practica 1 estructuras y defectos cristalinos
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Práctica No.1 “Estructuras y defectos cristalinos”
Laboratorio de Ingeniería de Materiales
Profesor: Ing. Martin Reyes Farias
Semestre 2015-2
Grupo 7
Integrantes: Grupo Teórico:
Álvarez Salazar Alan Said 3
Hernández Vázquez C. Alan 3
González Aldaco Rafael 3
Vargas Hernández Luis Alejandro 3
Fecha de realización de la práctica: 06/02/15 Fecha de entrega de la práctica: 13/02/15
Facultad de Ingeniería
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Índice
OBJETIVO ......................................................................................... 3
INTRODUCCION .. ........................................................................... 3
DESARROLLO .................................................................................. 3
RESULTADOS ................................................................................... 4
CONCLUSIONES INDIVIDUALES .............................................. 23
BIBLIOGRAFÍA .............................................................................. 24
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●Objetivo.
Conocer las diferentes estructuras cristalinas que conforman a un material, los tipos de defecto
que existen en las mismas, su efecto en las propiedades de los materiales.
●Introducción:
Mediante el uso del Software Materials Science on CD-ROM, Diseñado para complementar los
métodos de enseñanza y de aprendizaje tradicionales, sirve como un recurso estimulante para
los profesores que explican conceptos nuevos. Los estudiantes aprenden nuevos aspectos de la
ciencia de los materiales, mientras que de sus conocimientos respondiendo a las preguntas que
aparecen dentro de cada módulo en el CD-ROM.
●Desarrollo:
Con la ayuda del software Matter pudimos desarrollar varias actividades, además de conocer y
rectificar conceptos como el de estructuras cristalinas, entre otras.
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●Resultados:
Explique brevemente los siguientes conceptos:
1) Estructuras Cristalinas
Historia de Bravais
Auguste Bravais
(Annonay, 1811-Versalles, 1863) Físico y mineralogista francés. Profesor de física y de
astronomía, estableció la teoría reticular, según la cual las moléculas de los cristales están
dispuestas en redes tridimensionales. Esta teoría, que explica los fenómenos de simetría y
anisotropía de las sustancias cristalinas, fue posteriormente demostrada gracias a la difracción
por rayos X. Escribió Estudios cristalográficos (1851).
Celdas unitarias o redes de Bravais (Sistema de estructuras cristalina).
Las Redes de Bravais o celdas unitarias, son paralelepípedos que constituyen la menor
subdivisión de una red cristalina que conserva las características generales de toda la reticula,
de modo que por simple traslación del mismo, puede reconstruirse el sólido cristalino completo.
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-Parámetros reticulares
Las longitudes de las aristas de la celdilla se designan, habitualmente, por las letras a, b y c, y se
denominan longitudes axiales. Los ángulos que forman las caras entre sí se designan por a, b y
g, y se denominan ángulos interaxiales. Estos 6 valores (3 longitudes y 3 ángulos) son conocidos
globalmente como parámetros reticulares o cristalinos. Se representan, a continuación, dos
celdillas elementales con sus respectivos parámetros.
-Puntos reticulares
Posiciones ocupadas por átomos, moléculas o iones que definen la geometría de una celda
unitaria.
-Parámetros de Red
El parámetro de red hace referencia a la distancia constante entre las celdas unitarias en una
estructura cristalina. Las estructuras o redes en tres dimensiones generalmente tienen tres
parámetros de red, a, b y c. Sin embargo, en el caso especial de redes cúbicas, todos los
parámetros son iguales, con lo cual nos referimos a ellos como a. Del mismo modo, en las
estructuras cristalinas hexagonales, los parámetros a y b son iguales, por lo que únicamente
consideraremos a y c.
-Número de átomos por celda unitaria
Es el número “promedio” de puntos de red asociados a una celda unitaria.
Ƒ La estructura CS tiene 1 átomo por celda unitaria
Ƒ La estructura BCC tiene 2 átomos por celda unitaria
Ƒ La estructura FCC tiene 4 átomos por celda unitaria
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-Distancias interatómicas y radios iónicos
La distancia interatómica es, pues, el criterio experimental de la existencia de enlace, y un
enlace es más fuerte y libera más energía cuanta más pequeña es esa distancia.
El radio iónico es, al igual que el radio atómico, la distancia entre el centro del núcleo del átomo
y el electrón estable más alejado del mismo, pero haciendo referencia no al átomo, sino al ion.
-Número de coordinación
El número de coordinación (NC) es el número de vecinos que están en contacto directo con un
átomo o ion en particular en una red o estructura cristalina.
-Factor de empaquetamiento
En cristalografía, el factor de empaquetamiento atómico (FEA), en inglés: atomic packing factor,
APF, es la fracción de volumen en una celda unidad que está ocupada por átomos. Este factor
es adimensional y siempre menor que la unidad. Para propósitos prácticos, el FEA de una celda
unidad se determina asumiendo que los átomos son esferas rígidas. Con respecto a cristales de
un componente (los que contienen un tipo de átomo único), el FEA se representa
matemáticamente por:
Donde Nátomos es el número de átomos en la celda unidad, Vátomo es el volumen de un átomo, y
Vcelda unidad es el volumen ocupado por la celda unidad. Matemáticamente se puede probar que,
para estructuras de un componente, el valor del FEA del arreglo más denso de átomos es de
alrededor de 0.74. En realidad, debido a factores intermoleculares específicos, esta cifra puede
ser mayor. Referente a estructuras de componentes múltiples puede exceder el 0.74.
-Densidad
es una magnitud escalar referida a la cantidad de masa en un determinado volumen de una
sustancia. La densidad media es la razón entre la masa de un cuerpo y el volumen que ocupa.
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Puntos, direcciones y planos en la celda unitaria
-Coordenadas de los puntos
Coordenadas de puntos: se emplean para localizar las posiciones de los átomos en la red o
dentro de la celda unitaria. La distancia se mide en parámetros de red usando un sistema
cartesiano.
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-Dirección en la celda unitaria (índices de Miller)
Algunas direcciones son de particular importancia. Los metales se deforman a lo largo de
aquellas direcciones a través de las cuales los átomos están en contacto más estrecho. Estas
direcciones se abrevian usando los índices de Miller. El procedimiento es el que sigue:
1. Usando el sistema de coordenadas ubique dos puntos que estén contenidos en esa dirección.
2. Preste a las coordenadas del punto final las del inicial.
3. Reduzca las fracciones o resultados obtenidos a mínimos enteros, encierre los tres números
entre corchetes y de haber algún negativo colóquelo como una barra sobre el número.
Los índices de Miller para las direcciones tienen las siguientes características:
1. Una dirección y su negativo no son iguales, representan una misma línea con direcciones
opuestas.
2. Una dirección y sus múltiplos son idénticas sólo faltó reducirlas a sus mínimos enteros.
3. Ciertos grupos de direcciones son equivalentes. Sus índices particulares dependen de cómo
se construyen las coordenadas. Estas pueden representarse como familias de dirección
encerrados entre paréntesis angulares.
La densidad lineal es el número de puntos de red por unidad de longitud a lo largo de una
dirección. También podría calcularse el factor de empaquetamiento lineal en una dirección
particular, es decir, la fracción verdaderamente cubierta por átomos.
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-Planos en la celda unitaria
Algunos planos de átomos son significativos. Los metales se deforman a lo largo de los planos
de empaquetamiento más compacto.
La determinación de los índices de Miller se hace de la siguiente manera:
1. Identifique los puntos en los cuales el plano intersecta los ejes coordenados. Si el plano pasa
a través del origen el origen debe moverse.
2. Tome los recíprocos de las intersecciones.
3. Elimine las fracciones pero no reduce a mínimos enteros.
4. Encierre los números resultantes entre paréntesis ( ). Los números negativos se escriben con
una barra.
En relación a los índices de Miller de los planos es importante:
1. Los planos y sus negativos son idénticos.
2. Los planos y sus múltiplos no son idénticos. Para demostrar lo anterior se recurre a la
densidad planar: es el número de átomos por unidad de superficie cuyo centro está sobre el
plano. De la misma forma, la fracción de empaquetamiento, es el área sobre el plano cubierta
por átomos.
3. Para una celda unitaria los planos de una familia se representan encerrándolos entre llaves.
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-Planos y direcciones de compacidad
En el ámbito de la ciencia de materiales y la física del estado sólido, las dislocaciones son
defectos de la red cristalina de dimensión uno, es decir, que afectan a una fila de puntos de la
red de Bravais.
Las dislocaciones están definidas por el vector de Burgers, el cual permite pasar de un punto de
la red al obtenido tras aplicar la dislocación al mismo. Las dislocaciones suceden con mayor
probabilidad en las direcciones compactas de un cristal y son sumamente importantes para
explicar el comportamiento elástico de los metales, así como su maleabilidad, puesto que la
deformación plástica puede ocurrir por desplazamiento de dislocaciones.
La elección de este plano y la dirección de deslizamiento no es arbitraria y por lo tanto el grado
de facilidad de deslizamiento vendrá determinado por las condiciones a las que está sometido el
cristal y la estructura del mismo. Existen planos con mayor facilidad en la propagación de
dislocaciones y dentro de lo mismo, existen direcciones preferentes de deslizamiento por las
cuales se desplazan las dislocaciones. Se puede definir un plano sobre el que desliza la
dislocación y una dirección de deslizamiento, la combinación de ambos se denomina sistema de
deslizamiento. Los planos más favorables para que se dé movimiento de dislocaciones son los
de máxima compacidad y las direcciones serán alguno de los vectores contenidos en el plano,
generalmente donde los átomos están más compactos.
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-Comportamiento anisotropico
La anisotropía es la propiedad de ser direccional dependiente, en oposición a la isotropía, que
implica propiedades idénticas en todas las direcciones. Se puede definir como una diferencia,
cuando se mide a lo largo de diferentes ejes, en las propiedades físicas o mecánicas de un
material Un ejemplo de anisotropía es la luz que entra a través de un polarizador. Un ejemplo de
un material anisotrópico es de madera, la cual es más fácil de dividir a lo largo de su grano de
contra ella.
Anisotropía, en Ciencia de los Materiales, es una dependencia direccional materiales de una
propiedad física. La mayoría de los materiales presentan un comportamiento anisotrópico. Un
ejemplo sería la dependencia del módulo de Young en la dirección de la carga. Anisotropía en
materiales policristalinos también puede ser debido a ciertos patrones de textura, que a menudo
se producen durante la fabricación del material.
En el caso de la laminación, "largueros" de textura se producen en la dirección de laminado, que
puede conducir a vastamente propiedades diferentes en las direcciones de laminación y
transversal. Algunos materiales, tales como madera y materiales compuestos reforzados con
fibras son muy anisotrópico, siendo mucho más fuerte a lo largo del grano/fibra que a través de
ella. Metales y aleaciones tienden a ser más isótropo, aunque a veces pueden exhibir un
comportamiento anisotrópico significativa. Esto es especialmente importante en los procesos
tales como embutición profunda.
La madera es un material natural anisotrópico. Sus propiedades varían mucho cuando se mide
con el grano del crecimiento o en contra de ella. Por ejemplo, la fuerza y la dureza de la madera
serán diferentes para la misma muestra si se mide en diferentes orientación.
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-Técnica de Debye-Scherrer
El método del polvo cristalino presenta características muy interesantes para su utilización; es el
único procedimiento de DRX que permite abordar el estudio cristalográfico de las especies que
no se presentan, o no es posible obtener, en forma de monocristales. La desorientación relativa
existente entre los numerosos cristalitos que componen la muestra hace que en los diagramas
de difracción quede reflejada, tanto cualitativa como cuantitativamente, la identificación de las
fases cristalinas de la muestra.
En este método la muestra se pulveriza lo más finamente posible de forma que esté constituida
idealmente por partículas cristalinas en cualquier orientación. Para asegurar la orientación
totalmente al azar de estas pequeñas partículas con respecto al haz incidente la muestra
localizada en la cámara de polvo generalmente se hace girar en el haz de rayos X durante la
exposición.
En la cámara de polvo un haz monocromático de rayos X pasa a través de un colimador dentro
de un cilindro de metal en el centro del cual se encuentra la muestra de polvo. Los haces
difractados al incidir sobre la muestra se registran en una delgada película fotográfica localizada
en el interior de la pared del cilindro. Cuando el haz monocromático incide sobre la muestra se
producen al mismo tiempo todas las difracciones posibles. Para cada conjunto de planos
atómicos (hkl) con su característico espaciado dhkl existen numerosas partículas con una
orientación tal que forman el ángulo apropiado con respecto al rayo incidente capaz de satisfacer
la ley de Bragg.
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-Distancia interplanar
La distancia entre dos planos de átomos paralelos adyacentes, con los mismo índices de Miller,
se denomina distancia interplanar, en ocasiones es útil conocer la distancia interplanar de una
misma familia de planos
2) Defectos
-Vacancia
Ausencia de un átomo en un punto del reticulado cristalino
Origen: durante la solidificación a alta temperatura o como consecuencia de los daños
provocados por la radiación (intencionados).
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-Defecto Intersticial
Un átomo adicional se inserta en una posición habitualmente desocupada de la red cristalina.
– Los átomos intersticiales son mayores que los huecos intersticiales que ocupan y menores que
los átomos reticulares que los rodean (Distorsión de la red)
– Número: prácticamente constante con la temperatura
-Defecto Sustitucional
Substitución de un átomo de la red cristalina por otro distinto
– Si el defecto substitucional es mayor que los átomos normales la red se comprime, si es menor
la red se expande (tensión)
– El número de defectos substitucionales no depende de la temperatura
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-Defecto de Frenkel
Par de defectos (intersticial + vacante). En un cristal iónico, un íon salta su sitio normal a un sitio
intersticial dejando una vacante par de defectos (vacante + vacante). En un cristal
-Defecto de Schottky
Par de defectos (vacante + vacante). En un cristal iónico, faltan simultáneamente un anión y un
catión.
-Endurecimiento por solución sólida de los materiales
El endurecimiento por solución sólida se logra al añadirle impurezas al material. Dichas
impurezas distorsionan la estructura cristalina donde se alojan debido a que tienen un tamaño
diferente al de los átomos originales.
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● Dislocaciones o defectos de línea
-Vector de Burgers
El vector de Burgers, o vector de deslizamiento, se define como en la dislocación cuña. En la
figura se observa el trazado del vector de Burgers en el entorno de la dislocación tornillo.
Corresponde a una dislocación de tornillo derecho, rosca a derechas, figura, y apunta en el
sentido contrario al esfuerzo cortante superior, y en el mismo sentido del inferior.
Existe también la dislocación hélice a la izquierda como se indica en la figura. El vector de
Burgers es contrario a la dirección mostrada en la figura, e indica un giro de hélice a la izquierda.
Como en la dislocación cuña, enumeramos las propiedades más importantes de la dislocación
hélice:
1- El vector es paralelo a la línea de dislocación e indica el sentido, dirección y
magnitud del deslizamiento.
2- El plano de deslizamiento no queda definido por la línea de dislocación y el
vector de Burgers.
3- El movimiento de deslizamiento hace que la línea de dislocación forme
ángulo recto con la dirección de deslizamiento.
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-Deslizamiento
Un deslizamiento es un tipo de corrimiento o movimiento de masa de tierra, provocado por la
inestabilidad de un talud.
Se produce cuando una gran masa de terreno se convierte en zona inestable y desliza con
respecto a una zona estable, a través de una superficie o franja de terreno pequeño espesor.
Los deslizamientos se producen cuando en la franja se alcanza la tensión tangencial máxima en
todos sus puntos.
Estos tipos de inestabilidades son evitables por medios técnicos. Sin embargo, el resto de tipos
de corrimientos (flujo de arcilla, licuefacción y reptación) resultan más difíciles de evitar.
-Planos de deslizamiento
Plano definido por la línea de dislocación y el vector de deslizamiento. Si la dislocación se
mueve en la dirección del vector de deslizamiento, se dice que se mueve propiamente por
deslizamiento y la línea de dislocación se mueve a lo largo del plano de deslizamiento.
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-Dislocación de alabeo o tornillos
Se llama así debido a la superficie espiral formada por los planos atómicos alrededor de la línea
de dislocación y se forman al aplicar un esfuerzo cizallante. La parte superior de la región frontal
del cristal desliza una unidad atómica a la derecha respecto a la parte inferior. En este caso, el
vector de Burgers es paralelo al plano que contiene la dislocación y perpendicular al plano de
deslizamiento.
-Dislocación de borde o arista
Formada por un plano extra de átomos en el cristal, el vector de Burgers es perpendicular al
plano que contiene la dislocación y paralelo al plano de deslizamiento. Existe una interacción
fuerte entre dislocaciones de arista de tal manera que se pueden llegar a aniquilar.
-Energía de dislocación
Existe una energía elástica asociada a los campos de tensiones producidos por los diferentes
tipos de dislocaciones, es decir, a la distorsión atómica entorno a la dislocación. Esta energía
juega un papel muy importante en el movimiento de dislocaciones y, por tanto, en el flujo plástico
pues las dislocaciones tratan siempre de minimizar su energía, reduciendo su longitud o
formando grupos de forma que se minimice la energía total del sistema.
-Significado de las Dislocaciones
Las dislocaciones están definidas por el vector de Burgers, el cual permite pasar de un punto de
la red al obtenido tras aplicar la dislocación al mismo. Las dislocaciones suceden con mayor
probabilidad en las direcciones compactas de un cristal y son sumamente importantes para
explicar el comportamiento elástico de los metales, así como su maleabilidad, puesto que la
deformación plástica puede ocurrir por desplazamiento de dislocaciones.
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-Ley de Schmid
Se puede entender las diferencias en el comportamiento de los metales que tienen diferentes
estructuras, examinando la fuerza requerida para iniciar el proceso de deslizamiento. Suponga
que se aplica una fuerza unidireccional F a un cilindro de metal que es un cristal simple o mono
cristal Es posible ubicar el plano de deslizamiento y la dirección del desplazamiento al aplicar la
fuerza, definiendo los ángulos l y f. l es el ángulo entre la dirección del desplazamiento y la
fuerza aplicada, y f es el ángulo entre la normal al plano de desplazamiento y la fuerza aplicada.
● Defecto de superficie
-Grano
Es la superficie de separación entre dos cristales de un mismo grano policristal. Surge como
consecuencia del mecanismo del crecimiento de grano, ó cristalización, cuando dos cristales que
han crecido a partir de núcleos diferentes se "encuentran". A pesar de tener la misma estructura
cristalina, las orientaciones, debido al azar, serán diferentes y unos cristales compensarán a los
otros: los policristales suelen ser isótropos.
-Bordes de grano
En general se puede aceptar, que cada grano o cristal de una muestra se ha originado en un
núcleo de fase sólido, estabilizado como tal en el seno del líquido, y que luego, ha crecido hasta
encontrarse con sus vecinos. Como en su origen y luego al crecer tienen sus redes orientadas al
azar, no es posible que las redes de dos granos vecinos empalmen al encontrarse. Esta
superficie de encuentro entre dos granos no puede tener el orden del sólido; allí los átomos
están a distancias distintas a las de equilibrio, tanto mayores como menores, por lo tanto la
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región del borde es de mayor energía que los granos, y más inestable. Esto es muy importante y
es la razón por la cual, las transformaciones de equilibrio comienzan en los bordes de grano. En
los espacios anormalmente grandes o pequeños de los bordes, tienden a alojarse los átomos de
impurezas y de esa forma reducir las distorsiones de las redes. Por estas características se los
define como fuente y sumidero de defectos puntuales. Otra característica de los bordes de grano
es que a bajas temperaturas son más resistentes que los granos, propiedad que se invierte
cuando la temperatura se eleva. Además, por su desorden inherente, como así también porque
las redes de los granos tienen orientaciones diferentes, son obstáculos insalvables para el
movimiento de las dislocaciones.
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-Ecuación de Hall-Petch
La relación entre el tamaño de grano y la tensión de fluencia, está dada por la ecuación de Hall-
Petch.
Donde σy es la tensión de fluencia, σo es una constante del material relacionada con la tensión
necesaria para iniciar el movimiento de las dislocaciones (o resistencia de la red cristalina al
movimiento), ky es el coeficiente de endurecimiento (constante para cada material), y d es el
diámetro promedio de los granos. No existen materiales infinitamente fuertes; este modo de
endurecimiento tiene un límite. Los granos pueden variar aproximadamente entre 100 µm
(granos grandes) y 1 µm (granos pequeños). Por debajo de este valor, el tamaño de las
dislocaciones se aproxima al del grano; en uno de 10 nm sólo puede contenerse una o dos
dislocaciones, evitándose el apilamiento. En este caso, la tensión aplicada induce al
deslizamiento de los bordes, resultando en una disminución de la resistencia del material.
-Índice de tamaño de grano
Es un índice que se ha asignado a 10 cartas normalizadas con granos de diferente tamaño
medio de grano preparadas por la American Society of Testing and Materials (ATSM), siendo el
mayor índice el menor tamaño de grano.
Se puede calcular teóricamente, según norma ASTM, mediante el número G obtenido de la
expresión:
Número de granos / pulg2 a 100X = 2G-1
Donde G es el número de tamaño de grano de uno a ocho; este método se aplica a metales que
han recristalizado completamente.
Según el mismo criterio, se considera:
grano grueso cuando G < 5 (diámetro de grano 62 micras)
grano fino cuando G > 7 (diámetro de grano 32 micras)
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-Borde de grano de ángulo pequeño
Es cuando la desalineación entre granos vecinos es pequeño, normalmente menor a 5°. La
desalineación es provocada por una distribución de dislocaciones que producen un pequeño
cambio en la orientación de las redes adyacentes.
-Fallas de apilamiento
Son regiones que presentan una estructura cristalina diferente a la del metal original. Aparecen
en las redes FCC cuando se interrumpe la secuencia ABCABCABC... de apilamiento de planos
compactos. Si el ordenamiento a partir de un cierto plano, pasara a ser ABABABA…, esa región
tendría una estructura HCP. Como los bordes de grano, las fallas de apilamiento son zonas de
desorden atómico, y por lo tanto, acumulan energía.
-Bordes de macla
Cuando los metales se deforman por aplicación de cargas estáticas, la deformación plástica
procede casi exclusivamente por el movimiento de las dislocaciones. Sin embargo, a medida que
los esfuerzos aplicados son progresivamente dinámicos, y aun predominando el mecanismo de
deslizamiento de las dislocaciones, adquiere creciente importancia el maclado. También existen
maclas por fallas de apilamiento y maclas de recocido.
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●Conclusiones Individuales:
Álvarez Salazar Alan Said
El programa matter es una herramienta útil; necesaria y valiosa; proporciona información
necesaria para comprender el comportamiento de los materiales y los procesos utilizados para
su estudio durante el proceso; se debe implementar una estrategia para que este programa
pueda llegar a cada sistema operativo.
Hernández Vázquez C. Alan
Mediante el software que nos proporcionaron logramos poder interactuar un poco más con los
distintos tipos de estructuras, conocerlas y observar algunos comportamientos que presentan en
distintas condiciones, sin mencionar las definiciones puntuales que nos asignan.
González Aldaco Rafael
En mi opinión esta práctica me ayudo a reforzar los conocimientos aprendidos en teoría además
de que vimos los temas desde otro punto de vista aplicando un software, pero yo opinaría que
ese software se debería de actualizar o cambiar, ya que hasta las mismas actividades en
algunas partes son un poco confusas, sin contar que si no sabes ingles te resulta muy difícil
comprender.
Vargas Hernández Luis Alejandro
Es importante conocer los tipos de estructuras y defectos presentes en los cristales ya que con
este conocimiento podremos darle propiedades específicas a los cristales según la aplicación o
uso que se le quiera dar a un material cristalino.
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●Bibliografía
http://campodocs.com/articulos-enciclopedicos/article_91614.html
-http://www.uned.es/cristamine/cristal/drx_met.htm
-http://www.upv.es/materiales/Fcm/Fcm04/pfcm4_2_8.html
-http://es.wikipedia.org/wiki/Dislocaci%C3%B3n_%28defecto_cristalino%29
-
http://www.frro.utn.edu.ar/repositorio/catedras/mecanica/5_anio/metalografia/Defectos_reticulare
s_v2.pdf
-http://www.frro.utn.edu.ar/repositorio/catedras/mecanica/5_anio/metalografia/7-
Mecanismos_de_endurecimiento_v2.pdf
-http://www.utp.edu.co/~publio17/temas_pdf/defectos_cristales.pdf
-http://www.uclm.es/profesorado/maarranz/Documentos/MaterialesT3b.pdf
-http://www.uam.es/docencia/labvfmat/labvfmat/practicas/practica4/grano.htm
-
https://books.google.com.mx/books?id=gnfPV1txXiUC&pg=PA89&lpg=PA89&dq=indice+tama%
C3%B1o+de+grano&source=bl&ots=Dwua-
4IjCl&sig=Su6o_0v7PL4yrlFkW_OQR79saNg&hl=es&sa=X&ei=9YLZVLKVJ87bsASf_YDoAw&v
ed=0CCkQ6AEwAg#v=onepage&q=indice%20tama%C3%B1o%20de%20grano&f=false
-http://materiales.unex.es/miembros/personal/p-
mirandaold/docencia_sec/PMII/apuntesPlasticidad.pdf