GEOMETRÍA ANALÍTICA

LOGRO DE LA SESIÓN

• Al término de la sesión el estudiante

aplicará, correctamente, las

propiedades de las rectas, asimismo

graficará y encontrará ecuaciones de

rectas.

PLANO CARTESIANO

Se llama así a un plano que ha sido dividido en cuatro regiones por dos rectas

perpendiculares llamadas EJES DE COORDENADAS.

Eje de abscisas

Eje de ordenadasY

X

0

Primer

cuadrante

Segundo

cuadrante

Tercer

cuadrante

Cuarto

cuadrante

UBICACIÓN DE UN PUNTO EN EL PLANO CARTESIANO

Un punto se ubica en el PLANO CARTESIANO por medio de sus COORDENADAS,

escritas en la forma de un par ordenado

a

b

a : Abscisa del punto “P”

P = (a; b)

Eje de abscisas

Eje de ordenadasY

X

b : Ordenada del punto “P”

(a; b) : Coordenadas del punto “P”

0

Ejemplos:

Ubicar los puntos: A = (5; 12) B = ( 7; 2) C = (8; 15)

D = ( 4; 0 ) E = ( 0; 5 )

2

A = (5; 12 )

Y

X0

5

8

15

B = ( 7; 2 )

C = (8; 15 )

7

12

4

D = (4; 0 )

5E = (0; 5 )

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

x1

Eje de abscisas

Eje de ordenadasY

X0 x2

y1

y2

x2 x1

y2 y1

En el triángulo sombreado:

2)12(

2)12( yyxxd

d

Ángulo de inclinación: es el ángulo que forma la recta con el eje X medido

en sentido antihorario

LA RECTA EN EL PLANO CARTESIANO

X

Y

L

: ángulo de inclinación

de la recta L

Pendiente de una recta : es la tangente trigonométrica del ángulo de

inclinación

m = Tg pendiente de la recta L

CÁLCULO DE LA PENDIENTE DE UNA RECTA

CONOCIENDO DOS PUNTOS

x1

Eje de abscisas

Eje de ordenadasY

X0 x2

y1

y2

x2 x1

y2 y1

Por definición: m = Tg

En el triángulo sombreado:12

12

xx

yyTg

12

12

xx

yym

Ejemplo: Calcular la pendiente de una recta que contiene a los puntos

(3; 5) y (6; 2)

Solución:

)6(3

)2(5m

9

7m

PENDIENTE POSITIVA (recta ascendente de

izquierda a derecha)

Y L

m > 0

X

PENDIENTE NEGATIVA (recta descendente

de izquierda a derecha)

Y

L

m < 0

X

PENDIENTE NULA (recta horizontal)

Y

m = 0

L

X

PENDIENTE INDEFINIDA (recta vertical)

Y L

m = indefinida

X

Observaciones y propiedades de la pendiente:

RECTAS PARALELAS (pendientes iguales)

Y m1 = m2

L1

L2

X

RECTAS PERPENDICULARES (producto de

pendientes igual a 1)

Y L1

m1.m2 = 1L2

X

Ejemplo: Los vértices de un triángulo son A=(3; 1) B=(2; 7) C=(8;2),

calcular la pendiente de la altura AH

( 3; 1) = A

B = (2; 7)

X

Y

C = (8; 2)

H

Solución:

Primero se calcula la pendiente de BC

2

3

6

9

82

)2(7mBC

3

2mAH

ECUACIÓN CARTESIANA DE LA RECTA

A(x1 ; y1 ) es un punto de paso

m : pendiente de la recta L

( x1 ; y1 ) = A

P = (x; y)

Sobre dicha recta se toma un punto cualquiera

P(x; y), y aplicamos cálculo de pendiente

1

1

xx

yym

y – y1 = m(x – x1 )Luego:

Ecuación de la recta (forma punto pendiente)

L

X

Y

Datos:

Ejemplo: Determinar la ecuación de una recta que pasa por ( 3; 2 ) y tiene

pendiente igual a 3/5

Solución: Reemplazando datos: )]3(x[5

32y

)3x(5

32y

es la ecuación de la recta en

su forma punto- pendiente

Esta forma se obtiene despejando la variable “y” :

( 4; 2)

L

X

Y

Ecuación de la recta en su forma: pendiente ordenada en el origen

y = mx + bm : pendiente de la recta

b : intersección con el eje Y ( ordenada en el origen)

Ejemplo: Determine la ecuación (pendiente – ordenada en el origen)

de la recta que pasa por los puntos (– 4; 2 ) y ( 4; – 8 )

( 4, 8 )

3

Se calcula la pendiente:44

)8(2m

4

5m

Se determina la ecuación

punto – pendiente:)4x(

4

52y

Se despeja la variable “y”:

20x58y4 3x4

5y

Pendiente = – 5/4

Intersección con el eje Y = – 3

Ecuación general de la recta

Se denomina ecuación general de la recta a la expresión de la forma:

Ax + By + C = 0A, B, C son números reales, donde A

y B no son nulos simultáneamente.

Ejemplo: Determine la ecuación general de la recta que pasa por los

puntos (– 3; 4 ) y ( 4; – 6 )

Se calcula la pendiente:43

)6(4m

7

10m

Se determina la ecuación

punto – pendiente:)3x(

7

104y

Se agrupan todos los términos en un solo miembro:

30x1028y7 02y7x10

Intersección entre dos rectas

Es el punto común entre dos rectas que no son paralelas en el plano

cartesiano. Las coordenadas del punto de intersección se obtienen

resolviendo el sistema de ecuaciones de ambas rectas

Ejemplo: Determine el punto de intersección

entre las rectas L1: 5x 2y 25 = 0;

L2: 3x + 4y +11 = 0

Se forma el sistema:

)II(yx

)I(yx

1143

2525

3x2(I) + (II): 3913 x

Reemplazando y despejando en (I): 5y

);(P 53

L1

L2

P

Solución:

Gráfica de una recta conociendo su ecuación

Graficar: 3x – 2y – 10 = 0

Se da arbitrariamente dos valores a “x” y se calculan los respectivos

valores de “y”

Solución:

x y

2

4

2

1

X

Y3x – 2y – 10 = 0

0 4

2

1

2

Ejercicio 1

Calcular la ecuación general de una recta L1 que pasa por el punto

( 3; 4) y es paralela a la recta L2 : 3x – 2y = 10

L2: 3x – 2y = 10 )2

3(m 5x

2

3y 2

2

3mm 21 Como son rectas paralelas:

Solución:

Luego, L1: )3(x2

34y

2y – 8 = 3x + 9

L1: 3x – 2y + 17 = 0

Ecuación punto pendiente

Ecuación general de L1

Ejercicio 2

Calcular la ecuación general de una recta L1 que pasa por el punto

( 2; 5) y es perpendicular a la recta L2 : 8x + 6y + 21 = 0

L2: 8x + 6y + 21 = 0 6

21x

6

8y

1m.m 21 Como son rectas

perpendiculares:

Solución:

Luego, L1: )2(x4

35y

4y – 20 = 3x + 6

L1: 3x – 4y + 26 = 0

Ecuación punto pendiente

Ecuación general de L1

Simplificando las fracciones: )3

4(m

2

7x

3

4y 2

4

3m1

Ejercicio 3

Calcular la ecuación general de una recta que pasa por los puntos

( 3; 6) y ( 4; 3)

Primero se calcula la

pendiente de esta recta: 43

36

m

Solución:

Luego se elige como punto de paso

cualquiera de los puntos conocidos

)(x)(y 37

96

7y + 42 = 9x +27

9x – 7y 15 = 0

7

9m

X

Y

(4; 3)

(3; 6)