analisis de-series-temporales
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Econometría IIAnálisis de series temporales (I): Procesos estacionarios
Miguel Jerez y Sonia Sotoca
Universidad Complutense de Madrid
Febrero 2004
Ver. 1/16/2003, Pag. # 2
Índice:
• Introducción
• Conceptos básicos
• Procesos elementales
• Identificación
• Anexo: Estudio de los procesos más comunes
Ver. 1/16/2003, Pag. # 3
Introducción (I)
Diferencias entre el análisis de series temporales y la econometría estudiada anteriormente:
• Los datos están ordenados.
• No consideramos, en principio, variables exógenas.
• Se trata de construir un modelo sencillo que aproveche la inercia de los datos económicos para predecir utilizando la información pasada.
• La econometría de series temporales contempla tres fases de análisis
• identificación,
• estimación (no lineal) y
• diagnosis,
que se recorren iterativamente.
Ver. 1/16/2003, Pag. # 4
Introducción (II): Ejemplos
0
100
200
300
400
500
600
700
1950 1952 1954 1956 1958 1960
Pasajeros de líneas aéreas, total mensual
Mile
s de
per
sona
s
Rendimientos del índice NIKKEI de la Bolsa de Tokio. Los datos:• fluctúan establemente en torno a una media nula,• muestran períodos de alta y baja volatilidad
Número de pasajeros de líneas aéreas. La serie muestra:• un perfil creciente (tendencia),• fluctuaciones estacionales y• una variabilidad que crece a medida que aumenta el nivel de la serie.
-15
-10
-5
0
5
10
15
1986 1988 1990 1992 1994 1996
Rendimientos (logx100) del índice NIKKEI
Pun
tos
log
x100
Los primeros y segundos momentos (media y varianza) de distintas series temporales pueden comportarse de formas muy diferentesLas series temporales de naturaleza similar (p. ej., financieras) a menudo presentan rasgos comunes que son de gran utilidad para analizarlas
Ver. 1/16/2003, Pag. # 5
Conceptos básicos (I): Definiciones
Proceso estocástico es un conjunto de variables aleatorias asociadas a distintos instantes de tiempo.
Serie temporal, es un conjunto de observaciones o medidas realizadassecuencialmente en intervalos predeterminados y de igual, o aproximadamente igual, duración.
• La relación entre una serie temporal y el proceso estocástico que la genera es la misma que hay entre una muestra y la variable aleatoria de la que procede.
• Las peculiaridades de una serie temporal (frente a una muestra) y de un proceso estocástico (frente a una variable aleatoria) son:
• las series temporales y los procesos estocásticos están referidos a instantes de tiempo concretos, y
• los datos están ordenados desde el pasado hasta el presente.
• El objetivo del análisis de series temporales es inferir la forma del proceso estocástico a partir de las series temporales que genera.
Ver. 1/16/2003, Pag. # 6
Conceptos básicos (II): Hipótesis simplificatorias
• En ciencias sociales suele ser imposible obtener varias muestras de una serie temporal, por lo que es necesario realizar una serie de supuestos simplificatorios.
• Los supuestos más comunes son:
• Linealidad: El valor que toma hoy la serie (o el proceso) depende linealmente de: a) sus valores pasados y b) los valores presentes y pasados de otras series.
• Estacionariedad (débil): La media y varianza incondicional de una serie (o proceso) son constantes, las autocovarianzas entre dos valores sólo dependen de la distancia temporal que los separa. Formalmente:
• Normalidad: El proceso estocástico generador sigue un modelo normal de distribución de probabilidad (proceso “gaussiano”).
,
, : ( )
[( ) ][( )( )]
t t z
t t t z
t t t k t k t k k
t k E z
E zE z z
µ µµ σ σµ µ γ γ− −
∀ = =
− = =− − = =
2 2 2
Ver. 1/16/2003, Pag. # 7
Procesos elementales (I): Ruido blanco.
Un proceso de ruido blanco representa una variable que:• oscila en torno a una media constante,• con una volatilidad constante y• cuyo pasado no contiene información útil para predecir valores futuros. Podemos representar esta variable como con:t tzz aµ= +
[ ]( ) ( )t z tE z E aµ= = 0 ( )t z aE z σ γ σ= = =2 2 2
0 ;kk kγρ
γ= = ≥
0
0 1
-.4
-.3
-.2
-.1
.0
.1
.2
.3
.4
100 200 300 400 500
Ruido blanco
La figura muestra el perfil de 500 observaciones simuladas del proceso de ruido blanco:
; iid N(0,.01)t t tz a a= ∼
Ver. 1/16/2003, Pag. # 8
Procesos elementales (II): AR(1).Un proceso autorregresivo de primer orden, AR(1), representa una variable cuyo valor actual está relacionado con su valor anterior mediante un modelo de regresión. Esto es:
con:
;t t tz c z aφ φ−= + + <1 1
( )t zcE z µφ
= =−1
( ) at zE z σσ γ
φ= = =
−
22 2
0 21;k
k kρ φ= ≥ 0
-.4
-.3
-.2
-.1
.0
.1
.2
.3
.4
100 200 300 400 500
AR(1) phi=.5
-.6
-.4
-.2
.0
.2
.4
.6
100 200 300 400 500
AR(1), phi=.9
(estacionariedad)
La figura muestra el perfil de dos series generadas por un AR(1) sin constante, con distintos valores del parámetro φ:
Ver. 1/16/2003, Pag. # 9
Procesos elementales (III): MA(1).
Un proceso de medias móviles de primer orden, MA(1), representa una variable cuyo valor actual está correlado con su valor anterior . Esto es:
Con:
;t z t tz a aµ θ θ−= + − <1 1
( )t zE z µ= ( ) ( )t z aE z σ γ θ σ= = = +2 2 2 2
0 1 k
si k
si k
θρ θ
⎧ −⎪⎪ =⎪⎪= +⎨⎪⎪ >⎪⎪⎩
2 110 1
(invertibilidad)
-.4
-.3
-.2
-.1
.0
.1
.2
.3
.4
100 200 300 400 500
MA(1), theta=.5
-.4
-.3
-.2
-.1
.0
.1
.2
.3
.4
100 200 300 400 500
ma(1), theta=.9
La figura muestra el perfil de dos series generadas por un proceso MA(1) sin constante, con distintos valores de θ :
Ver. 1/16/2003, Pag. # 10
Procesos elementales (IV): Paseo aleatorio.
-4
-3
-2
-1
0
1
100 200 300 400 500
Paseo aleatorio sin deriva
50
100
150
200
250
300
350
400
450
100 200 300 400 500
Paseo aleatorio con deriva
Un paseo aleatorio representa una variable cuyos cambios son ruido blanco y, por tanto, imprevisibles. Esto es:
t t ty c y a−+ += 1
La figura muestra el perfil de dos series generadas por paseos aleatorios con y sin deriva. Como puede observarse, la característica fundamental de este proceso es la falta de afinidad de las series a una media estable:
Ver. 1/16/2003, Pag. # 11
Identificación (I): Estadística descriptiva
Para contrastar puede usarse el estadístico:
Coeficientes de asimetría y kurtosis:
La hipótesis de normalidad puede contrastarse mediante el test de Jarque-Bera:
0
10
20
30
40
50
60
-0.25 0.00 0.25
Series: WNOISESample 1 500Observations 500
Mean 0.002643Median 0.006559Maximum 0.386147Minimum -0.304903Std. Dev. 0.102973Skewness -0.046988Kurtosis 3.393006
Jarque-Bera 3.401768Probability 0.182522
: XH µ =0 0/ n
X
Xt tnσ −= 1∼
H0n
i
Xi
X XCAn σ=
⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∑3
1
1σ=
⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∑4
1
1 ni
Xi
X XCKn
( )CA CKJB n χ⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
2 222
36 24
∼H0
El histograma muestra el perfil de una muestra del proceso:
Obsérvese que los momentosmuestrales se aproximan a los teóricos y el test de Jarque-Bera no rechaza normalidad.
; iid N(0,.01)t t tz a a= ∼
Ver. 1/16/2003, Pag. # 12
Identificación (II): Función de autocorrelación simpleEl coeficiente muestral de autocorrelación simple de orden k ( ) se define como:
con:
Para hacer inferencia sobre la función de autocorrelación simple (FAS o ACF) pueden usarse los siguientes resultados:• Para muestras suficientemente grandes• Si es cierto entoncesen donde: K es el número de retardos de la ACF
p es el número de parámetros estimados, si la serie es de residuos.
: KH ρ ρ ρ ρ= = = = =0 1 2 3 0…
γργ
=0´
ˆˆ
kk ; , , ,ˆ
n
k t t k t tt k
z z z z z kn
γ −= +
= = − =∑1
1 1 2…
ρk
En la figura se muestra la función de autocorrelación simple de una muestra del proceso:
... como puede observarse su configuración se parece, sin coincidir exactamente, a la FAS teórica de un proceso MA(1)
. ; iid N(0,.01)t t t tz a a a−= − 15 ∼
( ) ( )K
k K pk
Q K n nn k H
ρ χ −=
= +−∑
2 2
10
12 ∼
/. .( )ks e nρ −1 2
Ver. 1/16/2003, Pag. # 13
Identificación (III): Función de autocorrelación parcial
Los procesos MA tienen una FAS finita. Por tanto en este caso la FAS resulta muy útil, tanto para detectar una estructura MA como para identificar su orden.
Un instrumento con propiedades análogas para procesos AR es el coeficiente muestral de autocorrelación parcial de orden k ( ), que se define como el k-ésimo coeficiente de una autorregresión de orden k estimada por MCO:
al gráfico de barras de los coeficientes frente a su correspondiente retardo se le llama función de autocorrelación parcial (abreviadamente, FAP o PACF).
φkk
ˆ ˆ ˆ ˆ ; , ,t k t k t kk t k ktz z z z kφ φ φ ε− − −= + + + + =1 1 2 2 1 2… …
En la figura se muestran las funciones de autocorrelación de una muestra del proceso:
como puede observarse, la FAP identifica con claridad la naturaleza y el orden del proceso generador de los datos.
. ; iid N(0,.01)t t t tz z a a−= +15 ∼
φkk
Ver. 1/16/2003, Pag. # 14
Identificación (IV)Ruido blanco:
AR(1):
-.4
-.3
-.2
-.1
.0
.1
.2
.3
.4
100 200 300 400 500
Ruido blanco
-.4
-.3
-.2
-.1
.0
.1
.2
.3
.4
100 200 300 400 500
AR(1) phi=.5
Combinando instrumentos gráficos y estadísticos pueden reconocerse de forma aproximada las pautas de autocorrelación características de los distintos procesos.
En análisis de series temporales, a este proceso de especificación empírica se le llama “identificación”
; iid N(0,.01)t t tz a a= ∼
. ; iid N(0,.01)t t t tz z a a−= +15 ∼
Ver. 1/16/2003, Pag. # 15
Identificación (V)MA(1):
Paseo aleatorio:
-4
-3
-2
-1
0
1
100 200 300 400 500
Paseo aleatorio sin deriva
-.4
-.3
-.2
-.1
.0
.1
.2
.3
.4
100 200 300 400 500
MA(1), theta=.5
. ; iid N(0,.01)t t t tz a a a−= − 15 ∼
; iid N(0,.01)t t t ty y a a−= +1 ∼
La identificación puede estructurarse como una secuencia de preguntas:
• ¿Es estacionaria la serie?
• ¿Tiene una media significativa?
• ¿Es finita o infinita la ACF?
• ¿Es finita o infinita la PACF?
Combinando el análisis de la ACF y la PACF, la identificación de los procesos estacionarios puede reducirse a decidir:
• ¿Cuál de las dos funciones es finita? para determinar la naturaleza del proceso generador:
• ¿A partir de qué retardo muere la ACF o PACF? para determinar el orden del proceso.
Estas técnicas requieren usar estadísticos como la media, la varianza o lacovarianza muestrales, que sólo tienen sentido si el proceso es estacionario, esto es, si los datos tienen una media y una varianza finitas y aproximadamente constantes.
ACF
Finita Infinita
Finita Ruido blanco AR
Infinita MA ARMA
PACF
Identificación (VI)
Ver. 1/16/2003, Pag. # 16
Ver. 1/16/2003, Pag. # 17
A.1. Estudio de los procesos más comunes: AR(1)ACF PACF
;t t tz c z aφ φ−= + + <1 1
( )t zcE z µφ
= =−1
( ) at zE z σσ γ
φ= = =
−
22 2
0 21
;kkk kγρ φ
γ= = ≥
0
0
φ< <0 1
Retardo
1
-1
Retardo
1
-1Los procesos AR(1) se reconocen por una ACF infinita y una PACF que se anula a partir del segundo retardo. Si los datos tienen media, es necesario especificar un término constante.
φ− < <1 0
Retardo
1
-1
Retardo
1
-1
Ver. 1/16/2003, Pag. # 18
A.2. Estudio de los procesos más comunes: MA(1);t z t tz a aµ θ θ−= + − <1 1
( )t zE z µ=
( ) ( )t z aE z σ γ θ σ= = = +2 2 2 2
0 1
kk
si k
si k
θγρ θγ
⎧ −⎪⎪ =⎪⎪= = +⎨⎪⎪ >⎪⎪⎩
2
0
110 1
ACF PACF
θ< <0 1
Retardo
1
-1
Retardo
1
-1
Los procesos MA(1) se reconocen por una PACF infinita y una ACF que se anula a partir del segundo retardo.Si los datos tienen media, es necesario especificar un término constante.
θ− < <1 0
Retardo
1
-1
Retardo
1
-1
Ver. 1/16/2003, Pag. # 19
A.3. Estudio de los procesos más comunes: AR(2)
t t t tz c z z aφ φ− −= + + +1 1 2 2
( )t zcE z µφ φ
= =− −1 21
;con :
k k k kρ φ ρ φ ρ− −= + ≥1 1 2 2 1
ACF PACF;φ φ> >1 20 0; ;φ φ φ φ φ+ < − < <2 1 2 1 21 1 1
;φ φρ ρ φφ φ
= = +− −
21 1
1 2 22 21 1
Retardo
1
-1
Retardo
1
-1
Los procesos AR(2) se reconocen por una ACF infinita y una PACF que se anula a partir del tercer retardo.Si los datos tienen media, es necesario especificar un término constante.
;φ φ< >1 20 0
Retardo
1
-1
Retardo
1
-1
Ver. 1/16/2003, Pag. # 20
A.4. Estudio de los procesos más comunes: AR(2)
;φ φ< <1 20 0
Retardo
1
-1
Retardo
1
-1
;φ φ> <1 20 0
Retardo
1
-1
Retardo
1
-1
ACF PACF
Ver. 1/16/2003, Pag. # 21
t z t t tz a a aµ θ θ− −= + − −1 1 2 2
( )t zE z µ=
( ) ( )t z aE z σ γ θ θ σ= = = + +2 2 2 2 2
0 1 21
( )
kk
si k
si k
si k
θ θθ θ
γ θργ θ θ
⎧− −⎪⎪ =⎪⎪ + +⎪⎪⎪ −⎪⎪⎪= = =⎨⎪ + +⎪⎪⎪ >⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪
1 22 21 2
22 2
0 1 2
11
1
210 2
; ;θ θ θ θ θ+ < − < <2 1 2 1 21 1 1 ;θ θ> >1 20 0
;θ θ< >1 20 0
Retardo
1
-1
Retardo
1
-1
;θ θ< <1 20 0
Retardo
1
-1
Retardo
1
-1
;θ θ> <1 20 0
ACF ACF
Los procesos MA(2) se reconocen por una PACF infinita (no se muestra aquí) y una ACF que se anula a partir del tercer retardo.Si los datos tienen media, es necesario especificar un término constante.
A.5. Estudio de los procesos más comunes: MA(2)
Ver. 23/3/2003, Pag. # 1
Econometría IIAnálisis de series temporales (II): Extensiones y metodología
Miguel Jerez y Sonia Sotoca
Universidad Complutense de Madrid
Marzo 2004
Ver. 23/3/2003, Pag. # 2
Índice
• Propiedades típicas de las series económicas
• Transformaciones de datos
• Operadores retardo y diferencia
• Procesos generalizados
• Extensiones
• Metodología
Ver. 23/3/2003, Pag. # 3
Propiedades típicas de las series económicas
0
100
200
300
400
500
600
700
1950 1952 1954 1956 1958 1960
Pasajeros de líneas aéreas, total mensual
Mile
s de
per
sona
s
Muchas series temporales económicas presentan:
• tendencia,
• estacionalidad,
• una variabilidad que crece con su nivel y
• componentes deterministas (valores atípicos, ...)
Sin embargo, los procesos ARMA describen variables puramente estocásticas, no estacionales, con media y varianza constantes. Por tanto, para modelizar series económicas es necesario definir:
• Transformaciones de datos diseñadas para estabilizar la media y la varianza de las series.
• Extensiones de la familia de procesos ARMA, que permitan captar tenden-cias y fluctuaciones estacionales.
Ver. 23/3/2003, Pag. # 4
Transformaciones de datos (I): Box-Cox
Muchas series temporales muestran una variabilidad que cambia con su nivel. Para eliminar esta característica se utiliza la transformación de Box-Cox:
Cada transformación se caracteriza por un valor del parámetro λ. Además, puede aplicarse un cambio de origen (parámetro, m) cuando la transformación requiere valores positivos.
Para elegir la transformación adecuada puede usarse el gráfico media-desviación típica muestral de varias submuestras. En la figura se muestran las configuraciones correspondientes a diversos valores de λ.
Las series económicas a menudo mues-tran una variabilidad que crece con la media de forma aproximadamente lineal. En ese caso, la transformación adecuada es la logarítmica (λ=0)
,( ) si
ln( ) si
tm
t
t
y my
y m
λ
λ λλ
λ
⎧⎪ + −⎪ ≠⎪⎪= ⎨⎪⎪ + =⎪⎪⎩
10
0
λ = 0
λ = 1
λ> 0
λ< 0
µ
σ
Ver. 23/3/2003, Pag. # 5
Transformaciones de datos (II): Ejemplo Box-Cox
-3 -2 -1 0 1 2 3-3
-2
-1
0
1
2
3
AB C
DE
FG
H
IJ
LM
S tandardized mean/s td. dev. plot of nº de pas ajeros de lineas aereas
Means
Sta
ndar
d de
viat
ions
-3 -2 -1 0 1 2 3-3
-2
-1
0
1
2
3
A
B
CD
E
F G H
I
JL M
S tandardized mean/s td. dev. plot of log nº de pas ajeros de lineas aereas
Means
Sta
ndar
d de
viat
ions
0
100
200
300
400
500
600
700
1950 1952 1954 1956 1958 1960
Pasajeros de líneas aéreas, total mensual
Mile
s de
per
sona
s
Como muestran los gráficos,
• la volatilidad crece linealmente con el nivel de la serie,
• tras la transformación, la volatilidad es aproximadamente constante.
450
500
550
600
650
1950 1952 1954 1956 1958 1960
LAIR
Ver. 23/3/2003, Pag. # 6
Transformaciones de datos (III): DiferenciasA menudo la tendencia de una serie puede eliminarse diferenciando los datos. Se dice que una serie es integrada de orden uno si su primera diferencia:
es estacionaria en media.t t tz y y −= − 1
-4
-3
-2
-1
0
1
100 200 300 400 500
Paseo aleatorio sin deriva
-.3
-.2
-.1
.0
.1
.2
.3
100 200 300 400 500
Primera diferencia
La serie de la primera figura es una muestra del proceso estocástico. Por tanto, será estacionaria.; iid N(0,.01)t t t ty y a a−= +1 ∼ t t tz y y −= − 1
Algunas series económicas necesitan una diferencia adicional para conseguir una media incondicional estable. En ese caso se dice que son integradas de segundo orden.
Ver. 23/3/2003, Pag. # 7
Transformaciones de datos (IV): InterpretaciónLa primera diferencia del logaritmo de una serie es una tasa logarítmica en tanto por uno, alternativa a la tasa porcentual, ya que si: , resulta:
Frente a la tasa de variación convencional, la tasa logarítmica tiene la ventaja de ser aditiva, esto es:
( )t t ty yα −= + 11ln ln ln( )t t t ty y α α−− = +1 1
( )ln ln ln ln ln( )n n
n t t tt t
y y y y α−= =
− = − = +∑ ∑0 11 1
1
En el cuadro se presentan varias transformaciones comunes y su interpretación.
Serie transformada InterpretaciónCambio en el valor de yt
Tasa logarítmica (en tanto por uno) de variación entre un período y el siguiente (indicador de “crecimiento”)Cambio en la tasa logarítmica de variación entre un período y el siguiente (indicador de “aceleración” en el crecimiento)Tasa logarítmica de variación acumulada en Speríodos. Indicador de crecimiento acumulado en un ciclo estacional
t t tz y y −= − 1
ln lnt t tz y y −= − 1
;t t t t t tw z z z y y− −= − = −1 1
ln lnt t t Sz y y −= −
Ver. 23/3/2003, Pag. # 8
Operadores retardo y diferencia
A menudo resulta práctico representar los procesos estocásticos utilizando el operador retardo, que se define de la siguiente manera:
/ )) ; :constante
)
)
) ( )
t t
t t
t t
lt t t t t l
B i Bz zii Bk k k
iii B z z
iv B z z
v z Bz B z B z B z l
−
−
+
+ + + +
==
=
=
= = = = = >
1
0
1
1
2 31 2 3 0…
El operador diferencia se define a partir del operador retardo como:
En series estacionales de período S, a menudo se utiliza una variante de este operador que se conoce como diferencia estacional:
/ ( )t t t ty B y y y −∇ ∇ = − = − 11
/ ( )SS S t t t t sy B y y y −∇ ∇ = − = −1
Ver. 23/3/2003, Pag. # 9
Procesos generalizados (I): ARMA(p,q)Los procesos definidos anteriormente pueden escribirse con órdenes generales:
• AR(p):
• MA(q):
• ARMA(p,q):
... y expresarse en términos del operador retardo de la siguiente forma:
• AR(p):
• MA(q):
• ARMA(p,q):
... en donde:
(polinomio AR)
(polinomio MA)
t t t p t p tz c z z z aφ φ φ− − −= + + + + +1 1 2 2 …
t z t t t q t qz a a a aµ θ θ θ− − −= + − − − −1 1 2 2 …
t t t p t p t t t q t qz c z z z a a a aφ φ φ θ θ θ− − − − − −= + + + + + − − − −1 1 2 2 1 1 2 2… …
( )p t tB z c aφ = +
( ) pp pB B B Bφ φ φ φ= − − − −2
1 21 …
( ) qq qB B B Bθ θ θ θ= − − − −2
1 21 …
( )t z q tz B aµ θ= +
( ) ( )p t q tB z c B aφ θ= +
Ver. 23/3/2003, Pag. # 10
Procesos generalizados (II): EstacionariedadEstacionariedad: Se dice que un proceso estocástico es estacionario si todas las raíces de la ecuación característica están fuera del círculo de radio unidad del plano complejo.La condición de estacionariedad sólo afecta a la componente AR del proceso ARIMA, ya que la componente MA siempre es estacionaria.Cuando el polinomio AR tiene alguna raíz igual a uno, se dice que tiene “raíces unitarias”.
ppB B Bφ φ φ− − − − =2
1 21 0…
Consecuencias del cumplimiento:• El proceso tiene media y varianza incondicionales finitas y estables.• El proceso puede escribirse en forma MA equivalente.
Consecuencias del no cumplimiento (raíces unitarias):• La varianza incondicional diverge a infinito.• Si tiene deriva, la media incondicional diverge a infinito. • El factor AR puede factorizarse separando las raíces unitarias de las raíces estacionarias.
Ejemplo. El proceso AR(2) no estacionario: es equivalente al proceso ARIMA(1,1,0):
( . . ) t tB B y a− + =21 1 5 5( . ) t tB y a− ∇ =1 5
Ver. 23/3/2003, Pag. # 11
Procesos generalizados (III): Invertibilidad
Invertibilidad: Se dice que un proceso estocástico es invertible si todas las raíces de la ecuación característica están fuera del círculo de radio unidad del plano complejo.
La condición de invertibilidad sólo afecta a la componente MA del proceso ARIMA, ya que la componente AR siempre es invertible.
qqB B Bθ θ θ− − − − =2
1 21 0…
Consecuencias del cumplimiento:
• El proceso puede escribirse en forma AR equivalente.
Consecuencias del no cumplimiento (raíces unitarias):
• El proceso podría simplificarse, bien eliminando una diferencia, bien representando la tendencia de forma determinista.
Ejemplos.
El proceso ARIMA(2,2,1) no invertible: es equivalente al proceso ARIMA(2,1,0):
Diferenciando el proceso de tendencia determinista: se obtiene el proceso ARIMA(0,1,1) no invertible:
( . . ) ( )t tB B y B a− + ∇ = −2 21 5 7 1( . . ) t tB B y a− + ∇ =21 5 7
t ty t aβ= +( )t ty B aβ∇ = + −1
Ver. 23/3/2003, Pag. # 12
Procesos generalizados (IV): ARIMA(p,d,q)La tendencia estocástica de las series económicas puede captarse mediante raíces AR unitarias. Por ello tiene interés generalizar la formulación del modelo ARMA admitiendo en él este tipo de factores. Esta idea da lugar al modelo ARIMA (p,d,q), que se define como:
en donde:
d ,( ) ( )mp t q tB y c B aλφ θ= +∇
( ) pp pB B B Bφ φ φ φ= − − − −2
1 21 … [polinomio AR(p)]
( ) qq qB B Bθ θ θ θ= − − − −2
1 21 …
/ kt t kB B y y± = ∓
B [polinomio MA(q)]
,( ) si
ln( ) si
tm
t
t
y my
y m
λ
λ λλ
λ
⎧⎪ + −⎪ ≠⎪⎪= ⎨⎪⎪ + =⎪⎪⎩
10
0
B≡ −1∇ [operadores retardo y diferencia]
[transformación de datos (Box-Cox)]
Si los polinomios AR y MA tienen sus raíces en o fuera del círculo de radio unidad, el proceso ARIMA puede escribirse de las siguientes formas equivalentes:
d ,( ))
( )p m
t z tq
By a
Bλφ
µθ
− =(∇d , ( )( )
qmt z t
p
By a
Bλ θ
µφ
= +∇ d ,( )( )
p mt t
q
By c a
Bλφ
θ= +∇
Ver. 23/3/2003, Pag. # 13
Procesos generalizados (V)Representaciones alternativas: Cuando un proceso estocástico no tiene raíces AR ni MA dentro del círculo de radio unidad, puede escribirse de forma equivalente como AR(∞) o MA(∞):Ejemplo 1. Un AR(1) no explosivo puede escribirse como: o, alternativamente, como un proceso media móvil infinito:
( ) t tB z c aφ− = +1
( )t t z tcz a B B a
Bµ φ φ
φ φ= + = + + + +
− −2 21 1
1 1…
Ejemplo 2. Un MA(1) con raíces en o fuera del círculo de radio unidad puede escribirse como: o, alternativamente, como:( )t z tz B aµ θ= + −1
; ( )zt t t tz a B B z c a
Bµ θ θ
θ θ= + + + + = +
− −2 21 1
1 1…
Esto quiere decir que el proceso ARIMA es una aproximación finita a los procesos estocásticos generales:
• Forma “pi”:
• Forma “psi”: t z t t tz a a aµ ψ ψ− −= + + + +1 1 2 2 …t t t tz c z z aπ π− −= + + + +1 1 2 2 …
Ver. 23/3/2003, Pag. # 14
Extensiones (I): Estacionalidad
0
100
200
300
400
500
600
700
1950 1952 1954 1956 1958 1960
Pasajeros de líneas aéreas, total mensual
Mile
s de
per
sona
s
Las series económicas a menudo muestran un comportamiento estacional, esto es, una pauta que se repite con una periodicidad fija, a menudo anual.El período estacional (S) se define como el número de observaciones necesarias para recorrer todo el ciclo estacional. Por ejemplo, S=12 para datos mensuales, S=4 para datos trimestrales, etc.
Para captar este comportamiento, se define el modelo ARIMA(p,d,q)x(P,D,Q)S:,( ) ( ) ( ) ( )S D d m S
p P S t q Q tB B y c B B aλφ θΦ = + Θ∇ ∇
... que incluye tres nuevos factores:( )S S S
P PB B B B⋅ ⋅Φ = −Φ −Φ − −Φ21 21 …
SS B≡ −1∇( )S S S
Q QB B B ⋅ ⋅Θ = −Θ −Θ − −Θ21 21 …
P S [polinomio AR(P)S]Q SB [polinomio MA(Q)S]
[operador diferencia estacional]Este modelo admite relaciones entre un dato y el de S períodos atrás.
Ver. 23/3/2003, Pag. # 15
Extensiones (II): Modelo RegARIMA
Uniendo las ideas anteriores con el análisis de regresión, resulta inmediato formular el modelo RegARIMA (modelo de regresión con errores ARIMA) como:
λ λ ε= +, ( )y y xm Tt ty βx,m
tx
φ ε θΦ = Θ( ) ( ) ( ) ( )S D d Sp P S t q Q tB B B B a∇ ∇con:
De manera que los valores de la serie temporal se ponen en relación, no sólo con su pasado, sino también con los valores contemporáneos de otras series, que actúan como variables explicativas o “inputs”.
Las variables pueden ser series económicas o variables deterministas diseñadas para modelizar:• Efectos calendario, causados por irregularidades en la unidad de tiempo como pueden ser: distinto número de días laborables y festivos o celebración de la Semana Santa.• Valores atípicos (outliers) debidos a fenómenos como, p.ej., el split del nominal de una acción, cambios en tipos impositivo o fenómenos como inundaciones o terremotos. En este caso se dice que el modelo es “de intervención”.
λx x,mtx
Ver. 23/3/2003, Pag. # 16
Extensiones (III): Inputs de intervenciónImpulsos. Producen un cambio en el nivel de una sola observación de la serie. Pueden modelizarse mediante:
⎧⎪ =⎪= ⎨⎪ ≠⎪⎩
10
*
*
sisi
it
t txt t
Impulsos compensados. Producen un cambio en el nivel de una observación, seguido por un cambio de nivel compensatorio en la observación siguiente. Pueden modelizarse mediante:
⎧⎪ =⎪⎪⎪= − = +⎨⎪⎪ ≠ +⎪⎪⎩
11 10 1
*
*
* *
sisisi ,
ICt
t tx t t
t t t
Escalones. Producen un cambio en el nivel de todas las observaciones posteriores a una fecha dada. Pueden modelizarse mediante:
*
*
sisi
Et
t txt t
⎧⎪ ≥⎪= ⎨⎪ <⎪⎩
10
Ver. 23/3/2003, Pag. # 17
Metodología (I)Definir los objetivos del análisis,
estudiar la información disponible
Identificación:Seleccionar una especificación
tentativa
no
Estimación(Métodos no lineales)
Diagnosis:¿Es válido el modelo
para los finesPrevistos?
Utilización del modelo
si
Los métodos de análisis de series temporales combinan los modelos e instrumentos anteriores en una metodología sistemática para construir y probar modelos
Ver. 23/3/2003, Pag. # 18
Metodología (II): Identificación
Parámetro Instrumento de identificación Observaciones
m, λ • Gráfico media-desviación típica• Gráfico de la serie temporal
Se trata de conseguir que la variabilidad de los datos sea independiente de su nivel. En series económicas es habitual λ=0, lo que supone transformar logarítmicamente los datos.
d, orden de diferenciación
• Gráfico de la serie temporal• ACF (decrecimiento lento y lineal)
Se trata de conseguir que los datos fluctúen en torno a una media aproximadamente estable
Término constante
• Media muestral de la serie diferenciada• Desviación típica de la media
Si la media de la serie transformada es significativa, el modelo debe incluir un término constante
p, orden del término AR
• PACF de orden p• ACF infinita
La PACF tiene p valores no nulosUn proceso AR finito y estacionario equivale a un MA(∞)
q, orden del término MA
• ACF de orden q• PACF infinita
La ACF tiene q valores no nulosUn proceso MA finito e invertible equivale a un AR(∞)
Ver. 23/3/2003, Pag. # 19
Metodología (III): Diagnosis
Parámetro Instrumento de identificación Observaciones
• Raíces de los polinomios AR y MA
• Una raíz próxima a uno en la parte AR indica que conviene añadir una diferencia• Una raíz próxima a uno en la parte MA indica que conviene quitar una diferencia
• Correlaciones elevadas entre parámetros estimados Puede ser un síntoma de sobreparametrización
• ACF y PACF residuales Detectan pautas de autocorrelación no modelizadas
• Test Q Contrasta la hipótesis conjunta de que todos los coeficientes de autocorrelación son nulos
d, orden de diferenciación
• Gráfico de la serie de residuos
Si muestra rachas largas de residuos positivos o negativos, puede ser necesaria una diferencia adicional
Término constante
• Media muestral de los residuos• Desviación típica de la media
Si la media de los residuos es significativa, debe añadirse un término constante
• Contrastes de significación de los parámetros estimados Permiten eliminar parámetros irrelevantes
• SobreajusteConsiste en añadir parámetros AR y/o MA, para comprobar si resultan significativos y mejoran la calidad estadística del modelo
p y q