presentación conjuntos

Fundamento de Conjuntos Operaciones entre Conjuntos

MATEMTICAS DISCRETAS

JAIME ANDRS CASTAO [email protected] .edu.co

universomatematico81.blogspot.com

Departamento de Matemticas y EstadsticaUniversidad Icesi

2014-2

Jaime Andrs Castao Perea Universidad Icesi



1 Fundamentos de Conjuntos

2 Operaciones entre Conjuntos




Preguntas de inters

Algunas preguntas que debes saber responder al da de hoy:

1 Qu es un conjunto? cmo se nombran?

2 Qu es un elemento? Cmo se simbolizan?3 Cmo te puedes referir a los conjuntos? Cita un ejemplo

de cada uno.4 Qu es la relacin de pertenencia y para qu la usas?5 Qu es la relacin de inclusin y para qu la usas?6 Qu es un diagrama de Venn?




Preguntas de inters


1 Qu es un conjunto? cmo se nombran?2 Qu es un elemento? Cmo se simbolizan?

3 Cmo te puedes referir a los conjuntos? Cita un ejemplode cada uno.

4 Qu es la relacin de pertenencia y para qu la usas?5 Qu es la relacin de inclusin y para qu la usas?6 Qu es un diagrama de Venn?




Preguntas de inters


1 Qu es un conjunto? cmo se nombran?2 Qu es un elemento? Cmo se simbolizan?3 Cmo te puedes referir a los conjuntos? Cita un ejemplo

de cada uno.

4 Qu es la relacin de pertenencia y para qu la usas?5 Qu es la relacin de inclusin y para qu la usas?6 Qu es un diagrama de Venn?




Preguntas de inters



de cada uno.4 Qu es la relacin de pertenencia y para qu la usas?

5 Qu es la relacin de inclusin y para qu la usas?6 Qu es un diagrama de Venn?




Preguntas de inters



de cada uno.4 Qu es la relacin de pertenencia y para qu la usas?5 Qu es la relacin de inclusin y para qu la usas?

6 Qu es un diagrama de Venn?




Preguntas de inters



de cada uno.4 Qu es la relacin de pertenencia y para qu la usas?5 Qu es la relacin de inclusin y para qu la usas?6 Qu es un diagrama de Venn?




Un concepto importante, presente en demostracionesvinculadas con los conjuntos, corresponde al axioma deextensin.

Axioma de extensinSi todo elemento de A pertenece a B y todo elemento de Bpertenece al conjunto A, entonces los conjuntos son iguales.Escribimos A = B.

Simblicamente, Cmo puedes escribir el axioma anterior?

Para probar que dos conjuntos son iguales, se debe probar queA B y B A. Qu significa esto?




En ocasiones, existen en matemtica, conjuntos que carecende elementos. Puedes dar un ejemplo?

A este conjunto quecarece de elementos se le denomina Conjunto vaco. Sepuede simbolizar como {} .La existencia de este conjunto se da como un axioma.

Axioma del conjunto vacoExiste un conjunto que no tiene elementos

TeoremaSea A un conjunto, entonces A. Qu significa esto?Escribe dos ejemplos por comprensin de conjuntos que notengan elementos.




En ocasiones, existen en matemtica, conjuntos que carecende elementos. Puedes dar un ejemplo? A este conjunto quecarece de elementos se le denomina Conjunto vaco. Sepuede simbolizar como {} .

La existencia de este conjunto se da como un axioma.






En ocasiones, existen en matemtica, conjuntos que carecende elementos. Puedes dar un ejemplo? A este conjunto quecarece de elementos se le denomina Conjunto vaco. Sepuede simbolizar como {} .La existencia de este conjunto se da como un axioma.








TeoremaSea A un conjunto, entonces A. Qu significa esto?

Escribe dos ejemplos por comprensin de conjuntos que notengan elementos.




Tamao o nmero de elementos

Si A es un conjunto, cmo se denomina el nmero deelementos de un conjunto?

DefinicinEl nmero de elementos distintos de un conjunto A sedenomina Cardinalidad de A. Se simboliza como #(A) Car(A) |A|.

EjemploCita algunos ejemplos. Adems, cita un ejemplo en donde losconjuntos sean iguales y tengan cardinalidad distinta.

DefinicinUn conjunto finito es un conjunto con una cantidad finita deelementos. De lo contrario se denomina conjunto infinito.




Los conjuntos como objetos matemticos, pueden sercombinados mediante operaciones como:

1 Unin []

2 Interseccin []

3 Diferencia []4 Complemento []5 Producto Cartesiano []

Adems, a partir de un conjunto X , podemos obtener elconjunto llamado:

Partes o potencia del conjunto X , simbolizado como P(X )




Unin

DefinicinLa unin de los conjuntos A y B, simbolizada como A

B se

define como A

B = {x : x A x B}

La unin satisface las siguientes propiedades:

Propiedades1 Idempotencia: A

A = A

2 Conmutativa: A

B = B

A3 Asociativa: (A

B)

C = A(B

C)4 Identidad: A

= A5 A (AB)6 Si A B entonces AB = B.




Unin

DefinicinLa unin de los conjuntos A y B, simbolizada como A

B se

define como A

B = {x : x A x B}La unin satisface las siguientes propiedades:


A = A

2 Conmutativa: A

B = B

A3 Asociativa: (A

B)

C = A(B

C)4 Identidad: A

= A5 A (AB)6 Si A B entonces AB = B.




Interseccin

DefinicinLa interseccin de los conjuntos A y B, simbolizada comoA

B se define como A

B = {x : x A x B}

La interseccin satisface las siguientes propiedades:


A = A

2 Conmutativa: A

B = B

A3 Asociativa: (A

B)

C = A(B

C)4 Identidad: A

= A5 (A

B) A

6 Si A B entonces AB = A




Interseccin

DefinicinLa interseccin de los conjuntos A y B, simbolizada comoA

B se define como A

B = {x : x A x B}La interseccin satisface las siguientes propiedades:


A = A

2 Conmutativa: A

B = B

A3 Asociativa: (A

B)

C = A(B

C)4 Identidad: A

= A5 (A

B) A

6 Si A B entonces AB = AJaime Andrs Castao Perea Universidad Icesi



Diferencia

DefinicinLa diferencia de los conjuntos A y B, simbolizada como A Bse define como A B = {x : x A x / B}

La Diferencia satisface las siguientes propiedades:

Propiedades1 A A = 2 A = A3 A = 4 A (A B) = AB5 (A B) C = A (BC)




Diferencia

DefinicinLa diferencia de los conjuntos A y B, simbolizada como A Bse define como A B = {x : x A x / B}La Diferencia satisface las siguientes propiedades:

Propiedades1 A A = 2 A = A3 A = 4 A (A B) = AB5 (A B) C = A (BC)




Complemento

DefinicinSea U y A conjuntos tales que A U. El complemento de A enU o con respecto a U, simbolizado como A Ac se definecomo A = U A = {x U : x / A}

El complemento satisface las siguientes propiedades:

Propiedades1 A

A =

2 = U3 (U ) = U4 (A

B) = A

B

5 (A

B) = A

B

6 A

A = U




Complemento

DefinicinSea U y A conjuntos tales que A U. El complemento de A enU o con respecto a U, simbolizado como A Ac se definecomo A = U A = {x U : x / A}El complemento satisface las siguientes propiedades:

Propiedades1 A

A =

2 = U3 (U ) = U4 (A

B) = A

B

5 (A

B) = A

B

6 A

A = UJaime Andrs Castao Perea Universidad Icesi



DefinicinEl producto cartesiano de los conjuntos A y B, simbolizadocomo A B se define como A B = {(a,b) : a A,b B}.

El producto cartesiano ser fundamental en la definicin delconcepto de funcin mas adelante. Qu pasa si no son dosconjuntos solamente? Se puede definir producto cartesiano engeneral para n conjuntos.

DefinicinEl producto cartesiano de los conjuntos A1,A2, . . .An,simbolizado como A1 . . . An se define comoA1 . . . An = {(a1,a2, . . . ,an) : ai Ai , i = 1, . . .n}.




DefinicinEl producto cartesiano de los conjuntos A y B, simbolizadocomo A B se define como A B = {(a,b) : a A,b B}.El producto cartesiano ser fundamental en la definicin delconcepto de funcin mas adelante.

Qu pasa si no son dosconjuntos solamente? Se puede definir producto cartesiano engeneral para n conjuntos.





DefinicinEl producto cartesiano de los conjuntos A y B, simbolizadocomo A B se define como A B = {(a,b) : a A,b B}.El producto cartesiano ser fundamental en la definicin delconcepto de funcin mas adelante. Qu pasa si no son dosconjuntos solamente? Se puede definir producto cartesiano engeneral para n conjuntos.





DefinicinDado el conjunto A, el conjunto partes de A, simbolizado comoP(A) se define como P(A) = {X : X A}.

EjemploSea A = {a}, B = {1,2,3}. Escribe el conjunto partes de cadauno de ellos. cul es el cardinal de cada uno de ellos?

Puedes contar el nmero de elementos de partes de unconjunto? Cmo lo calculas?




Ejercicios para demostrar

Algunas propiedades distributivas1 A

(B

C) = (A

B)(A

C)2 A

(B

C) = (A

B)(A

C)3 A (BC) = (A B)(A C)4 A (BC) = (A B)(A C)

Otros ejercicios de inters:

1 A B = B A si y slo si A = B2 A B = A si y slo si AB = 3 A B = B si y slo si A = B =




Uniones e intersecciones generalizadas

DefinicinLa unin de una coleccin de conjuntos es el conjunto quecontiene aquellos elementos que son miembros de al menosuno de los conjuntos de la coleccin. Esta unin se simboliza

como A1

A2

. . .

An =n

i=1Ai .

DefinicinLa interseccin de una coleccin de conjuntos es el conjuntoque contiene aquellos elementos que son miembros de cadauno de los conjuntos de la coleccin. Esta interseccin se

simboliza como A1

A2

. . .

An =n

i=1Ai .




Sobre ejercicios sugeridos

ListadoSeccin 1.6: 1,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,1920,21,23,25,26.

ListadoSeccin 1.7: 4,5,6,7,8,9,10,12,14,15,16,17,18,19,2123,24,25,37,42,38

Prximo temaSeccin 1.8: Funciones



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