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Radiodeterminación ITT 2o Cuatrimestre

Práctica 2. Formas de onda en radar.Due: 10 Marzo

Los sistemas radar emiten señales con unas formas de onda características, diferentes -más simples, engeneral- de las que se suelen emplear para modular señales de comunicaciones. Vamos a ver cinco formasde onda típicas: ondas continuas (CW, Continuos Wave), pulsos monofrecuencia rectangulares, pulsos dechirp (pronúnciese /� :/ como “sir ”), formas de onda con código en fase y formas de onda de ráfaga de pulsos(burst pulse).

La información que puede suministrarnos un radar depende en gran medida del tipo de forma de onda queutiliza.

1 Características de una forma de ondaLas principales características de la forma de onda de un radar son:

∙ Energía de la misma

∙ Resolución en alcance y en velocidad radial que proporciona

∙ Capacidad de rechazar respuestas indeseadas de blancos presentes en la escena de observación

La energía de la forma de onda del radar viene dada por la integral

EW =

∫P (t) dt (1)

donde P es la potencia instantánea transmitida por el radar. Dado que estamos entendiendo como forma deonda la gráfica completa de la señal frente al tiempo, incluyendo los momentos de silencio, tenemos que (1)es equivalente a

EW = PP,e � (2)

donde PP,e es la potencia de pico eficaz 1 transmitida y � es la duración del pulso en cada ciclo (si el radarfuese en onda continua, � es igual al ciclo de funcionamiento que consideremos, ya matizaremos esto).

Si la forma de onda consta de varios subpulsos, tenemos

EW =∑n

P(n)P,e �n (3)

donde �n es la duración del subpulso.

La energía es un factor muy relevante que está relacionado con la capacidad de transmisión de potenciadel sistema, su ciclo de trabajo máximo de operabilidad (tanto por consideraciones de hardware y de calen-tamiento térmico del sistema como porque es necesario que el radar esté en silencio -en fase que llamamosde gating- para poder escuchar los ecos), y la resolución en alcance -de la que hablaremos a continuación.

La resolución del radar en alcance hemos visto que es

�R =c�

2(4)

que habíamos visto también admitía una forma en función del ancho de banda B. Hemos sustituido el signoΔ por � para recalcar que hablamos de resolución y no de una resta cualquiera. En cuanto a la resolucióndel radar en velocidad radial, no la obtuvimos pero es inmediato de

f ′0 =c+ v

c− vf0 (5)

1Ya veremos que la potencia de pico eficaz es diferente a la de amplitud. Realmente, ya conocemos esta diferencia paraondas sinusoidales, para las cuales hay un factor de reducción de 1/2 de la primera con respecto a la segunda

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que

Δf ≡ f ′0 − f0 =2v

c− vf0 ≃

2v

cf0 (6)

y, por tanto, por cálculo de errores, tras despejar v

v =cΔf

2f0=�0Δf

2(ya que �0 =

c

f0) (7)

obtenemos que

�v =�0�Δf

2(8)

donde simplificamos la notación de �Δf como �f . ¿Qué significa �f? Es la capacidad de distinguir uncierto desplazamiento Doppler. Nosotros medimos un cierto desplazamiento Doppler y de ahí inferimos lavelocidad del blanco, pero nuestra capacidad de discernir dicho desplazamiento no es infinitamente buena.Lo hacemos mediante el uso de filtros de hardware y procesado, con un error �f .

En cuanto a la capacidad de evitar blancos no deseados, es un aspecto que trataremos posteriormentey en diversos sitios.

2 Ondas continuas (CW)Cuando un radar transmite de manera continua, ha de tener dos antenas ya que necesita una para transmitiry otra para recibir. Un radar pulsado, sin embargo, solamente necesita una antena, ya que existen períodosde silencio durante los cuales la antena que transmite puede ser utilizada para recibir.

La onda continua transmitida puede ser monofrecuencia o puede estar modulada en frecuencia de unacierta manera, típicamente siguiendo una variación lineal (LFM, Linear Frequency Modulation). La formamatemática de una LFM-CW es

s(t) = A cos[2�(f0t+k

2t2)] 0 ≤ t < T

s(t) = s(t− nT ) nT ≤ t < (n+ 1)T (9)

donde k es la rampa de la frecuencia.

Si utilizamos un radar CW monofrecuencia no nos será posible detectar el alcance de un blanco, pero sí suvelocidad. Sin embargo, con un LFM-CW, T hace el papel del intervalo interpulso (PPI) y sí será posiblehacerlo, aunque existirá un rango máximo no ambiguo, igual que para un radar pulsado, dado por

Ru = cT

2(10)

.

Pero utilizar un LFM-CW no es la única manera de obtener medidas de alcance con un CW. Tambiénpodemos utilizar esquemas multifrecuencia. Por ejemplo, podemos transmitir dos señales monofrecuencia ymezclar sus ecos heterodinamente en recepción. La diferencia de fase entre las dos señales, que son del tipo

s1(t) = A cos(2�f1t)

s2(t) = A cos(2�f2t) (11)

que nos llegan como

s1(t) = A cos(2�f1t+ �1); �1 + 2�n1 =4�f1R

c

s2(t) = A cos(2�f2t+ �2); �2 + 2�n2 =4�f2R

c(12)

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donde n1 y n2 son los responsables de que no podamos averiguar R a partir de �1 o �2 por separado, será

Δ�+ 2�(n2 − n1) =4�(f2 − f1)R

cΔ� = �2 − �1 (13)

De nuevo, parece que los ni; i = 1, 2 nos impiden recuperar R. Sin embargo, bajo la condición de quen1 = n2, tendremos que

Δ� =4�(f2 − f1)R

c⇒ R =

cΔ�

4�Δf(14)

La condición n1 = n2 será cierta dentro de una cierta distancia. En efecto, si estamos en el punto justodelante del radar (R → 0), entonces tenemos que �1 = �2, en concreto �1 = �2 = 0 y, por tanto, tambiénn1 y n2 son cero. Si estamos a una distancia pequeña, inferior a cT1/2 = c/(2f1) y cT2/2 = c/(2f2) -dondeTi; i = 1, 2 son los periodos de las sinusoides y 1/2 se debe al efecto de camino de ida y vuelta-, entonces losdesfases �1 y �2 serán ambos inferiores a 2� y, por tanto, n1 = n2 = 0. De hecho, la condición que pusimoscomo n1 = n2, para que sea útil, estamos viendo que es realmente n1 = n2 = 0. Si nos vamos demasiadolejos del blanco, tal que n1 = n2 pero n1 = n2 ∕= 0, entonces la diferencia de fase volverá a ser la que eracuando n1 = n2 = 0, es decir, a una distancia inferior. ¿Significa eso que (14) no es cierta para n1 = n2 ∕= 0?¿Dónde está el truco? Lo que ocurre es que si R es demasiado grande, entonces Δ� será mayor que 2�,pero nosotros medimos la fase entre 0 y 2� nada más (lo que se llama la fase enrollada), de manera quela implicación en (14) no es cierta, aunque sí lo sea la ecuación a su izquierda. De todo esto concluimosque la ecuación de alcance máximo no ambiguo que vimos, y que estaba referida a formas de onda pulsadasimplícitamente no es válida y ha de ser sustituida por

Ru =c

2Δf(15)

para radares CW bifrecuencia. Esto se puede generalizar a radares multifrecuencia con más de dos frecuen-cias.

En cuanto al cálculo de resolución en alcance, tendremos que para un radar LFM-CW, su cálculo tambiéndifiere de lo visto para el caso general pulsado que vimos el otro día. Así, la detección con un LFM-CWtambién se hace mezclando heterodinamente la señal del eco con la transmitida, de manera que la señalmezclada será

sℎ = st − sr = A cos[2�(f0t+k

2t2)]×B cos[2�(f0(t−Δt) +

k

2(t−Δt)2)] (16)

donde R = cΔt/2 como ya sabemos. La frecuencia fundamental de sℎ la llamamos frecuencia de batido yserá fb = kΔt 2. El alcance del blanco vendrá dado entonces por

R =cfb2k

(17)

y la resolución vendrá dada por nuestra capacidad de discernir frecuencias �f

�R =c �fb2k

(18)

.

Si el blanco no fuese estacionario, entonces la fb llevaría incluido el término de desplazamiento Doppler, queno hemos tenido en cuenta. En este caso tendríamos una ambigüedad manifiesta, y no podríamos qué partede la frecuencia de batido se debe a la distancia al blanco y qué parte a su movimiento. Es posible, no

2Como sabemos, al mezclar dos señales (como producto) obtenemos una suma de dos componentes, una con la frecuenciasuma y otra con la frecuencia diferencia de las dos que estamos mezclando. En la mezcla heterodina nos quedamos con ladiferencia de f0 + k(t + Δt) y f0 + kt en este caso particular.

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obstante, diseñar un radar cuya forma de onda CW es ascendente (k, suponemos k > 0) durante un tiempoT/2 y descendente durante los siguientes T/2 segundos (−k). No entramos, sin embargo, en detalle, sinoque lo dejamos como un ejercicio opcional.

La energía asociada a una CW monofrecuencia será la de su valor de pico eficaz, ya que no tiene sentidohablar de EW en general. Si tenemos una LFM, se tomará como PRI el valor de T .

2.1 Ejercicios

Se pide lo siguiente:

1. Escribir una función de Matlab que calcule, para un radar CW (cada uno de los tipos aquí vistos):

(a) el alcance de un blanco,

(b) el alcance máximo no ambiguo,

(c) la resolución en alcance y/o velocidad radial

Explíquese el código con un encabezamiento y con comentarios en las líneas pertinentes. Ejemplo:

function [ nq , xq ,wq ] = quad1 ( nel , node , xc )%% [ nq , xq ,wq ] = quad1 ( nel , node , xc )%% QUAD1 s e t s up a one po int quadrature r u l e .%% NEL, the number o f e lements ;% NODE, the nodes that belong to each element ;% XC, the l o c a t i o n o f the nodes .%% NQ, the number o f quadrature po in t s per element :% XQ, the l o c a t i o n o f the quadrature po in t s ;% WQ, the quadrature weight .%% Example o f use : quad1 ( 5 , [ [ 1 , 3 ] ; [ 2 , 3 ] ; [ 4 , 1 ] ; [ 3 , 4 ] ; [ 5 , 2 ] ] , [ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ] )

nq = 1 ;%% Set the l o c a t i o n o f the quadrature po int ( s ) in each element .%

for i t = 1 : ne l %i t l oops the whole s e t o f e lementsip1 = node ( i t , 1 ) ; %i t reads the f i r s t part o f the nodeip2 = node ( i t , 2 ) ; %i t reads the second part o f the nodex1 = xc ( ip1 ) ; %i t reads the content o f xc at ip1x2 = xc ( ip2 ) ; %i t reads the content o f xc at ip2xq ( i t , 1 ) = ( x1+x2 ) / 2 . 0 ; %i t computes the mean value o f x1 and x2

end

2. (Opcional) Calcúlese el alcance R y la velocidad radial v de un blanco con un radar que use una formade onda LFM-CW triangular (k > 0 para t ∈ [0, T/2) y −k para t ∈ [T/2, T/2)) a partir de las medidasde las frecuencias de batido durante la fase ascendente (fbu) y descendente (fbd).

2.2 Ejemplos de aplicación

∙ Sea un radar bifrecuencia, por ejemplo, con frecuencias en 135 MHz y 144 MHz. ¿Qué conclusionesextraemos del resultado? ¿Es un buen resultado? ¿Qué podemos hacer para mejorarlo? Además,encuéntrese en la tabla adjunta a qué banda correspoden dichos valores.

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Figure 1: Bandas de frecuencias radar.

∙ Se puede calcular el alcance de un blanco que produce una frecuencia de batido de 1200 Hz en unradar LFM-CW con k = 10 MHz⋅s−1 y en uno con k = 20 MHz⋅s−1. Compárense las ventajas einconvenientes de uno respecto al otro.

∙ Considérese un radar LFM-CW con una “PRF” de 300 Hz (a veces, a la PRF la llamamos en estecontexto frecuencia de modulación porque PRF es un nombre que se le da por similitud con la funciónque desempeña como parámetro con lo que ocurre en los radares pulsados; como aquí no tenemos pulsosrealmente -aunque podríamos pensar en que son pulsos cuya longitud es igual a la PRI- podemos preferirel término frecuencia de modulación fm) y un ancho de banda (o frecuencia barrida de 50 MHz. ¿Quédiferencias en la frecuencia de batido se producen si incrementamos el alcance en “pasos” de 10 o de15 metros?

∙ (Opcional) Para el caso de un radar LFM-CW triangular que nos dé la capacidad de resolver tanto laposición como la velocidad del blanco, tenemos el ejemplo de un radar que trabaja con una longitudde onda de � = 3 cm y un ancho de banda Δf =200 KHz, siendo la PRI de 20 ms. Si detectamosuna frecuencia de batido de 63 1/3 kHz durante el up-chirp y de 30 kHz durante el down-chirp, ¿a quédistancia se encuentra y con qué velocidad radial se mueve el blanco?

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3 Radares pulsadosLos radares pulsados transmiten y reciben un tren de pulsos modulados. El alcance de un blanco se calculacomo hemos explicado hasta ahora: como el resultado de calcular el recorrido de la señal en el camino deida y vuelta de los pulsos al blanco. Un desplazamiento Doppler se debe igualmente en una velocidad radialrelativa entre el blanco y el radar. Los cuatro parámeros fundamentales que definen la señal de un radarpulsado son las siguientes:

∙ la frecuencia de la portadora

∙ la longitud del pulso

∙ la modulación del pulso

∙ la PRF

A continuación vamos a estudiar diferentes modulaciones.

3.1 Pulsos Monofrecuencia Rectangulares

Es la forma más simple, y la que emplearon los primeros sistemas de radar. Son fáciles de generar en eltransmisor y sencillos de procesar. A menudo se denominan pulsos CW (no se confundan con las formasCW totalmente continuas)

La detección de un eco en el caso de los radares CW hemos visto que se realiza mezclando la señal recibidapor el radar con una réplica de la señal enviada que circula internamente en la cadena de recepción delradar, es decir, una copia de la señal que, en lugar de ir a la antena se mezcla con las señales que lleguenal radar en recepción. En el caso de los radares pulsados el mecanismo es diferente: la señal se filtra. Sibien modernamente este filtrado se realiza digitalmente, es decir, una vez que la señal se ha muestreadoy convertido en un registro digital, en este momemto vamos a obviar cómo se realiza este filtrado, yasea digitalmente como acabamos de decir, o analógicamente, es decir, mediante circuitos de microondasimplementados directamente como hardware. Lo importante es que se puede demostrar que la respuestaideal del filtro implementado en el radar para que el impacto del ruido presente en la señal afecte lo menosposible a la detección del eco se llama filtro adaptado y corresponde a una respuesta en frecuencia quecorresponde exactamente a la transformada de Fourier del perfil del pulso que se envía invertido en tiempo.Recordando los principios matemáticos implícitos en el filtrado y en la matemática de Fourier tenemos losiguiente:

∙ el resultado en el dominio de tiempo de un filtrado de una señal es la convolución de la señal s(t) conla respuesta impulsional del filtro ℎ(t);

∙ consecuentemente, el resultado en el dominio de tiempo es el producto de sus transformadas de FourierS(f) y H(f)

∙ la convolución de dos funciones f1(t) y f2(t) es equivalente a la correlación entre f1(t) y f2(−t) siambas son reales

llegamos a las siguientes conclusiones

∙ la aplicación de un filtro adaptado, tal y como se ha descrito arriba, es equivalente a correlar el ecocon una réplica de la señal,

∙ esperamos que la mejor manera de reconocer este pulso recibido como eco sea precisamente el buscarsu similitud o correlación con la forma que tiene.

Es decir, que hemos demostrado mediante argumentos matemáticos, pero sin introducir ecuaciones, que,efectivamente, si definimos filtro adaptado como aquel que maximiza la detección, entonces la “respuesta

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Figure 2: Pulso CW y su espectro.

en frecuencia que corresponde exactamente a la transformada de Fourier del perfil del pulso que se envíainvertido en tiempo” corresponde a dicho filtro. El resultado de la señal filtrada por un filtro adaptado sedenomina pulso comprimido.

Nos queda por analizar la otra faceta de la detección radar: la de detección de velocidad radial. El pulsoque vuelve como eco puede haber sufrido un cierto desplazamiento en su frecuencia de portadora, que parael caso de esta sección hemos supuesto constante. Habrá, por tanto, que tener en cuenta esta posibilidad ala hora de filtrar. Si solamente filtramos de acuerdo a una respuesta impulsional que es la transformada deFourier invertida en tiempo de la señal enviada, no reconoceremos bien el eco si este llega con una frecuenciade portadora desplazada por el Doppler. Por tanto, en este caso implementaremos un banco de filtros, esdecir, un conjunto de filtros paso-banda definidos por valores centrales de frecuencia que incluyen un ciertoespectro. Para saber cuál es ese espectro, debemos tener una expectativa previa de cuál es el Doppler máximoque consideramos posible.

Es importante darse cuenta de que tenemos que revisitar nuestras definiciones de resolución en alcance yvelocidad, ya que hasta ahora habíamos manejado conceptos que no incluían la manera de cómo procesábamosnuestros ecos. Habíamos dicho que, por ejemplo, la resolución en alcance dependía de la longitud del pulso,tras lo cual se encontraba el caso de dos ecos que llegan tan juntos que están solapados que no sabemos sicorresponden a un solo blanco o a dos (si los blancos solamente pudiesen ser puntuales podríamos obteneresa información por la longitud del eco, pero no lo son, de manera que podría tratarse de un solo blanco muylargo en la dirección radial); además la palabra resolución tiene otras implicaciones, ya que nos habla nosolamente de la capacidad de resolver dos blancos diferentes sino de con qué exactitud sabemos a qué distanciase encuentra nuestro blanco, suponiendo que sea sólo uno. En cualquier caso, en nuestra introducción nofuimos más precisos que la mera mención de que hemos detectado el eco del pulso con un cierto retardo oque hemos detectado un cierto desplazamiento Doppler. Más arriba, ya sí empezamos a serlo al hablar deradar de onda continua, ya que hablamos de que nuestra detección se realizaba como una mezcla heterodinadel eco y la señal enviada. Ahora estamos hablando de detección por convolución de pulsos y es momentode ver cómo compromete eso nuestros conceptos de resolución.

Lo primero que vamos a hacer es analizar nuestro pulso monofrecuencia rectangular o pulso CW (siendoconscientes de la yuxtaposición de las palabras pulso y CW, de manera que no hablamos de radar CW en elsentido de la sección anterior).

Por tanto, se pide

3. realizar un programa en Matlab que genere, dibuje y calcule el espectro de dicho pulso (ver figura 2),

4. incluir posteriormente código Matlab que realice el mismo análisis para un tren de pulsos (ver figura 3)

5. realizar un programa que comprima el eco de un pulso filtrando el eco; el input de este programa es el

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Figure 3: Tren de pulsos CW y su espectro.

Figure 4: Convolución en tiempo de un pulso CW.

eco y el output la convolución del mismo en tiempo (ver figura 4) y en frecuencia (ver figura 5)

6. introdúzcanse diferentes retardos y diferentes desplazamientos Doppler y obsérvense las respuestascomprimidas

Retomando el asunto de las resoluciones, se define como resolución en alcance la semianchura de la formade la respuesta óptima para un eco retardado. Es decir, que asignamos como momento de llegada del ecoaquel que corresponde al centro de la respuesta triangular en la figura 4, y ese instante estará sujeto a unerror dado por la citada semianchura (=longitud en el eje de abcisas que corresponde a los puntos en losque la función, a cada lado, vale la mitad del valor de pico). Además si tenemos dos blancos, tendremosuna respuesta comprimida que consistirá en dos triángulos superpuestos del tipo de los de la citada figura.Si los centros temporales de estos dos triángulos se encuentran a una distancia inferior a la semianchura,entonces no tenemos dos picos diferenciados (ver figura 6). Lo mismo ocurre para la respuesta en frecuencia(ver figura 5).

7. calcúlese teóricamente la semianchura, que resulta ser c�/2 en tiempo y 1/� en frecuencia

8. escríbase un código Matlab que produzca la gráfica 7.

Dado que tenemos un tren de pulsos es posible que un eco muy tardío se detecte cuando ya hemos enviadootros pulsos, de manera que, si estamos partiendo de la base de que los ecos corresponden al último pulso

Figure 5: Convolución en frecuencia de un pulso CW.

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Figure 6: Convolución de dos pulsos.

Figure 7: Perfil de ambigüedad de un pulso CW.

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Figure 8: Incertidumbre en tiempo.

Figure 9: Incertidumbre en frecuencia.

enviado, esto nos haga creer que tenemos un blanco en una posición cercana, cuando en realidad se encuentramuy lejos. De este problema ya habíamos hablado en la introducción, y nos llevaba al concepto de alcancemáximo no ambiguo. Ahora estamos adoptando una perspectiva más en detalle, y nos gustaría ver, desde elpunto de vista de nuestras respuestas comprimidas, cómo se manifiesta este fenómeno. La clave está en verque la figura 4 se reproduce sobre el eje de tiempos cada PRI, ya que un pulso retrasado �t produce la mismarespuesta que uno retrasado �t+PRI (ver figura 8). Pero en frecuencia tenemos un fenómeno parecido, esdecir, que también pueden aparecer ambigüedades. Supongamos que un blanco se mueve con una velocidadradial v respecto al radar que provoca un desplazamiento Doppler igual a �f = 2vf0/c. La fase de los ecosde los pulsos está desplazada con respecto a la de las señales originales en una cantidad �ft. Sea ahora unsegundo blanco que provoca un desplazamiento �f+PRF. La fase de los ecos de los pulsos está desplazadacon respecto a la de las señales originales en una cantidad (�f + PRF)t, pero los pulsos son idénticos ycoherentes, es decir, que todos empiezan con la misma fase, lo que equivale a decir que PRFt es un númeroentero de 2�’s 3. Dicho de otra manera, las señal eco seco , que están relacionadas con la señal del pulsoemitido spulso y entre ellas por

spulso = A cos(2�f0t)

seco 1(t) = k A cos[2�(f0 + �f)t]

seco 2(t) = k A cos[2�(f0 + �f + PRF)(t− �t)] (19)

producen la misma respuesta ya que PRFt es un número entero de 2�’s. Por tanto, tenemos una ambigüedaden la detección de la velocidad radial (ver figura 9).

9. Escríbase un código Matlab que represente aproximadamente la figura 10.

3Esto es algo sobre lo que no habíamos sido explícitos anteriormente.

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Figure 10: Incertidumbre en tiempo.

Figure 11: Forma de onda chirp.

3.2 Pulsos LFM

Un pulso lineal FM viene dado por la siguiente forma matemática

s(t) = rect(t/�)A cos(2�f0 + k2/2 t2) (20)

donderect(x) =

{1 si 0 ≤ x ≥ 10 si ∣x∣ > 1

(21)

y queda ilustrado en la figura 11. Estos pulsos se denominan habitualmente chirps. Para la detección de losecos se emplea el mismo método de convolución que se explicaba para el pulso CW. Sin embargo, ahora elpulso se decorrela consigo mismo más rápido de lo que lo hacía antes, como se puede entender visualizandola operación de correlación como la concordancia en el solape de la señal con ella misma cuando desplazamosla réplica o copia sobre el original. Eso resulta en que la forma de onda resultante tras la operación deconvolución es más estrecha. En concreto, esta anchura, que determina mi capacidad de discernimiento entiempo, y por tanto en distancia al blanco, se puede demostrar que es igual a 1/B, donde B es el ancho debanda contenido en el barrido lineal de frecuencias, en concreto B = k � . Por tanto, la resolución espacialque me proporciona la convolución en la recepción del eco de una chirp es

�R =c

2B(22)

La diferencia con la resolución espacial de un pulso CW, es decir, con

�R =c�

2(23)

viene dada por la diferencia entre 1/B y � . Es, pues, costumbre definir el producto de � y B y llamarlo tasade compresión del pulso

PC = � B (24)

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Figure 12: Perfil de ambigüedad de un chirp.

Figure 13: Forma de onda de código de fase binario.

Por tanto, si PC=1, tenemos el caso por el cual (22) y (23) son iguales y no tenemos mejor resolución para elchirp que para el pulso CW. Normalmente, sin embargo, la tasa de compresión es del orden de 106 o mayoraún, de manera que la resolución espacial que nos da un chirp es mucho mejor que la que nos da un pulsoCW.

Sin embargo, a nivel de la detección de la velocidad radial del pulso, tenemos que un desplazamiento Dopplerme decorrela el eco con respecto a la réplica de manera diferente dependiendo del error en mi posición. Así,si un blanco está un poco más cerca de lo que mi compresión en tiempo me determina, entonces mi rango deerror en la velocidad no será el mismo que si el error en la determinación de la posición es por exceso. Estose ve en la figura 12 frente a la 7. La inclinación de la recta que une los dos extremos de la elipse en 12 es�/B. Vemos que esta inclinación es no nula también para el caso de PC=1.

En cualquier caso, definimos como resolución en velocidad la anchura de la zona de incertidumbre dada en12 en el centro, es decir, como

�v =�

2�(25)

que es la misma fórmula que tenemos para el pulso CW.

4 Formas de onda de pulsos con fase codificadaLa idea en esta forma de onda es dividir el pulso en segmentos de pulso con un tono puro cada uno, perocon saltos de fase entre ellos.

Es habitual que esta modulación sea de tipo binario, es decir, que sea la que se denomina forma de onda decódigo de fase binario o, a veces, llamado también invertido, según se ilustra en la figura. La forma de estaonda binaria comprimida tanto en tiempo rápido como en tiempo lento (es decir, tanto en el intervalo detiempo de un solo pulso como en el intervalo de tiempos que incluye todo un tren) es la dada en la figura14.

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Figure 14: Perfil de ambigüedad de un pulso con fase codificada.

Figure 15: Forma de onda de ráfaga de pulsos.

Las resoluciones en distancia y en velocidad radial se puede demostrar que son

�R =c�s2

�v =�

2�(26)

donde �s es la longitud de cada subpulso y � la del pulso completo, donde � = ns �s donde ns es el númerode supulsos por pulso. Estos valores corresponden a las anchuras de la compresión mostrada en la figura 14.

5 Formas de onda de ráfaga de pulsosA veces puede ser necesario desde el punto de vista del hardware o conveniente desde el punto de vista delprocesado dejar una separación �p entre los subpulsos, como se ve en la figura.

La resolución es la misma que antes, pero ahora � ∕= ns �s sino que � = ns �p + �s y por tanto mayor. Esomejora la resolución en la estimación de la velocidad. Las resoluciones siguen dadas por las ecuaciones

�R =c�s2

�v =�

2�(27)

aunque, como antes, no lo demostramos.

La desventaja es que se producen unas ambigüedades producto de que ahora es como tener una forma deonda de pulsos de fase codificada subyacente continua pero muestreada, siendo las muestras los subpulsosreales. Es decir, que eso produce una repetición espectral que se manifiesta en la forma comprimida. Dichode otra manera, la correlación pasa de ser mala si solapamos un eco retardado en �p/2 a mucho mejor si el

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Figure 16: Perfil de ambigüedad de una ráfaga de pulsos.

retardo es de �p. Estas ambigüedades vienen dadas por las siguientes fórmulas

Ramb =c�p2

vamb =�

2�p(28)

6 EjercicioCompletar las siguientes tablas

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