análisis de series temporales y predicción
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8/19/2019 Análisis de Series Temporales y Predicción
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nalisisde series
temporales
y predicci n
Esquema del capitulo
/
19
.1. Numeros indice
indice de precios de
un
unico articulo
i ~ i e de precios agregado no ponderado
in ice de precios agregado ponderado
i dice de cantidades agregado ponderado
Cambio del periodo base
19.2. Un contraste no parametrico de aleatoriedad
19.3. Componentes de una serie temporal
19.4. Medias m6viles
Extracci6n del componente estacional por medio de medias m6viles
19.5. Suavizaci6n exponencial
Modelo de predicci6n por medio de la suavizaci6n exponencial con el metodo
Holt-Winters
Predicci6n de series temporales estacionales
19
.6 Modelos autorregresivos
19.7. Modelos autorregresivos integrados de medias m6viles
Introducci n
En
este capitulo presentamos metodos para analizar conjuntos de datos que contienen
mediciones de varias variables a
1
largo del tiempo. Ejemplos de datos de series tem
porales son las ventas mensuales de un producto y los tipos de interes los beneficios
empresariales trimestrales y
el
consumo agregado y las cotizaciones
al
cierre de
la
bolsa.
erie temporal
Una serie temporal es un conjunto de mediciones, ordenadas en
el
tiempo, sobre una canti-
dad de inten s. En una serie temporal, la secuencia de observaciones es importante, a diferen-
cia de 1 que
o une
en los datos de corte transversal, en
el
que la secuencia
de
observaciones
no es importante.
Los datos de series temporales normal mente poseen caracteristicas especiales
relacionadas con la secuencia de
observaciones
que exigen
el
desarrollo de meto
dos de anal sis estadistico especiales . Casi todos los metodos de anal sis de datos
y
de
inferencia que hemos desarrollado se basan
en
el supuesto de que las muestras son
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76
Estadfstica para administracion
y
economfa
aleatorias en concreto de que los errores de las observaciones son independientes. EI
supuesto de la independencia raras veces es realista en el caso de los datos de series
temporales. Consideremos por ejemplo una serie de ventas mensuales de un producto
manufacturado y observemos las razones posibles por las que no son independientes.
Si el mes pasado las ventas fueron superiores a la media es razonable esperar que
continuen siendo altas ya que no es probable que cambie bruscamente la situacion de
la economfa y de las empresas. Por 1 tanto es de esperar que las ventas de meses
contiguos sean similares. Tambien observamos que las ventas de muchos productos tie-
nen una pauta estacional: los pantalones cortos y los banadores se venden mas en pri-
mavera y a principios del verano que en invierno. Muchas tiendas minoristas venden
mas en el cuarto trimestre debido a las compras de regalos de Navidad. Estos y otros
muchos ejemplos demuestran la ausencia de independencia.
La ausencia de independencia entre las observaciones de series temporales plantea
serios problemas si se utilizan con datos de series temporales los metodos estadfsticos
convencionales que suponen que las observaciones son independientes. Ya vimos el
problema
en
el apartado 14.7 cuando analizamos las dificultades que se plantean si se
utilizan metodos convencionales de regresion cuando los errores estan correlacionados .
EI supuesto de la independencia es fundamental; tambien pueden plantearse otros pro-
blemas serios si se utilizan metodos convencionales cuando las observaciones son de-
pendientes. En este capftulo centramos la atencion en los metodos de anal sis de series
temporales que se utilizan cuando hay una unica serie temporal.
Hemos analizado el aspecto negativo de los tipos de pautas de dependencia que es
probable que aparezcan
en
los datos de series temporales. Estos problemas son reales
y requieren metodos especiales. Sin embargo esta dependencia tam bien puede explo-
tarse para realizar predicciones de los futuros valores de los datos de series temporales
cuya varianza es menor. Por ejemplo si hay una correlacion entre errores de meses
contiguos
en
una serie de ventas al por menor esa correlacion puede utilizarse para ha-
cer una prediccion de las ventas del proximo mes mejor que una prediccion basada en
una muestra aleatoria. Presentaremos metodos basados en el supuesto de que las pau-
tas anteriores de relacion entre mediciones de una serie temporal se mantendran
en el
futuro y pueden utilizarse para hacer predicciones
1
cual es como afirmar que podemos
aprender
en
realidad del estudio de
la
historia.
En el primer apartado desarrollamos numeros fndice que se utilizan
en
algunos estu-
dios economicos. Los metodos de anal isis de series temporales que se presentan en los
apartados posteriores no requieren el conocimiento de los numeros fndice.
Se
incluyen
aquf para hacer una presentacion completa de los temas relacionados con el analisis de
series temporales.
19 1
Numeros
fndice
Nuestro analisis comienza con el desarrollo de numeros fndice . Consideremos a modo de
introduccion la siguiente pregunta: l que variaciones ha experimentado el precio de los
automoviles fabricados en Estados Unidos en los 10 tiltimos afios? Ni que decir tiene que
ha subido pero l como puede describirse cuantitativamente esta subida? A primera vista
no parece que sea muy diffcil responder a esta pregunta.
EI
primer paso serfa recoger in-
formacion sobre el precio de st s automoviles en cada uno de los 1 ultimos afios y repre-
sentarlo en un gr:ifico temporal.
Sin embargo el analisis detenido del problema podrfa plantear algunas preguntas. En
primer lugar observamos que los automoviles no son homogeneos por
1
que es necesario
definir con mas precision el tipo de automovil. Existe claramente una amplia variedad de
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Capitulo 19. Analisis de series temporales y predicci6n
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precios y de calidades y la variacion del precio medio de todos los automoviles vendidos
podrfa deberse meramente a
un
cambio de la pauta de compra: venden automoviles de
precio mas alto? En este caso, el precio medio subirfa, porque tenemos automoviles de pre
cio mas alto. Otros cambios de la combinacion de mere ado podrfan provocar otras varia
ciones de la media. La Tabla
19.1
muestra
un
sencillo ejemplo hipotetico de
un
mercado
en
el
que solo hay automoviles de precio bajo y automoviles de precio alto. Observese que
el precio medio baja, pero que esta bajada se debe a que
en
la mezcIa hay mas automoviles
de precio bajo y menos de precio alto. Esta forma de comparar el precio de los automovi
les de dos afios diferentes
no
es especialmente uti .
Tabla 19.1. Datos hipoteticos sobre los precios y las ventas de automoviles.
Automoviles pequeDos Automoviles de lujo
Todos los automoviles
Precio umero
Precio Ntimero
(miles de
vendido (miles de vendido Precio medio
ADO dolares) (miles) dolares) (miles)
(miles de dolares)
1 10
5 30 IS
25 0
2 11 15 33
5
16 5
Otra solucion es caIcular
el
precio medio considerando un unico automovil de cada ti
po, como en la Tabla 19.2. Este metoda tambien tiene problemas, porque tenemos un mer
cado en el que los automoviles pequefios son considerablemente mas populares que los de
lujo.
El
precio de los primeros es el mismo en los dos afios, mientras que el de los segun
dos se duplica. Como consecuencia, la media calculada considerando un unico automovil
de cada tipo es mucho mas alta en el segundo ano. Pero esta media
no
refJeja exactamente
la situacion, ya que da el mismo peso a los dos tipos de automovil cuando, en realidad, los
automoviles pequenos se compran mucho mas a menudo.
ADO
1
2
abla 19.2. Datos hipoteticos sobre los precios y las ventas de autom6viles:
igual ponderacion.
Automoviles pequeDos Automoviles de
lujo
Todos los automoviles
Precio
umero
Precio
umero
Precio medio de
(miles de
vendido (miles de vendido
cada tipo de automovil
dolares) (miles) dotares) (miles)
(miles de dolares)
10 100
24
1 7
10
100
48
1
29
Estos ejemplos demuestran que, para hacernos una idea fiable de la pauta general de
los precios a
10
largo del tiempo, hay que tener en cuenta las cantidades compradas en ca
da periodo. Veremos como pueden caIcularse medias ponderadas adecuadas.
Se plantea el mismo problema
si
los compradores compran mas automoviles con mas
extras el segundo ano que el primero. En ese caso, compran implfcitamente automoviles de
mayor calidad que en el primer ano. Podrfamos exarninar solamente los precios de los
automoviles
si
n extras para hacer una comparacion valida.
Las mejoras tecnologicas plantean otra dificultad. No es sorprendente observar que los
automoviles actuales consumen menos gasolina y duran mas que los que se fabricaban ha-
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7
Estadfstica para administracion y economfa
ce 20 0 30 afios. Por
10
tanto, los cambios de la calidad pueden influir mucho en las subi-
das de los precios. Es muy importante tenerlos en cuenta cuando se hacen comparaciones
de precios, pero las tecnicas para analizar su influencia quedan fuera del alcance de este
libro.
Hemos puesto ejemplos de un unico producto para ilustrar el problema, pero esas com-
paraciones normalmente solo tienen interes para las personas relacionadas directamente
con la compraventa de ese producto. Nos dedicaremos, pues, a comparar las variaciones de
los precios de unos productos con las variaciones de los precios de otros.
EI
problema de numeros fndice que examinamos a continuacion tiene por objeto com-
parar las variaciones de los precios de un grupo de mercancfas. Por ejemplo, el precio de
las acciones de empresas que cotizan en bolsa varfa en un
meso
Nos gustarfa desarrollar
una medida de la variacion agregada de los precios. Los numeros fndice pretenden resolver
esos problemas.
Indice de precios de un unico articulo
Comenzamos nuestro analisis de los numeros fndice con un sencillo caso. La Figura 19.1
es una hoja de calculo Excel que muestra el calculo de un fndice de precios de las acciones
de Ford Motor Company en un periodo de 12 semanas.
La
segunda columna contiene el
precio efectivo de las acciones. Es algo diffcil interpretar estos numeros, pero esta tarea
puede simplificarse calculando un fndice de precios utilizando el precio de la primera se-
mana como periodo base. En la tercera columna, vemos el fndice de precios calculado.
Asf, el fndice de precios de la segunda semana es
(
19875
100
2 ~ 2 5
=
98,1
basandose en el precio de la segunda seman a de 19,875. Los porcentajes calculados de esta
forma se Haman numeros fndice del precio
La
eleccion del periodo base es arbitraria. Po-
drfamos haber elegido cualquier otra semana como base y haber expresado todos los pre-
cios en porcentaje del precio de esa semana.
La ventaja de utilizar aquf mimeros fndice reside en que es mas facil interpretar los nu-
meros. Por ejemplo, en la Figura 19.1 vemos inmediatamente que el precio de las acciones
de Ford Motor Company fue un 13,6 por ciento mas alto en la seman a 12 que en la
1
Figura
19
1
Prec
i
os
e
fndi
ce
de
prec ios de l
as
acc
ione
s de Ford
Motor Company en
2 s
em
a
na
s
X Microsoft Excel Book1
Price Price Index 100(19.875J=98. 1
20.250 100.0
20.25
1 9 8 7 5 c : : : J E I l . L ~ = : _ . . l
19 000 93 8
:
19 750 97 5
5 20 .250 100 .0
6 19.875 98 1
7
19
.
375
95 7
8 19625 96 9
9 21125 1043
10 22.375 110.5:
11 25 .000 123.5
12
23000 1136 ,
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Capitulo 19. Analisis de series temporales y prediccion
7 7
Calculo de indices de precios de un unico articulo
Supongamos que tenemos una ser ie de observaciones a
10
largo del tiempo del precio de un
unico articulo. Para construir un indice de precios elegimos
omo
base un periodo
de
tiempo
y
expresamos el precio de cad a periodo en porcentaje del precio del periodo base. Por 1 tanto
si o representa el precio del periodo base y P el precio del segundo periodo el indice de pre
cios del segundo periodo es
Indice de precios agregado no ponderado
A continuacion vemos como se representan las variaciones de los precios agregados de
un
grupo de artfculos. La Figura 19.2 es una hoja de calculo Excel que muestra los precios
pagados a los agricultores estadounidenses en dolares pOl quintal por el trigo el mafz
y
la
soja en
10
anos. La tabla
tarribHm
muestra una manera de lograr
un
fndice de precios agre-
gada de estos cultivos. Calculamos
el
precio medio de cada ano
y
utilizamos esa media
para construir un fndice de la media utilizando el primer ano como base.
Figura 19
.
2.
Precios
p
or quintal
de tres
cultivos
en
10
anos: fndi
ce
de
precios agrega
do
no
ponderado.
.x NJClosoft [lICel l uro Puc e Indell.
x s
I
Med ia simple
Es facil calcular
el
fndice de precios agregado no ponderado como muestra la Figu-
ra
19
.
2.
Expresa el precio medio de cada ano en porcentaje del precio medio del ano base.
Sin embargo no tiene en cuenta las diferencias entre las cantidades cultivadas de estos
productos. La formula de la Figura 19.2 indica la division de las sumas de los precios. Eso
es por supuesto 1 mismo que dividir
pOl
las medias de estos precios. Estas medias serfan
el resultado de dividir las sumas del numerador y del denominador por 3.
Un indice de precios no ponderado
Supongamos que tenemos una serie de observaciones en el tiempo sobre los precios de un
grupo de articu los. Se elige como base un periodo de tiempo. -
EI
indice de precios agregado
no
ponderado se obtiene calculando el precio medio de
estos articulos en cada periodo de tiempo y calculando a continuaci6n un indice de estos pre
Gios
medios. Es deci
r
el precio medic de cada periodo se expresa en porcentaje del precio
medio del periodo base. Sea
P
iel precio del i-esimo art iculo en el periodo base
y P i
el precio
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7 8 Estadfstica para administracion y economfa
de este articulo en
el
segundo periodo.
I
indice agregado no ponderado de precios de este
segundo periodo es
K
L
l i
100
indice de precios agregado ponderado
En general, nos gustarfa ponderar los precios por alguna medida de la cantidad vendida.
Una posibilidad es utilizar las cantidades medias de algunos de los periodos
en
cuesti6n 0
de todos. En muchos casos, es caro obtener cantidades, por
10
que los fndices se basan en
cantidades de
un
unico periodo. Cuando estas cantidades proceden del periodo base, el
fn
-
dice resultante se llama
indice de precios de Laspeyres
El fndice de Laspeyres compara, en efecto, el coste total de comprar las cantidades del
periodo base
en
el periodo base con el coste total de comprar estas mismas cantidades en
otros periodos. Para ilustrarlo, consideremos los datos de la Figura 19.2 sobre los precios
de los cultivos con la informaci6n adicion
al
de que la producci6n en
el an
o 1 fue de l.352
millones de quintales de trigo, de 4 .152
mi
llones de quintales de mafz y de l.127 millones
de quintales de soja. Por 10 tanto, el coste, en mi
ll
ones de d6lares, de la producci6n total
del ano 1 fue .
(l.352)(1,33) (4.152)(1 ,33) (1.127)(2,85) = 10 .532
En
el
ano 2, a los precios vigentes entonces, e l coste total de comprar las cantidades del
ano base habrfa sido
(l.352)(1,34) + (4.152)(1,08) + (1.127)(3,03)
=
9.711
El fndice de precios de Laspeyres del ano 2 es, pues,
(
9
7
11
)
100
10
.532
=
92,2
La Figura 19.3 muestra el fndice completo correspondiente a estos datos ca culado de esta
forma.
I
ndice de precios de Laspeyres
Supongamos que tenemos
un
grupo de K mercancias de las cuales se dispone de info
rm
aci6n
sobre los precios que ten ian en
un periodo de tiempo. Se selecciona
un
periodo como base del
indice.
I ndiee de preeios de Laspeyres
en cualquier periodo es
el
coste total de comprar
las cantidades comerciadas en
el
periodo base a los precios del periodo de interes ,
en
porcen-
taje del coste tot
al
de comprar estas mismas cantidades en el pe
ri
odo base.
Sea
P i el
precio y
i
la cantidad comprada del i esimo articulo en el periodo base.
Si P
1i
es
el
precio del i esimo articulo en
el
segundo periodo,
el
indice de precios de Laspeyres del
periodo es
100
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Capitulo
19
. Analisis
de
series tempo
ra le
s
y
p
red
iccion
7 9
X Microsoft Excel Figure
17
1 Price Index. xl.
Figura 19 .3.
fndice
de
pre
cios de
Laspey
r
es
de
tres
cu
l
tivos.
Eil
e ::dit 'li
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sert Fgrmat l o
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ID iii I [9. 1 I, i ll @ 4 1\"
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I
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10
1
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·,,""
"·"·--1-"·"··············,,"''' ..
,''''
.. E6 ,Y . , = =SUlvlPRODUCT($B$4:$D$4 ,B6D6)
A J B C D E F G
{ ' _ . .- , - ~
. ~
2
Laspeyres
3
.
Yea'r
VVhe'al'
Corn
Soybeans Total Cost' Index
Year 1
4
Production
,
1
,352
4,
152 ,127
5
Year Pr ices
6 1>
1.33 1.33
285 1
lO,532
100
7
2 ' 34
1.08 '
3.03 9,711 :
3
1,76 '
1.57
4.37
13,323
3 I
JOo(
9,
711
)= 92.2
9
4,
395
:
2.
55
5.68'
22,329
212.0:
10,532
10
5 ,
4.09
3.
03 6.64 :
25,594 243.0 '
11
6 3.56 2.
54
4.92
'
20
,
904
'
19B.5
'
12
7 : 273 . 2.15
6.31 '
20,
293
1927 i
13
3 : 2.33
2.02 : 6.42 '
18,773 178 .2 '
14
9 :
2.97 2.25 6.
12
' 20,255 '
192.3 ,
15
10 3.
73
2.52 6.
28 22
,
65
1 215.1
16
17
Es util comparar la formula del indice de precios de Laspeyres con la del indice de pre-
cios agregado no ponderado. La diferencia es que, cuando se calcula el indice de Laspey-
res, el precio de cada articulo se pondera por la cantidad comerciada en el periodo base.
Vemos que el indice de precios de Laspeyres utiliza unicamente la informacion sobre
la cantidad del periodo base. Eso es valioso cuando es diflcil obtener esa informacion de
cada periodo. Podrfa ser un inconveniente
si
las cantidades del periodo base
no
fueran re-
presentativas de la serie temporal examinada. Por
10
tanto, el indice de precios podria que-
darse anticuado. Este problema puede resolverse calculando un fndice de precios de Las -
peyres movil, en el que el periodo base se cambia de vez en cuando obteniendo
informacion sobre la cantidad de los nuevos periodos base. Muchos de los indices de pre-
cios oficiales que se publican, como el indice de precios de consumo, se calculan esencial-
mente de esta forma.
Indice de cantidades agregado ponderado
Los indices de precios constituyen una representacion de la evolucion de los precios agre-
gados de un grupo de mercancfas. Tambien podriamos querer una representacion de la
evolucion de las cantidades totales comerciadas. De nuevo, es probable que cualquier enfo-
que razonable de este problema de como resultado un indice de cantidades ponderado, ya
que probablemente querriamos dar mas peso a un cambio de la cantidad comprada de un
articulo muy caro que a un cambio
de
la misma cantidad comprada de un articulo barato.
Un metoda para lograrlo es
el Indice de cantidades de Laspeyres
que ilustramos con las
cantidades producidas de trigo, maiz y soja de la Figura 19.4.
El fndice de cantidades de Laspeyres pondera las cantidades por los precios del periodo
base. Las ponderaciones de los precios son 1,33, 1,33 Y 2,85 en el caso del trigo, el maiz y
la soja, 10 que da como resultado un valor total en el ano 1 de lO.532 millones de dolares .
Para obtener un indice de cantidades del ano
2,
10 comparamos con el valor total de la pro-
duccion del ano 2,
si
hubieran estado
vi
gentes los precios del ano 1; es decir,
(1.618)(1 ,33) + (5.641 )(1,33) + (1.176)(2,85) = 13.006
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77 Estadfstica para administracion y
economfa
Figura
19.4
.
Produccion en
millones de
quintales e fndice
de can
t
idades.
E Microsoft Excel- Figure 17.1 Pnce Index
Y
ear
Year 1
Prices
1
2
3
10
Wheat
1.3
3
1 352
1 618
1
545
1
.105
2.122
2.142
2 026
1.199
2 134
2 370
C
orn Soybeans Total Cost
1.33 2.85
4 152
1 127 10 532
5
641
1 176
13
061
5 573
1 271
1
3 089
5.647
1.547 14 187
5.829
1 547
14.984
6.
266
1.288 14 853
6 357 1.116
16 040
7 082
1 843
17 064
7 933
2 268
1
9 861
6 6
48
1 817
17 172
Laspeyres
Quantity
index
1341
1
423
141 .0
152.3
16
2.0
1
88
.6
1GJ.0
1
00
13,006 ) = 123.5
10,532
El
fndice de cantidades de Laspeyres del ano 2 es, pues,
13
,006)
100 10,532
=
123,5
La Figura 19.4 muestra las cantidades producidas y el indice de cantidades de un periodo
de
10
anos,
EI fndice de cantidades de Laspeyres
Tenemos datos sobre la cantidad de un conjunto de artfculos recogidos durante un conjunto de
K
afios. Se selecciona un periodo como periodo base
Elindice
de cantidades de Laspeyres
en cualquier periodo es el coste total de las cantidades comerciadas en ese periodo basado
en los precios del periodo base y expresado en porcentaje del coste total de las cantidades del
periodo base.
Sean i y P i la cantidad y el precio del
i esimo
articulo en el periodo base y q i la cantidad
de ese articulo en el periodo de interes. EI indice de cantidades de Laspeyres de ese periodo
es pues
100
Cambio del periodo base
Las series oficiales de mimeros fndice se actualizan cambiando
el
periodo base por uno
mas reciente. En estos casos, normalmente se calcula
el
valor del fndice original en el
periodo que ahora se toma como base.
Observese a modo de ilustraci6n el
caIculo de la
columna F de la Figura 19,5, que muestra los indices de precios del trigo, el mafz y la soja.
La columna F muestra el indice de precios de los cultivos de los anos 1 a
6,
utilizando
el
ano 1 como base comenzando por la fila
14
de la columna
F.
La columna H indica el fndi-
ce de precios de Laspeyres de los anos 6 a 10, utilizando el ano 6 como base, Estos indices
se representan en la Figura 19.6,
en
la que es evidente la discontinuidad en el ano 6.
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Figura 19 .5.
indice de precios
ag
regado de
Laspeyres utilizando
diferentes anos
base.
Capitulo 19 . Analisis de series temporales y predicci6n 771
X t c fOloh Excel · FIQUIO 17 1
P co
Indo. al l ;.
,
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1,352
Prices
133
1301
176
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3 95·
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4
,152
1 33
108
157
255
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Laspe yres
Tot
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1000
9.711
922
13.823
1312
22 ,32'3 21
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31,755
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16
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1068
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4 09
303
356
254
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2430
5 m
20 .904 1985
(
243.
0)
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=
122.4
1 5
12 j
6
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13 : Production
-;4 G
21
42.
00
626600 11$300
3.56 254 .< S,2
2.73
215
681
233 202
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42
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23,091
25 ,917
2<3,343
31,976
I(\J G
940
867
94 9
1070
1000
94.0 ·
667
94 9
107 O·
29
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i
198.5
~ ~ ~ I
J . . ~ . ~ : : : ' : : ~ .
..
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c < a ..
t
Ece · i >< .. i : l l i "
~ I i . \ '.
Examinando la Figura 19.6, es diffcil comprender claramente las pautas de precios de
todo el periodo. Por
10
tanto, prefeririamos examinar un indice de precios enlazado que
tuviera el ano 6 como ano base. En el Indice original basado en el ano 1, el Indice del ano
6 era 198,5 como se ve en la Figura 19.5. Para transformar el indice del ano 6 basado en el
ano 1 en
un
fndice del ano 6 tomando como base el ano 6, dividimos por
198
,5 y multipli
camos por 100. Tambien podemos converti r todos
lo
s demas indices cuya base es el ano 1
a una base del ano 6 dividiendo por 198 ,5 y multiplicando por 100. Por ejemplo, el nuevo
Indice del ano 5 es
Figura 19.6.
Gr3fico
temporal
del
indice
de precios
agregado
de
Las
peyres ca
n
los
anos
1-6 (ana base
1)
y
los
arios 6-10
(ano
base 6).
1/1
Q)
. :a
"C
I :
Q)
(,)
.;:
D..
300,0
250,0
200,0
150,0
100,0
----.-
50,0
0,0
o
2
100,0 = 122,4
(
2430)
198,5
/\
/
J
---
-- .......
-
4 6
8 10
Year
8/19/2019 Análisis de Series Temporales y Predicción
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-de-series-temporales-y-prediccion 10/48
77 Estadfstica para administracion y economfa
La Figura 19.7 representa el fndice enlazado que se obtiene utili zando como base el
ano 6. Este gnifico es una representaci6n In:is clara de la pauta de vari aci6n de los precios
en
el
periodo de
10
anos.
Figura
19.7.
140,0
fndice
e
precios
agregado e
Laspeyres
enlazado
120,0
del trigo, el marz
y
la soja ano
100,0
6=100 .
>
1)
80,0
1)
u
60,0
;:
D..
40,0
20,0
0,0
0
2 4
6
8 10
Year
EJER I IOS
jercicios basicos
19.1. Suponga que esta analizando un mercado y en-
cuentra un fndice de precios de Laspeyres que se
calculo utilizando el ano 2000 como periodo ba-
se. Interprete los resultados suponiendo que el
fndice de 2003 es:
a)
134,5
b
97,4
c) 101,7
19.2.
Vuelva a la Figura 19.4. Calcule el fndice de
cantidades de Laspeyres revisado de los anos 1 a
6 suponiendo que los precios del ano 1 son 1,45
trigo), 1,21 mafz)
y
2,98 soja).
19.3. Las universidades tienen muchos costes, entre los
cuales se encuentran los costes de la energfa, los
libros, el laboratorio y demas equipo, el material
de oficina y la mana de obra. Suponga que
Ie
pi-
den que muestre como han variado los niveles de
precios a los que se enfrenta su universidad en
los 10 Ultimos anos. l,Que dificultades esperarfa
encontrarse y como intentarfa resolverlas?
jercicios aplicados
Nota los ejercicios 19.4 a 19.7 deben realizarse me-
diante el programa Excel.
19.4. La tabla adjunta muestra el precio por accion del
Banco de Nueva York, Inc., de 12 semanas.
Semana Precio Semana Precio Semana Precio
2
3
4
35
357/8
346/8
34 3
/8
5
6
7
8
35
34 7
/8
35
34 6
/8
9 346/8
10
35
2/8
11
38
6/8
12
37
1/8
a) Calcule un fndice de precios utilizando la se-
mana 1 como periodo base.
b
Calcule un fndice de precios utilizando la se-
mana 4 como periodo base.
19.5. Un
restaurante ofrece tres platos especiales: bis-
tec, pescado
y
pollo.
La
tabla adjunta muestra
sus precios medios en dolares) en los
12
meses
del ano pasado.
8/19/2019 Análisis de Series Temporales y Predicción
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8/19/2019 Análisis de Series Temporales y Predicción
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77 Estadfstica para administraci6n y economfa
abla
19.3. fndice del volumen de acciones negociado.
D1a
VolumeD
Dia
VolumeD Dia VolumeD Dia VolumeD
1
98
5
113 9
114 13
109
2
93
6
I I I 10
107
14
108
3
82 7 104 11 I I I
15 128
4 103
8
103
12
109 16 92
Figura 19 8
130
- - - -
Indice
del volumen
de
acc
iones
negociado segun el
dfa
120 -
c
1)110-
•
•
•
E
107 ,5
. . . ..
.
l
•
• •
g
100 - •
•
•
0 -
•
0 _ _ _ ~ _ _ _ _ _ _ - ~
o 5
10 15
Dfa
contrataciones no tendrfa mas probabilidades que cualquier otro dfa de ir seguido de otro
dfa de un elevado volumen de contrataciones. EI contraste de rachas que presentamos aquf
divide las observaciones en un subgrupo situado por encima de la mediana y un subgrupo
situado por debajo de la mediana, como muestra la Figura 19.8; la mediana es 107,5 . Si
representa las observaciones situadas por encima de la mediana y - las observaciones si
tuadas por debajo de la median
a observamos la siguiente pauta a 10 largo de los dfas con
secutivos:
- - - - - -
Esta secuencia esta formada por una racha de cuatro
« - »,
seguida de una racha de dos
«
»
una racha de dos «-
»
una racha de un «
»
una racha de
un « -
», una racha de
cinco « » y finalmente, una racha de
un ».
En total, hay, pues,
=
7 rachas.
Si, como cabrfa sospechar aqu , existe una relacion positiva entre las observaciones
contiguas en
el
tiempo, serfa de esperar que hubiera relativamente pocas rachas. En nuestro
ejemplo, nos preguntamos que probabilidad hay de observar siete rachas 0 menos si la se
rie es realmente aleatoria. Para eso es necesario saber cual es la distribucion del numero de
rachas cuando la hipotesis nula de la aleatoriedad es verdadera. La Tabla 14 del apendice
muestra los valores tabulados de la distribucion acumulada. En esa tabla vemos que, cuan
do
11
= 16
observaciones, la probabilidad segun la hipotesis nula de encontrar 7 rachas
0
menos
es
0,214. Por
10
tanto, la hipotesis nula de la aleatoriedad solo puede rechazarse
frente a la alternativa de una relacion positiva entre las observaciones contiguas
al
nivel de
significacion del 21,4 por ciento. Este no es suficientemente pequeno para que sea razona
ble rechazar la hipotesis nula ni suficientemente grande para apoyar firmemente la hipote
sis nula. No hemos encontrado simplemente pruebas contundentes para rechazarla. Los
contrastes de aleatoriedad basad
os
en muestras pequenas como esta tienen poca potencia.
8/19/2019 Análisis de Series Temporales y Predicción
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Capitulo
19.
Analisis de series temporales y pred icci6n 77
I contraste de rachas
Supongamos que tenemos una serie temporal de
n
observaciones. Representemos las obser
vaciones situadas por encima de la media con el signo
«
+
»
y las observaciones situadas por
debajo de la media con el signo
« -
». Utilicemos estos signos para definir la secuencia de ob
servaciones de la serie. Sea ei numero de rachas que hay en la secuencia . La hipotesis nula
es que la serie es
un
conjunto de variables aleatorias. La Tabla 14 del apendice indica el nivel
de significacion mas bajo al que puede rechazarse esta hipotesis nula frente a la alternativa de
una relacion positiva entre las observaciones contiguas, como una funcion de
R
y
n
Si la alternativa es una hipotesis bilateral sobre la ausencia de aleatoriedad, el nivel de sig
nificacion debe duplicarse si es de menos de 0,5. Si
el
nivel de significacion
a
de la tabla es
superior a 0
,5, el
nivel de significacion adecuado para el contraste frente a la alternativa bilate
ral es
2 1
-
a).
En el caso de las series temporales en las que
n
>
20>
la distribuci6n normal es una
buena aproximaci6n de la distribuci6n del numero de rachas segun la hipotesis nula. Puede
demostrarse que segun la hip6tesis nula
n
R l
2
Z =
;::::;;:::::==
n
2
-
2n
4 n
-
1)
sigue una distribucion normal estandar. Este resultado es un contraste de aleatoriedad .
I
contraste de rachas: grandes muestras
Dado que tenemos una serie temporal de
n
observaciones y
n
> 20, el numero de rachas, R
es el numero de secuencias que se encuentran por encima 0 por debajo de la mediana. Quere
mos contrastar la hipotesis nula
Ho:
la serie es aleatoria
Los siguientes contrastes tienen
un
nivel de significacion
a.
1. Si la hipotesis alternativa es una relacion positiva entre las observaciones contiguas, la
regia de decision es
Rechazar
Ho
si
n
R
l
2
4 n
-
1
19.1 )
2 Si
la hipotesis alternativa es una hipotesis bilateral de ausencia de aleatoriedad, la regia
de decision es
n
n
R l R
l
2 2
Rechazar Ho si
n
2
- 2n
<
Z 1
/2
0
n
2
- 2n
>
Z 1 /2
19.2)
4 n
-
1 4 n
- 1
8/19/2019 Análisis de Series Temporales y Predicción
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77 Estadfstica para administraci6n y economfa
Pinkham
Sales ata
EJEMPLO
19.1.
Amilisis de los datos sobre las ventas
contraste de rachas)
Le han pedido que averigiie
si
los 30 arios de ventas anuales siguen una pauta aleatoria
de una observaci6n a la siguiente en una serie temporal.
Solucion
Los datos para realizar este estudio se encuentran en un fichero de datos Hamado Pink-
ham Sales ata y en
el
disco de datos. La Figura 19.9 es un gnifico de series tempora
les de los datos
en
el que se ha trazado la mediana.
El
examen de este grafico sugiere
que las observaciones no son independientes, ya que parece que siguen una pauta. Los
estadfsticos del contraste de rachas pueden calcularse utilizando el pragrama Minitab u
atro paquete estadfstico. Realizando un amllisis por computador u observando la Figu
ra 19.9, vemos que la serie tiene ocho rachas y que
la
hip6tesis
nul
a de una serie tempo
ral aleatoria se rechaza con un p-valor
=
0,0030.
2500
f)
2000
Q)
•
• •
•
• •
•
.. .
ll
1.768,5
.
••
•
1500
•
•
•
•
••
•••
•
• •
•
1000
r - - -_,r - - - - - , - - - - - - - - . - -
1
93
1940 1950 1960
Year
igura 19 .
9 Datos
sobre l
as ventas
de L
ydia Pinkham
a
1
l
argo
del
tiempo
Tambien podrfamos utilizar el numero de rachas y el estadfstico del contraste para
calcular el valor de Z del contraste:
n
R l
2
8 - 15 - 1
Z=
n
-
2n
-2,9
7
900
- 60
4 n 1
116
y en la Tabla 1 del apendice vemos que el p-valor resultante de un contraste de dos co
las es 0,0030, Vemos, pues, que las prueb
as
a favor de la hip6tesis de que la serie no es
aleatoria son abrumadoras.
8/19/2019 Análisis de Series Temporales y Predicción
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Capftulo 19. Analisis de series temporales
y
prediccion
EJER I IOS
Ejercicios basicos
19.9. Una serie temporal contiene
18
observaciones.
i
Cua es la probabilidad de que el numero de
rachas sea
a) inferior a 5?
b) superior a l l
c
inferior a a 8?
19.10. Una serie temporal contiene 50 observaciones.
i Cual es la probabilidad de que el mimero
de
rachas sea
a) inferior a 14?
b) inferior a
17?
c superior a 38?
19 .11. Una serie temporal contiene 100 observaciones.
i
Cua es la probabilidad de que el numero de
rachas sea
a) inferior a 25?
b) inferior a 41?
c superior a 90?
Ejercicios aplicados
19.12. } El
fichero de datos Exchange Rate muestra
un fndice del valor del dolar estadounidense
frente a las monedas de sus socios comerciales
durante 12 meses consecutivos. Utilice el con
traste de rachas para hacer
un
contraste de alea
toriedad de esta serie.
19.13. I. El
fichero de datos Inventory Sales muestra
el cociente entre las existencias y las ventas de
la industria y el comercio de Estados Unidos en
un
periodo de 12 afios . Realice un contraste de
aleatoriedad de esta serie utilizando el contraste
de
rachas.
19.14.
fi
El fichero de datos Stock Market Index
muestra los rendimientos anuales de un fndice
bursatil durante 14
afios.
Realice
un
contraste de
aleatoriedad utilizando el contraste de rachas.
19.15. r
..
El fichero de datos Gold Price muestra el
precio del oro (en dolares) vigente a finales de
afio de
14
afios consecutivos. Utilice el contras
te
de rachas para realizar un contraste de aleato
riedad de esta serie.
19 3
Componentes
e
una
serie temporal
~
Macro2000
En los apartados
19.3
a 19
.5
presentamos algunos
metodos descriptivos para
analizar
datos
de
series temporales. La serie de interes se representa por medio de Xl Xb
...
X l Y
en
el
periodo t el valor de la serie es
Xt
Un modelo convencional de la conducta de las series temporales identifica varios com-
ponentes de la
serie.
Tradicionalmente en
la mayoria
de
las series
temporales se represen-
tan
cuatro
componentes al menos
en
parte:
1.
El componente
tendencial
2. El
componente estacional
3.
El
componente cfc1ico
4.
El
componente
irregular
Muchas series
temporales muestran una tendencia
a aumentar 0 a
disminuir
a
un
rit
mo bastante
continuo durante
largos
periodos de
tiempo,
10
que
indica la existencia
de
un
componentc tendencial.
Por
ejemplo, los
indicadores de
la riqueza nacional, como el pro-
ducto interior bruto, normalmente crecen con el paso del tiempo. Las tendeneias a menu-
do se mantienen y, en ese easo, este eomponente es importante para haeer predicciones.
La
Figura 19.10
muestra la
serie temporal
del producto
interior
bruto
trimestral
de mas
de
50
alios
procedente del
fichero
de
datos Macro2000
que se
eneuentra
en el disco de
datos.
Esta
pauta muestra c1aramente una fuerte
tendencia ascendente
que es
mayor en
unos
periodos que
en
otros. Este grafieo
temporal
revela un notable componente tenden-
8/19/2019 Análisis de Series Temporales y Predicción
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-de-series-temporales-y-prediccion 16/48
8 Estadfstica para administraci6n y economfa
Figura 19 10
8.000
Evoluci6n
del 0
...
producto
interior
2
7.000
bruto
a
10
largo
del
..Q
6.000
tiempo que indica la
0
.
;::
existencia de una
l)
5.000
tendencia
Figura 19 11
Beneficios
trime
strales
por
acci6n
de
una
empresa
que
c
4.000
0
u
3.000
0
0
2.000
0::
1.000
1950 1960
1970
1980 1990 2000
Tiempo ano y trimestre)
cial que es importante para el amllisis inicial y que normalmente va seguido de amllisis
mas sofisticados como mostramos en futuros apartados.
Otro importante componente es la pauta estacional. La Figura 19.11 muestra los bene
ficios trimestrales por acci6n de una empresa. Los beneficios del cuarto trimestre son con
siderablemente mas altos y los del segundo trimestre son algo mas altos que los de los de
mas periodos. Observese que esta pauta continua repitiendose en
el
ciclo de cuatro
trimestres que representa cada ano. Ademas del componente estacional tam bien hay una
notable tendencia ascendente en los beneficios por acci6n. Nuestro tratamiento de la esta
cionalidad depende de nuestros objetivos. Por ejemplo
si
es importante predecir cada tri
mestre de la forma mas precisa posible incluimos un componente
de
estacionalidad en
nuestro modelo. En el apartado 14 .2 por ejemplo mostramos que pueden utilizarse varia
bles ficticias para estimar un componente de estacionalidad en una serie temporal. Por 10
tanto si prevemos que la pauta de estacionalidad continuara debemos incluir la estimaci6n
del componente de estacionalidad en nuestro modelo de predicci6n.
3 -
•
•
•
-
indican la
ex istenc
ia
u •
de un componente
t;::
•
l)
•
estacional
c
•
•
•
l)
•
II 1 -
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
o -
2
3 4 5 6 7 8 9
Ario y trimestre
Para algunos otros fines la estacionalidad puede ser una molestia. En muchas aplica
ciones el analista requiere una valoraci6n de las variaciones globales
de
una serie tempo
ral que no este contaminada por la influencia de factores estacionale
s
Supongamos por
ejemplo que acabamos de recibir las cifras mas recientes de los beneficios del cuarto tri
mestre de la empresa de la Figura 19.11. Ya sabemos que estas seran probablemente mu
cho mas altas que las del trimestre anterior. Lo que nos gustarfa hacer es averiguar que
8/19/2019 Análisis de Series Temporales y Predicción
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Capitulo
19
Analisis de series temporales
y
predicci6n
9
parte de este aumento de los beneficios se debe a factores puramente estacionales y que
parte representa un verdadero crecimiento subyacente. En otras palabras, nos gustarfa pro-
ducir una serie temporal libre de la influencia estacional. Se dice que una serie de ese tipo
esta desestacionalizada . En el apartado 19.5 nos extenderemos algo mas sobre el ajuste es-
tacional.
Las pautas estacionales en una serie temporal constituyen una forma de conducta osci-
latoria regular. Ademas, muchas series temporales empresariales y economicas muestran
pautas oscilatorias 0 cfclicas que no estan relacionadas con la conducta estacional. Por
ejemplo, muchas series economicas siguen pautas cfcIicas ascendentes y descendentes. En
la Figura 19.9 vemos una pauta cfcIica en los datos sobre las ventas de Lydia Pinkham.
Observamos una disminucion de l
as
ventas hasta
un
minimo en 1936, seguida de un
aumento hasta un maximo a mediados de los afios 40
y
a partir de entonces, una disminu-
cion contin
ua.
Esta pauta
es
una serie temporal cfcIica frec uente y podemos describir la
conducta historica por medio de los movimientos cfcIicos. Sin embargo, no estamos sugi-
riendo que en esas pautas hist6ricas exista suficiente regularidad para poder hacer una pre-
diccion fiable de los futuros maximos y mfnimos. De hecho, los datos de los que se dispo-
ne
inducen a pensar que no
es
as .
Hemos analizado tres fuentes de variabilidad en una serie temporal. Si pu
di
eramos ca-
racterizar las series temporales principalmente por medio del componente tendencial, el es-
tacional y el cfcIico, las series variarfan de una manera uniforme con
el
paso del tiempo y
podrfamos hacer predicciones utilizando estos componentes. Sin embargo, los datos efecti-
vos no se comportan de esa forma. La serie muestra, ademas de los principales componen-
tes, componentes irregulares, inducidos por multitud de factores que influyen en la conduc-
ta de cualquier serie real y que muestran pautas que parecen impredecibles basandose en la
experiencia anterior. Puede considerarse que estas pautas son simi lares al termino de error
aleatorio de un modelo de regresion. En todos los ejemplos de componentes que hemos re -
presentado hasta ahora, podemos ver cIaramente el componente irregular aftadido a los
componentes estructurales.
nalisis de los componentes de las series temporales
Una serie temporal puede describirse mediante modelos basados en los siguientes componen-
tes:
T
t
Componente tenden
ci
al
St
Componente estacional
C
t
Componente ciclico
t
Componente irregular
Utilizando estos componentes, podemos decir que una serie temporal es la suma de sus com-
ponentes:
l = T
St
t
It
En
otras circunstancias, tambien podriamos decir que una serie temporal es
el
producto de sus
componentes, representado a menudo como un modelo de suma logarftmica:
No tenemos que limitarnos a estas dos formas estructurales . Por ejemplo,
en
algunos cas os
podrfamos tener una combinaci6n de formas aditivas y multiplicativas.
8/19/2019 Análisis de Series Temporales y Predicción
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78 Estadfstica para administraci n
y
economfa
Una gran parte de los primeros amllisis de series temporales trataban de aislar los com
ponentes de una serie,
10
que permitfa expresar en cualquier momenta del tiempo el valor
de la serie en funci6n de los componentes. Este enfoque,
en
el que a menudo se utilizaban
medias m6viles, que analizamos en los dos apartados siguientes, se ha sustituido en gran
parte por enfoques mas modernos. Una excepci6n es el problema de la desestacionaliza
ci6n, que requiere la extracci6n del componente estacional de la serie y que analizamos en
el apartado 19.5.
El enfoque mas moderno del analisis de series temporales implica la construcci6n de
un modelo formal, en el que estan presentes, explicita 0 implicitamente, varios componen
tes, para describir la conducta de una serie de datos. Cuando se construyen modelos, hay
dos formas posibles de tratar los componentes de una serie. Una es considerarlos fijos a
10
largo del tiempo, de tal manera que una tendencia podrfa representarse por medio de una
lfnea recta. Este enfoque a menudo es
uti
para ana izar datos ffsicos, pero dista de ser ade
cuado en las aplicaciones empresariales y econ6micas, en las que la experiencia sugiere
que cualquier regularidad aparentemente fija es con demasiada frecuencia ilusoria cuando
se examina detenidamente. Para ilustrarlo, supongamos que examinamos solamente los da
tos de Lydia Pinkham correspondientes a los afios 1936-1943. Vemos en la Figura 19.9
que en este periodo parece que hay una tendencia ascendente fija y continua. Sin embargo,
si
esta «tendencia» se hubiera proyectado hacia delante unos cuantos afios a partir de 1943,
las predicciones resultantes de las futuras ventas habrfan sido muy inexactas .
S610
mirando
el grafico de los afios siguientes vemos
10
inadecuado que habrfa sido un modelo de ten
dencia fija.
Cuando se trata de datos empresariales y econ6micos, es preferible tratar de otra forma
los componentes regulares de una serie temporal. En lugar de considerar que son fijos per
manentemente, suele ser mas sensato pensar que evolucionan continuamente con el tiem
po. Por
10
tanto, no necesitamos estipular pautas tendenciales
0
estacionales fijas sino que
podemos tener en cuenta la posibilidad de que estos componentes cambien con el tiempo.
Examinaremos este tipo de modelos despues de haber analizado las medias m6viles.
EJERCICIOS
jercicios aplicados
19.16. EI fichero de datos Housing
Starts
muestra
las viviendas iniciadas por mil habitantes en Es
tados Unidos en un periodo de 24 aftos.
a) Utilice la variante del contraste de rachas
con gran des muestras para realizar un con
traste de aleatoriedad de esta serie.
b) Trace un gnifico temporal de esta serie
y
co
mente los componentes de la serie que reve
la este gnifico.
19 4
Medias
moviles
19 17 EI fie hero de datos
arnings
per Share
muestra los beneficios por acci6n obtenidos por
una empresa en un periodo de
28
aftos.
a) Uti lice la variante del contraste de rachas
con grandes muestras para realizar un con
traste de aleatoriedad de esta serie.
b) Trace
un
griifico temporal de esta serie y co
mente los componentes de la serie que reve
la este grafico.
El componente irregular de algunas series temporales puede ser tan grande que oculte las
regularidades subyacentes y dificulte la interpretaci6n visual del grafico temporal. En estas
circunstancias, el grafico real parecera bastante irregular y es posible que queramos suavi-
8/19/2019 Análisis de Series Temporales y Predicción
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Capitulo 19 . Analisis de series temporales y predicci6n 78
zarlo para tener una imagen mas clara. Podemos reducir este problema utilizando una me
dia movil.
Podemos suavizar el
grafico utilizando
el
metoda de las medias moviles, que se basa
en la idea de que cualquier gran componente irregular en cualquier momento del tiempo
ejercera un efecto menor
si
promediamos el punto con sus vecinos inmediatos. El metoda
mas sencillo que podemos utilizar es una media movil centrada simple de
2m
+ 1 puntos.
Es decir, sustituimos cada observacion X
t
por la media de sf misma y sus vecinas, de mane
ra que
m
1
x /
=
2m + 1 L Xl +
j = - m
2m
+ 1
Por ejemplo, si fijamos m en 2, la media movil de 5 puntos es
Dado que la primera observacion es X I la primera media movil serra
Esta es la media de las cinco primeras observaciones. En el caso de los datos sobre las
ventas de Lydia Pinkham del ejemplo 19.1, tenemos que en 1933
l 806 1.644 l.814 l.770 l.518
xj = = l.710,4
5
Asimismo, es la media de la segunda a la sexta observacion, y asf sucesivamente.
La
Tabla 19.4 muestra la serie original y la serie suavizada. Observese que en el caso de las
medias m6viles centradas perdemos la primera y la ultima m observaciones. Por
1
tanto,
aunque la serie original va de 1931 a 1960, la serie suavizada va de 1933 a 1958.
Medias m6viles centradas simples de
2m
+
1) puntos
Sean X
1
X
2
, X
3
,
.
,
Xn observaciones de una serie temporal de interes. Puede obtenerse una
serie suavizada utilizando una media m6vil centrada simple de
(2m
1 puntos.
1
In
x/ =
L
X
2m
+ 1 j = m t j
(t =
m
+ 1,
m
+ 2, ... ,
n - m)
19.3)
Las medias m6viles pueden hallarse utilizando el program a Minitab, como muestra la
Figura 19.12. Vemos tanto la serie original como la serie suavizada
l a
serie de medias
moviles de 5 puntos- representadas en relacion con el tiempo. Como puede observarse, la
serie de medias moviles es de hecho mas suave que la serie original. Por
1
tanto, la serie
de medias m6viles ha eliminado
el
componente irregular subyacente de la serie para mos
trar mejor los componentes estructurales.
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78 Estadfstica para administraci6n y economfa
Figura 19 .
12
Media m
6vi
l
cent
r da simple
de
5 pu
ntas de
l
os
datos sabre
las
ve
ntas de
L
ydia
Pinkham
abla 19.4. Ventas anuales de Lydia Pinkham can la media m6vil centrada simple
de 5 puntas.
2700
,2200
o
f)
1
700
1
200
ADO
1931
1932
1933
1934
1935
1936
1937
1938
1939
1940
1941
1942
1943
1944
1945
Ventas
Medial
1.806
1.644
1.814
1.710,4
1.770 1.569,8
1.518
1.494,2
1.103 1.426
1.266 1.356,6
1.473
1.406,4
1.423
1.618
1.767
1.832
2.161 2.057,8
2.336 2.276,8
2.602 2.450,8
2.518 2.454
2.637 2.370,8
Moving verage
10 20
30
T
ime
ADo
1946
1.947
1948
1949
1950
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
1958
1959
1960
• Actual
Smoothed
- Actual
- - Smoothed
Moving verage
length :
MAPE: 17
M D
:
316
MSD: 149873
Ventas
Medial
2.177 2.232,4
1.920 2.125,6
1.910 1.955,6
1.984
1.858
1.787 1.847,2
1.689
1.844,4
1.866 1.784,4
1.896 1.753,6
1.684
1.747,2
1.633 1.687,8
1.657 1.586,6
1.569
1.527,2
1.390 1.458,4
1.387
1.289
El tipo de media m6vil que analizamos en este apartado no es mas que uno de los mu
chos que podrfan utilizarse. A menudo se considera deseable utilizar una media ponderada,
en la que se da la mayor parte del peso a la observacion central y el peso de otros val ores
disminuye conforme estan mas lejos de la observacion central. Por ejemplo, podrfamos uti
lizar una media ponderada como
x
t
2 t
l
4x
t
2x
t
1
x
t
2
x = -
t
1
En to do caso, el objetivo al utilizar medias moviles es la eliminacion del componente
irregular con el fin de tener una imagen mas clara de las irregularidades subyacentes en
una serie temporal. La tecnica quiza sea mas valiosa con fines descriptivos, en la elabora
cion de graficos como el de la Figura 19.12.
8/19/2019 Análisis de Series Temporales y Predicción
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Capitulo 19. Analisis de series temporales y prediccion 78
xtraccion del componente estacional por medio
de medias moviles
A continuaci6n, presentamos
un
metoda para utilizar medias m6viles con el fin de extraer
los componentes estacionales de las series empresariales y econ6micas. Los componentes
estacionales pueden ser molestos y
el
analista puede querer eliminarlos de la serie para
apreciar mejor la conducta de otros componentes. Recuerdese tam bien que en el aparta
do 14.2 mostramos que pueden utilizarse variables ficticias para estimar y controlar los
efectos estacionales.
Consideremos una serie temporal trimestral que tiene un componente estaciona1. Nues
tra estrategia para eliminar la estacionalidad es caIcular medias m6viles de cuatro puntos
para reunir los valores estacionales en una unica media m6vil estacional. Por ejemplo, uti
lizando los datos de la Tabla 19.5 sobre los beneficios por acci6n, el primer miembro de la
serie serfa
0,300 0,460 0,345
+
0,910
4
=
0,50375
y el segundo miembro serfa
0,460
+
0,345
+
0,910
+
0,330
4 = 0,51125
La Tabla 19.5 muestra la serie completa.
Esta nueva serie de medias m6viles deberfa estar libre de estacionalidad, pero aun hay
un problema. La localizaci6n en el tiempo de los miembros de la serie de medias m6viles
no corresponde exactamente a la de los miembros de la serie original.
EI
primer termino es
la media de las cuatro primeras observaciones y, por 1 tanto, podrfamos considerar que
esta centrado entre la segunda observaci6n y la tercera:
,
Xl + X + X3 +
X4
X' =
C. _ = _ = _---
2,5 4
Asimismo, el segundo termino podrfa expresarse de la forma siguiente:
X
+ X3 + X4 +
X
X* = ----- --- - --- -
3.5 4
Este problema puede superarse centrando nuestra serie de medi
as
m6viles de 4 puntos,
10
cual puede hacerse caIculando las medias de pares contiguos, que en el caso del primer
valor es
X* + x
xl =
2,5 3,5
2
0,50375 + 0,51125
2 = 0,5075
Este valor es la media m6vil centrad a correspondiente a la tercera observaci6n de la serie
original. EI resto de la serie de medias m6viles centradas esta en la primera columna de la
Tabla 19 .5. Observese de nuevo que con este metodo se pierden dos observaciones de cada
extremo de la serie.
La
Figura 19.13 representa la serie de medias m6viles centradas, junto con
laserie
ori
ginal. Es evidente que se ha eliminado el componente estacional. Ademas, como hemos
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78
Estadfstica para administraci6n y economfa
Figura 19.13.
M
edi
a m
6v il
e ntrada de 4
pu
ntas y serie
o
ri
g
in
al
de
l
os
beneficios par
acci6n
de
una
empresa
.
abla
19.5 Beneficios efectivos
po
r acci6n
de
una empresa
y
media m6vil centrada
de 4 puntos.
Trimestre
en
OJ
c
2.5
E 1.
5
ell
w
0.5
del ano
1 1
1 2
1 3
1 4
2 1
2 2
2 3
2 4
3 1
3 2
3 3
3 4
4 1
4 2
4 3
4 4
5 1
5 2
5 3
5 4
6 1
6 2
6 3
6 4
7 1
7 2
7 3
7 4
8 1
8 2
8 3
8 4
1930
Medias moviles
Beneficios de 4 puntos
0 3
*
0 46
*
0 345 0 50375
0 91 0 51125
0 33
0 53250
0 545 0 55625
0 44
0 58875
1 04
0 63000
0 495 0 66375
0 68
0 69000
0 545
0 75125
1 285 0 76500
0 55
0 81250
0 87 0 84125
0 66 0 91500
1 58
0 92500
0 59 0 95500
0 99 0 99750
0 83
1 03500
1
73
1 04000
0 6 1
1 05500
1 05 1 07750
0 92 1 15500
2 04
1 17750
0 7
1 22250
1 23
1 25750
1 06 1 32750
2 32
1 35750
0 82 1 40250
1 41
1 45000
1 25 1 55250
2 73
*
Moving
verage
1940 1
9
0
Ti
me
1960
Medias moviles
centradas de 4 puntos
*
*
0 5075
0 52
19
0 5444
0 5725
0 6094
0 6469
0 6769
0 7206
0 7581
0 7888
0 8269
0 8781
0 9200
0 9400
0 9763
1 0163
1 0375
1 0475
1 0663
1 1163
1 1663
1 2000
1 2400
1 2925
1 3425
1 3800
1 4263
1 5013
*
*
• Actual
.c.
Smoothed
- Actual
- - Smoothed
rv bving Average
Length :
MAPE : 28.27 19
MAD: 0.3353
MSD: 0.2361
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Capitulo 19. Analisis de series temporales y prediccion 78
utilizado medias m6viles, tambien se ha suavizado el componente ilTegular. La imagen re
sultante nos permite, pues, juzgar l
as
regularidades no estacionales de los datos. Vemos
que en la serie suavizada domina un a tendencia ascendente. Un examen mas detenido
muestra un crecimiento continuo de
lo
s beneficios en la primera parte de la serie, una parte
cen tral de crecimiento bastante mas lento y una reanudaci6n en la ultima parte del periodo
de una pauta similar a la primera.
Metoda de desestacionalizacion mediante medias moviles simples
Sea X
t
t
= 1 2
...
n)
una serie temporal estacional del periodo 5
5 =
4
en el
caso de los da
tos trimestrales
y 5 = 12
meses
en el
caso
de
los datos mensuales .
Se
obtiene una serie de
medias m6viles centradas de 5 puntos,
x;,
siguiendo estos dos pasos,
en
los que se supone
que s es par:
1. Calcular las medias m6viles de 5 puntos:
s/2
I X
t
j
* _ = - s
/2) +
I
X
t
O,5 - S
t =
+ 1 ... , n
-
19.4)
2. Calcular las medias m6viles centradas de s puntos:
X +
x
x
=
{- 0,5 1
0 5
1 2
(
s s s
t
=
2+
1
2+ 2 ... , n - 2
19.5)
Hemos visto que la serie de medias m6viles centradas de s puntos pueden ser utiles pa
ra comprender la estructura de una serie temporal. Como esta libre en gran medida de la
estacionalidad y se ha suavizado
el
componente inegular, es adecuada para identificar un
componente tendencial
0
cfclico. Esta serie de medias m6viles tambien constituye la base
de muchos metodos practicos de desestacionalizaci6n. EI me to do especffico depende de
una serie de factores, entre los que se encuentran el grado de estabilidad que se supone que
tiene la pauta estacional y si la estacionalidad se considera aditiva
0
multiplicativa. En el
segundo caso, a menudo tomamos logaritmos de los datos.
A continuaci6n, analizamos un metodo de desestacionalizaci6n que se basa en el su
puesto implfcito de que la pauta estacional es estable a
1
largo del tiempo. EI metoda se
conoce con el nombre de metoda del indice estacional. Suponemos que en cualquier mes 0
trimestre, en cada afio el efecto de la estacionalidad es un aumento 0 una reducci6n de la
serie en el rnismo porcentaje.
Ilustraremos el metoda del indice estacional utilizando los datos sobre los beneficios de
la empresa.
La
serie desestacionalizada se calcula en la Tabla 19.6. Las dos primer
as
co
lumnas contienen la serie original y la media m6vil centrada de 4 puntos. Para evaluar la
influencia de la estacionalidad, expresamos la serie original en porcentaje de la serie de
medias m6viles centradas de 4 puntos . Asi, por ejemplo, en el caso del tercer trimestre del
afio 1, tenemos que
100
.-2 =
100
=
67,98
X
0345)
xt 0,5075
Estos porcentajes tambien se encuentran en la Tabla 19.7, en la que se muestra el caleulo
del indice estacional. Para evaluar
el
efecto de la estacionalidad en el primer trimestre, ob
servamos la mediana de los siete porcentajes de ese trimestre. Este es el cuarto valor cuan-
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78 Estadfstica para administraci6n y economfa
Tabla 19 6 Ajuste estacional de los beneficios por acci6n de una empresa
mediante
l
metodo del fndice estacional
Trimestre
1 0 0 e ~ ·
odice Serie
del aDO x
estaciooal ajustada
t
x
1 1
0,300 61,06
0,491.3
1,2 0,460 96,15 0,4784
1,3
0,345
0,5075
67,98 72,95
0,4729
1,4 0,910 0,5219 174,37 169,84 0,5358
2,1 0,330 0,5444 60,62
61,06
0,5405
2,2 0,545 0,5725 95,20 96,15 0,5668
2,3 0,440 0,6094
72,20
72,95
0,6032
2,4 1,040 0,6469 160,77 169,84 0,6123
3,1
0,495
0,6769 73,13 61,06 0,8107
3,2 0,680 0,7206 94,37 96,15 0,7072
3,3 0,545 0,7581 71,89 72,95 0,7471
3,4 1,285 0,7888 162,91
169,84
0,7566
4,1
0,550 0,8269 66,51 61,06
0,9008
4,2 0,870 0,8781 99,08
96,15
0,9048
4,3 0,660
0,9200
71,74 72,95 0,9047
4,4
1,580 0,9400
168,09 169,84 0,9303
5 1
0,590 0,9763 60,43 61,06 0,9663
5,2 0,990
1,0163 97,41 96,15
1,0296
5,3
0,830 1,0375 80,00
72,95 1,1378
5,4
1,730 1,0475 165,16 169,84 1,0186
6,1 0,610 1,0663
57,21 61,06
0,9990
6,2 1,050 1,1163
94,06 96,15 1,0920
6,3 0,920 1,1663 78,88 72,95
1,2611
6,4 2,040 1,2000 170,00 169,84
1 20ll
7,1 0,700
1,2400 56,45 61,06 1,1464
7,2
1,230 1,2925 95,16 96,15 1,2793
7,3 1,060 1,3425 78,96
72,95 1,4531
7,4 2,320 1,3800 168,12 169,84 1,3660
8 1
0,820 1,4263
57,49 61,06 1,3429
8,2 1,410
[,5013
93,92 96,15 1,4665
8,3
1,250 72,95
1,7135
8,4 2,730
169,84 1,6074
Tabla 19 7 Calculo del fndice estacional de los datos sobre los beneficios
por acci6n de
l
empresa
Trimestre
DO
1
2 3 4
Sumas
1
67,98 174,36
2 60,62 95,20
72,20
160,77
3
73,13 94,37 71 ,89 162,91
4
66,51
99,08
71,74
168,09
5
60,43 97,41 80,00 165,16
6
57,21 94,06 78,88 170,00
7
56,45 95,16 78,96 168,12
8
57,49 93,92
Mediana 60,43 95,16 72,20 168,09 395,88
lndice estacional 61,06 96,15 72,95
169,84
400
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Figur
19 14
Beneficios
ajustados
Capitulo 19 Analisis de series temporales y prediccion 8
do se ordenan en sentido ascendente, es decir, 60,43. Tambien hallamos la mediana de X
en porcentaje de x para cada uno de los demas trimestres.
Para calcular los indices estacionales, tambien ajustamos los indices de manera que su
media sea 100. Vemos en la Tabla 19.7 que las cuatro medianas solo suman 395,88. Pode
mos calcular los indices finales
--que
tienen una media de
100-
multiplicando cada me
diana por 400/395,88). En
el
caso del primer trimestre tenemos que
, 400 )
Indice estacional
=
60,43 395,88
=
61,06
Esta cifra estima que la estacionalidad reduce los beneficios del primer trimestre a un
61,06
pOI
ciento de los que se habrian obtenido en ausencia de factores estacionales.
Los indices estacionales de la ultima fila de la Tabla 19.7 se encuentran en la quinta
columna de la 19 .
6.
Observese que se utiliza el mismo indice para cualquier trimestre de
cada ano. Por ultimo, obtenemos nuestro valor desestacionalizado:
Valor original )
Valor ajustado = 100 d . I
n
Ice estaclOna
Por ejemplo, en el caso del tercer trimestre del ano 1,
el
valor desestacionalizado es
0345
100 = 0,4729
La serie desestacionalizada completa que se obtiene de esta forma se muestra en la ul
tima columna de la Tabla 19.6 y se representa en la Figura 19.14. Observese que parece
que sigue quedando una cierta estacionalidad en la ultima parte del periodo, 1 cual induce
a pensar que podrfa ser deseable un enfoque mas elaborado, que tuviera en cuenta los cam
bios de las pautas estacionales.
•
o
•
0
o
1,5 -
•
•
es
taciona lmen
te
por
o
•
•
cada acci6n de una
c
•
•
empresa
.
u
•
o
•
•
•
J)
1,0 -
•
•
J)
0
•
•
::
•
Q
,
j)
•
,5 -
2
3
4
5
6
7
8
9
rimestre
del ario
El metodo del fndice estacional aquf presentado es una sencilla solucion al problema de
los indices. Muchas series temporales importantes
-como
el producto interior bruto y sus
componentes, el empleo y el desempleo, los precios y los
salarios-
tienen un fuerte com
ponente estacional. Generalmente, los organismos oficiales publican datos sobre esas canti
dades tanto desestacionalizados con sin desestacionalizar. Los metodos oficiales de ajuste,
aunque son mas complejos que el que hemos descrito aqui , normal mente se basan en me-
8/19/2019 Análisis de Series Temporales y Predicción
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88 Estadfstica para administraci6n y economfa
dias m6viles.
El
metoda de desestacionalizaci6n que se utiliza mas a menu
do
en las publi
caciones oficiales de Estados U nidos es el metodo del Censo
X II.
Se diferencia del meto
do del fndice estacional en que tiene en cuenta el posible cambio de la pauta estacional a
10
largo del tiempo. Puede demostrarse que en su versi6n aditiva
X ll
estima de una ma
nera bastante aproximada el componente estacional de una serie temporal mensual por me
dio de
donde
siendo X el valor original de la serie en el periodo t y
x
t
la media m6vil centrada de
12
puntos. Naturalmente,
si
se utiliza ese metodo, es necesario dar
un
tratamiento especial a
los valores que se encuentran al final de la serie, ya que la expresi6n del factor estacional
implica valores de la serie temporal que aun no han ocurrido. Una forma posible de lograr-
10
es sustituir los valores futuros desconocidos de la media m6vil por predicciones basadas
en los datos de los que se dispone.
EJERCICIOS
jercicios aplicados
19.18. El fichero de datos Quarterly Earnings
19.18 muestra las ventas trimestrales realizadas
por una empresa en
un
periodo de 6 afios.
a) Trace un gnifico temporal de esta serie y
analice sus caracterfsticas.
b) Utilice el metoda del fndice estacional para
desestacionalizar esta serie. Represente gni
ficamente la serie desestacionalizada
y
ana
lice sus caracterfsticas.
19.19. I.. El fichero de datos Quarterly Sales mues
tra las ventas trimestrales realizadas por una
empresa en
un
periodo de 6 afios.
a) Trace un gnifico temporal de esta serie
y
analice sus caracterfsticas.
b) Utilice el metoda del fndice estacional para
desestacionalizar esta serie. Represente gnl
ficamente la serie desestacionalizada y ana
lice sus caracterfsticas.
19.20. ,.
..
Calcule una serie de medias m6viles centra
das simples de 3 puntos de los datos sobre el
precio del oro del ejercicio 19 .
15.
Represente la
serie suavizada
y
analice el gnifico resultante.
19.21. . Calcule una serie de medias m6viles centra
das simples de 5 puntos de los datos sobre la
construcci6n de viviendas del ejercicio 19.16.
Trace
un
gnifico temporal de la serie suavizada
y comente sus resultados .
19.22. I Calcule una serie de medias m6viles centra
das si mples de 7 puntos de los datos sobre los
beneficios de la empresa del ejercicio 19.17.
Basandose en
un
grifico temporal de la serie
suavizada,
( ,que
puede decirse de sus compo
nentes regulares?
19.23. Sea
1
xl
= I X
t
+
j
2m
+
1
~ I I I
una media m6vil centrada simple de 2m + 1)
puntos. Demuestre que
x/
+
I1I
+
I -
X
- m
x*
=
x*
--'--'-- -'--'--'---_--'-- C.
/ + 1 f
2m + 1
( ,C6mo
podrfa utilizarse este resultado en el
calculo eficiente de la serie de medias m6viles
centradas?
19.24. f EI fichero de datos Quarterly Earnings
19.24 muestra los beneficios por acci6n obteni
dos por una empresa en un periodo de 7 afios.
a) Trace un grafico temporal de estos datos.
( ,Sugiere su grafico la presencia de un fuerte
componente estacional en esta serie de bene
ficios?
b) Utilizando el metodo del fndice estacional,
obtenga una serie de beneficios desestacio
nalizada. Represente gr:ificamente esta serie
y comente su conducta.
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Capitulo 19. Analisis de series temporales
y
prediccion 89
19 25. a) Demuestre que la serie de medias m6viles
centradas de
s puntos del apartado 19.4 pue
de expresarse de la forma siguiente:
X, _ (s/2)
+
2(x,_
s
/2) + I
+ .
+
x, + (s/2) - I - X, + (s/2 )
x/= 2s
b) Demuestre que
.
X
t
+ (s/2 )+ I +X
t
+ (s/2) - X
t
- (s/2) + I - x
t
- (s/2)
. = X'
+ - -- -
- - -- ---- -
--
.\ , + I , 25
19 5 Suavizaci6n exponencial
Analice las ventajas de esta f6rmula , desde
el punto de vista del calculo, para desesta
cionalizar series temporales mensuales.
19.26. , El fichero de datos Monthly Sales muestra
las ventas mensuales de un producto en un
periodo de 3 afios. Utilice el metodo del Indice
estacional para obtener una serie desestacionali
zada
A continuaci6n analizamos algunos metodos para utilizar los valores actuales y pasados de
una serie temporal para predecir sus valores futuros. Este problema, facil de formular, pue
de ser muy diffcil de resolver satisfactoriamente. Generalmente, se utiliza una amplia va
riedad de metodos de predicci6n y la elecci6n final de uno de ellos depende
en
gran medi
da del problema, de los recursos y de los objetivos del analista y de la naturaleza de los
datos de los que dispone .
Nuestro objetivo es utilizar las observaciones existentes,
XI ' X2 ., Xl '
sobre una serie
para predecir los valores futuros desconocidos
Xt+]o X,+2,
. La predicci6n tiene una impor
tancia fundamental en el mundo de la empresa como base racional para tomar decisiones.
Por ejemplo, la predicci6n de las ventas mensuales de un producto es la base de la politic a
de control de las existencias . Las predicciones sobre los futuros beneficios se utilizan cuan
do se toman decisiones de inversi6n.
En este apartado, introducimos
un
metoda de predicci6n que se conoce con el nombre
de suavizacion exponencial simple que da buen resultado en algunas aplicaciones. Consti
tuye, ademas, la base de algunos metodos de predicci6n mas complejos. La suavizaci6n
exponencial es adecuada cuando la serie no es estacional y no tiene una tendencia ascen
dente 0 descendente sistematica.
En ausencia de tendencia
y
de estacionalidad, el objetivo es estimar
el
nivel actual de
la serie temporal y utilizar esta estimaci6n para predecir los futuros valores. Nuestra posi
ci6n es que nos encontramos
en
el periodo
t,
estamos observando retrospectivamente la se
rie de observaciones
XI
XI - I ' X
t
- 2,
.'
Y queremos tener una idea del nivel actual de la se
rie. Para empezar, consideramos dos posibilidades extremas. En primer lugar, podrfamos
utilizar simplemente la observaci6n mas reciente para predecir todas las futuras observa
ciones. En algunos casos, como en el de los precios de los mercados especulativos, es posi
ble que sea
10
mejor que podemos hacer, pero
el
resultado no tiene mucho exito. Sin em
bargo, en muchas series que tienen componentes irregulares, probablemente querrfamos
utilizar algunas observaciones anteriores de la serie. Eso identificarfa las pautas que pudie
ran existir en la serie temporal y evitarfa utilizar solamente una fluctuaci6n aleatoria como
base de nuestra predicci6n.
En el extremo opuesto, podrfamos utilizar la media de todos los val ores pasados como
estimaci6n del nivel actual. Basta una breve reflexi6n para pensar que a menu
do
eso
no
sena util, ya que todos los valores pasados se tratarfan por igual. Asf, por ejemplo, si inten
taramos predecir las futuras ventas mediante este procedimiento, darfamos la misma im
portancia a las ventas de hace muchos
arros
que a las ventas recientes. Parece razonable
que la experiencia
mas reciente influya mas en nuestra predicci6n.
8/19/2019 Análisis de Series Temporales y Predicción
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79 Estadfstica para administraci6n y economfa
La suavizaci6n exponencial simple es una soluci6n intermedia entre estos extremos;
hace una predicci6n basada en una media ponderada de los val ores actuales y de los pasa
dos. Cuando se calcula esta media, se da mas peso a la observaci6n mas reciente, bastante
menos al valor inmediatamente anterior, menos al valor anterior, y asf sucesivamente. Esti
mamos el nivel del periodo actual
t
de la siguiente manera:
_ 2
X
t
-
(1 - IX)X
I
1X 1 - IX)X
t
-
1
IX (1 -
IX)X, - 2
donde rx es un numero comprendido entre
°
1. Por ejemplo, suponiendo que
IX =
0,5, la
predicci6n de las futuras observaciones es
por
10
que en el d.lculo de las predicciones se aplica a las observaciones actuales y pasa
das una media ponderada con un os pesos cada vez menores.
En este modelo, vemos que la predicci6n de la serie en cualquier periodo
t
se estima de
la siguiente manera:
_ 2
X
t
-
(1 - IX)XI
1X l
- IX)X
I
_
I
IX (1
- IX)X
t
- 2
y,
asimismo, el nivel del periodo anterior
t -
1) se estimarfa de la forma siguiente:
Multiplicando por
rx, tenemos que
2 3
IXX, _ I
= 1X 1
-
IX)Xt - 1 rx (1
-
rx)X
t
- 2
rx (1
-
IX)X
t
3
Por
10
tanto, restando estas dos ecuaciones, tenemos que
Y mediante una sencilla manipulaci6n, tenemos la ecuaci6n para calcular la predicci6n ba
sada en la suavizaci6n exponencial simple:
c =
t
1
(1
-
) )XI
para
° ) <
1
Esta expresi6n es un util algoritmo recursivo para calcular predicciones.
EI
valor predicho,
XI
del periodo
t
es una media ponderada de la predicci6n del periodo anterior
x
I
Y
la
ultima observaci6n XI Las ponderaciones dadas a cada uno dependen de la elecci6n de
) ,
que es la constante de suavizaci6n. Observese que un elevado valor de
IX
da mas peso a
x
I
que se basa en la historia pas ada de la serie, y un peso menor a
xI
que representa los
datos mas recientes.
Podemos ilustrar
el
metodo utilizando los datos sobre las ventas de Lydia Pinkham su
poniendo que el valor de
) =
0,4. El proceso comienza fijando el primer elemento de la
serie
XI =
X I
=
1.806
El segundo valor de la predicci6n serfa
X2
=
O 4x[
0,6X2
=
0,4) 1.806) 0,6) 1.644)
=
1.708,8
8/19/2019 Análisis de Series Temporales y Predicción
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Capitulo
19
. Analisis de series temporales y predicci6n 791
Y este proceso continua con toda la serie de manera que
X = 0 4X2
0
6X
3
=
(0,4)(1 .708,8) (0,6)(1.814)
=
1.771,9
Predicci6n por medio de una suavizaci6n exponencial simple
Sea X
j
, X
2
, . . . , Xn un conjunto de observaciones de una serie temporal no estacional sin ningu-
na
tendencia ascendente 0 descendente sistematica.
EI metodo de suavizaci6n exponencial
simple para hacer predicciones es el siguiente:
1
Se obtiene la serie suavizada x
:
(0 < IY <
1;
t
=
2, 3, ... , n 19.6)
donde
CI
es una con stante de suavizaci6n cuyo valor se fija entre 0 y
1
2
A partir del periodo
n
se obtienen predicciones de los futuros valores,
x
n
h
de la serie
de la siguiente manera:
h =
1
2, 3, ... )
Hasta ahora apenas nos hemos referido a la elecci6n de la constante de suavizaci6n,
IY ,
en las aplicaciones practicas. En las aplicaciones, esta elecci6n puede basarse
en
razones
subjetivas u objetivas. Una posibilidad es basarse en la experiencia 0 en el criterio perso
nal. Por ejemplo, un analista que quiera predecir la demanda de un producto puede h aber
trabajado muchas veces con datos sobre lfneas de producto similares y puede basarse en
esa experiencia para seleccionar el valor de
IY
.
a
inspecci6n
vi
sual de
un
grafico de los
datos de los que se dispone tambien puede ser uti para elegir el valor de la constante de
suavizaci6n. Si la serie parece que contiene un componente irregular considerable, no que
remos dar demasiado peso unicamente a la observacion mas reciente, ya que podria no in
dicar que esperamos en el futuro. Eso sugiere que debemos elegir un valor relativamente
alto para la con stante de suavizacion. Pero si la serie es bastante suave, darfamos un valor
mas bajo a IY para dar mas peso a la observacion mas reciente.
Un enfoque mas objetivo es probar con diferentes valores
y
ver cual ha conseguido
predecir mejor los movimientos historicos de la serie temporal. Por ejemplo, podrfamos
calcular la serie suavizada con los valores de IY de 0,2, 0,4, 0,6 y 0,8 y elegir el valor que
predice mejor la serie historica. Calcularfamos el error de cada prediccion:
el=x , x1_ l
Una posibilidad es calcular, para cada valor de IY utilizado, la suma de los cuadrados de los
errores:
11 11
sc
= " e
2
= ( ~ 2
. 1
L.
X
t
- X1
- l
1= 2 1=2
El valor de IY que minimiza la suma de los cuadrados de los errores es el que se utiliza
ra para hacer futuras predicciones. a suavizaci6n exponencial simple puede realizarse uti
lizando el programa Minitab. a Figura 19.15 muestra
un
grafico de la serie original y de
la
serie suavizada utilizando un valor de IY
=
0,1 que se ha elegido probando diferentes
valores
y
hallando el que producfa un ajuste satisfactorio. El indicador MSD de la Figura
19.15 es la suma de los cuadrados de los errores dividida por el numero de observaciones.
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Capitulo 19. Analisis
de
series temporales y predicci6n 79
cia entre las dos estimaciones mas recientes del niveI. La tendencia estimada en el periodo
t es, pues, la media ponderada indicada.
Comenzamos los caIculos estableciendo que
A continuaci6n, aplicamos las ecuaciones anteriores, para
t =
3, 4, ... , n. Mostramos estos
caIculos en el ejemplo 19.2. A continuaci6n, resumimos todo el procedimiento.
Predicci6n con
el
metodo de Holt-Winters: series no estacionales
Sea X
1
,
X
2
, ,
Xn
un conjunto de observaciones sobre una serie temporal no estacional. EI -
todo de Holt-Winters para realizar predicciones consiste en
1
siguiente.
1
Se obtienen estimaciones del nivel x
y de la tendencia T
t
de la forma siguiente:
X
t
=
X2
T2
=
X2 - Xl
X
=
a x
t
-
1
T
t
-
I
) 1 -
a)x
t
0 < a < 1;
t
=
3, 4, ... , n)
T
=
PT
t
- 1 1
-
P) X
t
- X- 1)
0 < P< 1; t
=
3, 4, ... ,
n)
19.7)
donde
IX
Y
J
son constantes de suavizaci6n cuyos valores se fijan entre 0 y
1.
2 A partir del periodo
n,
se obtienen predicciones de los futures valores,
xn + h
de la serie
medio de
donde
h
es
el
numero de periodos futuros.
J MPLO 19.2. Predicci6n del credito al consumo suavizaci6n
exponencial con el metodo Holt-Winters)
19.8)
Se Ie
ha
pedido que haga una predicci6n del credito al consumo pendiente utilizando el
metodo de suavizaci6n exponencial de Holt-Winters.
Solucion
Los calculos siguientes se basan en los datos sobre el credito al consumo de la Ta
bla 19.8, que tam bien contiene los caIculos del metodo de Holt-Winters.
as estimaciones iniciales del nivel y de la tendencia del ano 2 son
y
T2
= X2 -
Xl
= 155 - 133 = 22
Esta aplicaci6n de la suavizaci6n utiliza los valores de
a =
0,3
y
P
= 0,4 y
l
as
ecuaciones
X
=
0,3 x
t
-
1
T
- I) 0 7x
T
t
=
O 4T
t
-
1
0,6 x
t
- Xt-I)
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Capitulo 19. Analisis de series temporales y predicci6n 79
y
para el periodo siguiente
X,, 2
=
xn
+ 2T
y, en general, para h periodos venideros
X
+
h
= xn +
n
En la Tabla 19.8 vemos que las estimaciones mas recientes del nivel y de la tenden-
cia son
XII = 347
Las predicciones para los tres periodos siguientes son
X 2 = 347 +
13
= 360
X 3
=
347 + 2) 13)
=
373
= 347 + 3) 13) = 386
EI
metoda de Holt-Winters puede calcularse utilizando el programa Minitab y la Fi
gura 19.16 muestra el grafico de series temporales y las predicciones. EI metoda del
Minitab es algo distinto del que acabamos de describir. En primer lugar, las entradas del
nivel y de la tendencia son
. t=
CI
Q
....
U
NiveJ
=
1 - IX
Tendencia = 1 - f
Double Exponential
Smoothing for
Credit
45
-
350 -
25
-
15 -
.
/ ~
/
-/1
, , -
/
~
• Actual
Predicted
• Forecast
- Actual
- - Predicted
- - Forecast
Smoothing Constants
lpha
(leve l : 0.700
Gamma
(trend): 0.600
MAPE: 7.108
MAD: 16.487
' T - - - - - - - - - - , - - - - - r
MSD: 354.837
o
5 1
15
Time
igura 19.16. Credito al consumo pendiente observado
y
predicho.
Ademas, el Minitab calcula una estimacion para el primer periodo utilizando el siguien
te metodo:
1. EI Minitab ajusta un modelo de regresion lineal a datos de series temporales
variable y en relacion con el tiempo variable x .
2 La constante de esta regresion es la estimacion inicial del componente del niveJ;
el coeficiente de la pendiente es la estimacion inicial del componente tendencial.
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79 Estadfstica para administracion yeconomf
Como consecuencia los valores ca1culados con el programa Minitab que se muestran
en la Tabla 19.9 son algo distintos de los que figuran en la 19 .8. EI me to do del Minitab
generalmente hace predicciones algo mejores que el metodo mas simplificado que he
mos mostrado. Si el \ector utiliza otros paquetes estadfsticos compruebe los algoritmos
especfficos utilizados para asegurarse de que comprende 1 que ca1cula. Normalmente
puede hacerse pulsando la opcion Ayuda.
Tabla
19.9. Caleulos del eredito al eonsumo pendiente a = 0,3, f = 0,4
y realizados eon el programa Minitab.
Credito al consumo Valor esperado
Periodo observado del nivel
Tendencia Predicciones
133 l30
28
2 155 156 27
3
165
170
19
4
171
177
12
5
194 192
14
6
231
224 24
7
274
266
35
8
312
309 40
9
313 324 25
10
333 338
18
343 347 13
12
360
13
373
14
385
Predicci n de series temporales estacionales
A continuacion examinamos una extension del metoda de Holt-Winters que tiene en cuen
ta la estacionalidad. En la mayorfa de los problemas practicos el factor estacional se con
sidera multiplicativo por 1 que por ejemplo cuando se analizan cifras de ventas mensua
les se puede considerar que las ventas de enero son una proporcion de las ventas
mensuales medias. Se supone al igual que antes que el componente tendencial es aditivo.
Al igual que en el caso no estacional utilizamos los sfmbolos X
t
x
y
t
para represen
tar el valor observado y las estimaciones del nivel y de la tendencia respectivamente del
periodo
t.
El factor estacional es
F
por
1
que si la serie temporal contiene
s
periodos
al
ano el factor estacional del periodo correspondiente del ano anterior es
t
-
s
.
En el modelo de Holt-Winters las estimaciones del nivel de la tendencia y del factor
estacional se actualizan por medio de las tres ecuaciones siguientes:
donde lI.
f
y
Y
son constantes de suavizacion cuyos valores estan comprendidos entre 0 y 1.
8/19/2019 Análisis de Series Temporales y Predicción
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Capftulo 19. Analisis de series temporales y predicci6n 9
El termino
(X _I
+ T _ I es una estimaci6n del nivel del periodo
t
calculada en el
periodo anterior
t - 1.
Esta estimaci6n se actualiza cuando se dispone de x,. Pero tambien
eliminamos la influencia de la estacionalidad deflactandola por la estimaci6n mas reciente
F
t
-
s
,
del factor estacional de ese periodo.
a
ecuaci6n de actualizaci6n de la tendencia
T
es la misma que antes.
Por ultimo el factor estacional F se estima utilizando la tercera ecuaci6n.
a
estima
cion mas reciente del factor que es la del ano anterior es
F
t
-
s
. Sin embargo dividiendo la
nueva observaci6n
XI
por la estimacion del nivel
X
se obtiene un factor estacional
x/x,.
La nueva estimacion del factor estacional es una media ponderada de estas dos cantidades.
Predicci6n con l metodo de Holt-Winters: series estacionales
Sean X
1
, X
2
, •..
,
Xn un conjunto de observaciones sobre una serie temporal estacional del perio
do s siendo s
=
4 en
el
caso de los datos trimestrales y s
=
12 en
el
de los datos mensuales).
EI
metodo de Holt-Winters
para realizar predicciones utiliza
un
conjunto de estimaciones re
cursivas a partir de la serie historica. Estas estimaciones utilizan una con stante del nivel, IX; una
constante de la tendencia,
f
,
y
una con stante estacional multiplicativa, y. Las estimaciones re
cursivas se basan en las siguientes ecuaciones:
0 <
x
< 1)
0
< f < 1)
19.9)
Xl
F
t
=
yF
I
-
s
+ 1 - y 0 < y <
1)
x,
donde Xl es el nivel suavizado de la serie , T
t
es la tendencia suavizada de la serie y F
t
es el
ajuste estacional suavizado de la serie. Los detalles del calculo son tediosos y 1 mejor es ha
cerlo por computador. Hemos mostrado el algoritmo que utiliza el programa Minitab, pero nu
merosos paquetes estadfsticos de cali dad emplean metodos parecidos. Estos metodos pueden
diferir en la forma en que abordan la generacion de constantes para los periodos iniciales de
una serie temporal observada y, por 1 tanto, debe consultarse la documentaci6n del programa
para averiguar cual es exactamente el programa utilizado. Minitab utiliza un metodo de regre
sion mediante variables ficticias para obtener estimaciones de los periodos iniciales.
Una vez que el metodo inicial genera las constantes del nivel, la tendencia y la estacionali
dad a partir de una serie historica, podemos utilizar los resultados para predecir los futuros va
lores de h periodos futuros a partir de
la
ultima observacion, x
n
' de la serie historica. La ecua
cion de prediccion es
19.10)
Observamos que el factor estacional, F es el generado para el periodo de tiempo estacional
mas reciente.
El metoda que hemos desarrollado aqul puede aplicarse utilizando el procedimiento del
Minitab Hamado «Winters method». Concretamente
eI
metoda aqui descrito utiliza
Ia
op
ci6n «multiplicative». El me
to
do Winters empJea
un
componente del nivel
un
componente
tendencial
y
un componente estacional de cada periodo. Utiliza tres ponderaciones
0
para
metros de suavizaci6n para actualizar los componentes de cada periodo. Los valores inicia
les del componente del nivel
y
del componente tendencial se obtienen a partir de una re
gresion lineal con respecto
al
tiempo. Los valores iniciales del componente estacional se
obtienen a partir de una regresi6n mediante variables ficticias utilizando datos desestacio-
8/19/2019 Análisis de Series Temporales y Predicción
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-de-series-temporales-y-prediccion 36/48
98 Estadfstica para administraci6n y economfa
nalizado
s
Las ecuaciones de suavizaci6n del metoda de Winters para el modelo multipli
cativo son las antes utilizadas.
Este me to do se mostrara utilizando los beneficios por acci6n de una empresa en el pro
grama Minitab. En la Figura 19.17 se muestra un gnifico de los valores observados y ajus
tados junto con predicciones para los cuatro periodos siguientes. Se realizan predicciones
utilizando las estimaciones mas recientes de la tendencia
y
del nivel
y
se ajustan para tener
en cuenta el factor estacional. Dada
un
a estaci6n que contiene s periodos de tiempo la pre
dicci6n para
un
periodo en el futuro serfa
Figura 19.17.
Historia y
predicci6n
de
los
benefic
i
os
de
una
empresa
utilizando
el
metoda
de
Holt Winters .
3
J)
en
c 2
c
....
ctl
UJ
o
Winter s Multiplicative Model
for Earnings
.
\
.
.
,
:
.. :
L \ ~
.
I
.,
'
• Actual
o
Predicted
• Forecast
- Actual
- - Predicted
- - .. Forecast
Smoothing Constants
Alpha (level): 0,500
Gamma (tr
end): 0.500
Delta (season): 0.700
MAPE: 13.5391
MAD:
0.0902
- r - - - - ~ - - - - _ _ - - - - - - - - - - MSD: 0.0141
o
10
20
Time
30
Los datos de nuestro ejemplo contienen 32 periodos de tiempo
y un
factor estacional
s = 4 10 que indica que son datos trimestrales. Por 10 tanto para predecir la siguiente ob
servaci6n despues del final de la serie utilizamos la expresi6n
Esta predicci6n es para el primer trimestre; por
10
tanto utilizamos el factor estacional del
primer trimestre
ma
s reciente
y es
En general si estamos prediciendo
h
periodos en el
futuro realizamos la predicci6n de la siguiente manera:
La predicci6n utiliza una constante del nivel x
=
0 5 una constante de la tendencia
f = 0 5
y
una constante estacional
y
= 0 3.
Por ultimo en la Tabla 19 .10 mostramos los resultados detail ados del calculo de los
factores de la tendencia del nivel y el factor estacional de cada periodo.
Las predicciones efecti vas realizadas por medio del metodo de Holt-Winte
rs
dependen
de los valores especfficos elegidos para las constantes de suavizaci6n. Al igual que en
nuestro analisis anterior de la suavizaci6n exponencial esta elecci6n podrfa basarse en cri-
8/19/2019 Análisis de Series Temporales y Predicción
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-de-series-temporales-y-prediccion 37/48
Capitulo
19
Analisis de series temporales
y
prediccion
99
Tabla 19 10 Resultados de
la
aplicaci6n del metodo de suavizaci6n de Holt Winters
en
Minitab.
Trimestre Beneficios Valor Estimaci n Estimaci n Estimaci n
del
a O
de la empresa suavizado del nivel de la tendencia
estacional
Predicci n
1 1
0 300 0 043
0 387 0 242 0 713
1 2 0 460 0 360 0 562
0
2
08 0 851
1 3 0 345 0 433 0 609
0 128 0 628
1 4 0 910 1 055 0 631
0 075 1 529
2 1 0 330
0 450 0 584 0 014 0 609
2 2 0 545 0 498
0 619 0 024 0 872
2 3 0 440 0 389
0 672 0 039 0 646
2 4 1 040 1 028 0 696 0 031 1 505
3 1
0 495 0 424 0 770
0 053 0 633
3 2 0 680 0
671
0 801 0 042 0 856
3 3
0 545 0 518 0 843 0 042 0 646
3 4
1 285
1 269
0 869 0 034
1 486
4 1 0 550
0 550
0 886 0 025
0 624
4 2 0 870 0 758 0 964 0 052
0 888
4 3 0 660
0 623
1 019
0 053 0 648
4 4
1 580 1 514
1 067
0 051
1 482
5 1
0 590 0 666 1 032
0 008 0 588
5 2 0 990 0 916
1 077 0 026 0 910
5 3
0 830 0 697
1 193 0 071
0 681
5 4 1 730 1 767 1 215 0 047
1 441
6 1
0 610 0 714 1 150
-0 009
0 548
6 2 1 050
1 047 1 1
47
- 0 006
0 914
6 3
0 920 0 782 1 246 0 046
0 721
6 4 2 040 1 795 1 354
0 077 1 487
7 1
0 700
0 741
1 355 0 039
0 526
7 2 1 230 1 238 1 370
0 027 0 902
7 3 1 060 0 988 1 433
0 045 0 734
7 4
2 320 2 131
1 519 0 066 1 515
8 1
0 820
0 799
1 572
0 059 0 523
8 2
1 410 1 419 1 597
0 042
0 889
8 3
1 250 1 172
1 671
0 058
0 744
8 4 2 730 2 531 1 765 0 076
1 537
9 1
0 963
9 2
1 705
9 3
1 48
9 4
3 18
terios subjetivos u objetivos. La experiencia del analista en el analisis de conjuntos de da
tos similares podrfa ayudarlo a dar valores adecuados a las constantes de suavizaci6n.
Tambien podrfa probar diferentes conjuntos de valores posibles con los datos hist6ricos de
que dispone y hacer las predicciones utilizando el conjunto de valores que dieran las mejo
res predicciones de esos datos. Esta estrategia es facil de poner en practica utilizando
un
paquete estadfstico como muestra el ejemplo que hemos presentado con el programa Mi
nitab.
8/19/2019 Análisis de Series Temporales y Predicción
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8
Estadfstica para administracion y economfa
EJER I IOS
Ejercicios aplicados
19.27. ~ Basandose
en
los datos del ejercicio 19.13,
utilice el me o do de la suavizaci6n exponencial
simple para hacer prediccion es del cociente en
tre las existencias y las ventas de los 4 pr6xi
mos afios. Utilice una constante de suavizaci6n
de a 0,4. Represente graficamente la serie
temporal
y
las predicciones.
19.28. ,
f
Utilice el metoda de la suavizaci6n expo
nencial simple con una constante de suaviza
ci6n de
a
0,3 para predecir el precio que ten
dra el oro en los 5 pr6ximos afios, basandose en
los datos del ejercicio 19.15.
19.29. f f Utilizando los datos del ejercicio 19.16, uti
lice el metodo de la suavizaci6n exponencial
simple con una con stante de suavizaci6n
a
0,5 para predecir la construcci6n de vivien
das de los 3 pr6ximos afios.
19.30. t i EI fichero de datos Earnings per Share
19.30 muestra los beneficios por acci6n que ob
tendra una empresa
en
un periodo de 18 afios .
a) Utilizando las constantes de suavizaci6n
a 0,2, 0,4, 0,6 y 0,8, realice predicciones
basandose
en
la suavizaci6n exponencial
simple.
b) l.C ual de las predicciones elegirfa?
19.31. a) Si las predicciones se basan en una suaviza
ci6n exponencial simple y x
representa
el
valor suavizado de la serie en el periodo
t
demuestre que el error cometido en la pre
dicci6n de x
t
realizada en el periodo (t - 1 ,
puede expresarse de la forma siguiente:
b) Por
10
tanto, demuestre que podemos escri
bir
x
=
X
t
-
ae
t
donde vemos que se utiliza
la observaci6n mas reciente
y
el enor de
predicci6n mas reciente para calcular la pre
dicci6n siguiente.
19.32. Suponga que en el metodo de la suavizaci6n ex
ponencial simple la constante de suavizaci6n a
se fija en un valor igual a l l.Que predicciones
se obtendran?
19.33. Comente la siguiente afirmaci6n: «Sabemos que
todas las series temporales empresariales y eco
n6micas muestran variabilidad a 10 largo del
tiempo. Sin embargo, si se utiliza el metoda de
la suavizaci6n exponencial simple, se obtienen
las mismas predicciones de todos los futuros
valores de las series temporales. Dado que sabe
mos que todos los futuros valores no seran
iguales, eso es absurdo».
19.34. EI fichero de datos
Industrial Production
anada
muestra
un
fndice de producci6n indus
trial de Canada correspondiente a
un
periodo de
15 afios. Uti lice el metodo de Holt-Winters con
las constantes de suavizaci6n
a
0,3 Y f 0,5
para hacer predicciones para los 5 pr6ximos
afios.
19.35.
I
El fichero de datos
Hourly
Earnings
mues
tra los ingresos por hora de la industria manu
facturera de Estados Unidos correspondientes a
un
periodo de 24 mese
s.
Uti
lice
el
metodo de
Holt-Winters con las constantes de suavizaci6n
a
0,3 Y f 0,4 para hacer predicciones para
los 3 pr6ximos meses.
19.36. El fichero de datos Food Prices muestra
un
fndice de los precios de los alimentos desesta
cionalizado de Estados Unidos correspondiente
a un periodo de
14
meses. Utilice el metodo de
Holt-Winters, con las constantes de suavizaci6n
a = 0,5 Y f = 0,5, para hacer predicciones para
los 3 pr6ximos meses.
19.37. Ii
El fichero de datos Profit Margins muestra
los margenes porcentuales de beneficios de una
empresa conespondientes a
un
periodo de 11
afios. Realice predicciones para los 2 pr6ximos
afios utilizando el metoda de Holt-Winters con
las constantes de suavizaci6n a 0,6
y
f 0,6.
19.38.
f
J
Uti lice el metodo estacional de Holt-Win
ters para realizar predicciones de las ventas para
dentro de ocho trimestres, basandose en los da
tos del ejercicio 19.18. Emplee las constantes
de suavizaci6n
a
= 0,6, f = 0,5 y y = 0,4.
Represente graficamente los datos
y
las predic
ciones.
19.39.
f
Utilice el metodo estacional de Holt-Win
ters para hacer predicciones de las ventas para
dentro de ocho trimestres, basandose en los da
tos del ejercicio 19.19. Emplee las constantes
de suavizaci6n a = 0,5, f = 0,4 y y = 0,3.
Represente graficamente los datos y las predic
ciones.
8/19/2019 Análisis de Series Temporales y Predicción
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Capitulo 19 Analisis de series temporales y prediccion 8 1
19 6 Modelos autorre resivos
En este apartado presentamos otro enfoque para hacer predicciones de series temporales.
Este enfoque implica la utilizaci6n de los datos de los que se dispone para estimar panime
tros de un modelo del proceso que podrfa haber generado la serie temporal.
En
este aparta
do examinamos un metoda muy utilizado, los modelos autorregresivos, que se basa en el
enfoque de la construcci6n de modelos.
En el apartado 14.3 introdujimos el uso de variables dependientes retardadas en los
modelos de regresi6n multiple y ese enfoque es la base de los modelos que analizamos
aqu1.
La
idea es esencialmente considerar las series temporales como series de variables
aleatorias. A efectos pnicticos, a menudo podrfamos estar dispuestos a suponer que estas
variables aleatorias tienen todas ell
as
las rnismas medias y las rnismas varianzas. Sin em
bargo, no podemos suponer que son independientes entre
S1
Ciertamente, si consideramos
una serie de ventas de un producto, es muy probable que las ventas de periodos contiguos
esten relacionadas entre S1 Las pautas de correlaci6n como las que hay entre periodos con
tiguos a veces se conocen con el nombre de
autocorrelaci6n.
En principio, es
po
sible cualquier numero de pautas de autocorrelaci6n. Sin embargo,
unas son considerablemente mas probables que otras. Se plantea una posibilidad especial
mente atractiva cuando se exarnina una correlaci6n bastante estrecha entre observaciones
contiguas en el tiempo, una correlaci6n menos estrecha entre observaciones separadas por
dos periodos, una correlaci6n mas debil aun entre los valores separados por tres periodos,
etc. Surge una sencilla pauta de autocorrelaci6n de este tipo cuando la correlaci6n entre
valores contiguos es
algun numero por
ejemplo,
4> ,-
que entre valores separados por
dos periodos es
4>T,
que entre valores separados por tres periodos es
4>f
y asf sucesiva
mente. Por
1
tanto,
si
X
representa el valor de la serie en el periodo
t
tenemos en este
modelo de autocorrelaci6n que
j =
1
2,
3
...)
Esta estructura de autocorrelaci6n da lugar a
un
modelo de series temporales de la forma
donde y y
4>
son parametros fijos y las variables aleatorias 't tienen una media de 0 y una
varianza fija para todo t y no estan correlacionadas entre S1
EI
fin del parametro y es tener
en cuenta la posibilidad de que la serie x
t
tenga alguna media distinta de O Por 1 demas,
este es el modelo que utilizamos en el apartado 14.7 para representar la autocorrelaci6n de
los terminos de error de una ecuaci6n de regresi6n. Se llama modelo autorregresivo de pri-
mer orden.
El modelo autorregresivo de primer orden expresa el valor actual, XI' de una serie en el
valor anterior, x
t
_ y una variable aleatoria no autocorrelacionada,
't.
Dado que la variable
aleatoria 't no esta autocorrelacionada, es impredecible. En el caso de las series generadas
por el modelo autorregresivo de primer orden, las predicciones de los futuros valores s610
dependen del valor mas reciente de la serie. Sin embargo, en much
as
aplicaciones querrfa
mos utilizar mas de una observaci6n como base para hacer predicciones . Una extensi6n
obvia del modelo serfa hacer depender el valor actu
al
de la serie de las dos observaciones
mas recientes. Por 1 tanto, podrfamos utilizar
un
modelo
8/19/2019 Análisis de Series Temporales y Predicción
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8 2
Estadfs tica para
admini
straci6n
y eco
nom
fa
Pinkham
Sales Data
donde Y ¢l Y
¢2
son panimetros fijo s. Este modelo se llama
modelo au
to
rregresivo de se
gundo orden.
En terminos mas generales, dado
un
entero positivo cualquiera
p
el valor actual de la
serie puede hacerse dependiente
Ii
nealmente) de los p valores anteriores por medio del
modelo autorregresivo de orden
p:
donde Y ¢l Y
¢ > .
..
,
¢p son panimetros
fij
os. Esta ecuaci6n describe el modelo autorregre
si
vo
genera
l.
En el resto de este apartado, consideramos el a
ju
ste de esos modelos Y su uso
para predecir los val ores futuros.
Supongamos que tenemos una serie de observaciones
X l X2,
. . . XII
Queremos utilizarlas
para estimar los parametros desconocidos Y ¢l ¢2
...
, ¢p para los que la suma de los cua
drados de las diferencias son
sc = I
(X
t
- Y -
¢
IX
t
-
1
-
¢ Xt - 2
- . - ¢ ~
t = p + l
sea la menor posibl
e.
Por 10 tanto, la estimaci6n puede realizarse utilizando un programa
de regresi6n multiple. Mostramos este metodo en el ejemplo 19.3 utilizando los datos so
bre las ventas de Lydia Pinkham.
Modelos autorregresivos y su estimacion
Sea XI t =
1, 2, ...
n
una serie temporal. Un modelo que puede utilizarse a menudo eficaz
mente para representar
esa
serie
es el
modele autorregresivo de orden
p:
9.11)
donde
y, ¢1 ¢2 ... , ¢
son parametros
fijos y
las c
f
son variables aleatorias que tienen una
me-
dia de
0
y una v a r i a n ~ a constante y que
no
estan correlacionadas entre
sf.
Los
parametros
del
modele autorregresivo
se
estiman por medio de
un
algoritmo de
mini-
mos cuadrados,
tal
que
los
valores de
y,
¢1 ¢2
... ¢p
minim
izan
la
suma de
los
cuadrados
siguiente:
n
SC
=
I
t
- Y - ¢l
t
-
l
-
¢
Xt
- 2
-
- ¢
t=
p +
1
EJEMPLO 19.3. Predicci6n de los datos sobre las ventas
modelo autorregresivo)
19.12)
Se Ie ha pedido que desarrolle un modelo autonegresivo para predecir los datos sobre
las vent as de Lydia Pinkham vease el fich
er
o de datos
Pinkham Sales
Data).
Soluci n
Para utilizar un modelo autonegresivo que permita hacer predicciones de los futuros va
lores, es necesario
fi
jar un valor para
p,
el orden de la autonegresi6n. Debemos elegir
un valor de
p 10
suficientemente alto para tener en cuenta toda la conducta importante
de autoconelaci6n de
la
serie. Pero tampoco queremos que
p
sea tan grande que in
c1u
yamos parametros irrelevantes y que la estimaci6n de los parametros importantes sea
8/19/2019 Análisis de Series Temporales y Predicción
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Capitulo 19 . Analisis
de
series temporales y prediccion 8 3
ineficiente como consecuencia. En general se prefieren los modelos «parsimomcos»
-sencillos pero suficientes para lograr el objetivo- para hacer buenas predicciones de
datos de series temporales.
Una posibilidad es fijar el valor de
p
arbitrariamente quiza basandose en la expe
riencia anterior con conjuntos de datos similares. Otro enfoque es fijar
un
orden maxi
mo K de la autolTegresion y estimar a su vez modelos de orden
p =
K K -
1
K -
2
...
Se contrasta para cada valor de p la hipotesis nula de que el ultimo para metro de la
autorregresion
¢
del modelo es 0 frente a la altemativa bilateral. EI procedimiento
concluye cuando hallamos un valor de p para el que esta hipotesis nula no se rechaza.
Nuestro objetivo es pues contrastar la hipotesis nul a
frente a la alternativa
En el Capitulo
12
presentamos metodos para contrastar la hipotesis nula Ho. Sabemos
basicamente que el cociente entre la estimacion del coeficiente y la desviacion tfpica
del coeficiente sigue una distribucion
t
de Student. La salida Minitab del analisis de re
gresion
y
la salida del analisis de regresion de cualquier paquete estadfstico- incluye
ese calculo de la
t
de Student
y
ademas la probabilidad de que la hipotesis nula sea
verdadera e l p-valor de la hipotesis
nula-
dada la t de Student calculada.
Predicci6n a partir de
model
os
autorregresivos estimados
Supongamos que tenemos las observaciones
X
1
, X
2
,
.
x
t
de una serie temporal y que se ha
ajustado un modele autorregresivo de orden p a estos datos. Expresamos
el
modelo estimado
de la siguiente manera:
19.13)
Partiendo del periodo
n
hacemos predicciones de los futuros valores de la serie de la si-
guiente manera:
19.14)
donde para
j
>
0
es la prediccion de
x
t
partiendo del periodo n y para
j
0
x
j es sim-
plemente el valor observado de x
t
r
La
Figura 19.18 muestra copias abreviadas de la salida Minitab del analisis de regre
sion para modelos autorregresivos utilizando los datos sobre las ventas de Lydia Pinkham
y suponiendo que p
= 1 2 3 4.
Aplicaremos este metodo a los datos sobre las ventas de Pinkham utilizando un nivel
de significacion del 10 por ciento para nuestros contrastes. Basandonos en los resultados
de
Ia
Figura 19.18 comenzamos con la regresion suponiendo que p
= 4.
Observamos que
el coeficiente de X
t
- 4 tiene
un
estadistico
t
de Student de - 1 39
y un
p-valor de 0 180. Por
10
tanto no podemos rechazar Ia hipotesis nula de que
el
coeficiente es 0
y
pasamos a la
regresion suponiendo que p
= 3.
En este caso vemos que el coeficiente de X
t
-
3
tiene un
8/19/2019 Análisis de Series Temporales y Predicción
http://slidepdf.com/reader/full/analisis-de-series-temporales-y-prediccion 42/48
8 4 Estadfstica para administraci6n y economfa
Figura 19 18
Modelos
autorregresivos
para
los datos
sobre
las ventas de
Lydia Pinkham
salida
Minitab).
egression with p = 1
Sales =
193 + 0.883
Salelag1
29
cases
used
1 cases
conta in
missing
va lues
Predic tor
Constant
Salelag1
Coef
193 . 3
0.8831
StDev
189.0
0.1024
S = 207.0 R-Sq = 73.4 R-Sq(adj) = 72.4
egression with p =
2
T
1 02
8.62
Sales =
314 +
1.18 Salelag1 -
0.358
Salelag2
28
cases
used
2 cases conta in missing values
Predic tor
Constant
Sale1ag1
Salelag2
Coef
313.7
1.1801
-0
.3578
StDev
192.5
0.1870
0.1914
S = 199.6 R-Sq = 76.9 R-Sq(adj) = 75.1
egression with p =
3
T
1 63
6.31
-1
.87
P
0.316
0.000
P
0.116
0.000
0 . 073
Sales
=
322
+
1.19 Sa1e1ag1
- 0.317
Salelag2
- 0.057
Salslag3
27 cases
used
3 cases conta in
missing
values
Predic tor
Constant
Salelag1
Sale1ag2
Sals lag3
S =203.0
Coef
StDev
322.3
215.7
1.1881 0.2065
-0.3168
0.3081
-0.0574
0.2098
R-Sq = 78 .1 R-Sq(adj) = 75.2
egression with p = 4
T
1
49
5.75
-1 .03
-0.27
P
0.149
0.000
0.315
0.787
Sales
=
446 + 1.19 Salelag1 -
0.439
Sa1elag2 +
0.286
Salslag3 -
0.291
Salelag4
26 cases used 4 cases contain missing values
Predictor Coef StDev T P
Constant
446.2
232.8 1.92
Sale1ag1 1.1937 0.2108 5.66
Salelag2 -0.4391
0.3238
-1 .36
Salslag3
0.2859 0.3174 0.90
Salelag4 -0.2914
0.2101
-1.39
0.069
0.000
0.190
0.378
0.180
S = 202.6 R-Sq = 80.1 R-Sq(adj) = 76.3
estadfstico
t
de Student igual a -
0,27
y
un
p-valor de
0,787.
Una vez mas, no podemm
rechazar la hip6tesis nul a de que este coeficiente es 0. En el caso del modelo de regresi6n
en el que se supone que
p = 2,
vemos que el coeficiente de
X
t
2
tiene un estadfstico
t d
Student de -
1,87
Y un p-valor de
0,073.
Por
10
tanto, podemos rechazar la hip6tesis
nu12
de que el coeficiente de
X
t
2
es
0
El modelo elegido es el modelo con dos valores retarda
dos,
p
=
2.
La ecuaci6n final es
X
= 313,7 1 1801x
t
_
1
- 0 3578x
t
_
2
Ahora que tenemos el modelo, queremos aplicarlo para hacer predicciones con los datm
sobre las ventas de Lydia Pinkham. Comenzamos sefialando que los dos ultimos valores d
la serie de datos son
X29 = 1.387
y
X3 = 1.289
8/19/2019 Análisis de Series Temporales y Predicción
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Capitulo 19. Analisis de series temporales y predicci6n
8 5
Ahora podemos predecir el siguiente valor X31:
X31 = 313,68 + 1 l80X30 - 0 358x29
= 313,68 + 1,180) 1.289) - 0,358) 1.387) = 1.338,2
Reconocemos que el valor predicho del termino de error, 81' es O Ahora podemos predecir
el siguiente valor de la serie siguiendo el mismo procedimiento, con la salvedad de que
ahora debemos utilizar el valor predicho de X31 es decir, Xt:
X32 = 313,68 + 1 180X31 - 0 358x30
= 313,68 + 1,180) 1.338,2) - 0,358) 1.289) = 1.431,29
Estos calculos pueden realizarse directamente mediante el programa Minitab
0
mediante
cualquier otro buen paquete estadfstico-
y
los resultados se muestran en la Figura 19.19.
Podemos continuar con este proceso
y
hacer predicciones para tantos periodos futuros
como queramos. La serie temporal de ventas y las predicciones para seis periodos se mues
tran en la Figura 19.20.
Figura
19.19
.
Valores predichos a
partir de un modelo
autorregresivo para
los datos sobre las
ventas
de
Pinkham
salida Minitab).
Figura 19.20 .
Ventas
de
Lydia
Pinkham y
predicciones
basad as en el ajuste
de un
modelo
autorregres
i
vo de
segundo orden.
Sales = 314
+
1.18
Salelag1
-
0.358
Salelag2
28 cases used
2 cases
conta in missing values
Predic tor
Coef
StDev
T P
Constant
313.7
192.5
1 . 63
0.116
Salelag1 1.1801 0.1870 6 . 31
0.000
Salelag2 -0.3578 0.1914 1.87 0.073
S
=
199
.6
R-Sq
=
76
.
9
R-Sq(adj)
=
75.1
Predicted
Values
rJ
(])
o
(/)
Fi t StDev Fi t
95.0
CI
1207.7, 1469.4)
95.0 PI
907.1,
1770
. 1)
338.6 63.5
2500
2000
1500
1000
Time Series Plot for Sales
(with forecasts and their 95 confidence limits)
2 4 6 8
10 12 14
16
18 20 22
24 26
28
30
Time
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8 6 Estadfstica para administraci6n y economfa
EJERCICIOS
Ejercicios aplicados
19 40 Basandose en los datos de la Tabla 19.10, esti
me un modelo autorregresiv o de primer orden
para calcular el fndice del volumen de acciones
negociadas. Utilice el modelo ajustado para ha
cer predicciones para los 4 pr6ximos dfas.
19 41
0 It
EI fichero de datos Trading Volume mues
tra el volumen de transacciones (en cientos de
miles) de acciones de una empresa realizadas en
un periodo de 12 meses. Estime con estos datos
un modelo autorregresivo de primer orden y uti
lice el modelo ajustado para hacer predicciones
del volumen para las 3 pr6ximas semanas.
19 42
f
Basandose en el fichero de datos Housing
Starts del ejercicio 19.16, estime modelos auto
rregresivos de 6rdenes 1 a 4. Utilice el metoda
de este apartado para contrastar la hip6tesis de
que el orden de la autorregresi6n es p
-
1
frente a la alternativa de que es
p,
con un nivel
de significaci6n del 10 por ciento. Seleccione
uno de estos modelos y haga predicciones de 1a
construcci6n de viviendas para los 5 pr6ximos
afios. Trace un griifico temporal que muestre las
observaciones originales junto con las predic
ciones. i,Serfan diferentes las predicciones si se
utilizara un nivel de significaci6n del 5 por
ciento para los contrastes del orden autorregre
sivo?
19 43 t 9
Basandose en el fichero de datos Earnings
per Share del ejercicio 19.17 sobre los benefi
cios por acci6n de una empresa, ajuste modelos
autorregresivos de 6rdenes 1 a 4. Utilice el me
todo de este apartado para contrastar la hip6te
sis de que el orden de la autorregresi6n es
p - 1 frente a la alternativa de que el verda
dero orden es
p ,
con
un
nivel de significaci6n
del 10 por ciento. Seleccione uno de estos mo
delos y haga predicciones de los beneficios por
acci6n para los 5 pr6ximos afios. Trace un gra
fico que muestre las observaciones originales
junto con las predicciones. i,Serfan diferentes
los resultados
si
se utilizara
un
ni vel de signifi
caci6n del 5 por ciento para los contrastes?
19 44 if., Vuelva al fichero de datos Earnings per
Share 19 30 del ejercicio 19.30 sobre los bene
ficios por acci6n de una empresa. Ajuste mode
los auton·egresivos de 6rdenes
1
2 y 3. Utilice
el metodo del apart ado 19.6 para contrastar la
hip6tesis de que el orden de la autorregresi6n es
19 45
19 46
19 47
19 48
p
- 1
frente a
1a
alternativa de que es
p
con
un
nivel de significaci6n del
10
por ciento y se
leccione un valor para el orden autorregresivo.
Utilice el modelo seleccionado para hacer pre
dicciones de los beneficios por acci6n para den
tro de 4 afios. Trace un grMico temporal de las
observaciones y las predicciones. i,Serfan dife
rentes los resultados si se utilizara un nivel
de significaci6n del 5 por ciento para los con
trastes?
if
Y
En la Figura 19.18, se muestran modelos
autorregresivos ajustados de 6rdenes 1 a 4 para
datos sobre las ventas anuales. A continuaci6n,
seleccionamos un modele contrastando la hip6-
tesis nula de una autorregresi6n de orden
p
- 1 frente a la alternativa de una autorregre
si6n de orden p al nivel de significaci6n del 10
por ciento. Repita este procedimiento , pero ha
ga un contraste al ni vel de significaci6n del 5
por ciento.
a) i,Que modelo autorregresivo se selecciona
ahora?
b Realice predicciones de las ventas para los 3
pr6ximos afios basandose en este modelo se
leccionado.
Se ha observado que las ventas anuales de un
producto podrfan muy bien describirse por me
dio de un modelo autorregresivo de tercer or
den. EI modelo estimado es
X,= 202+
I,lOX - 1 -
0,48X - 2
+
0,17X -3 +£,
En 1993, 1994 Y 1995, las ventas fueron de 867,
923 y 951, respectivamente. Calcule las predic
ciones de las ventas para los afios 1996 a 1998.
En el caso de muchas series temporales, espe
cialmente en el de los precios de los mercados
especulativos, se ha observado que el modelo
del
paseo aleatorio
representa satisfactoria
mente los datos efectivos. Este modelo es
Demuestre que, si este modele es adecuado, las
predicciones de XII + / partiendo del periodo
n,
vienen dadas por
Xn h =
Xn
h
= 1 2 3 ..
.
<
Vuelva al fichero de datos Hourly Earn-
ings del ejercicio 19.35, que muestra los benefi
cios de 24 meses. Sean x,
(t = 1,
2, ... , 24) las
8/19/2019 Análisis de Series Temporales y Predicción
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Capitulo 19. Analisis de series temporales y predicci6n 8 7
observaciones. A continuaci6n, construya la se
rie
de
primeras diferencias:
z,
= X
- X -i t
=
2
3, ... , 24)
Ajuste modelos autorregresivos de 6rdenes 1 a
4 a la serie
Z .
Utilizando el metodo de este
apartado para contrastar la hip6tesis de que el
orden autorregresivo es
p -
1 frente a la alter
nativa de orden p con un nivel de significaci6n
del
10
por ciento, seleccione uno de estos mo
delos. Utilizando el modelo seleccionado, reali
ce predicciones para Z donde
t
= 25, 26 Y 27.
Realice predicciones de los beneficios para los
3 pr6ximos meses.
19 7 Modelos autorregresivos integrados de medias m6viles
En este apartado introducimos brevemente un metodo para hacer predicciones de datos de
series temporales que
se
utiliza mucho en las aplicaciones empresariales. Los modelos que
analizamos incluyen como caso especial los modelos autorregresivos que hemos estudiado
en el apartado 19.6.
En un libro ch isico, George Box y Gwilyn Jenkins introdujeron una metodologfa
10
su
ficientemente versatil para que un usuario moderadamente habil obtenga buenos resultados
en una amplia variedad de problemas de prediccion que se plantean en la practica (vease la
referencia bibliografica 1). La esencia del metoda de Box-Jenkins es el examen de una am
plia clase de modelos a partir de los cuales pueden realizarse predicciones, junto con una
metodologfa para elegir, en funcion
de
las caracterfsticas de los datos de los que se dispo
ne, un modelo adecuado para cualquier problema de prediccion.
La clase general de modelos es la clase de modelos autorregresivos integrados de me
dias moviles (ARIMA). Son extensiones bast ante naturales de los modelos autorregresivos
del apartado 19.6. Ademas, la suavizacion exponencial simple y los predictores de Holt
Winters pueden obtenerse a partir de miembros especfficos de esta clase general, al igual
que otros muchos algoritmos que se utilizan frecuentemente para hacer predicciones. Los
modelos y las tecnicas de analisis de series temporales de Box-Jenkins pueden generalizar
se para tener en cuenta la estacionalidad y tambien para analizar series temporales relacio
nadas, por
10
que es po sible predecir los futuros valores de una serie a partir de informa
cion no solo sobre su propio pasado sino tambien sobre el pas ado
de
otras series
relevantes. Esta ultima posibilidad permite adoptar un enfoque para realizar predicciones
que generaliza los metodos de regresion analizados en los Capftulos 12 a 14.
No es posible en el espacio de que disponemos analizar exhaustivamente la metodolo
gfa de Box-Jenkins (para una introduccion a esta metodologfa, vease la referencia biblio
grafica 3). Consta, esencialmente, de tres fases :
1.
Basandose en estadfsticos sinteticos que son faciles de calcular a partir de los datos
de que se dispone, el analista selecciona un modelo especffico de la clase general.
No se trata simplemente de seguir automaticamente una serie de reglas sino que
hace falta un cierto grado
de
criterio personal y de experiencia. Sin embargo, el
analista no se compromete para siempre a seguir el modelo elegido
en esta fase sino
que puede abandonarlo en favor de otro en una fase posterior
si
parece deseable.
2
EI
modelo especffico elegido tiene casi invariablemente algunos coeficientes des
conocidos. Estos deben estimarse a partir de los datos de los que se dispone utili
zando tecnicas estadfsticas eficientes, como mfnimos cuadrados.
3 Por ultimo, hay que averiguar
si
el modelo estimado es una representacion adecua
da de los datos de series temporales de los que se dispone. Cualquier indicio de
8/19/2019 Análisis de Series Temporales y Predicción
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8 8 stadfstica para administracion y economfa
que no 1 es en esta fase puede sugerir alguna especificaci6n alternativa y el proce
so de selecci6n del modelo, de estimaci6n de los coeficientes y de comprobaci6n
del modelo se repite hasta que se encuentra uno satisfactorio.
I enfoque de Box-Jenkins para hacer predicciones tiene la gran ventaja de la flexibili
dad: existe una amplia variedad de predictores y la elecci6n entre ellos se basa en los da
tos. Ademas, cuando se ha comparado este enfoque con otros metodos, utilizando series
temporales econ6micas y empresariales efectivas, normalmente se ha observado que fun
ciona muy bien. Por 1 tanto, puede decirse que ha superado la prueba de fuego: jen la
practica, funciona
Para concluir este breve analisis, observese que existen programas informaticos para
realizar analisis de series temporales ajustando a los datos modelos ARIMA, incluido
un
conjunto de procedimientos del programa Minitab. Sin embargo, el metodo tiene
un
incon
veniente en comparaci6n con otros mas sencillos analizados en apartados anteriores de este
capitulo. Como hay flexibilidad para elegir un modelo adecuado de la clase general, el en
foque de Box-Jenkins
es
mas caro que los metodos que imponen una unica estructura del
modelo a todas las series temporales porque debe ser utilizado por personas cualificadas.
RESUMEN
Este capftulo es una introduccion
al
amilisis de los da
tos de series temporales . Hemos presentado, en primer
lugar, los nllmeros
In
dice como medida estandarizada
de las variaciones a
1
largo del tiempo. En el resto del
capItulo, hemos mostrado algunos utiles metodos para
predecir datos de series temporales.
Los numeros Indice constituyen una base coherente
a
1
largo del tiempo para representar precios, cantida
des y otras medidas importantes. Los numeros Indice
simples son una medida del cambio can respecto a un
periodo de tiempo fijo. Los numeros Indice pondera
dos, como el fndice de Laspeyres, parten de proporcio
nes de bienes constantes e indican como influyen las
variaciones de los precios de cada bien en
el
precio
agregado de la cesta de mercado.
Hemos comenzado la prediccion de datos de series
temporales con un amilisis de los principales compo
nentes de las series temporales: tendencial, cfclico, es
tacional e irregular. A continuacion, hemos presentado
una serie de instrumentos aplicados que han demostra
do ser eficaces para hacer predicciones. Hemos mostra-
do algunas versiones de los modelos de medias moviles
ponderadas y los modelos exponenciales. Hemos visto
como pueden utilizarse algunas variantes de estos me
todos para controlar y estimar el efecto de los principa
les componentes.
Hemos introducido los model
os
autorregresivos pa
ra ilustrar el enfoque estocastico
de
las predicciones de
datos de series temporales. En ese enfoque, estimamos
parametros de un modelo que podrfan haber generado
la serie temporal. Un enfoque consiste en utilizar mo
delos autorregresivos en los que se plantea que una
medida en el periodo es una funcion lineal de las ob
servaciones pasadas mas
un
termino de error aleatorio.
EI desarrollo del modelo implica la especificacion del
modelo, la estimacion y a continuacion la realizacion
de un contraste para averiguar la eficacia del modele
para hacer predicciones. Por ultimo, hemos ofrecido
una vision panoramica de los modelos integrados auto
rregresivos de medias moviles, que son la base de una
amplia variedad de especificaciones de modelos, depen
diendo de
la
estructura que se crea que tiene
el
proceso.
TERMINOS CL VE
aniilisis de los componentes
de
las
series temporales, 779
calculo de fndices de precios
de
un
lmico articulo, 767
cambio del periodo base, 770
contraste de rachas, 775
contraste de rachas: grandes muestras, 775
fndice de cantidades agregado
ponderado, 769
fnd
ice de cantidades de Laspeyres, 770
fndice de precios agregado
ponderado, 768
fndice de precios enlazado,
771
fndice de precios de Laspeyres, 768
fndice de precios no ponderado, 767
8/19/2019 Análisis de Series Temporales y Predicción
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Capitulo 19 Analisis de series temporales y predicci6n 8 9
mcd
ias mov
il
es centradas
numeros fndice, 764 predicci6n por medio de la
suavizaci6n exponencial
simple,
791
simples de 2m
+
1) puntos,
781
metodo de desestacionalizaci6n
med
ia
nt
e medias m6viles simples, 785
mode los ARIMA,
807
predicci6n
con
el metodo de
Holt-Winters: series estacionales,
797
predicci6n con
el
metoda de series temporales , 777
suavizaci6n exponencial
simple,
789
odelos autOlTegresivos
y su es timaci6n,
802
Holt-Winters: series no estacionales,
793
predicci6n a partir de modelos
autOlTegresivos estimados, 803
EJERCICIOS
PLIC CIONES
DEL C PITULO
19.49.
I
Vuelva al ejercicio
19.35
y al fichero de da
tos
Hourly Earnings,
que muestra los ingresos
mensuales por hora de la industria manufactu
rera.
a) Calcule un fndice con el mes I como base.
b) Calcule un fndice con el mes 5 como base.
19.50. . Una biblioteca compra Iibros y revistas.
La tabla adjunta y el fichero de datos Library
Purchases muestran los precios medios (en d6-
lares) pagados por cada uno y las cantidades
compradas en un periodo de 6 anos. Utilice el
ano 1 como base.
Libros Revistas
A
O Precio Cantidad Precio Cantidad
1
20,4
694
30,1
155
2
22,3
723 33,4 159
3
23,3
687 36,0 160
4
24,6
731
39,8 163
5
27,0 742 45,7
160
6
29,2 748 50,7
155
a) Halle el fndice de precios agregado no pon
derado.
b) Halle el fndice de precios de Laspeyres.
c) Halle el fndice de cantidades de Laspeyres.
19.51. Explique la afirmaci6n de que puede conside
rarse que una serie temporal esta formada por
varios componentes. Ponga ejemplos de series
temporales empresariales y econ6micas en las
que es de esperar que sean importantes determi
nados componentes.
19.52. En muchas aplicaciones empresariales, las pre
dicciones de los futuros valores de las series
temporales, como las ventas y los beneficios,
se hacen exclusivamente con informaci6n pasa
da sobre la serie temporal en cuesti6n. i,Q ue ca
racterfsticas de la conducta de las series tempo
rales se explota en la producci6n de esas
predicciones?
19.53. Una persona encargada del control de las exis
tencias solicita predicciones mensuales de las
ventas de varios productos para los 6 pr6ximos
meses. Esta persona tiene datos sobre las ventas
mensuales de cada uno de estos productos de
los 4 ultimos aftos. Decide utilizar como predic
ciones para cada uno de los 6 pr6ximos meses
las ventas mensuales medias de los 4 ultimos
anos. i,Cree que es una buena estrategia? Expli
que su respuesta.
19.54. i,Que se entiende por ajuste estacional de una
serie temporal? Explique pOI que los organis
mos oficiales realizan muchos esfuerzos para
desestacionalizar las series temporales econ6mi
cas.
19 55
EI fichero de datos
US Industrial Produc
tion
muestra un fndice de producci6n industrial
de Estados Unidos de
14
aftos.
a) Realice un contraste de aleatoriedad de esta
serie utilizando el contraste de rachas.
b) Trace un grMico temporal de estos datos
y analice las caracterfsticas que revela el
grMico.
c) Calcule la serie de medias m6viles centradas
simples de 3 puntos. Represente grMica
mente esta serie suavizada y anal ice su con
ducta.
19.56. EI fichero de datos Product Sales muestTa
4
observaciones anuales sobre
las
ventas de un
producto.
a) Uti lice la variante del contraste de rachas
para grandes muestras para hacer
un contras
te de aleatoriedad de esta serie.
b) Trace
un
grMico temporal de los datos y
analice las caracterfsticas de la serie mostra
da en este grMico.
c) Calcule la serie de medias m6viles centradas
simples de 5 punto
s.
Represente grafica
mente esta serie suavizada y anal ice su con
ducta.
8/19/2019 Análisis de Series Temporales y Predicción
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81
Estadistica para administraci6n y economia
19.57.
t,.
El fichero de datos Quarterly
Earnings
19.57 muestra los beneficios trimestrales por ac
cion de una empresa en 7 afios.
a Represente gr< ificamente estos datos. i,Sugie
re este gr< ifico la presencia de un fuerte
componente estacional?
b Utilice el metodo del fndice estacional para
obtener una serie desestacionalizada.
19.58. f., El fichero de datos Price
Index
muestra 15
val ores mensuales del fndice de precios de una
mercancfa.
a
Calcule la serie de medias moviles centradas
simples de 3 puntos.
b
Trace un gr< ifico temporal de la serie suavi
zada y comente sus caracterfsticas.
19.59.
~
Vuelva al ejercicio 19.56 y al fichero de da
tos
Product
Sales. Uti lice la suavizacion expo
nencial simple con una constante
de
suavizacion
x = 0,5 para
hacer
predicciones de las ventas
para los
3
proximos afios.
ibliografla
19.60. ( )
Vuelva
al ejercicio 19.58 y al fichero de da
tos
Price Index.
Utilice el metoda de Holt
Winters con las constantes de suavizacion
x
=
0,3 y
f
=
0,4
par
a hacer predicciones del
Indice de precios para los
4
proximos meses.
19.61. ( ) Vuelva
al
ejercicio 19.57 y al fichero de da
tos
Quarterly
Earnings
19.57. Utilice el meto
do estacional de Holt-Winters con las constantes
de suavizacion x = 0,4 , f = 0,4 y y = 0,2 para
hacer predicciones de esta serie de beneficios
por accion para los cuatro proximos trimestres.
19.62.
0 ,
Basandose en el fichero de datos Product
Sales
del ejercicio 19.59, estime modelos auto
rregresivos de ordenes 1 a 4 para las ventas del
producto. Utilizando el metodo del apartado
19.6 para contrastar la hipotesis
de que
el orden
autorregresivo es
p
- I frente a la alternativa
de que el orden es p , con un nivel
de
significa
cion del 10 por ciento, elija uno de estos mode
los. Haga predicciones para los 3 proximos afios
a partir del modelo elegido.
1 Box, G. E. P.
Y
G. M. Jenkin
s,
Time Series Analysis Forecasting and Control San Francisco,
Holden-Day, 1970.
2 Granger, C. W. Y P. Newhold, Forecasting Economic Time Series Orlando, Fl, Academic Press,
1986, 2.a ed.
3. Newbold,
P.
y T. Bas , Introductory Business Forecasting Cincinnati, OH, South-Western, 1994,
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