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Redes espaciales Sistemas cristalinos Estructuras cristalinas metalicas Posiciones del atomo Direccion de las celdas Indices de Miller Planos cristalograficos en la estructura cristalina hexagonal Comparacion de las estructuras FCC, HCP y BCC Calculos de las densidades

Ciencia de Materiales:

Estructuras cristalinas y amorfas en losmateriales.

Juan Jose Reyes Salgado


Estructuras cristalinas y amorfas en los materiales.


I Atomos o iones ordenados con un patron que se repite en elespacio.

I Orden de largo alcance (OLA), material cristalino:

I Aleaciones.I Algunos ceramicos.

I Atomos o iones no ordenados de forma periodica o repetible:

I Orden de corto alcance (OCA), material amorfo.I Esto significa que el orden existe en la vecindad inmediata del

atomo.

I Agua lıquida (enlace secundario).





I Orden de largo alcance (OLA), material cristalino:I Aleaciones.

I Algunos ceramicos.



atomo.






I Orden de largo alcance (OLA), material cristalino:I Aleaciones.I Algunos ceramicos.



atomo.







I Atomos o iones no ordenados de forma periodica o repetible:I Orden de corto alcance (OCA), material amorfo.

I Esto significa que el orden existe en la vecindad inmediata delatomo.







I Atomos o iones no ordenados de forma periodica o repetible:I Orden de corto alcance (OCA), material amorfo.I Esto significa que el orden existe en la vecindad inmediata del

atomo.







I Atomos o iones no ordenados de forma periodica o repetible:I Orden de corto alcance (OCA), material amorfo.I Esto significa que el orden existe en la vecindad inmediata del

atomo.I Agua lıquida (enlace secundario).




I El orden atomico en los solidos cristalinos se pueden describirrepresentando a los atomos en los puntos de interseccion deuna red cristalina.

I Esta red se llama red espacial.

I Cada punto en la red espacial tiene un entorno identico.

I En un cristal la agrupacion de los puntos de la red alrededorde uno es identica a la agrupacion en torno a otro punto.

I Cada red espacial puede describirse especificando la posicionde los atomos en una celda unitaria.

I El tamano y forma de una celda puede describirse por tresvectores de la red.

I Longitudes axiales a, b y c y los angulos interaxiales α, β y γson las constantes de la red de la celda unitaria.




I Los cristalografos han demostrado que tan solo se necesitan 7tipos diferentes de celdas unitarias para crear todas las redes.




I Muchos de los 7 sistemas cristalinos tienen variaciones de lacelda unitaria basica.

I A. J. Bravais demostro que con 14 celdas unitarias estandar sepueden describir todas las redes posibles.

I Existen 4 tipos basicos de las celdas unitarias:

I Sencilla.I Centrada en el cuerpo.I Centrada en las caras.I Centrada en las bases.






I Existen 4 tipos basicos de las celdas unitarias:I Sencilla.

I Centrada en el cuerpo.I Centrada en las caras.I Centrada en las bases.






I Existen 4 tipos basicos de las celdas unitarias:I Sencilla.I Centrada en el cuerpo.

I Centrada en las caras.I Centrada en las bases.






I Existen 4 tipos basicos de las celdas unitarias:I Sencilla.I Centrada en el cuerpo.I Centrada en las caras.

I Centrada en las bases.






I Existen 4 tipos basicos de las celdas unitarias:I Sencilla.I Centrada en el cuerpo.I Centrada en las caras.I Centrada en las bases.




I La mayorıa de los metales puros cristalizan al solidificarse entres estructuras cristalinas compactas:

a) Cubica centrada en el cuerpo (BBC).b) Cubica centrada en las caras (FCC).c) Hexagonal compacta (HCP)





a) Cubica centrada en el cuerpo (BBC).

b) Cubica centrada en las caras (FCC).c) Hexagonal compacta (HCP)





a) Cubica centrada en el cuerpo (BBC).b) Cubica centrada en las caras (FCC).

c) Hexagonal compacta (HCP)





a) Cubica centrada en el cuerpo (BBC).b) Cubica centrada en las caras (FCC).c) Hexagonal compacta (HCP)




I La arista del cubo de la celda unitaria del hierro cubicocentrado en el cuerpo, por ejemplo a temperatura ambiente esigual a 0.287× 10−9m o 0.287nm. Por tanto, si se alineanceldas unitarias de hierro puro, arista con arista, en 1mmhabrıa:




I La arista del cubo de la celda unitaria del hierro cubicocentrado en el cuerpo, por ejemplo a temperatura ambiente esigual a 0.287× 10−9m o 0.287nm. Por tanto, si se alineanceldas unitarias de hierro puro, arista con arista, en 1mmhabrıa:

1mm × 1 celda unitaria

0.287× 10−6mm/nm= 3.48× 106 celdas unitarias




Estructura cristalina cubica centrada en el cuerpo (BCC)





1 atomo (en el centro) + 8× 18 (en los vertices) = 2 atomos





I Factor de empacamiento (APF):






APF =volumen de los atomos en la celda unitaria

volumen de una celda unitaria








Vatomos = (2)(4

3πR3) = 8.373R3








Vatomos = (2)(4

3πR3) = 8.373R3

Vcelda = a3








Vatomos = (2)(4

3πR3) = 8.373R3

Vcelda = a3

a =4R√

3








Vatomos = (2)(4

3πR3) = 8.373R3

Vcelda = a3

a =4R√

3

Vcelda = a3 = 12.32R3








Vatomos = (2)(4

3πR3) = 8.373R3

Vcelda = a3

a =4R√

3

Vcelda = a3 = 12.32R3

APF = 0.68




Estructura cristalina cubica centrada en las caras (FCC)





8× 18 (en los vertices) + 6× 1

2 (medios atomos sobre las caras) =4 atomos





APF=0.74




Estructura cristalina hexagonal compacta (HCP)




Estructura cristalina hexagonal compacta (HCP)

1 atomo (en el centro) + 4× 16 + 4× 1

12 = 1 (en los vertices) = 2atomos




Problema

Calcule el volumen de la celda unitaria de la estructura cristalinade zinc con los datos siguientes: a=0.2665 nm y c=0.4947 nm.




Problema

Calcule el volumen de la celda unitaria de la estructura cristalinade zinc con los datos siguientes: a=0.2665 nm y c=0.4947 nm.SOLUCION:




Problema


AreaABC =1

2(base)(altura)




Problema


AreaABC =1

2(base)(altura)

AreaT = (6)(AreaABC )




Problema


AreaABC =1

2(base)(altura)


AreaT = 3a2sin(60o)




Problema


AreaABC =1

2(base)(altura)


AreaT = 3a2sin(60o)

Volumen = (AreaT )(c)




Problema


AreaABC =1

2(base)(altura)


AreaT = 3a2sin(60o)

Volumen = (AreaT )(c)

Volumen = 0.0913nm3




(0,0,0) (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)(1,1,1) (1,1,0) (1,0,1) (0,1,1)




I Para los cristales cubicos los ındices de las direccionescristalograficos son los componentes del vector de direcciondescompuesto sobre cada eje de coordenada y reducidos amınimos enteros.

I [100], [010], [001], [010], [001], [100] =< 100 >I Las direcciones equivalentes se llaman ındices de una familiaI Otras familias: Diagonal del cubo < 111 > y diagonales de las

caras < 110 >





I [100], [010], [001], [010], [001], [100] =< 100 >

I Las direcciones equivalentes se llaman ındices de una familiaI Otras familias: Diagonal del cubo < 111 > y diagonales de las

caras < 110 >





I [100], [010], [001], [010], [001], [100] =< 100 >I Las direcciones equivalentes se llaman ındices de una familia

I Otras familias: Diagonal del cubo < 111 > y diagonales de lascaras < 110 >





I [100], [010], [001], [010], [001], [100] =< 100 >I Las direcciones equivalentes se llaman ındices de una familiaI Otras familias: Diagonal del cubo < 111 > y diagonales de las

caras < 110 >Juan Jose Reyes Salgado



Indices de Miller

I Los ındices de Miller de un plano cristalino se definencomo el recıproco de las fracciones de interseccion que elplano presenta en sus ejes cristalograficos x , y y z de las tresaristas no paralelas de la celda unitaria cubica.

I Orientacion cristalografica.I Determinacion de los ındices de Miller.

1 Se elige un plano que no pase por (0,0,0).2 Se determinan las intersecciones del plano en la funcion de los

ejes cristalograficos para un cubo unidad. (Pueden serfraccionarios).

3 Se obtiene el recıproco de las intersecciones.4 Se simplifican las fracciones y se determina el conjunto mas

pequeno de numeros enteros.




Indices de Miller


I Orientacion cristalografica.

I Determinacion de los ındices de Miller.








Indices de Miller










Indices de Miller



1 Se elige un plano que no pase por (0,0,0).

2 Se determinan las intersecciones del plano en la funcion de losejes cristalograficos para un cubo unidad. (Pueden serfraccionarios).






Indices de Miller










Indices de Miller





3 Se obtiene el recıproco de las intersecciones.

4 Se simplifican las fracciones y se determina el conjunto maspequeno de numeros enteros.




Indices de Miller










Indices de Miller

Notacion: (hkl)




Indices de Miller

Notacion: (hkl)Si varios planos reticulares equivalentes estan relacionados por lasimetrıa del sistema cristalino, se llaman planos de una familia.

{hkl}




Indices de Miller




Indices de Miller

Intersecciones: 13 , 2

3 , 1




Indices de Miller

Intersecciones: 13 , 2

3 , 1Recıprocos: 3, 3

2 , 1




Indices de Miller




Indices de Miller

dhkl =a√

h2 + k2 + l2




Indices para los planos cristalinos en celdas HCP

I Los ındices de los planos cristalinos HCP son llamados ındicesde Miller-Bravais (jkil).

I 3 ejes basales a0, a1 y a2 y uno vertical c .




Indices para los planos cristalinos en celdas HCP

Planos basales Planos del prisma




Indices de direccion en las celdas unitarias HCP




Comparacion de las estructuras FCC, HCP y BCC

FCC HCP





BCC




Densidad volumetrica

ρv =masa/celda unitaria

volumen/celda unitaria




Problema

El cobre tiene una estructura cristalina FCC y un radio atonico de0.1278nm. Considerando a los atomos como esferas rıgidas que setocan entre sı a lo largo de la diagonal de la celda unitaria FCCcomo se muestra, calcule el valor teorico de la densidad de cobreen megagramos por metro cubico. La masa atomica del cobre es de63.54g/mol.




Problema

a =4R√

2= 0.361nm




Problema

a =4R√

2= 0.361nm



m =(4 atomos)(63.54g/mol)

6.02× 1023atomos/mol

(10−6Mg

g

)= 4.22× 10−28Mg




Problema

a =4R√

2= 0.361nm





(10−6Mg

g

)= 4.22× 10−28Mg

V = a3 = 4.70× 10−29m3




Problema

a =4R√

2= 0.361nm





(10−6Mg

g

)= 4.22× 10−28Mg

V = a3 = 4.70× 10−29m3

ρv =m

V= 8.98Mg/m3 (8.98g/cm3)




Densidad atomica planar

ρp =atomos cortados por el area

area seleccionada




Problema

Calcule la densidad atomica planar en el plano (110) de la red deBCC del hierro α en atomos por mm2. La constante de red delhierro α es 0.287 nm.




Problema


1 atomo en el centro + 4× 1

4de atomo en los v ertices = 2 atomos




Problema




(√

2a)(a) =√

2a2




Problema




(√

2a)(a) =√

2a2

ρp =2 atomos√

2(0.287nm)2= 17.2atomos/nm2




Problema




(√

2a)(a) =√

2a2

ρp =2 atomos√

2(0.287nm)2= 17.2atomos/nm2

17.2atomos

nm2× 1012nm2

mm2




Problema




(√

2a)(a) =√

2a2

ρp =2 atomos√

2(0.287nm)2= 17.2atomos/nm2

17.2atomos

nm2× 1012nm2

mm2

ρp = 1.72× 1013atomos/mm2




Densidad atomica lineal

ρl =diametros atomicos cortados en una direccion de interes

longitud seleccionada de la linea




Problema

Calcule la densidad atomica lineal en la direccion [110] de la redcristalina de cobre en atomos por mm. El cobre es FCC y tiene unaconstante de red de 0.361 nm.




Problema







Problema




ρl =2 atomos√

2a=

2 atomos√2(0.361nm)

=3.92 atomos

nm




Problema




ρl =2 atomos√

2a=


=3.92 atomos

nm

3.92atomos

nm× 106nm

mm




Problema




ρl =2 atomos√

2a=


=3.92 atomos

nm

3.92atomos

nm× 106nm

mmρp = 3.92× 106atomos/mm



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