6 b) x < − 3 c) − 2 < x ≤ 7 d) 1 < x ≤ 54

69. a) 2 < x ≤ 3 b) 2 < x < 4 c) 1 < x d) 5 < x ≤ 6

70. a) máximo: − 5 (donde x = 1) b) máximo; 4 (donde x = 2)

mínimo: − 13 (donde x = 9) mínimo: 0 (donde x = 12 )

71. a) 1 b) − 2 c) 5 d) − 4

72. a) 1.3118 b)2.9138 c) 4. 7723 d) − 0.1918 e) − 1.2411

73. a) 1.8929 b)0.7326 c) 2.3223 d) − 0.4999 ó 0.5

74. a) 2100 es el número de 31 cifras. b) 3 5 0 es el número de 24 cifras.

75. Dentro de 15 años.

CAPÍTULO IV. SUCESIONES

1. a) e)

b) f)

c) g)

d ) h)

2. a) 13, 16 b) 11, − 5 c) 9, 27 d) 4, 32 e) 19 , 1

3 , 27f) − 1, 1 g) 4, 16 h) 22, 29 i) 13 j) 555, 55555

(SUGERENCIA)b) sustraer 4 c) adicionar 6 d) multiplicar 2 e) multiplicar 3f) multiplicar – 1 g) a

n= n2 h) a

n + 1− a

n= n i) a

n + 2 = a

n + 1+ a

n

3. el intervalo / el número adecuado en el a) 5 / 16, 21 b) − 2 / 0, − 6

4. a) an

= 5n − 4 / a10

= 4 b) an

= − 2n + 4 / a10

= − 16

5. a) d = 3 , an= 3n − 8 b) a

5= 7, a

20= 52

6. a = − 10

1–5

6–3

61

5–2

20

70

1

–6

ÍNDICE

Presentación ........................... 5

CAPÍTULO I. CONJUNTOS ........................... 7Repaso ............................. 81. Signos de Desigualdad. ............................. 142. Valor Absoluto. ............................. 183. Conjuntos. ............................. 214. Subconjuntos. ............................. 225. Intersección y Unión de conjuntos. ............................. 256. Conjuntos Complementarios. ............................. 297. Cardinalidad de un Conjunto. ............................. 34Ejercicios de repaso. ............................. 37

CAPÍTULO II. ECUACIONES Y DESIGUALDADES ........................... 40Repaso ............................. 411. Ecuación Lineal. ............................. 522. Desigualdad Lineal. ............................. 563. Ecuación de Segundo Grado. ............................. 584. Ecuaciones Simultáneas. ............................. 735. Desigualdades Simultáneas. ............................. 83Ejercicios de repaso. ............................. 84

CAPÍTULO III. FUNCIONES ........................... 89Repaso ............................. 901. Función Lineal y de Segundo Grado. ............................. 1002. Función Sobreyectiva, Inyectiva y Biyectiva. ............................. 1273. Función Inversa. ............................. 1294. Función Fraccionaria. ............................. 1315. Función Irracional. ............................. 1376. Función Exponencial. ............................. 1427. Función Logarítmica. ............................. 153Ejercicios de repaso. ............................. 169

CAPÍTULO IV. SUCESIONES ........................... 176Repaso ............................. 1771. Sucesiones. ............................. 1802. Sucesiones Aritméticas. ............................. 1813. Suma de Sucesiones Aritméticas. ............................. 1844. Sucesiones Geométricas. ............................. 1885. Suma de Sucesiones Geométricas. ............................. 1916. Aplicación de las Sucesiones Geométricas.

en el Cálculo del Interés Compuesto. ............................. 1947. Propiedades de las Sucesiones Aritméticas.

y Geométricas. ............................. 195Ejercicios de repaso. ............................. 197Respuestas ............................. 200

Tabla de logaritmos de base 10 ........................... 236

PRESENTACIÓN

El Ministerio de Educación, conciente de la necesidad de apoyar el proceso enseñanzaaprendizaje de la matemática con material bibliográfico que permita hacer más efectiva einteresante esta asignatura, se complace en entregar a docentes y estudiantes, el presentelibro que ha sido producido con la convicción de que estudiar matemática significa “descubriry hacer matemática” a partir de los conocimientos previos que los alumnos y alumnasbeneficiaros/as tienen, utilizar procesos metodológicos y el lenguaje matemático adecuadopara lograr entender y desarrollar habilidades para resolver problemas de acuerdo aldesarrollo mental de los educandos. Por esta razón, el contenido de este libro se ha producidode acuerdo al programa de estudio de Primer Año de Bachillerato; por ello está estructuradode la manera siguiente:

• CAPÍTULO I : CONJUNTOS• CAPÍTULO II: ECUACIONES Y DESIGUALDADES• CAPÍTULO III: FUNCIONES• CAPÍTULO IV: SUCESIONES

Al final de los cuatro capítulos se presenta un apartado para las respuestas de los ejerciciostanto del repaso como de los contenidos.

En cada capítulo se desarrolla el tema en cuatro partes bien diferenciadas: página inicial,páginas de repaso, páginas de información y páginas de ejercicios propuestos.

Página inicial. El propósito de esta página es informar y motivar a los alumnos y alumnassobe aspectos relacionados con los contenidos del tema.

Páginas de repaso: En esta página se ofrece a los educandos algunos conocimientos previospara facilitar el abordaje de los tema a desarrollar.

Páginas de información básica: En estas páginas se desarrollan los contenidos propiosdel tema, partiendo siempre de casos sencillos hasta llegar a la definición de conceptos yejercicios de mayor profundidad.

La información se presenta en dos columnas. La columna de la izquierda contiene eldesarrollo del contenido, ejemplos y ejercicios propuestos; en la columna de la derecha, sepresentan procedimientos, definiciones y notaciones simbólicas.

Al final de cada contenido, aparece un esquema en donde se sintetiza lo más importantedel contenido desarrollado.

CAPÍTULO

CONJUNTOS

El concepto de conjunto es simplemente una generalización de una idea que ya es algo común en lavida diaria.

Por ejemplo:

a. Una colección de platos de loza a menudo recibe el nombre de conjunto de platos.

b. Los volúmenes de una enciclopedia forman un conjunto de libros.

c. Una molécula de una sustancia es un conjunto de átomos.

En cada caso, la colección de platos, libros o átomos, se considera como un conjunto.

Los conjuntos no necesariamente están formados por objetos físicos; pueden también constar deideas abstractas. Ejemplo de ello son los Diez Mandamientos que son un conjunto de principiosmorales. Del mismo modo, la Constitución Política de un país es el conjunto básico de leyes que lorigen.

Este capítulo tratará acerca de conjuntos, no sólo porque gran parte de las matemáticas elementalesse basan en este concepto, sino también porque muchos de los planteamientos matemáticos puedenestablecerse de manera más sencilla valiéndose de los conjuntos.

Aunque muchas de las ideas concernientes a los conjuntos pueden remontarse a los siglos XVI yXVII, la teoría moderna de conjuntos se debe al matemático alemán George Cantor (1845-1918),quien se interesó profundamente en aclarar algunas de las vagas ideas que había respecto al conceptode número, y cuyos estudios se dirigieron principalmente hacia dicha teoría.

Ya desde la época de Cantor se reconocía que uno de los conceptos fundamentales en matemáticasera el de conjunto.


C

A

P

Í

T

U

L

O

I

8

N = { 1, 2, 3, 4, 5, ··· }.

Ejemplos: 10 + 5 = 15 ; 4 × 1 = 4 ;2 + 2 = 4 ; 6 × 7 = 42

Ejemplos: 8 − 5 = 3 ; 8 − 8 = 0 ;5 − 8 = − 3

Z = Z+ U { 0 } U Z –

Es decir,Z = {···, −5, − 4, −3, −2, −1,

0, 1, 2, 3, 4, 5, ···}.

Ejemplos: 8 ÷ 2 = 4 ; 7 ÷ 2 = 72

Ejemplos: − 9 ÷ 3 = − 3;

7 ÷ ( − 2) = − 72

Es decir,

Q = { mn / m , n son números

enteros y n ≠ 0 }

Ejemplos: 5 51= ; 0 0

1= ;

− = −6 61

1d

1

Números fraccionarios: mn (m , n son

números enteros y n ≠ 0)

Repaso

Sistemas numéricos.

Los números que se utilizan para contar y expresar el número delas personas, animales o cosas se llaman “números naturales”,y se denotan por N.

• Las respuestas de adición y multiplicación de númerosnaturales son también números naturales.

• Si se trata de sustracción, el resultado no siempre es unnúmero natural.

A partir de los ejemplos, se observa que surge un nuevoconjunto, el de los números enteros.

Este conjunto está formado por los números naturales o enterospositivos, el cero y los enteros negativos. Se denotan por Z.

• Cuando se divide un número natural, las respuestas nosiempre son números naturales.

• Lo mismo ocurre cuando se trata de división de númerosenteros.

A 72 , − 7

2 , se les llama “números fraccionarios”.

De esta forma aparece otro conjunto, los “números racionales”.Este conjunto está formado por los números enteros y losnúmeros fraccionarios, y se denotan por Q.

Un número entero A, es número racional, porque puedeexpresarse como A = A

1 . Esto significa que todos los númerosracionales se pueden expresar como números fraccionarios.

Observar el gráfico. ¿Cómo se expresa la distancia de sudiagonal?

Para encontrar el valor se utiliza el teorema de Pitágoras:

d a b2 2 2= + .

Al sustituir “a” y “b” por el valor que tienen en el gráfico, seobtiene

d2 2 21 1 1 1 2= + = + = , ( d > 0 )


C

A

P

Í

T

U

L

O

I

9

N denota todos los números naturales,

N = { 1, 2, 3, 4, 5, ···}

Z denota todos los números enteros,

Z = {···,−5,− 4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,··· }

Q denota todos los números racionales,

Q = { mn / m , n son números enteros y n ≠ 0 }

Q´ denota todos los números irracionales,

Q ´ = { q´ / q´ es número que no se puede expresar por cociente de números enteros }

R = números reales → R = { r / r es número racional o número irracional}

d = ± 2 ,

o simplemente, d = 2

Q ´ = {q´ / q´ es número que no se puedeexpresar por cociente de enteros}

R = { r / r es número racional o númeroirracional} o R = Q ∪ Q’

El resultado no se puede expresar con números racionales y sehace necesario utilizar el signo radical ( ).

A los números 2 , − 5 se les llama “números irracionales”,y se denotan por Q ´.

Si se unen los números racionales y los números irracionales seforma un nuevo conjunto, el de los “números reales”. Sedenotan por R.

Ejercicio 1

Clasificar por N, Z, Q y R los siguientes números: (los números pueden pertenecer a varios conjuntos).Ejemplo: “ −7” pertenece a Z , Q y R

a) 7 ; b) − 4 ; c) 5 ; d) 15; e) − 9 ; f ) 34 ; g) 13 ; h) − 6

7

Ejercicio 2

Clasificar por N, Z, Q y R los siguientes números. Si un número pertenece a varios conjuntos,clasificarlo en el menor de ellos. Ejemplo: “−7” pertenece a Z, Q y R, entonces se clasifica en Z.N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, “a ⊂ b ”: “a está incluido en b”.

a) 8 ; b) − 9 ; c) 6 ; d) 23 ; e) − 11; f) 45 ;

g) 12 ; h) 78 ; i) 2.5; j) − 3.25; k) − 4

5 ; l) π

R

Q

Z

N

Q’


C

A

P

Í

T

U

L

O

I

10

Cuando a, b, c ∈ R ( a, b, c están en R )

Propiedades Adición Multiplicación

� Cierre a + b ∈ R a × b ∈ R

� Asociatividad a + ( b + c ) = ( a + b ) + c ( a × b ) × c = a × ( b × c )

� Conmutatividad a + b = b + a a × b = b × a

� Distributividad del ( a + b ) × c = a × c + b × c;producto sobre la suma. c × ( a + b ) = c × a + c × b

Probar las propiedades de adición y multiplicación con los siguientes números. a = 5, b = 8, c = 14 ∈ R

Adición Multiplicación

� a + b = 5 + 8 = 13 ∈ R a × b = 5 × 8 = 40 ∈ R

� a + ( b + c ) = 5 + ( 8 + 14 ) ( a × b ) × c = ( 5 × 8 ) × 14= 5 + 22 = 27 = 40 × 14 = 560

( a + b ) + c = ( 5 + 8 ) + 14 a × ( b × c ) = 5 × ( 8 × 14 )= 13 + 14 = 27 = 5 × 112 = 560

� a + b = 5 + 8 = 13 a × b = 5 × 8 = 40b + a = 8 + 5 = 13 b × a = 8 × 5 = 40

� ( a + b ) × c = ( 5 + 8 ) × 14 = 13 × 14 = 182a × c + b × c = 5 × 14 + 8 × 14 = 70 + 112 = 182

c × ( a + b ) = 14 × ( 5 + 8 ) = 14 × 13 = 182c × a + c × b = 14 × 5 + 14 × 8 = 70 + 112 = 182

Propiedades de los números reales (I).

Propiedades Adición Multiplicación

� Identidad a + 0 = a ∈ R a × 1 = a ∈ R

� Inversos Si d = − a Si e = a−1 = 1a

entonces (pero a ≠ 0 , e ≠ 0) entoncesa + d = a + (− a) = 0 a × e = a × a−1 = 1

Ejercicio 3

Probar las propiedades de � a � con los siguientes números: a, b, c.

a) a = 6, b = 2, c = 4 b) a = 3, b = − 4, c = 2

c) a = − 5, b = 7, c = − 2 d) a = − 8, b = − 3, c = − 1

Propiedades de los números reales (II).

Cuando a, d, e ∈ R ( a, d, e están en R )


C

A

P

Í

T

U

L

O

I

11

a b a b− = + −( ),

a b a b÷ = × 1 ( pero b ≠ 0 )

Ejemplos: 5 115× = ,

( ) ( )− ×− =17 7 1

“ 15 ” es recíproco de 5 y viceversa.

“ −7 ” es recíproco de − 17 y viceversa.

Solución

1) (5) + (8) = 5 + 8 = 13 ••• Resp.

2) (−7) + (−8) = −7 − 8 = −15••• Resp.

Adición Multiplicación

� a + 0 = 5 + 0 = 5 = a ∈ R a × 1 = 5 × 1 = 5 = a ∈ R

� a + d = 5 + (−5) = 5 − 5 = 0 a × e = 5 × 15 = 5

5 = 1

Toda sustracción y división puede cambiar a adición ymultiplicación.

Si el producto de dos números (a × b) es 1, “b ” es llamado“ recíproco ” o “ número inverso ” de a y “a ” es llamado“ recíproco ” o “ número inverso ” de b.

Probar las propiedades de identidad y del elemento inverso de la adición y multiplicación, con lossiguientes números: a = 5, d = −5, e = 1

5 ∈ R

Ejercicio 4

Probar la propiedad � y encontrar “d” y “e” de la propiedad � si “a” toma los siguientes valores:

a = 6, a = 3, a = − 5, a = − 2.

Ejercicio 5

Encontrar los recíprocos de los siguientes números:

a) 7; b) − 6; c) 37 ; d) − 5

9 ;

La adición y su operación inversa, la sustracción.

Cuando a ≥ 0, b ≥ 0 ( a y b son mayores o iguales que 0)

� a + ( b ) = a + b, � a − (− b ) = a + b

� a + ( −b ) = a − b, � a − (b ) = a − b

Ejemplos

Calcular lo siguiente:

1) (5) + (8) 2) (−7) + (−8)


C

A

P

Í

T

U

L

O

I

12

El número de los negativos es dos, esdecir, número par. Entonces el signo de larespuesta es positivo.

El número de los negativos es tres, esdecir, número impar. Entonces el signo dela respuesta es negativo.

Ejercicio 6


a) (35) + (23) b) 147 + (−319) c) −5 + (−7) d) −15 + (−27)

e) 37 − (−14) f) 45 + (−23) g) − 67 − (24) h) 0 − (−75)

Ejercicio 7


a) 6 − 10 − 15 b) −12 + 8 − (−14)

c) 12 − 5 + 7 − 13 d) −8 − 4 + (−1) − (−7)

e) −14 − (−29) + (−35) + 11 f) −1.2 + (−3.1) − 4.5 − (−3.1)

g) −1.5 + 2.6 + (−5.1) − (−3)

Ley de los signos para multiplicación y división.

Al multiplicar o dividir dos o más números, se debe tener en cuenta la siguiente ley de los signos:

Multiplicación División

+ por + = + + entre + = +

+ por − = − + entre − = −

− por − = + − entre − = +

− por + = − − entre + = −

Ejemplos


1) ( −2 ) × 5 × ( −3 ) × 4

2) 2 × ( − 4 ) × ( −1 ) × ( −3 )

3) 5 × ( − 4 ) × 7 + ( −3 ) × 8 × ( −5 ) × 7

Solución

1) ( −2 ) × 5 × ( −3 ) × 4

= 120 ••• Resp.

2) 2 × ( − 4 ) × ( −1 ) × ( −3 )

= −24 ••• Resp.

3) 5 × ( − 4 ) × 7 + ( − 3 ) × 8 × ( − 5 ) × 7

= −140 + ( 840 ) = 700 ••• Resp.


C

A

P

Í

T

U

L

O

I

13

� �↑ �↑ ↑ � � � �↑ �↑ �↑ ↑ ↑ ↑

Ejercicio 8

Calcular lo siguiente:a) −5 × 6 × ( −2 ) × ( −3) b) − 6 × (− 6) ÷ ( −9) × (− 4)c) −3 × ( −7) + ( −9) × ( −8) d) (− 6) × (− 4) − ( −8) × ( −2 )e) 9 × ( −7 ) × ( −2 ) − (26) f) −36 ÷ (− 6) − (− 45) ÷ ( −5)

Orden de las operaciones.Cuando se quiere efectuar operaciones encerradas entre signos de agrupación, tales como: ( ) paréntesis,[ ] corchetes y { } llaves, se debe tener en cuenta lo siguiente:

Si se trata de sumas y restas, se inicia por las operaciones indicadas en los signos de agrupación másinternos, hasta llegar a las externas.

Si existen multiplicaciones y divisiones además de sumas y restas, el orden en que se efectúan debe serel siguiente:

1º multiplicación y división. 2º adición y sustracción.

Ejemplos

Calcular lo siguiente:1) 5 + 7 × 32) 4 × [ 34 − 5 × ( 8 − 2 ) ] − { 23 + [ 27 ÷ ( 6 + 3 ) ] − 12 }

Solución1) 5 + 7 × 3 = 12 × 3 = 36 ••••• solución equivocada

5 + 7 × 3 = 5 + 21 = 26 ••••• solución correcta ••••• Resp.

2) 4 × [ 34 − 5 × ( 8 − 2 ) ] − { 23 + [ 27 ÷ ( 6 + 3 ) ] − 12 }

= 4 × [ 34 − 5 × 6 ] − { 23 + [ 27 ÷ 9 ] − 12 } ( cálculo � )= 4 × [ 34 − 30 ] − { 23 + 3 − 12 } ( cálculo � )= 4 × 4 − 14 ( cálculo � )= 16 − 14 ( cálculo � )= 2 ••• Resp. ( cálculo � )

Ejercicio 9

Calcular lo siguiente:a) 12 − 4 × 9 ÷ [ 7 − (4 ÷ 1) ] e) 4 + 6 × 7b) { 24 − ( 35 ÷ 5 ) + [ 11 × 3 − 8 ]} f) − 5 − 6 ÷ 3c) 3 × [15 − 5 × ( 4 − 2 )] − {8 + [48 ÷ ( 9 + 3 )] − 7} g) − 7 × ( − 3) − 10d) { 35 + [ 5 × ( 8 − 3 ) ] − 9 } × { 6 × [ 14 − 2 × ( 8 − 2 ) ] } h) 3 + ( − 7) × 2


C

A

P

Í

T

U

L

O

I

14

5 es mayor que −1, porque está al ladoderecho de −1.

Entonces se dice que:−1 es menor que 5.5 es mayor que −1.

“ < ” se dice “menor que“.“ > ” se dice “mayor que”.

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

25 = 0.4

Esta línea se llama “recta numérica ”.

1. Signos de desigualdad.

Sean dos números −1 y 5.

¿ Cuál es mayor −1 ó 5 ?

Al comparar −1 con 5, en la recta numérica,se observa que 5 > −1

Esta relación de −1 y 5 puede expresarse de dos formas:

−1 < 5 ó 5 > −1

A estas expresiones se les llama “ desigualdades ”y estos signos < y >, se llaman “ signos de desigualdad ”.

Ejercicio 10

Comparar los siguientes números y expresar la relación con los signos de desigualdad < y >.

a) − 6 y 5 b) 3 y 0.8 c) −5 y − 6 d) − 0.75 y − 0.09

e) 35 y 0.5 f) 3

4 y 0.72 g) 52 y 9

4 h) − 18 y 3

8

Ejemplos

Comparar los siguientes números y expresar la relación consignos de desigualdad < y >.

1) 5 y −2 2) 25 y 0.5

Solución1) 5 es mayor que −2 .

Entonces 5 > −2 ó −2 < 5 ••• Resp.

2) 25 = 0.4

Por eso 25 es menor que 0.5.

( ó 0.5 es mayor que 25 )

Entonces 25 < 0.5 ó 0.5 > 2

5 ••• Resp.


C

A

P

Í

T

U

L

O

I

15

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

a+1(a=2)

a+1(a=4)

a+1(a=1)

a+1(a=3)

. . .

Entonces se dice que:

“a + 1 es mayor que 2” o“a + 1 es igual que 2”.

“ 2 es mayor que a + 1” o“ 2 es igual que a + 1”.

Observar que:

(1) a ≥ 0Si a = 0,a + 1 = 0 + 1 = 1Si a = 1,a + 1 = 1 + 1 = 2

(2) 0 ∈ a ≤ bSi a = 0, b = 0a − 4 = 0 − 4 = − 4b − 4 = 0 − 4 = − 4Si a = 0 , b = 1a − 4 = 0 − 4 = − 4b − 4 = 1 − 4 = −3

Sean dos números, a + 1 y 2, donde “a” es número natural.

¿Cuál es mayor a + 1 ó 2?

Como “a” es número natural, 1, 2, 3, 4, L.

� Si “a” es 1, a + 1 = 1 + 1 = 2.Por lo tanto a + 1 = 2.

� Si “a” es 2, a + 1 = 2 + 1 = 3 > 2.Por lo tanto a + 1 > 2

� Si “a” toma los valores 3, 4, 5, L, siempre se obtendráa + 1 > 2.

Esta relación de a + 1 y 2 puede expresarse de dos formas:a + 1 ≥ 22 ≤ a + 1

Ejercicio 11

Comparar los siguientes números y expresar la relación con los signos de desigualdad < , > , ≤ y ≥, sise tiene que: a, b ∈ R y 0 ≤ a ≤ b.

a) a + 3 y 3 b) a – 5 y b – 5 c) a + 7 y 7 d) a – 6 y b – 6

Ejemplos

Comparar los siguientes números y expresar la relación consignos de desigualdad, < , > , ≤ y ≥.

Pero a, b ∈ R y 0 ≤ a ≤ b.

1) a + 1 y 1 2) a − 4 y b − 4

Solución1) Dato del problema, a ≥ 0.

Entonces sumar 1 en ambos miembros.

a + 1 ≥ 0 + 1

Por lo tanto a + 1 ≥ 1 ••• Resp.

2) Dato del problema, a ≤ b.

Entonces restar 4 en ambos miembros.

Por lo tanto a – 4 ≤ b – 4 ••• Resp.


C

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P

Í

T

U

L

O

I

16

a b

a b

a , b ∈ R

� Cuando b es más grande que a.“ a < b ”, entonces se dice que “ a es menor que b ”.

� Cuando b es más grande que a o igual que a.“ a ≤ b ”, entonces se dice que“ a es menor o igual que b ”.

“ b ≥ a ”, entonces se dice que“ b es mayor o igual que a ”.

( “ b ” existe en algún lugaren la línea obscura o es unpunto )

Observar lo siguiente:1) 0 ≤ a ≤ b

Si a = 0, b = 02a = 2 × 0 = 02b = 2 × 0 = 0

Si a = 0, b = 12a = 2 × 0 = 02b = 2 × 1 = 2

2) 0 ≤ a ≤ bSi a = 0, b = 0

–3a = –3 × 0 = 0–3b = –3 × 0 = 0

Si a = 0, b = 1–3a = –3 × 0 = 0–3b = –3 × 1 =–3

3) 0 ≤ a ≤ bSi a = 0, b = 0

–2a – 4 = –2 × 0 – 4 = – 4–2b – 4 = –2 × 0 – 4 = – 4

Si a = 0, b = 1–2a – 4 = –2 × 0 – 4 = – 4–2b – 4 = –2 × 1 – 4 = – 6

4) 0 ≤ a ≤ bSi a = 0, b = 0

4a +1 = 4 × 0 + 1 = 14b +2 = 4 × 0 + 2 = 2

Si a = 0, b = 14a +1 = 4 × 0 + 1 = 14b +2 = 4 × 1 + 2 = 6

Ejemplos

Comparar los siguientes números y expresar la relación consignos de desigualdad < , > , ≤ y ≥.

Si a, b ∈ R y 0 ≤ a ≤ b.1) 2a y 2b 2) −3a y −3b3) − −2 4a y − −2 4b 4) 4a + 1 y 4b + 2

Solución1) Dato del problema, a ≤ b.

multiplicar por 2 ambos miembros.Por lo tanto 2a ≤ 2b ••• Resp.

2) Dato del problema, a ≤ b.multiplicar por −3 ambos miembros.Por lo tanto − ≥3 3a b−− ••• Resp.

3) Dato del problema, a ≤ b.multiplicar por −2 ambos miembros.Luego, − ≥2 2a b−− ••• Resp.

Además restar 4 en ambos miembros.Por lo tanto − − ≥ −2 4 2 4a b−− ••• Resp.

4) Dato del problema, a ≤ b.multiplicar por 4 ambos miembros.

4a ≤ 4b

Además sumar 2 en ambos miembros.4a + 2 ≤ 4b + 2

y 4a + 1 < 4a + 24a + 1 < 4a + 2 ≤ 4b + 2

Por lo tanto 4a + 1 < 4b + 2 ••••• Resp.


C

A

P

Í

T

U

L

O

I

18

Se tiene:

1) dos números 8 y 58 − 5 = 3 intervalos

2) dos números, 8 y −58 − ( −5) = 13 intervalos

1 4–2 0 2 3 5 6–1

6 intervalos6 intervalos

Hay 6 intervalos

En este caso la respuesta que se obtiene esnegativa.

La distancia siempre es positiva.

Se expresa así: | a | y se lee “valorabsoluto de a” .

El valor absoluto de un número siemprees positivo.

2. Valor Absoluto

Sean dos números 5 y −1.

Para conocer el número de intervalos entre estos dos números, essuficiente contar los espacios. Se visualiza mejor en la rectanumérica.

En la recta numérica se observan 6 intervalos desde el puntomarcado con −1 hasta el punto marcado con 5 y desde el 0 al 6.

Es decir, hay 5 − ( −1) = 6 intervalos,

y 6 − 0 = 6 intervalos.

Si se toman los números

(1) 8 y 5.

(2) 8 y − 5. ¿Cuántos intervalos hay entre ellos?

Se podría decir, en general, que el número de intervalosdesde el punto marcado con “m ” hasta el punto marcadocon “n ” es “n − m”.

Sin embargo, si se pregunta, ¿cuántos intervalos hay entre elpunto marcado con 5 y el marcado con −1?, la generalizaciónllevaría a: −1 − 5 = − 6 , lo cual no tiene sentido comorespuesta a la pregunta, ¿cuántos ?

El número de intervalos entre puntos sobre una línea, se llamadistancia, y ésta nunca es negativa.

Para definir adecuadamente la distancia entre dos puntos, esnecesario conocer el “valor absoluto de un número”.

Ejemplo:

Si a = 6, | 6 |= 6

a = 0, | 0 | = 0

a = − 3, | − 3 | = − ( − 3) = 3

Por eso | a | ≥ 0

1 4–2 0 2 3 5 6–1


C

A

P

Í

T

U

L

O

I

19

Ejemplo:La distancia entre 7 y −3 es:

| 7 − ( −3) | = 10 ó| ( −3) − 7 | = 10

La distancia entre dos puntos, porejemplo: A y B se expresa así:

AB o BA

Es decirAB = | a – b | = | b – a |

Ejemplos

Expresar el valor absoluto de:1) −−2 , 5 y 0.2) | x – 5 | y | x – 5 |

Solución1) | −−2 | = 2, | 0 | = 0, | 5 | = 52) | x – 5 | = x – 5, si x ≥ 5

| x – 5 | = – ( x – 5 ), si x < 5

Para generalizar:

Si “a” es un número, el valor absoluto de “a” indicado por | a |, se define así:a > 0, | a | = aa = 0, | a | = 0a < 0, | a | = − a

Además, | a | = |− a |, luego | a | ≥ 0

Ahora se puede decir, que la distancia entre dos puntos m y nsobre la recta numérica es:| m – n | = | n – m |

Ejercicio 13

Encontrar el valor absoluto de:

a) | 7 | b) | −12 | c) | − 6 7. | d) | 72 | e) | − 5

3 | f) | 8.29 |

Ejemplos

Encontrar la distancia entre dos puntos,si A = 3; B = −−2 ; C = −−2 ; D = − 4; P = 1; Q = 5.

1) P y Q 2) A y B 3) C y D

Solución1) PQ = | 5 – 1 | = | 4 | = 4

o PQ = | 1 – 5 | = | − 4 | = 4 ••••• Resp.

2) AB = | –2 – 3 | = | –5 | = 5o AB = | 3 – (–2) | = | 5 | = 5 ••••• Resp.


C

A

P

Í

T

U

L

O

I

20

a b

3) CD = | − − −4 2( ) | = | −2 | = 2

o CD = | − − −2 4( ) | = | 2 | = 2 ••• Resp.

Ejercicio 14

Encontrar la distancia entre dos puntos, si A = − 6; B = − 2; C = − 8; P = 3; Q = −1

a) P y Q b) A y B c) C y P

Definición del valor absoluto

Si a > 0, | a | = a

a = 0, | a | = 0

a < 0, | a | = − a Por eso | a | ≥ 0

y además se cumple | a | = | − a |

La distancia entre dos puntos A ( a ) y B ( b )

se expresa así: AB o BA

Es decir AB = | a – b | = | b – a |


C

A

P

Í

T

U

L

O

I

21

M1

39

5 78

Por extensión o enumeración deelementos.

Por comprensión utilizandosímbolos y/o una regla.

Es imposible escribir todos los elementosdel conjunto L, porque existeninfinitos elementos.

En este caso es mejor expresar elconjunto por compresión.

L1y L

2 son dos formas de expresar por

compresión el conjunto de los númerosimpares.

Por ejemplo:“5” es un elemento de M.“8” no es elemento de M.

a

A

b

3. Conjuntos

Sea M un conjunto formado por los números dígitos impares.Los elementos de M son: 1, 3, 5, 7, 9.

A cada uno de los números que conforman el conjunto M se lellama “elemento”.

El conjunto M puede expresarse de dos formas:

M = { 1, 3, 5, 7, 9 }

M = { x / x es un dígito impar }

Ahora sea L un conjunto formado por los números impares.Los elementos de L son:

{L, − 9, − 7, − 5, − 3, −1, 1, 3, 5, 7, 9, L}

Entonces el conjunto L puede expresarse de tres maneras:

L = { L, − 7, − 5, − 3, −1, 1, 3, 5, 7, L }

L1 = { 2m + 1 / m es un número entero }

L2 = { 2m –1 / m es un número entero }

Ejercicio 15

Encontrar todos los elementos de los conjuntos:a) A = { m / − 5 ≤ m ≤ 4, m es un número entero }b) B = { m / − 3 ≤ m ≤ 0, m es un número entero }c) C = { 3m + 1 / − 2 ≤ m ≤ 3, m ∈ Z }d) D = { m (m + 1) / 1 ≤ m ≤ 7, m ∈ Z }

Un conjunto es una lista, colección o clase de objetos bien definida.

Cada uno de los objetos de un conjunto es llamado“elemento”.Cuando a es un elemento del conjunto A, se dice que “apertenece al conjunto A” y se expresa así: a ∈ Ay cuando b no es elemento del conjunto A, se dice que “b nopertenece al conjunto A” y se expresa así: b ∉ A


C

A

P

Í

T

U

L

O

I

22

1

39

5 7

11

B

A

El conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto y todo conjunto es subconjunto de sí mismo.Todo conjunto tiene 2n subconjuntos.

106

42

8

CD

Se expresa así:

A ⊂ B o B ⊃ A

Por ejemplo: “3” pertenece a A,además pertenece a B.

Por ejemplo: “4” pertenece a C,además pertenece a D.

E

Se expresa así: C = D

Se expresa así:E = φ o { }

Los subconjuntos del conjunto

M son: { }, { 1 }, { 3 }, { 5 }, {1, 3 },{ 1, 5 }, { 3, 5 }, { 1, 3, 5 }

M tiene tres elementos entonces,2n = 23 = 8 subconjuntos.

4. Subconjuntos

Sean A y B dos conjuntos formados por números impares.Los elementos son:

A = { 1, 3, 5, 7, 9 } y los deB = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 }

Todos los elementos del conjunto A pertenecen al conjunto B.

La relación entre A y B, se dice que “el conjunto A estácontenido en el conjunto B” o “el conjunto B contiene alconjunto A”.

Además cuando A ⊂ B, se dice que “A es subconjunto delconjunto B”.

Sean C y D dos conjuntos formados por números pares.Los elementos son:

C = { 2, 4, 6, 8, 10 } y los deD = { 2, 4, 6, 8, 10 }

Todos los elementos del conjunto C pertenecen al conjunto D.Además, todos los elementos del conjunto D pertenecen alconjunto C. Es decir, C ⊂ D y C ⊃ D

Entonces esta relación entre C y D, se dice que “los conjuntos Cy D son iguales”.

Sea E un conjunto que no tiene elementos. E = { }

Entonces este conjunto se llama “conjunto vacío” o “nulo”.

Sea M un conjunto formado por 1, 3, 5. ¿Cuáles son lossubconjuntos que tiene el conjunto M?

Para obtener la respuesta se desarrolla la potencia 2n para nnúmero de elementos del conjunto.


C

A

P

Í

T

U

L

O

I

23

AB

3

1 75

9

11

13

Por ejemplo: 1 ∈ A pero1 ∉ B

11 ∈ B pero 11 ∉ A

Se expresa así: A ⊄ B yB ⊄ A

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

AB

Usar el gráfico con la recta numérica.

1)

Sean A y B dos conjuntos formados por números impares.Los elementos son:

A = { 1, 3, 5, 7, 9 } y los deB = { 3, 5, 7, 9, 11, 13 }

Un elemento del conjunto A, es “1”, este número pertenece alconjunto A, pero no pertenece al conjunto B.

Además un elemento del conjunto B es “11”. Este númeropertenece al conjunto B, pero no pertenece al conjunto A.

Esta relación entre A y B, indica que “el conjunto A no estácontenido en el conjunto B” y “el conjunto A no contiene alconjunto B”.

Ejercicio 16

Encontrar la relación entre A y B.

a) A = { 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }

b) A = { 0, 1, 2, 3 }, B = { −1, 0, 1, 2, 3, 4 }

c) A = { 1, 3, 5, 7, 9 }, B = { 1, 5, 9, 13 }

d) A = { 2, 4, 6, 8 }, B = { − 2, 0, 2, 4, 6, 8, 10 }

e) A = { 1, 3, 5, 7, 9 }, B = { 1, 5, 9 }

f) A = { 2, 4, 6, 8, 10 }, B = { − 2, 0, 4, 8, 10 }

Ejemplos

R es el conjunto de todos los números reales,encontrar la relación entre A y B.

1) A = { x / − 2 ≤ x ≤ 3, x ∈ R } yB = { x / −1 ≤ x ≤ 2, x ∈ R }

2) A = { x / − 3 < x < 1, x ∈ R } yB = { x / − 2 < x < 3, x ∈ R }

Solución1) Consultar el gráfico de la derecha.

Entonces B ⊂ A ••••• Resp.


C

A

P

Í

T

U

L

O

I

24

2) Consultar el gráfico de la derecha.

Entonces A ⊄ B y B ⊄ A ••• Resp.

Ejercicio 17

R es el conjunto de todos los números reales, encontrar la relación entre A y B, de los siguientes pares deconjuntos:

a) A = { x / − 3 ≤ x ≤ 4, x ∈ R } B = { x / − 2 ≤ x ≤ 1, x ∈ R }

b) A = { x / − 2 < x < 3, x ∈ R } B = { x / − 4 < x < 0, x ∈ R }

c) A = { x / 3 ≤ x, x ∈ R } B = { x / 2 ≤ x, x ∈ R }

d) A = { x / − 3 ≤ x < 1, x ∈ R } B = { − 3, − 2, −1, 0 }

2)

-4 -3 -2 1 0 1 2 3 4

AB


C

A

P

Í

T

U

L

O

I

25

Sean A y B dos conjuntos.

El conjunto formado por los elementos de El conjunto formado por los elementos deA y B, se llama “ intersección de A y B”. A o B, se llama “ unión de A y B”.A ∩B = { x / x ∈ A y x ∈ B } A ∪ B = { x / x ∈ A o x B }

12

4 6

3 1

2

18M

N

A B A B

Por ejemplo:“1” es un elemento común.“4” no es elemento común.

Se expresa así: M ∩ N

Es decirM ∩N = { x / x ∈ M y x ∈ N }

Se expresa así: M ∪ N

Es decirM ∪N = { x / x ∈ M o x ∈ N }

5. Intersección y Unión de conjuntos

Sean M y N dos conjuntos. Los elementos son:

M = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 } y los de

N = { 1, 2, 3, 6, 9, 18 }

¿Cuáles elementos son comunes entre M y N?

Los elementos comunes de M y N son:1, 2, 3, 6

El conjunto que se compone de los elementos que pertenecen alconjunto M y N, se llama “ intersección de M y N”.

M ∩ N = { 1, 2, 3, 6 }

Considerar ahora, todos los elementos de M y N.

Todos los elementos de M y N son:1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18

El conjunto que se compone de los elementos que pertenecen alconjunto M o N, se llama “ unión de M y N”.

M ∪ N = { 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 }

Ejemplos

Encontrar los conjuntos A ∩B y A ∪B.A = { 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 2, 4, 6, 8 }


C

A

P

Í

T

U

L

O

I

27

B C

1

3

9 2

476

8

A B

5

24

3

1

8

6

9

7

C

A B

1

35

24

8

6

9

A C

1

3

5

24

7

6

b) A = { x /−1 ≤ x ≤ 5, x ∈ R }, B = { x /−3 ≤ x ≤ 4, x ∈ R }

c) A = { x /−1 < x < 4, x ∈ R }, B = { x /−2 ≤ x ≤ 2, x ∈ R }

Sean A, B y C tres conjuntos. Los elementos son:

A = { 1, 2, 3, 4, 5 }, los de

B = { 1, 3, 6, 8, 9 } y los de

C = { 1, 2, 4, 6, 7 }

Encontrar las siguientes relaciones.A ∩B = { 1, 3 }, B ∩C = { 1, 6 },A ∩C = { 1, 2, 4 },B ∩A = { 1, 3 }, C ∩B = { 1, 6 },C ∩A = { 1, 2, 4 }

AdemásA ∪B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 }B ∪C = { 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 }A ∪C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }B ∪A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 }C ∪B = { 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 }C ∪A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }

Entonces se pueden encontrar nuevas relaciones.

A ∩ B = B ∩ A, B ∩ C = C ∩ B,A ∩ C = C ∩ A

Además,A ∪ B = B ∪ A, B ∪ C = C ∪ B,A ∪ C = C ∪ A

En los gráficos se observa que el número “1” es elemento comúnde A, B y C.

El conjunto que se compone de los elementos que pertenecen alos conjuntos A, B y C, se llama “ intersección de A, B y C”.

A ∩ B ∩ C = { 1 }

Además todos los elementos de A, B y C son:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

El conjunto que se compone de los elementos que pertenecen alconjunto A, B o C, se llama “ unión de A , B y C”.

Se expresa así: A ∩ B ∩ C

Es decir, A ∩ B ∩ C= { x / x ∈A , x ∈B y x ∈C }

Se expresa así:A ∪ B ∪ C

Es decir, A ∪ B ∪C= { x / x ∈A , x ∈B o x ∈C }


C

A

P

Í

T

U

L

O

I

29

6. Conjuntos complementarios

Sean U y A dos conjuntos. Los elementos son:U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } y los deA = { 1, 3, 5, 7, 9 }

Entonces A es subconjunto de U.

Al conjunto U se le llama “conjunto universal”.

Los elementos que están afuera del conjunto A y adentro delconjunto U son: 2, 4, 6, 8.

A este conjunto se le llama “complemento del conjunto A”.Ac = { 2, 4, 6, 8 }

Ejemplo

U = { x / x ∈ R }, A = { x / 2 < x ≤ 5, x∈ R } yB = { x / x < 3, x ∈ R }. Encontrar Ac y Bc.

Solución.Consultar el gráfico de la derecha.

Entonces Ac = { x / x ≤ 2, 5 < x, x∈ R },Bc = { x / x ≥ 3, x∈ R } ••• Resp.

Ejercicio 21

U: conjunto universal. A y B subconjuntos del conjunto U.

Encontrar Ac y Bc.

a) U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }, A = { 2, 4, 5, 8 }, B = { 1, 2, 3, 6 }b) U = { x / x ∈ R }, A = { x / 0 ≤ x ≤ 5, x ∈ R }, B = { x / x > 2, x ∈ R }

Si de un conjunto U, se obtienen uno o varios subconjuntos, alconjunto U se le llama “conjunto universal”.

Al subconjunto que está afuera de A y adentro de U, se lellama “complemento del conjunto A” y se expresa así: A´ o Ac

es decir Ac = { x / x ∉ A y x ∈ U }

A1

34

9

6

87

2U

5

AU

Ac

Se expresa así: A´ o Ac

Es decirAc = { x / x ∉ A y x ∈ U }

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

BA

U

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Bc

Ac

U


C

A

P

Í

T

U

L

O

I

30

Sean U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } yA = { 1, 3, 5 } subconjunto de U.

El complemento del conjunto A es:Ac = { 2, 4, 6, 7, 8 }

Entonces el complemento del conjunto Ac es:( Ac ) c = { 1, 3, 5 } = A

Se observa que la unión de A y Ac es igual que el conjunto U.A ∪ Ac = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } = U

Además, la intersección de A y Ac es: A ∩ Ac = φ

Ejemplos

U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }, U: conjunto universal.A = { 1, 3, 5, 7, 9 }. A: subconjunto del conjunto U.

Encontrar lo siguiente:1) Ac 2) A ∪ Ac 3) A ∩ Ac 4) ( Ac ) c

Solución.1) Ac = { 2, 4, 6, 8, 10 }2) A ∪ Ac = U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }3) A ∩ Ac = φ4) ( Ac ) c = A = { 1, 3, 5, 7, 9 } •••Resp.

Ejercicio 22

U: conjunto universal. A: subconjunto del conjunto U.a) U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }, A = { 4, 6, 8, 9 },

Encontrar lo siguiente: Ac , A ∪ Ac , A ∩ Ac y ( Ac ) c .

b) U = { x / 2 ≤ x ≤ 11, x ∈ Z }, A = { 3, 4, 6, 7, 10 },Encontrar lo siguiente: Ac , A ∪ Ac , A ∩ Ac y ( Ac ) c .

U: conjunto universal. A: subconjunto del conjunto U.

Entonces,

1. ( Ac ) c = A

2. A ∪ Ac = U

3. A ∩ Ac = φ

AU

Ac

6

2

410

8 1 7

39

5

Por lo tanto: ( Ac ) c = A

A ∪ Ac = U

A ∩ Ac = φ

A AcU

AU

Ac

6

2

410

8 1 7

39

5


C

A

P

Í

T

U

L

O

I

31

Sea U: conjunto universal. A y B subconjuntos del conjunto U.Los elementos de U, A y B son:

U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

A = { 1, 2, 3, 5, 7 }B = { 2, 3, 6 }

Entonces,A ∪ B = { 1, 2, 3, 5, 6, 7 }A ∩ B = { 2, 3 }Ac = { 4, 6, 8 }Bc = { 1, 4, 5, 7, 8 }

Luego, ( A ∪ B ) c = { 4, 8 }( A ∩ B ) c = { 1, 4, 5, 6, 7, 8 }Ac ∩ Bc = { 4, 8 } Ac ∪ Bc = { 1, 4, 5, 6, 7, 8 }

Por lo tanto las relaciones de los conjuntos de (A ∪ B)c,( A ∩ B )c , Ac ∩ Bc y Ac ∪ Bc son:

( A ∪ B ) c = Ac ∩ Bc

( A ∩ B ) c = Ac ∪ Bc

Ejercicio 23

U: conjunto universal. A y B subconjuntos del conjunto U. Encontrar lo siguiente:a) U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }, A = { 2, 5, 7, 8, 10 }, B = { 1, 3, 5, 6 }

� A ∪ B � A ∩ B � ( A ∪ B ) c � ( A ∩ B ) c

� A c � B c

� A c ∩ B c � A c ∪ B c

b) U = {– 4,–3,–2,–1, 0 , 1, 2, 3 }, A = {– 4,–2, 0, 2 }, B = {– 4,–1, 1, 3 }

� A ∪ B � A ∩ B � ( A ∪ B ) c � ( A ∩ B ) c

� A c � B c

� A c ∩ B c � A c ∪ B c

c) U = { x / 2 ≤ x ≤ 11, x ∈ Z }, A = { 2, 5, 7, 8, 10 }, B = { 1, 3, 5, 6 }

� A ∪ B � A ∩ B � ( A ∪ B ) c � ( A ∩ B ) c

� A c � B c

� A c ∩ B c � A c ∪ B c

d) U = { x /–2 ≤ x ≤ 8, x ∈ Z }, A = { x / 0 ≤ x ≤ 5, x ∈ Z }, B = { –1, 1, 3, 6 }

� A ∪ B � A ∩ B � ( A ∪ B ) c � ( A ∩ B ) c

� A c � B c

� A c ∩ B c � A c ∪ B c

Ejemplos

U: conjunto universal. A y B subconjuntos del conjunto U.U = { x / 2 ≤ x ≤ 10, x ∈ R },

BA

1

5

6

8 4

7

U

2

3

BcAc

13

568

472

U

Estas relaciones se llaman“Leyes de De Morgan”.


C

A

P

Í

T

U

L

O

I

32

1 2 3 4 5 6 7 8 9

UA

B

10 11

1 2 3 4 5 6 7 8 9

U

Bc

10 11

AcAc

Bc

A = { x / 3 ≤ x < 8, x ∈ R }, B = { x / 5 ≤ x ≤ 9, x ∈ R }

Encontrar lo siguiente:1) A ∪ B 2) A ∩ B 3) ( A ∪ B ) c

4) ( A ∩ B ) c 5) A c 6) B c

7) A c ∩ B c 8) A c ∪ B c

Solución1) A ∪ B = { x / 3 ≤ x ≤ 9, x ∈ R }

2) A ∩ B = { x / 5 ≤ x < 8, x ∈ R }

3) ( A ∪ B ) c = { x / 2 ≤ x < 3, 9 < x ≤ 10, x ∈ R }

4) ( A ∩ B ) c = { x / 2 ≤ x < 5, 8 ≤ x ≤ 10, x ∈ R }

5) A c = { x / 2 ≤ x < 3, 8 ≤ x ≤ 10, x ∈ R }

6) B c = { x / 2 ≤ x < 5, 9 < x ≤ 10, x ∈ R }

7) A c ∩ B c = { x / 2 ≤ x < 3, 9 < x ≤ 10, x ∈ R }

8) A c ∪ B c = { x / 2 ≤ x < 5, 8 ≤ x ≤ 10, x ∈ R }

Ejercicio 24

U: conjunto universal. A y B subconjuntos del conjunto U.Encontrar lo siguiente:

a) U = { x / 0 ≤ x ≤ 10, x ∈ R }, A = { x / 2 < x ≤ 5, x ∈ R }, B = { x / 3 ≤ x < 8, x ∈ R }A ∪ B A ∩ B ( A ∪ B ) c ( A ∩ B ) c

A c B c A c ∩ B c A c ∪ B c

b) U = { x / –3 ≤ x ≤ 7, x ∈ R }, A = { x / –2 ≤ x < 5, x ∈ R }, B = { x / –1 ≤ x < 3, x ∈ R }A ∪ B A ∩ B ( A ∪ B ) c ( A ∩ B ) c


Ley de De MorganU: conjunto universal. A y B subconjuntos del conjunto U. Entonces,

1. ( A ∪ B ) c = Ac ∩ Bc 2. ( A ∩ B ) c = Ac ∪ Bc

BA

3

2

UBA

3

2

U


C

A

P

Í

T

U

L

O

I

34

Sea U: conjunto universal. A y B subconjuntos del conjunto U.Los elementos de U , A y B son:

U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }A = { 1, 2, 3, 5, 7 }B = { 2, 3, 6 }

¿Cuántos elementos hay en los conjuntos A y B?

En el conjunto A hay cinco elementos y en el conjunto B haytres elementos y se representan así:

n ( A ) = 5 n ( B ) = 3

Por lo tanto las relaciones de la cantidad de elementos de losconjuntos son:

n ( A ∪ B ) = n ( A ) + n ( B ) − n ( A ∩B )= 5 + 3 − 2 = 6

n ( A c ) = n ( U ) − n ( A ) = 8 − 5 = 3 n ( A − B ) = n ( A ) − n ( A ∩B ) = 5 − 2 = 3n ( A ∩ B) = n ( A ) + n ( B ) − n ( A ∪B )n ( A ∩ B) = 5 + 3 − 6 = 2

Ejemplos

U: conjunto universal. A y B subconjuntos de U.U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}A = { 1, 3, 4, 7 }, B = { 2, 5, 8 }

Encontrar lo siguiente: 1) n ( A ) 2) n ( B )3) n ( A ∪B ) 4) n ( A ∩B )5) n ( A c ) 6) n ( B c )

SoluciónConsultar el gráfico de la derecha.1) n ( A ) = 4 2) n ( B ) = 33) n ( A ∪B ) = 7 4) n ( A ∩B ) = 05) n ( A c ) = 4 6) n ( B c ) = 5 ••••• Resp.

7. Cardinalidad de un conjunto

Ejercicio 26

U: conjunto universal. A y B subconjuntos del conjunto U.Entonces encontrar lo siguiente:

a) U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }, A = { 1, 3, 4, 5, 7 }, B = { 1, 2, 3, 4, 8 }n ( A ) n ( B ) n ( A ∪B ) n ( A ∩B ) n ( A c ) n ( B c )

BA1

5

6

8 4

73

2

U

BA

13 5

6

84

72

U

n ( A ) se conoce como cardinal delconjunto A.

Por ejemplo:n ( U ) = 8n ( A ∩B ) = 2n ( A ∪B ) = 6n ( A c ) = 3n ( B c ) = 5 n ( A − B ) = 3 n ( B − A ) = 1n (( A ∪B ) c ) = 2n (( A ∩B ) c ) = 6


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a) Se pueden dividir entre 3 ó 5?b) No se pueden dividir entre 3 ni 5?

Ejercicio 29

Dado los números enteros desde 1 hasta 200, ¿cuántos números hay que:a) Se pueden dividir entre 4 ó 6?b) No se pueden dividir entre 4?c) Se pueden dividir entre 4, pero no se pueden dividir entre 6?d) No se pueden dividir entre 4 ni 6?

El cardinal de los conjuntos A y B, se expresa así:n ( A ) y n ( B )

Además,1. n ( A ∪B ) = n ( A ) + n ( B ) − n ( A ∩B )

Si n ( A ∩B ) =φ , n ( A ∪B ) = n ( A ) + n ( B )2. n ( A c ) = n ( U ) − n ( A )

DESAFÍO

Los compañeros de tu grado, constituyen un conjunto universal. Mencionar algunossubconjuntos que se pueden formar.¿Cuántos alumnos están en cada subconjunto?¿Cuál es la intersección entre cada dos subconjuntos?¿Cuál es el complemento de cada subconjunto respecto al conjunto universal?Considerando el conjunto universal, ¿cuántos subconjuntos en total se podrían formar?

BA

3

2

U


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U

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37

EJERCICIOS DE REPASO

1. Clasificar a cuál o a cuáles conjuntos N , Z , Q y R, pertenecen los siguientes números.Ejemplo: “−7” pertenece a Z , Q y R

a) 5 b) −2 c) 7 d) 10

e) −8 f) 27 g) 11 h) − 6

7

2. Los siguientes números pueden pertenecer a N, Z , Q y R. Clasificarlos en el conjunto menor.( N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ; “a ⊂ b ”: a está incluido en b )Ejemplo: “−7” pertenece a Z , Q y R , entonces clasifica en Z .

a) 5 b) −3 c) 3 d) 25 e) −13 f) 35

g) 9 h) − 78 i) 2.7 j) − 4.54 k) − 3

5 l) − π

3. Encontrar los recíprocos de los siguientes números:

a) a = 6 b) a = − 4 c) a = 17 d) a = − 7

5

e) a = 2.5 f) a = −1.75

4. Calcular lo siguiente:a) (−24) + (−17) b) 247 + 359 c) −8 + (−15) d) −26 + (−9)e) 15 − (−16) f) 16 + (−23) g) − 48 − (69) h) 0 − (−82)

5. Calcular lo siguiente:a) 9 − 13 – 12 b) −11 + 13 − (−6)c) 5 − 15 + 26 – 16 d) − 4 − 12 + (−5) − (−9)e) −19 − (−20) + (−27) + 17 f ) −1.5 + (−2.6) − 3.6 − (−2.6)g) − 4 + 1.8 + (−2.9) − (− 4.5)

6. Calcular lo siguiente:

a) − 4 × 2 × ( − 16 ) × (−3) b) −5 × (− 6) ÷ (− 4) × ( − 1

2 )c) − 4 × (− 6) + (−5) × (− 6) d) (−7) × (−9) − (−3) × (−8)e) 9 × (−5) × (−3) − (−88) f) − 45 ÷ (−5) − (− 49) ÷ (−7)

7. Calcular lo siguiente.a) − 4 + 5 × 4 b) 8 + (−5) × 4c) −12 − 6 ÷ (−2) d) −5 × (−7) − 13e) 8 × [ 12 − 3 × ( 8 − 6 ) ] − { 6 + [ 121 ÷ ( 8 + 3 ) ] − 24 }f) { 13 + [ 6 × ( 5 − 9 ) ] − 5 } × { −27 + [ 25 − 5 × ( 5 − 6 ) ] }

8. Encontrar el valor absoluto.a) | 13 | b) | −16 | c) | −3.7 | d) | 1.67 |

e) | 53 | f) | − 4

13 |

9. Encontrar la distancia entre cada par de puntos:a) P = 2 y Q = 7 b) A = 1 y B = −3 c) C = −1 y D = − 6

10. Comparar los siguientes números y expresar la relación con los signos de desigualdad < , > , ≤ y ≥.Pero a , b ∈ R y 0 ≤ a ≤ b .a) −5 y 8 b) 0.06 y 0.8 c) −3.5 y –13 d) − 0.7 y − 0.5


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e) 14 y 0.26 f) − 3

8 y 18 g) 7

8 y 34 h) − 4

9 y − 79

11. Comparar los siguientes números y expresar la relación con los signos de desigualdad < , > , ≤ y ≥.Pero a , b , c ∈ R , 0 ≤ a ≤ b y 0 < c .a) a + 2 y 2 b) a − 4 y b − 4 c) a + 5 y 3 d) a − 3 y b − 1e) 8a y 8b f) − 4a y − 4b g) a y 3b h) −3a y −3bi) 3a y 2a + b j) −3a − 2c y −3b − 2c k) 2a + 3b y 3a + 2b

12. Encontrar todos los elementos de los conjuntos.a) A = { m / −3 ≤ m ≤ 7 , m es un número entero }b) B = { 2m / −1 ≤ m ≤ 4 , m es un número entero }c) C = { 3m + 2 / −2 ≤ m ≤ 5 , m ∈ Z }d) D = { m ( m − 2 ) / 1 ≤ m ≤ 6 , m ∈ Z }

13. Encontrar la relación entre A y B.a) A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }, B = { 3, 4, 6, 7 }b) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = {−1, 0, 1, 2, 3, 4 }c) A = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 }, B = { 1, 3, 5, 9, 13 }d) A = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12 }, B = {−2, 0, 2, 4, 6, 8, 10 }

14. R es el conjunto de todos los números reales, encontrar la relación entre A y B.a) A = { x /− 4 ≤ x ≤ 3, x ∈ R }, B = { x /−1 ≤ x ≤ 2, x ∈ R }b) A = { x /−3 < x < 4, x ∈ R }, B = { x / 0 < x < 5, x ∈ R }c) A = { x /−2 ≤ x, x ∈ R }, B = { x /−5 ≤ x, x ∈ R }d) A = { x /−3 ≤ x < 1, x ∈ R }, B = {−3,−2,−1, 0, 1 }

15. Encontrar los conjuntos A ∩B y A ∪B.a) A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }, B = { 1, 2, 5, 7, 8 }b) A = { 1, 3, 4, 5, 7 }, B = { 2, 6, 8 }c) A = { x / x es divisor positivo de 40 }, B = { x / x es divisor positivo de 60 }d) A = { x / 1 ≤ x ≤ 7, x ∈ R }, B = { x / 3 ≤ x ≤ 8, x ∈ R }e) A = { x /− 4 < x < 6, x ∈ R }, B = { x /−1 ≤ x ≤ 3, x ∈ R }

16. Encontrar los siguientes conjuntos A ∩ B ∩ C y A ∪ B ∪ C.a) A = { 1, 2, 3, 4, 6, 8 }, B = { 2, 5, 6, 7, 8 }, C = { 1, 4, 6, 7 }b) A = { 2, 4, 6, 8, 10 }, B = { 1, 5, 9, 11 }, C = { 3, 7, 9, 10 }c) A = { x / x es divisor positivo de 15 }, B = { x / x es divisor positivo de 50 },

C = { x / x es divisor positivo de 45 }d) A = { x / 1 < x < 5, x ∈ R }, B = { x / x < 7, x ∈ R },

C = { x / 3 ≤ x ≤ 9, x ∈ R }

17. U: conjunto universal. A y B subconjuntos del conjunto U. Encontrar Ac y Bc.a) U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }, A = { 1, 4, 7, 8 }, B = { 2, 3, 5 }b) U = { x / x ∈ R }, A = { x / x ≤ 3, x ∈ R }, B = { x / 2 < x ≤ 7, x ∈ R }

18. U: conjunto universal. A subconjunto del conjunto U.Encontrar lo siguiente: Ac , A ∪ Ac , A ∩ Ac y ( Ac ) c .a) U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }, A = { 1, 3, 4, 8, 10 },b) U = { x /1 ≤ x ≤ 11, x ∈ Z }, A = { 2, 3, 6, 7, 8 },


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19. U: conjunto universal. A y B subconjuntos del conjunto U.Encontrar lo siguiente:

A ∪ B A ∩ B ( A ∪ B ) c ( A ∩ B ) c


a) U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 },

A = { 1, 2, 3, 5, 6, 9 }, B = { 2, 4, 6, 8, 9 }

b) U = {− 4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3 },

A = {− 4,−1, 0, 3 }, B = {−3,−2,−1, 2 }

c) U ={ x / 3 ≤ x ≤ 12, x ∈ Z },

A = { 3, 6, 7, 10, 11 }, B = { 4, 6, 8, 10, 12 }

d) U ={ x /− 4 ≤ x ≤ 5, x ∈ Z },

A = { x /−1 ≤ x ≤ 5, x ∈ Z }, B = {− 4,−2,−1, 3, 4 }

e) U = { x / 0 ≤ x ≤ 10, x ∈ R },

A = { x / 3 < x ≤ 7, x ∈ R }, B = { x / 2 ≤ x < 5, x ∈ R }

f) U = { x /−2 ≤ x ≤ 6, x ∈ R },

A = { x /−1 ≤ x < 3, x ∈ R }, B = { x /−1 ≤ x < 5, x ∈ R }

20. U: conjunto universal. A y B subconjuntos del conjunto U.

U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }, A = { 1, 3, 4, 5, 7 }, B = { 3, 5, 6, 8 }

Entonces encontrar lo siguiente: a)A − B b) B − A

21. U: conjunto universal. A y B subconjuntos del conjunto U.

Entonces encontrar lo siguiente:

n ( A ) n ( B ) n ( A ∪B ) n ( A ∩B ) n ( A c ) n ( B c )

a) U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }, A = { 1, 3, 4, 5, 7 }, B = { 3, 5, 6, 8 }

b) U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }, A = { 2, 4, 5, 7, 9 }, B = { 1, 3, 4, 8, 9 }

22. Entre los números enteros desde 1 hasta 150, ¿cuántos números no son divisibles por 8?

23. Entre los números enteros desde 1 hasta 100, ¿cuántos números hay que:

a) Se pueden dividir entre 3 ó 4?

b) No se pueden dividir entre 3 ni 4?

24. Entre los números enteros desde 1 hasta 200, ¿cuántos números hay que:

a) Se pueden dividir entre 8 ó 12?

b) No se pueden dividir entre 12?

c) Se pueden dividir entre 8, pero no se pueden dividir entre 12?

d) No se pueden dividir entre 8 ni 12?


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CAPÍTULO

ECUACIONES Y DESIGUALDADES

Más de un ciudadano va felizmente por la vida sin tener jamás la necesidad de solucionar una ecuaciónalgebraica desde que deja la escuela. Pero en el vasto y complicado mundo, dichas ecuaciones sonindispensables para reducir complicados problemas a términos simples.

Por ejemplo: (1) Una empresa se debate con una ecuación cuando decide cuánto tiempo ha de conservaruna máquina que se deprecia cada año en tantos o cuántos dólares.

(2) El álgebra se utiliza para determinar cómo debería actuar un cronometrador de forma talque una bomba que se lanza desde una altura de 3 000 metros, estalle 150 metros porencima del objetivo.

Los procedimientos del álgebra moderna son tan concisos como las normas de un reglamento militar.

En álgebra algunos problemas presentan una sola incógnita, que puede representarse por “x”. Sin embargolas principales dificultades se plantean debido a que algunos problemas incluyen más de una incógnita, “x”e “y” por ejemplo, y otros que incluyen una incógnita con exponente 2 ó 3, es decir, “ x2 ” o “ x3 ”.

Las ecuaciones sencillas que contienen sólo la incógnita “x”, son denominadas ecuaciones de primergrado o lineales (“ lineales ” significa “ unidimensionales ”) y a las ecuaciones que contienen un términocon x2 se les denomina ecuaciones de segundo grado o cuadráticas.

A las expresiones:

ax b a

ax b a

ax b a

ax b a

+ < ≠+ > ≠+ ≤ ≠+ ≥ ≠

0 0

0 0

0 0

0 0

;

;

;

;

se les da el nombre de desigualdades de primer grado.

Si en un enunciado se estabalece que una expresión de segundo grado es “mayor, menor, mayor o igual omenor o igual” que otra expresión algebraica o cantidad, se dice que es una desigualdad de segundo grado.Existen además, aplicaciones del álgebra que requieren de la solución por medio de un “Sistema deEcuaciones”.

Un sistema de ecuaciones en “x” e “y” está compuesto de dos ecuaciones cualquiera en esas variables ypara resolver dicho sistema puede hacerse uso de algunos de los métodos de “sustitución”, “reducción”,según la naturaleza del mismo.


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Repaso

Conceptos Algebraicos

La expresión en la cual aparecen multiplicándose algunosnúmeros o algunas letras se llama “ monomio ”.

En el monomio la parte numérica se llama “ coeficiente ” y elnúmero que resulta de sumar los exponentes de las letrasmultiplicadas se llama “ grado ”.

Es importante tomar en cuenta que:

1) Si el grado de un monomio es “1”, no se necesita escribir elexponente.

2) Si el grado del monomio es “5”, se multiplican las letras 5veces.

En un monomio, cuando se selecciona una letra fija, seconsidera que la multiplicación del número y las otras letrasconstituyen el coeficiente.

Varios monomios, separados por los signos + o −, forman un“ polinomio ”. Dentro del polinomio a cada monomio se llama“ término ”.

Dentro de un polinomio, algunos términos poseen la mismaparte literal, éstos se llaman “ términos semejantes ”.

Al ordenar los términos semejantes se puede simplificar elpolinomio.

El grado máximo de los términos de un polinomio se llama“ grado del polinomio ”.

Sobre el grado, generalmente se usa la palabra “ alto ”o “ bajo ”.

Ejercicio 1

Simplificar y después determinar el grado de los polinomios siguientes:

a) 5x2 − 4x + 3x2 + 8x b) 4x3 − 2x2 + 5x4 − 4x2 − 6x3 − 3x4

Por ejemplo: 5 a b x 2

el coeficiente es “ 5 ” y el grado es “ 4 ”,que resulta de sumar los exponentes de lasletras ( 1 + 1 + 2 = 4 ).

Por ejemplo:1) a1 = a

2) a 2 b 3 = a × a × b × b × b

↑

↑

Por ejemplo: 5 a b x 2

la letra “ x ” es la fija,el coeficiente es “ 5ab ”

5 a b ⋅ x 2

↑ grado “ 2 ”

Por ejemplo, el polinomio:−a 2 + 4ab −5b 2

presenta tres términos que son:−a 2, 4ab y −5b 2

Ejemplo:7a 2b + 3ab − 2a 2b + ab 2

Los términos semejantes son:7a 2b y −2a 2b

Por esta razón7a 2b + 3ab −2a 2b + ab 2

= 5a 2b + 3ab + ab 2

Por ejemplo : 5a 2b + 4ab grado “ 3 ”

5a 2b + 4abgrado “ 2 ”

Entonces el grado delpolinomio es “ 3 ”.


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a m a n = a m +n

(a n ) m = a n m

(ab) m = a m b m

Ejemplos

Calcular las operaciones siguientes:

1) 3a 2 b 3 × 5a b 4 2) −2x y × (−3 y z3 ) 2

3) ( x2−3 )( x2 + 5 − 4x )

Solución.1) 3a 2 b 3 × 5a b 4

= ( 3 × 5 ) a 2+1 b 3+4 = 15a 3 b 7 ••• Resp.

2) −2x y × (−3 y z3 ) 2

=−2x y × 9y2 z6 = −18x y 3 z 6 ••• Resp.

3) ( x2 − 3 )( x2 + 5 − 4x )= x2( x2 + 5 − 4x ) −3( x2 + 5 − 4x )= ( x4 + 5x2 − 4x3 ) + (−3x2 − 15 + 12x )= x4 + 5x2 − 4x3 − 3x 2− 15 + 12x= x4 − 4x3 + 2x2 + 12x − 15 ••• Resp.

Ejercicio 4

Calcular lo siguiente:a) ( 3 x )2( x2 )3 b) ( ab 2 )2( 2a 3b )c) (−a 2 b )3( 3ab )2 d) ( 2 x y2 )3(−x2 y )( x y )2

Ejercicio 5

Desarrollar lo siguiente:a) ( 2a + b )( a 2 − ab + b 2 ) b) ( 3x − 2 )( x2 + 2x − 4 )c) ( 2x − 3y + 1 )( x + y − 2 ) d) ( x2 + x + 2 )( x2 − x + 1 )

Leyes de los exponentes

Generalmente, cuando m y n son números naturales, se cumplen las siguientes leyes para losexponentes:

1. a m a n = a m+ n 2. ( a m )n = a m n 3. ( ab )n = a n b n

4. a0 = 1 5. a m ÷ a n =a m – n 6. a − n = 1 / a n 7. a 1n = an

Ejemplos:

1. a 2 × a 3 = (a × a) × (a × a × a)a 2 + 3 = a 5

2. ( a 2 )3 = a 2 × a 2 × a 2

a 2 × 3 = a 6

3. ( ab )4 = ab × ab × ab × ab= a 4b 4


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Ejemplos

Efectuar lo siguiente:1) ( a2 ) ( a5 ) 2) 23 ÷ 23 3)( b2 ) 6

4) ( a × c )4 5) ( d )12 6) 2 −3

Solución1) ( a2 ) ( a5 ) = a 2+5 = a7 2) 23 ÷ 23 = 23 − 3 = 20 =13) ( b ) 2 × 6 = b 12 4) ( a × c ) 4 = a 4 × c 4 = a 4c 45) ( d )

12 = d 6) 2 −3 = 1

23 = 18

Potencias de exponente cero

Ejemplo

Efectuar: 22

5

5

Solución22

22

22

22

22

22

3232

5

5 1= × × × × = =

También se puede desarrollar así:

22

5 5 05

5 2 2 1= = =−

Ejercicio 6

a) a 4 ÷ a− 6 c) x 5−2 a ÷ x 7 + 3 a e) (− 9)5 ÷ (− 9)2

b) m7 ÷ m10 d) z 6 ÷ z 4− q f ) (0.8 )− 7 ÷ ( 0.8 ) − 12

Toda expresión fraccionaria se puedeescribir como división, así:ab = a ÷ b con b ≠ 0

Toda cantidad dividida entre sí misma esigual a 1.

Toda cantidad elevada a la cero potenciaes igual a 1; a0 = 1

Multiplicación de Polinomios

Cuando se desarrolla una multiplicación, se pueden usar las expresiones siguientes:1. ( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2

( a − b ) 2 = a 2 − 2ab + b 2

2. ( a + b )( a − b ) = a 2 − b 2

3. ( x + a )( x + b ) = x2 + ( a + b )x + ab4. ( a x + b )( c x + d ) = ac x2 + ( ad + bc )x + bd

Demostración1. ( a + b ) 2 = a( a + b ) + b( a + b ) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2

( a − b ) 2 = a( a − b ) − b( a − b ) = a 2 − ab − ab + b 2 = a 2 − 2ab + b 2

2. ( a + b )( a − b ) = a( a − b ) + b( a − b ) = a 2 − ab + ab − b 2 = a 2 − b 2

3. ( x + a )( x + b ) = x( x + b ) + a( x + b ) = x2 + a x + b x + ab = x2 + ( a + b )x + ab4. (a x + b )(c x + d) = a x(c x + d) + b(c x + d) = ac x2 + ad x + bc x + bd = ac x2 + (ad +bc )x + bd.


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Ejercicio 7

Desarrollar lo siguiente:a) ( 3x − 2y )2 b) ( a + 2b )( a − 2b ) c) ( x − 3 )( x + 6 )d) ( x − 2 )( x − 5 ) e) ( 2x + 3 )( 4x + 5 ) f) ( 2x + y )( x − 3y )g) ( 4a + 7b )( 5a − 3b ) h) ( 2xy − 5 )( 3xy + 4 )

Al multiplicar también se pueden utilizar las expresiones siguientes:

5. ( a + b )3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3

( a − b )3 = a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b 3

6. ( a + b )( a 2 − ab + b 2 ) = a 3 + b 3

( a − b )( a 2 +ab + b 2 ) = a 3 − b 3

7. ( a + b + c )2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca

Demostración

5. ( a + b )3 = ( a + b )2( a + b ) = (a 2 + 2ab + b 2 )(a + b )= (a 2 + 2ab + b 2) a + (a 2 + 2ab + b 2 ) b= a 3 + 2a 2b + ab 2 + a 2b + 2 ab 2 + b 3

= a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3

( a − b )3 = (a − b )2(a − b ) = (a 2 − 2ab + b 2)(a − b)= (a 2 − 2ab + b 2 ) a − ( a 2 − 2ab + b 2 ) b= a 3 − 2a 2b + ab 2 − a 2b + 2 ab 2 − b 3

= a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b 3

6. ( a + b )( a 2 − ab + b 2 ) = a( a 2 − ab + b 2 ) + b( a 2 − ab + b 2 )= a 3 − a 2b + ab 2 + a 2b − ab 2 + b 3

= a 3 + b 3

( a − b )( a 2 + ab + b 2 ) = a( a 2 + ab + b 2 ) − b( a 2+ ab + b 2 )= a 3+ a 2b + ab 2 − a 2b − ab 2 − b 3

= a 3 − b 3

7. ( a + b + c )2 = { a + ( b + c ) } 2

= a 2 + 2a( b + c ) + ( b + c )2

= a 2 + 2ab + 2ac + b 2 + 2bc + c 2

= a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac

Ejercicio 8

Desarrollar lo siguiente:a) ( 2a + 1 )3 b) ( x + 2y )3 c) ( 4x − 3y )( 16x2 + 12xy + 9y2 )d) ( 3a − 2b )3 e) ( 3x + 2 )( 9x2 − 6x + 4 ) f) ( 2x + y )( 4x2 + 2xy − 9y2 )


C

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P

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T

U

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II

46

Ejercicio 9

Desarrollar lo siguiente:a) ( a + b + 5 )2 b) ( a − 3b + c )2 c) ( 2a −b −3c)2

d) ( x + y − 1)(x + y +3 ) e) ( a + 2b + c)(a − 2b +c) d) (x2 −x + 2)

Ejemplos

Desarrollar lo siguiente:1) ( x + y )2( x − y )2

2) ( x − 2 )( x + 2 )( x2 + 4 )3) ( x + 1 )( x + 2 )( x + 3 )( x + 4 )4) ( x + 1 )( x − 2 )( x + 3 )( x + 6 )

Solución.1) ( x + y )2( x − y )2 2) ( x − 2 )( x + 2 )( x2 + 4 )

= { ( x + y )( x − y ) } 2 = ( x2 − 4 )( x2 + 4 )= ( x2 − y2 )2 = x4 − 16 ••• Resp.= x4 − 2x2y2 + y4 ••• Resp.

3) ( x + 1 )( x + 2 )( x + 3 )( x + 4 ) 4) ( x + 1 )( x − 2 )( x + 3 )( x + 6 )= { ( x + 1 )( x + 4 ) }{ ( x + 2 )( x + 3 ) } = {( x + 1)( x + 3 )}{(x − 2 )( x + 6)}= ( x2 + 5x + 4 )( x2 + 5x + 6 ) = ( x2 + 4x + 3 )( x2 + 4x − 12 )= { ( x2 + 5x )+ 4 }{ ( x2 + 5x ) + 6 } = {( x2 + 4x ) + 3 }{ ( x2 + 4x ) −12}= ( x2 + 5x ) 2+ 10( x2 + 5x ) + 24 = ( x2 + 4x )2 − 9( x2 + 4x ) − 36= x4 + 10x3 + 25x2 +10x2 + 50x + 24 = x4 + 8x3 + 16x2 − 9x2 − 36x − 36= x4 +10x3 +35x2 +50x+24 ••• Resp. = x4 + 8x3 +7x2 − 36x − 36 ••• Resp.

Ejercicio 10

Desarrollar lo siguiente:a) ( 2x − 3y )2( 2x + 3y )2 b) ( x − y )( x + y )( x2 + y2 )( x4 + y4 )c) (a − 1)(a + 1)(a 2 − a + 1)(a 2 + a + 1) d) (x + y )( x − y )( x2 − xy + y2 )( x2 + xy + y2 )e) ( x − 3 )( x + 2 )( x − 1 )( x + 4 ) f) ( x − 1 )( x − 2 )( x − 3 )( x − 4 )g) ( a + 2 )( a + 3 )( a − 4 )( a − 5 ) h) ( a + 3 )( a − 7 )( a + 5 )( a − 5 )

División de Polinomios

Para dividir polinomios, se utiliza un procedimiento igual a la división de números.

Ejemplos

Calcular lo siguiente y encontrar los cocientes y los restos.1) ( 2x2 + 8x + 8 ) ÷ ( x + 2 )2) ( 2x3 − x2 − 10x + 12 ) ÷ ( x2 + 2x − 3 )


C

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Solución1)

2x2 + 8x + 8 x + 2 1º paso : dividir, 2x2 entre x− 2x2 − 4x 2x + 4 2º paso : multiplicar, 2x por ( x + 2 )

4x + 8 3º paso : restar, (2x2 + 8x + 8)menos (2x2 + 4x)− 4x − 8 4º paso : dividir, ( 4x ) entre x

0 5º paso : multiplicar, ( 4 ) por ( x + 2 )6º paso : restar (4x + 8) menos (4x + 8 )

Cociente 2x + 4, Resto 0 ••• Resp.

2)

2x3 − x2 − 10x + 12 x2 + 2x − 3 1º paso : dividir, 2x3 entre x2

−2x3 − 4x2 + 6x 2x – 5 2º paso : multiplicar, 2x por ( x2 + 2x − 3 )− 5x2 − 4x + 12 3º paso : restar, (2x3 − x2 − 10x + 12)+5x2 +10x – 15 menos (2x3 + 4x2 − 6x).

6x − 3 4º paso : dividir, (−5x2 ) entre x2

5º paso: multiplicar, (−5) por (x2 +2x − 3)6º paso : restar (−5x2 − 4x + 12 )

menos (−5x2 − 10x + 15 )

Cociente 2x − 5, Resto 6x − 3 ••• Resp.

Factorización

Cambiar de un polinomio A a la forma de los productos comoBCL , o sea A = B × C × L, se llama “factorización”,y B , C L etc. se llaman “ factor de A ”.

Cuando se factoriza, si hay “ factor común ”, se procede así:ma + mb = m ( a + b )

Ejercicio 11

Calcular lo siguiente y encontrar los cocientes y los restos.

a) ( 2x2 − x −1 ) ÷ ( 2x + 1 ) b) ( 2x3 − 3x + 10 ) ÷ ( x + 2 )

c) ( 15x2 − 2x − 8 ) ÷ ( 5x− 4 ) d) ( 2x3 − x2 + x − 1 ) ÷ ( x2 − x − 1 )

e) ( 12x3 − 41x2y + 44xy2 − 15y3 ) ÷ ( 4x − 3y ) f) ( x3 − 3x2 + 1 ) ÷ ( x − 2 )

g) ( x3 − 2x2 − x + 2 ) ÷ ( x2 + 2x + 1 ) h) ( 2x3 − 5x2 − 6x + 9 ) ÷ ( 2x + 3 )

i) ( 2x3 − x2 − 3x−1 ) ÷ ( x2 − x −1 ) j) (10x3 − 7x2y − 16xy2 +12y3) ÷ (5x − 6y )

Por ejemplo:1) 6x2yz3 − 9xy2z2

= (3xyz2) (2xz − 3xyz2 ) (3y)= 3xyz2 ( 2xz − 3y )

2) ( a−b ) x + ( b − a ) y= ( a − b ) x − ( a − b ) y= ( a − b )( x − y )


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Resumen I

Cuando se factorizan polinomios, se utilizan las expresiones siguientes:1. ma + mb = m ( a + b )2. a 2 + 2ab + b 2 = ( a + b )2

a 2 − 2ab + b 2 = ( a − b )2

3. a 2 − b 2 = ( a + b )( a − b )4. x 2 + ( a + b )x + ab = ( x + a )( x + b )5. ac x2 + ( ad + b c )x + bd = ( a x + b )( c x + d )

a b

c d

bc

ad

ac bd ad + bc

1) el coeficiente de “ x2 ”2) la constante3) el coeficiente de “ x ”

1) 2) 3)

Ejemplos

Factorizar: 1) x2 + 6x + 9 2) 9x2 − 493) x2 + 5x + 6 4) 4x2 − 4x − 24

Solución1) x2 + 6x + 9 = x2 + (2)(3)x + 32 = ( x + 3 )2 ••• Resp.2) 9x2− 49 = ( 3x )2 −72 = ( 3x + 7 )( 3x − 7 ) ••• Resp.3) x2 + 5x + 6 = x2 + ( 2 + 3 )x + (2)(3)

= ( x + 2 )( x + 3 ) ••• Resp.4) 4x2− 4x−24 = 4( x2 − x − 6 )

= 4 { x2 + ( 2 − 3 )x + (2)(−3 ) }= 4( x + 2 )( x − 3 ) ••• Resp.

Ejercicio 12

Factorizar lo siguiente:a) 4a 2 + 12ab + 9b 2 b) 25x2 − 30xy + 9y2 c) 4x2 − 16d) 25x2 − 9y2 e) x2 − 6x + 8 f) x2 − 4x − 32g) x2 + 2xy − 15y2 h) 5a2 − 70a + 245 i) 16a 2 − ( a − b )2

j) 2x2 + 20x + 50 k) x( x − 1 ) − 20 l) x2 + 7xy + 6y2

ll) xy2 − 4xy −12x m) ( a + b )2 + 14( a + b ) + 49 n) m 2 x2 + m 2 x − 2m 2

Proceso general para factorizar

ac x2 + ( ad + b c ) x + bd = ( a x + b )( c x + d )

1º paso : primero se escriben ac, bd yad + b c, o sea el coeficiente de “ x2 ”, la constante yel coeficiente de “ x ”.

2º paso : desde ac, se busca el valor de a y c .3º paso : desde bd, se busca el valor de b y d.4º paso : se multiplica c y b, a y d.


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5º paso : se suma b c y ad.* si la suma coincide con el coeficiente de “ x ”, ya está

resuelto.* si la suma no coincide con el coeficiente de “ x ”, se

cambia la combinación de ( a, c ) o ( b, d ).6º paso : se obtiene ac x2 + ( ad + b c ) x + bd

= ( a x + b )( c x + d )

Ejemplos

Factorizar: 3x2 + 10x + 8

SoluciónUtilizar la expresión “4” de la factorización, para factorizar3x2 + 10x + 8, hay que encontrar la combinación de( a, b, c, d ) que satisface ac = 3, bd = 8, y ademásad + bc = 10.

Para cumplir ac = 3, las combinaciones de ( a, c ) son:( a, c ) = ( 1, 3 ), ( 3, 1 )

Para cumplir bd = 8, las combinaciones de ( b, d ) son:( b, d ) = ( 1, 8 ), ( 2, 4 ), ( 4, 2 ), ( 8 , 1 )

El orden de “a” y “c” no es necesario,entonces si se supone que a = 1, c = 3,sólo b = 2 , d = 4 se cumple ad + bc = 10.Por eso, 3x2 + 10x + 8 = ( x + 2 )( 3x + 4 ) ••• Resp.

1 2 6

3 4 43 8 10

Las constantes enlos paréntesis

Los coeficientes “x”en los paréntesis

Ejercicio 13

Factorizar lo siguiente:

a) 2a2 + 5a + 2 b) 2a 2− 9a + 4 c) 6x2 − x − 1

d) 2x2 − x − 28 e) 3x2 − 13x − 10 f) 6x2 − 7x + 2

g) 6a 2 + 11ab − 2b 2 h) 9a 2 + 3ab − 2b 2 i) 4x2 − 5xy − 6y2

j) 2x2 − 7xy + 3y2 k) 3x2 − 14xy + 8y2 l) ( x − 4 )( 5x + 1 ) + 16

Resumen II

6. a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3 = ( a + b )3 7. a 3 + b 3 = ( a + b )( a 2 − ab + b 2 )

a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b 3 = ( a − b )3 a 3 − b 3 = ( a − b )( a 2 + ab + b 2 )


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Ejemplos

Factorizar : 1) a 3 + 6a 2b + 12ab 2 + 8b 3

2) 8x3 − 27

Solución1) a 3 + 6a 2b + 12ab 2 + 8b 3

= a 3 + 3a 2( 2b ) + 3a ( 2b ) 2 + ( 2b ) 3

= { a + ( 2b ) } 3 = ( a + 2b ) 3 ••• Resp.

2) 8x3 − 27 = ( 2x ) 3 − 3 3

= ( 2x − 3 ){ ( 2x ) 2 + 2x • 3 + 3 2 }= ( 2x − 3 )( 4x2 + 6x + 9 ) ••• Resp.

Ejercicio 14


a) a 3 + 3a 2 + 3a + 1 b) x3 + 64 c) a 3 − 6a 2b + 12ab 2− 8b 3

d) x3 − 8y 3 e) a 3 + 9a 2b + 27ab 2 + 27b 3 f) 64a 3 − 27b 3

g) 27x3 + y3 z3 h) 5x4 − 5x i) 8a 3 − 36a 2 + 54a − 27

Ejemplos

Factorizar: 1) x4 + x2 − 22) x2 + 2x + 1− y2

3) 2x2 + 3xy + y2 + 8x + 5y + 6

Solución1) x4 + x2 – 2 2) x2 + 2x + 1 − y2

(Suponer que x2 = A , Se agrupan algunos términos.entonces x4 + x2 − 2 = A2 + A − 2 ) = ( x2 + 2x + 1 ) − y2

= ( x2 + 2 )( x2 − 1 ) = ( x + 1 )2 − y2

= ( x2 + 2 )( x + 1 )( x − 1 ) = ( x + 1 + y )( x + 1 − y )••• Resp = ( x + y + 1 )( x − y + 1 ) ••• Resp.

3) 2x2 + 3xy + y2 + 8x + 5y + 6 Utilizar el método de cruce.= 2x2 + ( 3y + 8 )x + ( y2 + 5y + 6 )= 2x2 + ( 3y + 8 )x + ( y + 2 )( y + 3 )= { 2x + ( y + 2 ) }{ x + ( y + 3 ) }= ( 2x + y + 2 )( x + y + 3 ) ••• Resp.

2 y + 2 y + 2

1 y + 3 2y + 6

2 (y+2)(y+3) 3y + 8


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Ejercicio 15


a) a 4 − 6a 2 + 5 b) x6 − 7x3 − 8

c) a 2 + b 2 − bc + ca − 2ab d) 6x2 − yz + 2xz − 3xy

e) x2 − ( 2y + 3 )x − ( 3y + 1 )( y − 2 ) f ) a 2 − 2ab − a + b 2 + b − 2

g) ( x2 + 3x )2 − 2( x2 + 3x ) − 8


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1. Ecuación lineal

Se quieren comprar 7 libros. Cada libro vale “ x ” dólares. Sipago 50 dólares, el vuelto es 8 dólares.

Expresar la relación entre los números y la letra.

De esta relación, se encuentra que el valor de “ x ” es 6, o sea elprecio de cada libro es 6 dólares.

Cuando los problemas son complicados, se combinan númeroscon letras para expresar esa relación, y después se encuentra elvalor de las letras.

A la igualdad en la que aparecen números y letras(incógnitas), relacionados mediante operacionesmatemáticas, se le llama “ecuación”.

Cuando aparece una sola letra, que no está elevada a ningunapotencia, es decir, que su exponente es 1, la ecuación se llamaEcuación lineal o Ecuación de Primer Grado.

A la igualdad 50 − 7x = 8, donde el grado de las letra es “ 1 ”,se le llama “ecuación lineal” o “ecuación de primer grado”.

Ejemplos

Resolver las ecuaciones siguientes:1) x − 5 = −1 2) x + 13 = 8

3) x4 = −3 4) −7x = 14

Solución1) x − 5 = −1

Para que el primer miembro sea “x”, se suma 5 en ambosmiembros, entonces, x − 5 + 5 = −1 + 5∴ x = 4 ••• Resp.

2) x + 13 = 8Para que el primer miembro sea “x”, se resta 13 en ambosmiembros, entonces, x + 13 −13 = 8 − 13∴ x = −5 ••• Resp.

Con los datos del problema se forma lasiguiente igualdad:

50 − 7x = 850 − 8 = 7x42 = 7x,luego, x = 6

Se ha utilizado la letra “ x ” porque hayun dato que se desconoce.

A la letra “ x ” se le llama incógnita

Son ecuaciones lineales o de primergrado, las siguientes:5x + 3 = 82 + 3x = 12 + 2x etc.

El valor que satisface la ecuación recibeel nombre de solución.

Propiedades

� A = B, entonces A + C = B + C

� A = B, entonces A − C = B − C

� A = B, entonces A × C = B × C

� A = B, entonces A ÷ C = B ÷ C


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3) x4 = −3Para que el primer miembro sea “x”, se multiplica por 4ambos miembros, entonces,x4 × 4 = ( -3 ) × 4 ∴ x = -12 ••• Resp.

4) −7x = 14Para que el primer miembro sea “x”, se divide ambos miem-bros entre −7, entonces, −7x ÷ (−7) = 14 ÷ (−7)

−−77x

− = 147− ∴ x = −2 ••• Resp.

Ejercicio 16

Resolver las ecuaciones siguientes:a) x − 9 = 3 b) x − 8 = −10 c) x + 5 = 3 d) 4 + x = 4

e) 16 x = 2 f) x

4 = −5 g) −8x = 48 h) 12x = 3

En una ecuación, se puede cambiar los términos de un miembroa otro miembro. Para ello se necesita cambiar el signo de dichotérmino. Esta actividad se llama “transposición”.

Ejemplos

Resolver las ecuaciones siguientes:

1) 4x − 15 = 9 2) 8x = 5x − 21

Solución1) 4x − 15 = 9 2) 8x = 5x − 21

Transponer −15 Transponer 5x4x = 9 + 15 8x − 5x = −214x = 24 3x = −21Dividir ambos Dividir ambosmiembros entre 4 miembros entre 3∴ x = 6 ••• Resp. ∴ x = −7 ••• Resp.

Ejercicio 17


a) 5x + 8 = 23 b) 6x − 5 = −17

c) 4x = 50 − 6x d) 3x = 5x − 14

e) 7x = − 9x + 64 f) −5x = −2x − 12

Por ejempo: 3x = 2x + 5

Se cambia 2x del 2do al 1er miembro,así: 3x − 2x = 5

∴ x = 5


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Ejemplos

Resolver las ecuaciones siguientes:1) 7x − 2 = 6 + 3x 2) 7( x − 5 ) = 9x + 1

Solución1) 7x − 2 = 6 + 3x 2) 7( x − 5 ) = 9x + 1

Transponer −2 y 3x 7x − 35 = 9x + 17x − 3x = 6 + 2 Transponer −35 y 9x4x = 8 7x − 9x = 1 + 35Dividir ambos −2x = 36 Dividirmiembros entre 4 ambos miembros entre −2∴ x = 2 ••• Resp. ∴ x = −18 ••• Resp.

Ejercicio 18

Resolver las ecuaciones siguientes:a) 9x + 2 = 5x + 17 b) 2x − 18 = −9 − xc) 17− 4x = 8 + 5x d) 2( x − 4 ) = 9x + 20e) − 4( 3 + x ) = 5( 6 − x ) f) 5 − 2( 7x − 2 ) = 1

1. Si A = B entonces A + C = B + C2. Si A = B entonces A − C = B − C3. Si A = B entonces A × C = B × C4. Si A = B entonces A ÷ C = B ÷ C

Ejemplos

Resolver las ecuaciones:

1) 5 84x− = 2 1

3x+ 2) 3

4 x − 7 = 2x + 12

Solución

1) 5 84x− = 2 1

3x+

multiplicar por 12

(12) 5 84x− = (12) 2 1

3x+

3( 5x − 8 ) = 4( 2x + 1 )15x − 24 = 8x + 47x = 28 dividir ambos miembros entre 7∴ x = 4 ••• Resp.

Como hay números fraccionarios, se debemultiplicar ambos miembros por el m.c.m(mínimo común múltiplo) de todos losdenominadores.

1) Los denominadores son 4 y 3,entonces m.c.m es “12”.


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2) 34 x − 7 = 2x + 1

2

multiplicar por 4

4( 34 x − 7 ) = 4( 2x + 1

2 )

3x − 28 = 8x + 2

−5x = 30 dividir ambos miembros entre −5∴ x = − 6 ••• Resp.

Ejercicio 19


a) 2x = 13 x – 4 b) 1 − 1

2 x = 3x c) 23 x + 7 = 8

7 x −3

d) 5 74

x− = x+72 e) 3 1

4x− = 2 3

3x− f) 9 5

6x− = 8

3+x

Ejemplos

María Elena tiene 18 dólares y Carlos 12 dólares, compraronun mismo libro. Y después de la compra, ella tiene el triple dedinero que Carlos. ¿Cuánto vale el libro?

SoluciónSuponer que el libro vale “x” dólares, después de comprarlotiene 18 − x dólares y Carlos tiene 12 − x dólares.

Ahora María Elena tiene triple de dólares que Carlos, por eso, secumple: 18 − x = 3( 12 − x )

Resolver esta ecuación,18 − x = 36 − 3x2x = 18∴ x = 9Resp. El libro vale 9 dólares.

Ejercicio 20

a) En una papelería Silvia compró 8 bolígrafos y un cuaderno que vale 12 dólares. Antes de comprar ellatenía 50 dólares, ahora le quedan 14 dólares. ¿Cuánto vale cada bolígrafo?

b) Mario tiene 4 años más que su hermano Luís y éste 3 más que su hermano René. Si entre todostienen la edad de su papá que es de 40. ¿Qué edad tiene cada uno de ellos?.

Procedimiento:

1) Encontrar los datos de los números ysuponer alguna letra para los datos dela incógnita.

2) Expresar la ecuación con los núme-ros y la letra.

3) Resolver la ecuación.

2) Los denominadores son 4 y 2,entonces m.c.m es “4”.


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Ejemplo

Saúl y René se fueron de pesca, Saúl pescó 26 peces, y René 8peces. Saúl le da a René algunos peces, sin embargo Saúl quierellevar a su casa más peces que René. ¿Cuántos peces le puededar Saúl a René?

SoluciónSuponer que “x” peces le da Saúl a René, entonces, Saúltiene ( 26 − x ) peces, y René tiene ( 8 + x ). Como Saúl quieretener más que René, se tiene que:

26 − x > 8 + x−x − x > −26 + 8−2x > −18dividir entre −2∴ x < 9

Por lo tanto, Saúl puede darle a René hasta 8 peces. ••• Resp.

Ejercicio 22

En un almacén venden las agendas a 4 dólares y los bolígrafos a 5 dólares. Si se quiere comprar lacantidad de 10 entre agendas y bolígrafos con 40 dólares. ¿Cuántas agendas se pueden comprar?

Procedimiento:

1) Encontrar los datos de los números ysuponer alguna letra para los datos dela incógnita.

2) Expresar la desigualdad lineal con losnúmeros y la letra.

3) Resolver la desigualdad lineal.


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3. Ecuación de Segundo grado.

Si m, n y a son números reales y además m ≠ 0, y a > 0, la

solución de la ecuación lineal mx + n = 0 es x = − nm .

Si el mayor exponente de una letra en una ecuación es “2”, éstase llama “ecuación de segundo grado”.

La solución de la ecuación de segundo grado:

x2 − a = 0 es x = ± a .

Estas ecuaciones siempre tienen solución en el conjunto de losnúmeros reales.

Una Ecuación de Segundo Grado, con una incógnitax, es una ecuación de la formaax2 + bx + c = 0,donde a, b y c son números reales y a ≠ 0.

La ecuación de segundo grado x2 = − 3 no tiene solución en elconjunto de los números reales, porque la raíz cuadrada decualquier número negativo pertenece a los números imaginarios.

3.1. Ecuaciones de la forma ax2 = b

Ejemplos


1) x2 = 4 2) 2x2 = 10

3) x2 − 16 = 0 4) 4x2 − 80 = 0

Solución1) x2 = 4

x = ± 4 ∴ x = ± 2 ••• Resp.

2) 2x2 = 10 Dividir ambos miembros entre 2

x2 = 5 ∴ x = ± 5 ••• Resp.

Además de las ecuaciones lineales o deprimer grado, existen otras en las que elmayor exponente de la incógnita es 2 ó 3.

En este caso estudiaremos aquellas dondeel mayor exponente de la incógnita es 2.

El valor que satisface una ecuación sellama solución. También se le llama Raízde la ecuación.

Ejemplo de ecuaciones de segundo grado:x2 + 5x + 4 = 03a2 + 4a + 1 = 0

x2

2 − x2 −3 = 0

Ejemplo: 4x2 + 9 = 0 donde4x2 = − 9

x2 = − 94 ,

no tiene solución en el conjunto de losnúmeros reales, por ser negativo elresultado para x2.

Procedimiento:

1) Transponer el término constante delprimer miembro al segundo miembrode la ecuación.

2) Dividir ambos miembros de laecuación entre el coeficiente de x2

3) Resolver la ecuación, encontrar la raízcuadrada.


C

A

P

Í

T

U

L

O

II

59

3) x2 − 16 = 0. Transponer 16 del primer miembro al segundomiembro.x2 = 16 ∴ x = ± 4 ••• Resp.

4) 4x2 − 80 = 0. Transponer 80 del primer miembro al segundomiembro y dividir entre 4.

4x2 = 80 ; x2 = 20 ∴ x = ± 20 ••• Resp.

Ejercicio 23

Resolver las ecuaciones siguientes:a) x2 = 1 b) 2x2 = 18 c) x2 = 48 d) 3x2 = 84e) x2 − 50 = 0 f) 3x2 − 54 = 0 g) x2 − 54 = 0 h) 4x2 − 160 = 0

3.2. Ecuaciones de la forma x2 + bx + c = 0

Ejemplos


1) x2 − 3x = 0 2) x2 − 6x + 9 = 0

3) x2 − 4x − 5 = 0 4) x2 + 7x + 12 = 0

Solución1) x2 − 3x = 0 2) x2 − 6x + 9 = 0

Factorizar Factorizarx( x − 3 ) = 0 ( x − 3 )2 = 0∴ x = 0 , 3 ∴ x = 3••• Resp. ••• Resp.

3) x2 − 4x − 5 = 0 4) x2 + 7x + 12 = 0Factorizar Factorizar( x − 5 )( x + 1 ) = 0 ( x + 3 )( x + 4 ) = 0∴ x = 5, −1 ∴ x = −3, − 4••• Resp. ••• Resp.

Ejercicio 24

Resolver las ecuaciones:a) x2 − 5x + 6 = 0 b) x2 + 4x + 4 = 0 c) x2 − 2x + 1 = 0d) x2 − x − 12 = 0 e) x2 + 3x + 2 = 0 f) x2 − 9x + 20 = 0g) x2 + 2x − 15 = 0 h) x2 − 3x − 10 = 0 i) x2 + 10x + 21 = 0

Consultar el resumen de la factorizaciónI y II.

1) Factor común es “ x ”.x2 − 3x = (x)(x) − (3)(x)

2) x2 − 6x + 9 = x2 − (2)(3x) + 32

3) x2 − 4x−5= x2 +( 1−5 )x + (1)(−5)

4) x2 + 7x + 12= x2 + ( 3 + 4 )x + (3)(4)


C

A

P

Í

T

U

L

O

II

60

3.3. Ecuaciones de la forma ac x2 + ( ad + b c ) x + bd = 0

Ejemplos


1) 2x2 + x − 1 = 0 2) 3x2 + 4x + 1 = 02) 3x2 −7x − 1 = 0

Solución1) 2x2 + x − 1 = 0 2) 3x2 + 4x + 1 = 0

Factorizar Factorizar(x + 1 )(2x − 1) = 0 (x + 1 )(3x + 1) = 0

∴ x = −1, 12 ∴ x = −1, − 1

3

••• Resp. ••• Resp.

3) 3x2 −7x − 6 = 0Factorizar(x − 3 )(3x + 2) = 0∴ x = 3, − 2

3••• Resp.

Ejercicio 25

Resolver las siguientes ecuaciones:a) 2x2 +3 x − 5 = 0 b) 2x2 − x − 6 = 0 c) 2x2 − x − 3 = 0d) 8x2 − 2x −21 = 0 e) 6x2 −5x +1 = 0 f) 6x2 −5 x − 6 = 0g) 4x2 − x − 3 = 0 h) 3x2 + 5x − 2 = 0 i) 12x2 +7 x −10 = 0

3.4. Fórmula general para resolver ecuaciones de Segundo Grado.

Deducción de la fórmula general a partir de la ecuación ax2 + bx + c = 0 con a ≠ 0

1) ax2 + bx = − c

2) 4a2x2 + 4abx = − 4 a c

3) 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 − 4 a c

4) (2ax + b)2 = b2 − 4 a c

5) ( )2 42 2ax b b ac+ = ± −

6) 2ax = − b ± −b ac2 4

Consultar el cuadro resumen de lafactorización y además utilizar la formade factorización general.

1)

2)

3)

Procedimiento:1) Transponer “c”2) Multiplicar la ecuación por 4a3) Tranformar el primer miembro de la

ecuación en un trinomio cuadradoperfecto, sumando b2.

4) Factorizar el trinomio cuadradoperfecto.

5) Extraer raíz cuadrada a los dosmiembros de la ecuación.

1 1 2

2 −1 −1

2 −1 1

1 1 3

3 1 1

3 1 4

1 −3 −9

3 2 2

3 − 6 −7


C

A

P

Í

T

U

L

O

II

61

6) Transponer “b”7) Despejar la incógnita “x”.7) x b b ac

a= − ± −2 42

Ejercicio 26

Resolver las ecuaciones:a) 6x2 − 4x − 3 = 0 b) x2 − 4x − 1 = 0 c) 4x2 + 3x − 1 = 0d) 5x2 + 5x + 1 = 0 e) 2x2 − 6x − 3 = 0 f) 3x2 − 2x + 6 = 0g) x2 + 7x + 10 = 0 h) 3x2 − 5x − 1 = 0 i) 5x2 + 2x − 1 = 0

El doble signo del radical da las soluciones o raíces de la ecuación

Ejemplos

Resolver las ecuaciones:1) x2 + 3x + 1 = 0 2) 2x2 − 5x −1 = 03) 3x2 − 4x −5 = 0

Solución1) x2 + 3x + 1 = 0

∴ = − ± − = − ±x3 3 4 1 1

2 13 5

2

2 ( )( )( )( )( ) ••• Resp.

2) 2x2 − 5x − 1 = 0

∴ = − − ± − − − = ±x( ) ( ) ( )( )( )

( )( )5 5 4 2 1

2 25 33

4

2••• Resp.

3) 3x2 − 4x − 5 = 0

∴ = − − ± − − − = ±x( ) ( ) ( )( )( )

( )( )4 4 4 3 5

2 34 76

6

2

= ± = ± = ±4 4 196

4 2 196

2 193

( )( ) ••• Resp.

Ecuación general I

Cuando se resuelven ecuaciones de segundo grado y no se puede factorizar, se utiliza la ecuacióngeneral.La ecuación general de segundo grado ax2 + bx + c = 0, (a ≠ 0) es:

x b b aca= − ± −2 4

2

Sustituir en la fórmula general pararesolver las ecuaciones.


C

A

P

Í

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O

II

62

Sea una ecuación de segundo gradoax2 + 2b´ x + c = 0, (a ≠ 0). Encontrar las soluciones.

Se tiene la ecuación ax2 + bx + c = 0, (a ≠ 0)

Para encontrar las soluciones, utilizar la fórmula general, así:

1) xb b ac

a= − ′ ± ′ −2 2 42

2( )

2) x b b aca= − ′ ± ′ −2 2

2

3) x b b aca= − ′ ± ′ −2

Ejemplos

Resolver las ecuaciones:1) 3x2 − 4x − 5 = 0 2) 2x2 − 6x + 1 = 03) x2 + 8x + 3 = 0

Solución1) 3x2 − 4x − 5 = 0, (3x2 + 2(− 2)x − 5 = 0)

a = 3, b´ = −2, c = −5

∴ x = − − ± − − −( ) ( ) ( )( )2 2 3 53

2

= ±2 193 ••• Resp.

2) 2x2 − 6x + 1 = 0, (2x2 +2(−3)x + 1 = 0)a = 2, b´= −3, c = 1

∴ x = − − ± − − −( ) ( ) ( )2 2 3 53

2

= ±3 72 ••• Resp.

3) x2 + 8x + 3 = 0, ( x2 + 2(4x) + 3 = 0 )a = 1, b´= 4, c = 3

x = − ± −4 4 1 31

2 ( )( )

= − ±4 13 ••• Resp.

Ejercicio 27


a) 3x2 + 2x − 1 = 0 b) 2x2 − 8x + 5 = 0 c) 5x2 − 4x − 3 = 0

1) Utilizar la ecuación general.

2) Factorizar dentro del radical y extraerraíz cuadrada.

3) Reducir a su mínima expresión.

Utilizar la ecuación x b b aca= − ′ ± ′ −2


C

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II

63

d) 3x2 − 6x + 1 = 0 e) − x2 − 2x + 4 = 0 f) − x2 + 4x + 5 = 0

g) 5x2 − 6x − 2 = 0 h) x2 − 8x + 10 = 0 i) 2x2 + 8x − 10 = 0

Ejemplos

Resolver las ecuaciones:1) −x2 − 2x + 1 = 02) 0.2x2 − 0.5x − 1.2 = 03) 4x2 − 20x + 25 = 04) 1

2 x2 − 15 x − 1 = 0

5) ( x − 2 )2 + 3( x − 2 ) − 4 = 0

Solución.1) −x2−2x + 1 = 0

x2 + 2x − 1 = 0 ( No se puede factorizar )

∴ x = − ± +1 1 1 = − ±1 2 ••• Resp.

2) 0.2x2 − 0.5x − 1.2 = 02x2 − 5x − 12 = 0 ( Sí se puede factorizar)( x − 4 )( 2x + 3 ) = 0

∴ x = 4, − 32 ••• Resp.

3) 4x2 − 20x + 25 = 0(Sí se puede factorizar. )(2x − 5 )2 = 0

∴ x = 52 ( raíz doble ) ••• Resp.

4) 12 x2 − 1

5 x − 1 = 0Convertir a ecuación entera5x2 − 2x − 10 = 0 ( No se puede factorizar . )

∴ x = 1 1 505

1 515

± + = ± ••• Resp.

5) ( x − 2 )2 + 3( x − 2 ) − 4 = 0x2 − 4x + 4 + 3x − 6 − 4 = 0

Ecuación general II

Cuando en la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0, (a ≠ 0), el coeficiente de “x” esnúmero par, se puede utilizar la fórmula general siguiente:

x b b aca= − ′ ± ′ −2

1) Multiplicar por (−1) y utilizar lafórmula general.

2) Multiplicar por 10 y factorizar así:

3) Factorizar así:(2x)2 − (2)(5)(2x) + 52 = 0

4) El m.c.m de denominadores 2 y 5es 10.

5) Multiplicar ambos miembros de laecuación por 10 y aplicar la fórmulageneral.

6) Simplificar los términos y factorizar.

Procedimiento:

Para resolver ecuaciones de segundogrado, primero simplificar, luego,investigar si se puede factorizar o no laecuación.

1 − 4 − 8

2 3 3

2 −12 − 5


C

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II

64

x2 − x − 6 = 0( x + 2 )( x−3 ) = 0∴ x = −2, 3 ••• Resp.

La ecuación (5) también se puede factorizar así:

( x − 2 )2 + 3( x − 2 ) − 4 = 0{ ( x − 2 ) + 4 }{ ( x − 2 ) −1 } = 0( x + 2 )( x − 3 ) = 0∴ x = − 2, 3 ••• Resp.

Ejercicio 28

Resolver las ecuaciones:a) 12x2 − 17x + 6 = 0 b) 3x2 + 7x + 3 = 0c) 0.6x2 − 0.5x − 0.6 = 0 d) −2x2 − 4x + 3 = 0e) x2 − 3x − 2 = 0 f) ( x − 1 )( x − 2 ) = −7xg) 3( x + 1 )2 = x + 5 − 2x( x − 1 ) h) ( x + 2 )2 − 5 = 2( x + 2 )i) ( x + 1 )2 − ( x + 1 ) − 2 = 0 j) 2( x − 1 )2 − 5( x − 1 ) = 0k) 1

2 x2 − 3x + 92 = 0 l) 1

2 x2 + 112 x − 1

6 = 0

Ejemplo

Un pedazo de cartón tiene de largo 5 cm más que de ancho.Si de las 4 esquinas se recorta un cuadrado que tiene 3 cm porlado, y luego se doblan los lados, se puede hacer una caja. Si elvolumen de la caja es 108 cm3 , encontrar el largo y ancho delcartón.

SoluciónSuponer que el ancho del cartón es “x” cm. El largo del cartónes ( x + 5 ) cm.Para hacer una caja, el largo y ancho son:largo: ( x + 5 ) − (2)(3) = x − 1ancho: x − (2)(3) = x − 6

Nota:(2)(3) equivale a los dos pedazos que se han recortado allargo del cartón.

En este caso, x − 1 > 0 además x − 6 > 0, o sea, x > 6

Como el volumen de la caja es 108 cm 3,entonces se puede escribir la siguiente ecuación:

Procedimiento:1) Encontrar los datos de los números y

suponer alguna letra para los datos dela incógnita.

2) Expresar la ecuación con los númerosy la letra.

3) Resolver la ecuación.

x–6

x+5x–1

3

x


C

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P

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II

65

(3)( x − 1 )( x − 6 ) = 108( x − 1 )( x − 6 ) = 36x2 − 7x + 6 = 36x2 − 7x − 30 = 0( x − 10 )( x + 3 ) = 0 ∴ x = 10, − 3pero x > 6, entonces x = 10

El largo y ancho del cartón son 15 cm y 10 cm ••• Resp.

Ejercicio 29

El área de un jardín rectangular, es de 96 m2. Al trazar una calle de 3 m de ancho alrededor de él, su áreatotal se amplía a 252 m2. Encontrar el largo y ancho del jardín.

3.5. Discriminante en una ecuación de Segundo Grado.

Cuando a, b y c son números reales, las soluciones de laecuación de segundo grado ax2 + b x + c = 0, ( a ≠ 0 ) son:

− + −b b aca2 4

2 y − − −b b aca2 4

2

Las soluciones de las ecuaciones de segundo grado, se puedenclasificar dependiendo del signo de “b 2 − 4ac”, es decir:

i) Cuando b 2 − 4ac > 0, el valor b ac2 4− es número positivo,entonces la ecuación ax2 + b x + c = 0 tiene dos solucionesreales diferentes.

ii) Cuando b 2 − 4ac = 0, el valor b ac2 4− es 0, o sea las dossoluciones son iguales, entonces la ecuación ax2 + b x + c = 0tiene una solución real. La solución es raíz doble.

iii)Cuando b 2 − 4ac < 0, el valor b ac2 4− no es número real,entonces la ecuación ax2 + b x + c = 0 no tiene solucionesreales.

La expresión “b 2 − 4ac ” se llama “discriminante” de laecuación de segundo grado ax2 + b x + c = 0 y se representacon la letra “D ”.

En la ecuación de segundo grado ax2 + 2b´x + c = 0, el

Por ejemplo:

i) 2x2 − x − 5 = 0b 2 − 4ac = (−1)2 − (4) (2) (−5)

= 41 > 0

ii) 25x2 + 10x + 1 = 0b 2 − 4ac = 102 − (4) (25) (1)

= 100 − 100 = 0

iii) x2 − 3x + 4 = 0b 2 − 4ac = (−3)2 − (4) (1) (4)

= −7 < 0,

Se expresa así: D = b 2 − 4ac


C

A

P

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II

66

discriminante D es:

D = ( 2b´ )2 − 4ac

= 4( b´ 2− ac )

entonces, D4 = b´ 2 − ac ó D

4 = b´ 2 − ac

Ejercicio 30

Clasificar las soluciones de las ecuaciones siguientes:a) 4x2 + 3x + 1 = 0 b) 4x2 − 28x + 49 = 0 c) 7x2 + 16x + 8 = 0d) 2x2 + 5x − 1 = 0 e) 3x2 − x + 2 = 0 f) x2 + 10x + 25 = 0

3.6. Relación entre las soluciones y los coeficientes de la ecuación.

Si D es el discriminante de la ecuación de segundo grado ax2 + b x + c = 0, ( a ≠ 0 ),entonces, D = b 2 − 4ac y además,

D > 0 ⇔ la ecuación tiene dos soluciones reales diferentes.D = 0 ⇔ la ecuación tiene una solución real (raíz doble).D < 0 ⇔ la ecuación no tiene soluciones reales.

Especialmente, sobre la ecuación ax2 + 2b´x + c = 0D4 = b´ 2 − ac

Si α y β son las soluciones de la ecuación de segundo gradoax2 + b x + c = 0, ( a ≠ 0 ) y “D ” es el discriminante, entonces,

Suma: α β+ = − + + − −b Da

b Da2 2

= − = −22

ba

ba

Multiplicación: αβ = − + × − −b Da

b Da2 2

= − =b Da

ca

2

24

Ejemplos

Encontrar los valores de la suma y la multiplicación de lassoluciones de las siguientes ecuaciones:1) 2x2 + 5x + 6 = 0 2) x2 − 2x + 4 = 03) 2x2 + 9 = 0

Es decir ax2 + b x + c= a ( x − α )( x − β ) = 0

Se expresa así: α β+ = − ba

αβ = ca

D = b 2− 4ac, por esob 2− D = b 2 − ( b 2 − 4ac ) = 4ac


C

A

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T

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II

67

Solución.1) 2x2 + 5x + 6 = 0 2) x2 − 2x + 4 = 0

Suma: − 52 , Suma: − −2

1 = 2,Multiplicación: 6

2 = 3 Multiplicación: 41 = 4

••• Resp. ••• Resp.

3) 2x2 + 9 = 0Suma: − 0

2 = 0,Multiplicación: 9

2 ••• Resp.

Suponer valores para a, b y c.

1) a = 2, b = 5, c = 6

2) a = 1, b = −2, c = 4

3) a = 2, b = 0, c = 9

Ejercicio 31

Encontrar los valores de la suma y la multiplicación de las soluciones de cada unas de las ecuacionessiguientes:

a) 3x2 − 9x + 2 = 0 b) x2 + 7x − 2 = 0 c) 4x2 − 4x + 1 = 0

Relación entre las soluciones y los coeficientes de la ecuación

Si α y β son las soluciones de la ecuación de segundo grado ax2 + b x + c = 0, (a ≠ 0),entonces las relaciones entre las soluciones (α y β ) y los coeficientes ( a , b y c ) de laecuación ax2 + b x + c = a ( x−α )( x− β ) = 0 son:

α β+ = − ba ; αβ = c

a

Ejemplos

Cuando α y β son las soluciones de la ecuación de segundogrado x2 + 3x + 4 = 0, encontrar los valores de:

1) α β2 2+ 2) α β3 3+ 3) 1 1α β+

Solución.De la relación entre las soluciones y los coeficientes,α β+ = −3, αβ = 4

1) α β2 2+ 2) α β3 3+= (α β+ )2 − 2αβ = (α β+ )3 − 3αβ (α β+ )= (−3 )2 − (2)(4) = (−3)3 − (3)(4)(−3)= 1 ••• Resp. = 9 ••• Resp.

(3) 1 1α β+ =

αβαβ+

= − 34 ••• Resp.

Utilizar la relación entre las soluciones ylos coeficientes (α β+ y αβ ) parafactorizar las expresiones.

Al factorizar (α β+ )2 y (α β+ )3 setiene:

1) (α β+ )2

= α 2 + 2αβ + β 2

2) (α β+ )3

= α 3 + 3 2αβ + 3 2αβ + β 3


C

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II

69

3.7. Desigualdad de segundo grado

Resolver la siguiente desigualdad x2 − 4x + 3 ≥ 0El primer miembro de la desigualdad x2 − 4x + 3, se puedefactorizar así:

x2 − 4x + 3 = ( x−1 )( x−3 )

Por lo tanto esta desigualdad se expresa así:( x−1 )( x−3 ) ≥ 0

Utilizar la siguiente tabla.

Por eso la solución de la desigualdad x2 − 4x + 3 ≥ 0es x ≤ 1, 3 ≤ x

Ejemplos

Resolver las desigualdades de segundo grado:1) x2 − 4x − 12 ≤ 0 2) x2 + 6x + 5 > 03) x2 − 9 ≥ 0 4) 6x2 − 7x + 2 < 0

Solución.1) x2 − 4x −12 ≤ 0

( x + 2 )( x − 6 ) ≤ 0 ∴ −2 ≤ x ≤ 6 ••• Resp.

2) x2 + 6x + 5 > 0

(x + 5 )( x + 1 ) > 0 ∴ x < −5, −1 < x ••• Resp.

3) x2−9 ≥ 0

(x + 3 )( x − 3 ) ≥0 ∴ x ≤ −3, 3 ≤ x ••• Resp.

4) 6x2 − 7x + 2 < 0

(2x−1 )( 3x−2 ) < 0, ( ( x− 12 )( x− 2

3 ) < 0 )

∴ 12 < x < 2

3 ••• Resp.

x–1

– – – +0

– 0 + ++

. . . 1 . . . . . .3

+ 0 – +0

x–3

(x–1) (x–3)

Ejercicio 34

Resolver las desigualdades de segundo grado:a) x2 − x − 12 ≥ 0 b) x2 − 4 ≤ 0 c) x2 + 4x − 12 > 0 d) 3x2 − 2x > 0e) x2 − x − 6 ≤ 0 f) x2 − 5x − 6 < 0 g) 6x2 − 5x − 4 ≥ 0 h) 6x2 − x − 2 < 0

(x+2)

– – – +0

– 0 + ++

. . . –2 . . . . . .6

+ 0 – +0

(x–6)

(x+2) (x–6)

(1)

(x+5)

– – – +0

– 0 + ++

. . . –5 . . . . . .-1

+ 0 – +0

(x+1)

(x+5) (x+1)

(2)

(x+3)

– – – +0

– 0 + ++

. . . –3 . . . . . .3

+ 0 – +0

(x–3)

(x+3) (x–3)

(3)

(4)

(2x–1)

– – – +0

– 0 + ++

. . . . . . . . .

+ 0 – +0

(3x–2)

(2x–1) (3x–2)

23

12

Factorizar el primer miembro de lasdesigualdades de segundo grado.

Además utilizar la tabla.

A la expresión de segundo grado quecontiene el signo de desigualdad, se lellama “desigualdad de segundo grado”.

Por ejemplo:

1) Si x = 0x2 − 4x + 3 = 02 − (4) (0) + 3

= 3 > 0

2) Si x = 2x2 − 4x + 3 = 22 − (4) (2) + 3

= −1 < 0

3) Si x = 4x2 − 4x + 3 = 42 − (4) (4) + 3

= 3 > 0

4) Si x = 1x2 − 4x+3 = 12 − (4) (1) + 3 = 0


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70

Ejemplos

Resolver las desigualdades de segundo grado:

1) x2 − 6x + 9 ≥ 0 2) x2 + 4x + 4 > 0

3) x2 + 8x + 16 ≤ 0 4) x2 − 10x + 25 < 0

Solución1) x2 − 6x + 9 ≥ 0 ∴ ( x − 3 )2 ≥ 0

La solución es todo número real. ••• Resp.

2) x2 + 4x + 4 > 0 ∴ ( x + 2 )2 > 0

La solución es todo número real excepto x = −2 ••• Resp.

3) x2 + 8x + 16 ≤ 0 ∴ ( x + 4 )2 ≤ 0

La solución es sólo x = − 4 ••• Resp.

4) x2 − 10x + 25 < 0 ∴ ( x − 5 )2 < 0

La solución no existe. ••• Resp.

i) 12x2 + 5x − 2 > 0 j) 8x2 − 10x − 3 < 0 k) 5x2 − 3x − 2 ≥ 0 l) 6x2 − x − 5 < 0

Ejercicio 35


a) x2 − 12x + 36 ≤ 0 b) 4x2 + 4x + 1< 0

c) 9x2 − 6x + 1 > 0 d) 25x2 + 20x + 4 ≥ 0


1) x2 − 6x + 9= x2 − (2) (3x) + 32 = (x − 3 )2

2) x2 + 4x + 4= x2 + (2) (2x)+ 22 = (x + 2)2

3) x2 + 8x + 16= x2 + (2) (4x) + 42 = ( x + 4 )2

4) x2 − 10x + 25= x2 − (2) (5x) + 52 = (x−5 )2


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Ejemplos

Resolver las desigualdades de segundo grado:1) x2 − 2x − 1 ≤ 0 2) 2x2 − 5x + 1 > 0

Solución1) Si se supone que x2 − 2x − 1 = 0, entonces,

x = 1 ± 2La solución de la desigualdad x2 − 2x − 1 ≤ 0 es:1 − 2 ≤ x ≤ 1 + 2 ••• Resp.

2) Si se supone que 2x2 − 5x + 1 = 0, entonces

x = 5 174

±

La solucion de la desigualdad 2x2 − 5x + 1 > 0 es:

x < 5 174

− , 5 174

+ < x ••• Resp.

Ejemplos

Resolver las desigualdades de segundo grado:1) x2 + 2x + 3 > 0 2) x2 − 6x + 10 ≤ 0

Si se supone que a > 0 y α , β (a < β ) son las soluciones de la ecuación de segundo gradoax2 + b x + c = 0, entonces la solución de la desigualdad de segundo grado es así:

1) ax2 + b x + c ≥ 0 2) ax2 + b x + c > 0⇔ x ≤ α , β ≤ x ⇔ x < α , x < β

3) ax2 + b x + c ≤ 0 4) ax2 + b x + c < 0⇔ α ≤ x ≤ β ⇔ α < x < β

Por el resumen anterior, y sin utilizar la tabla podemos encontrar la solución de la desigualdad desegundo grado.

Además las soluciones de las desigualdades siguientes son:1) ( x−α )2 ≥ 0 es todo número real.2) ( x−α )2 > 0 es todo número real excepto x =α3) ( x−α )2 ≤ 0 es sólo x =α4) ( x−α )2 < 0 no existe.


Si no se puede factorizar, utilizar laecuación general para encontrar losvalores de x.

x = − ± −b b aca2 4

2


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Solución1) x2 + 2x + 3 > 0

( x + 1 )2 − 1 + 3 > 0( x + 1 )2 + 2 > 0Luego, ( x + 1 )2 es siempre mayor que 0, por eso, la solu-ción de la desigualdad es todo número real. ••• Resp.

2) x2 − 6x + 10 ≤ 0( x − 3 )2 − 9 + 10 ≤ 0( x − 3 )2 + 1 ≤ 0Luego, ( x − 3 )2 es siempre mayor que 0, por eso, la soluciónde la desigualdad no existe. ••• Resp.

Ejercicio 36


a) x2 − 4x + 1 ≥ 0 b) x2 + 2x − 4 < 0 c) x2 − x − 3 > 0 d) 3x2 − 10x + 2 ≤ 0

e) x2 − 4x + 5 ≥ 0 f) x2 − 2x + 4 < 0 g) x2 + 6x +11 > 0 h) x2 + x + 1 ≤ 0

Ejemplo

Encontrar el intervalo de “a”, para obtener las solucionesreales de la ecuación de segundo grado x2 − ax + 2a − 3 = 0.

SoluciónSuponer que D es el discriminante de la ecuación de segundogrado x2 − ax + 2a − 3 = 0, para obtener soluciones reales, debecumplirse D ≥ 0

entonces, (− a )2 − (4)(1)( 2a − 3 ) ≥0a 2 − 8a + 12 ≥ 0( a − 2 )( a − 6 ) ≥ 0∴ a ≤ 2, 6 ≤ a ••• Resp.

Ejercicio 37

a) Encontrar el intervalo de “m”, para tener soluciones reales de la ecuación de segundo gradox2 + 2( m + 1 )x + m + 7 = 0.

b) Encontrar el intervalo de “a”, para no tener soluciones reales de la ecuación de segundo gradox2 + ( a − 1 )x + 2a − 1 = 0.

1) Si D es el discriminante de la ecuaciónde segundo grado x2 + 2x + 3 = 0,entonces,D4 = 12 − 3 = −2

∴ D < 0Es decir, la ecuación de segundogradox2 + 2x + 3 = 0 no tiene solución real.

2) El discriminante de la ecuaciónx2 − 6x + 10 ≤ 0 es D < 0

Cuando en el ejercicio dice que“ la ecuación de segundo grado tienesoluciones ”, entonces el discriminanteD es mayor o igual que 0.

Es decir:ax2 + b x + c = 0, (a ≠ 0)entonces D = b 2 − 4ac ≥ 0


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Resolviendo la nueva ecuación se obtieneel valor de la incógnita.

(x, y) = (8, 17) es la solución del sistemade ecuaciones.

Sustituir esta ecuación � ´ en la ecuación � y encontrar elvalor de “ x ”.

5x − 2( 2x + 1 ) = 65x − 4x − 2 = 6 ∴ x = 8

Sustituir el valor de “ x ”, x = 8, en la ecuación � ´.y = (2)(8) + 1 = 17

Por lo tanto, ( x , y ) = ( 8 , 17 ) ••• Resp.

Ejercicio 38

Resolver las ecuaciones simultáneas siguientes:

a)x y

x y

+ =− = −

8

2b)

x y

y x

+ == −

7

3 5c)

x y

x y

+ =+ =

2 3

2 9

Método de reducción.

Resolver las ecuaciones simultáneas siguientes:

3 5 27

2 3 1

x y

x y

+ =− = −

SoluciónUtilizar el método de reducción.

3x + 5y = 27 ••••• �2x − 3y = − 1 ••••• �

El m.c.m de los coeficientes de “ y ”, 5 y, − 3, es “ 15 ”.

Entonces multiplicar las ecuaciones, así: � por 3, � por 5,

� × 3 → 9x + 15y = 81

� × 5 → 10x − 15y = −5

Adicionar las ecuaciones para eliminar la letra “ y ”, de � × 3 + � × 5,

9x + 15y = 8110x − 15y = − 519x = 76 ∴ x = 4

Sustituir el valor de “ x ”, x = 4, en la ecuación � .(3)(4) + 5y = 2712 + 5y = 275y = 15 ∴ y = 3

Por lo tanto, ( x , y ) = ( 4 , 3 ) ••• Resp.

Procedimiento:

(1) Encontrar el m.c.m de los coeficientesde una incógnita.

El m.c.m que se utilice debe ser unvalor absoluto.El valor absoluto de −3 es 3.

(2) Multiplicar la ecuación � por 3 y la

� por 5 para igualar los coeficientesde “y”.

(3) Resolver las ecuaciones y encontrar elvalor de una incógnita.

(4) Sustituir este valor en la ecuación �para encontrar el valor de la otraincógnita.


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4.2. Sistema de tres ecuaciones simultáneas.

EjemploResolver las ecuaciones simultáneas:

2 6

3 2 1

3 2 9

x y z

x y z

x y z

− + =+ − =

− + =

Solución 1Utilizar el método de sustitución.

2x − y + z = 6 ••••• �3x + 2y − z = 1 ••••• �x −3y + 2z = 9 ••••• �

Expresar la ecuación � en términos de “ z ”, así:z = −2x + y + 6 ••••• � ´

sustituyendo � ´ en �3x + 2y − (−2x + y + 6 ) = 1

3x + 2y + 2x − y − 6 = 1∴ 5x + y = 7 ••••• �

sustituyendo � ´ en �

x − 3y + 2(−2x + y + 6 ) = 9x − 3y − 4x + 2y + 12 = 9

−3x −y = −3∴ 3x + y = 3 ••••• �

Restar las nuevas ecuaciones para suprimir la letra “ y ”,de � − � resulta: 2x = 4 ∴ x = 2

sustituyendo x = 2 en �6 + y = 3 ∴ y = −3

sustituyendo x = 2 , y = −3 en �z = 4 − 3 + 6 ∴ z = −1

Por lo tanto,x = 2, y = −3, z = −1 ••• Resp.

Solución 2Utilizar el método de reducción (adición y sustracción).

Para resolver ecuaciones simultáneas contres incógnitas, hay que eliminar una deellas.

Expresar una ecuación en términos de unade las incógnitas.

Sustituir esta relación en las otrasecuaciones.

Se obtienen las ecuaciones � y � .

Resolver las ecuaciones � y � paraeliminar una incógnita (reducción:adición y sustracción) y para encontrar“x”.

Sustituir x = 2 en la ecuación � paraencontrar “y”.

Sustituir los valores x = 2; y = −3 en laecuación � para encontrar “z”.


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cuando x = 5, de � ´ y = 17 − 5 ∴ y = 12

cuando x = 12, de � ´ y = 17 − 12 ∴ y = 5

Los catetos miden 5 cm y 12 cm. ••• Resp.

Ejercicio 44

Encontrar la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuya suma de los tres lados es igual a24 cm, y el área es 24 cm2.

Luego, los valores de las incógnitas son:x = 5 cmy = 12 cm


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1. Simplificar y determinar el grado de los polinomios siguientes:a) 3x2 − x − 4x2 + 3x b) 2x3 − x2 + 2x4 − 6x2 − 6x3 − 3x4

c) 3x − 5x2 + 6x5 + 5x2 + 3x5 d) −x3 + 5x2 + 3x3 − 4x5 + 4x5 − 4x2

e) 5y − 4z + 8x + 5z − 3x − 6y + x f) 6 − 2x + 3x2 + 4x3 + 4x − 6x2 + 1

2. Simplificar en forma descendente sobre la letra “ x ”:a) x2 − 3 + 5x2− 4x3 − 2x + 3x2 + 4x − 5 + 2x3 b) x2−x + y2 + y + 2xy − 2c) ( 5x3 − 2x2 + 3x + 4 ) + ( 3x3 − 5x2 + 3 ) d) 3(5x3 − 2x2 + 3x + 4) − 2(3x3 − 5x2 + 3)e) ( 2x2 + 5xy − 4y2 ) − 4( x2 − 5y2 ) − 3( − x2 + 3xy )

3. Simplificar las siguientes expresiones:a) 3 × b × b × 5 × c b) z × 4 × x × (−2) × y × x × z × y × zc) −b × 6 × a − 3 × a × (−a ) d) x × 2 ÷ 5 × y × (−x) − y × x × y × 1 × ze) a × c × (−c ) × c ÷ b × (−a ) × b × (−a ) f) z × x ÷ (−y ) × x × y − 8 ÷ y × y × z × x

4. Calcular lo siguiente:a) ( x2y3z )2 b) 2xy( x2y )2 c) ( 2a 2 )3(−a )3a 2

d) ( ab 2 )3( a 2b )2 e) (−xy2 )(−x2y )2(−3xy )

5. Desarrollar lo siguiente;a) −3a 2( 2a 2 − 3a + 5 ) b) ( 2x + 1 )( x2 + 3x − 4 )c) ( x2 − x + 3 )( x + 1 ) d) ( a 2 + 3a + 5 )( 2a 2−1 )e) ( 2x2 + 3x − 4 )( x2 − 5 − 3x )

6. Desarrollar lo siguiente:a) ( 2x + 5 )2 b) ( 3x − 5y )2 c) ( 2x − 3 )( 2x + 3 )d) ( 3y + 4x )( 4x − 3y ) e) ( x − 2 )( x + 6 ) f) ( x − 3 )( x − 5 )g) ( x + 7y )( x − 2y ) h) ( 2x + 1 )( x − 1 ) i) ( 3x + 4 )( 2x − 1 )j) ( 2x + 3 )( 3x − 4 ) k) ( 4x + 5y )( 3x − 4y ) l) ( 3x + 2y )( 4x − 5y )

7. Desarrollar lo siguiente:a) ( x + 1 )3 b) ( 2x − 1 )3 c) ( 3x + 2 ) 3

d) ( x + 2 )( x2 − 2x + 4 ) e) ( a − 3 )( a 2 + 3a + 9 ) f) ( 2x − y )( 4x2 + 2xy + y2 )

8. Desarrollar lo siguiente:a) ( x + y − z )2 b) ( x + y + 2z )2 c) (−a + 2b − c )2

d) ( 2a − 3b − 4c )2 e) ( x + 2y − 3z )( x − 2y + 3z ) f) ( x + y + z )( x − y − z )

9. Desarrollar lo siguiente:a) ( x − 1 )( x + 1 )( x2 + 1 ) b) ( x − 2 )( x + 2 )(x2 − 2x + 4 )( x2 + 2x + 4 )c) ( a − b )( a + b )( a 2 + b 2 )( a 4 + b 4 ) d) ( x − 1 )( x + 1 )( x − 2 )( x − 4 )e) ( x − 1 )( x − 2 )( x + 3 )( x + 4 ) f) ( a + 6 )( a + 2 )( a + 1 )( a − 3 )

10. Calcular lo siguiente:

a) ( 6x2 − 5x − 6 ) ÷ ( 2x − 3 ) b) ( 2x3 + 8x2 − 3x − 12 ) ÷ ( 2x2 − 3 )

c) ( 16x2 + 8x − 12 ) ÷ ( 4x − 3 ) d)( 6x3 + x2 − 7x + 2 ) ÷ ( 3x − 1 )

e) ( 6x2 − 7x−15 ) ÷ ( 2x − 5 ) f) ( 2x3− 4x + 1 ) ÷ ( x2 − 2x + 3 )

g) ( 2x3 − 3x2 − 1 ) ÷ ( 2x − 1 ) h) ( x3− 6xy2 + 5y3 ) ÷ ( x − 2y )

i) ( 12x3 − 16x2y − 27xy2 + 36y3 ) ÷ ( 2x + 3y )


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11. Factorizar lo siguiente:a) ab + a 2b + ab 2 b) x2 + 2x( y + z ) c) 2a( a − 3b ) − b( 3b − a )d) 6a 3b − 24ab 3 e) x2 − ( y − 1 )2 f) 2a 4b − 16abg) a 2 + 6a + 9 h) 4x2− 4x + 1 i) 9x2 − 12xy + 4y2

j) 49x2 − 4 k) 4x2y2 − z2 l) x2 + 8x + 15ll) x2 + 2x − 15 m)x2 + 8x − 9 o) x2 + 5x−14p) x2 − 2x − 24 q) x2 + 5xy − 36y2 r) x2 − 7xy + 10y2

12. Factorizar lo siguiente:a) 2a 2 + 5a + 3 b) 6a 2 − a − 12 c) 3x2 − 10x + 3d) 3x2− 4x + 1 e) 6x2 + x − 1 f) 3x2 − 5x − 2g) 6a 2 − 11a + 3 h) 6a 2 − 7a − 3 i) 6x2 + 17xy − 14y2

j) 15x2 − 11xy + 2y2

13. Factorizar lo siguiente:a) 2x3 + 16 b) x3 − 27 c) 64a 3 − b 3

14. Factorizar lo siguiente:a) x4 − 13x2 + 36 b) 4x4 − 29x2 + 25 c) 4x4 − 37x2 + 9d) x4 + 2x2y2 − 24y4 e) x6 + 7x3−8 f) x6 − 64y6

g) ( a + b )2 + 6( a + b ) + 9 h) x2 − y2 − z2 + 2yz i) ( x2 + 1 )2− 4x2

j) a 4 − b 4 − a 2 + b 2 k) x2 − y2 + 5x + 3y + 4 l) x2 + 2y2 + 3xy + 5x + 7y + 6ll) x2 + xy − 2y2 + 2x + 7y − 3 m)2x2 − 3xy − 2y2 + x + 3y − 1 n) 3x2 + xy − 2y2 + 6x + y + 3o) 3x2 + 4xy + y2−7x − y − 6

ECUACIONES Y DESIGUALDADES LINEALES.

15. Resolver las ecuaciones siguientes:a) 7 + x = 30 b) −8 + x = 3 c) 4x = − 12

d) x8 = − 3

4 e) x − 13 = 2

3 f) 8x = − 9.6g) x + 1.6 = − 1.9 h) 0.2x = 7 i) x + 9 = 9

16. Resolver las ecuaciones siguientes:a) 3x + 11 = 2 b) −5 + 4x = 7 c) −5x − 5 = 20d) x = 6x + 10 e) 4x + 9 = x f) 20 − 2x = 3x

17. Resolver las ecuaciones siguientes:a) 6x + 5 = 30 + x b) 3x − 5 = 7x + 15 c) 9 − x = 4x − 11d) −9x − 8 = 7x + 40 e) 3( x − 4 ) = 5x + 6 f) 6( x + 3 ) + 1 = − 23

18. Resolver las ecuaciones siguientes:

a) 14 x − 1 = 1

2 x b) x−13 = 1

2 x c) − 25 x + 2

3 = 13 x − 4

5

d) x+12 = 1

3 x + 1 e) 3 75

x− = x+12 f) 1

3 x − 134 = 3

4 x − 76

19. Resolver los siguientes problemas:a) En la sala están unos alumnos. Si se reparte a cada uno 5 lápices, sobran 12 lápices. Si se reparte a

cada uno 7 lápices, faltan 4. ¿En la sala, cuántos alumnos están?.b) Se quiere comprar 20 monederos, pero faltaban 25 dólares. Por eso, sólo se compraron 15 mone-

deros y quedan 10 dólares. ¿Cuánto vale cada monedero?


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20. Resolver las desigualdades siguientes:a) x + 2 < − 4 b) −5 + x > 7 c) − 49 > 7x d) − 4x > − 12

e) −36 > − 6x f) − 23 < 1

3 x g) 3x + 4 < 13 h) 5x − 11 > − 1i) − 4x − 3 > 13 j) 4x < 2x−8 k) 5x > 6x + 7 l) 3x < 12 − 9xll) x + 4 > 5x + 4 m)5x − 5 ≥ 7x + 7 n) 4 − 8x ≤ 19 − 3x

21. En el supermercado cada sandía vale 3 dólares, y la libra de uvas vale 2 dólares. Se quieren comprarsandías y libras de uvas, 25 en total, sin embargo se tienen sólo 60 dólares. ¿Cuántas sandías y librasde uvas se pueden comprar ?.

ECUACIÓN Y DESIGUALDAD DE SEGUNDO GRADO.

22. Resolver las ecuaciones:a) x2 = 25 b) x2 = 49 c) x2 = 0 d) x2 = 24e) x2 − 45 = 0 f) x2 − 75 = 0 g) x2 − 60 = 0 h) x2 − 144 = 0

23. Resolver las ecuaciones:a) x2 + 3x = 0 b)x2 − x − 6 = 0 c) x2 − 2x − 3 = 0d) 4x2 + 4x + 1 = 0 e) x2 + 4x − 5 = 0 f) x2 + 6x + 8 = 0g) x2 + x − 12 = 0 h) x2 − 10x + 25 = 0 i) x2 − 8x + 12 = 0

24. Resolver las ecuaciones:a) 3x2 − 5x + 2 = 0 b) 3x2 − 4x + 1 = 0 c) 2x2 − 5x + 2 = 0d) 2x2 − 5x − 3 = 0 e) 5x2 + 3x − 2 = 0 f) 10x2 − 7x + 1 = 0g) 6x2 − 7x + 2 = 0 h) 12x2 + 5x − 3 = 0 i) 6x2 − 13x + 6 = 0

25. Resolver las ecuaciones:a) 5x2 + 4x−3 = 0 b)3x2 + x−1 = 0 c) 4x2 − 3x − 2 = 0d) 2x2 − 7x + 2 = 0 e) 3x2 + 6x + 2 = 0 f) −2x2 + 7x − 5 = 0g) x2 − 8x + 6 = 0 h)x2 + 5x + 4 = 0 i) −3x2− 5x + 5 = 0

26. Resolver las ecuaciones:a) 5x2 − 6x + 1 = 0 b) 3x2 + 4x − 1 = 0 c) 2x2 + 12x + 5 = 0d) x2 + 6x + 7 = 0 e) x2 − 10x + 9 = 0 f) 4x2 − 8x + 3 = 0g) 2x2 − 8x + 5 = 0 h) 3x2 − 6x + 1 = 0 i) 5x2 − 4x − 2 = 0

27. Resolver las ecuaciones:a) −x2 + 3x + 4 = 0 b) 5x2 − 9x + 2 = 0 c) 49x2 − 14x + 1 = 0d) 3( x−2 ) = x( x−3 ) e) 0.4x2 − 0.3x − 2.7 = 0 f) ( 2x + 1 )2 − x2 = 0

g) (x + 1)2 − (x + 1) − 2 = 0 h) (x−1)2 + 2(x − 1) − 15 = 0 i) 13 x2 + x − 1

2 = 0

j) 14 x2 − 5

8 x − 12 = 0

28. Tenía que elevar al cuadrado un número, pero equivocadamente calculé el doble, por eso el resultadoera 35 menos que la respuesta correcta . Encontrar el número.

29. Clasificar las soluciones de las ecuaciones siguientes:a) x2 + x − 5 = 0 b) 9x2 − 6x + 1 = 0 c) 2x2 − 5x + 7 = 0d) x2 − x − 1 = 0 e) 2x2 − 3x + 2 = 0 f) x2 = 4x − 4

30. Encontrar los valores de la suma y la multiplicación de las soluciones de las ecuaciones:


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a) 3x2 + 4x + 5 = 0 b) 4x2 + 3x = 0 c) x2−3x + 5 = 0

31. Cuando α y β son las soluciones de la ecuación de segundo grado 2x2 − 6x−3 = 0, encontrar losvalores de:

a) α + β b) α β c) α 2 + β 2

d) (α − β )2 e) α β3 3+ f) βα

αβ

2 2+

32. Encontrar los valores de α , k, m y p que satisfacen lo siguiente:a) Cuando α y α −1 son las soluciones de la ecuación de segundo grado x2 − ( k − 1 )x + k = 0.b) Cuando 2α y 3α son las soluciones de la ecuación de segundo grado 2x2 − mx + m + 2 = 0.

c) Cuando α y α 2 son las soluciones de la ecuación de segundo grado x2 + ( p − 1 )x − p = 0.

33. Resolver las desigualdades de segundo grado:a) x2 − 25 > 0 b) x2 − 3x − 4 ≥ 0 c) x2 + 2x −15 < 0d) 2x2 − 5x + 2 ≤ 0 e) 2x2 + 5x − 3 ≥ 0 f) 3x2 − 1 ≤ 2xg) 6x2 + 5x − 6 > 0 h) 6x2 − 5x − 4 < 0 i) ( x + 2 )2 − x > 2x + 10

j) ( x − 1 )2 − x ≥ x −2 k) 14 x2 − 1

2 x − 2 ≤ 0 l) x2 − 16 x − 1

3 < 0

34. Resolver las desigualdades de segundo grado:a) x2 − 2x + 1 ≤ 0 b) x2 + 16x + 64 < 0c) 16x2 − 8x + 1 > 0 d) 4x2 − 12x + 9 ≥ 0

35. Resolver las desigualdades de segundo grado:a) 2x2 − 4x − 3 < 0 b) 6x2 + x−2 > 0 c) x2 − 3x ≥ x − 1d) ( x − 2 )( x + 2 ) ≤ 2x e) x2 − 4x + 18 ≥ 0 f) x2 + 4x + 6 < 0g) x2 + 3x + 5 > 0 h) 2x2 + 2x + 1 ≤ 0

36. Encontrar lo siguiente:a) Encontrar el intervalo de m, para tener soluciones reales de la ecuación de segundo grado

x2 + mx + m + 8 = 0.b) Encontrar el intervalo de a, para no tener soluciones reales de la ecuación de segundo grado

x2 + 2( a − 2 )x + 2a − 1 = 0.c) Encontrar el intervalo de k, para tener soluciones reales de la ecuación de segundo grado

x2 − 4( k + 1 )x + 3k 2 + 7k + 10 = 0.

ECUACIONES SIMULTÁNEAS

37. Resolver las ecuaciones simultáneas. Utilizar el método de sustitución.

a)2 4

5

x y

x y

+ == +

b)3 2 5

2 1

x y

y x

+ == −

c)x y

x y

+ = −− − =

2 3

3 2

d)x y

x y

− =− =

3 2

5 4 10e)

x y

x y

+ = −− =

4 2

2 3 7


C

A

P

Í

T

U

L

O

II

88

38. Resolver las ecuaciones simultáneas. Utilizar el método de adición o sustracción.

a)x y

x y

+ = −− − =

2 3

3 2b)

6 3 4

2 6 3

x y

x y

+ =+ =

c)x y

x y

+ = −− =

4 2

2 3 7

d)x y

x y

− =− =

3 2

5 4 10 e)

5 2 4

4 5 7

x y

x y

− =− = −

f)4 5 8

3 6 3

x y

x y

− =− = −

39. Resolver las ecuaciones simultáneas:a) 3x − 2y = x + y + 18 = 7 b) x − y = 2x + 3y + 9 = 1c) 2x + 5y + 3 = 5x + 3y − 5 = 2 d) 4x + 3y = 3x + 4y + 5 = 6

40. Resolver los problemas siguientes:a) Eduardo quiere comprar pantalones y camisas. Si con 82 dólares compra 4 pantalones y 5 cami-

sas, y con 70 dólares compra 5 pantalones y 3 camisas. ¿Cuánto vale cada pantalón y cadacamisa?

b) Silvia compró 25 cartapacios de 4 y 6 dólares por los que pagó 130 dólares. ¿Cuántos cartapaciosde cada valor compró ?

c) Hay dos números enteros, la suma de ellos es 100, y además uno de ellos es 10 más que el dobledel otro. Encontrar los dos números enteros.

41. Resolver las ecuaciones simultáneas:

a)

x y z

x y z

x y z

− + =− − =+ − =

2 12

3 15

5 3 2 2

b)

3 2 1

4 3 6 13

5 2 4 7

x y

x y z

x y z

− =+ + =− + =

c)

x y z

x y z

x y z

+ − =− + =

+ − =

2 3

10 2 6 4

2 5 4 6

d)

x y

y z

z x

+ =+ =+ =

5

7

6


a)y x

xy

− ==

1

2b)

x y

x y

= +

+ =

1

12 2

c)x y

x y xy

+ =+ − =

4

1d)

x y

x xy y

− =

− + =

2 3

3 2 02 2

43. Hay un número entero de dos cifras, y la suma de los números de la posición de las decenas y unida-des es 10, si se cambia la posición de las decenas y las unidades, la diferencia de ese número y elnúmero original es 18. Encontrar el número entero original.


a)x x

x x

2

2

3 0

4 5 0

− >

− − ≤

b)x x

x x

2

2

2 35 0

2 80 0

+ − >

− − <

c)2 5 0

3 11 0

2

2

x x

x x

+ <

+ <

d)x x

x x

2

2

2 1 0

6 0

− − >

− − ≤

CAPÍTULO

FUNCIONES

Si se tuviera que fijar un período en el cual se sitúa el nacimiento del concepto de función, éste se encontraríaa mediados del siglo XVII. En efecto en el siglo de Descartes, Fermat, Newton, Leibnitz y Gregory cuyacontribución, desde distintos puntos de vista dio lugar al nacimiento primero de la geometría analítica yluego al cálculo infinitesimal, con el consiguiente progreso para el estudio de funciones que permitió laaparición de las primeras definiciones, así como el término de función.

La noción de “función”, común a muchas ramas de las matemáticas, es básica para el cálculo. En generaluna variable está en función de otra si la variación de una depende de la otra, al igual que la estatura de unapersona, es una función de su edad. Esta relación puede escribirse normalmente como una ecuación orepresentarse por medio de una línea recta o curva, en un gráfico.

La función lineal tiene como característica que su variación es constante, lo cual, equivale a una gráficacuyos puntos están alineados; cuando el crecimiento de la función no es constante, es decir, para el resto demodelos, la gráfica correspondiente es una curva en el plano.

Las gráficas de funciones reales de variables reales, son las únicas que tienen gráficas de trazos continuos.

En general, a una recta cualquiera le corresponderá una función de la forma y = ax + b, y se le llamafunción lineal donde “a ” y “b ” son constantes. En este caso la “a” recibe el nombre de “pendiente de larecta” y a “b” intercepto en y. La gráfica geométrica de la función lineal es una recta.

Las funciones de segundo grado y = ax2 + bx + c ; geométricamente representan parábolas, cuando a ≠ 0 yreciben también el nombre de funciones cuadráticas.

Para la representación gráfica de las funciones cuadráticas, es importante determinar el vértice y el eje desimetría.

Si se expresa la ecuación y = ax2 + bx + c, en la forma y = a(x − p ) 2 + q ; “p” y “q” representan lascoordenadas del vértice.

Los polinomios representan una clase más general de funciones esto es, funciones de la formaaox

n−1 + a1xn + L + an−1x + an.

En este libro, además de las funciones mencionadas, se presentan: las funciones racionales o fraccionarias,la función inversa, la función radical o irracional, la función exponencial y la función logarítmica.


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

90

Repaso

Par ordenado

En el gráfico a la derecha, aparecen rectángulos distribuidos encolumnas y filas. Si se nombran primero las filas y después lascolumnas, es posible determinar la ubicación de cada rectángulo.

Los rectángulos de la primera fila se expresan así:

(1,1), (1,2), (1,3) y (1,4)

Los rectángulos de la cuarta fila se expresan así:

(1,4), (2,4), (3,4) y (5,4)

F

i

l

a

s

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4)

(2,3)

(5,4)

1o 2o 3o 4o

C o l u m n a s

1o

2o

3o

4o

(2,4)

(3,4)

(4,4)

Par ordenado es un arreglo de doselementos, llamados en su orden, primeray segunda componente.

Ejemplo:En el par ordenado (a, b) la primeracomponente es a y la segunda, b.

y

2

1

1 2 x–1

–2 –1

–2

0x

y

y

2

1

1 2 x–1

–2 –1

–2

0

P1

P2

P4

P3

x

y

Los arreglos de la forma (a, b), se llaman pares ordenados oparejas ordenadas. El orden establecido para un par ordenado,es único.

( a, b ) ≠ ( b, a )

Los pares ordenados se pueden ubicar en un Sistema deCoordenadas Cartesianas, que como se sabe, son dos rectas quese cortan perpendicularmente entre sí, en un punto llamadoorigen. El plano en el que se encuentra dicho sistema se llamaPlano Cartesiano.

La recta horizontal es el eje “x” y la vertical recibe el nombrede eje “y”.

Ejemplos

Localizar los siguientes puntos en el plano cartesiano:1) P1 (1, 2 ) 3) P3 (− 2, − 1 )2) P2 (2, 1 ) 4) P4 (−1, − 2 )

Solución


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

91

Ejercicio 1

Localizar los puntos siguientes en el plano cartesiano:

a) P1 (− 2, − 7 ) P2 (2, − 3 ) P3 (− 4, 0 ) P4 ( 0, 6 ) P5 (− 6, 0 )

b) P1 (− 4, − 4 ) P2 ( 2, − 6 ) P3 ( 3, 3 ), P4 ( 5, − 2 ) P5 (− 3, 5 )

Producto Cartesiano

Si se tienen dos conjuntos A y B, se pueden formar parejasordenadas de tal manera que la primera componente sea delconjunto A y la segunda del conjunto B. El conjunto formadopor todas las parejas es llamado producto cartesiano.

El producto cartesiano se denota por A x B.

Ejemplos

1) Dado los conjuntos A = {1, 3, 5 } y B = {2, 4}, hallar elproducto cartesiano de A y B.

2) Dado los conjuntos R= {r, o, s, a} y T= {m, i, l}. Encontrar:R × T y T × R

Solución1) A × B = {(1, 2), (1, 4), (3, 2), (3, 4), (5, 2), (5, 4)}

2) R T =

(r,m), (r, i), (r, l),

(o,m), (o, i), (o, l),

(s,m), (s, i), (s, l),

(a,m), (a, i), a, l)

×

T R =

(m,r), (m,o), (m,s), (m,a),

(i, r), (i,o), (i,s), (i,a),

(l, r), (l,o), (l,s), (l,a)

×

Simbólicamente, el producto cartesiano seexpresa así:

A x B = {(a, b)/ a ∈ A y b ∈ B}

La primera componente de cada parordenado pertenece al primer conjunto yla segunda componente pertenece alsegundo conjunto.

R × T = {(a, b) / a ∈ R y b ∈ T}

T × R = {(a, b) /a ∈ T y b ∈ R}


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

92

Ejercicio 2

Dados los conjuntosS = {0, 1, 2, 3, 4} M = {3, 4, 5} y N = {4, 6}

Hallar :a) S × M c) S × N e) M × Nb) M × S d) N × S f) N × M

Si A = { 1, 2 } y B = { 1, 3, 5 }

A B =(1,1), (1,3), (1,5),

(2,1), (2,3), (2,5)×

1

32

1

5

y

3

1 (2, 1)

1 2 3

(2, 3)

(2, 5)

(1,1

)(1

,3)

(1,5

)

x

5

x

y0

Representación del producto cartesiano

El producto cartesiano se puede representar de tres manerasdiferentes:

a. Diagrama de Venn Euler.b. Plano Cartesiano.c. Diagrama de árbol.

a) Presentación de A × B en diagrama de Venn Euler.Para presentar el producto cartesiano en diagrama de VennEuler, se dibujan los dos conjuntos y se unen con flechas lascomponentes de cada par.

b) Representación en el plano cartesiano.

En el eje horizontal se escriben los elementos del conjunto Ay en el eje vertical los elementos del conjunto B. En cada eje,por cada uno de los pares ordenados, se trazan paralelas acada uno de los ejes y el punto donde se cortan será el que lecorresponde a cada par ordenado.


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

93

c) Representación del Producto Cartesiano en el diagrama deárbol.

A partir de un punto se trazan tantas líneas como elementostenga el primer conjunto; luego se trazan a partir de cadaelemento del primer conjunto, tantas líneas como elementostenga el segundo conjunto.

1

2

1

3

5

1

3

5

y

x– 2 0 3

–3

0–1

–3

El intervalo ]− 2, 3 ] contiene los valoresde la primera componente, a excepcióndel límite − 2, y se ubican en el ejehorizontal.

El intervalo [ 2, 4 [ contiene los valores dela segunda componente, con excepcióndel límite 4, y se ubican en el eje vertical.

La región sombreada representa elproducto cartesiano de los dos intervalos

El límite − 3 de los intervalos ]− 3, 0 ] y]− 3, −1 ] se representa con líneaspunteadas, dado que ese valor, nopertenece a ninguno de los dos interva-los. Los límites 0 y – 1 si pertenecen alos intervalos, por lo tanto se dibuja conlínea contínua.

A B =(1,1), (1,3), (1,5),

(2,1), (2,3), (2,5)×

Ejercicio 3

Dado los conjuntosP = { 4, 2, 6 } M = { 1, 3, 5 } N = { 1, 5, 6 }

a) Representar P × N en el plano cartesiano.b) Representar M × P en diagrama de Venn Euler.c) Representar N × M en diagrama de árbol.

Producto Cartesiano de Intervalos

Ejemplos

1) Representar gráficamente ] − 2, 3 ] × [ 2, 4 [

Solución

2) Representar gráficamente ] − 3, 0 ] × ] − 3, −1]

Solución


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

94

Ejercicio 4

Dado los intervalos A = [− 5, 2 ] ; B = [2, 3 [ ; C = ] − 2 , 4 [ y D =] − 6, − 3 [ . Hallar:a) A × B b) A × C c) A × D d)B × C e) B × D f) C × D

Producto Cartesiano de la Unión, Intersección o Diferenciade conjuntos

Ejemplos

Dado los conjuntos A= { a, e, i } , B = { i, o, u }y C = { a, b, c }.

Hallar:1) (A ∪B) × C , 2) (A ∩C) × B 3) (A – C) × B

Solución1) (A ∪B) × C

Resolver primero la unión de los conjuntos.A ∪B = { a, e, i, o, u }Luego, realizar el producto cartesiano.

(A ∪B) × C =

(a,a), (a,b), (a,c), (e,a), (e,b)

(e,c), (i,a), (i,b), (i,c), (o,a),

(o,b), (o,c), (u,a), (u,b), (u,c)

2) (A ∩C) × BResolver primero la intersección de los conjuntos A y CA ∩C = { a }Luego, realizar el producto cartesiano.(A ∩C) × B = {(a, i), (a, o), (a, u)}

3) (A – C) × BResolver primero la diferencia de los conjuntosA y CA – C = { e, i }Luego, realizar el producto cartesiano.(A – C) × B = {(e, i), (e, o), (e, u), (i, i), (i, o), (i, u)}

Ejercicio 5

Sean los conjuntos D = {0, 1, 2, 3}, E = {1, 2, 3, 4} , y F = {4, 5}.

La unión de conjuntos se define como:A ∪ B = { x /x ∈ A ∨ ∈ B}

La intersección de conjuntos se definecomo:A ∩ C = { x / x ∈ A ∧ ∈ B }

La diferencia de conjuntos se definecomo:A – C = { x / x ∈ A ∧ ∉ C }


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

95

Hallar:

a) D × (E ∪F ) c) (E × T ) ∪ (F × D) e) D × ( E − F)b) (D ∩ E) × F d) (E × T) ∩ (F × D) h) F × (D − E)

Relaciones

En la vida diaria es normal escuchar expresiones como lassiguientes:

− Amanda es tía de Julio.

− Raquel es amiga de Alicia.

− Nicolás es el profesor de Saúl.

− San Salvador es la capital de El Salvador.

− Enrique es mayor que Noé.

− Zoila es la jefa de David.

En el producto cartesiano se pueden dar algunas relacionesentre los componentes de los pares ordenados.

Por ejemplo:

− “ es igual a” − “ es el cuadrado de ”

− “ es el doble de ” − “ es divisor de”

− “ es menor que” − “ es múltiplo de ”

− “ es mayor que”

En cada una de estas expresiones existeuna relación entre personas, objetos ocosas.

Las relaciones son: “es tía de”, “es amigade”, “es el profesor de”, “es la capital de”,“es mayor que”, “es la jefa de”.

Encontrar primero el producto cartesianode los conjuntos M y N.

Estos ejemplos son reglas decorrespondencia

Una relación de A en B es un subconjunto del producto cartesiano A × B, de tal manera queentre los componentes de cada par ordenado, se cumple una regla de correspondencia.

Ejemplos

Sean los conjuntos M = { 2, 3 } y N = { 2, 3, 4}. Encontrar larelación “es igual a”, y representarla por medio de un diagramade Venn Euler.

SoluciónM × N = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4)}

Representar la relación por medio del diagrama de Venn Euler.


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

96

3

2

3

2

4

M N

R

“es igual a”

Ejemplos

Sean los conjuntos A = {3, 5, 9} y B = {5, 6, 7};S= { 1, 2, 3, 4 } y T= { 0, 4, 9, 8 }, definir:

1) La relación de A en B, “ser menor que”.

2) La relación de S en T, “es la raíz cuadrada de”.

Solución1) Representar la relación de A en B, “ser menor que” por medio

de un diagrama de Venn Euler.

R = { ( 3, 5 ), (3, 6 ), ( 3, 7 ), ( 5, 6 ), ( 5, 7 ) }

R = { ( 2, 2 ), (3, 3 ) }

5

3

6

5

7

A B

R

9

“es menor que”

2) Representar la relación de S en T “es la raíz cuadrada de” pormedio de un diagrama de Venn Euler.

El diagrama de Venn Euler representa larelación de M en N, en el cual cada flechaindica la regla que cumplen los compo-nentes de cada par ordenado.

Observar que el conjunto de solución Res subconjunto del producto cartesianoM × N

En este primer caso el conjunto solucióncomprende todos los pares ordenadosdonde la primera componente es menorque la segunda componente.

Al conjunto solución de R se le denominarelación de A en B, y se simbolizaR: A ⇒ B

Los pares ordenados de la relación “esraíz cuadrada de” se seleccionan delproducto cartesiano de S × T.

Representación gráfica de una relación.


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

97

2

1

1

0

4

S T

R

3

49

8

“e

s la raíz cuadrada de”

R = { ( 1, 1 ), ( 2, 4 ), ( 3, 9 ) }

Dominio y rango de una relación

Sea el conjunto N={2, 4, 6, 8, 10} y L ={8, 13, 17, 21}, larelación de L en N “es el doble más uno de”, identificar elconjunto solución, el dominio y el rango.

Solución

Ejercicio 6

a) Sean los conjuntos P = { 1, 4, 9 } y Q = { − 4, − 3, − 2, − 1, 1 , 2, 3, 4 } definir de P en Q, la relaciónR: “es el cuadrado de”, hallar el conjunto solución y dibujar el diagrama de Venn Euler correspondiente.

b) Dado los conjuntos A= { a, c, g } y B = { d, g } definir A en B, la relación “es anterior a”;determinar el conjunto solución y dibujar el diagrama de Venn Euler correspondiente.

c) Dados los conjuntos A = {1, 2, 3} B = {1, 2, 4, 7} C = {4, 6} y D = {2, 4, 8}.

13

8 4

2

6

L N

R

17

21

8

10

“e

s el doble más uno de”

S = { ( 13, 6 ) ( 17, 8 ), ( 21, 10 ) }

Al conjunto solución de R se le denominarelación de S en T, y se simbolizaR: S ⇒ T

Los elementos de S, es el conjunto departida y los elementos de T es elconjunto de llegada.

Conjunto de partida:L = { 8, 13, 17, 21 }

Conjunto de llegada:N = { 2, 4, 6, 8, 10 }

Al conjunto de la primera componente delos pares ordenados se les llama dominio.

D = { 13, 17, 21 }

y al conjunto de la segunda componentese denomina rango o recorrido.

R = { 6, 8, 10 }


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

98

Encontrar los pares ordenados de cada una de las siguientes relaciones:

R1 :A → B / ( x, y ) ∈ R1 → x + y < 5

R2 : C → A / (x, y ) ∈ R2 → y = x2

R3 :D → A / ( x, y ) ∈ R3 → y = x2

d) Dado los conjuntos M = { 1, 2, 3, 4 } N = { 2, 5, 7 } P = { 4, 6, 8 } y S = { 2, 3, 7 }, encontrarlos pares ordenados de las relaciones siguientes:

R1 : M → N / (x, y ) ∈ R1 ∧ y < x

R2 : M → P / (x, y ) ∈ R2 ∧ y = x + 3

R3 : N → P / (x, y) ∈ R3 ∧ y = x3

R4 : M → S / (x, y) ∈ R4 ∧ x + y sea un número primo.

Determinar además, el conjunto de partida, conjunto de llegada, dominio y rango de cada una de lasrelaciones.

e) Dado el conjunto D = {1, 2, 3}, determinar D × D.

Definir de D en D, la relación “ser menor o igual”.

Representar esta relación en diagrama de Venn Euler y hallar el dominio y el rango.

Tipos de Relaciones

Las relaciones pueden ser: Reflexiva, Simétrica, Transitiva yEquivalente.

Relación Reflexiva

Definir el conjunto B = { − 3, – 2, – 1, 0 }

y la relación B en B cuyo conjunto de pares ordenados es:{ (−3, −3), (−2, −2), (−1, −1), (0, 0) }

Gráficamente, se tiene:

–3

B

2

0–1

Una relación R definida en un conjunto Bes reflexiva, si los pares que relacionan acada elemento de B consigo mismo, sonelementos de la relación.

Simbólicamente:∀ b ∈ R, (b, b) ∈ R.

Toda relación con esta característica, esuna relación reflexiva.


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

99

Relación Simétrica

Dada la siguiente relación:Z = { (2,1), (3,3), (1,2), (4,4), (5,6), (6,5) }

Observar que cada par ordenado tiene su contraria recíproca, así:

(2,1) su contraria recíproca es (1,2)(3,3) su contraria recíproca es (3,3)(5,6) su contraria recíproca es (6,5)

Gráficamente, se tiene:

Relación Transitiva

Los pares ordenados de la relación T son:

T = { (3,2), (2,1), (3,1) }

Observar los dos primeros pares ordenados. La segundacomponente del primer par y la primera componente delsegundo par sirve de enlace para formar el tercer par ordenado(3,1).

Gráficamente se tiene:

3 4

1 2 5 6

2

3 1

Relación Equivalente

Una relación es equivalente siempre que sea reflexiva, simétricay transitiva.

Una relación R definida en un conjunto Zes simétrica, cuando de la relación “a”con “b” se deduce la relación “b” con “a”.

Toda relación que presenta estas caracte-rísticas es una relación simétrica.

Simbólicamente:(a, b) ∈ R ∧ (b, a) ∈ R

Una relación R definida en un conjunto Tes transitiva, cuando de la relación “a”con “b” y la relación “b” con “c” sededuce la relación “a” con “c”.

Simbólicamente:(a, b) ∈ R ∧ (b, a) ∈ R∴ (a, c) ∈ R.

Toda relación que presenta esta caracterís-tica, se denomina, relación Transitiva.


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

102

Ejemplos

Graficar las siguientes funciones lineales:

1) y = 2x 2) y = 32 x 3) y = 5x

4) y = − 2x 5) y = − 13 x 6)y = −3

Solución

1) y = 2x 2) y = 32 x

si x = 0, entonces y = 0 si x = 0, entonces y = 0si x = 1, entonces y = 2 si x = 2, entonces y = 3por eso al unir los por eso al unir lospuntos ( 0, 0 ) y ( 1, 2 ) puntos (0, 0) y (2, 3)se obtiene línea recta. se obtiene línea recta.

3) y = 5xsi x = 0, entonces y = 0si x = 1, entonces y = 5por eso al unir los puntos( 0, 0 ) y ( 1, 5 ) seobtiene una línea recta.

4

3

2

1

0 1 2 3 4

y

xx

y

4

3

2

1

0 1 2 3 4

y

xx

y

4

3

2

1

0 1 2 3 4

y

x

5

x

y

y1 2 3 4 x

0–1

–2

–3

–4

x

y

y1 2 3 4 x

0–1

–2

–3

–4

x

y

y1 2 3 4 x

0–1

–2

–3–4

x

y

4) y = −2x 5) y = − 13 x 6) y = − 4

Las gráficas de las funciones de los ejemplos 1, 2 y 3 sonestrictamente monótanas crecientes, 4 y 5 son estrictamentemonótanas decrecientes y 6 es constante.

La línea recta de la forma y = ax siemprepasa por el punto ( 1 , a ) y por el origen( 0 , 0 ).

La línea recta se determina por dospuntos.

En estos tres ejemplos la gráfica es unalínea recta que pasa por el origen.

Procedimiento:

1) Encontrar dos puntos de la función.

2) Colocar los dos puntos en el Sistemade Coordenadas Cartesianas.

3) Unir los puntos con una líneacontinua.


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

103

Ejercicio 8


a) y = 3x b) y = 53 x c) y = 2

d) y = −3x e) y = − 43 x f) y = − 1

2 x

En la línea recta y = ax + b, el valor de “a ” se llama “pendienteo gradiente ” o sea el valor de “a ” es la proporción de cambiode la cantidad aumentada de “ y ” cuyo valor corresponde a lacantidad aumentada de “ x ”, este valor es fijo. Y el valor de “b ”se llama “intercepto en y” o “y intersección ”, o sea “b ” es elvalor en que la línea recta corta al eje “ y ”.

“a ” es la “pendiente de la recta”. Es unvalor fijo.

A partir de lo anterior se puede decir que: en la función lineal y = ax +b

cuando a > 0, si el valor de “x ” aumenta, el valor de “y ” aumenta,

cuando a < 0, si el valor de “x ” aumenta, el valor de “y ” disminuye,

cuando a = 0, y = b entonces si el valor de “ x ” aumenta, el valor de “ y ” es fijo en “b ”.

En la función lineal y = ax + b1) cuando a ≠ 0

a =la cantidad aumentada de yla cantidad aumentada de x

“ ”“ ”

= la proporción de cambio ( “a ” es constante )

El gráfico de la función lineal y = ax + b es una línea recta cuyo gradiente es “a ”, y elintercepto en “y ” es “b ”.

2) Cuando a = 0, o sea y = bEsta función siempre tiene un valor fijo , aunque “x” seacualquier valor, y además “ y = b ” no es creciente nidecreciente. Se le llama Función Constante.

b

y

0

1

a

xx

y

x

y

b

0x

y


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

104

Ejemplos


1) y = x –2 2) y = − 13 x −1 3) y = 1

2 x + 1

4) y = 3x − 4 5) y = −2x + 4 6) y = − 4 −2x

Solución1) y = x − 2 2) y = − 1

3 x − 1

La gradiente es 1, La gradiente es − 13 ,

el intercepto en “y” es −2, el intercepto en “y” esel gráfico pasa por los −1, el gráfico pasa porpuntos ( 0 , −2 ) los puntos ( 0 , −1 ) y( 2 , 0 ) ( 3 , −2 )

3) y = 12 x + 1 4) y = 3x − 4

Graficar igual que 1 y 2

5) y = −2x + 4 6) y = − 4 −2x

y

0

1 2 3 4 x

–1

–2

–3

–4

x

y

y

0

1 2 3 4 x

–2

–3

–4

–1

x

y

43210

1

2

3

y

xy

y

0

1 2 3 4 x

–1

–2

–3

–4

0

1

2

3

x

1 2 3 4

y

40–2 –1

–1

yx

–4

Recordar que: “la línea recta se determinapor dos puntos”.

En todos estos ejemplos la gráfica esuna línea recta que no pasa por elorigen, es decir, el intercepto en “y esdiferente de 0”.

Procedimiento:

1) Encontrar dos puntos de la función.

2) Colocar los dos puntos en el Sistemade Coordenadas Cartesianas.

3) Unir los puntos con una línea conti-nua.


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

106

Solución1) La línea recta y = 2x + 3 se ha movido, 3 espacios en el eje

“ y ” de la línea recta y = 2x.

2) La línea recta y = 3x − 1 se ha movido, −1 en el eje “ y ” de lalínea recta y = 3x.

4

2

0 1 2 3 4 x

1

3

5

y

x

y

3

2

1

0

y

1 2 3 4

x

–2

–1

x

y

Ejercicio 11

a) La línea recta y = 3x − 2, ¿cómo se ha movido de la línea recta y = 3x?. Graficar esas dos líneasrectas.

b) La línea recta y = − x + 3, ¿cómo se ha movido de la línea recta y = − x?. Graficar esas dos líneasrectas.

Ejemplos

1) Si se mueve la línea recta y = 3x, 1 en el eje “ x ”, − 2 en eleje “ y ”, ¿qué ecuación se obtiene?

2) Si se mueve la línea recta y = − 2x, − 3 en el eje “ x ”, 1 en eleje “ y ”, ¿qué ecuación se obtiene?

Solución1) La ecuación de la línea recta a encontrar es:

y − (−2 ) = 3( x − 1 )o sea y + 2 = 3x − 3se obtiene y = 3x − 5 ••• Resp.

2) La ecuación de la línea recta a encontrar es:y − 1 = −2{ x − (−3 ) }

Procedimiento:

1) Graficar las dos líneas rectas en elmismo sistema de coordenadascartesianas.

2) Con respecto a un punto de una delas rectas, contar cuántos espacios seha movido la recta, en “x” y cuántosen “y”.

Procedimiento:

1) Sustituir “ x ” y “ y ” por “ x − 1 ” y“ y − (−2 ) ” respectivamente ysimplificar.

2) Sustituir “ x ” y “ y ” por“ x − (−3 ) ” y “ y − 1 ” respectivamentey simplificar.


C

A

P

Í

T

U

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III

107

o sea y − 1 = −2( x + 3 )y − 1 = −2x − 6se obtiene y = −2x − 5 ••• Resp.

Ejercicio 12

a) Cuando se mueve la línea recta y = 4x, −2 en el eje “ x ”, −3 en el eje “ y ”, ¿qué ecuación se obtiene?.

b) Cuando se mueve la línea recta y = −3x, 4 en el eje “ x ”, 2 en el eje “ y ”, ¿qué ecuación se obtiene?.

1.2. Función de segundo grado.

Ejemplos

Encontrar el valor de “y ” que corresponde a “ x ” dado quex = L ,−3 ,−2 ,−1 , 0 , 1 , 2 , 3 ,L, después graficar.1) y = 2x2 2) y = − x2

Solución1) y = 2x2

2) y = − x2

Usando las tablas anteriores se obtienen los gráficos:

1) y = 2x2 2) y = −x2

–1–2–3. . .x

y 2818

210

0 2 188. . .

. . .

. . .

3

y

x

18

8

2

–3 –2 –1 0 1 2 3

x

y

–1–2–3. . .x

y –1–4–8

210

0 –1 –8–4. . .

. . .

. . .

3

y–3 –2 –1 0 1 2 3 x

–1

–4

–9

x

y

Procedimiento:

1) Escribir la tabla de los valores.

2) Graficar estos valores.

El gráfico de la función de segundo gradode la forma y = ax2, se llama“ parábola ”.

Los gráficos de la función de segundogrado y = ax2 son simétricos al eje “ y ”,además pasan por el origen ( 0, 0 ).


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

108

El gráfico de la función de segundo grado de la forma y = ax2 esasí:1) cuando a > 0

si x ≤ 0 , el gráfico es estrictamente monótono decreciente.si x ≥ 0 , el gráfico es estrictamente monótono creciente.en este caso , el gráfico de la parábola tiene “ convexidadhacia abajo ”.

2) cuando a < 0si x ≤ 0 , el gráfico es estrictamente monótono creciente.si x ≥ 0 , el gráfico es estrictamente monótono decreciente.en este caso , el gráfico de la parábola tiene “ convexidadhacia arriba ”.

–1 10

yx

a

x

y

–1 10

y

x

a

x

y

Ejemplos

Determinar la ecuación del eje de la parábola, las coordenadasdel vértice y graficar.1) y = ( x − 2 )2 2) y = − x2 + 9

Solución1) y = ( x − 2 )2

Este gráfico se ha movido dos espacios en el eje “ x ”, parale-lo al gráfico de la función de segundo grado y = x2, la ecua-ción del eje de la parábola es x = 2, las coordenadas delvértice es el punto ( 2 , 0 ).

2) y = −x2 + 9Este gráfico se ha movido paralelo al gráfico de la función desegundo grado y = −x2, 9 en el eje “ y ”, la ecuación del eje dela parábola es x = 0, las coordenadas del vértice es el punto( 0 , 9 ).

x . . . 0 1 2 3 4

y 4 1 0 1 4

. . .

. . .. . .

y

x

4

0 2 4

x

y

x . . .

. . .y 0

–3

5

–2

8

–1

9

0

. . .

. . .

1

8

2

5

3

0

y

x

9

–3 0 3

x

y

Procedimiento:

1) Escribir la tabla de los valores.

2) Graficar estos valores.

El gráfico de y = ( x − 2 )2 es:

El gráfico de y = −x2 + 9 es:


C

A

P

Í

T

U

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III

109

Ejercicio 13

Determinar la ecuación del eje de la parábola, las coordenadas del vértice y graficar.a) y = 2( x − 1 )2 b) y = ( x + 3 )2 c) y = −x2 + 4 d) y = x2 − 2

Ahora si se hace un movimiento paralelo al gráfico de la funciónde segundo grado y = ax2, p en el eje “ x ”, q en el eje “ y ”, seobtiene la parábola que es el gráfico de la función de segundogrado y = a( x − p )2 + q.

Por lo tanto, si se mueve la parábola y = ax2, p en el eje“ x ”, q en el eje “ y ”, se obtiene la ecuación:y − q = a( x − p )2

Ejemplos

1) Encontrar la ecuación de la parábola que resulta de movery = 2x2, 1 en el eje “ x ”, − 3 en el eje “ y ”.

1) El gráfico de la función de segundo grado y = a( x − p )2

se ha movido paralelo al gráfico de la función desegundo grado y = ax2, p en el eje “ x ”, y la ecuacióndel eje de la parábola es

x = plas coordenadas del vértice es el punto

( p , 0 )

2) El gráfico de la función de segundo grado y = ax2 + q seha movido paralelo al gráfico de la función de segundogrado y = ax2, q en el eje “ y ”, y la ecuación del eje dela parábola es

x = 0las coordenadas del vértice es el punto

( 0, q )

x

y

q

0 px

y

y = a( x−p )2 + q

y = ax2

El eje de simetría se llama “ eje de laparábola ”, y el punto de interseccióncon el eje se llama “ vértice ”.

Por ejemplo : y = ax2

La ecuación del eje de la parábola es:x = 0, o sea el eje “ y ”,y las coordenadas del vértice son elorigen (0 , 0 ).

x

y

p0

x

y

0

q

x

y

x

y


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

110

2) Encontrar la ecuación de la parábola que resulta de movery = −x2, −2 en el eje “ x ”, 5 en el eje “ y ”.

Solución1) Si se mueve la parábola y = 2x2, 1 en el eje “x”, −3 en el eje

“y”, se obtiene la ecuación:y − (−3 ) = 2( x − 1 )2

y + 3 = 2 ( x2 − 2x + 1 )∴ y = 2x2 − 4x − 1 ••• Resp.

2) Si se mueve la parábola y = −x2, −2 en el eje “ x ”, 5 en el eje“ y ”, se obtiene la ecuación:y − 5 = − { x − (−2 ) }2

y − 5 = − ( x + 2 )2

y − 5 = − ( x2 + 4x + 4 )∴ y = − x2 − 4x + 1 ••• Resp.

Ejercicio 14

a) Encontrar la ecuación de la parábola que resulta de mover y = x2, −2 en el eje “ x ”, 1 en el eje “ y ”.Graficar las dos parábolas.

b) Encontrar la ecuación de la parábola que resulta de mover y = −2x2, 1 en el eje “ x ”, 3 en el eje “ y ”.Graficar las dos parábolas.

Ejemplos

Determinar la ecuación del eje de la parábola, las coordenadasdel vértice y la intersección con el eje “ y ”, y graficar.1) y = ( x − 2 )2 − 1 2) y = −2( x + 1 )2 + 3

Solución1) y = ( x − 2 )2 − 1

La ecuación del eje de la parábola es x = 2, las coordenadasdel vértice es el punto ( 2 ,−1 ),luego, y = ( x − 2 )2 −1

= ( x2 − 4x + 4 ) −1= x2 − 4x + 3

por eso, las coordenadas del punto de la intersección con eleje “ y ” es el punto ( 0 , 3 ), por lo tanto,

Procedimiento:

1) Sustituir “ x ” e “ y ” por“ x − 1” y “ y − (−3 ) ”respectivamente y simplificar.

2) Sustituir “ x ” e “ y ” por“ x − (−2 ) ” y “ y − 5 ”respectivamente y simplificar.

Encontrar el eje de la parábola, lascoordenadas del vértice y la interseccióncon el eje “ y ”. Luego escribir la tabla delos valores y graficarlos.


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

111

el gráfico es:

2) y = −2( x + 1 )2 + 3La ecuación del eje de la parábola es x = −1, las coordenadasdel vértice es el punto (−1 , 3 ),Luego y = −2( x +1 )2 + 3

= −2( x2 + 2x + 1 ) + 3= −2x2 − 4x + 1

por eso, las coordenadas del punto de intersección con el eje“ y ” es el punto ( 0, 1 ), por lo tanto, el gráfico es:

–1

3

0

y

x1 3 4

2x

y

x

y

. . . 0

3

1

0

2

–1

3

0

4

3. . .

. . .

. . .

x

y

. . . –3

–1

–2

1

–1

3

0

1

1

–1. . .

. . .

. . .

y

x

3

–1–2 0

1x

y

x

y

q

p0x

y

x

y

0

– b 2– 4 ac4 a

c

–b

2 a

xy

Ejercicio 15

Determinar la ecuación del eje de la parábola y las coordenadas del vértice y graficar.a) y = ( x + 3 )2 − 2 b) y = 3( x − 1 )2 + 2 c) y = − ( x − 2 )2 + 1d) y = −2( x +1 )2 + 5 e) y = ( x − 1

2 )2 −1 f) y = − 23 ( x + 5

2 )2 + 4

Si se encuentra la ecuación del eje de la parábola y lascoordenadas del vértice, se puede graficar fácilmente.Entonces transformar la función de segundo gradoy = ax2 + b x + c.

y = ax2 + b x + c

= a( x2 + ba x ) + c

= a{ ( x + ba2 )2 − ( b

a2 )2 } + c

1) y = ( x − 2 )2 − 1

2) y =−2( x + 1 )2 + 3

El gráfico de la función de segundo grado y = a( x − p )2 + q se ha movidoparalelo al gráfico de la función de segundo grado y = ax2, p en el eje“ x ”, q en el eje “ y ”, y la ecuación del eje de la parábola es x = plas coordenadas del vértice es el punto ( p , q )

Gráfica de la ecuacióny = ax2 + bx + c (a > 0)


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

112

= a{ ( x + ba2 )2 − b

a

2

24 } + c

= a( x + ba2 )2 − b

a2

4 + c

= a( x + ba2 )2 − b ac

a2 4

4−

Por eso la ecuación del eje de la parábola es x = − ba2 , y las

coordenadas del vértice es el punto (− ba2 , − b ac

a

2 44− )

Ejemplos

Encontrar la ecuación del eje de la parábola, las coordenadas delvértice y el punto de intersección con el eje “ y ” y graficar.

1) y = 2x2 − 4x − 3 2) y = − 2x2 − 6x + 1

Solución1) y = 2x2 − 4x − 3

= 2( x2 − 2x ) −3

= 2{ ( x − 1 )2 −1 } − 3

= 2( x − 1 )2 − 2 − 3

= 2( x − 1 )2 − 5

por eso, la ecuación del eje de la parábola es x = 1, lascoordenadas del vértice es el punto ( 1 , − 5 ) y las coordenadasdel punto de intersección con el eje “ y ” es el punto ( 0 , − 3 )por lo tanto, el gráfico es:

2) y = − 2x2 − 6x +1

= − 2( x2 + 3x ) + 1

= − 2{ ( x + 32 )2 − 9

4 } + 1

1) La parábola y = ax2 + bx + c se ha movido paralelo a la parábola y = ax2, y la intersección con eleje “y” es el punto ( 0, c ).

2) La ecuación y = ax2 + bx + c , se transforma en:

y = a( x + ba2 )2 − b ac

a

2 44−

Por eso la ecuación del eje de la parábola es x = − ba2 , y las coordenadas del vértice es el punto

( − ba2 , − b ac

a

2 44− )

La ecuación y = ax2 + bx + c se llama“ecuación de la parábola”y su gráfico se llama “ parábolay = ax2 + bx + c ”.

Encontrar el eje de la parábola, lascoordenadas del vértice y la interseccióncon el eje “ y ”.Luego escribir la tabla de los valores, yelaborar la gráfica correspondiente.1) y = 2( x − 1 )2 − 5

x . . . –1 0 1 2 3 . . .

y . . . –3 –3 –5 –3 3 . . .

0

y

x21

–3

–5

x

y

x

y

–3

1

–2

5

–1

5

0

1

. . .

. . .

. . .

. . .112

– 32

2) y = − 2( x + 32 )2 + 11

2


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

115

2) Como las coordenadas del vértice es el punto (2 , 1),se puede expresar la función de segundo grado así:

y = a( x − 2 )2 + 1,

como pasa por el punto ( 0 , 5 )resulta la ecuación siguiente:

5 = a( 0 − 2 )2+15 = 4a +1 entonces, a = 1

por lo tanto, la función de segundo grado a encontrar es:

y = ( x − 2 )2 + 1

o sea y = x2 − 4x + 5 ••• Resp.

3) Como la ecuación del eje de la parábola es x = 5, se puedeexpresar la función de segundo grado así :y = a( x − 5 )2 + q como pasa por dos puntos ( 2 , 5 ) y( 6 , 1 ) , se obtienen las ecuaciones siguientes:

5

1 6 5 2

= (2 5)2a q

a q

− +

= − +

( )

simplificando,9 5

1

a q

a q

+ =+ =

al resolver estas ecuaciones se obtienen los valores

a = 12 , q = 1

2

por lo tanto, la función de segundo grado que satisface lascondiciones es:

y = 12 ( x − 5 )2 + 1

2

y = 12 ( x2 −10x + 25 ) + 1

2

y = 12 x2 − 5x + 13 ••• Resp.

Ejercicio 18

Encontrar la función de segundo grado de tal manera que el gráfico cumpla las condiciones siguientes:a) Pasa por tres puntos ( 0 , 3 ), ( 1 , 0 ) y ( 2 , 1 ).b) Las coordenadas del vértice es el punto (−1 , 0 ) y pasa por el punto ( 2 ,− 6 ).c) La ecuación del eje es x = −1, y pasa por dos puntos ( 1 ,− 5 ) y ( 2 , − 15 ).d) Intersecta al eje “ x ” en los puntos ( 1 , 0 ) y ( 3 , 0 ), y pasa por el punto ( 7 , 6 ).e) Toca al eje “ x ” en el punto ( 3 , 0 ), y pasa por el punto ( 1 , − 2 ).

Si se tienen las coordenadas del vértice( m , n ) y un punto por donde pasa laparábola se puede encontrar la función:y = ax2 + bx + c al hallar el valor quetiene “a”

Si se tiene la ecuación de la parábola,x = m, se puede suponer la función:

y = a( x − m )2 + q

Resolver el sistema de ecuaciones por elmétodo de reducción (suma o resta).

Sustituir los valores encontrados en laecuación dada, para obtener la ecuaciónde segundo grado.


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

116

x

y

0

5

1

–1

3

–1

4

5

. . .

. . .

. . .

. . .2

–3

x

y

5

1 2 3

–1

–3

0x

y

Ejemplos

Encontrar el valor máximo y el valor mínimo de las funcionessiguientes:

1) y = 2x2 − 8x + 5 2) y = − 3x2 − 6x + 5

Solución1) y = 2x2 − 8x +5

= 2( x2 − 4x ) +5= 2{ ( x − 2 )2 − 4 } +5= 2( x − 2 )2 − 8 + 5= 2( x − 2 )2 − 3

por eso, la ecuación del eje de la parábola es x = 2, las coor-denadas del vértice es el punto ( 2 ,−3 ) y el gráfico es el quese muestra a la derecha. Entonces, el valor máximo no existe,el valor mínimo es −3 ( donde x = 2 ). ••• Resp.

2) y = −3x2 − 6x + 5= −3( x2 +2x ) + 5= −3{ ( x +1 )2 − 1 } + 5= −3( x +1 )2 + 3 + 5= −3( x +1 )2 + 8

por eso, la ecuación del eje de la parábola es x = −1, lascoordenadas del vértice es el punto (−1, 8 ) y el gráfico es elque se muestra.

Entonces, el valor máximo es 8 ( donde x = −1 ), el valormínimo no existe. ••• Resp.

Ejercicio 19

Encontrar el valor máximo y el valor mínimo de las funciones siguientes:

a) y = ( x − 3 )2 −5 b) y = − ( x − 1 )2 + 3

c) y = 2x2 + 4x + 5 d) y = − 2x2 − 8x − 3

e) y = x2 − 3x +1 f) y = 2x2 + 3x +1

1) y = 2(x − 2)2 − 3

El gráfico facilita encontrar el valormínimo.

2) y = − 3( x +1 )2 + 8

El gráfico permite visualizar con facilidadel valor máximo.

x

y

–3

–4

–2

5

0

5

1

–4

. . .

. . .

. . .

. . .–1

8

x

y

–3 –2 –1 0 1

5

8

x

y

El valor máximo y el valor mínimo de la función de segundogrado.

Utilizando el gráfico, encontrar el valor máximo y el valor mínimo.


C

A

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Í

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U

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O

III

117

Ejemplo

Encontrar el valor máximo y el valor mínimo de la función:y = x2 − 2x −1 ( 0 ≤ x ≤ 3 )

Solucióny = x2 − 2x − 1

= ( x − 1 )2 − 1 −1= ( x − 1 )2 −2

la ecuación del eje de la parábola es x = 1, las coordenadas delvértice es el punto ( 1 ,− 2 ), al observar el gráfico de la derecharesulta que:

el valor máximo es 2 ( donde x = 3 )el valor mínimo es − 2 ( donde x = 1 ) ••• Resp.

Ejercicio 20

Encontrar el valor máximo y el valor mínimo de las funciones siguientes:a) y = ( x − 2 )2 +1 ( 1 ≤ x ≤ 3 ) b) y = − ( x − 2 )2 − 2 ( 0 ≤ x ≤ 3 )c) y = ( x − 1 )2 + 2 ( 2 ≤ x ≤ 4 ) d) y = ( x − 3 )2 − 2 ( 0 ≤ x ≤ 2 )e) y = x2 + 2x +3 (−2 ≤ x ≤ 1 ) f) y = x2 + 6x + 7 (− 5 ≤ x ≤ −1 )g) y = − x2 + 8x − 14 ( 1 ≤ x ≤ 6 ) h) y = − 2x2 − 4x + 1 (− 2 ≤ x ≤ 1 )

Ejercicio 21

a) Para la función de segundo grado y = x2 − 4, cuando el intervalo de “ x ” es x ≥ 1, encontrar el rango.b) Para la función de segundo grado y = − 2x2 + 4x, cuando el intervalo de “ x ” es –1 ≤ x ≤ 3,

encontrar el rango.c) Para la función de segundo grado y = x2 − 4x + 1, cuando el intervalo de “x” es 1 ≤ x ≤ 4, encontrar

el rango.

Ejemplo

Cuando x + 2y = 10, encontrar el valor máximo o el valormínimo de z = x2 + y2 .

Cuando no se da el dominio, se entiende que la parábola tiene “ convexidad hacia abajo ”o “ convexidad hacia arriba ” y no es necesario hacer el gráfico; pero cuando se conoce eldominio, es mejor graficar.

Hay valor máximo y mínimo, porque estádado el dominio.

x

y

–1

2

0

–1

2

–1

3

2

. . . . . .1

–2

–2–1

1 2

3

x

y

0

2

x

y


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

119

= − 2x2 + 4x= − 2( x2 − 2x )= − 2{ ( x − 1 )2 − 1 }= − 2( x − 1 )2 + 2 •••• �

tomando el dominio � , y graficando � se observa que :

el valor máximo es 2 ( donde x = 1 )

cuando x = 1 , de � , y = 2

el valor mínimo es 0 ( donde x = 0 , 2 )

cuando x = 0 , de � , y = 4

cuando x = 2 , de � , y = 0

Por lo tanto, el valor máximo es 2 (donde x = 1, y = 2)

El valor mínimo es 0

( donde x = 0 , y = 4 , ó x = 2 , y = 0 ) ••• Resp.

Ejercicio 23

a) Cuando x ≥ 0, y ≥ 0, x + y = 2, encontrar el valor máximo y el valor mínimo de z = x2 + y2.

b) Cuando x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + y = 1, encontrar el valor máximo y el valor mínimo de z = 2x2 + y2.

c) Cuando x2 + y2 = 1, encontrar el valor máximo y el valor mínimo de z = x2 + 2y.

Ejemplo

Utilizando un muro se quiere construir un campo de deportespara perros, cuando la longitud de la red de alambre es 24m.Para construirlo con una superficie máxima, ¿cuál debe ser lamedida del ancho y del largo ?

SoluciónSe supone que “ x ” es la medida del ancho del campo dedeportes, e “ y ” es la medida del largo, en este caso, se obtienenlas ecuaciones siguientes,

2x + y = 24 •••• �

x ≥ 0, y ≥ 0

de � , y = 24 − 2x •••• � ´

como y ≥ 0,

por eso, y = 24 − 2x ≥ 0 ∴ x ≤ 12

y

x

2

0 1 2x

y

muro

red de alambre

mx

mx

Dominio = 0 ≤ x ≤ 12


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

120

además x ≥ 0,por lo tanto, 0 ≤ x ≤ 12 •••• �

Se sabe que la superficie del campo de deportes es S, es decirS = xy, por eso, se debe encontrar el valor máximo de S.

sustituyendo � ´ en S = xy

S = xy= x( 24 − 2x )= − 2x2 + 24x= − 2( x2 − 12x )= − 2{ ( x − 6 )2 − 36 }= − 2( x − 6 )2 + 72 •••• �

tomando el dominio � , si se grafica � se obtiene el gráfico dela derecha, y se observa que:el valor máximo es 72 ( donde x = 6 )

cuando x = 6, de � ´, y = 12

Para construir la superficie máxima, el ancho es 6m, y el largo es12m. En este caso, la superficie es 72 m2. ••• Resp.

Ejercicio 24

En un triángulo equilátero ABC donde los tres lados miden 4cm, en el lado BC se toma un punto P ( sinembargo el punto P no coincide con los puntos extremos B y C ). Cuando se trazan perpendiculares delos lados AB y AC hacia el punto P y se supone las intersecciones Q y R , en este caso:

a) Cuando se supone que BP = 2x, expresar el área del cuadrilátero AQPR en términos de la variable x.

b) Encontrar el valor máximo del área del cuadrilátero AQPR.

Ejemplo

Encontrar las coordenadas de los puntos de intersección de laparábola y = x2 − 2x − 3 con el eje “ x ”.

La tabla de valores paraS = − 2( x − 6 )2 + 72

x

y

0

0

12

0

. . . . . .6

72

. . .

. . .

. . .

. . .

s72

0 6 12

xx

s

Relación de una parábola con el eje “x”


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

122

Ejemplos

Investigar la relación de las parábolas siguientes con el eje “ x ”:1) y = −x2 − 2x + 2 2) y = 4x2 − 12x + 93) y = 5x2 − 5x + 2

Solución1) Suponer que −x2 − 2x + 2 = 0, ó x2 + 2x − 2 = 0 entonces, el

discriminante D es: D = b2 − 4ac;D = 22 − 4 (1) (−2) = 12

como D > 0, luego la parábola con el eje “ x ” se intersectanen dos puntos diferentes ••• Resp.

2) Se supone que 4x2 − 12x + 9 = 0, entonces, el discriminanteD es:

D = (−12)2 − 4 (4)(9) = 0como D = 0, luego, la parábola toca al eje “ x ”

••• Resp.

3) Se supone que 5x2 − 5x + 2 = 0, entonces, el discriminante Des:

D = (−5)2 − 4 (5)(2) = −15como D < 0, luego, la parábola con el eje “ x ” no se intersec-tan ni se tocan. ••• Resp.

Ejercicio 26

Investigar la relación de las parábolas siguientes con el eje “ x ”:a) y = 2x2 − 3x + 4 b) y = − 9x2 + 6x −1 c) y = 3x2 + 5x + 2

La relación de la parábola y = ax2 + bx + c con el eje “ x ”, si “D ” es el discriminante de laecuación ax2 + b x + c = 0, entonces, D = b 2 − 4ac y ademási) D > 0 ⇔la parábola con el eje “ x ” se intersectan en dos puntos diferentes.

ii) D = 0 ⇔ la parábola toca al eje “ x ”.iii)D < 0 ⇔ la parábola con el eje “x” no se intersectan ni se tocan.

(i) (ii) (iii)

a > 0

a < 0

Suponer la parábolay = ax2 + bx + c y laecuación ax2 + bx + c = 0.

Encontrar el discriminante D,recordando que:i) Cuando D > 0, la parábola con el eje

“ x ” tienen dos intersecciones.ii) Cuando D = 0, la parábola con el eje

“ x ” tienen una intersección .O sea la parábola toca al eje “ x ”.

iii) Cuando D < 0, la parábola con el eje“ x ” no se intersectan.

x

xx

x

xx

x xx xx x x


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

123

Ejemplo

Cuando la parábola y = −x2 + kx + 3 − 2k con el eje “ x ” no seintersectan ni se tocan, encontrar el intervalo de “ k ”.

SoluciónSe supone que −x2 + kx + 3 − 2k = 0, entonces, el discriminanteD es así:

D = k 2 − (4)(−1)( 3 − 2k )= k 2 − 8k + 12

como la parábola con el eje “ x ” no se intersectan ni se tocan,entonces, D < 0.

Se tiene: k 2 − 8k + 12 < 0( k − 2 ) ( k − 6 ) < 0∴ 2 < k < 6 ••• Resp.

Ejercicio 27

a) Cuando la parábola y = x2 + 2( 2a + 1 ) x + a + 1 con el eje “ x ” se intersectan en dos puntosdiferentes, encontrar el intervalo de “ a ”.

b) Cuando la parábola y = x2 − 2kx − k + 6 toca al eje “ x ”, encontrar el valor de “ k ”.

Ejemplo

Encontrar las coordenadas del punto de intersección de laparábola y = x2 − 4x + 6 con la línea recta y = x + 2 .

Solución.Suponer que x2 − 4x + 6 = x + 2entonces, x2 − 5x + 4 = 0

( x − 4 )( x − 1 ) = 0 ∴ x = 1 , 4Sustituyendo “x” en y = x + 2cuando x = 1 , y = 3cuando x = 4 , y = 6por lo tanto, las coordenadas de los puntos de intersección son:

( 1 , 3 ) , ( 4 , 6 ) ••• Resp.

El discriminante D es menor que cero.

D < 0 ⇔ la parábola con el eje “ x ” nose intersectan ni se tocan.

0

6

32

y

x

21 3 4

x

y

Relación de una parábola con una línea recta.

Los puntos de intersección de la parábola y = a x2 + b x + c con la línea recta y = m x + n sonlas soluciones de la ecuación a x2 + b x + c = m x + n .


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

125

(iii) Cuando D < 0, la parábola con lalínea recta no tienen punto deintersección.

2) De la expresión de la parábola con la línea recta,−3x2 + 1 = − 4x3x2 + 4x + 1 = 0 ∴ 3x2 − 4x − 1 = 0

entonces, el discriminante D es así:D = (− 4)2 − 4 (3)(−1) = 28

como D > 0, luegola parábola con la línea recta se intersectan en dos puntosdiferentes. ••• Resp.

3) De la expresión de la parábola con la línea recta,−x2 − x = −5x + 4

Se tiene que −x2 + 4x − 4 = 0x2 − 4x + 4 = 0

entonces, el discriminante D es así:D = (− 4)2 − 4 (1)(4) = 0como D = 0, luegola parábola toca a la línea recta. ••• Resp.

Ejercicio 29

Investigar la relación de la parábola con la línea recta.a) y = 2x2 − 5x + 4, y = 3x − 4 b) y = x2 + 3x − 1, y = 2x − 2c) y = − x2 + 4x + 3, y = x + 1

Ejemplo

Cuando la parábola y = x2 − x con la línea recta y = k x − 1 seintersectan en dos puntos diferentes, encontrar el intervalo de“ k ”.

SoluciónDe la expresión de la parábola con la línea recta,

x2 − x = k x −1x2 − ( k + 1 )x + 1 = 0

como la parábola con la línea recta se intersectan en dos puntosdiferentes,entonces, D > 0

∴ ( k + 1 )2 − 4 > 0k 2 + 2k − 3 > 0( k + 3 ) ( k − 1 ) > 0∴ k < − 3 , 1 < k ••• Resp.

La parábola:y = a x2 + b x + c,la línea recta: y = m x + n.

Entonces se supone quea x2 + b x + c = m x + n, o seaa x2 + ( b − m )x + c − n = 0

i) Cuando D > 0, la parábola con lalínea recta tienen dos intersecciones.

ii) Cuando D = 0, la parábola con lalínea recta tienen una intersección,o sea la parábola toca a la línea recta.

iii) Cuando D < 0, la parábola con lalínea recta no tienen punto deintersección.


C

A

P

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O

III

126

Ejercicio 30

a) Cuando la parábola y = x2 + 3x + 3 toca a la línea recta y = a x + 2, encontrar el valor de “ a ”.

b) Cuando la parábola y = x2 − k x − k con la línea recta y = k x− 6 no se intersectan ni se tocan,encontrar el intervalo de “ k ”.


C

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III

128

Se puede observar que la función h ( x )es biyectiva y la función k (x) no esbiyectiva porque no es inyectiva.

Entre las funciones anteriores, las funciones f 3 y f 4 sonfunciones inyectivas.

A la función f 4 que es sobreyectiva e inyectiva, se le llama“función biyectiva ”.


C

A

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III

129

3. Función Inversa.

Si se invierten las correspondencias f 1 , f 2 , f 3 y f 4, de lasección anterior, resulta que, las correspondencias contrarias def 1 , f 2 y f 3 no son funciones, porque en la correspondenciacontraria de f 1, los elementos b 1 y b 3 no corresponden a ningúnelemento de A1, también para la correspondencia contraria def 3 , el elemento b 2 no corresponde a ningún elemento de A3 .Sobre la correspondencia contraria de f 2 el elemento b 1corresponde a dos elementos de A2, es decir tiene dos imágenes.La correspondencia contraria de f 4 es una función.

Es decir si la función f : A→B es una función Biyectiva,entonces la correspondencia contraria de f también es unafunción. Esta función se llama “ función inversa de f ” y seexpresa “ f −1 ”

O sea

f −1 : B→A, y si f ( a ) = b, entonces a = f −1( b ) .

En la función f : A→B, si se supone que P es el rango de lafunción f ( x ), entonces se cumple P ⊆ B, y además el dominiode la función inversa f −1( x ) es P y el rango de f −1( x ) es A. Esdecir, el dominio de la función inversa f −1 ( x ) es el rango de lafunción f ( x ) y el rango de f −1( x ) es el dominio de f ( x ).

De la definición, se puede encontrar la función inversay = f −1 ( x ) así:

1) De la expresión y = f ( x ), se encuentra el rango.

2) La expresión y = f ( x ), se transforma a x = g ( y ).

3) Se cambia “ x ” por “ y ” y viceversa.

Ejemplos

Encontrar las funciones inversas siguientes;

1) y = 2x −1 2) y = − 2x + 4, (−1 ≤ x ≤ 3 )

Las inversas de f 1, f 2 , y f 3 no sonfunciones, porque algunos elementos notienen imágenes y a otros les correspondedos imágenes.

La inversa de f 4, si es función porque esBiyectiva.

f −1 es la función inversa de f .

a b

f

f –1

A B


C

A

P

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III

130

Solución1) y = 2x − 1

El rango es todo número real. De la expresión y = 2x − 1 setiene:

2x = y +1∴ x = 1

2 y + 12

Por lo tanto, la función inversa es:∴ y = 1

2 x + 12 ••• Resp.

El gráfico de esta nueva función es:

Ejercicio 31

Encontrar las funciones inversas de las siguientes funciones:

a) y = 12 x + 1 b) y = −3x + 2 ( x ≥ −2 )

c) y = 4x − 3 (−1 ≤ x ≤ 3 ) d) y = x − 5 ( x ≤ 5 )

2) y = −2x + 4, (−1 ≤ x ≤ 3 )Del gráfico de la derecha, el rango es –2 ≤ y ≤ 6.De la expresión y = −2x + 4 se tiene:

2x = −y + 4∴ x = − 1

2 y + 2Por lo tanto, la función inversa es:

∴ y = − 12 x + 2, (−2 ≤ x ≤ 6 ) ••• Resp.

Procedimiento:i) Encontrar el rango.

ii) Transformar la función a la nuevaexpresión:x = g ( y )

iii) Intercambiar los valores de “ x ” e“ y ”.

El gráfico de la función y = f ( x ) y el dela función inversa y = f −1 (x) sonsimétricos a la línea recta y = x.

0

3

2

1

y y = 2x–1y = x

1 2 3

x

y = 12

x + 12

x

y

x

y = 12

x + 2

4

y

y= –2x+4 y= x6

3

2

–2 –1 0 2 3 4 6

–2

–1

x

y

1. f ( a ) = b ⇔ a = f −1 ( b )2. El dominio y el rango de la función y = f ( x ) se intercambian para obtener la función inversa

y = f −1( x ).3. Los gráficos de la función y = f ( x ) e y = f −1( x ) son simétricos a la línea recta y = x.


C

A

P

Í

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U

L

O

III

131

4. Función Fraccionaria.

La función expresada como una fracción se llama “ funciónfraccionaria ”.

El gráfico de la función fraccionaria y = kx se llama

“ hipérbola ”, y es simétrica al origen. Ver gráficas.

I) Cuando k > 0

Ejemplos

Encontrar el valor de “ y ” cuyo valor corresponde a “ x ”,cuando x = L,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3 , L, y graficar las funciones.

1) y = 2x 2) y = − 1

x

Solución

1) y = 2x

El denominador debe ser diferente de 0, o sea x ≠ 0.

El gráfico es el que se muestra a la derecha.

2) y = − 1x

El denominador debe ser diferente de 0, o sea x ≠ 0.

El gráfico es el que se muestra a la derecha.

El dominio y el rango de esta función esR −{ 0 }.

El gráfico de esta función nunca pasa porel origen del sistema de coordenadascartesianas.

y

k

1

0 1 k

x–1– k

–1

– k

x

y

II) Cuando k < 0

y

k

1

01 k x

–1

– k

–1– k

x

y

x

y

. . .

. . .

. . .

. . .

–3

– 23

–2 –1

–1 –2

0 1

2

2

1

323

y

2

1

0 1 2x–1–2

–1

–2

x

y

x

y

11

0–1–1

x

y

x

y

. . .

. . .

. . .

. . .

–312

–2 –1

1

0 1 2 3

– 13

– 12

13

–1


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

132

Ejercicio 32

Graficar las funciones fraccionarias siguientes:

a) y = 1x b) y = − 2

x c) y = 3x

Cuando un punto en la hipérbola se aleja del origen, la hipérbolase acerca al eje “ x ” y al eje “ y ”. Así a medida que la curva sealeja del origen, la hipérbola se acerca a unas líneas llamadas“ asíntotas ”.

Si se mueve la hipérbola y = kx , p espacios en el eje “ x ”, q

espacios en el eje “ y ”, se puede obtener el gráfico de la funciónfraccionaria

y q kx p− = −

En este caso, las ecuaciones de las asíntotas son x = p, y = q.

En el gráfico se muestran las asíntotas x = p, y = q.

Ejemplos

Encontrar las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola ygraficar.

1) y = 2 31

xx

++ 2) y = x

x−−

32

Solución

1) y xx

xx

xx x x= = = + = ++

++ ++

++ + +

2 31

2 1 11

2 11

11

11 2( ) ( )

Por eso, las ecuaciones de las asíntotas sonx = −1, y = 2.

El gráfico de la función fraccionaria y q kx p− = − se ha movido

de la hipérbola y = kx , p espacios en el eje “ x ”, q espacios en el

eje “ y ”, y las ecuaciones de las asíntotas son x = p, y = q.

El gráfico de esta función nunca pasa por el origen del Sistemade Coordenadas Cartesianas.

Por ejemplo en la función y = kx las

asíntotas son el eje “x” y el eje “y” .

Es decir las ecuaciones de las asíntotassonx = 0, y = 0.

Procedimiento:

i) Encontrar la función

y q kx p− = −

x

y x = p

y = qq

p0x

y

x

y x = p

y = qq

p0x

y


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

134

Ejercicio 34

a) El gráfico de la función y = 32 2x+ + , ¿cómo se ha movido del gráfico de la función y = 3

7x+ ?

b) El gráfico de la función y = 2 1xx− , ¿cómo se ha movido del gráfico de la función y = x

x+1 ?

c) El gráfico de la función y = 2 31x

x−

− , ¿cómo se ha movido del gráfico de la función y = xx++

21 ?

Ejemplo

Encontrar el rango de la función y = 2 51

xx

++

(−2 ≤ x ≤ 0, x ≠ 0 )

Solucióny = 2 5

12 1 3

1xx

xx

++

+ ++= ( )

= 31 2x+ +

Las ecuaciones de las asíntotas son x = −1, y = 2,

y el gráfico es el que se muestra a la derecha, el rango es:y ≤−1, 5 ≤ y. ••• Resp.

Ejercicio 35

Encontrar el rango de las funciones siguientes.

a) y x x xx= + ≤ − − ≤ ≠−+1

2 1 3 1 2, ( , , )

b) y xxx= ≥−2

1 2, ( )

c) y xxx= − ≤ ≤− −

+3

2 1 0, ( )

Ejemplo

Encontrar la ecuación de la hipérbola, cuando las ecuaciones delas asíntotas son x = 2, y = −1, y el gráfico pasa por el punto( 3 , 2 ).

SoluciónComo las ecuaciones de las asíntotas son

x = 2, y = − 1

Procedimiento:

i) Encontrar la función

y q kx p− = −

ii) Encontrar las asíntotas.

iii) Graficar la función y encontrar elrango.

Procedimiento:

i) Suponer la función

y q kx p− = −

ii) Sustituir los datos, las ecuaciones deasíntotas, y el punto por donde pasa elgráfico.

x=–1y

x

y=2

54

3

21

–2–1–4 –3 1 2

–1–2

0x

y


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

136

Ejercicio 37

Encontrar las coordenadas del punto de intersección de la hipérbola con la línea recta.

Después utilizando los gráficos encontrar el intervalo para el cual “ x ” satisface la desigualdad.

a) hipérbola: y = 62x − , línea recta: y = x − 1, desigualdad: 6

2x − ≥ x −1

b) hipérbola: y = 3− xx , línea recta : y = x + 1, desigualdad: 3− x

x < x + 1


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

137

5. Función Irracional.

Los polinomios y las fracciones son expresiones racionales.

A las expresiones como x , 2 1x − L, etc, donde la variable“ x ” está dentro del signo radical, se les llaman “expresionesirracionales ”.

La función con una expresión irracional se llama“ función irracional ”.

Ejemplos

Determinar el dominio y encontrar el valor de “ y ” quecorresponde a “ x ”, después graficar las funciones:

1) y = 2 x 2) y = x − 2

Solución1) y = 2 x

El dominio es x ≥ 0.

2) y = x − 2El dominio es x ≥ 2.

Ejemplos

Graficar las funciones irracionales siguientes:1) y = x 2) y = −2x

Solución1) y = x

El radicando o cantidad subradical es siempre mayor o iguala 0, por eso, el dominio es x ≥ 0. La expresión irracionales siempre mayor o igual a 0, luego, el rango es y ≥ 0.

El valor interior de la raíz es siempremayor o igual a 0. O sea,

1) x ≥ 0 2) x −2 ≥ 0

Procedimiento:

i) Encontrar el dominio.

ii) Escribir la tabla de valores.

iii) Elaborar el gráfico con estos valores.

x

y

0

0

1

2

4

4

32 . . .

. . .2 2 2 3

y

x

4

2

1 40x

y

x

y

2

0

3

1

6

2

54 . . .

. . .2 3

y

x

21

0 2 3 6x

y

El gráfico es:

El gráfico es:


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

138

El grafico es:

2) y = −2x

El radicando o cantidad subradical es siempre mayor o iguala 0, por eso, el dominio es −2x ≥ 0, o sea x ≤ 0.

La expresión irracional es siempre mayor o igual a 0, porlo tanto el rango es y ≥ 0.

Ejercicio 38

Graficar las funciones irracionales siguientes:

a) y = − 2x b) y = 3x c) y = − −x 2 d) y = − −x

Si se mueve en paralelo el gráfico de la función irracionaly = ax , p espacios en el eje “ x ”, se obtiene el gráfico de lafunción irracional y = a x p( )−

I) Cuando p < 1

El gráfico de la función irracional y = ax es así:

I) Cuando a > 0 II) Cuando a < 0

Dominio: x ≥ 0 Dominio: x < 0Rango : y ≥ 0 Rango : y ≥ 0El gráfico es estrictamente El gráfico es estrictamentemonótono creciente. monótono decreciente.

I) Cuando p < 1

. . .

. . .

2 3 4x

y 0

0

1

1

2 3 2

x

y2

1

0 1 4

x

y

y

x . . .

. . .

–4 –3 –2 –1 0

022 2 6 2 2 x

y

2

1

–2 –1 0

2

x

y

x

y

0 1

a

x

y 0

y

–1

a

xx

y

== ( – ) x 0 p 1 p+1 . . .

ax

a (x– p)

0 ap a

a0

. . .

. . .

. . .

. . .


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

139

II) Cuando p ≥1

Ejemplos

Explicar el movimiento paralelo, después graficar las funcionesirracionales siguientes:

1) y = 2 6x + 2) y = 3 − x

Solución1) y = 2 6 2 3x x+ = +( )

El radicando es siempre mayor o igual a 0, por eso, el domi-nio es 2x + 6 ≥0, o sea x ≥−3. La expresión irracional essiempre mayor ó igual a 0, luego, el rango es y ≥ 0.

El gráfico de la función irracional y = 2 6x + se ha movidoparalelo al gráfico de la función irracionaly = 2x , −3 en el eje “ x ”. Por lo tanto, el gráfico es:

2) y = 3 3− = − −x x( )

El radicando es siempre mayor o igual a 0, por eso, el domi-nio es 3 − x ≥ 0, o sea x ≥ 3. La expresión irracional essiempre mayor o igual a 0, luego, el rango es y ≥ 0.

El gráfico de la función irracional y = − −( )x 3 se ha movi-do paralelo al gráfico de la función irracionaly = −x , 3 en el eje “ x ”.

Ejercicio 39

Explicar el movimiento paralelo, y graficar las funciones irracionales siguientes.

a) y = 3 6x − b) y = 2 4x + c) y = − − +x 2

II) Cuando p ≥ 1

Procedimiento:

i) Encontrar el dominio.

ii) Encontrar la funcióny = a x p( )−

iii) Graficar las funciones y compararlasentre si.

1) y x= +2 3( )

ax

a (x– p) . . . 0

apa

p+1p0 1

0

. . .

. . .

. . .a

x

. . .

x

y

2

–3 –1 20x

y

2x

2x+6

. . .

. . .

. . .

6

2

–1

0

0 2

20–3x

. . .


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

140

Ejercicio 40

Encontrar el rango de las funciones siguientes:

a) y = 2 1 1 5x x− ≤ ≤, ( ) b) y = − − − ≤ ≤1 3 1x x, ( )

Ejemplos

Encontrar la función inversa de las funciones siguientes:

1) y = x − 2 2) y = 4 − x2, ( x ≤0 )

Solución1) y = x − 2

El dominio es x ≥ 2, el rango es y ≥ 0.

de y = x − 2 se eleva al cuadrado ambos miembros, enton-ces,y2 = x − 2∴ x = y2 + 2

Por lo tanto, la función inversa de la función y = x − 2 es:y = x2 + 2, ( x ≥ 0 , y ≥ 2 ) ••• Resp.

2) y = 4 − x2

El dominio es x ≤ 0, el rango es y ≤ 4. De y = 4 − x2

x2 = 4 − y∴ x = ± −4 ypero x ≤ 0,∴ x = − −4 y

El gráfico de la función irracional y = a x p( )−se ha movido paralelo al gráfico de la funciónirracional y = ax , p en el eje “ x ”.

2) y x x= − ≤4 02 , ( )

y x x= − − ≤4 4, ( )

y = x2 + 2 es la función inversa


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

142

6. Función Exponencial.

6.1 Radicación.

Veamos algunos ejemplos de resolución de radicales:

Ejemplos

Encontrar los valores de:

1) −83 2) 1253 3) 36 4) − 814

Solución

1) Si x = −83

entonces x3 = − 8,

x3 = (−2 )3 luego −83 = − 2∴ x = − 2 ••• Resp.

2) Si x = 1253

entonces x3 = 125

x3 = 53 luego , 1253 = 5∴ x = 5 ••• Resp.

3) Si x = 36entonces x > 0y además x2 = 36, ∴ x = ± 6pero x > 0 , por eso x = 6

O sea, 36 = 6 ••• Resp.

4) Si x = − 814

entonces x < 0y además x 4 = 81, luego, x 4 − 81 = 0

( x2 + 9 )( x2 −9 ) = 0∴ x = ± 3

Pero x < 0, por eso x = −3

O sea, − 814 = −3 ••• Resp.

Ejercicio 44

Encontrar los valores siguientes:

a) −643 b) 2435 c) − 25 d) 164

Cuando a > 0, an es un número que satisface las siguientes condiciones:

1) Si se eleva a la potencia “n ”, el resultado es la cantidad subradical “ a ”, es decir a an n( ) =2) Es número positivo, o sea an > 0

Procedimientoi) Suponer x = an .ii) Elevar ambos miembros a la potencia

“n”.iii) Encontrar el valor de “x”.


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

143

Ejemplos


1) 4232) 4 63 3

3) 94 3( ) 4) 3 2 3 24 4 4 4+( ) −( )Solución

1) 4 2 2 2 2 2 2 223 43 33 33 3 3= = = =( ) ••• Resp.

2) 4 6 24 2 3 2 33 3 3 33 3= = =( ) ••• Resp.

3) 9 9 3 3 3 3 34 3 34 64 24( ) = = = = ••• Resp.

Demostración.

1. Si x = a bn n , entonces x > 0, y además xn = a b abn n n n( ) ( ) = como x > 0, por eso

x = abn es decir a b abn n n=

2. Si x = a

b

n

n , entonces x > 0, y además xn = ab

n n ab( ) = como x > 0, por eso x = a

bn es decir a

b

ab

nn

n =

3. Si x= an m( ) , entonces x > 0, y además xn = a an m nn n m( )( ) = ( )( ) como x > 0, por eso

x = amn es decir a an m mn( ) =

4. Si x = anm, entonces x > 0, por eso xm = a anm m n( ) = y además (xm)n = a an n( ) = , por lo tanto

xm n = a como x > 0, por eso x = amn , es decir a anm mn=

5. Si x = amn, entonces x > 0 , xn = a amn n

m( ) = y además x a an p m p mp( ) = ( ) = , por lo tanto

x anp mp= como x > 0, por eso x = ampnp es decir a amn mpnp=

Utilizando las propiedades, se puede obtener las siguientes igualdades:

Cuando a > 0, b > 0, m , n y p ∈ N

1) a b abn n n= 2) a

b

ab

nn

n = 3) a an m mn( ) =

4) a anm mn= 5) a amn mpnp=


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

144

6.2 Ampliación de las leyes de los exponentes.

Las leyes de los exponentes se cumplen aunque éstos seannúmeros racionales. Cuando m y n son números naturales,entonces m

n es un número racional positivo, en este caso,

( )a amn n m= por eso a a

mn mn=

Ahora, cuando “r ” es número racional, y además a > 0, vamos adeterminar a-r.

a-r × a r = a-r + r = a 0 = 1 por eso a rar

− = 1

Ejemplos


1) 823 2) 25

12− 3) 810 75.

Solución

1) 8 8 2 2 2 423 23 3 23 2 33 2= = = = =( ) ( ) ••• Resp.

2) 2512

12 2

12

1

25

1

5

15

− = = =( )

••• Resp.

3) 81 3 3 30 75 4 4 34 3 4434. ( ) ( ) ( )= = =

= 33 = 27 ••• Resp.

Ejercicio 46


a) 932 b) 64

23 c) 27

23− d) 25 1 5− .

Cuando a > 0, se supone que r s= = −23

12,

4) 3 2 3 24 4 4 4+( ) −( )= ( ) − ( ) = −3 2 3 24 2 4 2

••• Resp.

Ejercicio 45


a) 9242) 2 84 4 c) 162

6

3

3 d) 7293

a amn mn=

a rar

− = 1


C

A

P

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T

U

L

O

III

145

( )( ) ( )( ) ( )( )a a a a a ar sa

a

a= = = =−2

312

46

3623 1 6

a a a ar s+ −= = =23

12

16 6

Por eso se cumple (a r)(a s) = a r + s

Ejemplos


1) a a a32

34

54× ÷ 2) ( ) ( )2 223 2 4 3×

Solución1) a a a a a

32

34

54

32

34

54× ÷ = =+ − ••• Resp.

2) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 223 2 4 3 2 323

14× = ×

= × = =+2 2 2 243

34

43

34

2512 ••• Resp.

Ejercicio 47


a) 9 9 914

13

112× ÷ b) ( )125

23

12 c) 25 321 5 0 2. .× −

d) ( ) ( )4 163 2 6× e) ( )3 9 34 2 ÷

Cuando a > 0 y el exponente “ x ” es número irracional, sepuede definir a x. Generalmente cuando a > 0, b > 0 y ademásr y s son números reales, se cumple la ley de los exponentes.

Generalmente cuando a > 0, b > 0, r y s son números racionales, se cumple lo siguiente:

1) a r • a s = a r + s 2) ( a r ) s = a r s

3) ( ab ) r = a r b r 4) a r ÷ a s = a r − s

5) a 0 = 1 6) a − r = 1ar

Si las bases de las potencias son iguales,se suman o se restan los exponentes entresi, según se trate de multiplicación odivisión, y se coloca la misma base.

Por ejemplo: cuando x 2 1 414= . L

a 1, a 1.4, a 1.41, a 1.414 L

estos valores se acercan a un número fijo,

este valor es a 2


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

146

6.3. Función Exponencial.

Cuando “a” es el número positivo y además a ≠ 1, la funcióny = a x se llama “función exponencial de base a”.

Graficar la función exponencial y = 2 x.

Por eso, se obtiene el siguiente gráfico:

si x = −2, entonces

y = 2−2= 12

142 =

si x = −1, entonces y = 2−1 = 12

si x = 0, entonces y = 20 = 1



1) si x = −2, entonces

y = 3−2 = 13

192 =

si x = −1 , entonces y = 3−1 = 13




12

x

y

. . .

. . .

–3 –2 –1

14

18

0

1

1

2

2

4

3

8

. . .

. . .

Ejemplos

Graficar las funciones exponenciales.

1) y = 3x 2) y = ( )13

x

Solución1) y = 3x

Por eso, se obtiene el siguiente gráfico.

x

y

. . .

. . .

. . .

. . .

–219

13

0

1

1

3

2

9

–1

y=3x

3

9y

x

–1 0 1 2

1

xy


C

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III

147

(2) y = ( )13

x

Por eso, se obtiene el siguiente gráfico.

Ejercicio 48

Graficar las funciones exponenciales: a) y = 4x b) y = ( )12

x

Ejercicio 49

Demostrar que los gráficos de las funciones exponenciales y = 2x e y = ( )12

x son simétricascon el eje “ y ”.

El gráfico de la función exponencial y = a x es:

i) cuando a > 1 ii) cuando 0 < a < 1

y las propiedades son:

1) Domino: todo número real. Rango: todo número positivo, o sea y > 0.

2) Siempre pasa por el punto ( 0 , 1 ), ( porque a 0 = 1 )

3) cuando a >1; si m < n , entonces a m < a n •••• monótona creciente.cuando 0 < a <1; si m < n , entonces a m > a n •••• monótona decreciente.

4) El eje “ x ” es asíntota.

2) si x = −2 , entonces

y = ( ) ( )13

2 1 2 23 3 9− − −= = =

si x = −1 , entonces

y = ( ) ( )13

1 1 13 3− − −= =

si x = 0 , entonces y = ( )13

0 = 1

si x = 1 , entonces y = ( )13

1 13=

. . .

. . .

x

y . . .

. . . –2

9 3

–1 0

1

1

13

19

2

x

ya

y=ax 1a

–1 0 1

1

x

y

x

y

y=ax

1a

1

a

–1 0 1

x

y


C

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T

U

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O

III

148

Ejemplo

Ordenar los números siguientes de menor a mayor.

1) 5 −2, 52, 5 −3, 50

2) 0.3, ( 0.3 ) −5, ( 0.3 )−1, ( 0.3 )4

Solución1) El orden de los exponentes es: −3 < −2 < 0 < 2,

y además la base 5 es mayor que 1,entonces, 5 −3 < 5 −2 < 5 0 < 5 2 ••• Resp.

2) El orden de los exponentes es: −5 < −1 < 1 < 4,y además la base 0.3, es mayor que 0 y menor que 1,entonces, (0.3)−5 < (0.3)−1 < 0.3 < (0.3)4

es decir, (0.3)4 > 0.3 > (0.3)−1 > (0.3)−5 ••• Resp.

Ejercicio 50

Ordenar los números siguientes de menor a mayor.

a) 4−2, 40, 4−3 , 44 b) ( ) , ( ) , ( ) , ( )23

1 23

2 23

3 23

2− −

Ejemplo

Cuando 0 ≤ x ≤ 2, encontrar el valor máximo y mínimo de lafunción y = 4x − 2x + 2 + 5

Solución.Cuando 0 ≤ x ≤ 2, podemos tener 20 ≤ 2x ≤ 22

es decir, 1 ≤ 2x ≤4suponer que 2x = tentonces el intervalo de t es 1 ≤ t ≤ 4De la expresión dada

y = ( 2x )2 − 4 (2 x + 5)= t 2 − 4t + 5= ( t−2 )2 − 4 + 5= ( t−2 )2 + 1

donde t = 4, o sea 2x = 4 entonces x = 2,el valor máximo es 5 .donde t = 2, o sea 2x = 2 entonces x = 1,el valor mínimo es 1, el valor máximo es 5 ( donde x = 2 )el valor mínimo es 1 ( donde x = 1 ) ••• Resp.

Si las bases son iguales, se puedencomparar las potencias.i) Cuando la base es mayor que 1,

si m < n , entonces a m < a n

ii) Cuando la base es mayor que 0 ymenor que 1, si m < n , entoncesa m > a n

y t= − +( )2 12

. . . 21

2 2

3

1 5

4 . . .t

y

y

t

5

2

1

0 1 2 3 4

t

y


C

A

P

Í

T

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III

149

Ejercicio 51

Cuando –1 ≤ x ≤ 2, encontrar el valor máximo y mínimo de la función y = 2 + 2 x + 1 − 4x.

6.4. Ecuación exponencial.

Ejemplos

Resolver las ecuaciones siguientes:1) 8x = 16 2) 42x + 1 = 1

32

Solución

1) 8x = 16 2) 42x + 1 = 132

( 23 )x = 24 ( 22 )2x + 1 = 2−5

23x = 24 24x + 2 = 2−5

∴ 3x = 4 ∴ 4x + 2 = −5∴ x = 4

3 ••• Resp. x = − 74 ••• Resp.

Ejercicio 52


a) 3x + 1 = 81 b) 27x = 9 c) 82x = (2)( 2x ) d) 251 − x = 125

Ejemplos


1) 4x − ( 3 )( 2x ) + 2 = 0 2) 32x + 1 + ( 2 )( 3x ) −1 = 0

Solución1) 4x − ( 3 )( 2x ) + 2 = 0

( 22 )x − ( 3 )( 2x ) + 2 = 022x − ( 3 )( 2x ) + 2 = 0( 2x )2 − ( 3 )( 2x ) + 2 = 0( 2x −1 )( 2x−2 ) = 0por eso, 2x = 1, 2, luego, x = 0, 1 ••• Resp.

2) 32x + 1 + ( 2 )( 3x ) −1 = 0( 32x )( 3 ) + ( 2 )( 3x ) −1 = 0(3)( 3x ) 2 + ( 2 )( 3x ) −1 = 0( 3x + 1 )( (3) 3x−1 ) = 0pero, 3x + 1 > 0entonces, 3x = 1

3 por lo tanto x = −1 ••• Resp.

Procedimiento:

i) Igualar las bases de las potencias.

ii) Cambiar las ecuaciones a la formaat 2 + bt + c = 0 .

iii) Resolver la ecuación y encontrar laincógnita “ x ”.

Procedimiento:


ii) Luego, encontrar la incógnita “ x ”.


C

A

P

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T

U

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O

III

150

Si las bases son iguales, se puedencomparar las potencias.

i) Cuando la base es mayor que 1, sia m < a n, entonces m < n.

ii) Cuando la base es mayor que 0 ymenor que 1, si a m > a n , entoncesm < n

Procedimiento:


ii) Cambiar la desigualdad a la formaat 2 + bt + c > 0.

Ejercicio 53


a) 22x − (9)(2x) + 8 = 0 b) 4x − 2x + 2 − 32 = 0c) (3)(32x) − (10)(3x) + 3 = 0 d) 9x − (2)(3x + 1) − 27 = 0

6.5. Desigualdad exponencial.

Ejemplos

Resolver las desigualdades siguientes:

1) 9x < 27 2) ( )18

132

x <

Solución1) 9x < 27

( 32 )x < 33

32x < 33 la base es 3, es decir mayor que 1,

entonces 2x < 3, ∴ x < 32 ••• Resp.

2) ( )18

132

x <

( ) ( )12

3 12

5x < la base es 12 , es decir

mayor que 0 y menor que 1, entonces

3x > 5 ∴ x > 53 ••• Resp.

Ejercicio 54

Resolver las desigualdades siguientes:

a) 2 14

x > b) ( )13 9x < c) 8 1

21x x> −( )

Ejemplos

Resolver las desigualdades siguientes:1) 22x − 5( 2x ) + 4 < 0 2) 9x – 8( 3x ) − 9 ≥ 0

Solución1) 22x − 5( 2x ) + 4 < 0 2) 9x – 8( 3x ) − 9 ≥ 0

( 2x )2 − 5( 2x ) + 4 < 0 ( 3x )2 − 8( 3x ) − 9 ≥ 0( 2x − 1 )( 2x − 4 ) < 0 ( 3x + 1 )( 3x − 9 ) ≥ 0∴ 1 < 2x < 4 pero 3x + 1 > 0,o sea 20 < 2x < 22 entonces 3x − 9 ≥ 0 ≥ 9


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

153

Logaritmo de un número se definecomo: “el exponente al que hay queelevar una base dada para obtener dichonúmero”.

ar = R ⇔ r = log a R

a = baser = logaritmo de RR = número dado o

argumento del logaritmo.

7. Función Logarítmica

7.1. Propiedades de los logaritmos.

Cuando a > 0, a ≠ 1, del gráfico de la función exponencialy = a x, se puede determinar lo siguiente:

Para cualquier valor positivo “ R ”, existe un valor“ r ” que satisface ar = R . Este valor “ r ” se llama“ logaritmo de base a ”, y se expresa como“ loga R ”, es decir

ar = R ⇔ r = loga R

En este caso, “ R ” se llama “ argumento dellogaritmo ” o “ resultado del logaritmo ”.

Ejemplos

Cambiar a la forma r = log a R las siguientes expresiones:

23 = 8; 52 = 25; 40 = 1; 3 2 19

− =

Solución23 = 8 ⇔ 3 = log28 ••• Resp.52 = 25 ⇔ 2 = log525 ••• Resp.40 = 1 ⇔ 0 = log41 ••• Resp.

3 2− = 19 ⇔ − 2 = log3

19 ••• Resp.

Ejercicio 57

Cambiar a la forma r = log a R las siguientes expresiones:

a) 26 = 64 b) 34 = 81 c) 50 = 1 d) 7− 2 = 149

Ejemplos

Cambiar a la forma ar = R las siguientes expresiones:

1) log21 024 = 10 2) log327 = 3 3) log71 = 0

Solución1) log21 024 = 10 ⇔ 210 = 1 024 ••• Resp.

2) log327 = 3 ⇔ 33 = 27 ••• Resp.

3) log71 = 0 ⇔ 70 = 1 ••• Resp.


C

A

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III

156

Utilizar las siguientes propiedades de loslogaritmos:

log a RS = log a R + log a S

log aRS = log a R − log a S

log a R t = t • log a R

Propiedades de los logaritmos II

Otra propiedad de los logaritmos es la siguiente:

Cuando a > 0, b > 0, a ≠ 1, b ≠ 1, y además R > 0,

6. loglogloga

RaR b

b= Especialmente, loga b • logb a = 1, o sea loga b = 1

loga b

Solución

1) log25 8 + 1

5 log2 4 = log2 815 + 1

5 log2 4

= 15 log2 8 + 1

5 log2 4 = 15 ( log2 8 + log2 4 )

= 15 log2 8 • 4 = 1

5 log2 32 = 15 log2 25

= 15 • 5 log2 2 = 1 ••• Resp.

2) log10 8 + log10 400 − 5 log10 2= log10 8 + log10 400 − log10 25

= log ( )( )10

8 400

25 = log ( )( )( )10

2 2 10

2

3 3 2

5

= log10 102 = 2 ••• Resp.

Ejercicio 61

Simplificar las expresiones siguientes:

a) log245 + log210 − log2 8 b) 4 1510log + log10 18 − log10 8

c) log264 • log3 3 d) 4 33log − 12 3 3

232log log+

Demostración.

Suponer que loga R = mentonces, a m = Raplicar logaritmos de base “ b ” en ambos lados, por eso,logb a m = logb R ∴ m • logb a = logb Rpor lo tanto,

m = loglog

b

b

Ra , es decir loga R =

loglog

b

b

Ra

Ejemplos

Simplificar las expresiones siguientes.1) log48 2) log23 • log35 • log516


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

157

Utilizar la siguiente propiedad de loslogaritmos:

loga R = loglog

b

b

Ra

Procedimiento:

i) Encontrar el dominio y el rango.

ii) Transformar la función a la expresión:x = g( y )

iii) Cambiar “ x ” e “ y ”.

3) ( log25 )( log52 + log53 • log34 )

Solución

1) log48 = loglog

log

log

loglog

2

2

23

22

2

2

84

2

2

3 22 2

32= = = ••• Resp.

2) log23 • log35 • log516 = log23 •loglog

2

2

53 •

loglog

2

2

165

= log216 = log224 = 4 ••• Resp.

3) ( log25 )( log52 + log53 • log34 )

= ( log25 )( 152log +

loglog

2

2

35 •

loglog

2

2

43 )

= ( log25 )( 15

452

2

2logloglog+ )

= 1 + log24 = 3 ••• Resp.

Ejercicio 62

Simplificar las expresiones siguientes:

a) log216 + log48 + log84 + log162 b) log53 • log25 • log34

c) ( log23 )( log32 + log54 • log35 ) d) ( log23 + log49 )( log34 + log92 )

7.2 Función logarítmica y gráfico.

Ejemplo

Cuando a > 0, a ≠ 1, encontrar la función inversa de y = a x.

SoluciónEn la función exponencial y = a x, el dominio es todo númeroreal y el rango es número positivo.

De y = a x, se tiene que x = loga ypor eso, la función inversa es:

y = loga x

el dominio: número positivo.

el rango: todo número real. ••• Resp.


C

A

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T

U

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O

III

158

La función “ y = loga x ” es la función inversa de la función exponencial “ y = a x ”, y se llama“ función logarítmica de base a ”. Y además, los dos gráficos de “ y = a x ”, e “ y = loga x ” sonsimétricos con la línea recta “ y = x ”.

El gráfico de la función “ y = loga x ” es:i) Cuando a > 1 ii) Cuando 0 < a < 1

y las propiedades son:

1) Dominio: todo número real positivo. Rango: todo número real.2) Siempre pasa por el punto ( 1 , 0 ), porque loga 1 = 03) i) Cuando a > 1 •••• monótona creciente

ii) Cuando 0 < a < 1 •••• monótona decreciente4) El eje “ y ” es asíntota de la función logarítmica.

Procedimiento:

i) Encontrar el rango.

ii) Encontrar los datos de la funciónlogarítmica.

iii) Dibujar el gráfico.

Ejemplos

Graficar lo siguiente:

1) y = log2 x 2) y = log13

x

Solución1) El dominio es todo número real positivo, y el rango es todo

número real.si x = 1, entonces y = log2 1 = 0si x = 2, entonces y = log2 2 = 1por eso, pasa por dos puntos ( 1 , 0 ), ( 2 , 1 )y además la gráfica es monótona crecientey el eje “ y ” es asíntota.por lo tanto,el gráfico es: 1) y = log2x

y=logax

y=ax

0

yy=x

1

1

xx

y

x

y=x

1

y=logax

y=ax

y

0 1x

y

x

y

1

1 20

y=logax

x

y

x

y

0 1

2

2 4 . . .

. . .

. . .

. . . 0 1

. . .

. . .


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

159

2) El dominio es todo número real positivo, y el rango es todonúmero real.

si x = 1, entonces y = log131 = 0

si x = 3, entonces y = log133 = −1

por eso, pasa por dos puntos ( 1 , 0 ), ( 3 , − 1 )

y además la gráfica es monótona decrecientey el eje “ y ” es asíntota.por lo tanto, el gráfico es:

Ejercicio 63

Graficar lo siguiente:

a) y = log3 x b) y = log 14

x c) y = log2( x − 3 )

Ejercicio 64

Encontrar el rango:a) y = log3 x , ( 1 ≤ x ≤ 9 ) b) y = log2( x − 3 ), ( 4 ≤ x ≤ 7 )

c) y = log 12x , ( 2 ≤ x ≤ 8 ) d) y = log1

3x , ( 1

9 ≤ x ≤ 3 )

Ejemplos

Ordenar de menor a mayor:

1) log3 2, log3 5, log3 8, log3 4 2) log131, log1

33, log1

32, log1

35

1) Cuando a > 1 2) Cuando 0 < a < 1 m < n ⇔ loga m < loga n m < n ⇔ loga m > loga n

y

x 0 1 3

0 –1

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .9

–2

2) y = log 13

x

y = log13

x

x1 3

y

0

–1

x

y

logamlogan

m m

y

x10

x

y

0m n x

y

1

logamlogan

x

y


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

165

(1) t = 0, o sea log2x = 0entonces, x = 10 = 1

(2) t = 2, o sea log2x = 2entonces, x = 22 = 4

Por ejemplo:

Log103 = log 3

Log105 = log 5

Ejercicio 70

Resolver las desigualdades logarítmicas:

a) log2( 3x − 4 ) + log2( x + 2 ) ≤ 3 b) 2 log0.1( x − 1 ) < log0.1( 7 − x )

c) 2 log 12 ( x − 4 ) ≥ log 1

2( x − 2 ) d) ( log2 x )( log2 x + 2 ) ≤ 3

Ejemplo

Cuando 1 ≤ x ≤ 8, encontrar el valor máximo y mínimo de lafunción y = ( log2x )2 − 4 log2x + 5.

SoluciónAhora la base es 2, o sea mayor que 1,por eso, cuando 1 ≤ x ≤ 8,

log21 ≤ log2x ≤ log28es decir, 0 ≤ log2x ≤ 3

si suponemos que log2x = tentonces, el intervalo de t es 0 ≤ t ≤ 3ahora de la expresión dada,

y = t 2 − 4t + 5 = ( t − 2 )2 − 4 + 5= ( t − 2 )2 + 1

Entonces, cuando 0 ≤ t ≤ 3el valor máximo es 5 ( donde t = 0 o sea x = 1 )el valor mínimo es 1 ( donde t = 2 o sea x = 4 )el valor máximo es 5 ( donde x = 1 )el valor mínimo es 1 ( donde x = 4 ) ••• Resp.

Ejercicio 71

Encontrar el valor máximo y mínimo de las funciones siguientes:

a) y = 2( log2x )2 − log2x4 − 3, ( 1

4 ≤ x ≤ 8 ) b)y = ( log 12x )2 − log 1

2x 4 − 3, ( 1

8 ≤ x ≤ 4 )

7.5. Logaritmos de base 10.

Un logaritmo log10N cuya base es 10, se llama “ logaritmocomún ”. En los logaritmos comunes se puede omitir la base 10.

t . . . 10 2 3 . . .

5 2 1 2y

5

y

t

21

0 1 2 3 4t

y

y = (t − 2)2 + 1


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

166

Utilizar la tabla de los valores de loslogaritmos comunes.

Utilizar la tabla de los valores de loslogaritmos comunes.

Ejercicio 72

Encontrar los valores siguientes:a) log 100 b) log 10 000 c) log 0.1 d) log 0.001

Los números positivos se pueden expresar así:por ejemplo,3 850 = 3.85 × 103 0.0219 = 2.19 × 10 −2

entonces se puede encontrar el valor de loslogaritmos comunes.

Por ejemplo:

log 3.8 = 0.5798

log 3.85 = 0.5855

Ejemplos

Encontrar el valor de los logaritmos comunes.

1) log 3 850 2) log 0.0219

Solución1) log 3 850 2) log 0.0219

= log ( 3.85 × 103 ) = log ( 2.19 × 10 −2 )= log 3.85 + log103 = log 2.19 + log10 −2

= 0.5855 + 3 = 0.3404 − 2= 3.5855 ••• Resp. = −1.6596 ••• Resp.

Ejercicio 73

Utilizando la tabla de logaritmos, encontrar los valores siguientes:a) log 318 b) log 78 c) log 2 350 d) log 0.00834

Ejemplos

Encontrar los valores: 1) log23 2) log0.12

Solución

1) log .loglog

.

.232

0 47710 30103 1 5850= = = ••• Resp.

2) log .log

log .log

log.

0 12

0 12

100 3010

12 1= = =− −

= − 0.3010 ••• Resp.

Los valores de los logaritmos comunes de1.00 a 9.99 están en una tabla al final deeste libro y por medio de ella se puedeencontrar el logaritmo de cualquiernúmero.

Utilizar la propiedad loglogloga

RaR b

b=


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

167

Aplicar las propiedades de loslogaritmos.

Utilizar la tabla de los logaritmoscomunes.

Ejercicio 74

Utilizando la tabla de logaritmos, encontrar los valores siguientes:

a) log35 b) log29 c) log512

Utilizando logaritmos comunes, se puede encontrar el númerode cifras de una potencia.

Por ejemplo, cuando el número positivo N satisface,2 ≤ log N < 3

entonces, log 102 ≤ log N < log 103

la base es 10, o sea es mayor que 1, por eso se cumple102 ≤ N < 103

por lo tanto, se tiene que N es un número de 3 cifras.

Ejemplo

Utilizando log 2 = 0.3010, encontrar el número de cifras de 25 0.

Solución.Suponer que N = 25 0, aplicar logaritmos comunesen ambos lados, entonces,log N = log 250

= 50 log 2= 50 × 0.3010= 15.05

luego, 15 < log N < 16log 1015 < log N < log 1016

la base es 10, entonces1015 < N < 1016

o sea 1015 < 250 < 1016

por lo tanto,25 0 es un número de 16 cifras. ••• Resp.

Ejercicio 75

a) Utilizando log 3 = 0.4771, encontrar el número de cifras de 320.b) Utilizando log 2 = 0.3010, encontrar el número de cifras de 530.

Ejercicio 76

Se tienen 20 bacterias en un medio de cultivo y cada 20 minutos se duplican. Para tener más de 100millones de bacterias, ¿cuánto tiempo tardará ?


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

168

DESAFÍO

Edwin tiene una máquina para filtrar agua. La máquina puede quitar el 20% de bacterias varias.Edwin quiere tomar el agua a la que la máquina le quitó más del 95% de las bacterias.¿Cuántas veces necesita utilizar la máquina?Utilizar log 2 = 0.3010.


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

169


1. Localizar en un sistema de coordenadas rectangulares los puntos representados por los paresordenados siguientes:

a) ( − 2, 4 ) b) (− 52 , − 3) c) (0, 5 ) d) ( 1,0 )

2. Dado los conjuntos A = { m, r }, B = { 1, 2 } y C = { r , 2 }, encontrar:a) A × B b) (A ∪ B) × C c) ( B ∩ C) × A d) (A ∪ C) × B

3. Representar en forma gráfica los siguientes intervalos:a) ] – 1, 2 ] × [ 0, 3 [ b) [ 0, 4 ] × [ − 1, 2 ]c) ] – 3, − 1 [ × ] – 2, − 4 [ d) [ 5, − 2 [ × ] 1, 4 ]

4. Sean U = { 1, 2, 3, 4, . . ., 15 }, A = { x ∈ U/ x es un número primo }B = { x ∈ U/x es un múltiplo de S} C = { x ∈ U/ x es un número par } yD = { x ∈ U/x es múltiplo de 3 }Encontrar:a) A ∩ B b) D ∩ A c) B ∪ Cd) Dc e) A – B f) (C ∪ D)c

5. Dados los conjuntosA = { 1, 2, 3, 4 } B = { 2, 5, 7 }C = { 4, 6, 8 } D = { 2, 3, 7 }

Encontrar los pares ordenados que corresponden a cada una de las siguientes relaciones:R1 : { A → D / (x, y) ∈ R1 : x – y = −1}R2 : { B → A / ( x, y) ∈ R2 : x + y ≥ 9 }R3 : { ( x, y ) ∈ D × A / y = x – 1}R4 : { (x, y ) ∈ B × C / x – y > 0 }

Función lineal y de segundo grado.

6. Señalar cuál o cuáles de las siguientes correspondencias son funciones:

a) b) c)

d) e)

7. Graficar las siguientes funciones lineales:

a) y = 4x b) y = 23 x c) y = 3

d) y = −x e) y = − 35 x f) y = − 2

3 x

123

567

8

A B

1

2

3

56

7

A B

4

1

2

3

56

7

A B

4 8

1

2

3

56

7

A B

4 8

1

2

3

56

7

A B

4 8


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

170

8. Graficar las siguientes funciones lineales:

a) y = x + 2 b) y = 13 x − 3 c) y = 2x + 1

d) y = − 2x + 4 e) y = − 13 x + 3 f) y = 6 − 3x

9. a) En la función lineal y = 2x + 1, cuando el intervalo de “ x ” es x ≥ − 2, encontrar el rango.b) En la función lineal y = − 2x + 6, cuando el intervalo de “ x ” es 0 ≤ x ≤ 3, encontrar el rango.

10. a) La línea recta y = 4x + 1, ¿cómo se ha movido de la línea recta y = 4x?. Graficar esas dos líneasrectas.

b) La línea recta y = −2x + 6, ¿cómo se ha movido de la línea recta y = −2x?. Graficar esas doslíneas rectas.

11. a) Cuando se mueve la línea recta y = 2x, 3 en el eje “ x ”, 2 en el eje “ y ”, encontrar la ecuación.b) Cuando se mueve la línea recta y = − x, −2 en el eje “ x ”, 2 en el eje “ y ”, encontrar la ecuación.

12. Determinar la ecuación del eje de la parábola, las coordenadas del vértice, y graficar:a) y = − ( x + 1 )2 b) y = 3( x − 3 )2

c) y = − x2 + 9 d) y = x2 − 4

13. a) Encontrar la ecuación de la parábola que resulta de mover y = x2, 3 en el eje “ x ”, 1 en el eje“ y ”. Graficar las dos parábolas.

b) Encontrar la ecuación de la parábola que resulta de mover y = −2x2, −1 en el eje “ x ”, 5 en el eje“y ”. Graficar las dos parábolas.

14. Determinar la ecuación del eje de la parábola y las coordenadas del vértice, y graficar:a) y = ( x + 2 )2 + 1 b) y = 2( x − 1 )2 − 3c) y = − ( x − 3 )2 + 8 d) y = − 2( x + 2 )2 − 1

15. Encontrar la ecuación del eje de la parábola y las coordenadas del vértice, y graficar.a) y = x2 − 4x + 5 b) y = x2 − 6x c) y = 2( x − 1 )( x − 3 )

d) y = −2x2 − 4x −1 e) y = −2x2 + 4x +1 f) y = 12 x2 + x + 3

2

16. a) El gráfico de la función de segundo grado y = 2x2 − 20x + 53, ¿cómo se ha movido de la funciónde segundo grado y = 2x2 − 8x + 9?

b) El gráfico de la función de segundo grado y = −3x2 − 18x −28, ¿cómo se ha movido de la funciónde segundo grado y = −3x2 − 6x + 1?

17. Encontrar la función de segundo grado de tal manera que el gráfico cumpla las condiciones si-guientes:a) Pasa por tres puntos (−1 ,−2 ) , ( 2 , 1 ) y ( 3 ,−2 ).b) Las coordenadas del vértice es el punto ( 1 , 0 ) y pasa por el punto ( 3 , 8 ).c) La ecuación del eje es x = 1, y pasa por dos puntos ( 2 , 1 ) y (−1 , 7 ).d) Intersecta al eje “ x ” en los puntos (−1 , 0 ) y ( 4 , 0 ) , y pasa por el punto ( 1 , 6 ).e) Toca al eje “ x ” en el punto (−1 , 0 ) , y pasa por el punto ( 1 , 8 ).

18. Encontrar el valor máximo y el valor mínimo de las funciones siguientes:a) y = ( x + 2 )2 − 4 b) y = − x2 − 2x + 2c) y = − x2 + 4x d) y = 2x2 + 4x − 1

19. Encontrar el valor máximo y el valor mínimo de las funciones siguientes:a) y = x2 − 6x+11, ( 2 ≤ x ≤ 5 ) b) y = 2x2 − 4x −1, ( 1 ≤ x ≤ 3 )c) y = − x2 + 5, (−1 ≤ x ≤ 2 ) d) y = −3x2 + 6x +2, (−1 ≤ x ≤ 2 )

20. a) Para la función de segundo grado y = −x2 + 4, cuando el intervalo de “ x ” es x ≤ 11, encontrar elrango.


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

171

b) Para la función de segundo grado y = 3x2 + 6x − 2, cuando el intervalo de “ x ” es 0 ≤ x ≤ 1,encontrar el rango.

c) Para la función de segundo grado y = −x2 + 4x − 1, cuando el intervalo de “x” es 1 ≤ x ≤ 4,encontrar el rango.

21. a) Cuando x + y = 2, encontrar el valor máximo o el valor mínimo de z = x 2 + y 2.b) Cuando 4x + y = 2, encontrar el valor máximo o el valor mínimo de z = xy.

22. a) Cuando x ≥ 0, y ≥ 0, x + y = 4, encontrar el valor máximo y el valor mínimo de z = xy.b) Cuando x2 + y2 = 1, encontrar el valor máximo y el valor mínimo de z = 2x2 + y2 − 2x.

23. En un cuadrado ABCD donde los lados miden 2cm , se toman tres puntos P , Q y R donde cada unoestá en los lados AB, BC y CD, y además AP = x, BQ = 2x, CR = 3x, en este caso,a) Expresar el área del triángulo PQR en términos de la variable x.b) Encontrar el valor mínimo del área del triángulo PQR .

24. Encontrar las coordenadas de los puntos de intersección del eje “ x ” y la parábola:a) y = x2 − 2x − 8 b) y = −x2 + 4x − 3c) y = − 9x2 + 6x −1 d) y = 2x2 + x − 6

25. Investigar la relación de las parábolas siguientes con el eje “ x ”:a) y = x2 − 4x + 2 b) y = 2x2 − 3x + 2c) y = 2x2 + 3x − 1 d) y = − 4x2 + 4x − 1

26. a) Cuando la parábola y = x2 − 2( a − 5 )x + a 2 − 4a − 2 con el eje “ x ” se intersectan en dospuntos diferentes, encontrar el intervalo de “a”.

b) Cuando la parábola y = x2 + ( k − 2 )x − k + 5 toca al eje “ x ”, encontrar el valor de “k”.

27. Encontrar las coordenadas de los puntos de intersección de la parábola con la línea recta:a) y = x2 − 2x − 1, y = − 2x − 4 b) y = −x2 − 2, y = 2x −1c) y = 3x2 − x −3, y = −3x − 2

28. Investigar la relación de la parábola con la línea recta:a) y = 4x2 − 6x + 3, y = 6x − 6 b) y = 3x2 + x + 1, y = −x −1c) y = −2x2 + x + 3, y = −3x + 4

29. a) Cuando la parábola y = x2 − 2x − 3 toca la línea recta y = a x − 2a − 7, encontrar el valor de “a”.

b) Cuando la parábola y = x2 + 2k x − k2 −1 con la línea recta y = x + 3k no se intersectan ni setocan, encontrar el intervalo de “k”.

Función inversa, fraccionaria e irracional

30. Encontrar las funciones inversas siguientes:

a) y = 2x − 3 b) y = 13 x − 4

c) y = 4x + 1, ( 0 ≤ x ≤ 1 ) d) y = 15 x − 3, ( 5 ≤ x ≤ 10 )

31. Graficar las funciones fraccionarias siguientes:

a) y = − 3x b) y = 4

x c) y = 12 x


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

172

32. Encontrar las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola y graficar.

a) y = 11x− b) y = 2

x + 1 c) y = 22x− + 2

d) y = − ++x

x1

1 e) y = − +−

2 31

xx f) y = 2 5

3x

x−

−

33. a) El gráfico de la función y = 32x− + 1, ¿cómo se ha movido del gráfico de la función y = 3

1x+ ?

b) El gráfico de la función y = 3 1xx− , ¿cómo se ha movido del gráfico de la función y = x

x++

12 ?

c) El gráfico de la función y = 21

xx− , ¿cómo se ha movido del gráfico de la función y = 3 7

3xx

−− ?

34. Encontrar el rango de las funciones siguientes:

a) y = 21

xx+ , ( x > − 1 ) b) y = 3 2

1xx

+− , ( x ≥ 0 )

c) y = xx++

21 , (−3 ≤ x < 0, x ≠ −1 )

35. Encontrar la ecuación de la hipérbola de tal manera que el gráfico cumpla las condiciones siguien-tes, cuando:a) Las asíntotas son x = 2, y = −1 y pasa por el punto ( 3 , 2 ).b) Las asíntotas son x = 1, y = 2 y pasa por el punto origen ( 0 , 0 ).

36. Encontrar las coordenadas del punto de intersección de la hipérbola con la línea recta. Despuésutilizando sus gráficos encontrar el intervalo para x que satisface la desigualdad.

a) hipérbola: y = 43x− , línea recta: y = x, desigualdad: 4

3x− ≤ x

b) hipérbola: y = 3 61

xx

−− , línea recta: y = −x + 2, desigualdad: 3 6

1xx

−− > − x + 2

37. Graficar las funciones irracionales siguientes:

a) y = − x b) y = −x c) y = − −2 x d) y = − +x 1

38. Explicar el movimiento paralelo , y graficar las funciones irracionales siguientes:

a) y = 2 4x − b) y = − −x 2 c) y = 5 − x d) y = − − −x 3

39. Encontrar el rango de las funciones siguientes:

a) y = x + 2 ( 2 ≤ x ≤ 7 ) b) y = 4 2− x (−6 ≤ x ≤ 0 )

40. Encontrar la función inversa de las funciones siguientes:

a) y = x +1 b) y = x −1 c) y = 2 − x , (−2 ≤ x ≤ 1 )d) y = x2 − 2, ( x ≥ 0 ) e) y = 9 − x2, ( x ≤ 0 )

41. Encontrar las coordenadas del punto de intersección de cada par de gráficos:

a) y = x + 3 , y = x + 1 b) y = x + 5 , y = x − 1

c) y = 2 − x , y = −x d) y = x −1 , y = 2x − 3

42. Utilizando los gráficos (1) y (3) del EJERCICIO 36, resolver las desigualdades:

a) x + 3 < x + 1 b) 2 − x > −x

Función exponencial

43. Encontrar los valores siguientes:

a) −273 b) 49 c) 6254 d) 1 0003 e) −325


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

173


a) 3 93 3 b) 643

c) 96

3

5

5 d) ( 256 )3


a) 1634 b) 125

23 c) 10 0000.25 d) ( )8

27

23


a) a a a12

34

14× ÷ b) ( ) ( )a b ab

12

34

124 2÷ −

c) 2 4 23 6× ÷ ( ) d) 81 27 33 6÷ ×

47. Graficar las funciones exponenciales:

a) y x= ( )32 b) y x= ( )2

3

48. Demostrar que los gráficos de la funciones exponenciales y = 4x e y = ( 14 )x son simétricas con el

eje “ y ”.

49. Ordenar los números siguientes de menor a mayor:

a) 3−2, 3, 3−3 , 30, 32 b) ( )45

3, ( )45

2− , 1 , ( )45

2

c) ( 0.5 )−3 , ( 0.5 )−1 , ( 0.5 )2 , ( 0.5 )4 d) 32 , 2

3 , ( )32

2− , ( )32

3

50. Cuando 0 ≤ x ≤ 2, encontrar el valor máximo y mínimo de la función y x x= − ++9 2 3 111( )( ) .

51. Resolver las ecuaciones siguientes:a) 9x = 27 b) 32x = 4 c) 125x = 25d) 3x + 2 = 243 e) 43 = 8x ( x + 1 )

52. Resolver las ecuaciones siguientes:a) ( 2x )2 − 6( 2x ) + 8 = 0 b) 2( 4x ) − 9( 2x + 2 ) + 4 = 0c) 4x − 3( 2x+1 ) −16 = 0 d) 32x + 1 + 2( 3x ) −1 = 0

53. Resolver las desigualdades siguientes:

a) 4 164

x < b) 8 12

x > c) ( )12 32x < d) ( )1

3127

x >

54. Resolver las desigualdades siguientes:a) 4x − 2x + 2 − 32 ≥ 0 b) 32x − 8( 3x ) − 9 ≤ 0c) 9x − 25( 3x ) − 54 > 0 d) 25x – 26( 5x ) + 25 < 0

55. Cuando 3x + 3−x = 4, encontrar los valores siguientes:a) 9x + 9−x b) 27x − 27−x

Función logarítmica

56. Cambiar a la forma r = log a R:

a) 32 = 9 b) 28 = 256 c) 103 = 1 000 d) 70 = 1 e) 5−3 = 1125

57. Cambiar a la forma ar = R:

a) log2128 = 7 b) log31 = 0 c) log464 = 3 d) log5 125

= −2


C

A

P

Í

T

U

L

O

III

174

58. Encontrar los valores siguientes:a) log31 b) log10100 c) log2512 d) log93

e) log 12

4 f) log84 g) log319 h) log9 27

59. Utilizando log10 2, log10 3, expresar lo siguiente:

a) log10 6 b) log10 54 c) log101

12 d) log10 5

60. Simplificar lo siguiente:

a) log2100 − 2 log2 5 b) log280 − log2 5 c) 2 log102 + log10 25

d) log312 + log315 − log320 e) 3 log223 + 2 log2

34 + log2 6

61. Simplificar lo siguiente:a) (log )(log )(log )(log )3 2 5 92 5 9 3 b) ( log34 + log94 )( log227 − log49 )

c) ( log34 + log916 )( log48 + log163 )

62. Graficar lo siguiente:a) y = log4 x b) y = −log3 x c) y = log2( 2x − 4 )

d) y = log 12

x e) y = log15

x

63. Encontrar el rango:a) y = log3 x, ( 3 ≤ x ≤ 27 ) b) y = log5 x, ( 1 ≤ x ≤ 25 )

c) y = log 12

x , ( 2 ≤ x ≤ 16 ) d) y = log 14

x , ( 1 ≤ x )

64. Ordenar de menor a mayor:

a) log 123, 0, log 1

22, log 1

2

13 b) log3

12 , log34, 0, log31

65. Resolver las ecuaciones logarítmicas:

a) log5( 3x − 2 ) = 2 b) log 12( 2x + 1 ) = −1

c) log2( x + 1 ) + log2 x = 1 d) log2( x − 1 ) + log2( x − 2 ) = 1e) log6 x + log6( x − 5 ) = 2 f) log102x + log10( x − 5 ) = 2g) log4( x2 − 6x ) = 2 h) log4( x2 − 3x − 10 ) = log4( 2x − 4 )

66. Resolver las ecuaciones logarítmicas:a) ( log2 x )2 − 5 log2 x + 6 = 0 b) 2 log2( x − 1 ) − log2 ( x − 2 ) = 2c) log3 x + 2 logx 3 = 3

67. Resolver las ecuaciones logarítmicas:a) log3( x2 + 6x + 5 ) − log3( x + 3 ) = 1 b) log2( 3 − x ) − 2 log2( 2x − 1 ) = 1c) log2( x − 4 ) − log2( x − 1 ) = 1

68. Resolver las desigualdades logarítmicas:a) log4( x − 2 )< 1 b) log2( 1 − x ) > 2

c) log3( x + 2 ) ≤ 2 d) log 12( x − 1 ) ≥ 2

69. Resolver las desigualdades logarítmicas:a) log3x + log3( x − 2 ) ≤1 b) log2( x + 1 ) + log2( x − 2 ) < 4

c) 2 log3x + 1 > log3 ( 2x + 1 ) d) log13( x2 − 2x − 15 ) ≥ log1

3( 3x − 9 )


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175

70. Encontrar el valor máximo y mínimo de las funciones siguientes:

a) y = ( log3x )2 − 6 log3x − 5 ( 1 ≤ x ≤ 9 ) b) y = − ( log2x )2 + log2x2 + 3, ( 1

2 ≤ x ≤4 )


a) log 10 b) log 1100 c) log 100 000 d) log 0.0001

72. Utilizando la tabla de logaritmos, encontrar los valores siguientes.a) log 20.5 b) log 820 c) log 59 200 d) log 0.643 e) log 0.0574

73. Utilizando la tabla de logaritmos, encontrar los valores:

a) log38 b) log95 c) log25 d) log412

74. a) Utilizando log 2 = 0.3010, encontrar el número de cifras de 2100.b) Utilizando log 3 = 0.4771, encontrar el número de cifras de 35 0.

75. La población de un país es de 6 millones. Cuando la proporción del aumento de la población es5 % y además es fija, ¿cuántos años necesita para duplicarse?


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CAPÍTULO

SUCESIONESUna leyenda hindú relata que un rey se aburría mucho y decidió convocar a un concurso entre sus súbditos paraver quien le mostraba el juego más interesante.

Ninguno de los juegos que le presentaron al rey logró cautivar su interés hasta que un sabio le enseñó a jugar alajedrez. El rey quedó tan entusiasmado que decidió conceder al sabio todo lo que le pidiese.

Humildemente, el sabio pidió al rey que se conformaría con llevarse el trigo que cupiera en el tablero de ajedrez,de modo que 1 grano de trigo en la primera casilla, 2 granos en la segunda, 4 granos en la tercera, 8 granos enla cuarta y así sucesivamente.

El rey quedó muy sorprendido ante tan extraña petición pero como había empeñado su palabra, ordenó a sussirvientes que complacieran el deseo del sabio.

Desgraciadamente pronto comprobaron que no había suficiente grano en todo el reino para pagar la recompensasolicitada.

Evidentemente esa situación tan embarazosa no habría sucedido si, previamente, se hubiera estudiado elcrecimiento de las progresiones geométricas.

También se puede practicar otro juego como el siguiente:

Pensar un número natural y luego multiplicarlo por 3. Además, pensar otro número natural y repetir con ellos lamisma operación.

Si se hace este proceso en forma ordenada tomando el conjunto de los números naturales

N = { 1, 2, 3,L } y se comienza con el 1, luego con el 2, con el 3 y así sucesivamente, se obtiene:1 • 3 = 32 • 3 = 63 • 3 = 94 • 3 = 12 K

Al observar detenidamente el proceso utilizado, se nota que a cada número natural se le hace corresponder sutriplo, mediante la operación “ multiplicar por 3 ”.

De esta manera se puede decir que se ha establecido una función con:Dominio N yRango f (n ) = 3n, ∀n ∈ N.

A la función que tiene como dominio al conjunto N, se le llama “ sucesión ” y a las imágenes de dicha funciónse les llama “ términos de la sucesión ”.

En este capítulo se estudiará dos tipos especiales de sucesiones: las aritméticas y las geométricas.


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Repaso

Se expresa por [ a, b] y se lee “intervaloentre a y b”

Intervalos

Intervalo entre dos números “a” y “b” se define como el valorabsoluto de la distancia que existe entre ellos.

Los intervalos pueden ser abiertos, cerrados y semiabertos osemicerrados.

Si se tienen los números a y b, con a ≤ b, se llama intervalocerrado con extremos a y b al conjunto formado por todos losnúmeros reales “iguales o mayores que a” e “iguales o menoresque b”.

Para escribir un intervalo cerrado, se encierran entre corchetessus dos extremos, separados por una coma así: [ a, b ]

Dados dos números a y b con a < b, se llama intervalo abiertocon extremos a y b al conjunto de números reales “mayores quea” y “menores que b”

Los intervalos abiertos se representan encerrados sus extremosentre corchetes y separados por una coma: ] a, b [.

Ejemplos

1) Intervalos cerrados: [5, 10] ; [− 1, 0] ; [ 13 , 4].

2) Intervalos abiertos: ] − 8, 2[ ; ]6, 9[ ; ]0.25, 3[.

3) Intervalos semiabiertos: ]7, 13 ] ; ] 110 , 8

10 ].

Los intervalos cuyos extremos son números reales se llamanintervalos limitados o finitos.

Los intervalos que tienen en alguno de sus extremos el símboloinfinito, se llaman intervalos infinitos o ilimitados.

Intervalos y Entornos

A todo intervalo le corresponde un segmento de recta y,recíprocamente, a todo segmento le corresponde un intervalo.

También, se pueden expresar por la dobledesigualdad:

a ≤ x ≤ b.

Otra forma de expresar los intervalosabiertos, es por la doble desigualdad:

a < x < b

Son intervalos limitados o finitos lossiguientes:[ 3 , 4 ] ; [− 3 , − 1 ]

Ejemplos: ] − ∞ , 4 ] ; [0, ∞ [


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Capital inicial (C), es el capital colocadoen el negocio.

Interés (I), es la ganancia que se obtiene.

Capital final (F), es el resultado de sumarel C + I producido en un tiempo determi-nado.

Tanto por ciento (%) o rédito (r), es elinterés producido por un dólar en un año.

Tanto por uno (i), es la ganancia produci-da por un dólar en un año; es la centési-ma parte del rédito.

Ejemplos

Representar en la recta numérica los siguientes intervalos.

Solución1) Intervalo cerrado: [− 3, 2]

2) Intervalo abierto: ]1, 5 [

3) Intervalo semiabierto: [− 5, ∞ [

4) Intervalo abierto: ] − ∞, −3 [

Ejercicio 1

Representar en la recta los siguientes intervalos:

a) [ −5, 1[ c) ]1, 6 [ e) [ 2, 0 ] g) ] − ∞, 1 ]

b) ]−3, 6 ] d) ]−2, 5 ] f) [ 0 , 7 [ h) [ − 6 , ∞ [

Interés Simple

Cuando se deposita capital en un Banco o Empresa, éstos sebenefician de él, y parte de este beneficio se distribuyen enforma de intereses.

Los problemas de interés simple son problemas deproporcionalidad en los que intervienen tres magnitudes:

Capital ( C ),

Tiempo ( T ) y

Ganancia ( i )

La fórmula para encontrar el Interés es:

I = C • T • i

Ejemplo

¿Qué capital colocado al 6 % produce $4 500 de interés en 3años?

–3 –2 –1 0 1 2

1 2 3 4 5

–5

–3–


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Capital al finalizar el primer año:$27 500.00

Rédito producido durante elsegundo año es de $ 2 750.00

SoluciónComo el rédito es 6, entonces i = 0.06Despejando C en la fórmula I = C • T • i, se tiene que:

C IT i= •

Sustituyendo C = ×$ .

$ .4 500 00

3 0 06

C = $25 000.00 ••• Resp.

Interés Compuesto

En el interés simple el capital permanece siempre el mismo y entiempos iguales produce intereses iguales.

Cuando los intereses producidos por un capital se vanacumulando a éste, de tiempo en tiempo, para producir nuevosintereses, el interés se llama interés compuesto.

El intervalo de tiempo, al cabo de los cuales los intereses sesuman al capital, se llama período de capitalización o deacumulación. Dicho período generalmente es de un año.

Ejemplo

Un capital de $25 000.00 a un rédito del 10% de interés simple,cada año produce un interés de $2 500.00. Si el mismo capital secoloca al 10% de interés compuesto, el primer año produce uninterés de $ 2 500.00 que se acumulan al capital inicial, es decir,( $25 000.00 + $2 500.00 ).

Durante el segundo año, el nuevo capital, que es de $ 27 500.00producirá un interés de $2 750.00 es decir, (r). Como se ve, losintereses del primer año han producido ellos mismos nuevosintereses en el segundo año.


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180

Al conjunto de números formados deacuerdo a una regla se le conoce con elnombre de “ sucesión ” .

Cada número de la sucesión es llamado“ término ”.

Ejemplo: “a1 ”: primer término “ a2 ”: segundo término “ a3 ”: tercer término “ a4 ”: cuarto término“ an ”: término general.

1. Sucesiones

Considerar los números siguientes:

1, 3, 5, 7, 9, 11,L , ó 2, 4, 6, 8, 10, 12,L.

Estos conjuntos se han formado de acuerdo a una regla ygeneralmente se expresan así:

a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , L, an , L .

Además, “a1 ” recibe el nombre de “ primer término ” y al“enésimo término an ”, se le llama “ término general ”.

Ejercicio 2

Colocar en cada cuadro ( ), el número que complementa cada sucesión:

a) 1, 4, 7, 10, , , L b) 15, , 7, 3, −1, , L

c) 3, , 15, 21, , 33, L d) 2, , 8, 16, , 64, L

e) , , 1, 3, 9, , 81, L f) 1, , 1, −1, , −1, L

g) 1, , 9, , 25, 36, L h) 1, 2, 4, 7, 11, 16, , , L

i) 1, 1, 2, 3, 5, 8, , 21, 34, L j) 5, 55, , 5 555, , L


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181

Normalmente se utilizan lassiguientes letras.“a ” : el primer término“d ” : el intervalo o diferencia“l ” : el último término“n ” : el número de términos

2. Sucesiones aritméticas.

La sucesión 2, 5, 8, 11, 14, 17, L se forma sumando 3 al primertérmino y así sucesivamente.

Por lo general a la sucesióna1, a2, a3, a4, a5, L, an , L,

si todos los términos se han obtenido sumando un número fijo alanterior término, se le llama “ sucesión aritmética ” y elnúmero fijo se llama “ intervalo ”.

Ejercicio 3

Las siguientes sucesiones son aritméticas, en cada caso encontrar el intervalo y colocar el númeroadecuado en cada .

a) 1, 6, 11, , , L b) 2, , −2, − 4, , L

Deducción de la fórmula general de las sucesiones aritméticas

Cuando el primer término es “a ” y el intervaloo diferencia es “d ”

entonces, a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , L, an−1, an , L,

d + d + d + d + d + L + d + d + d L

es decir, a1 = aa2 = a1 + d = a + da3 = a2 + d = ( a + d ) + d = a + 2da4 = a3 + d = ( a + 2d ) + d = a + 3da5 = a4 + d = ( a + 3d ) + d = a + 4d•

•

•

an = an−1 + d = a + ( n−1 )d

En una sucesión aritmética, cuando “a ” es el primer término y “d ” es el intervalo o diferencia,el término general “ an ” es:

an = a + ( n−1 )d


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182

Suponer las letras:“a ”: el primer término“d ”: el intervalo“n ”: el número de términos

Al sustituir los datos en la fórmula:an = a + ( n − 1 )d, se obtiene:

an = 3n + 1

Suponer que:“a ”: el primer término“d ”: el intervalo“n ”: el número de términos

Al sustituir los datos en la fórmula:an = a + (n−1)d, se obtiene qued = − 7

Ejemplos

En cada sucesión aritmética, encontrar el término general an .

1) 4, 7, 10, 13, 16, 19, L

2) 22, 15, 8, 1,− 6, −13, L

Solución1) El primer término es 4 y el intervalo es 3, entonces, el

término general an es:an = 4 + ( n − 1 )(3) = 3n + 1 ••• Resp.

2) El primer término es 22 y el intervalo es −7, entonces, eltérmino general an es:an = 22 + ( n − 1 )(−7 )

= 22 − 7n + 7 = −7n + 29 ••• Resp.

Ejercicio 4

Con base en los datos del Ejercicio 2, encontrar el término general “an” y el décimo término “a10” .

Ejemplo

En una sucesión aritmética, cuando el primer término es 100y el séptimo término “a7” es 58, encontrar el intervalo “d ”y el término general an .

SoluciónEl término general an es así: an = 100 + ( n − 1 )d ahora elséptimo término a7 = 58, entonces,

100 + ( 7 − 1 )d = 586d = − 42

por eso, d = − 7 ••• Resp.Por lo tanto, el término general an es:

a = 100 + ( n − 1 )(−7 )= − 7n + 107 ••• Resp.

Ejercicio 5

En una sucesión aritmética, cuando el primer término es − 5 y el décimo término (a10) es 22, encontrar elintervalo “d” y el término general an , luego encontrar el valor del quinto término (a5) y el vigésimotérmino (a20).


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185

Sn = S7 , a = 100n = 7l = 40

Sn = S10 a = − 4,n = 10d = 5

Sustituir los datos en la fórmula:

Sn = 12 n( a + l )

o en Sn = 12 n{ 2a + (n − 1)d }.

Despejar la incógnita o dato a encontrar.

2) El primer término es − 4, el intervalo es 5 y el número detérminos es 10.

Solución

1) S7 = 12 (7)( 100 + 40 ) = 490 •••Resp.

2) S10 = 12 (10){ 2 (− 4 ) + ( 10 − 1 )(5) }

= 185 ••• Resp.

Ejercicio 9

En una sucesión aritmética, encontrar la suma si se tienen los siguientes datos:a) El primer término es 80, el último término es 60 y el número de términos es 8.b) El primer término es 8, el intervalo es 3 y el número de términos es 20.

Ejemplos

En una sucesión aritmética, cuando:

1) El primer término “a ” es 6 y la suma S8 es 128, encontrar eloctavo término (a8).

2) El primer término “a ” es −10 y la suma S10 es 35, encontrarel intervalo “d ”.

3) El intervalo “d ” es 4 y la suma S20 es 920, encontrar elprimer término “a ”.

4) El primer término “a ” es 12, el intervalo “d ” es −2 y la sumaSn es −14, encontrar el número de términos “n ”.

Solución1) Como a = 6, S8 = 128, n = 8

S8 = 12 (8) (6 + a8 ) = 128

entonces, a8 = 26 ••• Resp.

2) Como a = −10, S10 = 35,

S10 = 12 (10) { 2 (−10 ) + ( 10 −1 )d } = 35

entonces, d = 3 ••• Resp.

3) Como d = 4, S20 = 920,

S20 = 12 (20) { 2a + ( 20 − 1 ) (4) } = 920

entonces, a = 8 ••• Resp.

4) Como a = 12, d = −2, Sn = −14,

Sn = 12 (n) { 2 ⋅ 12 + ( n − 1 )(−2 ) } = −14


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186

El número de términos “n” es un númeronatural, por lo tanto el valor de “n” es 14.

Suponer que:“a ” : el primer término“d ” : el intervalo y la suma

Sn = 12 n{ 2a +(n − 1)d }.

Sustituir los datos en la fórmula

Sn = 12 n( a + l ) o en

Sn = 12 n { 2a + (n − 1)d } para encontrar

los valores de las incógnitas a y d.

Sn = 12 n(−2n + 26 ) = −14

= n(−n + 13 ) = −14= − n2 + 13n = −14= n2 − 13n − 14 = 0= ( n − 14 )( n + 1 ) = 0 ∴ n = 14 , −1

n = 14 ••• Resp.

Ejercicio 10

En una sucesión aritmética, cuando:a) El primer término “a ” es 5 y la suma S9 es 153, encontrar el noveno término (a9).b) El primer término “a ” es 30 y la suma S21 es 0, encontrar el intervalo “d ”.c) El intervalo “d ” es −3 y la suma S12 es 42 , encontrar el primer término “a ”.d) El primer término “a ” es −10, el intervalo “d” es 3 y la suma Sn es 4, encontrar el número de

términos “n ”.

Ejemplo

En la suma Sn de una sucesión aritmética, cuandoS5 = 35, S15 = 330, encontrar el primer término y el intervalo.

SoluciónComo S5 = 35, S15 = 330, por ésto

S5 = 12 (5) { 2a + ( 5 − 1 )d } = 35

S15 = 12 (15) { 2a + ( 15 − 1 )d } = 330

Al simplificar las ecuaciones,2a + 4d = 142a + 14d = 44

se obtienen los valores a = 1, d = 3Por lo tanto, el primer término es 1 y el intervaloes 3 ••• Resp.

Ejercicio 11

En la suma Sn de una sucesión aritmética, cuando S6 = −3, S10 = 55, encontrar el primer término y elintervalo.

Ejercicio 12

a) En la sucesión aritmética donde el primer término es 20 y el intervalo es −3, ¿cuántos términos sonnecesarios para que la suma de los términos resulte por primera vez un número negativo?

b) En la sucesión aritmética donde el primer término es −30 y el intervalo es 2, ¿cuántos términos sonnecesarios para que la suma de los términos resulte por primera vez un número positivo?


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187

La sucesión 2, 5, 8,L, 95, 98, se obtieneasí:3 × 0 + 2, 3 × 1 + 2, 3 × 2 + 2,L,3 × 31 + 2, 3 × 32 + 2.

En toda sucesión aritmética { an } ⇔ laresta o diferencia “an+1−an ” es constante.Este valor es el intervalo “d ”.

Demostrar que el intervalo de“an+1” y “an” es constante.

Encontrar el primer término, con el valordel intervalo.

Ejemplo

Con los números enteros desde 1 hasta 100, encontrar la sumade los números tal que al dividir por 3 sobran 2.

SoluciónSea la sucesión: 2, 5, 8,L, 95, 98.En esta sucesión, el primer término es 2, el últimotérmino es 98 y el número de términos es 33,entonces, la suma Sn es:

Sn = 12 (33) ( 2 + 98 ) = 1 650 •••Resp.

Ejercicio 13

Con los números enteros del 1 hasta 100, encontrar la suma de:a) Los números que son múltiplos de 3.b) Los números que no son múltiplos de 3.

Ejercicio 14

Con los números enteros desde 1 hasta 100, encontrar la suma de los números tal que al dividir por 4sobra 1.

Ejemplo

Con el término general an , cuando an = −2n + 5, demostrar quela sucesión { an } es una sucesión aritmética, además encontrarel primer término e intervalo.

Soluciónan+1− an ={−2( n + 1 ) + 5 } − (− 2n + 5 )

= − 2n − 2 + 5 + 2n − 5 − 2Como la resta “an + 1 −an ” es constante, entonces,la sucesión { an } es una sucesión aritmética, y elintervalo es −2.Luego, el primer término es a1 = − (2)(1) + 5

= 3 ••• Resp.

Ejercicio 15

Con el término general an , cuando an = 5n − 3, demostrar que la sucesión { an } es una sucesiónaritmética, además, encontrar el primer término y el intervalo.


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188

Generalmente se utilizan las siguientesletras.“a ”: el primer término“r ”: la razón“n ”: el número de términos

Como puede observarse, cada términodespués del primero se forma multiplican-do el anterior por la razón “r ”.

Cuando “a ” es el primer término y “r ” es la razón, entonces el término general “ an ”es:

an = ar n − 1

4. Sucesiones geométricas.

La sucesión 1, 2, 4, 8, 16, 32,L se forma multiplicando por 2cada uno de los términos comenzando con el primer término 1.

Dada la sucesióna1, a2, a3, a4, a5, L, an , L,

cuando todos los términos se han obtenido multiplicando eltérmino anterior por un número fijo, es llamada “ sucesióngeométrica ” y este número fijo se llama “ razón ”.

Ejercicio 16

Las siguientes sucesiones son geométricas, en cada caso encontrar la razón y colocar el resultado en elcuadro.

a) 8, 4, 2, , , L b) , − 19 , 1

3 , , , L

Deducción de la fórmula general de las sucesiones geométricas.

Cuando el primer término es “a ” y la razón es “r ” entonces,

a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , …, an−1 , an , …,

× r × r × r × r × r … × r × res decir, a1 = a

a2 = a1 (r) = ara3 = a2 (r) = ( ar )r = ar 2

a4 = a3 (r) = ( ar 2 )r = ar 3

a5 = a4 (r) = ( ar 3 )r = ar 4

•

•

•

an = an−1 (r) = ( ar n − 2 )r = ar n−1


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192

Recordar que:“a ”: el primer término“r ”: la razón“n ”: el número de términos


Sn = a rr

a rr

n n( ) ( )11

11

−−

−−=

Encontrar el valor de la incógnita en cadacaso.

la suma es:

S6 = 6 1 2

1 2

8− −{ }− −

( )( ) = 2( 1 − 256 ) = − 510 ••• Resp.

Ejercicio 20

Encontrar la suma de la sucesión geométrica con los datos siguientes:

a) El primer término es − 2, la razón es 3 y el número de términos es 5.

b) El primer término es 48, la razón es 12 y el número de términos es 6.

c) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512.

Ejemplos

En cada sucesión geométrica, realizar lo siguiente, cuando,

1) El primer término es 4, la razón es − 2 y la suma Sn es − 84,encontrar el número de términos “n ”.

2) La razón es − 3, la suma S5 es 183, encontrar el primertérmino “a ”.

3) El primer término es 2, la suma S3 es 42, encontrarla razón “r ”.

Solución1) Sn = − 84, r = − 2, a = 4

4 1 21 2− −{ }− −

( )( )

n

= − 84

1 − (− 2 )n = − 63(− 2 )n = 64(− 2 )n = (− 2 )6 ∴ n = 6 ••• Resp.

2) S5 = 183 r = − 3, a = 4

a 1 3

1 3

5− −{ }− −

( )

( ) = 183

a{ 1− (− 243 ) } = 183 × 4a{ 1− (− 3 )5 } = 183 × 4

∴ a = 3 ••• Resp.

3) S3 = 42, a = 2

2 11

3( )rr

−− = 42

2 1 11

2( )( )r r rr

− + +− = 42


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193

Resolver la ecuación de segundo gradopor factorización.

r 2 + r + 1 = 21

r 2 + r − 20 = 0

( r − 4 )( r + 5 ) = 0

∴ r = 4, − 5 ••• Resp.

Ejercicio 21

Realizar en cada caso lo que se le indica:

a) El primer término es 3, la razón es 2 y la suma Sn es 381, encontrar el número de términos “n ”.

b) La razón es −2, la suma del primero hasta el décimo término (S10) es −1 023, encontrar el primertérmino “a ”.

c) El primer término es 4, la suma del primero hasta el tercer término (S3) es 52, encontrar la razón “r ”.


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IV

194

Para resolver este tipo de problemasutilizar el proceso para las sucesionesgeométricas.

Escribir los datos de algunos meses.

Recordar que:“a ”: el primer término“r ”: la razón“n ”: el número de términos


Sn =a r

ra r

r

n n( ) ( )11

11

−−

−−=

Efectuar las operaciones indicadas.

6. Aplicación de las Sucesiones Geométricas en elcálculo del Interés Compuesto.

Ejemplo

Al principio de cada mes, se depositan mil dólares en un banco aun plazo de 1 año al 5 % de interés mensual, calcular el monto.( Utilizar ( 1.05 )12 = 1.796 )

SoluciónAl principio del primer mes $1,000,al final de primer mes $1,000 + 1,000 × 0.05 = 1,000 × 1.05

Al principio del segundo mes $1,000 + 1,000 × 1.05

al final del segundo mes,

$( 1,000 + 1,000 × 1.05 ) + (1,000 + 1,000 × 1.05)

× 0.05 = ( 1,000 + 1,000 × 1.05 ) × 1.05

= 1,000 × 1.05 + 1,000 × ( 1.05 )2

= 1,000 × { 1.05 + ( 1.05 )2 }

Al principio del tercer mes$1,000 + 1,000 × {1.05 + (1.05)2 }al final del tercer mes

$1,000 + 1,000 × { 1.05 + ( 1.05 )2 }

+ [ 1,000 + 1,000 × { 1.05 + ( 1.05 )2 } ] × 0.05

= [ 1,000 + 1,000 × { 1.05 + ( 1.05 )2 } ] × 1.05

= 1,000 × { 1.05 + ( 1.05 )2 + ( 1.05 )3 }

al final del cuarto mes

$1,000 × { 1.05 + ( 1.05 )2 + ( 1.05 )3 + ( 1.05 )4 } L

al final del duodécimo mes, o sea dentro de 1 año

$1,000 × {1.05 + (1.05)2 + (1.05)3 + L + (1.05)12}

= 1,000 ×1 05 1 05 1

1 05 1

12. ( . )

.

−{ }−

= 16,716 ∴ $16,716 ••• Resp.

Ejercicio 22

Al principio de cada mes, se depositan 500 dólares en un banco durante 1 año al 6 % de interés mensual,calcular el monto. ( Utilizar (1.06)12 = 2.012 )


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197


1. Representar en la recta numérica los intervalos siguientes:

a) ] − ∝ , 113 ] c ) ] − 4, ∝ [

b ) [ 0, − 72 [ d) [ 0.5, 6.25 ]

2. Representar gráficamente:a) [ 2, ∝ [ ∩ [ 5, ∝ [ b) ] 4, 10 [ ∩ ] − ∝, 2]c) ] − ∝, 3 ] ∩ [0, ∝ [ d) ] 1, 7] ∪ [ 2, 8 ]

3. Colocar en cada cuadro ( ), el número más adecuado y que complemente cada sucesión:a) −3, 1, , 9, 13, ,L b) ,−1, 2, , 8,−16,Lc) 25, , 11, 4,−3, ,L d) , 243, , , 9, 3, 1,Le) −2,−1, 2, , 14, 23, ,L f) , 21, 15, 10, , 3, 1, 0,Lg) 0, 3, 8, , 24, 35, 48, , 80,L h) 1, 8, 27, 64, , 216, ,L

4. Encontrar el valor del intervalo o diferencia de las siguientes sucesiones aritméticas y colocarloen el .a) −3, 4, , , 25, 32, , 46,L b) , 5, 2, −1, ,−7, , −13,L

5. En cada sucesión aritmética, encontrar el término general “an” y el décimo término (a10).a) 1, 7, 13, 19, 25,L b) 12, 8, 4, 0, − 4,Lc) 5, 11, 17, 23, 29,L d) 15, 7, −1, − 9, −17,L

6. En una sucesión aritmética, cuando el primer término es −8 y el octavo término (a8)es 13, encontrarel intervalo “d ”, el término general “an” , el valor del quinto término (a5) y el décimo término(a10).

7. En una sucesión aritmética, cuando el intervalo es 4 y el séptimo término “a7” es 19, encontrar elprimer término “a ”.

8. En una sucesión aritmética, cuando el segundo término “a2” es 43 y el noveno término “a9” es 22,encontrar el término general “an” y el número de términos positivos.

9. En una sucesión aritmética, si el vigésimo término (a20) es 25, y el cuadragésimo término (a40) es105, encontrar lo siguiente:a) El término general “an” .b) El trigésimo término (a30) .c) El número de términos que son números negativos.

10. En una sucesión aritmética, encontrar la suma dado lo siguiente:a) El primer término es − 4, el último término es 50 y el número de términos es 10.b) El primer término es 2, el intervalo es 5 y el número de términos es 12.

11. En una sucesión aritmética, encontrar los valores que se piden si se tienen los datos siguientes:a) El primer término “a ” es 1 y la suma S10 del primero al décimo término es 160, encontrar el

décimo término (a10) .b) El primer término “a ” es − 6 y la suma S9 del primero al noveno término es 54, encontrar el

intervalo “d ”.c) El intervalo “d ”es − 6 y la suma S8 del primero al octavo término es 16, encontrar el primer

término “a ”.d) El primer término “a ” es −2 , el último término es 28 y la suma Sn del primero al último térmi-

no es 143, encontrar el número de términos “n ”.


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198

12. En la suma Sn de una sucesión aritmética, cuando S4 = 32 , S12 = − 96, encontrar el el primertérmino y el intervalo:a) ¿Cuántos términos son necesarios para que en la suma resulte por primera vez un número

positivo, si se tiene como primer término −16 y de intervalo 3?b) ¿Cuántos términos son necesarios en una sucesión aritmética para que en la suma resulte por

primera vez un número negativo, si se tiene como primer término 23 y de intervalo − 3?

13. Con los números enteros del 1 hasta 150, encontrar la suma de:a) Los números que son múltiplos de 4. b) Los números que no son múltiplos de 4.

14. Con los números enteros del 1 hasta 100, encontrar la suma de los números tal que al dividir por 6sobren 2.

15. Demostrar que la sucesión { an } cuando an = 3n + 2, es una sucesión aritmética, además encontrarel primer término y el intervalo.

16. Encontrar la razón de las siguientes sucesiones geométricas y colocar en cada cuadro ( ), el valormás adecuado y que complemente cada sucesión.

a) 2, 6, 18, , ,L b) 2, 43 , , 16

27 , ,L

17. En cada sucesión geométrica, realizar lo que se pide:

a) − 116 , 1

8 ,− 14 , 1

2 ,…, encontrar el término general “an” y el décimo término (a10) .

b) El primer término “a ” es 488 y la razón “r ” es 13 , encontrar el octavo término (a8).

c) El primer término “a ” es −1 y la razón “r ” es −1, encontrar el undécimo término (a11).d) La razón “r ” es 2 y el sexto término (a6) es − 96, encontrar el primer término “a ”.e) El primer término “a ” es − 6 y el quinto término (a5) es − 486, encontrar la razón “r ”.f) El primer término “a ” es 2, la razón “r ” es 5 y el último término es 1 250, encontrar el número

de términos “n ”.

18. En una sucesión geométrica, cuando el segundo término (a2) es 14, y el quinto término (a5) es 112,encontrar el primer término “a ”, la razón “r ” y el octavo término (a8) .

19. a) En una sucesión geométrica, cuando el segundo término (a2) es 12 y el sexto término (a6) es 972,encontrar el primer término “a ”, la razón “r ” y el término general “an”.

b) En una sucesión geométrica, cuando el segundo término (a2) es 192, el cuarto término (a4) es 48y el séptimo término (a7) es − 6, encontrar el primer término “a”, la razón “r ” y el sexto térmi-no (a6).

20. Encontrar la suma de la sucesión geométrica con los datos siguientes:a) El primer término es 6, la razón es −2 y el número de términos es 7.

b) El primer término es 54, la razón es 13 y el número de términos es 5.

c) 3 + (− 6 ) + 12 + (−24 ) + 48 + (− 96 ) + 192

21. En cada sucesión geométrica, realizar lo siguiente, cuando:a) El primer término es 9, la razón es −2 y la suma Sn es 387, encontrar el número de términos

“n ”.b) La razón es −3, la suma S5 es − 488, encontrar el primer término “a ”.c) El primer término es 6, la suma S3 es 42, encontrar la razón “r ”.

22. Al principio de cada año, se depositan 1,000 dólares en un banco para un período de 10 años al8 % de interés anual, calcular el monto. ( Utilizar (1.08)10 = 2.159 )


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23. Si la sucesión 1, x, y, es sucesión aritmética y la sucesión y2, x, 1, es sucesión geométrica, encontrarel valor de “x” y “y”.

24. Si la sucesión −2, a, b, es sucesión aritmética y la sucesión a, b, 18, es sucesión geométrica, encon-trar el valor de a y b.

25. Si la sucesión x, y, z ( x > z ) es sucesión geométrica, y además se cumple que: x + y + z = −3,xyz = 8, encontrar el valor de x, y, z.


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200

RESPUESTASCAPÍTULO I. CONJUNTOS

EJERCICIOS

1. a) N , Z , Q y R b) Z , Q y R c) R d) N , Z , Q y Re) N , Z , Q y R f) Q y R g) R h) Q y R

2. a) N b) Z c) R d) Ne) Z f) Q g) R h) Qi) Q j) Q k) Q l) R

3. Omitir

4. Omitir

5. a) 17 b) − 1

6 c) 73 d) − 9

5

6. a) 58 b) −172 c) −12 d) − 42e) 51 f) 22 g) −91 h) 75

7. a) −19 b) 10 c) 1 d) − 6e) − 9 f) −5.7 g) −1

8. a) −180 b) 1 c) 93 d) 8e) 100 f) −3

9. a) − 8 b) 42 c) 10 d) 612e) 46 f) −7 g) 11 h) −11

10. a) − 6 < 5 b) 3 > 0.8 c) −5 > − 6 d) − 0.75 < − 0.09

e) 35 > 0.5 f) 3

4 > 0.72 g) 52 > 9

4 h) − 18 < 3

8

11. a) a + 3 ≥ 3 b) a − 5 ≤ b − 5 c) a + 7 ≥ 7 d) a − 6 ≤ b − 6

12. a) 5a ≤ 5b b) − 5a ≥ − 5b c) 4a ≤ 5b d) − 6a ≥ − 6be) 2a + 3 ≤ 2b + 3 f) 3a − 5 ≤ 3b −5 g) −5a + 7 ≥ − 6b +7h) −3a − c ≥ − 3b − c

13. a) 7 b) 12 c) 6.7

d) 72 e) 5

3 f) 8.29

14. a) 4 b) 4 c) 10


R

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202

�Ac = {− 2 , − 1 , 6 , 7 , 8 } � Bc = {− 2 , 0 , 2 , 4 , 5 , 7 , 8 }

� Ac ∩ Bc = {− 2 , 7 , 8 } � Ac ∪ Bc = {− 2, − 1, 0, 2, 4, 5, 6, 7, 8}

24. a) � A ∪ B = { x / 2 < x < 8 , x ∈ R }

� A ∩ B = { x / 3 ≤ x ≤ 5 , x ∈ R }

� ( A ∪ B ) c = { x / 0 ≤ x ≤ 2, 8 ≤ x ≤ 10 , x ∈ R }

� ( A ∩ B )c = { x / 0 ≤ x < 3, 5 < x ≤ 10 , x ∈ R }

� Ac = { x / 0 ≤ x ≤ 2 , 5 < x ≤ 10, x ∈ R }

� Bc = { x / 0 ≤ x < 3 , 8 ≤ x ≤ 10, x ∈ R }

� Ac ∩ Bc = { x / 0 ≤ x ≤ 2, 8 ≤ x ≤ 10, x ∈ R }

� Ac ∪ Bc = { x / 0 ≤ x < 3, 5 < x ≤ 10 , x ∈ R }

b) � A ∪ B = { x / −2 ≤ x < 5 , x ∈ R }

� A ∩ B = { x / −1 ≤ x < 3 , x ∈ R }

� ( A ∪B ) c = { x / −3 ≤ x < −2, 5 ≤ x ≤ 7, x ∈ R }

� ( A ∩B )c = { x / −3 ≤ x < −1, 3 ≤ x ≤ 7, x ∈ R }

� Ac = { x / −3 ≤ x < −2, 5 ≤ x ≤ 7 , x ∈ R }

� Bc = { x / −3 ≤ x < −1, 3 ≤ x ≤ 7 , x ∈ R }

� Ac ∩Bc = { x / −3 ≤ x < −2, 5 ≤ x ≤ 7, x ∈ R }

� Ac ∪Bc = { x / −3 ≤ x < −1, 3 ≤ x ≤ 7, x ∈ R }

25. a) A − B = { 5 , 7 } b) B − A = { 2 , 8 }

26. a) � n ( A ) = 5, � n ( B ) = 5

� n ( A ∪ B ) = 7 � n ( A ∩ B ) = 3

� n ( A c ) = 3 � n ( B c ) = 3

b) � n ( A ) = 5 � n ( B ) = 3

� n ( A ∪ B ) = 8 � n ( A ∩ B ) = 0

� n ( A c ) = 5 � n ( B c ) = 7

27. 86

28. a) 37 b) 43

29. a) 67 b) 150 c) 34 d) 133

RESPUESTAS A EJERCICIOS DE REPASOCAPÍTULO I. CONJUNTOS

EJERCICIOS

1. a) N , Z , Q y R b) Z , Q y R c) R d) N , Z , Q y Re) Z , Q y R f) Q y R g) R h) Q y R

2. a) N b) Z c) R d) N


R

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S

P

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E

S

T

A

S

203

e) Z f) Q g) R h) Qi) Q j) Q k) Q l) R

3. a) 16 b) − 1

4 c) 7 d) − 57 e) 2

5 f) − 47

(SUGERENCIA)

e) 2.5 = 52 f) −1.75 = 7

4

4. a) − 41 b) 606 c) − 23 d) − 35e) 31 f) − 7 g) −117 h) 82

5. a) − 16 b)8 c) 0 d) − 12e) − 9 f) − 5.1 g) − 0.6

6. a) − 4 b) 15 c) 54 d) 39 e) 223 f) 2

7. a) 16 b) −9 c) 22 d) −12 e) 55 f) − 48

8. a) 13 b) 16 c) 3.7 d) 1.67 e) 53 f) 4

13

9. a) 5 b) 4 c) 5

10. a) − 5 < 8 b) 0.06 < 0.8 c) − 3.5 > − 13 d) − 0.7 < − 0.5

e) 14 < 0.26 f) − 3

8 < 18 g) 7

8 > 34 h) − 4

9 > − 79

11. a) a + 2 ≥ 2 b) a − 4 ≤ b − 4 c) a + 5 > 3 d) a − 3 < b − 1e) 8a ≤ 8b f) − 4a ≥ − 4b g) a ≤ 3b h) −3a ≥ − 3bi) 3a ≤ 2a + b j) − 3a − 2c ≥ − 3b − 2c k) 2a + 3b ≥ 3a + 2b

12. a) A = {− 3,− 2,− 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } b) B = {− 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 }c) C = {− 4 ,−1 , 2 , 5 , 8 , 11 , 14 , 17 } d) D = {−1 , 0 , 3 , 8 , 15 , 24 }

13. a) B ⊂ A b) A ⊄ B y B ⊄ A c) B ⊂ A d) A ⊄ B y B ⊄ A

14. a) B ⊂ A b) A ⊄ B y B ⊄ A c) A ⊂ B d) A ⊄ B y B ⊄ A

15. a) A ∩B = { 1 , 2 , 5 , 7 , 8 } A ∪B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 }b) A ∩B = φ A ∪B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 }c) A ∩B = { 1 , 2 , 4 , 5 , 10 , 20} A ∪B ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 30, 40, 60}d) A ∩B = { x / 3 ≤ x ≤ 7 , x ∈ R } A ∪B = { x / 1 ≤ x ≤ 8 , x ∈ R }e) A ∩B = { x / −1 ≤ x ≤ 3 , x ∈ R } A ∪B = { x / − 4 < x < 6 , x ∈ R }

(SUGERENCIA)c) A = { 1 , 2 , 4 , 5 , 8 , 10 , 20 , 40 }, B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 }

16. a) A ∩B ∩C = { 6 } A ∪B ∪C = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 }b) A ∩B ∩C = φ A ∪B ∪C = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 }c) A ∩B ∩C = { 1 , 5 } A ∪B ∪C = { 1 , 2 , 3 , 5 , 9 , 10 , 15 , 25 , 45 , 50 }d) A ∩B ∩C = {x / 3 ≤ x < 5, x ∈ R } A ∪B ∪C = { x / x < 9 , x ∈ R }

(SUGERENCIA)e) A = { 1 , 3 , 5 , 15 } , B = { 1 , 2 , 5 , 10 , 25 , 50 } , C = { 1, 3, 5, 9, 15, 45 }

17. a) Ac = { 2 , 3 , 5 , 6 } , Bc = { 1 , 4 , 6 , 7 , 8 }b) Ac = { x / 3 < x , x ∈ R } , Bc = { x / x ≤ 2 , 7 < x , x ∈ R }


R

E

S

P

U

E

S

T

A

S

206

d) { ( x + y ) −1 }{ ( x + y ) + 3 } e) { ( a + c ) + 2b }{ ( a + c ) − 2b }f) { x2 + ( x − 2 ) }{ x2 − ( x − 2 ) }

10. a) 16x4 − 72x2y2 + 81y4 b) x8 − y8

c) a 6 − 1 d) x6 − y6

e) x4 + 2x3 − 13x2 − 14x + 24 f) x4 − 10x3 + 35x2 − 50x + 24g) a 4 − 19a 2 + 46a + 120 h) a 4 − 4a 3 − 46a 2 + 100a + 525

(SUGERENCIA)c) {( a −1 )( a 2 + a + 1 )}{( a + 1 )( a 2 − a + 1 )}d) {( x + y )( x2 − xy + y2)}{( x − y )( x2 + xy + y2)}e) { ( x − 3 )( x + 4 ) }{ ( x + 2 )( x − 1 ) }f) { ( x − 1 )( x − 4 ) }{ ( x − 2 )( x − 3 ) }g) { ( a + 2 )( a − 4 ) }{ ( a + 3 )( a − 5 ) }h) { ( a + 3 )( a − 5 ) }{ ( a − 7 )( a + 5 ) }

11. El cociente / el restoa) x − 1 / 0 b) 2x2 − 4x + 5 / 0c) 3x + 2 / 0 d) 2x + 1 / 4xe) 3x2 − 8xy + 5y2 / 0 f) x2 − x − 2 /−3g) x − 4 / 6x + 6 h) x2 − 4x + 3 / 0i) 2x + 1 / 0 j) 2x2 + xy − 2y2 / 0

12. a) ( 2a + 3b )2 b) ( 5x − 3y )2 c) 4( x + 2 )( x − 2 )d) ( 5x + 3 )( 5x − 3y ) e) ( x − 4 )( x − 2 ) f) ( x − 8 )( x + 4 )g) ( x + 5y )( x −3y ) h)5( a − 7 )2 i) ( 5a − b )( 3a + b )j) 2( x + 5 )2 k) ( x − 5 )( x + 4 ) l) ( x + 6y )( x + y )ll) x( y − 6 )( y +2 ) m)( a + b + 7 )2 n) m2( x + 2 )( x − 1 )

13. a) ( 2a + 1 )( a + 2 ) b) ( 2a − 1 )( a − 4 ) c) ( 3x + 1 )( 2x − 1 )d) ( 2x + 7 )( x − 4 ) e) ( 3x + 2 )( x − 5 ) f) ( 2x − 1 )( 3x − 2 )g) ( 6a − b )( a + 2b ) h) ( 3a − b )( 3a + 2b ) i) ( 4x + 3y )( x − 2y ) j) ( 2x − y )( x − 3y ) k) ( 3x − 2y )( x − 4y ) l) ( 5x − 4 )( x − 3 )

14. a) ( a + 1 )3 b) ( x + 4 )( x2 − 4x + 16 )c) ( a − 2b )3 d) ( x − 2y )( x2 + 2xy + 4y2 )e) ( a + 3b )3 f) ( 4a − 3b )( 16a 2 + 12ab + 9b 2 )g) ( 3x + yz )( 9x2 − 3xyz + y2z2 ) h) 5x( x − 1 )( x2 + x + 1 )i) ( 2a − 3 )3

15. a) ( a 2 − 5 )( a + 1 )( a − 1 ) b) ( x − 2 )( x + 1 )( x2 + 2x + 4 )( x2 − x + 1 )c) ( a − b )( a − b − c ) d) ( 2x − y )( 3x + z )e) ( x − 3y −1 )( x + y − 2 ) f) ( a − b − 2 )( a − b + 1 )g) ( x + 1 )( x − 1 )( x + 2 )( x + 4 )

(SUGERENCIA)c) ( a 2 − 2ab + b 2 ) + ( ac − bc ) = ( a − b )2 − c ( a − b )d) ( 6x2 − 3xy ) + ( 2xz − yz ) = 3x( 2x − y ) + z( 2x − y )e) { x − ( 3y +1 ) }{ x + ( y − 2 ) }f) a 2 − ( 2b + 1 )a + ( b + 2 )( b − 1 ) = { a − ( b + 2 ) }{ a − ( b − 1 ) }g) Se supone que x2 + 3x = A

16. a) x = 12 b) x = − 2 c) x = − 2 d) x = 0

e) x = 12 f) x = − 20 g) x = − 6 h) x = 14


R

E

S

P

U

E

S

T

A

S

207

17. a) x = 3 b) x = − 2 c) x = 5 d)x = 7

e) x = 4 f) x = 4

18. a) x = 154 b) x = 3 c) x = 1 d) x = − 4

e) x = 42 f) x = 47

19. a) x = − 125 b) x = 2

7 c) x = 21 d) x = 7e) x = − 9 f) x = 3

20. a) 3 dólares. b) 10, 13 y 17.

21. a) x < −9 b) x > 5 c) x < 4 d) x < − 4 e) x < 3

f) x > − 32 g) x < 3 h) x > 2 i) x < −7 j) x < −1

k) x < −5 l) x < 1 ll) x < 1 m) x ≥ 2 n) x ≥ −3

22. 5 agendas y 5 bolígrafos.

23. a) x = ± 1 b) x = ± 3 c) x = ± 4 3 d) x = ± 2 2

e) x = ± 5 2 f) x = ± 3 2 g) x = ± 8 h) x = ± 2 10

24. a) x = 2, 3 b) x = −2 c) x = 1 d) x = 4 , − 3

e) x = −1 , −2 f) x = 4 , 5 g) x = −5 , 3 h)x = 5 , − 2

i) x = −3 , −7

25. a) x = 1, − 52 b) x = 2, − 3

2 c) x = −1, 32 d) x = 7

4 , − 32

e) x = 12 , 1

3 f) x = 32 , − 2

3 g) x = 1, − 34 h) x = −2, 1

3

i) x = 23 , − 5

4

26. a) x = 2 226

± b) x = 2 ± 5 c) x = −1 , 14

d) x = − ±5 510 e) x = 3 15

2± f) x = − ±1 19

3

g) x = −5 , −2 h) x = 5 376

± i) x = − ±1 65

27. a) x = −1, 13 b) x = 4 6

2± c) x = 2 19

5±

d) x = 3 63

± e) x = 1 ± 5 f) x = −1, 5

g) x = 3 195

± h) x = 4 ± 6 i) x = 1, −5

28. a) x = 34 , 2

3 b) x = − ±7 136 c) x = 3

2 , − 23

d) x = − ±2 102 e) x = 3 17

2± f) x = −2 ± 2

g) x = −1 , 25 h) x = −1 ± 6 i) x = 1 , −2

j) x = 1 , 72 k) x = 3 l) x = 1

2 , − 23

29. largo / ancho8 cm / 12 cm ó 12 cm / 8 cm


R

E

S

P

U

E

S

T

A

S

209

c) ( x , y , z ) = ( 1 , −1 , 2 ) d) ( x , y , z ) = ( 3 , 2 , 5 )

43. a) ( x , y ) = ( 2 , 3 ) ó ( 3 , 2 ) b) ( x , y ) = ( 7 , − 9 ) ó (− 9 , 7 )c) ( x , y ) = (−3 ,−1 ) ó (−2 , 0 ) d) ( x , y ) = ( 2 , −3 ) ó ( 3 , −2 )

44. 10 cm(SUGERENCIA)Se supone la longitud de la hipotenusa es “x” cm , los dos catetos son “y” cm y “z” cm .Entonces x + y + z = 24

y2 + z2 = x2

( el teorema de Pitágoras )12 yz = 24

45. a) −2 ≤ x < 3 b) x ≤ 0 , 5 < x

c) −8 < x ≤−5 y 7 ≤ x < 12 d) 1 < x ≤ 2 + 5

RESPUESTAS A EJERCICIOS DE REPASO.CAPÍTULO II. ECUACIONES Y DESIGUALDADES

EJERCICIOS

1. a) − x 2 + 2x , el grado es 2 b) − x 4 − 4x 3 − 7x 2 , 4c) 9x 5 + 3x , 5 d) 2x 3 + x 2 , 3e) 6x − y + z , 1 f) 4x 3 − 3x 2 + 2x + 7 , 3

2. a) − 2x 3 + 9x 2 + 2x − 8 b) x 2 + ( 2y − 1 )x + y 2 + y − 2c) 8x 3 −7x 2 + 3x + 7 d) 9x 3 + 4x 2 + 9x + 6e) x 2 − 4xy + 16y 2

3. a) 15b 2c b) − 8x 2y 2z 3

c) − 6ab + 3a 2 d) − 25 x 2y − xy 2z

e) − a 3c 3 f) − x 2z − 8xz

4. a) x 4y 6z2 b) 2x 5 y 3 c) − 8a 11 d) a 7b 8 e) 3x6y5

5. a) − 6a 4 + 9a 3 −15a 2 b) 2x 3 + 7x 2 − 5x − 4c) x 3 + 2x + 3 d) 2a 4 + 6a 3 + 9a 2 −3a − 5e) 2x 4 − 3x 3− 23x 2 − 3x + 20

6. a) 4x 2 + 20x + 25 b) 9x 2 − 30xy + 25y 2

c) 4x 2 − 9 d) 16x 2 − 9y 2

e) x 2 + 4x − 12 f) x 2 − 8x + 15g) x 2 + 5xy − 14y 2 h) 2x 2 − x − 1i) 6x2 + 5x − 4 j) 6x 2 + x − 12k) 12x 2 − xy − 20y 2 l) 12x 2 − 7xy − 10y2

7. a) x3 + 3x2 + 3x + 1 b) 8x3 − 12x2 + 6x − 1c) 27x 3 + 54x 2 + 36x + 8 d) x 3 + 8e) a 3 − 27 f) 8x 3 − y 3


R

E

S

P

U

E

S

T

A

S

210

8. a) x2 + y2 + z2 + 2xy − 2yz − 2zx b) x2 + y2 + 4z2 + 2xy + 4yz + 4zxc) a 2 + 4b 2 + c 2 − 4ab − 4bc + 2ca d) 4a 2 + 9b 2 + 16c 2 −12ab + 24bc − 16cae) x2 − 4y2 − 9z2 + 12yz f) x2 − y2 − z2 − 2yz

(SUGERENCIA)e) { x + ( 2y −3z ) }{ x − ( 2y −3z ) }f) { x + ( y + z ) }{ x − ( y + z ) }

9. a) x 4 − 1 b) x 6 − 64c) a 8 − b 8 d) x 4 − 6x 3 + 7x 2 + 6x − 8e) x 4 + 4x 3 − 7x 2 − 22x + 24 f) a 4 + 6a 3−7a 2 − 48a − 36

(SUGERENCIA)b) {( x − 2 )( x2 + 2x + 4 )}{( x + 2 )( x2 − 2x + 4 )}d) { ( x − 1 )( x − 2 ) }{ ( x + 1 )( x − 4 ) }e) { ( x − 1 )( x + 3 ) }{ ( x − 2 )( x + 4 ) }f) { ( a + 6 )( a − 3 ) }{ ( a + 2 )( a + 1 ) }

10. el cociente / el restoa) 3x + 2 / 0 b) x + 4 / 0 c) 4x + 5 / 3d) 2x2 + x − 2 / − 6x + 2 e) 3x + 4 / 5 f) 2x + 4 / − 2x − 11

g) x2 − x − 12 / − 3

2 h) x2 + 2xy − 2y2 / y3 i) 6x2 − 17xy + 12y2 / 0

11. a) ab( a + b + 1 ) b) x( x + 2y + 2z ) c) ( 2a + b )( a − 3b )d) 6ab( a +2b )( a − 2b ) e) ( x + y − 1 )( x + y + 1 ) f) 2ab( a − 2 )( a 2 + 2a + 4 )g) ( a + 3 )2 h) ( 2x − 1 )2 i) ( 3x − 2y)2

j) ( 7x + 2 )( 7x − 2 ) k) ( 2xy + z )( 2xy − z ) l) ( x + 3 )( x + 5 )ll) ( x − 3 )( x + 5 ) m)( x + 9 )( x − 1 ) n) ( x + 7 )( x − 2 )o) ( x − 6 )( x + 4 ) p) ( x + 9y )( x − 4y ) q) ( x − 5y )( x − 2y )

12. a) ( 2a + 3 )( a + 1 ) b) ( 2a − 3 )( 3a + 4 ) c) ( 3x − 1 )( x − 3 )d) ( 3x − 1 )( x − 1 ) e) ( 2x + 1 )( 3x − 1 ) f) ( 3x + 1 )( x − 2 )g) ( 3a − 1 )( 2a − 3 ) h) ( 2a − 3 )( 3a + 1 ) i) ( 2x + 7y )( 3x − 2y )j) ( 5x − 2y )( 3x − y )

13. a) 2( x + 2 )( x2 − 2x + 4) b) ( x − 3 )( x2 + 3x + 9 ) c) ( 4a − b )( 16a 2 + 4ab + b 2 )

14. a) ( x + 2 )( x − 2 )( x + 3 )( x − 3 )b) ( x + 1 )( x − 1 )( 2x + 5 )( 2x − 5 )c) ( x + 3)( x − 3 )( 2x + 1 )( 2x − 1 )d) (x + 2y )( x − 2y )( x2 + 6y2 )e) ( x − 1 )( x + 2 )( x2 + x + 1 )( x2 − 2x + 4 )f) ( x + 2y )( x − 2y ) × ( x2 −2xy + 4y2 )( x2 + 2xy + 4y2 )g) ( a + b + 3 )2

h) ( x + y − z )( x + y + z )i) ( x + 1 )2( x − 1 )2

j) ( a + b )( a − b ) ( a 2 + b 2 −1 )k) ( x − y + 4 )( x + y + 1 )l) ( x + 2y + 3 )( x + y + 2 )m)( x + 2y −1 )( x − y + 3 )n) ( 2x + y −1 )( x − 2y + 1 )o) ( 3x − 2y + 3 )( x + y + 1 )p) (3x + y + 2 )( x + y − 3 )

(SUGERENCIA)h) x2 − ( y2−2yz + z2 )


R

E

S

P

U

E

S

T

A

S

211

j) ( a 2 + b 2 )( a 2 − b 2 ) − ( a 2 − b 2 )k) x2 + 5x − ( y2 − 3y − 4 ) = x2 + 5x − ( y − 4 )( y + 1 )l) x2 + ( 3y + 5 )x + ( 2y2 + 7y + 6 ) = x2 + ( 3y + 5 )x + ( 2y + 3 )( y + 2 )ll) x2 + ( y + 2 )x − ( 2y − 1 )( y − 3 )m) 2x2 + (− 3y + 1 )x − ( 2y − 1 )( y − 1 )n) 3x2 + ( y + 6 )x − ( 2y − 3 )( y + 1 )o) 3x2 + ( 4y − 7 )x + ( y − 3 )( y + 2 )

15. a) x = 23 b) x = 11 c) x = − 3 d) x = − 6 e) x = 1f) x = −1.2 g) x = − 3.5 h) x = 35 i) x = 0

16. a) x = − 3 b) x = 3 c) x = − 5

d) x = − 2 e) x = − 3 f) x = 4

17. a) x = 5 b) x = − 5 c) x = 4

d) x = − 3 e) x = − 9 f) x = − 7

18. a) x = − 4 b) x = − 2 c) x = 2 d) x = 3 e) x = 19 f) x = − 5

19. a) 8 alumnos b) 7 dólares

20. a) x < − 6 b) x > 12 c) x < − 7 d) x < 3

e) x > 6 f) x > − 2 g) x < 3 h) x > 2

i) x < − 4 j) x < − 4 k) x < −7 l) x < 1

ll) x < 0 m)x ≤ − 6 n) x ≥ − 3

21. 10 sandías

22. a) x = ± 5 b) x = ± 7 c) x = ± 0 d) x = ± 2 6

d) x = ± 3 5 f) x = ± 5 3 g) x = ± 2 15 h) x = ± 12

23. a) x = 0 , − 3 b) x = − 2, 3 c) x = − 1, 3 d) x = − 12

e) x = − 5, 1 f) x = − 2, − 4 g) x = − 4, 3 h)x = 5

i) x = 2, 6

24. a) x = 1, 23 b) x = 1, 1

3 c) x = 2, 12 d) x = 3, − 1

2

e) x = − 1, 25 f) x = 1

5 , − 12 g) x = 1

2 , 23 h)x = − 3

4 , 13

i) x = 23 , 3

2

25. a) x = − ±2 195 b) x = − ±1 13

6 c) x = 3 418

± d) x = 7 334

±

e) x = − ±3 33 f) x = 1 , 5

2 g) x = 4 ± 10 h) x = − 4 ,− 1

i) x = − ±5 856

26. a) x = 1 , 15 b) x = − ±2 7

3 c) x = − ±6 262 d) x = − 3 ± 2

e) x = 1 , 9 f) x = 12 , 3

2 g) x = 4 62

± h) x = 3 63

±

i) x = 2 145

±


R

E

S

P

U

E

S

T

A

S

212

27. a) x = − 1, 4 b) x = 9 4110

± c) x = 17 d) x = 3 ± 3

e) x = 3, − 94 f) x = − 1, − 1

3 g) x = 1,− 2 h) x = 4, − 4

i) x = −±3 152 j) x = 5 57

4±

28. − 5 , 7

29. a) Tiene dos soluciones reales diferentes. b) Tiene una solución real ( raíz doble ).

c) No tiene soluciones reales. d) Tiene dos soluciones reales diferentes.

e) No tiene soluciones reales. f) Tiene una solución real ( raíz doble ).

30. Suma / Multiplicación

a) − 43 / 5

3 b) − 34 / 0 c) 3 / 5

31. a) 3 b) − 32 c) 12 d) 15 e) 81

2 f) − 27(SUGERENCIA)

d)

e)

32. a) α = 0 , k = 0 ó α = 3 , k = 6 b) α = 1 , m = 10 ó α = − 16 , k = − 5

3

c) α = 1 , p = −1 ó α = −1 , p = 1

33. a) x < − 5 , 5 < x b) x ≤ −1 , 4 ≤ x c) −5 < x < 3

d) 12 ≤ x ≤2 e) x ≤ − 3 , 1

2 ≤ x f) − 13 ≤ x ≤ 1

g) x < − 32 , 2

3 < x h) − 12 < x < 4

3 i) x < − 3 , 2 < x

j) x ≤ 1 , 3 ≤ x k) −2 ≤ x ≤ 4 l) − 12 < x < 2

3

34. a) x = 1 b) No existe .

c) Todo número real excepto x = 14 . d) Todo número real .

35. a) 2 102

− < x < 2 102

+ b) x < − 23 , 1

2 < x

c) x ≤ 2 − 3 , 2 + 3 ≤ x d) 1− 5 ≤ x ≤ 1 + 5e) Todo número real. f) No existe.g) Todo número real. h) No existe .

36. a) m ≤ − 4, 8 ≤ m b) 1 < a < 5 c) k ≤ − 3 , 2 ≤ k

37. a) ( x , y ) = ( 3 ,− 2 ) b) ( x , y ) = ( 1 , 1 ) c) ( x , y ) = (− 5 , 1 )d) ( x , y ) = ( 2 , 0 ) e) ( x , y ) = ( 2 , −1 )

38. a) ( x , y ) = (− 5 , 1 ) b) ( x , y ) = ( 12 , 1

3 ) c) ( x , y ) = ( 2 ,− 1 )d) ( x , y ) = ( 2 , 0 ) e) ( x , y ) = ( 2 , 3 ) f) ( x , y ) = ( 7 , 4 )

39. a) ( x , y ) = (− 3 , − 8 ) b) ( x , y ) = (− 1 , − 2 )c) ( x , y ) = ( 2 , −1 ) d) ( x , y ) = ( 3 , − 2 )

40. a) pantalones: 8 dólares b) cartapacio de 4 dólares : 10 c) 30 y 70camisas: 10 dólares cartapacio de 6 dólares : 15

( - )2 = ( 2 + 2 + 2 ) - 4 = ( + )2 - 4

3 + 3 = ( 3 + 3 2 + 3 2 + 3 ) - (3 2 + 3 2 ) = ( + )3 - 3 ( + )


R

E

S

P

U

E

S

T

A

S

213

41. a) ( x , y , z ) = ( 3 , − 5 , − 1 ) b) ( x , y , z ) = ( 1 , 1 , 1 )c) ( x , y , z ) = ( 1 , 0 , −1 ) d) ( x , y , z ) = ( 2 , 3 , 4 )

42. a) ( x , y ) = (−2 , −1 ) o ( 1 , 2 ) b) ( x , y ) = ( 1 , 0 ) o ( 0 , − 1 )

c) ( x , y ) = ( 1 , 3 ) o ( 3 , 1 ) d) ( x , y ) = (− 3 , − 3 )

43. 46 y 64

44. a) − 1 ≤ x < 0, 3 < x ≤ 5 b) − 8 < x < − 7, 5 < x < 10

c) −3 < x < 13 d) −1 ≤ x < 1− 2 , 1 + 2 < x ≤ 3

CAPÍTULO III. FUNCIONES

EJERCICIOS

1. a) b)

2. a) S M× =

( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),

( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),

( , ),( , ),( , ),( , ),( , )

0 3 0 4 0 5 1 3 1 4

1 5 2 3 2 4 2 5 3 3

3 4 3 5 4 3 4 4 4 5

b) M S× =

( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),

( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),

( , ),( , ),( , ),( , ),( , )

3 0 4 0 5 0 3 1 4 1

5 1 3 2 4 2 5 2 3 3

4 3 5 3 3 4 4 4 5 4

c) S N× =

( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),

( , ),( , ),( , ),( , ),( , )

0 4 0 6 1 4 1 6 2 4

2 6 3 4 3 6 4 4 4 6d) N S× =

( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),

( , ),( , ),( , ),( , ),( , )

4 0 4 1 4 2 4 3 4 4

6 0 6 1 6 2 6 3 6 4

e) M N× =

( , ),( , ),( , ),

( , ),( , ),( , )

3 4 3 6 4 4

4 6 5 4 5 6f) N M× =

( , ),( , ),( , ),

( , ),( , ),( , )

4 3 4 4 4 5

6 3 6 4 6 5

3. a) P N× =

( , ),( , ),( , ),

( , ),( , ),( , ),

( , ),( , ),( , )

4 1 4 5 4 6

2 1 2 5 2 6

6 1 6 5 6 6

1 2

P4

P2

P1

P5 P3

P5P3

P4

P2

P1

x

0 1 2 3 4 5 6

y

x

y


R

E

S

P

U

E

S

T

A

S

214

b) M P× =

( , ),( , ),( , ),

( , ),( , ),( , ),

( , ),( , ),( , )

1 4 1 2 1 6

5 4 5 2 5 6

3 4 3 2 3 6

c) N M× =

( , ),( , ),( , ),

( , ),( , ),( , ),

( , ),( , ),( , )

1 1 1 3 1 5

5 1 5 3 5 5

6 1 6 3 6 5

4. a) A × B b) A × C

c) A × D d) B × C

1

1

5

6

35

135

1

3

5

M P1

3

5

4

2

6

3

–5 2

x

y

y

x

–5 2

x

y

y

x

x

–2

4y

y

x

–2

–5 2

x

y

y

x


R

E

S

P

U

E

S

T

A

S

215

e) B × D f) C × D

5. a) D E F× ∪ =

( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),

( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )

0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5

2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5

b) (D E) F∩ × = { }( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )1 4 1 5 2 4 2 5 3 4 3 5 4 4 4 5

c) (E F) F D)× ∪ × =

(( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),

( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )

1 4 1 5 2 4 2 5 3 4 3 5 4 4 4 5

4 0 4 1 4 2 4 3 5 0 5 1 5 2 5 3

d) (E F) (F D) =× ∪ × ∅

e) D E F)× − = { }( ( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )0 1 0 2 0 3 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3

f) F D E)× − = { }( ( , ),( , )4 0 5 0

6. a) “Es el cuadrado de” = − − −{ }( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )1 1 1 1 4 2 4 2 9 3 9 3

b) “es anterior a” = { }(a,d),(a,g),(c,d),(c,g)

c) R1: x y+ < = { }5 1 1 1 2 2 1 2 2( , ),( , ),( , ),( , ),(3,1)

x

–3

–6

2 3

y

y

xx

–6

–2

–3

4

y

y

x

1

4

9

1234

–1–2–3–4

P Q“es el cuadrado de”

a

c

g g

d

A B“es anterior a”


R

E

S

P

U

E

S

T

A

S

216

Conj. de P = M Conj. de ll = N Dom. = { 1, 2, 3 } Rango = { 1, 2 }

R2 : y = x

2 = { ( 4, 2 ), ( 6, 3 ) }

Conj. de P = M Conj. de ll. = P Dom. = { 4, 6 } Rango = { 2, 3 }

R3 : y = x2 = { 2, 4 }

Conj P = N Conj. de ll. = P Dom = { 2 } Rango = { 4 }

d) R1 : y < x = { ( 3, 2 ), ( 4, 2 )}

Conj P = M Conj. de ll. = S Dom = { 3, 4 } Rango = { 2 }

R2 : y = x3 = { ( 1, 4 ), ( 3, 6 ) }

Conj P = M Conj. de ll. = P Dom = { 1, 3} Rango = { 4, 6 }

R3 : y = x3 { ( 2, 8 ) }

Conj P = N Conj. de ll. = P Dom = { 2 } Rango = { 8 }

R4 : x + y número primo = { ( 1, 2 ), ( 2, 3 ), ( 3, 2 ), ( 4, 3 ), (4, 7 ) }

Conj P = M Conj. de ll. = S Dom = { 1, 2, 3, 4 } Rango = { 2, 3, 7 }

7. a) Sí b) No c) Sí d) Sí

8. a) b) c)

d) e) f)

9. a) b) c )

y

x

6

3

0 1 2

x

y

x

y

5

0 1 2 3 4x

y

y

x

0

21

1 2 3 4x

y

x

y1 2 3 4

0

–3

–6

x

y

0

1y

2 3 4 x

– 4

x

y

– 2

0

1

y

2 3 4 x

– 1x

y

y

x

0

1

2 3

2

3

x

y1

x

y

0

1 2 3 4 5 6

–2

–1

x

y

y

x1 1

20

–3

x

y

–1


R

E

S

P

U

E

S

T

A

S

217

d) e) f)

10. a) − 2 ≤ y ≤ 6 b) y ≤ 1

11. a) Se ha movido − 2 en el eje “y” b) Se ha movido 3 en el eje “y

12. a) y = 4x + 5 b) y = − 3x + 14

13. La ecuación del eje de la parábola/las coordenadas del vértice

a) x = 1/(1,0) b) x = −3/(−3, 0) c) x = 0/(0, 4) d) x = 0/(0, −2)

14. a) y = x2 + 4x 5 = (x +2 )2 +1 b) y = − 2x2 + 4x +1 = − 2(x − 1)2 +3

15. La ecuación del eje de la parábola/las coordenadas del vértice

a) x = −3/(− 3, −2) b)x = 1/(1, 2) c ) x = 2/(2, 1)

y

x

0

2

3

6

1 3 4

x

y

0

1

–11

2 3 4 5 x

y

x

y

–1

–3

–2–1 1 2 x

y

1

0x

y

x

–21 2 3 4

y

y=3x–2y=3x

1

34

6

0x

y

0

y=–x+3

y=–x

3 6 x

y

3

–3

x

y

–1 0 1 2 3

x

y

x=1

2x

yx

yx=–3

0–5 –4 –3 –2 –1

1

4

x

y

–21–1 0

3

4

2x

y

x

y

x–2 2

–1 1

2

0–1

–2

y

x

y

x

y

–4 –3 –2 –1

1

5

1 2

x

y

–2

–2 –1 1 x

y x=13

1 2 30x

y

–5

–4 –2–1

y

x

2

1

–1–2

x=–3

x

y

x=1

1 20

2

5

y

xx

y

4 x

y1

0 1 2

–3

x=2

x

y


R

E

S

P

U

E

S

T

A

S

218

d) x = −1/(−1, 5) e) x = 12 /( 1

2 , −1) f) x = − 52 /( − 5

2 , 4)

16. La ecuación del eje de la parábola/las coordenadas del vértice.

a) x = 1/(1, 2) b) x = −3/( −3, − 4) c) x = −2/(−2, −3) d) x = 1/(1, 1)

e) x = −1/(−1, 4) f ) x = 1/(1, 10) g) x = 2/ (2, 1) h) x = 3/(3, 152 )

(SUGERENCIA)c) Resolver obteniendo la tabla de valores y utilizando la ecuación dada en el ejercicio.d) Resolver obteniendo la tabla de valores y utilizando la ecuación dada en el ejercicio.e) Resolver obteniendo la tabla de valores y utilizando la ecuación dada en el ejercicio.

17. a) Se ha movido paralelo −5 en el eje “x”, −7 en el eje “y”.b) −1 en el eje “x”, 3 en el eje “y”.c) −9 en el eje “x”, 7 en el eje “y”.

18. a) y = 2x2 − 5x + 3 b) y = − 23 x2 − 4

3 x − 23 c ) y = − 2x2 − 4x +1

d) y = 14 x2 − x + 3

4 e) y = − 12 x2 + 3x − 9

2

19. Valor máximo/valor mínimoa) no existe / −5 (x = 3) b) 3(x = 1) / no existe c) no existe / 3(x = −1)

d) 5 (x = −2) / no existe e )no existe / − 54 (x = − 3

2 ) f ) no existe / − 18 (x = − 3

4 )

20. Valor máximo /valor mínimoa) 2(x = 1, 3) / 1 ( x = 2) b) −2 (x = 2) / −6 ( x = 0)c) 11 (x = 4) / 3(x = 2) d) 7(x = 0) / −1 (x = 2)e) 6 (x = 1) / 2(x = −1) f) 2( x = −1, −5) / − 2( x = − 3)g) 2(x = 4) / −7 (x = 1) h) 3(x = −1) / −5 (x = 1)

21. a) y ≥ − 3 b) − 6 ≤ y ≤ 2 c) − 3 ≤ y ≤ 1

x=1

–11

x

y

–2 0

5

3

x

y

–1

x = 12

– 54

x1

12

– 12

y2

–1

0x

y x = 52

– 16

–5 –4 –3 –2 –1 0 x

y

4

x

y–

x

y

2

3

6

1 2 3–1 0x

y

–4 –3 –2 x

y

–5 –1 0

–3–4

x

y

x–4 –3 –2 –1

–1

–3

y

0x

y

1

4

y

x

0 1 2 3

x

y

–3

34

y

x–2 –1 0

1x

y

10

1

–1 0 1

x

y

7

2 3x

y

x

y

21

0 1 2 3 4x

y

152

y

x0 1 2 3 4 6

3

7

5

x

y


R

E

S

P

U

E

S

T

A

S

219

22. a) mínimo: 5 (x =2, y = 1) b) máximo: 252 (x = 5, y = 5

2 )c) mínimo: 16 (x = 2, y = −2)

23. a) máximo: 4 (x, y) = (2, 0), (0, 2) (b) máximo: 1(x, y) = (0, 1)

mínimo: 2 (x, y) = (1, 1) mínimo: 13 (x, y) = ( 1

3 , 13 )

c) máximo: 2 (x, y) = (0, 1)mínimo: −2 (x, y) = (0, −1)

(SUGERENCIA)c) x2 + y2 = 1, entonces x2 = 1 − y2 ≥ 0; por lo tanto − 1 ≤ y ≤ 1

24. a) − 3 ( x2 − 2x − 2) b) 3 3 (x = 1 ó sea BP = 2 cm)

(SUGERENCIA)a) Ahora ∆ BPQ y ∆ CPR son los

triángulos rectángulos.BC = 4, BP = 2x, entoncesPC = 4 − 2xEn ∆ BPQ, BP = 2x,entonces BQ = x,

QP = 3 x. Además en ∆ CPR,PC = 4 −2x = 2( 2 − x),

entonces RC = 2 − x, RP = 3 ( 2 − x).

El área de ∆ ABC ( S1) es: S

1= 1

2 x 4 x 2 3 = 4 3 .

El área de ∆ BPQ (S2) es:

S2= 1

2 × x × 3 x = 32 x2 .

El área de ∆CPR (S3 ) es: S

3= 1

2 × (2 − x) × 3 (2− x)

= 32 (2− x )2

Entonces el área del cuadrilátero AQPR (S4) es S

4= S

1− (S

2+ S

3 ).

25. a) (x, y) = (1, 0), (− 4, 0) b) (x, y) = (− 2, 0), (6, 0)

c) (x, y) = (2, 0), ( − 32 , 0) d) (x, y) = (3, 0)

26. a) No se intersectan ni se tocan. b) Toca. c) Se intersectan en dos puntos diferentes.

27. a) a < − 34 , 0 < a b) k = 2, − 3

28. a) (x, y) = (4, 0), (− 1, 5) b) (x, y) = (0, − 3), (2, 5) c) (x, y) = (2, 3)

29. a) Toca b) No se intersectan ni se tocan. c) Se intersectan en dos puntos diferentes

30 a) a = 1, 5. b) − 3 < k < 2

31. a) y = 2x − 2 b) y = − 13 x + 2

3 , (x ≤ 8)

c) y = 14 x + 3

4 , (− 7 ≤ x ≤ 9) d) y = x + 5, (x ≤ 0)

2x

A

QR

CP

B

4

A

B C

2 3


R

E

S

P

U

E

S

T

A

S

220

32. a) b) c)

33. Las ecuaciones de las asíntotas

a) x = 3, y = 1 b) x = − 1, y = − 3 c) x = 1, y = 3

d) x = 1, y = 2 e) x = − 3, y = −1 f) x = −3, y = − 2

34. a) Se ha movido 5 en el eje “x”, 2 en el eje “y” b) 1 en el eje “x”, 1 en el eje “y”.

c) 2 en el eje “x”, − 3 en el eje “y”.

35. a) 0 ≤ y < 1, 1 < y ≤ 2 b) 2 < y ≤ 4 c) − 2 ≤ y ≤ − 32

36. a) y = 2 11

xx

−− b) y = − +

23

xx

37. las coordenadas/intervalo

a) (4, 3), (−1, −2) / x ≤ −1, 2< x ≤ 4 b) (1, 2), (−3, −2) / −3 < x < 0, 1< x

(SUGERENCIA)

a) 62x− ≥ x −1 i) cuando x −2 > 0, o sea x >2 ii) cuando x −2 < 0, o sea x < 2

6 ≥ (x −1)(x −2) 6 ≤ (x −1)(x −2)x2 − 3x − 4 ≤ 0 x ≤ −1, 4 ≤ x

(x − 4) (x + 1) ≤ 0 ahora x < 2−1 ≤ x ≤ 4 por lo tanto x ≤ −1ahora x > 2por lo tanto 2 < x ≤ 4

–2 –1

2

–2

–121

y

x0

x

y

–2 –1

–2–1

0

1 1 2

2

x

y

x

y

–1

–3

–3 –1

31

1

3

x

y

0x

y

–1–2

2

3

2

3 4 5 x1

1

y

0x

y

–1–2 1 xy

0–1–2–3

2

–4

–5

x

y–2 –1 0 1 2 3

x

y

5

43

21

x

y

0–2 –1 2 3

1

34

y

xx

y

4

5

–3

–2–1

–1–201

–4–5 –3 x

y

x

y

xy

0–1

–1–2–3–4

–3–2

x

y


R

E

S

P

U

E

S

T

A

S

221

38. a) b) c) d)

39. a) El gráfico de la función irracional b) y = 2 4x + / y = 2x / − 2 en el eje “x”

y = 3 6x − se ha movido paraleloal gráfico de la función irracional

y = 3x , 2 en el eje “x”

c) y = − − +x 2 / y = − −x / 2 en el eje “x”

40. a) 0 ≤ y ≤ 4 b) − 2 ≤ y ≤ 4

41. a) y = − x2 + 1 ( x ≥ 0, y ≤ 1) b) y = x + 9 (x ≥ 9, y ≥ 0)

c) y = x2 − 3 ( x ≥ 0, y ≥ − 3) d) y = 2 4x + (x ≥ 2, y ≤ 0)

42. a) (x, y) = (4, 2) b) (x, y) = (1, 1) c) (x, y) = (− 1, 1) d) (x, y) = (− 1, 2)

43. a) 0 ≤ x < 1 b) x ≤ − 1

44. a) − 4 b) 3 c) − 5 d) 2

45. a) 3 b) 2 c) 3 d) 3

46. a) 27 b) 16 c) 19 d) 1

125

47. a) 3 b) 5 c ) 1252 d) 4 e) 1

9

x

y

0 2

–2

x

y 0

3

y

x

3x

y

3 60

2

1xx

yy

y

0

x– 4 –1y

–1

–2

x

y

x0 2

y = 3x

y = 3x – 6

3

3 5

y

xy

0–2 2 x

y

2

y = 2x+4

y = 2xx

y

–2

–2– 4 –1

–1

0 1 2y

x

y = – –x + 2

y = – –x

x

y


R

E

S

P

U

E

S

T

A

S

223

62. a) 7712 b) 2 c) 3 d) 5

63. a) b) c)

64. a) 0 ≤ y ≤ 2 b) 0 ≤ y ≤ 2 c) − 3 ≤ y ≤ − 1 d) − 12 ≤ y ≤ 2

65. a) log 5 2 < log

5 3< log

5 6 < log

5 9 b) log 2

39 < log 2

37 < log 2

3 4 < log 2

32

66. a) 32 b) 2 c) 3 d) 5

67. a) 729, 13 b) 1, 1

16 c) 8, 14

68. a) 107 b) 5 c) x > 5

4 d) 34 < x < 1

69. a) 43 < x ≤ 2 b) 3 < x < 7 c ) 4 < x ≤ 6 d) 1

8 ≤ x ≤ 2

70. a) máximo: 13 (donde x = 14 ) b) máximo: 9 (donde x = 4)

mínimo: 5 (donde x = 2) mínimo: − 7 (donde x = 14 )

71. a) 2 b) 5 c) − 1 d) − 3

72. a) 2.5024 b) 1.8921 c) 3.3711 d) − 2.0788

73. a) 1.4651 b) 3.1701 c) − 0.4306

74. a) 3 20 es el número de 10 cifras. b) 530 es el número de 21 cifras.

75. Dentro de 7 horas y 40 minutos.


R

E

S

P

U

E

S

T

A

S

224

RESPUESTAS A EJERCICIOS DE REPASO

CAPÍTULO III. FUNCIONES

EJERCICIOS

1)

2. a) A × B = { (m, 1), (m, 2), (r, 1), ( r, 2) }

b) (A ∪B) × C = { (m, r ), (m, 2 ), ( r, r ), (r, 2 ), (1, r ), (1, 2 ), (2, r ), (2, 2 ) }

c) (B ∩C) × A = { (2, m), (2, r) }

d) (A ∪C) × B = { (m, 1 ), (m, 2), ( r, 1 ), ( r, 2 ), (2, 1 ), ( 2, 2 )}

3. a) b)

c) d)

4. a) A ∩B = { 5 } b) D ∩A = { 3 }

c) B ∪C = { 2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14 } d) D c = { 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14 }

x x

–1 2

3

y

–1

4x

2

x0

y

–3 –1

–2

–4

xx

y

y

x

–2 1 2 3 4 5

x1

4

y


R

E

S

P

U

E

S

T

A

S

225

e) A − B = { 2, 3, 7, 11, 13 } f) ( C ∪D)c = { 1, 5, 7, 11, 13 }

5. R1= { ( 1, 2 ), ( 2, 3 ) } R

2= { ( 5, 4 ), ( 7, 2 ), ( 7, 3 ), ( 7, 4 ) }

R3

= { ( 3, 1 ), ( 7, 3 ) } R4= { ( 5, 4 ), ( 7, 4 ), ( 7, 6 ) }

6. a) No b) No c) No d) Si e) Sí

7. a) b) c)

d) e) f)

8. a) b) c )

d) e) f)

9. a) y ≥ − 3 b) 0 ≤ y ≤ 6

10. a) Se ha movido 1 en el eje “y” b) Se ha movido 6 en el eje “y”

x

y

8

4

0 1 2 3x

y

y

x

2

0 1 2 3

x

y

x

y

3

30 21

x

y

x

y

0

11 2

–1–1–2

x

y

x

y

50

–3

x

y

0 3 x

y

–2

x

y

–2 2

3

2

0 1

x

y

x

y

05 9

x

y

–3

x

y x

3

1

5

210

y

x

y

x

4

2

1 20

y

x

y

3

9

50

x

y

x

y 0 1 3 4

x

y

6

3

2x

y


R

E

S

P

U

E

S

T

A

S

226

11. a) y = 2x − 4 b) y = − x

12. La ecuación del eje de la parábola/ las coordenadas del vértice.

a) x = − 1 / (− 1, 0) b) x = 3 / (3, 0) c) x = 0 / (0, 9) d)x = 0 / (0, − 4)

13. a) y = x2 − 6x + 10 b) y = − 2x2 − 4x +3= (x − 3)2 +1 = − 2(x + 1)2 +5

14. La ecuación del eje de la parábola / las coordenadas del vértice

a) x = − 2 / (− 2, 1) b) x = 1 / (1, − 3) c) x = 3 / (3, 8) d)x = − 2 / (− 2, − 1)

15. La ecuación del eje de la parábola / las coordenadas del vértice

a) x = 2 / (2, 1) b) x = 3 / (3, − 9) c) x = 2 / (2, 2)

54

310x

y

2

x

y

x

y

6

4

2

2 31–1

x

y

–3 0–2 –1 x

x= –1

–1

–4

yx

y

x

y

3

3210 4

x = 3

x

y

x

y

–2 –1 1 2

98

5

0x

y

–3–1

–9

01x

y

x

y

y

3 421

12

5

y

x0

x

y

x0

–5

–8–9

61 2 3 4 5y

x

y

4

3210

6

–2

x

y

x

y

–1

–3

210 x

y

x

y–1

1 2 3 4 5 60

4

y

x

87

x

y


R

E

S

P

U

E

S

T

A

S

227

d) x = − 1 / (−1, 1) e) x = 1 / (1, 3) f) x = − 1 / (−1, 1)

16. a) Se ha movido paralelo 3 en el eje”x”, 2 en el eje “y”.b) − 2 en el eje “x”, − 5 en el eje “y”.

17. a) y = − x2 + 2x +1 b) y = 2x2 − 4x +2 c) y = 2x2 − 4x +1d) y = − x2 + 3x + 4 e) y = 2x2 + 4x +2

18. Valor máximo /valor mínimoa) no existe / − 4 ( x = − 2) b) 3 ( x = − 1) / no existec) 4 ( x = 2) / no existe d) no existe / − 3 ( x = − 1)

19. Valor máximo /valor mínimoa) 6 (x = 5) / 2 ( x = 3) b) 5 ( x = 3) / −3 ( x = 1)c) 5 (x = 0) / 1(x = 2) d) 5 (x = 0) / −7 ( x = − 1)

20. a) y ≤ 4 b) − 2 ≤ y ≤ 7 c) − 1 ≤ y ≤ 3

21. a) mínimo: 2 (x = 1, y = 1) b) máximo: 14 ( x = 1

4 , y = 1)

22. a) máximo: 4 (x, y) = (2, 2) b) máximo: 4 (x, y) = (− 1, 0)mínimo: 0 (x, y) = (4, 0), (0, 4) mínimo: 0 (x, y) = (1, 0)

23. a) 4x2 − 3x + 2 b) 2316

(SUGERENCIA)a) El área del cuadrado ABCD (S

1) es 2 × 2 = 4 cm2

AP = 2, entonces PB = 2 − x

El área de ∆ PBQ (S2 ) es 1

2 × (2 − 2x) × 2x= (2 − x) x.

BQ = 2x, entonces QC = 2 − 2x.

El área de ∆ RQC (S3) es 1

2 × (2 − 2x) × 3x= 3(1 − x)x

El cuadrilátero APRD es trapecio.CR = 3x, entonces RD = 2 − 3xEl área del cuadrilátero APRD (S

4 ) es

12 × { x + (2 − 3x)} × 2 = 2 − 2x

Por lo tanto, el área de ∆ PQR (S) esS = S

1− ( S

2 + S

3 + S

4)

= 4 − { (2 − x)x + 3(1 − x)x + (2 − 2x)}= 4x2 − 3x + 2

–2 1

–10

x

y

x

y

–1

210

3

1

y

xx

y

x

3

y

–3 –2 –1 10

1

32

x

y

D

R

CQB

P

A

3x2x

x

2 cm


R

E

S

P

U

E

S

T

A

S

228

b) 0 < 3x < 2

24. a) (x, y) = (4, 0), (− 2, 0) b) (x, y) = (1, 0), (3, 0)

c) (x, y) = ( 13 , 0) d) (x, y) = (− 2, 0), ( 3

2 , 0)

25. a) Se intersectan en dos puntos diferentes. b) No se intersectan ni se tocan.c) Se intersectan en dos puntos diferentes. d) Toca

26. a) a < 92 b) k = − 4, 4

27. a) No existe b) (x, y) = (− 1, − 3) c) (x, y) = (− 1, 1), ( 13 , − 3)

28. a) Toca b) No se intersectan ni se tocan. c) Se intersectan en dos puntos diferentes.

29. a) a = − 2, 6 b) k < − 58

30. a) y = 12 x + 3

2 b) y = 3x + 12

c) y = 14 x − 1

4 (1 ≤ x ≤ 5) d) y = 5x + 15 (− 2 ≤ x ≤ − 1)

31. a) b) c)

32. Las ecuaciones de las asíntotas

a) x = 1, y = 0 b) x = 0, y = 1 c) x = 2, y = 2

x

y

3

–3

3

–3

11

–1–1

0x

y

4

y

12

–4 –2–1

2 41–1

4

–2x

x

y

1

y

x12 1

2

– 12

– 12

–1

–1

10x

y

0–1–2

2

1

21 3

–2

–1

x

y

x

y

x

y

32

–2

–1 1

1 2 3–1

–2

0

x

y

y

x

–1–1

0 3 4 51

1

34

2x

y


R

E

S

P

U

E

S

T

A

S

229

d) x = − 1, y = − 1 e) x = 1, y = − 2 f) x = 3, y = 2

33. a) Se ha movido 3 en el eje “x” , 1 en el eje “y”. b) 2 en el eje “x”, 2 en el eje “y”.

c) − 2 en el eje “x”, − 1 en el eje “y”.

34. a) y < 2 b) y ≤ − 2, 3 < y c) y ≤ 12 , 2 < y

35. a) y = − +−x

x5

2 b) y = 21

xx−

36. las coordenadas /intervalo.

a) (4, 4), (− 1, − 1) / − 1 ≤ x < 3, 4 ≤ x b) (2, 0), (− 2, 4) / − 2 < x < 1

37. a) b) c) d)

38. a) El gráfico de la función irracional b) y = − −x 2 / y = − x / 2 en el eje “x”

y = 2 4x − se ha movido paraleloal gráfico de la función irracional

y = 2x , 2 en eje “x”.

c) y = 5 − x / y = −x / 5 en el eje “x” d) y = − − −x 3 / y = − −x / −3 en el eje “x”.

39. a) 2 ≤ y ≤ 3 b) 2 ≤ y ≤ 4

–3 –2 3

–2–3

–1–10

1 1

x

y

2

x

y

–2 –1

x

y

1 2 3

–1–2

0

–3

x

y

0x

y

1 2 4 5

3

3

4

2

1x

y

–1–2

0

yx1 4x

y–1

y

1

2

0–4

xx

y

0 x–4 –1

y

–2

–4

x

y

y3

0

–2

x–1

–1

x

y

2

0

y = 2x – 4y = 2x

2 4x

y

x

y

0

yx

y = x

y = x –2–

–2–1

21 4 6x

y

–4 –1 0 1 5

y = – –x y = – 5 –x

2

1

y

xx

y

0x–4–7 –3 –2 –1

y

y = – –x–3 y = – –x

x

y

–1

–2


R

E

S

P

U

E

S

T

A

S

230

40. a) y = x2 − 1, (x ≥ 0, y ≤ − 1) b) y = x2 + 1, (x ≥ 0, y ≥ 1)

c) y = − x2 + 2, (1 ≤ x ≤ 2, − 2 ≤ y ≤ 1) d) y = x + 2 , (x ≥ − 2, y ≥ 0)

e) y = − − +x 9 , (x ≤ 9, y ≤ 0)

41. a) (x, y) = (1, 2) b) (x, y) = (4, 1) c) (x, y) = (− 2, 2) d) (x, y) = (2, 1)

42. a) x < 1 b) − 2 < x ≤ 2

43. a) − 3 b) 7 c) 5 d) 10 e) − 2

44. a) 3 b) 2 c) 2 d) 5

45. a) 8 b) 25 c) 10 d) 49

46. a) a b) b4 c) 2 d) 1

47. a) b)

48. Ahora dos puntos dados x = a, x = − a sonsimétricos con el eje “y”. Sustituir x = a en lafunción y = 4x, y = 4a, además y = − a en la

función y = ( 14 )x.

y = ( 14 )− a = 4a. Por lo tanto los gráficos y = 4x,

y y = ( 14 ) x son simétricos con el eje “y”.

49. a) 3− 3 < 3− 2 < 30 < 32 b) ( 45 )3 < ( 4

5 )2 < 1 < ( 45 )− 2

c) (0.5)4 < (0.5) 2 < (0.5) − 1 < (0.5) − 3 e) ( 32 )− 2 < 2

3 < 32 < ( 3

2 )3

50. máximo: 38 (donde x = 2)mínimo: 2 (donde x = 1)

51. a) 32 b) 2

5 c) 23 d) 3 e) − 2, 1

2

0 1

x

y

32

1x

y0–1

32

23

21

1

x

y

x

y


R

E

S

P

U

E

S

T

A

S

231

52. a) 1, 2 b) − 1, 2 c) 3 d) − 1

53. a) x < − 3 b) x > − 13 c) x > − 5 d) x < 3

54. a) x ≥ 3 b) x > 3 c) x ≤ 2 d) 0 < x < 2

55. a) 18 b) 76

56. a) 2 = log 3 9 b) 8 = log

2 256 c) 3 = log

10 1 000

d) 0 = log 7 1 e) − 3 = log

51

125

57. a) 27 = 128 b) 30 = 1 c) 43 = 64 d) 5 −2 = 125

58. a) 0 b) 2 c) 9 d) 12

e) − 2 f) 23 g)− 2 h) 3

4

59. a) log 10

2 + log 10

3 b) log 10

2 + 3 log 10

3c) − 2 log

10 2 − log

10 3 d) 1 − log

10 2

60. a) 2 b) 4 c) 2 d) 2 e) 0

61. a) 1 b) 6 c) 5

62. a) b) c)

d) e)

63. a) 1 ≤ y ≤ 3 b) 0 ≤ y ≤ 2 c) − 4 ≤ y ≤ − 1 d) y ≤ 0

64. a) log 123 < log 1

22 < 0 < log 1

2

13 b) log

312 < 0 = log

31 < log

3 4

65. a) 9 b) 12 c) 1 d) 3

e) 9 f) 10 g) 8, − 2 h) 6

66. a) 4, 8 b) 3 c) 3, 9

x

y

10 2 3 4

21

52

x

y

21 4

–1–2

y

x0

x

y

5

–1

0 1

x

y

x

y

PERSONAL DIRECTIVO DEL MINISTERIO DE EDUCACIÓN

ROLANDO ERNESTO MARÍN COTO MATILDE GUERRA DE QUINTANAMINISTRO DE EDUCACIÓN VICEMINISTRA DE EDUCACIÓN

ÁNGEL GUSTAVO DUBÓN MARCHELLI JORGE FRANCISCO QUINTANILLADIRECTOR NACIONAL DE DIRECTOR NACIONAL DE

GESTIÓN EDUCATIVA DESARROLLO EDUCATIVO

KEIRINKAN Y SUKENSHUPPAN

PROPIEDAD INTELECTUAL

AGENCIA DE COOPERACIÓN INTERNACIONAL DE JAPÓN (JICA/JOCV)

VOLUNTARIO JAPONÉS

TRADUCTOR AL ESPAÑOL

HIDETOSHI NAGANO

COLABORADORES DE LA PRIMERA VERSIÓN

(DOCENTES DEL I. N. GRAL. FRANCISCO MENÉNDEZ)

SARA CECILIA CASTELLANOS

CLAUDIA PATRICIA CORCIO

RENÉ ZELADA MONTENEGRO

ADECUACIÓN CURRICULAR DE LA SEGUNDA VERSIÓN

(VOLUNTARIOS JAPONESES)

KENICHI YOSHIDA

MEGUMI KOTAKE

DIRECCIÓN DE DESARROLLO CURRICULAR

HAYDEÉ IGLESIAS DE ALBANEZ

JUDITH ANTONIA REYES DE ROMERO

CORRECTOR DE ESTILO

JOSÉ LUIS SEGOVIA

ORGANISMO COOPERANTE.

VOLUNTARIOS JAPONESES PARA LA COOPERACIÓN EN ULTRAMAR

(JOCV).

Se prohibe la reproducción total o parcial, modificación, adición o reformas de esta obrahecho por cualquier medio mecánico, electrónico o digital


R

E

S

P

U

E

S

T

A

S

233

7. 6 términos

8. a) an

= 2n − 48 b) a100

= 152 c) 23 términos

9. a) 560 b) 730

10. a) a9

= 29 b) d = − 3 c) a = 20 d) n = 8

11. El primer término: − 8, el intervalo: 3

12. a) 15 términos b) 32 términos

13. a) 1 683 b) 3 367

14. 1 225

15. El primer término: 2 el intervalo: 5

16. La razón / el número adecuado en el

a) 12 / 1, 1

2 b) − 3 / 127 , − 1, 3

17. a) an

= (2) ( 13 )n − 5 / a

8= − 2

27 b) a8= 16 c) a

6= − 1

25

d) a = 5 e) r = 12 f) n = 6

(SUGERENCIA)

a) an

= (162 )( 13 )n − 1 = { (2) ( 1

3 ) − 4 } ( 13 )n − 1 = (2) ( 1

3 )n − 5

18. a = 2 r = − 3 a8

= − 4 374

19. a = 3, r = 2, an

= (3) 2n − 1 ó a = 3, r = − 2, an

= (3 )(- 2)n − 1

20. a) − 242 b) 1892 c) 1 023

21. a) n = 7 b) a = 3 c) r = − 4, 3

22. 8 939.33 dólares.

23. a = 3, b = 92 ó a = − 1, b = 1

2

24. x = 9, y = 4 ó x = − 2, y = − 18

25. x = 5, y = 3, z = 1.

RESPUESTAS A EJERCICIOS DE REPASO.

CAPÍTULO IV. SUCESIONES

EJERCICIOS

1. a) b)

c) d)

0 131 7

20 3

– 4 0.5 6.25


R

E

S

P

U

E

S

T

A

S

235

17. la razón / el número adecuado en el

a) 3 / 54 , 162 b) 23 / 8

9 , 3281

18. a) an= − (− 2) n − 5 / a

10= 32 b) a

8= 2

9 c) a11

= − 1

d) a = − 3 e) r = − 3, 3 f) n = 5 (SUGERENCIA)

a) an= (− 1

16 ) (− 2)n − 1

= − ( (− 2) − 4) (− 2) n − 1 = − (− 2) n − 5

19. a = 7, r = 2, a8= 896

20. a) a = 4 , r = 3 , an= (4) (3n − 1) ó a = − 4 r = − 3, a

n= − (4) (− 3)n − 1

b) a = 384, r = − 12 , a

6= 12

21. a) 258 b) 2423 c) 129

22. a) n = 7 b) a = − 8 c) r = − 3, 2

23. 15 649.50 dólares.

24. x = 1, y = 1 o x = 13 , y = − 1

3

25. a = 2, b = 6 o a = 12 , b = 3

26. x = − 1 , y = 2 , z = − 4


R

E

S

P

U

E

S

T

A

S

236

TABLA DE LOGARITMOS BASE 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 0.0000 0.0043 0.0086 0.0128 0.0170 0.0212 0.0253 0.0294 0.0334 0.0374

1.1 0.0414 0.0453 0.0492 0.0531 0.0569 0.0607 0.0645 0.0682 0.0719 0.0755

1.2 0.0792 0.0828 0.0864 0.0899 0.0934 0.0969 0.1004 0.1038 0.1072 0.1106

1.3 0.1139 0.1173 0.1206 0.1239 0.1271 0.1303 0.1335 0.1367 0.1399 0.1430

1.4 0.1461 0.1492 0.1523 0.1553 0.1584 0.1614 0.1644 0.1673 0.1703 0.1732

1.5 0.1761 0.1790 0.1818 0.1847 0.1875 0.1903 0.1931 0.1959 0.1987 0.2014

1.6 0.2041 0.2068 0.2095 0.2122 0.2148 0.2175 0.2201 0.2227 0.2253 0.2279

1.7 0.2304 0.2330 0.2355 0.2380 0.2405 0.2430 0.2455 0.2480 0.2504 0.2529

1.8 0.2553 0.2577 0.2601 0.2625 0.2648 0.2672 0.2695 0.2718 0.2742 0.2765

1.9 0.2788 0.2810 0.2833 0.2856 0.2878 0.2900 0.2923 0.2945 0.2967 0.2989

2 0.3010 0.3032 0.3054 0.3075 0.3096 0.3118 0.3139 0.3160 0.3181 0.3201

2.1 0.3222 0.3243 0.3263 0.3284 0.3304 0.3324 0.3345 0.3365 0.3385 0.3404

2.2 0.3424 0.3444 0.3464 0.3483 0.3502 0.3522 0.3541 0.3560 0.3579 0.3598

2.3 0.3617 0.3636 0.3655 0.3674 0.3692 0.3711 0.3729 0.3747 0.3766 0.3784

2.4 0.3802 0.3820 0.3838 0.3856 0.3874 0.3892 0.3909 0.3927 0.3945 0.3962

2.5 0.3979 0.3997 0.4014 0.4031 0.4048 0.4065 0.4082 0.4099 0.4116 0.4133

2.6 0.4150 0.4166 0.4183 0.4200 0.4216 0.4232 0.4249 0.4265 0.4281 0.4298

2.7 0.4314 0.4330 0.4346 0.4362 0.4378 0.4393 0.4409 0.4425 0.4440 0.4456

2.8 0.4472 0.4487 0.4502 0.4518 0.4533 0.4548 0.4564 0.4579 0.4594 0.4609

2.9 0.4624 0.4639 0.4654 0.4669 0.4683 0.4698 0.4713 0.4728 0.4742 0.4757

3 0.4771 0.4786 0.4800 0.4814 0.4829 0.4843 0.4857 0.4871 0.4886 0.4900

3.1 0.4914 0.4928 0.4942 0.4955 0.4969 0.4983 0.4997 0.5011 0.5024 0.5038

3.2 0.5051 0.5065 0.5079 0.5092 0.5105 0.5119 0.5132 0.5145 0.5159 0.5172

3.3 0.5185 0.5198 0.5211 0.5224 0.5237 0.5250 0.5263 0.5276 0.5289 0.5302

3.4 0.5315 0.5328 0.5340 0.5353 0.5366 0.5378 0.5391 0.5403 0.5416 0.5428

3.5 0.5441 0.5453 0.5465 0.5478 0.5490 0.5502 0.5514 0.5527 0.5539 0.5551

3.6 0.5563 0.5575 0.5587 0.5599 0.5611 0.5623 0.5635 0.5647 0.5658 0.5670

3.7 0.5682 0.5694 0.5705 0.5717 0.5729 0.5740 0.5752 0.5763 0.5775 0.5786

3.8 0.5798 0.5809 0.5821 0.5832 0.5843 0.5855 0.5866 0.5877 0.5888 0.5899


R

E

S

P

U

E

S

T

A

S

237

3.9 0.5911 0.5922 0.5933 0.5944 0.5955 0.5966 0.5977 0.5988 0.5999 0.6010

4 0.6021 0.6031 0.6042 0.6053 0.6064 0.6075 0.6085 0.6096 0.6107 0.6117

4.1 0.6128 0.6138 0.6149 0.6160 0.6170 0.6180 0.6191 0.6201 0.6212 0.6222

4.2 0.6232 0.6243 0.6253 0.6263 0.6274 0.6284 0.6294 0.6304 0.6314 0.6325

4.3 0.6335 0.6345 0.6355 0.6365 0.6375 0.6385 0.6395 0.6405 0.6415 0.6425

4.4 0.6435 0.6444 0.6454 0.6464 0.6474 0.6484 0.6493 0.6503 0.6513 0.6522

4.5 0.6532 0.6542 0.6551 0.6561 0.6571 0.6580 0.6590 0.6599 0.6609 0.6618

4.6 0.6628 0.6637 0.6646 0.6656 0.6665 0.6675 0.6684 0.6693 0.6702 0.6712

4.7 0.6721 0.6730 0.6739 0.6749 0.6758 0.6767 0.6776 0.6785 0.6794 0.6803

4.8 0.6812 0.6821 0.6830 0.6839 0.6848 0.6857 0.6866 0.6875 0.6884 0.6893

4.9 0.6902 0.6911 0.6920 0.6928 0.6937 0.6946 0.6955 0.6964 0.6972 0.6981

5 0.6990 0.6998 0.7007 0.7016 0.7024 0.7033 0.7042 0.7050 0.7059 0.7067

5.1 0.7076 0.7084 0.7093 0.7101 0.7110 0.7118 0.7126 0.7135 0.7143 0.7152

5.2 0.7160 0.7168 0.7177 0.7185 0.7193 0.7202 0.7210 0.7218 0.7226 0.7235

5.3 0.7243 0.7251 0.7259 0.7267 0.7275 0.7284 0.7292 0.7300 0.7308 0.7316

5.4 0.7324 0.7332 0.7340 0.7348 0.7356 0.7364 0.7372 0.7380 0.7388 0.7396

5.5 0.7404 0.7412 0.7419 0.7427 0.7435 0.7443 0.7451 0.7459 0.7466 0.7474

5.6 0.7482 0.7490 0.7497 0.7505 0.7513 0.7520 0.7528 0.7536 0.7543 0.7551

5.7 0.7559 0.7566 0.7574 0.7582 0.7589 0.7597 0.7604 0.7612 0.7619 0.7627

5.8 0.7634 0.7642 0.7649 0.7657 0.7664 0.7672 0.7679 0.7686 0.7694 0.7701

5.9 0.7709 0.7716 0.7723 0.7731 0.7738 0.7745 0.7752 0.7760 0.7767 0.7774

6 0.7782 0.7789 0.7796 0.7803 0.7810 0.7818 0.7825 0.7832 0.7839 0.7846

6.1 0.7853 0.7860 0.7868 0.7875 0.7882 0.7889 0.7896 0.7903 0.7910 0.7917

6.2 0.7924 0.7931 0.7938 0.7945 0.7952 0.7959 0.7966 0.7973 0.7980 0.7987

6.3 0.7993 0.8000 0.8007 0.8014 0.8021 0.8028 0.8035 0.8041 0.8048 0.8055

6.4 0.8062 0.8069 0.8075 0.8082 0.8089 0.8096 0.8102 0.8109 0.8116 0.8122

6.5 0.8129 0.8136 0.8142 0.8149 0.8156 0.8162 0.8169 0.8176 0.8182 0.8189

6.6 0.8195 0.8202 0.8209 0.8215 0.8222 0.8228 0.8235 0.8241 0.8248 0.8254

6.7 0.8261 0.8267 0.8274 0.8280 0.8287 0.8293 0.8299 0.8306 0.8312 0.8319

6.8 0.8325 0.8331 0.8338 0.8344 0.8351 0.8357 0.8363 0.8370 0.8376 0.8382

6.9 0.8388 0.8395 0.8401 0.8407 0.8414 0.8420 0.8426 0.8432 0.8439 0.8445

7 0.8451 0.8457 0.8463 0.8470 0.8476 0.8482 0.8488 0.8494 0.8500 0.8506


R

E

S

P

U

E

S

T

A

S

238

7.1 0.8513 0.8519 0.8525 0.8531 0.8537 0.8543 0.8549 0.8555 0.8561 0.8567

7.2 0.8573 0.8579 0.8585 0.8591 0.8597 0.8603 0.8609 0.8615 0.8621 0.8627

7.3 0.8633 0.8639 0.8645 0.8651 0.8657 0.8663 0.8669 0.8675 0.8681 0.8686

7.4 0.8692 0.8698 0.8704 0.8710 0.8716 0.8722 0.8727 0.8733 0.8739 0.8745

7.5 0.8751 0.8756 0.8762 0.8768 0.8774 0.8779 0.8785 0.8791 0.8797 0.8802

7.6 0.8808 0.8814 0.8820 0.8825 0.8831 0.8837 0.8842 0.8848 0.8854 0.8859

7.7 0.8865 0.8871 0.8876 0.8882 0.8887 0.8893 0.8899 0.8904 0.8910 0.8915

7.8 0.8921 0.8927 0.8932 0.8938 0.8943 0.8949 0.8954 0.8960 0.8965 0.8971

7.9 0.8976 0.8982 0.8987 0.8993 0.8998 0.9004 0.9009 0.9015 0.9020 0.9025

8 0.9031 0.9036 0.9042 0.9047 0.9053 0.9058 0.9063 0.9069 0.9074 0.9079

8.1 0.9085 0.9090 0.9096 0.9101 0.9106 0.9112 0.9117 0.9122 0.9128 0.9133

8.2 0.9138 0.9143 0.9149 0.9154 0.9159 0.9165 0.9170 0.9175 0.9180 0.9186

8.3 0.9191 0.9196 0.9201 0.9206 0.9212 0.9217 0.9222 0.9227 0.9232 0.9238

8.4 0.9243 0.9248 0.9253 0.9258 0.9263 0.9269 0.9274 0.9279 0.9284 0.9289

8.5 0.9294 0.9299 0.9304 0.9309 0.9315 0.9320 0.9325 0.9330 0.9335 0.9340

8.6 0.9345 0.9350 0.9355 0.9360 0.9365 0.9370 0.9375 0.9380 0.9385 0.9390

8.7 0.9395 0.9400 0.9405 0.9410 0.9415 0.9420 0.9425 0.9430 0.9435 0.9440

8.8 0.9445 0.9450 0.9455 0.9460 0.9465 0.9469 0.9474 0.9479 0.9484 0.9489

8.9 0.9494 0.9499 0.9504 0.9509 0.9513 0.9518 0.9523 0.9528 0.9533 0.9538

9 0.9542 0.9547 0.9552 0.9557 0.9562 0.9566 0.9571 0.9576 0.9581 0.9586

9.1 0.9590 0.9595 0.9600 0.9605 0.9609 0.9614 0.9619 0.9624 0.9628 0.9633

9.2 0.9638 0.9643 0.9647 0.9652 0.9657 0.9661 0.9666 0.9671 0.9675 0.9680

9.3 0.9685 0.9689 0.9694 0.9699 0.9703 0.9708 0.9713 0.9717 0.9722 0.9727

9.4 0.9731 0.9736 0.9741 0.9745 0.9750 0.9754 0.9759 0.9763 0.9768 0.9773

9.5 0.9777 0.9782 0.9786 0.9791 0.9795 0.9800 0.9805 0.9809 0.9814 0.9818

9.6 0.9823 0.9827 0.9832 0.9836 0.9841 0.9845 0.9850 0.9854 0.9859 0.9863

9.7 0.9868 0.9872 0.9877 0.9881 0.9886 0.9890 0.9894 0.9899 0.9903 0.9908

9.8 0.9912 0.9917 0.9921 0.9926 0.9930 0.9934 0.9939 0.9943 0.9948 0.9952

9.9 0.9956 0.9961 0.9965 0.9969 0.9974 0.9978 0.9983 0.9987 0.9991 0.9996


R

E

S

P

U

E

S

T

A

S

239

Modo de utilizar esta tabla

Por ejemplo: log 7.25

1) Encontrar 7.2 en la línea izquierda.

2) Encontrar 5 en la línea numerica de 0 a 9, este número se expresa el segundo decimal.

3) Encontrar el punto de intersección de 7.2 y 5

4) Entonces el valor de log7.25 es 0.8603.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

7 0.8451 0.8457 0.8463 0.8470 0.8476 0.8482 0.8488 0.8494 0.8500 0.8506

7.1 0.8513 0.8519 0.8525 0.8531 0.8537 0.8543 0.8549 0.8555 0.8561 0.8567

7.2 0.8573 0.8579 0.8585 0.8591 0.8597 0.8603 0.8609 0.8615 0.8621 0.8627

7.3 0.8633 0.8639 0.8645 0.8651 0.8657 0.8663 0.8669 0.8675 0.8681 0.8686

7.4 0.8692 0.8698 0.8704 0.8710 0.8716 0.8722 0.8727 0.8733 0.8739 0.8745

SE PROHIBE LA VENTA

© DERECHOS RESERVADOS

PROPIEDAD DEL MINISTERIO DE EDUCACIÓN DE EL SALVADOR

PRIMERA EDICIÓN

La presente edición consta de 30 000 ejemplares

y se financió con fondos provenientes

del Convenio de Préstamo Proyecto Educación Media

I N° 4 224 ES

Banco Internacional de Reconstrucción y Fomento BIRF

Ministerio de Educación

Dirección Nacional de Desarrollo Educativo

San Salvador, El Salvador, C.A.

Impreso en Colombia por Quebecor World Bogotá

Marzo de 2003

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