Universidad Simón BolívarDepartamento de MatemáticasPuras y AplicadasMA-2113

Problemario 4

Temas: Teorema de Gauss. Repaso de Números Complejos. Funciones Complejas Elementales.

1. Sea V el sólido comprendido entre la super�cie de un cono y el grá�co de una función suave y acotada

0 < f(x, y) < 5 para todo (x, y) ∈ IR2, esto es

V = {(x, y, z) ∈ IR3 |√

x2 + y2 ≤ z ≤ f(x, y)}

Sea S la porción del grá�co de z = f(x, y) dentro del cono z =√

x2 + y2.

(a) Dibuje una representación grá�ca del sólido V y la super�cie S.

(b) Muestre que G(x, y, z) = (x, y, z) es tangente al cono.

(c) Sabiendo que el volumen de V es igual a 6, halle el �ujo a través de S del campo G.

(Resp: 18)

2. Calcular∫S F·ndS siendo S la super�cie S = {(x, y, z)|x2+y2 = z2, 0 ≤ z ≤ 1}∪{x2+y2 ≤ 1, z = 1}

y F = (xy + sen(z3), ex2 − xy, z2/2). (Resp: π/2)

3. Sea S el sólido cilíndrico limitado por x2 + y2 = 4, z = 0, z = 3 y sea n la normal unitaria exterior

a la frontera ∂S. Sea F = (x3 + tan yz, y3 − exz, 3z + x3). Encuentre el �ujo de F a través de ∂S.(Resp: 108π)

4. Hallar∫S(x, y, z) · ndS siendo S una super�cie cerrada y n la normal unitaria exterior.

(Resp: 3Vol(S))

5. Sea S el borde y D el interior del cubo 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1. Usar el teorema de Gauss

para calcular∫S F · ndS, donde F = x2i + y2j + z2k y n es la normal unitaria exterior. (Resp: 3)

6. Hallar las soluciones reales de las ecuaciones:

(a) (4 + 2i)x + (5− 3i)y = 13 + i. (Resp: x = 2, y = 1)

(b) (3x− i)(2 + i) + (x− iy)(1 + 2i) = 5 + 6i. (Resp: x = 20/17, y = −36/17)

7. Presentar el número 1(a+ib)2

+ 1(a−ib)2

en forma Cartesiana. (Resp: 2(a2 − b2)/(a2 + b2)2)

8. Demostrar que√

1+x2+ixx−i

√1+x2

= i, si x es real.

9. Hallar el módulo y el valor principal del argumento de:

(a) z = − sen π8 − i cos π

8 (Resp: (1,−5π/8))

(b) z = 4 + 3i (Resp: (5, arctan 3/4))

(c) z = −2 + 2√

3i (Resp: (4, 2π/3))

(d) z = −7− i (Resp: (5√

2, arctan 1/7− π))

10. Calcular

(a) (−1 + i√

3)60 (Resp: 260)

(b) (1+i√

31−i )40 (Resp: −219(1 + i

√3))

(c) (2− 2i)7 (Resp: 210(1 + i))

(d) (1−i1+i)

8 (Resp: 1)

1

11. Resolver

(a) z4 = 1− i (Resp: z0 = 21/8(cos(π/16)− i sen(π/16)))

(b) z4 = −i (Resp: z0 = (cos(π/8)− i sen(π/8)))

(c) z2 = i (Resp: ±(1 + i)/√

2)

12. Demostrar que uno de los valores de ii es e−π/2.

13. Interpretar geométricamente Re(iz̄) = 2.

14. Representar en el plano xy los siguientes conjuntos:

(a) |z − 2 + i| ≤ 1

(b) |2z + 3| > 4

(c) Im(z) > 1

(d) |z − 4| ≥ |z|(e) zz̄ + i(z − z̄)− 2 = 0

(f) 1 ≤ |z + i| ≤ 2

2