prctica 4 series temporales

INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA

Departamento de Métodos Cuantitativos e Informáticos

Práctica nº 4 SERIES TEMPORALES

1. Objetivos: a) Representación gráfica de series temporales y cálculo de la tendencia. b) Cálculo de las medias móviles. c) Análisis de los Índices de Variación Estacional (IVE) d) Predicción 2. Presentación de los Datos: el archivo datos-series.xls Los datos con los que se trabajará en esta práctica hacen referencia a:

a) Hoja 1: Venta de coches.

b) Hoja 2: Actividad de un sector industrial.

c) Hoja 3: Series históricas de población. 2. Introducción a Series Temporales: Se denomina serie temporal (también cronológica, histórica o de tiempo) a una sucesión de observaciones cuantitativas de un fenómeno ordenadas en el tiempo. Pueden considerarse como un caso particular de una variable bidimensional (T, Y) en la que la variable independiente es el tiempo = T y la variable dependiente Y muestra la evolución del fenómeno objeto del estudio según el tiempo T. Muchos fenómenos de tipo económico, administrativo, demográfico, etc., exigen el manejo de series temporales. La modelización en el tiempo de una variable facilitará la predicción del comportamiento de ésta en momentos futuros. Una serie temporal la representaremos en una tabla de dos columnas del modo:

t Yt t1 y(t1)t2 y(t2)... ... tk y(tk)

No obstante, en la mayoría de las ocasiones, se consideran dos períodos de tiempo, uno superior al otro, y las observaciones de la variable Y vienen referenciadas a ellos mediante dos subíndices: yi j= valor que toma la variable y en el período i, subperíodo j.

Años\ Estaciones 1 ......... j ........... k t1 y1 2 ........ y 1 j .......... y1 kt2 y2 1 ........ y2 j .......... y2 k

........................... ..... ........ .... .......... .....

ti t i 1 ........ yi j .......... yi k ........................... ..... ........ .... .......... ....

. tn t n 1 ........ tn j .......... tn k

EJEMPLO: Años\ Trimestre I II III

1996 5 3 2

1




1997 6 4 3 Esquemáticamente podemos expresar las series temporales de la siguiente forma:

CALCULO DE LA TENDENCIA MEDIAS MÓVILES

MEDIAS SIMPLES RAZÓN ( DIFERENCIA)A LA TENDENCIA

RAZÓN ( DIFERENCIA)A LAS MEDIA

MÓVILES

INDICES DE VARIACION ESTACIONAL( I.V.E.)

PREDICCIÓN

SERIES TEMPORALES

3. Componentes de una serie temporal Toda serie cronológica está compuesta por cuatro componentes teóricas:

a) Tendencia ( secular) = Tt Refleja la evolución a largo plazo de la serie temporal. Es el movimiento, en promedio, de la serie a largo plazo. Es la componente fundamental. b) Variaciones estacionales = Et Recogen oscilaciones con período inferior a un año. Las razones de estacionalidad son:

1. Físico-naturales: tiempo, ciclos biológicos, etc. 2. Institucionales: fiestas, horarios comerciales, vacaciones escolares, etc.

c) Variaciones cíclicas = Ct Oscilaciones de carácter periódico no regular y el período de cada ciclo se entiende que es superior a un año. Son propias de variables económicas y se corresponden con ciclos de prosperidad, recesión y recuperación. Es difícil separar esta componente de la tendencia ya que para ello necesitamos una serie larga y con el número de ciclos completos.

Ejemplos: ciclos bursátiles, oscilaciones de los tipos de interés, cambios en la moda, etc.

d) Variaciones accidentales =Rt Son variaciones que alteran una serie de forma brusca e imprevista. Surgen de forma accidental y obedecen a la ley del azar. Su influencia es mínima y se supone que no afectan al comportamiento futuro de la serie. Ejemplos: huelgas, accidentes, fenómenos naturales, etc.

4. Tipos de esquemas de una serie temporal Las cuatro componentes analizadas anteriormente determinan conjuntamente los valores de la variable analizada en cada instante. Las cuatro componentes teóricas se combinan según los esquemas:

a) Esquema aditivo : Yt = T t +E t + C t + R t 2




Todas las componentes son independientes entre sí. b) Esquema multiplicativo: Yt = T t .E t .C t . R t No se cumple la hipótesis de independencia del esquema aditivo. Este esquema es el que mejor describe fenómenos económicos.

5. Determinación del tipo de esquema

a) Representación gráfica: si las fluctuaciones de la serie(“dientes de sierra”) varían (crecen) con la tendencia se tratará de un esquema multiplicativo o, si bien, permanecen constantes de uno aditivo. No es un método demasiado fiable, sólo valdrá para series con una tendencia muy marcada.

b) Análisis del gráfico desviación típica-media: Se calcula la media (mt) y la desviación típica (St) de cada año, respectivamente. Se representa mt en el eje OX y St en OY. Elegiremos:

1. Esquema aditivo: si los datos se ajustan a una recta paralela al eje OX. 2. Esquema multiplicativo: si los datos se ajustan a recta con pendiente positiva.

De nuevo hay casos que no contempla y por tanto no es demasiado eficiente. c) Análisis de los cocientes ( diferencias) de variación estacional:

1. Se calculan los cocientes y las diferencias estacionales:

, 1

, 1,

i, t 1 , 1 ,

cocientes: 1, 2,....., -1

diferencias : D 1, 2,3,..., 1

i ti t

i t

i t i t

YK donde t n

YY Y donde t n

++

+ +

= =

= − = −

Se calculan del segundo año en adelante. 2. Se calcula ahora el coeficiente de variación de Pearson a K y a D. Se adopta el

modelo cuyo coeficiente de variación sea menor. 6. Análisis de la tendencia Es la componente básica y la que más influye a largo plazo. Para obtener la tendencia secular se usan los métodos:

a) Método de ajuste gráfico de los puntos medios: representamos la serie ( ti , yi ) en unos ejes cartesianos. Unimos los puntos máximos de la gráfica mediante una poligonal y, a su vez, hacemos lo mismo con los puntos mínimos. Ahora unimos los puntos medios de los segmentos verticales delimitados por la poligonales anteriores y ya hemos obtenido una línea de tendencia. Este método tiene el inconveniente de no permitir la extrapolación.

b) Método de las medias móviles: se promedia cada valor de la variable Y con los

valores contiguos (anterior y posterior) mediante la media aritmética; estos nuevos valores “alisan” los “dientes de sierra” más pronunciados y proporcionan la tendencia secular. Para determinar las medias móviles de amplitud “p” debemos:

1. Formar grupos de “p” observaciones y calcular su media. 2. El primer grupo lo forman las “p” primeras observaciones. 3. Los siguientes grupos se van formando excluyendo del grupo anterior la primera

observación. 3




4. Se continúa el proceso hasta que no se pueden formar más grupos. 5. Cada media móvil se asocia al punto medio del intervalo donde ha sido calculada. 6. Se denominan medias móviles de amplitud “p”. 7. Cuando “p” sea par habrá que aplicar el método dos veces para “centrar” la medias

móviles obtenidas en la primera aplicación del método. Inconvenientes del método:

1. La elección de la amplitud “p” estará ligada a la periodicidad de las fluctuaciones que se desea suavizar lo cual no es un problema fácil de resolver.

2. Las primeras y las últimas observaciones no tienen media móvil con lo cual hay pérdida de información.

3. Cuanto mayor sea la amplitud de las medias móviles mejor se eliminan las irregularidades de la será pero también será el número de datos para cálculos posteriores.

c) Método de ajuste a una función: como variable estadística bidimensional (T,Y), se

puede ajustar su nube de puntos por el método de los mínimos cuadrados a una función lineal, parabólica, hiperbólica, etc. Son frecuentes en economía los fenómenos cuyo desarrollo es de tipo lineal, parabólico o exponencial. Además este método tiene la ventaja de disponer de una medida de la bondad del ajuste, el coeficiente de determinación = R2. Si la serie temporal está referida a dos períodos, con el fin de que las variaciones estacionales no distorsionen la tendencia, se debe calcular la media de cada período mayor (normalmente años) y realizar el ajuste anterior con estas medias.

Años\ Estaciones 1 ......... j ........... k MEDIAS ANUALES

t1 y1 2 ........ y 1 j .......... y1 k 1Y

t2 y2 1 ........ y2 j .......... y2 k 2Y

........................... ..... ........ .... .......... .....

.....

ti t i 1 ........ yi j .......... yi k iY

........................... ..... ........ .... .......... .....

.....

tn t n 1 ........ tn j .......... tn k nY

Ahora con estas “medias anuales” ajustamos, por ejemplo, una recta: btat +=Y . Esta función es la tendencia en media de la serie temporal para cada año. En EXCEL se usa la función predefinida =PROMEDIO(Rango).

7. Análisis de la estacionalidad La componente estacional son oscilaciones a corto plazo de duración menor o igual a un año. Trabajamos en el supuesto de estacionalidad constante o estable, es decir, el valor de la componente estacional para cada estación permanece constante de año en año. En el modelo multiplicativo, la componente estacional se mide con un índice adimensional denominado IVE (índice de variación estacional) expresado en tanto por ciento. Los IVE miden la fluctuación del valor de la serie respecto al valor de la tendencia media del año. EJEMPLO: Si el IVE de primavera = 86% significa que en esa estación ha habido una

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disminución de la serie del 14% respecto al valor medio anual. En el modelo aditivo, para cada estación, la componente estacional indica en términos absolutos la cantidad en que se ha superado o no se ha alcanzado el valor tendencia media anual. Se representan por VE. Para la obtención de las variaciones estacionales se usan los métodos:

a) Método de la Razón ( Esq. Multiplicativo) o de la Diferencia ( Esq. Aditivo) a la media móvil:

Supongamos que partimos de un esquema multiplicativo. Pasos:

1. Se calculan las medias móviles de amplitud “p”, siendo p el número de períodos en que se considere dividido el año.

2. Ahora dividimos los datos de la serie original por los obtenidos en al apartado anterior.

3. Realizamos el promedio para cada estación de los datos anteriores = iE

4. Ahora se calcula la media para todas las estaciones = KE

E j∑=

5. Finalmente los IVE se calculan como el cociente entre : 100⋅=EE

IVE II

Bajo el supuesto de esquema aditivo se realiza de la siguiente forma:

1. Se calculan las medias móviles de amplitud “p”, siendo p el número de períodos en que se considere dividido el año.

2. Se calculan la medias por período. 3. Cálculo de las medias por período de la serie original. 4. Restar estas media para cada período. 5. Finalmente las VE se calculan como la diferencia entre : imovilesiserieI EE −− −=VE

b) Método de las relaciones de las medias anuales respecto a la tendencia: Suponemos que estimamos la tendencia mediante una recta y seguimos los pasos:

1. Ajustamos recta a la “medias anuales” de los datos observados: yt = a + bt siendo b = incremento medio que sufre la serie de año en año. Por tanto, b/k será el incremento medio que sufre la serie período a período debido a causas no estacionales (k = número de períodos). 2. Calculamos las medias por períodos. 3. Para aislar la componente estacional realizamos una corrección de estas medias

respecto a la tendencia media. Medias corregidas respecto tendencia = medias estacionales – (b/k)*(no período-1) A estos valores les llamamos “variaciones estacionales”=VE. 4. Se calcula la media de las variaciones estacionales. 5. Se obtienen los IVE como el cociente entre = variaciones estacionales/media VE

8. Desestacionalización

Consiste en suprimir de la serie temporal la componente estacional. Se consigue: 1. En esquema multiplicativo dividiendo por los IVE.

5




2. En esquema aditivo restando las VE.

9. Predicción

a) Se ajusta una función. b) Se calcula el valor medio anual de la tendencia para el período considerado

usando la función ajustada. EJEMPLO : yt = 1,6 t – 133,78 = valor anual medio de la tendencia y91 = 1,6 x 91 – 133,78 = 11,82 = valor medio para el año 91 c) El valor de una estación concreta se obtendrá multiplicando por el IVE

correspondiente el valor anual medio. EJEMPLO: yotoño = 11.82 x IVEotoño

10. Caso práctico 10.1. Ventas de coches: Las ventas de coches (en miles) en un país durante varios años, han sido las que se recogen en la “Hoja1” del archivo datos-series.xls. Se pide:

a) Calcular los índices de variación estacional de cada cuatrimestre por el método de la “razón a la media móvil” bajo el supuesto de estacionalidad estable en el tiempo.

b) Representa gráficamente las observaciones y las medias móviles.

c) Determinar los IVE por el método de la razón a la tendencia, bajo el mismo supuesto. 10.2. Actividad de un sector industrial: El volumen de actividad de un sector industrial ( en millones de € ) durante los últimos cinco años ha sido el que se recoge en la “Hoja2” del archivo datos-series.xls. Se pide:

a) Hallar la tendencia del volumen de actividad anual.

b) Desestacionalizar la serie.

c) Estimar el volumen de actividad para el invierno de 2003. 10.3. Series históricas de población: El número de habitantes de dos pueblos españoles en los últimos diez años son los que se recogen en la “Hoja3” del archivo datos-series.xls. Se pide:

a) Calcular las líneas de tendencia lineal y exponencial.

b) Realizar la predicción de población para 2002 y 2005 en ambos tipos de tendencia.

c) ¿Qué resultado crees que es más fiable?

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