ESCUELA INDUSTRIAL SUPERIOR ”PEDRO DOMINGO MURILLO” 1, 1–2, 2015CARRERA DE INFORMATICA INDUSTRIAL—MATERIA: CALCULO I

NATURALEZA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALESPRACTICA 3

CARRERA DE INFORMATICA INDUSTRIAL†

Escuela Industrial Superior “Pedro Domingo Murillo”La Paz—Bolivia

LA PAZ, 05 DE MAYO DEL 2015

RESUMENSe presenta una serie de ejercicios sobre la naturaleza de las ecuaciones diferenciales, sus

orıgenes y sus consecuencias inmediatas a fin de evaluar la capacidad que tiene el estudiante deaplicar los conocimientos teorico aprendidos en clases de Calculo de nivel avanzado.Keywords: Integrales—Ecuaciones Diferenciales ordinarias—Teoremas de existencia y unicidad

1. En los problemas que siguen, diga si las ecua-ciones diferenciales dadas son lineales o no lin-eales. Indique el orden de cada ecuacion:

(a) xy′′ − 3y′ + 4y = 3x(b) x4y′′′ − (y′)4 − 2y5 = 0(c) yy′ − x3y = xy′

(d) yiv + y′′ = y2

(e) a(x)y′ + b(x)y = c(x)(f) y′′ + P (x)y′ +Q(x)y = f(x)(g) y′ + P (x)y = Q(x)yn

(h) d2xdt2 = − k

r2

(i) dydx =

√1 +

(d2ydx2

)22. En los problemas que siguen determine si la

funcion dada es solucion de la ecuacion diferen-cial indicada:

(a) y = sen(x) + x2, d2ydx2 + y = x2 + 2

(b) y = e2x − 3e−x, y′′ − y′ − 2y = 0(c) x = cos(t)− 2 sen(t), x′′ + x = 0(d) y = 3 sen(2x) + e−x, y′′ + 4y = 5e−x

(e) y = e−x2/2, 2y′ + y = 0

(f) y = e−x2 ∫ x

0et2dt+ ce−x2

, y′ + 2xy = 1

(g) c(x+y)2 = xex/y, (x2+y2)dx+(x2−xy)dy =0

(h) x2 + cy2 = 1, y′ = xyx2−1

(i) y = c1e−x + c2e

2x, y′′ − y′ − 2y = 0

†Web:http://fisicaclases.blogspot.com

(j) y = cosh(x) + sinh(x), y′′ = y

(k) y = ln |x+ c1|+ c2, y′′ + (y′)2 = 0(l) y = − cosx ln(secx+ tanx), y′′ + y = tanx

(m) y = cey/x, y′ = y2/(xy − x2)(n) y = c2 + x/x, y + xy′ = x4(y′)2

(o) y = x2, xy′ = 2y(p) y = ex−x, y′+y2 = e2x +(1−2x)ex +x2−1(q) xy3 − xy3 senx = 1, y′ =

(x cosx+ senx− 1)y3(x− x senx)

en (0, π/2)

(r) y =senxx

, xy′ + y = cosx

(s) y = 2 + C√

1 + x2, (1− x2)y′ + xy = 2x

(t) y = x√

1− x2, yy′ = x− 2x3

(u) t = ex∫ x

0et2dt+ Cex, y′ − y = ex+x2

(v) t = x(∫ ex

xdx+ C

), xy′ − y = xex

3. Hallar una ecuacion diferencial con coeficientesconstantes que tenga la siguiente funcion comosolucion:

c1ex + c2e

−4x − 15xe−4x

Resp. y′′ + 3y′ − 4y = e−4x

4. Encontrar la solucion general de cada una de lasecuciones diferenciales:

(a) y′ = e3x − x(b) xy′ = 1

(c) y′ = xex2

2 Lic. Evaristo Mamani Carlo

(d) y′ = arcsenx

5. Hallar f(x) si:∫ 1

0

f(ax)da = nf(x)

Resp. f(x) = cx−n−1

n

6. Formar las ecuaciones diferenciales de las sigu-ientes familias de curvas:

(a) x2 + y2 = 2cy(b) y = c1e

x + c2e−x

(c) x2 − 13y2 = c2

(d) cos y = ce−x

7. Determine para que valores de m la funcion y =emx es solucion de la ecuacion dada:

(a) y′′ + 6y′ + 5y = 0(b) y′′′ + 3y′′ + 2y′ = 0

8. En los problemas que siguen use el teorema deexistencia y unicidad para determinar si existensoluciones unicas para cada uno de los problemasde valor inicial.

(a) y′ = x3 − y3, y(0) = 6(b) y′ − xy = sen2(x), y(π) = 5(c) y′ + cos(y) = sen(x), y(π) = 0(d) y′ = x/y, y(1) = 0(e) yy′ − 4x = 0, y(0) = 0(f) yy′ − 4x = 0, y(2) = −π

(g) y′ = 3x+ 2y, y(1) = 4

(h) y′ = 1/(x2 + y2), y(0) = 1

(i) y′ = 1/(x2 + y2), y(0) = 0

(j) y′ + xy = x2, y(0) = 2

(k) y′ =x− 2yy − 2x

, y(1) = 2

(l) y′ = 1/(x2 − y2), y(1) = 2

(m) y′ = x2 + y2, y(0) = 2

(n) y′ = √xy, y(1) = 0

(o) y′ = y cscx, y(0) = 1

(p) y′ =1√

x2 + 4y2 − 4, y(3) = 2

9. Apliando el teorema de existencia y unicidadsenalar en los problemas que siguen los recin-tos(regiones) en los que las ecuaciones dadas ad-miten soluciones unicas.

(a) y′ = x2 + y2

(b) y′ = y + 3√y

(c) y′ =√x2 − y − x

(d) y′ = 3√

3x− y − 1

(e) y′ =√x− y

(f) y′ =x

y

(g) y′ =√

1− y2

(h) y′ = sen y − cosx

(i) y′ =y + 1x− y