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I. FUNCIONES REALES
I.1. GENERALIDADES DE LAS FUNCIONES REALES
I.1.1. RELACIONES Y FUNCIONES
I.1.2. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL
I.1.3. FUNCION COMPUESTA Y FUNCION INVERSA
I.1.4. SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES
I.1.5. ELEMENTOS DE GEOMETRIA ANALITICA
I.1.6. GRAFICAS DE FUNCIONES
I.2. FUNCIONES POLINOMIALES
I.2.1. FUNCION LINEAL
I.2.2. FUNCION CUADRATICA
I.2.3. FUNCION DE ORDEN MAYOR
I.3. FUNCIONES ESPECIALES
I.3.1. FUNCION EXPONENCIAL
I.3.2. FUNCION LOGARITMICA
I.3.3. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS SENO Y COSENO
I.3.4. OTRAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
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I FUNCIONES REALES
Los valores de una cantidad variable suelen depender de los valores de otra, para ilustrar
esto, consideremos por ejemplo:
1. La distancia requerida para frenar un automóvil hasta detenerlo completamente es
función de la rapidez que lleva el automóvil cuando comenzamos a frenar.
2. El número de conejos en una cadena alimenticia predador – presa es función del
número de zorros presentes.
3. El volumen de agua que queda en una bañera es función del número de segundos que
lleva destapada.
4. El tiempo de descompresión necesario tras haber buceado a 30 metros de profundidad
es función del tiempo que se ha permanecido sumergido.
En todos estos ejemplos, los valores de una cantidad variable, que llamamos normalmente
y, dependen de los valores de otra cantidad variable, que se denomina x. En cada caso, si es
también cierto que el valor de y está completamente determinado por el valor x, podemos
decir que y es función de x.
Euler (1707-1783) inventó una manera simbólica para decir “y es una función de la variable
x”, escribiendo y = f(x), que se lee “y es igual a efe de equis”. Esta notación es más corta y
precisa que cualquier expresión verbal que diga lo mismo. También sirve para dar nombres
diferentes a funciones distintas con sólo cambiar las letras. Para decir que la distancia de
frenado es función de la rapidez, podemos escribir d = f(s). Para decir que la concentración
de una medicina en el flujo sanguíneo es función del tiempo que media entre la
administración de la dosis, podemos escribir c = g(t), donde se utiliza g porque acabamos
de usar f para otro fin.
En matemáticas, cualquier regla que asocie elementos de un conjunto a elementos de otro
conjunto se llama función. Los conjuntos pueden ser de números, de pares de números, de
puntos o de objetos de cualquier clase. Los conjuntos no tienen por qué ser los mismos. La
misión de la función se reduce a asociar algún elemento del segundo conjunto a cada
elemento del primer conjunto. Una función se puede asociar a la imagen de una máquina
que relaciona la salida de un objeto a cada entrada permitida en la máquina. Las entradas
constituyen el dominio de la función, mientras que las salidas son la imagen.
En la presente unidad nos preocuparemos de estudiar y analizar los conceptos
fundamentales de las funciones reales, es decir, aquellas funciones cuyo dominio e imagen
corresponden a subconjuntos de los números reales.
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En el primer capítulo, GENERALIDADES DE LAS FUNCIONES REALES, revisaremos
los conceptos fundamentales de función y relación, el álgebra involucrada, la idea de
función inversa y la manera de representar las funciones, su gráfica, utilizando la geometría
analítica.
En el segundo capítulo, no preocuparemos de las FUNCIONES POLINOMIALES,
estudiando con detención el caso de las rectas y parábolas, esto es las funciones lineales y
cuadraticas en particular.
El tercer y último capítulo de esta unidad será dedicado al estudio de algunas FUNCIONES
ESPECIALES, como son la exponencial, la logarítmica, y las funciones trigonométricas.
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I.1. GENERALIDADES DE LAS FUNCIONES REALES
En este capítulo se introducen los conceptos fundamentales de relación y función. Al
finalizar el estudio de éste, el alumno deberá ser capaz de:
• Conocer la definición de una relación entre conjuntos y una función.
• Reconocer una relación y una función.
• Conocer las definiciones de conjunto dominio, conjunto recorrido, gráfica, etc.
• Conocer las principales propiedades de una función con dominio discreto.
• Conocer las hipótesis requeridas para definir una función inversa.
• Definir la función inversa de una función con dominio finito.
• Conocer los sistemas de coordenadas rectangulares
• Utilizar los sistemas de coordenadas para localizar puntos en el plano.
• Construir lugares geométricos sencillos en el plano.
• Gráficar funciones en el plano.
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I.1.1. RELACIONES Y FUNCIONES
En términos generales, una función es una correspondencia entre objetos. Por ejemplo, en
economía, la demanda se considera función del precio; en física, la posición de una
partícula móvil es función del tiempo; y en biología, la población de un cultivo de bacterias
es función del tiempo.
A continuación vamos a revisar los conceptos de relación binaria y la definición formal de
función, junto con algo de la terminología básica que debe manejarse.
Se llama relación binaria, R, entre dos conjuntos X e Y (en ese orden), a toda propiedad
definida sobre el producto cartesiano X × Y, es decir, a una propiedad característica de los
elementos (x, y) de un subconjunto G de X × Y. Una relación es entonces una terna, que
se compone de un conjunto de partida X, un conjunto de llegada Y, y la relación
propiamente tal que es este subconjunto de pares ordenados de X × Y.
G se llama gráfica de la relación R. X es el conjunto de partida de R. Y es el conjunto dellegada de la relación R.
Se tiene, por lo tanto, que:
G = {(x, y) ∈ X × Y: R (x, y)}
(R(x, y) ⇔ (x, y) ∈ G)
Es decir, (x, y) ∈ G es equivalente a la proposición “x e y verifican la relación R”. Esta se
designa por R(x, y), o bien por x R y, y se lee “x e y están en la relación R” o “x está
relacionado con y mediante R”.
EJEMPLO I.1.1.1.
Considere la relación R = {(a, 1), (a, 2), (b, 2), (b, 3), (c, 3), (c, 4)} ⊆ A × B = {a, b, c} ×
{1, 2, 3, 4}. En la figura se muestra el gráfico asociado a esta relación.
a b c
1
2
3
4
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El concepto de función corresponde a uno de los más importantes de la matemática, y no es
más que una restricción del concepto de relación. Es decir una función es un tipo particular
de relación. Para definirlo, partimos observando que si R es una relación de X a Y, puede
ocurrir que dado un elemento x ∈ X, se de una de las siguientes situaciones:
• Existe más de un elemento y ∈ Y tal que x R y
• Existe sólo un único elemento y ∈ Y tal que x R y
• No exista ningún elemento y ∈ Y tal que x R y (es decir que (x, y) ∉ R, ∀ y ∈ Y)
DEFINICION
Un gráfico F se dice funcional si cada x (primera componente) tiene a lo sumo un y
(segunda componente) en correspondencia con él. Es decir, para cada x, existe un único y
tal que (x, y) ∈ F.
EJEMPLO I.1.1.2.
El gráfico G = {(x, y): y2 + x = 5} no es funcional, pues para x = 1, se tiene que y = 2 o y =
- 2 satisfacen la relación, así (1, 2) ∈ G y (1, - 2) ∈ G.
De la definición de gráfico funcional, se tiene que F es funcional ssi para todo par (x, y) ,
(a, b) ∈ F, x = a ⇒ y = b.
EJEMPLO I.1.1.3.
Consideremos la relación F = {(x, y): y = 3x + 1}. F es funcional, pues, si (x, y), (a, b) ∈ F,
se tiene: y = 3x + 1 ∨ b = 3 a + 1, de donde; si x = a ⇒ 3x + 1 = 3 a + 1 ⇒ y = b.
DEFINICION
Una relación se llama función, si su gráfico es funcional y se encuentra definida para todo
el conjunto de partida.
EJEMPLO I.1.1.4.
Considere la relación R = {(a, 1), (a, 2), (b, 2), (b, 3), (c, 3), (c, 4)} ⊆ A × B = {a, b, c} ×
{1, 2, 3, 4}. Esta relación no es función, pues su gráfico no es funcional.
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a
b
c
1
2
3
4
EJEMPLO I.1.1.5.
Considere la relación R = {(a, 1), (b, 2)} ⊆ A × B = {a, b, c} × {1, 2, 3, 4}. Esta relación,
no es función, pues si bien su gráfico es funcional, se tiene que no todo el conjunto de
partida se encuentra definido en la relación.
a
b
c
1
2
3
4
EJEMPLO I.1.1.6.
Considere la relación R = {(a, 1), (b, 3), (c, 3)} ⊆ A × B = {a, b, c} × {1, 2, 3, 4}. Esta
relación es una función.
a
b
c
1
2
3
4
Hemos visto que una función no es más que un caso especial de un conjunto, sin embargo,
para el matemático y hombre de ciencia del siglo XIX, una función no era más que una
fórmula definida de alguna manera, como por ejemplo:
F(x) = x2 + 3x – 5
La cual asocia a todo número real x, otro número real, f(x). Sin embargo, a medida que la
matemática se desarrollaba, fue cada vez más evidente que el requerimiento de que una
función sea una fórmula, era una restricción indebida y que se debería usar una definición
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más general. También se hizo evidente que es importante hacer una clara distinción entre
la función misma y los valores de la función. La respuesta clave de todo esto es pensar en la
gráfica de la función, esto es en la colección de pares ordenados que la conforman, tal como
lo hemos planteado en la presente sección.
Existe una forma de visualizar una función como si fuese una máquina. En esta máquina,
introducimos un valor de entrada, y se obtiene – después de algunas transformaciones – un
valor de salida, llamado f(x), la imagen de x. Aquí se puede observar perfectamente las
diferencias entre la función misma (la máquina, f) y el valor de salida (la imagen, f(x)).
Una discusión muy interesante de mantener, es para qué sirven todos estos conceptos.
Veremos en el desarrollo académico, posterior a este curso, que muchas situaciones se
modelan por medio de funciones. De esta forma, es posible abstraer la manera de relacionar
valores y las máquinas que lo transforman, utilizando nociones como relación, función, etc.
Así, es posible encapsular procesos de transformación en pequeñas cajas negras, no
preocupándose de la manera en que se transforman los valores, sino más bien en cómo se
transforman. Esto es lo que logran las funciones. Por ahora, sólo es importante identificar
cuándo una relación es función y las propiedades asociadas a ellas.
Ahora estamos ya preparados para estudiar una clase especial de relación llamada función.
El concepto de función – uno de los más importantes de la matemática – resulta de
restringir el concepto de relación; es decir, una función es un tipo particular de relación.
Dados dos conjuntos cualesquiera X e Y, hemos definido una relación en X × Y como un
subconjunto cualquiera de X × Y. Si, además, un subconjunto f de X × Y es tal que, para
cada x ∈ X, hay a lo más un y ∈ Y tal que x f y, decimos que f es una función, y usamos la
notación usual, f(x) = y.
Cuando f es una función, se acostumbra llamar al conjunto de partida X, como dominio de
la función f, y se denota por X = Dom (f). En cambio, el conjunto de llegada, se conoce
como codominio de f, y se denota por Y = Cod (f). Debe resultar claro, que todo el
conjunto de partida debe participar en la definición de la función. Sin embargo, no es
necesario que todo el conjunto de llegada se involucre en la definición de función. Por este
motivo, se acostumbra restringir el codominio de la función, al recorrido de f, esto es el
conjunto de todos aquellos valores del conjunto de llegada, que efectivamente participan en
la definición de la función. Se denota usualmente Rec (f). Los elementos del conjunto de
partida o dominio, se llaman preimágenes de la función, mientras que los valores del
conjunto de llegada o recorrido, se denominan imágenes de la función f.
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EJEMPLO I.1.1.7.
La fórmula A = πr2 expresa el área A de un círculo como la función de su radio r. En el
contexto de la geometría, el dominio D de la función es el conjunto de todos los radios
posibles, en este caso el conjunto de todos los números reales positivos. La imagen es
también el conjunto de todos los números reales positivos.
EJEMPLO I.1.1.8.
La fórmula y = x2 define el número y como el cuadrado del número x. Se puede llamar a
esta función de x como “cuadrática”, pues los números de salida son los cuadrados de los
números de entrada. El dominio de la función es el conjunto de todos los números
permitidos, en este caso, todo los números reales. Así, Dom(f) = ℝ. La imagen en cambio
es el conjunto de todos los números reales positivos.
EJEMPLO I.1.1.9.
Sea F = {(a, 1), (b, 3), (c, 4)} ⊆ {a, b, c} × {1, 2, 3, 4, 5}. El dominio de F es {a, b, c}, el
codominio de F es el conjunto {1, 2, 3, 4, 5}, mientras que el recorrido de F es {1, 3, 4}.
DEFINICION
Diremos que una función es sobreyectiva, si su recorrido es igual a su codominio, esto es,
si Cod (f) = Rec (f)
EJEMPLO I.1.1.10.
Sea la función F = {(a, 1), (b, 3), (c, 4)} ⊆ {a, b, c} × {1, 2, 3, 4, 5}. Como el recorrido de
esta función es distinto al codominio, se tiene que esta función no es sobreyectiva.
DEFINICION
Diremos que una función es inyectiva, si cada imagen, tiene sólo un elemento en el
dominio relacionado con ella. Esto es, f(x) = (a) ⇒ x = a.
EJEMPLO I.1.1.11.
Sea la función F = {(a, 1), (b, 3), (c, 4)} ⊆ {a, b, c} × {1, 2, 3, 4, 5}. Como cada imagen
tiene sólo una preimagen asociada (la imagen 1 tiene sólo a la preimagen a asociada, la
imagen 3, tiene asociado sólo b, y la imagen 4 sólo se asocia a c), se tiene que esta función
es inyectiva.
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EJEMPLO I.1.1.12.
Sea la función F = {(a, 1), (b, 1), (c, 4)} ⊆ {a, b, c} × {1, 2, 3, 4, 5}. Como la imagen 1
tiene asociadas la preimagenes a y b, se tiene que esta función no es inyectiva.
DEFINICION
Diremos que una función es biyectiva, cuando es sobreyectiva e inyectiva a la vez.
La importancia de las funciones biyectivas, es que a partir de ellas, es posible definir
funciones inversas. Esto es, dado una función f : A → B, queremos definir la función g: B
→ A, tal que g(y) = x, cada vez que f(x) = y. Se denota usualmente a la función inversa
por f-1.
EJEMPLO I.1.1.13.
Sea la función F = {(a, 1), (b, 3), (c, 2)} ⊆ {a, b, c} × {1, 2, 3}. Claramente esta función es
inyectiva y sobreyectiva. Luego la función es biyectiva. La función inversa, F-1 se puede
definir de la siguiente manera F-1 = {(1, a), (3, b), (2, c)}
Debe resultar claro, de que la única forma en que esta función inversa sea realmente una
función, esto es, que exista, es que la función f sea biyectiva.
ACTIVIDAD I.1.1.14.
1. Bosqueje gráficos para las siguientes relaciones:
a) R = {(a, 1), (a, 3), (b, 2), (c, 1), (c, 3)} ⊆ {a, b, c} × {1, 2, 3}
b) R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 1)} ⊆ {1, 2, 3} × {1, 2, 3}
c) R = {(a, 2), (b, 2), (c, 2)} ⊆ {a, b, c} × {1, 2, 3}
Solución:
2. Determine cual de las siguientes relaciones corresponden a funciones:
a) R = {(a, 1), (a, 3), (b, 2), (c, 1), (c, 3)} ⊆ {a, b, c} × {1, 2, 3}
b) R = {(1, 1), (2, 2), (3, 1)} ⊆ {1, 2, 3} × {1, 2, 3}
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c) R = {(a, 2), (b, 2), (c, 2)} ⊆ {a, b, c} × {1, 2, 3}
Solución:
a) No es función pues la preimagen a tiene dos imágenes asociadas.
b) Es función.
c) Es función.
3. Determine cual de las siguientes funciones son invertibles
a) R = {(a, 3), (b, 2), (c, 1)} ⊆ {a, b, c} × {1, 2, 3}
b) R = {(1, 1), (2, 2), (3, 1)} ⊆ {1, 2, 3} × {1, 2, 3}
c) R = {(a, 2), (b, 2), (c, 2)} ⊆ {a, b, c} × {1, 2, 3}
Solución:
a) Es invertible
b) No es invertible, pues no es inyectiva ni sobreyectiva.
c) No es invertible, pues no es inyectiva ni sobreyectiva.
4. Considere los conjuntos M = {Isabel, Carmen, Pilar} y H = {Juan, Pedro, Tomas}.
Defina todas las posibles funciones f: M → H que asocian a cada nombre de mujer en M un
nombre de hombre en H.
Solución:
Existe un total de seis funciones distintas que pueden relacionar a M con H.
RESUMEN
En la presente sección se revisa el concepto de relación y función, definiéndose algunos
importantes conceptos, como gráfica, gráfica funcional, conjunto de partida, etc. Se insiste
en que una función y el valor que asume una función son dos cosas totalmente distintas.
Además se observa que una función es en realidad algo mucho más complejo que una
simple fórmula, tal como se acostumbra a observar.
Por último se establece la terminología básica, como los conceptos de dominio, recorrido,
codominio, imagen, preimagen, inyectividad, sobreyectividad y biyectividad. Con el
concepto de biyectividad se configura un criterio para determinar si una función es
invertible o no.
AUTOEVALUACION
Determine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones.
1. G = {(a, 1), (a, 2), (b, 4), (c, 5)} ⊆ {a, b, c} × {1, 2, 3, 4, 5} es una función.
2. G = {(a, 1), (b, 1), (c, 1)} ⊆ {a, b, c} × {1, 2, 3, 4, 5} no es una función.
3. G = {(a, 3), (b, 3)} ⊆ {a, b, c} × {1, 2, 3, 4, 5} no es una función.
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4. La función F = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} ⊆ {1, 2, 3} × {1, 2, 3} es invertible.
5. La función F = {(1, 1), (2, 2), (3, 2)} ⊆ {1, 2, 3} × {1, 2} es invertible.
6. La función F = {(1,4), (2, 3), (3, 1)} ⊆ {1, 2, 3} × {1, 2, 3, 4} es invertible.
RESPUESTAS
1. Falso.
2. Falso.
3. Verdadero.
4. Verdadero
5. Falso
6. Falso
GLOSARIO
Biyectividad: Funciones inyectivas y sobreyectiva.
Codominio: Conjunto de llegada de una función.
Conjunto: colección de objetos bien determinados y diferenciados que conforman una
totalidad.
Conjunto de partida: conjunto correspondiente a las primeras componentes de una relación.
Conjunto de llegada: conjunto correspondiente a las segundas componentes de una relación.
Dominio: Conjunto de partida de una función.
Elemento: objeto que pertenece a un conjunto.
Función: subconjunto especial de un producto cartesiano.
Función inversa: Función que relaciona el conjunto de llegada con el de partida de una
función biyectiva.
Imagen: Elemento en el codominio de una función asociado a un elemento particular en el
dominio.
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Inyectividad: Propiedad que establece que cada imagen tiene asociada a lo más una única
preimagen.
Número real: Número que puede ser natural, entero, fraccionario o irracional.
Par ordenado: elemento de un producto cartesiano, se llama par porque consta de dos
elementos provenientes de conjuntos distintos, pero que se discriminan en su orden.
Preimagen: Elemento en el dominio de una función asociado a un elemento en el
codominio.
Producto cartesiano: operación entre dos conjuntos que consiste en asociar todos los
elementos del primer conjunto con los elementos del segundo, formando un conjunto de
pares ordenados.
Recorrido: Conjunto de imágenes del dominio.
Relación binaria: Relación entre dos conjuntos.
Sobreyectividad: Propiedad que establece que el recorrido de una función es igual al
codominio.
Subconjunto: conjunto cuyos elementos forman parte de otro conjunto.
Terna: conjunto con tres elementos.
SIMBOLOS
× : producto cruz entre conjuntos.
⊆ : subconjunto.
= : igual que.
∨ : o
⇒ : implica.
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⇔ : si y sólo si.
π : número pi, 3.14159….
∈ : pertenece
R : relación
f(x), g(x) : funciones
f-1 : función inversa.
Dom(f): Dominio de la función f.
Rec(f) : Recorrido de la función f.
Codom(f) : Codominio de la función f.
∀ : Para todo.
∉ : No pertenece.
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I.1.2. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL
La presentación teórica de los conceptos de relación y función se concretiza en lo que se
conoce como funciones reales. Por ejemplo, cuando observamos un gráfico que nos
muestra la evolución en el tiempo de algún índice económico o un parámetro ambiental,
estamos normalmente en presencia de una función. Para fijar ideas consideremos el gráficosiguiente, que nos muestra la variación del precio del dólar en moneda nacional desde enero
de 1999 a agosto del 2000.
Este tipo de gráficos, que normalmente los encontramos en las secciones económicas de los
periódicos, corresponden a la correspondencia entre una variable independiente, en el
presente caso el tiempo, con otra variable dependiente, el precio del dólar. La
correspondencia entre estas dos variables es una función (efectivamente, pues en un mismo
instante de tiempo no pueden haber dos precios diferentes del dólar). El dominio de la
función corresponde a la variación temporal, mientras que el codominio corresponde a los
valores en pesos.
En la presente sección definiremos formalmente lo que se entiende por una función real yrevisaremos algo de la terminología específica que necesitamos para trabajar con ellas. En
lo que sigue nos preocuparemos de cómo se pueden graficar e interpretar estos objetos
matemáticos y en lo que resta del curso entregaremos una batería de herramientas que nos
habilitaran para estudiar y sacar información provechosa de estos.
Una función real de una variable real es una función de ℝ en ℝ o de un subconjunto de
ℝ en ℝ. Si D ⊆ ℝ, escribimos
f: D ⊆ ℝ → ℝyxfx =)(a
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Para indicar que f es una función con dominio D contenido en el conjunto de los números
reales y codominio también en los reales y que a cada x ∈ D, se le asigna una imagen f(x)
= y.
Se debe observar especialmente la sutileza de la notación. Cuando escribimos f: D → ℝ,
estamos indicando que f asigna a todos los elementos de D, el dominio, algún elemento en
ℝ, el codominio. En cambio, cuando escribimos yxfx =)(a , estamos designando que a
un elemento específico y genérico del dominio, en este caso x, le asignamos su imagenf(x), que corresponde a y.
EJEMPLO I.1.2.1.
Considere la función:
f: ℝ → ℝ2)( xxfx =a
Esta función, llamada usualmente cuadrática, pues a cada elemento del dominio le asigna el
cuadrado de su valor, es tal que:
• El dominio de la función f, dom(f) = ℝ
• El codominio de la función f, codom(f) = ℝ
• El recorrido de f, rec(f) = {y ∈ ℝ : (∃ x ∈ ℝ)(f(x) = y)} = {y ∈ ℝ : (∃ x ∈ ℝ)(x2 =
y)} = {y ∈ ℝ : y ≥ 0} = [0, +∞ [
En una sección posterior estudiaremos con detención el tema de cómo representar
gráficamente una función, pero mostramos a continuación el aspecto que tendría ésta en
particular. Ud. no tiene que preocuparse ahora de cómo realizamos este bosquejo.
EJEMPLO I.1.2.2.
f: ℝ → ℝ,
cxfx =)(a , c constante
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Esta función se conoce como función constante, pues a todos los elementos del conjunto de
los números reales le asocia el mismo valor c. Se puede observar que para esta función, se
tiene lo siguiente:
• dom(f) = ℝ
• codom(f) = ℝ
• rec(f) = {c}
El caso particular de la función f: ℝ → ℝ, 0)( =xfxa , se conoce como función nula. A
continuación mostramos el bosquejo de una función constante.
EJEMPLO I.1.2.3.
La función que presentamos a continuación, se conoce como identidad, pues a cada
elemento del dominio, le asigna como imagen el mismo elemento.
f: ℝ → ℝ,
x a f(x) = x
• El dominio de f, dom(f) = ℝ
• El codomino de f, codom(f) = ℝ
• El recorrido de f, rec(f) = ℝEl aspecto de esta función se presenta a continuación, corresponde a una línea recta que
divide el plano.
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EJEMPLO I.1.2.4.
El caso general de las funciones lineales se presenta a continuación (una función constante,
una función nula y una función idéntica son casos especiales de una lineal).
f: ℝ → ℝx a f(x) = ax + b, a y b constantes.
• El dominio de f, dom(f) = ℝ
• El codomino de f, codom(f) = ℝ
• El recorrido de f, rec(f) = {y ∈ ℝ : (∃ x ∈ℝ)(y = f(x))} = {y ∈ ℝ : (∃ x ∈ ℝ)(y = ax
+ b)} = {y ∈ ℝ : (∃ x ∈ ℝ)((y – b) / a = x, a ≠ 0)} = ℝ, si a ≠ 0.
En el caso de que a = 0, la función f es la función constante y rec(f) = {b}
Se debe observar que para determinar el recorrido, se ha despejado la preimagen en función
de la imagen, para determinar si existe alguna contradicción que obligue a restringir el
recorrido.
Existen muchas otras funciones a parte de las lineales, a continuación se muestran como
ejemplo dos de ellas.
EJEMPLO I.1.2.5.
f: [0, +∞ [ → ℝ,
xxfx =)(a
Esta función no lineal, corresponde a la raíz cuadrada, tiene como dominio el conjunto de
los números reales positivos. La imagen debe restringirse a las raíces positivas, pues de otra
manera no sería función.
• El dominio de f, dom(f) = [0, +∞ [
• El codomino de f, codom(f) = ℝ
• El recorrido de f, rec(f) = {y ∈ ℝ : (∃ x ∈ℝ)(y = f(x))}= {y ∈ ℝ: (∃ x ∈ ℝ)(y = x )}
= {y ∈ ℝ : (∃ x ∈ ℝ)(y2 = x, y ≥ 0)} = [0, +∞ [
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EJEMPLO I.1.2.6.
f: ℝ - {-1, 1}→ ℝ
1)( 2 −=xxxfxa
• El dominio de f, dom(f) = ℝ -{-1, 1}. El dominio se ha restringido, de manera que la
imagen tenga sentido, esto es, siga perteneciendo a los números reales.
• El codomino de f, codom(f) = ℝ
• El recorrido de f, rec(f) = {y ∈ ℝ(∃x ∈ℝ)(y = f(x))}={y ∈ ℝ : (∃ x ∈ ℝ)(y = x / (x2-
1)} = {y ∈ ℝ :(∃ x ∈ ℝ)(yx2 – y – x =0)} (ecuación cuadrática con a = y, b = -1 y c = -
y) = {y ∈ ℝ : (∃ x ∈ ℝ)(yy
x2
411 2+±= )} = {y ∈ ℝ : 1 + 4y2 ≥ 0 ∧ 2y ≠ 0} = {y ∈ ℝ
: y ≠ 0} = ℝ -{0}
Después de establecer el dominio, codominio y recorrido de una función con variable real,
vamos a revisar un poco del álgebra de funciones.
Si f y g son dos funciones cualesquiera, se puede definir una nueva función a partir de ellas,
f + g, denominada suma de f y g, mediante la ecuación:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
El dominio de f + g está formado por todos los x para los que tiene sentido f(x) + g(x), es
decir el conjunto de todos los x que pertenecen al dominio de f y al mismo tiempo al
dominio de g. Esto es:
dom(f + g) = dom(f) ∩ dom(g)
De manera análoga se puede definir la diferencia entre dos funciones, f – g, la cual también
tiene como dominio la intersección entre el dominio de f y el dominio de g.
20
EJEMPLO I.1.2.7.
Determine el dominio de la función:
f: D ⊆ℝ → ℝ
21
11)(
++
−=
xxxfxa
Para determinar el dominio de f, consideremos que f corresponde a la suma de dos
funciones, digamos g y h: f(x) = g(x) + h(x), donde g(x) = 1 / (x – 1) y h(x) = 1 / (x + 2).
Como dom(g) = ℝ -{1} y dom(h) = ℝ - {-2}, se tiene que:
dom(f) = dom(g) ∩ dom(h) = ℝ - {-2, 1}
De esta manera, para encontrar el dominio de una función compleja, basta con
descomponerla en sumas de funciones y determinar el dominio de cada elemento. El
dominio será la intersección entre todos los conjuntos encontrados. En realidad cuando
aparezca cualquier combinación de funciones por medio de operaciones algebraicas se
puede realizar una descomposición.
Si f es una función y c un número real fijo y arbitrario, (cf) es también una función,
definida por:
(cf)(x) = c f(x)
El dominio de cf es igual al dominio de f, así dom(cf) = dom(f).
La multiplicación entre la función f y la función g, queda definida por medio de la formula
siguiente:
fg(x) = f(x) g(x)
En las actividades se propone al lector determinar el dominio de la multiplicación de
funciones.
Algunos hechos acerca de la suma y producto de funciones, son consecuencias inmediatas
de hechos acerca de sumas y productos de números. Por ejemplo, es muy fácil demostrar
que:
(f + g) + h = f + (g + h)
Por último, el cuociente de funciones queda
)()()(xgxfx
gf
=
donde el dominio de (f /g) queda dado por la expresión siguiente:
dom(f/g) = dom(f) ∩ dom(g) – {x ∈ ℝ; g(x) = 0}
21
EJEMPLO I.1.2.8.
Determine el dominio de la función
f: ℝ → ℝ
xxxfx−−
=4
2)(a
Sean g(x) = 2−x y h(x) = x−4 . Claramente f = (h/g), y se tiene que dom(g) = [2, +∞
[, mientras que dom(h) = ]-∞, 4]. De esta manera dom(f) = dom(h) ∩ dom(g) – {x ∈ ℝ: x =
0} = [2, +∞ [ ∩ ]-∞, 4] – {4} = [2, 4[
ACTIVIDAD I.1.2.9.
1. Determine cual de las siguientes gráficas corresponde al de una función.
Solución:
a), d) y e) son funciones, mientras que b) y c) no lo son.
2. Determine el dominio de las siguientes funciones:
a)
f: D ⊆ℝ → ℝ
12)(
−+
=xxxfxa
Solución:
dom(f)={x ∈ ℝ: f(x) ∈ ℝ} = {x ∈ ℝ: x – 1 ≠ 0} = ℝ - {0}
b)
f: D ⊆ℝ → ℝ
xxxxfx−+
= 3
2)(a
Solución:
dom(f) = {x ∈ ℝ : f(x) ∈ ℝ} = {x ∈ ℝ : x3 – x ≠ 0} = {x ∈ ℝ : x(x2 – 1) ≠ 0} = {x ∈ ℝ:
x(x – 1)(x + 1) ≠ 0} = {x ∈ ℝ : x ≠ 0 ∨ x ≠ 1 ∨ x ≠ -1}
22
c)
f: D ⊆ ℝ → ℝ
451)( 2 ++
=xx
xfxa
Solución.
dom(f) = {x ∈ ℝ : f(x) ∈ ℝ} = {x ∈ ℝ : x2 + 5x + 4 > 0} = {x ∈ ℝ : (x +4)(x + 1) > 0} =
{x ∈ ℝ : (x + 4 > 0 ∧ x + 1 > 0) ∨ (x + 4 < 0 ∧ x + 1 < 0)} = {x ∈ ℝ : (x > - 4 ∧ x > -1) ∨
(x < - 4 ∧ x < - 4)} = {x ∈ ℝ : x > - 1 ∨ x < - 4} = ]-∞, -4[ ∪ ]-1, + ∞[ = ℝ - [-4, -1]
d)
f: D ⊆ ℝ → ℝ
31)( 2 +
=x
xfxa
Solución:
dom(f) = {x ∈ ℝ : f(x) ∈ ℝ} = {x ∈ ℝ : x2 + 3 ≠ 0} = ℝe)
f: D ⊆ ℝ → ℝ
)3()( 3 xxxfx −=a
Solución:
dom(f) = {x ∈ ℝ : f(x) ∈ ℝ} = {x ∈ ℝ : x3(3 – x) ≥ 0} = {x ∈ ℝ : (x > 0 ∧ 3 – x > 0) ∨ (x
< 0 ∧ 3 – x < 0)} ={x ∈ ℝ : (x > 0 ∧ 3 > x) ∨ (x < 0 ∧ 3 < x)} = {x ∈ ℝ : x ∈ ]0, 3[ ∨ F} =
{x ∈ ℝ : x ∈ ]0, 3[} = ]0, 3[
3. Determine dominio y recorrido de las siguientes funciones
a)
f: ] -∞, - 3[ → ℝ
31)(+
=x
xfxa
Solución:
dom(f) = ] -∞, - 3[
ref(f) = {y ∈ ℝ : (∃ x ∈ ℝ)(y = f(x)} = {y ∈ ℝ : (∃ x ∈ ℝ)(y = 1 / (x + 3) ∧ x < - 3)} = {y
∈ ℝ : (∃ x ∈ ℝ)(yx +3y = 1) ∧ x < - 3} = {y ∈ ℝ : (∃ x ∈ ℝ)(x = (1 – 3y) / y) ∧ x < - 3} =
{y ∈ ℝ : y ≠ 0 ∧ (1 – 3y) / y < - 3} = {y ∈ ℝ : (1 – 3y < -3y ∧ y > 0) ∨ (1 – 3y > -3y ∧ y <
0)} = {y ∈ ℝ : (1 < 0 ∧ y > 0) ∨ (1 > 0 ∧ (y < 0)} = {y ∈ ℝ : F ∨ y < 0} = ]- ∞, 0 [
23
b)
f: D ⊆ ℝ → ℝ
31)(+
=x
xfxa
Solución:
dom(f) = {x ∈ ℝ : f(x) ∈ ℝ} = {x ∈ ℝ: x + 3 ≠ 0} = ℝ - {-3}
ref(f) = {y ∈ ℝ : (∃ x ∈ ℝ)(y = f(x)} = {y ∈ ℝ : (∃ x ∈ ℝ)(y = 1 / (x + 3)} = {y ∈ ℝ : (∃ x
∈ ℝ)(yx +3y = 1)} = {y ∈ ℝ : (∃ x ∈ ℝ)(x = (1 – 3y) / y)} = {y ∈ ℝ : y ≠ 0} = ℝ - {0}
c)
f: ] -∞, - 3[ → ℝ
31)(+
=x
xfxa
Solución:
dom(f) = ] -∞, - 3[
ref(f) = {y ∈ ℝ : (∃ x < - 3)(y = f(x)} = {y ∈ ℝ : (∃ x < - 3)(y = 1 / (x + 3)} = {y ∈ ℝ : (∃
x < - 3)(yx +3y = 1)} = {y ∈ ℝ : (∃ x < - 3)(x = (1 – 3y) / y)} = {y ∈ ℝ : (1 – 3y) / y < -3}
= {y ∈ ℝ : (1 – 3y < - 3y ∧ y > 0) ∨ ( 1- 3y > - 3y ∧ y < 0)} = {y ∈ ℝ : (1 < 0 ∧ y > 0) ∨ (
1 > 0 ∧ y < 0)} = {y ∈ ℝ : (F ∨ y < 0)} = ] - ∞, 0[
4. Determine el dominio de la multiplicación entre funciones.
Solución:
f:ℝ → ℝf(x) = (gh)(x) = g(x) h(x)
dom(f) = dom(g) ∩dom(h)
5. Determine la función neutro aditivo
Solución:
ϑ: ℝ → ℝ
ϑ(x) = 0
6. Determine la función inverso aditivo de una función f en particular.
Solución:
(-f): ℝ → ℝ(-f)(x) = -f(x)
24
EJERCICIOS I.1.2.10
1. Determine el dominio de las siguientes funciones:
a)
f: D ⊆ ℝ → ℝ
32)(
−−
=xxxfxa
b)
f: D ⊆ ℝ → ℝ
xxxxxfx−++
= 2
2 1)(a
c)
f: D ⊆ ℝ → ℝ
11)( 2
2
−++
=xxxxfxa
d)
f: D ⊆ ℝ → ℝ
xxxxxfx−++
=3
2 1)(a
e)
f: D ⊆ ℝ → ℝ
11)(
3
2
−++
=xxxxfxa
f)
f: ℝ → ℝ
1)( 2 ++= xxxfxa
g)
f: ℝ → ℝ
1)(
2
2
+=xxxfxa
h)
f: ℝ → ℝ
132)( 2 +−= xxxfxa
25
2. Determine dominio y recorrido de las siguientes funciones
a)
f: D ⊆ ℝ→ℝ
1)( 2 −= xxf
b)
f: D ⊆ ℝ→ℝ
3)(
−=xxxf
c)
f: D ⊆ ℝ→ℝf(x) = x2 / (x - 3)
3. Determine la función neutro multiplicativo
4. Determine el dominio de las siguientes funciones. Realice una descomposición
algebraica para simplificar.
a)
f: D ⊆ ℝ→ℝ21)( xxf −=
b)
f: D ⊆ ℝ →ℝ
21)( −+−= xxxf
c)
f: D ⊆ ℝ → ℝ
11)( 22 −+−= xxxf
RESPUESTAS
1.
a) dom(f) = ℝ - {3}
b) dom(f) = ℝ - {0, 1}
c) dom(f) = ℝ - {-1, 1}
d) dom(f) = ℝ - {-1, 0, 1}
e) dom(f) = ℝ - {1}
f) dom(f) = ℝ
26
g) dom(f) = ℝ
h) dom(f) = ℝ2.
a) dom(f) = ℝ - ]-1, 1[, rec(f) = [0, +∞[
b) dom(f) = ℝ - {3}, rec(f) = ℝ - {1}
c) dom(f) = ℝ - {3}, rec(f) = ]-∞, 0] ∪ [12, + ∞[
3. La función I: ℝ → ℝ, I(x) = 1 es el neutro multiplicativo.
4.
a) dom(f) = [-1, 1]
b) dom(f) = ∅
c) dom(f) = {-1, 1}
RESUMEN
En esta sección se particulariza el concepto de función a aquellas funciones con dominio y
codominio correspondientes a subconjuntos de los números reales. Se revisan técnicas para
determinar el dominio y recorrido de este tipo de funciones y se establece un álgebra para
operar con funciones de variable real. El álgebra establecida también es utilizada como una
técnica de ayuda en la determinación de dominios de funciones complejas.
AUTOEVALUACION
Determine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
1. Una función inyectiva es una función que asocia a cada preimagen a lo sumo una
imagen.
2. Una función es una relación que asocia a cada preimagen a lo sumo una imagen.
3. Una función inyectiva es una función que asocia a cada imagen a lo sumo una
preimagen.
4. Si una función es inyectiva, entonces su relación inversa es función.
5. La suma de dos funciones inyectivas, también es inyectiva.
6. Una función real tiene a su dominio y codominio como subconjuntos de números reales.
7. El recorrido de una función real es ℝ8. Toda función real tiene un inverso aditivo.
9. La mutiplicación de funciones es conmutativa.
10. El cuociente de funciones no es conmutativo
27
RESPUESTAS
1. Falso
2. Verdadero
3. Verdadero
4. Verdadero
5. Falso
6. Verdadero
7. Falso
8. Verdadero
9. Verdadero
10. Falso
GLOSARIO
Codominio: Conjunto de llegada de una función.
Conjunto: Colección de elementos perfectamente distinguibles entre si.
Dominio: Conjunto de partida de una función.
Función: Relación que asocia a cada imagen a lo más una preimagen.
Función real: Función con dominio y codominio subconjuntos de números reales.
Gráfico: Representación en el plano de una función o relaicón.
Imagen: Elemento en el codominio de una función asociado a un elemento particular en el
dominio.
Número real: Número que puede ser natural, entero, fraccionario o irracional.
Recorrido: Subconjunto de todas las imágenes del dominio de una función.
Relación: Subconjunto de un producto cartesiano.
Subconjunto: Conjunto cuyos elementos forman parte de otro conjunto.
28
Variable dependiente: Codomino de una función.
Variable independiente: Domino de una función.
Variable real: Número real
SIMBOLOS
Rec(f) : Recorrido de f
Dom(f) : Dominio de f
Codom(f) : Codominio de f.
ℝ : Conjunto de los números reales
→ : Relación entre conjuntos
∧ : y
∨ : o
∈ : pertenece
+∞ : infinito positivo (el número real más grande).
-∞ : infinito negativo (el número real más pequeño).
∃ : existe
f(x) : imagen de x por f
= : igual que
+ : suma
29
- : resta
x : raíz cuadrada
x2 : potencia
≠ : distinto que
> : menor que
< : mayor que
⊆ : subconjunto
≥ : mayor o igual que
30
I.1.3. FUNCION COMPUESTA Y FUNCION INVERSA
Una de las principales ventajas de trabajar con la notación de funciones es que nos
permiten atomizar y discretizar las grandes fórmulas de trabajo en secuencias de funcionessimples, para lograr esta separación se requiere del concepto de composición de funciones.
Si f y g son dos funciones tales que rec(f) ⊆ dom(g), entonces se puede definir la función
compuesta g o f : dom(f) → codom(g), que se define de la siguiente forma:
(g o f)(x) = g(f(x))
y se llama función compuesta entre f y g (se debe observar la inversión en la notación).
En particular, si f: A → B y g: B → C, entonces g o f: A → C y se tiene el siguiente
esquema de relación entre las funciones:
EJEMPLO I.1.3.1.
Considere la función
f: D ⊆ ℝ → ℝ211)( xxf −−=
Claramente podemos descomponer esta función en dos elementos bien distintos:
xxg −= 1)( y 21)( xxh −= , con lo que podemos escribir f = g o h y estudiar las
propiedades de f, analizando g y h por separado.
En general, se debe observar que la composición de funciones no es conmutativa, esto es,
que en general g o f ≠ f o g.
EJEMPLO I.1.3.2.
Considere las funciones
f: ℝ → ℝx a f(x) = 2x -1
g: ℝ → ℝ
31
x a g(x) = x2
Entonces:
(g o f) (x) = g(f(x)) = g(2x – 1) = (2x –1)2 = 4x2 – 4x +1
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(x2) = 2x2 - 1
Se debe observar que la composición de funciones es asociativa, esto es, que dado tres
funciones, f, g, y h, se tiene que:
(f o g) o h = f o (g o h)
siempre que los dominios y recorridos de las funciones sean coherentes con la
composición. Esto es, rec(h) ⊆ dom(g) y rec(g) ⊆ dom(f).
Sean D y C ⊆ ℝ, dos subconjuntos no vacíos de números reales, y f una función de D en
C, f : D ⊆ ℝ → C. Entonces llamaremos función inversa de f, que designaremos por f-1, si
existe, a la función f-1: C → D.
Dada f : D →C, es necesario y suficiente para que f-1: C → D exista que f sea biyeccción,
esto es, que f sea función inyectiva y sobreyectiva.
En efecto, si f no es sobreyectiva, entonces existe un y ∈ C que no tiene preimagen x ∈
D; por lo tanto no puede existir la función f-1 que de acuerdo a su definición debe tener
dom(f-1) = C.
Por otro lado, si f no es inyectiva existe algún elemento y ∈ rec(f) que es imagen de más
de un x ∈ dom(f) = D; por lo tanto tampoco existe f-1, como función, ya que a dicho y ∈
rec(f) le correspondería más de una imagen bajo f-1. En tal caso f-1 sólo sería una relación.
En resumen, si f: D → C, y = f(x) es una función, entonces la inversa de f, f-1: rec(f) → D,
es en general una relación, y llega a ser función cuando f es biyectiva. Si f es biyectiva y
por lo tanto f-1 es función, se tiene que f-1 también es biyectiva.
Se verifica que:
dom(f-1) = rec(f) = C
rec(f-1) = dom(f) = D
f(f-1(y)) = y , y ∈ rec(f)
f-1(f(x)) = x, x ∈ dom(f)
32
Las dos últimas expresiones nos dicen que la composición entre una función f y su inversa
f-1, corresponde a la función identidad.
EJEMPLO I.1.3.3.
f: ℝ → ℝf(x) = x3
La función f es inyectiva y sobreyectiva. En efecto, para probar la inyectividad tomamos
dos preimagenes, digamos x e y, y verificamos si al suponer que sus imágenes son iguales
implica o no que los elementos considerados son iguales o no. Si resulta que deben ser
iguales, entonces la función es inyectiva. En otro caso la función no es inyectiva.
f(x) = f(y) ⇒ x3 = y3
⇒ x = y
Así f es inyectiva. Además como rec(f) = ℝ = codom(f), f es sobreyectiva. Para definir la
función inversa, debemos despejar la preimagen en términos de la imagen: como y=x3,
entonces x = 3 y , así la función inversa es:
f-1:ℝ → ℝ
f-1(x) = 3 x
EJEMPLO I.1.3.4.
f: ℝ → {-1, 1}
∉−∈
=racionalesxracionalesx
xf1
1)(
Entonces, f es sobreyectiva, pero no es uno a uno. En consecuencia, f-1 no existe en este
caso.
EJEMPLO I.1.3.5.
f: ℝ -{3} → ℝ - {1}
f(x) = (x – 2) / (x – 3)
Esta función es inyectiva y sobreyectiva. En efecto, supongamos que f(x) = f(y), se tiene
entonces que:
f(x) = f(x) ⇒ (x – 2) / (x – 3) = (y – 2) / (y – 3)
⇒ (x – 2)(y – 3) = (y – 2)(x – 3)
⇒ xy –2y –3x +6 = yx – 2x – 3y + 6
⇒ -2y – 3x = -2x – 3y
⇒ y = x
33
Así, la función f es inyectiva. Determinemos ahora el recorrido de f, para verificar la
sobreyectividad:
rec(f) = {y ∈ ℝ: (∃ x ∈ ℝ, x ≠ 3)(f(x) = y)}
= {y ∈ ℝ: (∃ x ∈ ℝ, x ≠ 3)((x – 2) / (x – 3) = y)}
= {y ∈ ℝ: (∃ x ∈ ℝ, x ≠ 3)(x – 2 = xy – 3y)}
= {y ∈ ℝ: (∃ x ∈ ℝ, x ≠ 3)( x – xy = 2 – 3y)}
= {y ∈ ℝ: (∃ x ∈ ℝ, x ≠ 3)( x(1 – y) = 2 – 3y)}
= {y ∈ ℝ: (∃ x ∈ ℝ, x ≠ 3)(x = (2 – 3y) / (1- y)}
= {y ∈ ℝ: (2 – 3y) / (1 – y) ∈ ℝ ∧ (2 – 3y) / (1 – y) ≠ 3)}
= {y ∈ ℝ: (1 – y ≠ 0) ∧ (2 – 3y ≠ 3 – 3y)}
= {y ∈ ℝ: (y ≠ 1) ∧ (2 ≠ 3)}
= ℝ - {1} = codom(f)
Así, f es también sobreyectiva y por lo tanto es biyectiva, lo que significa que existe su
función inversa. Para definir la función inversa despejamos la preimagen, x, en términos
de la imagen y:
(x – 2) / (x – 3) = y ⇒ x = (2 – 3y) / (1- y)
de donde la función inversa queda definida de la siguiente manera:
f-1: ℝ - {1} → ℝ - {3}
f-1(x) = (2 – 3x) / (1 – x)
ACTIVIDAD I.I.3.6.
1. Considere las funciones reales:
f: ℝ → ℝf(x) = 3x2 + 1
g: ℝ → ℝg(x) = 4x
Determine las funciones compuestas: f o f, f o g, g o f y g o g.
Solución:
(f o f)(x) = f(3x2 + 1) = 3(3x2 + 1)2 + 1 = 27x4 + 18x2 + 4
(f o g)(x) = f(4x) = 3(4x)2 + 1 = 48x2 + 1
(g o f)(x) = g(3x2 + 1) = 12x2 + 4
(g o g)(x) = g(4x) = 16x
2. Considere las siguientes funciones:
34
f(x) = x2
153)( 2
3
+++
=yyyyg
153)( 2
3
−++
=cccch
r(x) =x2 para todo x tal que –17 ≤ x ≤ π /3
∉∈
=racionalesxracionalesx
xs10
)(
====
=
...16/362817/28
17/3625
)(
coexxxx
xπ
ππ
θ
αx(t)=t3 + x
Evalúe la expresión f(r(s(θ(α3(0)))))
Solución:
f(r(s(θ(α3(0))))) = f(r(s(θ(3))))
= f(r(s(16)))
= f(r(1))
= f(1)
= 1
3. Demuestre o dé un contraejemplo de las siguientes proposiciones
a) f o (g + h) = f o g + f o h
b) (g + h) o f = g o f + h o f
c) gfgfo
o
11=
d)
=
gf
gf11
oo
Solución:
a) Sea g(x)= h(x) = 1 y sea f una función talque f(2) ≠ f(1) + f(1) (por ejemplo f(x) = x2),
entonces f o (g + h) ≠ f o g + f o h
b) ((g + h) o f)(x) = (g + h)(f(x)) = g(f(x)) + h(f(x)) = (g o f )(x) + (h o f)(x) = ((g o f + h o
f)(x))
c) )(1))((1))((
1)(1 xgf
xgfxgf
xgf
=== o
o
d) Sea g(x) = 2 y sea f una función para la cual f(1/2) ≠ 1 / f(2). Entonces 1 / (f o g) ≠ f o (1
/ g).
35
4. Considere la función f(x) = x2. Estudie la existencia de una función inversa para esta
función f. Restrinja el dominio y / o codominio para que exista esta función inversa de
ser necesario.
Solución.
Si consideramos que dom(f) = ℝ y codom(f) = ℝ, se tiene que esta función no es ni
inyectiva, ni sobreyectiva.
Para convertir la función f en sobreyectiva, basta con restringir el codominio al recorrido de
la función. Es muy sencillo verificar que rec(f) = [0, +∞[.
Un trabajo más complejo resulta en restringir el dominio para que la función sea inyectiva.
Para ello, se debe observar que la función no es inyectiva, pues:
f(x) = f(y) ⇒ x2 = y2
⇒ x = y ∨ x = - y
La disyunción proviene de que al aplicar la raíz cuadrada a x2, se tiene como soluciones x o
- x. Por lo tanto el dominio debe restringirse o a los reales positivos o bien a los reales
negativos. El lector debe observar que para convertir una función en sobreyectiva se debe
restringir el codominio, en cambio, para convertir una función en inyectiva, se debe
restringir el dominio.
EJERCICIOS I.I.3.7.
1. Considere las funciones reales: f(x) = 2x + 1 y g(x) = (x - 1) / 2. Determine f o f, f o g, g
o f, g o g.
2. Restrinja las siguientes funciones para que sean sobreyectivas:
a)
f: ℝ → ℝx a x2 + 1
b)
f: ℝ → ℝx a 5
c)
f: ℝ → ℝx a 5 - x2
3. Restrinja las siguientes funciones de modo que sean inyectivas.
a)
f: ℝ → ℝ
36
x a - (x - 2)2
b)
f: ℝ → ℝ
x a x2 + 2x
c)
f: ℝ → ℝ
x a 12 +x
4. Verifique si los siguientes pares de funciones son inversas o no.
a) f(x) = 2x + 1, g(x) = (x - 1) / 2
b) f(x) = 2x + 1, g(x) = x - 1/2
c) f(x) = 2x + 1. g(x) = x/2 - 1
d) f(x) = x2 + 1, g(x) = 12 +x
5. Encuentre la inversa de cada una de las siguientes funciones.
a) f(x) = 2x - 1
b) f(x) = x2 + 1
c) f(x) = (x - 1)2
RESPUESTAS
1.
f o f (x) = 4x + 3
f o g(x) = x
g o f(x) = x
g o g(x) = (x - 3) / 4
2.
a) codom(f) = [0, +∞ [
b) codom(f) = {5}
c) codom(f) = ]-∞, 5]
3.
a) dom(f) = [2, +∞ [
b) dom(f) = [-1, + ∞[
c) dom(f) = [0, + ∞[
4.
a) Si
b) No
c) No
37
d) No
5.
a) f-1(x) = (x + 1) / 2
b) f-1(x) = 1−x
c) f-1(x) = x +1
RESUMEN
En la presente sección se define el concepto de composición de funciones, el cual también
es usado como una forma de descomponer expresiones funcionales complejas. Se revisa
además la inversión de funciones reales.
AUTOEVALUACION
Determine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones
1. La composición de funciones es asociativa.
2. La composición de funciones es conmutativa
3. Existe un neutro para la composición.
4. La función inversa es el inverso de la composición.
5. La inversa de la inversa es la función original
6. Al componer una función consigo misma el resultado es la función original, esto es, las
funciones son invariantes frente a la composición.
RESPUESTAS
1. Verdadero
2. Falso
3. Verdadero
4. Verdadero
5. Verdadero
6. Falso
GLOSARIO
Asociatividad: Propiedad que establece que no importa el orden de precedencia en que se
aplica una operación a tres elementos.
Biyectiva: Función inyectiva y sobreyectiva.
38
Conmutatividad: propiedad que establece que no importa el orden de los elementos a los
cuales se aplica una cierta operación.
Dominio: Conjunto de partida de una función.
Función: Relación que asocia a cada imagen a los más una preimagen
Función compuesta: Función formada por la aplicación de una función sobre otra.
Función Identidad: Aquella función que asigna a cada elemento del dominio el mismo
elemento como imagen. Esto es, es imagen de sí misma.
Función Inversa: Función que asocia a cada imagen de una función su correspondiente
preimagen.
Imagen: Elemento del codominio asociado por una función con un elemento específico del
dominio.
Inyectiva: Función que asocia a cada imagen a lo más una única preimagen.
Número real: Número que puede ser natural, entero, fraccionario o irracional.
Preimagen: Elemento del dominio, relacionado por medio de una función con un elemento
particular del codominio.
Recorrido: Conjunto de todas las imágenes del dominio de una función.
Relación: Subconjunto de un producto cartesiano.
Sobreyectiva: propiedad de las funciones que establece que el recorrido de la función es
igual al codominio. Esto significa que todo elemento del codominio es imagen de algún
elemento del dominio.
Subconjunto: Conjunto cuyos elementos forman parte de otro conjunto.
SIMBOLOS
ℝ : Números reales
39
∈ : Pertenece.
∉ : No pertenece.
≠ : Distinto que.
= : Igual que.
+ : Suma.
- : Resta.
f o g : g compuesta con f.
f-1 : inversa de f.
→ : Relación.
⊆ : Sunconjunto.
dom(f) : Dominio de f.
rec(f) : Recorrido de f.
⇒ : Implica.
40
I.1.4. SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES
El sistema de coordenadas rectangulares divide al plano en cuatro cuadrantes por medio
de dos rectas perpendiculares que se cortan en un punto O, denominado origen del
sistema. Una de las rectas se encuentra alineada en forma horizontal y se conoce como eje
x, mientras que la otra recta es vertical y se conoce como eje y.
En la figura se muestra un sistema de coordenadas rectangulares, señalándose el origen
O, los ejes x e y y los cuadrantes. Se debe notar que los cuadrantes son enumerados en
sentido antihorario.
La distancia de un punto al eje y se llama abscisa del punto, mientras que la distancia de un
punto al eje x es la ordenada. La abscisa y la ordenada constituyen las coordenadas de un
punto y se representan por el símbolo (x, y).
41
Las abscisas son positivas cuando el punto está situado a la derecha del eje y, y negativas
en caso contrario. Las ordenadas son positivas cuando el punto está por encima del eje x, y
negativas en caso contrario. En la siguiente figura se muestra el sistema de coordenadasrectangulares con la relación de signos de cada uno de los cuatro cuadrantes en que se
divide el plano.
Se debe observar que los cuadrantes I y II corresponden a ordenadas positivas
(coordenadas del eje y positivas), mientras que los cuadrantes III y IV corresponden a
ordenadas negativas. Por otra parte, los cuadrantes I y IV corresponden a cuadrantes con
las abscisas positivas, mientras que los cuadrantes II y III tienen las abscisas negativas.
Para representar puntos de coordenadas conocidas hay que adoptar una escala adecuada
sobre cada uno de los ejes de coordenadas. Estas escalas pueden ser iguales o distintas para
cada eje. La siguiente figura ilustra un sistema de coordenadas con escalas iguales en cada
uno de sus ejes.
42
Una vez establecido un sistema de coordenadas para el plano real, nos encontramos en
condiciones de poder localizar en el plano: puntos, figuras geométricas, gráficas de
funciones y relaciones, etc.
Un punto en el plano, no es más que un par ordenado, cuya primera componente
corresponde a la abscisa del sistema de coordenadas y la segunda componente a la
ordenada. De esta manera, el punto (x, y) se gráfica en el plano real tal como se ilustra a
continuación:
EJEMPLO I.1.4.1.
Gráficar en el plano real, definiendo un sistema de coordenadas apropiado los siguientes
puntos:
a) P1 = (-2, 3)
b) P2 = (5, 1)
c) P3 = (6, -1)
d) P4 = (-4, -3)
e) P5 = (100, 0.8)
43
Una vez establecido la manera de localizar puntos en el plano real, podemos preocuparnos
de establecer la manera de calcular la distancia entre dos puntos en el plano. Para tal efecto
nos valemos del conocido Teorema de Pitagoras. Este teorema, establecido hace más de 25
siglos, nos dice que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa(lado mayor y opuesto al ángulo de 90 grados) es igual a la suma de los cuadrados de las
longitudes de los catetos de triángulo (los otros dos lados).
De esta manera, la distancia d entre los puntos P1 = (x1, y1) y P2 = (x2, y2) se puede calcular
por medio de la formula:
( ) 212
212 )( yyxxd −+−=
EJEMPLO I.1.4.2.
La distancia entre los puntos P1 = (3, -1) y P2 = (6, 3) es
( ) 52516943)13(36 2222 ==+=+=++−=d
EJEMPLO I.1.4.3.
Muestre que los puntos P1 = (3, 8), P2 = (-11, 3) y P3 = (-8, -2) son los vértices de un
triángulo isósceles, esto es un triángulo con dos lados de la misma longitud. En efecto:
d(P1, P2) = 22125196514)38()113( 2222 =+=+=−++
d(P1, P3) = 2211001211011)28()83( 2222 =+=+=+++
d(P2,P3) = 342595)3()23()811( 2222 =+=+−=+++−
Como d(P1, P2) = d(P1, P3), se tiene que efectivamente el triángulo es isósceles.
44
EJEMPLO I.1.4.4.
Determine un punto que sea equidistante (cuya distancia sea la misma) de los puntos P1 =
(1, 7), P2 = (8, 6) y P3 = (7, -1).
Sea P = (x, y) el punto buscado, planteamos las formulas de distancias entre puntos:
d(P, P1) = 22 )7()1( −+− yx
d(P, P2) = 22 )6()8( −+− yx
d(P, P3) = 22 )1()7( ++− yx
Ahora, igualamos estas distancia de dos en dos, para formular ecuaciones que nos permitan
encontrar el punto buscado.
d(P, P1) = d(P, P2) ⇒ 22 )7()1( −+− yx = 22 )6()8( −+− yx
⇒ (x - 1)2 + (y - 7)2 = (x - 8)2 + (y - 6)2
⇒ x2 - 2x + 1 + y2 - 14y + 49 = x2 - 16x + 64 + y2 - 12y + 36
⇒ - 2x - 14y + 50 = - 16x - 12y + 100
⇒ 14x - 2y - 50 = 0
⇒ 7x - y - 25 = 0 (ecuación 1)
d(P, P1) = d(P,P3) ⇒ 22 )7()1( −+− yx = 22 )1()7( ++− yx
⇒ (x - 1)2 + (y - 7)2 = (x - 7)2 + (y + 1)2
⇒ x2 - 2x + 1 + y2 - 14y + 49 = x2 - 14x + 49 + y2 + 2y + 1
⇒ - 2x - 14y + 50 = - 14x + 2y + 50
⇒ 12x - 16y = 0
⇒ 3x - 4y = 0 (ecuación 2)
En este punto, se debe observar que d(P, P2) = d(P, P2) es una ecuación superflua por la
transitividad de la relación de igualdad, por lo que no es necesario plantearla.
Ahora, de la ecuación 1, se tiene que y = 25 - 7x, lo que al reemplazarse en la ecuación 2,
nos da:
3x - 4(25 - 7x) = 0 ⇒ 3x - 100 + 28x = 0
⇒ 31x = 100
⇒ x = 100/31
De donde y = 25 - 700/31 = 75/31. Así el punto equidistante de P1, P2, y P3, es P = (100 /
31, 75 / 31).
45
Como ayuda para graficar y localizar puntos en el plano es conveniente utilizar papeles
especiales como las hojas milimetradas, que tienen predibujados cuadraditos de lado un
centímetro y de un milímetro.
Si no se quiere una representación tan exacta, basta con la utilización de una hoja de
cuaderno de matemáticas, las cuales también tienen predibujados cuadraditos que pueden
ser utilizados para localizar puntos en el plano.
ACTIVIDAD I.1.4.5.
1. Defina un sistema de coordenadas apropiado para graficar los siguientes puntos en el
plano real:
a) P1 = (-4, 0)
b) P2 = (4, 0)
c) P3 = (6, -2)
d) P4 = (-6, -2)
e) P5 = (-2, 6)
f) P6 = (2, -6)
g) P7 = (6, 2)
h) P8 = (-6, 2)
i) P9 = (2, 6)
46
j) P10 = (-2, -6)
k) P11 = (0, 4)
l) P12 = (0, -4)
Solución:
2. Indique las abscisas y ordenadas de los puntos A, B, C, D, E y F mostrados en la figura.
Solución:
a) A = (3, 4)
b) B = (-3, 3)
c) C = (-4, -4)
d) D = (6, -5)
e) F = (4, 0)
3. Indique en que cuadrantes se encuentran los siguientes puntos.
a) (-6, 1)
b) (1, 2)
c) (-4, -4)
d) (6, -3)
47
Solución:
a) Cuadrante II
b) Cuadrante I
c) Cuadrante III
d) Cuadrante IV
4. Cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo mostrado en la figura. Calcule
la longitud de sus lados.
Solución:
A = (-3, 2)
B = (4, 4)
C = (1, -4)
5. Dibuje el rectángulo cuyos vértices son (6, 3), (6, -4), (-4, 3), (-4, -4)
Solución:
6. Un mapa o una carta geográfica es también un sistema de coordenadas, no
necesariamente rectangular, que es utilizado para localizar puntos en el plano. El
siguiente plano muestra el Golfo de Arauco, en la Región del Bio -Bio. En él se aprecia
48
que la Isla Santa María se encuentra localizada en los (37°01'S, 73°30'W), pues para
localizar referencias geográficas siempre se indica primero la posición norte - sur y
después la posición este - oeste. Se pide que el lector localice las coordenadas
geográficas de las ciudades de Lota, Coronel y la desembocadura del río Bio - Bio.
Solución:
Lota = (37°05'S; 73°10'W)
Coronel = (37°01'S; 73°10'W)
Desembocadura = (36°50'S; 73°10'W)
EJERCICIOS I.1.4.6.
1. Localice los siguientes puntos en el plano real, únalos y calcule el perímetro de la figura
resultante.
a) P1 = (0, 3)
b) P2 = (0, 3)
c) P3 = (6, 2)
d) P4 = (3, 5)
e) P5 = (0, 3)
2. Localice los siguientes puntos en el plano real, únalos y calcule el perímetro de la figura
resultante.
a) P1 = (0, -2)
b) P2 = (3, -4)
c) P3 = (2, -1)
d) P4 = (4, 0)
e) P5 = (1, 1)
49
f) P6 = (0, 3)
g) P7 = (-1, 1)
h) P8 = (-4, 0)
i) P9 = (-2, -1)
j) P10 = (-3, -4)
k) P12 = (0, -2)
3. Localice los siguientes puntos en el plano real, únalos y calcule el perímetro de la figura
resultante.
a) P1 = (0, 0)
b) P2 = (1, 0)
c) P3 = (1, 3)
d) P4 = (3,3)
e) P5 = (3, 0)
f) P6 = (4, 0)
g) P7 = (4, 7)
h) P8 = (3, 7)
i) P9 = (3, 4)
j) P10 = (1, 4)
k) P11 = (1, 7)
l) P12 = (0, 7)
m) P13 = (0, 0)
4. Calcule la distancia entre los siguientes puntos del plano real.
a) (5, 3) y (-3, 5)
b) (1, 1) y (-1, 1)
c) (0, 1) y (0, 2)
d) (1, 2) y (3, 4)
5. Muestre que los puntos (7, 5), (2, 3) y (6, -7), corresponden a los vértices de un
triángulo rectángulo.
RESPUESTAS
1.
50
2.
3.
4.
a) d = 2 17
b) d = 2
d) d = 1
e) d = 2 2
5.
La longitud de los lados del triángulo son:
d1 = 29
d2 = 116
d3 = 145
Así d12 + d22 = d32, lo que implica que el triángulo es rectángulo por que se cumple el
Teorema de Pitagoras.
RESUMEN
En la presente sección se establece el concepto de coordenadas rectangulares como sistema
de localización de punto en el plano real. Con ayuda de este sistema y el Teorema de
Pitagoras, se define un algoritmo que permite calcular la distancia entre dos puntos
localizados en el plano.
51
AUTOEVALUACION
1. La abscisa y la ordenada de un punto, definen univocamente la posición en el plano.
2. En un sistema de coordenadas rectangulares, los ejes x e y al intersectarse, no
necesariamente deben forman un ángulo de 90°.
3. La distancia entre dos puntos puede tener dos valores, uno positivo y otro negativo.
4. Las coordenadas de un punto definen sin error la posición de éste en el plano, pero a
partir de un punto en el plano no es posible encontrar las coordenadas de su posición,
aún cuando se defina el sistema de coordenadas.
5. Los valores de las coordenadas que marcan la posición de un punto en el plano,
dependen del sistema de coordenadas elegido.
RESPUESTAS
1. Verdadero
2. Falso.
3. Falso.
4. Falso.
5. Verdadero.
GLOSARIO
Abscisa : Distancia de un punto al eje y.
Cateto: Lado de un triángulo.
Coordenadas rectangulares: Sistema que divide al plano en cuatro cuadrantes por medio de
la intersección de dos ejes en un origen, formando un ángulo recto.
Función: Relación que asocia a cada imagen una única preimagen.
Hipotenusa: Lado mayor de un triángulo rectángulo. Coincide en el lado que es opuesto al
ángulo recto.
Ordenada: Distancia de un punto al eje x.
Plano real: Producto cartesiano de ℝ consigo mismo.
52
Punto: Localización en el plano. Esta figura geométrica no tiene tamaño, ni longitud, ni
color, ni olor, etc. Sólo posee el atributo de posición.
Rectas Perpendiculares: Aquellas rectas que al intersectarse forman un ángulo de 90°.
Relación: Subconjunto de un producto cartesiano.
Sentido Antihorario: Recorrido circular realizado en contra de las manecillas de un reloj.
Vértice : Esquina de una figura geométrica.
SIMBOLOS
+ : Suma
- : Resta
(x, y) : Punto en el plano real.
x : Raíz cuadrada de x.
x2 : Cuadrado de x.
d(P;Q) : Distancia entre los puntos P y Q.
53
I.1.5. ELEMENTOS DE GEOMETRIA ANALITICA
Una vez establecido el sistema de coordenadas rectangulares o sistema cartesiano,
podemos utilizar la idea de localización de un punto en el espacio y el cálculo de la
distancia entre dos puntos para establecer la construcción de diversos lugares geométricosen particular y relaciones y funciones en general.
Fue Renato Descartes (1596 – 1659) que en el año 1637 estableció en su obra “Geometría”
la idea de fundir el álgebra del siglo XVII con el análisis geométrico, naciendo así la
geometría analítica.
Los dos problemas fundamentales de la geometría analítica son: (a) dada una ecuación,
hallar el lugar geométrico que representa; y (b), dado un lugar geométrico definido por
determinadas condiciones, hallar su ecuación matemática.
Entendemos por lugar geométrico de una ecuación de dos variables, una línea, recta o
curva, que contiene todos los puntos (y sólo ellos), cuyas coordenadas satisfacen la
ecuación dada.
EJEMPLO I.1.5.1.
Dada la ecuación 9x2 + 16y2 = 144, encontrar el lugar geométrico que representa. Para
ello, partimos despejando y en función de x:
9x2 + 16y2 = 144 ⇒ x2 / 16 + y2 / 9 = 1
⇒ y = ± 3 16
12x
−
Ahora que tenemos una formula que nos permite calcular y en términos de x, es posible
formar una tabla de valores:
x y1 y2 x y1 y2
0 +3 -3 0 +3 -3
1 +2.90 -2.90 -1 +2.90 -2.90
2 +2.60 -2.60 -2 +2.60 -2.60
3 +1.98 -1.98 -3 +1.98 -1.98
4 0 0 -4 0 0
Una vez formada esta tabla de valores, es posible localizar los puntos en el plano real,
estableciendo un sistema de coordenadas rectangulares apropiado.
54
Por último unimos los puntos por medio de una curva. Aquí el lector debe observar que
estamos realizando un proceso de interpolación. En efecto, en realidad estamos adivinando
la curva que une los puntos dibujados. Para confirmar esto, se podría utilizar una hoja de
calculo, o armarse de mucha paciencia, para realizar los cálculos para x = ±0.1, ±0.2, ±0.3,
… ±3.8, ±0.9. El lugar geométrico resultante corresponde a una elipse.
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Los procesos de interpolación, esto es, adivinar el conjunto de puntos que forman una
curva para unir dos posiciones en el plano, son muy utilizados en las matemáticas. Ellos
nos permiten ahorrar una gran cantidad de cálculos y tiempo.
En general, se debe observar que ecuaciones de la forma x2 / a2 + y2 / b2 = 1, siempre
tendrán como lugar geométrico asociado una elipse, donde ±a corresponde a la
intersección con el eje x, mientras que ±b corresponde a la intersección con el eje y.
55
EJEMPLO I.1.5.2.
Determine la ecuación asociada al lugar geométrico mostrado en la figura.
Como la elipse corta al eje x en +3 y -3 y al eje y en +2 y -2, se tiene que la ecuaciónasociada al lugar geométrico corresponde a:
x2/ 9 + y2 / 4 = 1
Es importante observar que en particular, cuando a = b, se tiene un círculo perfecto de radio
a. En efecto, cuando a = b, la ecuación x2 / a2 + y2 / b2 = 1 se transforma en
x2 / a2 + y2 / a2 = 1
x2 + y2 = a2
Las elipses comenzaron a ser importantes cuando en los estudios de la mecánica celeste que
realizó Kepler alrededor del 1600 D.C., se estableció que los planetas tienen órbitas
elípticas alrededor del Sol. En la figura se muestran las órbitas de los planetas de nuestro
sistema solar conocido. Se destaca la órbita de Plutón, la cual se escapa del plano formado
por las órbitas del resto de los planetas.
A continuación, revisaremos otras curvas, las cuales también tienen su origen en fenómenos
y procesos físicos. Por ejemplo, las parábolas, que describen la trayectoria de un proyectil
tal como la bala de un cañón, tiene una ecuación asociada de la forma y = ax2 + bx + c, o
bien x = ay2 + by + c.
56
EJEMPLO I.1.5.3.
Encuentre el lugar geométrico asociado a la parábola de ecuación y2 - 2y - 4x + 9 = 0.
Nuevamente, partimos despejando y en términos de x:
y = 1 ± 2 2−x
Construimos ahora una tabla para distintos valores de x, observando que sólo tienen
sentidos aquellos valores de x mayores o iguales a 2.
x y1 y2
2 1 1
3 3 -1
4 3.83 -1.83
5 4.46 -2.46
6 5 -3
De esta manera, la gráfica correspondiente a este lugar geométrico es aproximadamente la
curva mostrada en la figura. Se puede observar que como cada preimagen tiene asociado
dos imágenes, no corresponde a una función, pero también es una parábola.
Otra curva muy especial es la hipérbola, la cual aparece por ejemplo en la representación de
campos electromagnéticos. En el ejemplo siguiente mostramos su apariencia.
57
EJEMPLO I.1.5.4.
Representar el lugar geométrico asociado a la hipérbola xy - 2y - x = 0. Partimos
despejando y en términos de x:
y = x / (x - 2)
Construimos ahora la tabla de valores que nos permite tener una idea aproximada de la
localización de algunos puntos de la gráfica.
x -4 -3 -2 -1 0 1 1.5 1.75 2 2.25 2.5 3 4 5
y 0.7 0.6 0.5 0.3 0 -1 -3 -7 ∞ 9 5 3 2 1.7
En este caso, la hipérbola tiene un gráfico funcional, como se puede apreciar en el bosquejo
del lugar geométrico considerado.
Indudablemente, el lugar geométrico más simple lo constituye la recta. En el siguiente
ejemplo mostramos como se construye a partir de una ecuación.
EJEMPLO I.1.5.5.
Encontrar el lugar geométrico asociado a la recta x - y + 2 = 0.
Debemos observar que para dibujar el lugar geométrico asociado a esta recta, basta con
que conozcamos dos puntos. Por ejemplo, si consideramos x = 0, entonces y = 2. Además,
si y = 0, entonces x = -2. Por lo tanto, el lugar geométrico son todos los puntos que están
sobre la recta que pasa por los puntos:
x y
0 2
-2 0
En la siguiente figura se muestra un bosquejo del lugar geométrico asociado. Se debe
notar que corresponde a un gráfico funcional.
58
EJEMPLO I.1.5.6.
Determine la ecuación asociada al lugar geométrico mostrado en la figura.
Claramente, la recta aumenta dos unidades en el eje y por cada unidad en el eje x, por lo
tanto, la ecuación asociada al lugar geométrico es y = 2x, o equivalentemente y - 2x = 0
ACTIVIDAD I.1.5.7.
1. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos equidistantes de (-2, 3) y (3, -1)
Solución:
Es decir, el conjunto de todos los puntos (x, y) ∈ ℝ2, tales que d((x, y), (-2, 3)) = d((x, y),
(3, -1)). Lo que nos lleva, considerando la fórmula de distancia en el plano cartesiano, a la
siguiente ecuación:2222 )1()3()3()2( ++−=−++ yxyx ⇒ (x + 2)2 + (y - 3)2 = (x - 3)2 + (y + 1)2
⇒ x2 + 4x + 4 + y2 - 6y + 9 = x2 - 6x + 9 + y2 + 2y + 1
⇒ 10x -8y + 3 = 0
Que corresponde a la ecuación de una recta.
2. Encuentre la ecuación del lugar geométrico de aquellos puntos cuya distancia al punto
(2, -1) sea igual a 5.
Solución:
Es decir, el conjunto de todos los puntos (x, y) del plano real, tales que d((x, y), (2, -1)) = 5,
o equivalentemente:22 )1()2( ++− yx = 5 ⇒ (x - 2)2 + (y + 1)2 = 25
⇒ x2 - 4x + 4 + y2 + 2y + 1 = 25
59
⇒ x2 + y2 - 4x + 2y = 20
Este lugar geométrico corresponde a una circunferencia de radio 5 y centro en (2, -1).
3. Determine la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya suma de cuadrados de
distancias a los puntos fijos (0, 0) y (2, -4) sea igual a 20.
Solución:
d((x, y), (0, 0)) + d((x, y), (2, -4)) = 20 ⇒ x2 + y2 + (x - 2)2 + (y + 4)2 = 20
⇒ x2 + y2 + x2 - 4x + 4 + y2 + 8y + 16 = 20
⇒ 2x2 + 2y2 - 4x + 8y = 0
⇒ x2 + y2 - 2x + 4y = 0
Esto corresponde a la ecuación de una circunferencia, centrada en (1, -2). ¿Cuál es su
radio?
4. Determine la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya suma de cuadrados de
distancias a los puntos fijos (0, 0) y (2, -4) sea igual o menor a 20.
Solución:
d((x, y), (0, 0)) + d((x, y), (2, -4)) ≤ 20 ⇒ x2 + y2 + (x - 2)2 + (y + 4)2 ≤ 20
⇒ x2 + y2 + x2 - 4x + 4 + y2 + 8y + 16 = 20
⇒ 2x2 + 2y2 - 4x + 8y ≤ 0
⇒ x2 + y2 - 2x + 4y ≤ 0
Esto corresponde a la ecuación de una región circular (un disco), centrada en (1, -2).
5. Hallar la ecuación del lugar geométrico de aquellos puntos cuya suma de distancias a
los ejes de coordenadas sea igual al cuadrado de sus distancias al origen.
Solución:
x + y = x2 + y2 ⇒ x2 + y2 - x - y = 0
Esta es la ecuación de una circunferencia de centre (1/2, 1/2) y radio 2 2 .
6. Encontrar la ecuación del lugar geométrico de los puntos equidistantes de (3, 2) y del
eje y.
Solución:
xyx =−+− 22 )2()3( ⇒ x2 - 6x + 9 + y2 - 4y + 4 = x2
⇒ y2 - 4y - 6x + 13 = 0,
que corresponde a la ecuación de una parábola.
7. Determine la ecuación del lugar geométrico de los puntos (x, y) cuya diferencia de
distancias a los puntos fijos (1, 4) y (1, -4) sea igual a 6.
60
Solución:
d((x, y), (1, 4) - d((x, y), (1, -4) = 6 ⇒ 2222 )4()1()4()1( ++−−−+− yxyx = 6
⇒ (x - 1)2 + (y - 4)2 + (x - 1)2 + (y + 4)2 - 2 2222 )4()1()4()1( ++−−+− yxyx = 36
⇒ 2(x - 1)2 + 2y2 + 2 ⋅ 16 - 2 2222 )4()1()4()1( ++−−+− yxyx = 2 ⋅ 18
⇒ (x - 1)2 + y2 + 16 - 2222 )4()1()4()1( ++−−+− yxyx = 18
⇒ x2 - 2x + 1 + y2 + 16 - 18 = 2222 )4()1()4()1( ++−−+− yxyx
⇒ x2 - 2x + y2 - 1 = 2222 )4()1()4()1( ++−−+− yxyx
⇒ 9x2 - 7y2 - 18x + 72 = 0
Que corresponde a la ecuación de una hipérbola. Es importante observar que ecuaciones
entre variables x e y , donde sólo uno de ellos esté al cuadrado, corresponde siempre a una
parábola. Cuando tanto x como y se encuentren elevados al cuadrado y los dos tengan el
mismo signo en el mismo lado de la ecuación, entonces nos encontramos frente a una
elipse. Por último, si x e y están elevados al cuadrado y tienen signos diferentes en el
mismo lado de la ecuación, nos encontramos frente a una hipérbola.
8. Grafique los lugares geométricos asociados a las siguientes ecuaciones:
a) x2y - 4y + x = 0
b) x2 - x + xy + y - 2y2 = 0
c) x2 + 2x - y + 3 = 0
d) 4x2 - 9y2 + 36 = 0
e) x2 + y2 - 8x + 4y - 29 = 0
f) 2x2 + 3y2 - 18 = 0
Solución:
a)
y = x / (4 - x2)
x -4 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 0 1 1.5 2 2.5 3 4
y 0.3 0.6 1.1 ∞ -0.9 -0.3 0 0.3 0.9 ∞ -1.1 -0.6 -0.3
-10
-5
0
5
10
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
61
b)
(x - y)(x + 2y - 1) = 0 ⇒ x - y = 0 ∨ x + 2y - 1 = 0
⇒ y = x ∨ y = (1 - x ) / 2
x 0 1 x 0 1
y 0 1 y 1/2 0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
c)
y = x2 + 2x + 3
x -3 -2 -1 0 1 2
y 6 3 2 3 6 11
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
d)
x2 / 9 - y2 / 4 = 1
x -10 -8 -6 -4 -3 -2 3 4 6 8
y ±6.36 ±4.94 ±3.46 ±1.49 0 ∞ 0 ±1.49 ±3.46 ±4.94
-6
-4
-2
0
2
4
6
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
62
e) x2 + y2 - 8x + 4y - 29 = 0 ⇒ x2 - 8x +y2 + 4y - 29 = 0
⇒ x2 - 8x + 16 + y2 + 4y + 4 = 29 + 16 + 4
⇒ (x - 4)2 + (y + 2)2 = 72
x -3 -2 0 2 4 6 8 10 11
y -2 1.61
-5.61
3.74
-7.74
4.71
-8.71
5
-9
4.71
-8.71
3.74
-7.74
1.61
-5.61-2
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12
f) 2x2 + 3y2 - 18 = 0 ⇒ x2 / 9 + y2 / 6 = 1
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 0 ±1.83 ±2.31 ±2.45 ±2.31 ±1.83 0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
EJERCICIOS I.1.5.8.
1. Encuentre la ecuación del lugar geométrico de los puntos (x, y) del plano real cuya
distancia al punto fijo (-2, 3) sea igual a 4.
2. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos que equidistan de los puntos fijos
(-3, 1) y (7, 5).
3. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a (3, 2) sean la
mitad de sus distancias a (-1, 3).
4. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a los
puntos fijos (c, 0) y (-c, 0) sea igual a 2 a (a > c).
5. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a (2, 3) y
(2, -3) sea igual a 8.
63
6. Hallar la ecuación del lugar geométrico de aquellos puntos cuya diferencia de distancias
a los puntos fijos (3, 2) y (-5, 2) sea igual a 6.
7. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya suma de cuadrados de
distancias a los ejes de coordenadas sea igual a 9.
8. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos que distan 3 unidades del origen
de coordenadas.
9. Encuentre la ecuación de la circunferencia de centro (2, 3) y que pase por el punto (5, -
1).
10. Grafique los lugares geométricos asociados a las siguientes ecuaciones
a) 3x2 + 5y2 = 0
b) 4y2 - x3 = 0
c) (xy - 6)2 + (x2 + 3xy + y2 + 5) = 0
d) 8y - x3 = 0
e) y2 = x(x - 2)(x + 3)
RESPUESTAS
1. x2 + y2 + 4x - 6y - 3 = 0
2. 5x + 2y - 16 = 0
3. 3x2 + 3y2 - 26x - 10y + 42 = 0
4. (a2 - c2)x2 + a2y2 = a4 - a2c2
5. 16x2 - 7y2 - 64x - 48 = 0
6. 7x2 - 9y2 + 14x + 36y - 92 = 0
7. x2 + y2 = 9
8. x2 + y2 = 9
9. x2 + y2 - 4x - 6y -12 = 0
RESUMEN
En la presente sección se analiza cómo se puede aplicar el sistema de coordenadas
rectangulares para analizar regiones y figuras geométricas, en la llamada geometría
analítica. En particular se revisan curvas como elipses, parábolas e hipérbolas, junto con las
rectas que en particular formaran un caso de estudio particular en el próximo capítulo. Con
detención se estudia la forma de relacionar ecuaciones algebraicas con lugares geométricos
específicos.
64
AUTOEVALUACION
Determine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones.
1. El lugar geométrico asociado a (x - 2)2 + (y - 1)2 = 22 corresponde a una recta.
2. El lugar geométrico asociado a y = 2x + 1 corresponde a una parábola.
3. El lugar geométrico asociado a x2 / 4 + y2 / 9 = 1 corresponde a una hipérbola.
4. Toda ecuación de dos variables tiene un lugar geométrico asociado
5. Todo lugar geométrico tiene una ecuación asociada.
RESPUESTAS
1. Falso
2. Falso
3. Falso
4. Verdadero
5. Verdadero.
GLOSARIO
Coordenadas Rectangulares: Sistema que divide el plano en cuatro cuadrantes por medio de
la intersección de dos ejes en un origen, formando un ángulo recto.
Distancia: Medida de separación en unidades de longitud entre dos puntos en el plano.
Ecuación: Relación matemática de igualdad entre dos expresiones que contiene una
incógnita.
Función: Relación que asocia a cada imagen una única preimagen.
Imagen: Elemento del codominio asociado por una función con un elemento específico del
dominio.
Interpolación: Proceso que permite establecer una estimación del conjunto de puntos que
une a dos puntos conocidos de una curva.
Lugar geométrico: Conjunto de puntos del plano que satisfacen una cierta ecuación.
Preimagen: Elemento del dominio, relacionado por medio de una función con un elemento
particular del codominio.
65
Punto: Localización en el plano. Esta figura geométrica no tiene ningún atributo, salvo la
posición.
Relación: Subconjunto de un producto cartesiano entre dos conjuntos, el dominio y el
codominio.
Tabla de valores: Conjunto de pares ordenados, que satisfacen un lugar geométrico o
ecuación y que se utilizan para encontrar un bosquejo de la curva asociada.
SIMBOLOS
± : positivo o negativo.
+ : suma
- : resta
/ : división.
∨ : o.
⇒ : implica
x : raíz cuadrada.
x2 : potencia dos.
66
I.1.6. GRAFICAS DE FUNCIONES
Se llama gráfica de una función al conjunto de puntos en el plano cuyos pares coordenados
son los pares entrada – salida (preimagen – imagen) de la función.
Uno de los métodos para determinar la gráfica de una función y en términos de x consiste
en calcular laboriosamente parejas de números que satisfagan la ecuación, representar una
gran cantidad de ellas por puntos sobre el plano y luego unirlos por medio de una curva
suave. En los ejemplos siguientes ilustramos la aplicación de este método.
EJEMPLO I.1.6.1.
Consideremos que debemos representar la gráfica de la función y = x2 en el intervalo –2 ≤
x ≤ 2. Para realizar esta actividad realizaremos los siguientes pasos:
• Hacemos una tabla de los pares ordenados de la función.
• Marcamos los puntos correspondientes en un sistema de coordenadas rectangularespara conocer un esbozo del aspecto de la gráfica
• Unimos los puntos interpolando el aspecto de la gráfica.
x -2 -1 0 1 2
y 4 1 0 1 4
-1
0
1
2
3
4
5
-2 -1 0 1 2
En este ejemplo se trata de representar la función y = x2 en el intervalo [-2, 2], pero ¿qué
pasa con el resto de gráfica, fuera del intervalo?. Tanto el dominio como la imagen de y =
x2 son infinitos, por lo que no se puede pretender dibujar la gráfica completa, pero si
podemos imaginar cómo se ve la gráfica examinando la fórmula y = x2 y observando el
dibujo ya hecho sobre el intervalo [-2, 2] para realizar una extrapolación.
67
En efecto, cuando x se mueve en cualquier dirección fuera del intervalo –2 ≤ x ≤ 2, y = x2
crece rápidamente, por ejemplo, cuando x es 5, y es 25; cuando x es 10, y ya es igual a 100;
de la misma manera, cuando x = - 4, y = 16; mientras que cuando x es – 8, y = 64.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
-10 -5 0 5 10 .
Hay que tener en cuenta al aplicar este método, que en realidad es un método tosco y da
como resultado muchas veces una gráfica imprecisa e incompleta de la realidad.
Uno de los principales objetivos de este curso es entregar herramientas que permitan trazar
gráficas de funciones en forma precisa, completa y rápida, sin tener que recurrir al uso de
las tablas de valores.
EJEMPLO I.1.6.2.
Considere ahora la función real, definida por tramos por la expresión mostrada a
continuación:
>≤≤+
<−=
1,210,1
0,21)( 2
xxxxx
xf
Para graficar esta función, debemos separar cada uno de los intervalos del eje x, para
graficar sobre ellos la expresión correspondiente.
68
EJEMPLO I.1.6.3.
Consideremos la función mostrada en la figura. Para encontrar las fórmulas de los
segmentos de recta que unen los puntos (0, 0) con (1, 1) y (1, 0) con (2, 1), debemos
determinar las rectas que pasan por esos puntos.
Para el par (0, 0) con (1, 1), corresponde a la recta y = x, mientras que para el par (1, 0) con
(2, 1), se trata de la recta y = x - 1. De esta forma, la expresión asociada a la gráfica de la
función es:
≤<−≤≤
=21,110,
)(xxxx
xf
EJEMPLO I.1.6.4.
La función escalonada mostrada en la figura, tiene como dominio el intervalo [0, 3], y la
fórmula asociada es:
≤<≤≤<≤
=32,021,110,0
)(xxx
xf
EJEMPLO I.1.6.5.
Cuando una función es definida por medio de una expresión que contiene una raíz,
debemos ser sumamente cuidadosos con el dominio de la función. Por ejemplo, f(x) =
69
x , se encuentra sólo definida para los números reales positivos, de esta forma el dominio
de f, es [0, +∞[.
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
EJEMPLO I.1.6.6.
La función f(x) = x−4 , se encuentra definida para todos los números reales x, tales que
4 - x ≥ 0, este es, su domino corresponde al intervalo ]- ∞, 4].
0
1
2
3
4
5
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
ACTIVIDAD I.1.6.7.
1. Complete las siguientes tablas de valores
a) f(x) = 2x - 3
x 0 -1 1 3
y
b) f(x) = x2 - 2
x -3 -2 -1 0 1
y
c) (x) = x3 - 1
x -2 -1 0 1 2
y
d) f(x) = x2 + 2x - 5
x -2 -1 0 1 2
y
70
e)f(x) = x /2 - 4
x -2 0 2 4
y
f) f(x) = 3 - x3
x -4 0 2 3
y
Solución
a)
x 0 -1 1 3
y -3 -5 -1 3
b)
x -3 -2 -1 0 1
y 7 9 -1 -2 -1
c)
x -2 -1 0 1 2
y -9 -2 -1 0 7
d)
x -2 -1 0 1 2
y -5 -6 -5 -2 3
e)
x -2 0 2 4
y -5 -4 -3 -2
f)
x -4 0 2 3
y -6 3 -5 -24
2. Si f(x) = 5x2 - 4, determine f(-2), f(0), f(1), f(2), f(2c) y f(c - 1)
Solución:
f(-2) = 16, f(0) = -4, f(1) = 1, f(2) = 16, f(2c) = 20c2 - 4, f(c - 1) = 5(c-1)2 - 4 = 5c2 - 10c +1
3. Grafique las siguientes funciones reales
a) f(x) = x
b) f(x) = 2x2 - 4
c) f(x) = -x2 - x - 6
d) f(x) = 4x - x3
71
Solución:
a)
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
b)
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
c)
-10
-8
-6
-4
-2
0
-4 -2 0 2 4
d)
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
EJERCICIOS I.1.6.8.
1. Si f(x) = 3x - 2, encuentre f(-2), f(-1), f(0) y f(3).
2. Si f(x) = 2 - x2 - x4, determine f(-3), f(-1), f(-1/2), y f(2)
72
3. Complete las siguientes tablas de valores
a) f(x) = x2 + x + 1
x -2 0 1 2
y
b) f(x) = x3 + 1
x -2 -1 0 1
y
c) f(x) = x2 + 1
x -2 -1 0 1
y
4. Grafíque las siguientes funciones reales
a) f(x) = x + 10
b) f(x) = x2 + 1
c) f(x) = 1 / x
d) f(x) = 25 - 25x3
RESPUESTAS
1. f(-2) = -8, f(-1) = -5, f(0) = -2, f(3) = 7
2. f(-3) = -88, f(-1) = 0, f(-1/2) = 27/16, f(2) = -18
3.
a)
x -2 0 1 2
y 3 1 3 7
b)
x -2 -1 0 1
y -7 0 1 2
c)
x -2 -1 0 1
y 5 2 1 2
73
4.
a)
-1
9
19
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
b)
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
c)
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
d)
-1
9
19
29
39
49
59
-2 0 2
74
RESUMEN
En esta sección se analiza un procedimiento para graficar funciones en un sistemas de
coordenadas cartesiano. Para ello, nos valemos del uso adecuado de tablas de valores,
interpolación de puntos y extrapolación, y el conocimiento de algunas curvas básicas.
AUTOEVALUACION
Determine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones
1. Una recta se puede determinar con el conocimiento de las coordenadas de dos de sus
puntos.
2. Una forma de graficar una función es tabulando algunos de sus puntos.
3. Funciones de raíces pueden ser restringidas en su dominio.
4. Funciones de potencias cuadradas no se encuentran definidas para todo el eje x.
RESPUESTAS
1. Verdadero.
2. Verdadero.
3. Verdadero.
4. Falso.
GLOSARIO
Coordenadas rectangulares: Sistema que divide el plano en cuatro cuadrantes por medio de
la intersección de dos ejes en un origen, formando un ángulo recto.
Dominio: Conjunto de números reales que forma la partida de una función.
Ecuación: Relación matemática de igualdad entre dos expresiones que contiene una
incógnita.
Función : Relación que asocia a cada imagen una única preimagen.
Imagen : Elemento del codominio asociado por una función con un elemento específico del
dominio.
Preimagen : Elemento del dominio, relacionado por medio de una función con un elemento
particular del codominio.
75
Tabla de Valores: Conjunto de pares ordenados, que satisfacen un lugar geométrico o
ecuación y que se utilizan para encontrar un bosquejo de la curva asociada.
SIMBOLOS
+ : Suma
- : Resta
/ : División
x2 : Potencia cuadrada.
x : Raíz cuadrada.
76
I.2. FUNCIONES POLINOMIALES
Una función polinómica f(x), es una función real definida por expresiones del tipo f(x) =
anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0, donde n es un entero no negativo y a0, a1, …, an-2,
an-1 y an son números reales. Las funciones polinómicas juegan un papel muy importante en
las matemáticas. Son utilizadas para aproximar funciones mucho más complejas, para
interpolar una curva que pasa por determinados puntos del plano, etc. Cuando n = 1, esto
es, cuando la función polinómica tiene la forma f(x) = a1x + a0, se dice que es lineal; si n =
2, esto es para f(x) = a2x2 + a1x1 + a0, se dice que es cuadrática; si n =3, f(x) = a3x3 + a2x2 +
a1x1 + a0, se dice que es cúbica; si n = 4, se dice que es de orden 4, etc. El orden de un
polinomio permite clasificarlos, y establece el número de veces máximo que puede cruzar
el eje x. Por ejemplo, una función lineal cruza a lo más una vez el eje x, un función cúbica
lo puede atravesar 3 veces y un polinomio de orden 5, puede atravesar 5 veces el eje x.
En este capítulo, estudiaremos por separado las funciones lineales, las cuadráticas y las de
orden mayor (cúbicas, orden 4, etc.). Son objetivos del capítulo:
• Reconocer el orden de un polinomio
• Poder realizar un bosquejo de un polinomio a partir de información derivada de la
expresión que lo define.
• Poder construir la recta que une dos puntos en el plano.
• Conocer y calcular la pendiente de una recta.
• Identificar el vértice y eje de simetría de una función cuadrática.
• Calcular el número de veces que un polinomio cruza el eje x.
77
I.2.1. FUNCION LINEAL
Uno de los tipos más fundamentales de funciones es aquel cuya gráfica representa una línea
recta. Ya hemos visto que la gráfica de la función f(x) = x es una línea recta. Si tomamos
f(x) = 2x, entonces la recta sube más rápidamente y aún más para f(x) = 10000 ⋅ x (que nos
parecería casi vertical), en cambio para f(x) = ½ x, nos encontramos con que la recta sube
más lento que para f(x) = x. Es claro que f(x) = 0.00001 ⋅ x nos parecería casi horizontal.
En general, si a es un número real, entonces la gráfica de la función f(x) = a ⋅ x representa
una línea recta que pasa por el origen del sistema cartesiano. En éste caso, a se encuentra
directamente relacionado con la pendiente, esto es, la inclinación de la recta.
Si a es muy positivo, la recta se encuentra inclinada de manera muy ascendente, si a es
negativo, la recta se encuentra inclinada en forma descendente. Si a es cercano a cero, la
recta es casi horizontal.
En general, se define la pendiente de una recta como el cuociente entre la variación sobre
el eje y dividido por la variación sobre el eje x, para el intervalo determinado por un par de
puntos sobre la recta. De esta forma, si m es la pendiente, se tiene:
m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
Una detenida observación a la figura, permitirá reforzar la idea de esta definición de la
pendiente en términos de los coeficientes de variación entre ambos ejes. Pronto
generalizaremos esta definición para otro tipo de curvas.
EJEMPLO I.2.1.1. Encontremos la pendiente de la recta que pasa por los puntos (4, -2) y
(7, 3). Para ello, observemos en primer lugar que en la fórmula para la pendiente es
completamente indiferente a cuál de los puntos llamaremos (x1, y1) y a cuál (x2, y2). Sea
entonces (x1, y1) = (4, -2) y sea (x2, y2) = (7, 3). Esta elección nos da
m = (3 - (-2)) / (7 - 4) = 5 /3.
78
Si hubiéramos, considerado (x1, y1) = (7, 3) y (x2, y2) = (4, -2), tendríamos entonces el
mismo valor para la pendiente, en efecto:
m = (-2 - 3) / (4 - 7) = - 5 / - 3 = 5 / 3.
Antes de poder utilizar el concepto de pendiente para definir rectas, debemos insistir en la
comprensión de su significado. Tal como lo hemos expresado, una pendiente mide la
elevación (o declinación) por unidad de avance. Por ejemplo, los ingenieros de caminos
utilizan las pendientes para medir el grado de inclinación de una pista. Una carretera sobre
una zona costera normalmente tiene una pendiente que oscila entre -0.02 y 0.02 (grado ±
2%), mientras que una pista sobre un terreno montañoso tiene pendientes que oscilan entre
-0.04 y 0.04. En todo caso, una carretera de alta velocidad no puede tener ningún tramo de
su camino con una pendiente mayor a 0.05, pues de lo contrario se facilitan los accidentes.
EJEMPLO I.2.1.2.
Una escalera promedio tiene peldaños de 30 cm de ancho (huella) y una pendiente de 40
grados de inclinación, por lo tanto su contrahuella (altura de un peldaño) es de 25 cm. En
números reales, la pendiente es 25 / 30 = 5 / 6 = 0.83.
¿Cuál es la pendiente de una escalera cuyos peldaños tienen un ancho de 100 cm y su
altura es también de 25 cm?. Bosqueje ambas escaleras.
79
También existen líneas rectas que no pasan por el origen, como es el caso de la función f(x)
= ax + c, que representa una línea recta que no pasa por el origen (Una recta que pasa por
el origen tiene asociada la ecuación f(x) = a ⋅ x). En este caso, a sigue estando asociado
con la pendiente de la recta, mientras que c mide la distancia que separa a la recta del
origen.
Una vez logrado interpretar con mayor propiedad el concepto de pendiente, apliquémoslo
para definir ecuaciones de rectas.
Para escribir la ecuación de una recta que no sea vertical, basta con conocer su pendientem y las coordenadas de un punto (x1, y1). Si (x, y) es cualquier otro punto de la recta,
entonces, se tiene que
m = (y - y1) / (x - x1)
De donde, multiplicando ambos lados de la ecuación por (x - x1), se obtiene la expresión
más, familiar:
y - y1 = m (x - x1) ⇒ y = m(x - x1) + y1
⇒ y = mx +y1 - mx1
⇒ y = mx + c
donde c corresponde a y1 - mx1.
Con los ejemplos siguientes, ilustraremos la forma de utilizar el concepto de pendientepara determinar la ecuación de una recta.
EJEMPLO I.2.1.3.
Trazar por el punto (4, 1) una recta con pendiente igual a 3/2. Partimos planteando la
formula general de una ecuación de recta: y - y1 = m (x - x1), y reemplazamos la
información que ya conocemos (x1, y1) = (4, 1) y m = 3 / 2., lo que nos da:
y - 1 = 3/2 ( x - 4) ⇒ y = 3/2 x - 6 + 1
⇒ y = 3/2 x - 5
Si no conocemos la pendiente de una recta, pero si un segundo punto de ella, aún es
posible determinar la ecuación de una recta.
En efecto, sean (x1, y1) y (x2, y2) dos puntos de la recta. A partir de ellos, es posible definir
la pendiente de la recta
m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
Lo que a su vez, nos permite definir la ecuación de la recta:
y - y1 = m (x - x1) ⇒ y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) ⋅ (x - x1)
80
⇒ y = (y2 - y1) x / (x2 - x1) + y1 - x1 (y2 - y1) / (x2 - x1)
EJEMPLO I.2.1.4.
Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2, 1) y (5, 3). Partimos
determinando la pendiente de la recta:
m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (3 - 1) / (5 - 2) = 2 / 3
Ahora, reemplazamos en la ecuación de la recta y - y1 = m(x - x1) ⇒ y = 2/3(x - 2) + 1.
En el siguiente ejemplo, ilustramos la necesidad de conocer la pendiente, o en su defecto
un punto adicional, para determinar la recta que pasa por un punto.
EJEMPLO I.2.1.5.
Por el punto (1, 1) pasan infinitas rectas. Tal como se ilustra en la figura, por el punto (1, 1)
podemos considerar infinitas rectas. Para poder elegir una se necesita fijar otro punto o una
inclinación (pendiente) particular.
Cuando se tiene más de una recta, entonces existen dos situaciones posibles: que las rectas
sean paralelas (tienen exactamente la misma inclinación y por lo tanto jamás se
intersectan) y las rectas que se intersectan. Dentro de estas últimas, destacan las
perpendiculares (aquellas que al intersectar, forman un ángulo recto).
81
Hemos visto que las rectas paralelas siempre tienen la misma inclinación. Por lo tanto dos
rectas paralelas siempre tendrán la misma pendiente. Recíprocamente, las rectas que
tienen la misma pendiente deben ser paralelas.
EJEMPLO I.2.1.6.
Determinemos la ecuación de la recta que pasa por (1, 1) y es paralela a la recta que pasa
por (2, 4) y (3, 5).
La recta que pasa por (2, 4) y (3, 6), tiene pendiente m = (6 - 4) / (3 - 2) = 2 / 1 = 2. Por lo
tanto, la recta que pasa por (1, 1) tiene pendiente m = 2. La ecuación de la recta se
encuentra dada por:
y - 1 = 2 (x - 1) ⇒ y = 2x -2 + 1 ⇒ y = 2x - 1.
En cuanto a las rectas perpendiculares, se verifica que las pendientes entre ellas son de
signo contrario e inversos multiplicativos. De esta manera si mp es la pendiente de una
recta perpendicular a una con pendiente m, entonces se tiene m = -1 / mp.
EJEMPLO I.2.1.7.
Determinemos la ecuación de la recta que pasa por (1, 1) y es perpendicular a la recta que
pasa por (2, 4) y (3, 5).
82
La recta que pasa por (2, 4) y (3, 6), tiene pendiente mp = (6 - 4) / (3 - 2) = 2 / 1 = 2. Por lo
tanto, la recta que pasa por (1, 1) tiene pendiente m = -1/mp = -1/2. La ecuación de la
recta se encuentra dada por:
y - 1 = -1/2 (x - 1) ⇒ y = -x/2 +1/2 + 1 ⇒ y = -x/2 +3/2.
ACTIVIDAD I.2.1.8.
1. Determine la ecuación de la recta tal que:
a) Sea paralela al eje y y que corte al eje x cinco unidades a la izquierda del origen.
b) Sea paralela al eje x y corte al eje y siete unidades por encima del origen.
c) Paralela a la recta x + 4 = 0 y que diste de ella 5 unidades a la derecha.
d) Paralela y por debajo de y = 2 y que diste 5 unidades de ella.
e) Paralela a la recta y + 8 = 0 y que diste 6 unidades del punto (2, 1).
f) Perpendicular a la recta y - 2 = 0 y que diste 4 unidades del punto (-1, 7).
Solución:
a) x = -5
b) y = 7
c) x = 1
d) y = 2 - 5 = -3
e) La recta y + 8 = 0 es paralela al eje x. Por lo tanto la recta que dista 6 unidades del
punto (6, 1) debe ser de la forma y = 1 ± 6
f) Como la recta y - 2 = 0 es paralela al eje x, las rectas buscadas deben encontrar a 6
unidades a la izquierda o a la derecha de x = -1 (perpendicular al eje x). Luego x = 3 ∨ x
= - 5.
2. Encuentre la ecuación de la recta que sea tal que:
a) Paralela al eje x y que diste 5 unidades del punto (3, -4).
b) Equidistante de las rectas x + 5 = 0 y x - 2 = 0.
c) Que diste tres veces más de la recta y - 9 = 0 que de y + 2 = 0.
Solución:
a) y = 1 ∨ y = - 9
83
b) (x + 5) / (x - 2) = 1 ⇒ x = -3/2 ⇒ 2x + 3 = 0
c) (y - 9) / (y + 2) = ± 3 ⇒ 4y - 3 = 0 ∨ 2y + 15 = 0
3. Hallar la ecuación de la recta que pase
a) Por el punto (-4, 5) y cuya pendiente sea 2/3.
b) Por los puntos (3, -1) y (0, 6).
c) Por el punto (2, -1) y sea perpendicular a la recta que une los puntos (4, 3) y (-2, 5).
d) Por el punto (-4, 1) y sea paralela a la recta que une los puntos (2, 3) y (-5, 0).
Solución:
a) y - 5 = 2/3 (x + 4) ⇒ y = 2/3 ⋅ x + 5 + 8/3 ⇒ y = 2x / 3 + 23 / 3
b) m = (6 - (-1)) / (0 - 3) = 7 / -3 = - 7/3
y = -7x / 3 + 6
c) mp = (5 - 3) /(-2 - 4) = - 1/3 ⇒ m = - 1 /mp = 3
y = 3x - 7
d) m = (0 - 3) / (-5 - 2) = - 3 / - 7 = 3/7
y = 3x / 7 + 19 / 7
4. Determinar la ecuación de la recta tal que:
a) Pasa por (-4, 3) y tiene pendiente 1/2
b) Pasa por (0, 5) y tiene pendiente -2
c) Pasa por (2, 0) y tiene pendiente 3/4
Solución:
a) y - 3 = 1/2 (x + 4) ⇒ y = x/2 + 3 + 2 = y = x / 2 + 5
b) y - 5 = -2x ⇒ y = -2x + 5
c) y = 3/4 (x - 2) ⇒ y = 3x / 4 - 3 / 2
5. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-2, -3) y (4, 2).
Solución:
m = (2 - (-3)) / (4 - (-2)) = 5 / 6
y - 2 = 5/6 (x - 4) ⇒ y = 5/6 ⋅ x + 2 - 10 / 3 ⇒ y = 5x / 6 - 4 / 3
6. Encuentre la ecuación de la recta cuya ordenada y abscisa en el origen son 5 y -3,
respectivamente.
Solución:
La recta pasa por los puntos (0, 5) y (-3, 0). Por lo tanto m = - 5 / - 3 = 5 / 3, de donde la
ecuación de la recta es: y - 5 = 5/3x ⇒ y = 5x / 3 + 5
7. Determine la pendiente m y la ordenada en el origen b, de la recta 2y + 3x = 7.
Solución:
m = - 3 / 2 y ordenada en el origen es 7 / 2.
8. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -3) y es paralela a la recta que
une los puntos (4, 1) y (-2, 2).
Solución:
84
m = 1 / - 6 = - 1/6
y + 3 = - 1/ 6(x - 2) ⇒ y = -x / 6 + 1/3 - 3 ⇒ y = -x / 6 - 8 / 3
9. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2, 3) y es perpendicular a la recta
2x - 3y + 6 = 0
Solución:
mp = 2 / 3 ⇒ m = - 3 / 2
y - 3 = - 3/2 (x + 2) ⇒ y = -3x / 2
10. Hallar el valor del parámetro k de manera que:
a) 3kx + 5y + k - 2 = 0 pase por el punto (-1, 4)
b) 4x - ky - 7 = 0, tenga pendiente 3.
c) kx - y = 3k - 6, tenga abscisa en el origen 5.
Solución:
a) Sustituyendo en la ecuación x = -1 e y = 4, se tiene: 3k(-1) + 5 ⋅ 4 + k - 2 = 0 ⇒ 2k = 18
⇒ k = 9.
b) Escribiendo la ecuación en la forma y = mx + b, se tiene que y = 4/k ⋅ x - 7/ k, por lo
tanto 4/k = 3 ⇒ k = 4 / 3.
c) Para y = 0, se tiene x = (3k - 6) / k = 5, de donde 3k - 6 = 5k ⇒ k = - 3.
11. Encuentre las ecuaciones de las rectas de pendiente - 3/4 que formen con los ejes
coordenados un triángulo rectángulo de 24 unidades de área.
Solución:
Las rectas son de la forma: y = -3x / 4 + b.
Ahora, son puntos de la recta (y vértices del triángulo), los puntos (0, b) y (4b/3, 0), los que
determinan la base y altura del triángulo, por lo que se tiene.
Area = b ⋅ 4b/3 ⋅ 1/2 = 2/3 ⋅ b2 = 24 ⇒ b = ±6
Las rectas son: 3x + 4y - 24 = 0 ∨ 3x + 4y + 24 = 0.
EJERCICIOS I.2.1.9.
1. Encuentre la ecuación de la recta tal que:
a) Situada 3 unidades a la derecha del eje y.
b) Situada 5 unidades por debajo del eje x.
c) Paralela al eje y, y a 7 unidades del punto (-2, 2).
d) Situada 8 unidades a la izquierda de la recta x = -2.
e) Que diste 4 veces más de la recta x = 3 que de x = -2.
f) Que pase por el punto (-2, -3) y sea perpendicular a la recta x - 3 = 0.
g) Que equidiste de los ejes coordenados.
h) Que pase por el punto (3, -1) y sea paralela a la recta y + 3 = 0.
i) Que equidiste de las rectas y - 7 = 0 e y + 2 = 0.
85
2. Encuentre la ecuación de las rectas siguientes:
a) Pasa por (0, 2) y tiene pendiente 3
b) Pasa por (0, -3) y tiene pendiente -2
c) Pasa por (0, 4) y tiene pendiente 1/3
d) Pasa por (0, -1) y tiene pendiente 0
e) Pasa por (0, 3) y tiene pendiente -4/3
3. Determine la ecuación de las rectas que pasan por los puntos:
a) (2, -3) y (4, 2)
b) (-4., 1) y (3, -5)
c) (7, 0) y (0, 4)
d) (0, 0) y (5, -3)
e) (5, -3), y (5, 2)
f) (-5, 2) y (3, 2)
4. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 3) y cuya abscisa en el origen es
el doble que la ordenada en el origen.
5. Hallar el valor del parámetro k en la ecuación 2x + 3y + k = 0 de forma que dicha recta
forme con los ejes de coordenadas un triángulo rectángulo de área igual a 27 unidades
de superficie.
6. Encuentre el valor del parámetro k para que la ecuación 2x + 3ky - 13 = 0 pase por el
punto (-2, 4).
7. Hallar la ecuación de la recta de abscisa en el origen -3/7 y que es perpendicular a la
recta 3x + 4y - 10 = 0.
8. Determine cual de las siguientes funciones son lineales:
a)
x y
6 9
10 5
25 -10
30 -15
b)
x y
4 -11
12 -9
16 -8
24 -6
c)
x y
86
3 2
9 -2
12 -4
24 -12
RESPUESTAS
1.
a) x - 3 = 0
b) y + 5 = 0
c) x - 5 = 0, x + 9 = 0
d) x + 10 = 0
e) 3x + 11 = 0, x + 1 = 0
f) y + 3 = 0
g) y - x = 0, y + x = 0
h) y + 1 = 0
i) 2y - 5 = 0
2.
a) y - 3x - 2 = 0
b) y + 2x + 3 = 0
c) x - 3y + 12 = 0
d) y + 1 = 0
e) 4x + 3y - 9 = 0
3.
a) 5x - 2y - 16 = 0
b) 6x + 7y + 17 = 0
c) 4x + 7y - 28 = 0
d) 3x + 5y = 0
e) x - 5 = 0
f) y - 2 = 0
4. x + 2y - 8 = 0
5. k = + 18, k = -18
6. k = 17 / 12
7. 28x - 21y + 12 = 0
87
8. a) No b) Si c) Si
RESUMEN
En esta sección se revisa con detalle la ecuación de la recta, cómo construir rectas
conociendo dos puntos por donde pasa, o bien un punto y su pendiente. Una terminología y
notación básica sobre ellas, y propiedades de rectas paralelas y perpendiculares. Se revisa
además la manera de construir ecuaciones a partir de la gráfica de una recta, y
recíprocamente, construir gráficas a partir de ecuaciones de rectas.
AUTOEVALUACION
1. Por dos pares de puntos siempre se puede definir una recta que pase por ellos.
2. Existen infinitas rectas que tienen la misma pendiente
3. Dos rectas perpendiculares tienen la misma pendiente
4. Dos rectas paralelas pasan por un mismo punto.
5. Toda recta es paralela a una recta que pasa por el origen.
6. La recta x = a es paralela al eje y.
7. La recta y = a es paralela al eje x.
8. La recta y = x es paralela al eje y como también al eje x.
RESPUESTAS
1. Verdadero.
2. Verdadero.
3. Falso.
4. Falso.
5. Verdadero
6. Verdadero.
7. Verdadero.
8. Falso.
GLOSARIO
Ecuación: Relación matemática de igualdad entre dos expresiones que contiene una
incógnita.
Función: Relación que asocia a cada imagen una única preimagen.
88
Inverso Multiplicativo: Número real que al multiplicarse por otro resulta el neutro
multiplicativo (uno).
Números reales: Todos los números naturales, enteros, racionales e irracionales.
Origen: Punto en el plano que corresponde a la intersección de los dos ejes coordenados.
Paralelas: Rectas que tienen la misma inclinación y por lo tanto jamás se intersectan.
Pendiente: Inclinación de una recta.
Perpendiculares: Rectas que se intersectan formando un ángulo recto.
Sistema Cartesiano: Plano regulado por dos ejes perpendiculares que permite determinar la
posición de cualquier punto.
SIMBOLOS
= : Igual que.
+ : Suma.
- : Resta.
⇒ : Implica.
/ : división.
⋅ : Multiplicación.
∨ : O.
(x1, y1) : Punto en el plano.
89
I.2.2. FUNCION CUADRATICA
Llamaremos funciones cuadráticas, aquellas funciones reales de la forma y = ax2 + bx +
c, donde a ≠ 0. Las gráficas de estas funciones tienen la forma característica de una copa,
manteniendo un eje de simetría, como se muestra en la figura.
Este tipo de curvas son llamadas parábolas y pueden tener una forma aguda o ensanchada,
dependiendo del valor de a. Entre más grande en valor absoluto, la forma de copa es más
aguda, en cambio, entre más cercano a cero sea el valor de a, la copa es más aguda.
En la figura, la parábola del lado derecho tiene un parámetro a mucho mayor que la del lado
izquierdo.
EJEMPLO I.2.1.1.
Bosquejemos la gráfica de la función realy = x2 - 2x - 3
Para ello, partimos formando una tabla de valores que nos permita localizar puntos
representativos de la gráfica.
x -2 -1 0 1 2 3 4
y 5 0 -3 -4 -3 0 5
90
Dibujamos los puntos sobre un sistema de coordenadas y los unimos con una curva suave,
para obtener el siguiente bosquejo de la curva:
Si el valor de a es menor que cero, entonces la parábola está orientada hacia abajo, como se
muestra en el siguiente ejemplo.
EJEMPLO I.2.1.2.
Determinemos un bosquejo de la gráfica correspondiente a la función real cuadrática:
y = -2x2 + 4x + 1
La tabla de valores para algunos puntos representativos es la siguiente:
x -1 0 1 2 3
y -5 1 3 1 -5
De donde se obtiene el bosquejo mostrado a continuación, se puede apreciar que la
orientación de la parábola cambia.
91
El punto más alto, o más bajo de la parábola, dependiendo de su orientación, es llamado
vértice. Todas las parábolas tienen uno. Por el vértice pasa el eje de simetría de la curva.
EJEMPLO I.2.1.3.
Determine el vértice de la parábola y = x2 + 2x + 1. De la figura, se puede apreciar que el
vértice de la parábola corresponde al punto (-1, 0), el cual es un punto de mínimo.
0
5
10
15
20
25
30
35
40
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
En general, para las funciones cuadráticas de la forma y = ax2 + bx + c, esto es parábolas,
siempre podemos escribirlas en la forma equivalente y = a(x - h)2 + k, por un proceso de
completar cuadrado. En este caso, el vértice de la parábola es (h, k) y corresponde a un
mínimo, si a > 0, o bien a un máximo en el caso de que a < 0.
EJEMPLO I.2.1.4.
Encuentre el vértice de la parábola y = x2 - 2x - 3. Determine si es un máximo o un
mínimo.
La ecuación se puede escribir en la forma: y = x2 - 2x - 3 = x2 - 2x + 1 - 4 = (x - 1)2 - 4, por
lo que el vértice es el punto (1, -4) y es un punto de mínimo pues a = 1 >0.
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Algunas parábolas y = ax2 + bx + c, intersectan el eje x, para determinar en qué puntos lo
hacen, basta con igualar la parábola a cero. Esto es resolver la ecuación cuadrática: ax2 +
bx + c = 0. Si esta ecuación no tiene soluciones reales, entonces la parábola no intersecta al
eje x. En caso contrario, lo hace.
92
EJEMPLO I.2.2.5.
Determine si y = x2 - 2x - 3, intersecta o no al aje x. Para ello, igualamos la ecuación a cero
y resolvemos la ecuación cuadrática resultante (o factorizamos).
El camino de resolver la ecuación cuadrática, implica utilizar la fórmula para x2 - 2x - 3 =
0, esto es, x = a
acbb2
42 −±− , donde a = 1, b = - 2 y c = -3. Así:
x = 2
1242 +± = (2 ± 4) / 2 = 1 ± 2 ⇒ x = 3 ∨ x = - 1.
El camino de factorizar, implica determinar dos números que sumados den - 2 y
multiplicados - 3:
x2 - 2x - 3 = 0 ⇒ (x - 3)(x + 1) = 0 ⇒ x = 3 ∨ x = - 1.
De cualquier manera, se ha determinado que la función intersecta al eje x en dos puntos: x
= 3 y x = - 1.
EJEMPLO I.2.2.6.
Determine si y = x2 + x + 1, intersecta o no al eje x. En este caso, como el discriminante de
la ecuación b2 - 4ac = 1 - 4 = - 3 < 0, se tiene que la función no intersecta al eje x, pues la
ecuación cuadrática no tiene solución real.
Se debe observar que existen seis situaciones posibles, tal como se ilustra en las figuras
siguientes.
Las tres primeras (1, 2, 3) corresponden al caso en que a > 0, mientras que las restantes (4,
5, 6) corresponden al caso a < 0. Cuando el discriminante de la ecuación cuadrática es
mayor que cero (hay dos soluciones reales), nos encontramos en la situación 1) y 4).
Cuando el discriminante es igual a cero (existe sólo una solución real), estamos frente a los
93
casos 2) y 5). Por último, cuando el discriminante de la ecuación es menor que cero,
estamos en la presencia de la situación 3) y 6).
ACTIVIDAD I.2.2.7.
1. Grafique las siguientes funciones cuadráticas:
a) y = 2x2 + 4x - 5
b) y = -1/2 x2 - x + 4
c) y = - x2 + 2x + 3
d) y = x2 - 8x + 5
Solución:
a)
-50
0
50
100
150
200
250
-10 -5 0 5 10
b)
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
-10 -5 0 5 10
c)
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
-10 -5 0 5 10
d)
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
-10 -5 0 5 10
2. Realice un bosquejo de la gráfica de las siguientes funciones:
94
a) y = - x2 + 2x + 3
b) y = - x2 + 2x - 1
c) y = 2x2 + 3x - 5
d) y = x2 / 2
e) y = 3x2 - 24x + 50
Solución:
a)
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
-10 -5 0 5 10
b)
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
-10 -5 0 5 10
c)
-50
0
50
100
150
200
250
-10 -5 0 5 10
d)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
-10 -5 0 5 10
e)
95
0
100
200
300
400
500
600
-10 -5 0 5 10
3. Determine el vértice las parábolas siguientes y establezca si corresponden a un máximo
o a un mínimo.
a) y = -2x2 + 4x + 1
b) y = -3x2 - 24x + 11
c) y = 4x2 + 24x + 41
Solución:
a) y = - 2x2 + 4x + 1 = -2(x2 - 2x + 1) + 3 = -2(x - 1)2 + 3 ⇒ Vértice = (1, 3) el cual
corresponde a un máximo (a = -2 < 0).
b) y = -3x2 - 24x + 11 = -3(x2 + 8x + 16) + 48 + 11 = -3(x + 4)2 + 59 ⇒ Vértice = (-4, 59)
y también es un máximo.
c) y = 4x2 + 24x + 41 = 4(x2 + 6x + 9) +41 - 36 = 4(x + 3)2 + 5 ⇒ Vértice = (-3, 5) y es un
mínimo, pues a = 4 > 0.
4. Sin graficar, decida para cada par de parábolas, cuál es más ancha que la otra.
a) y = -2x2 + 4x + 1 ∧ y = - 3x2 + 4x + 1
b) y = x2 / 2 + 1 ∧ y = 2x2 + 1
c) y = 10x2 ∧ y = -5x2.
Solución:
a) La primera.
b) La primera.
c) La Segunda.
5. Una pelota es lanzada al aire. Su altura h, en metros, después de t segundos se encuentra
dada por la función h = - 10t2 + 80t + 96. Determine la máxima altura alcanzada por la
pelota y en qué instante lo hace.
Solución:
Buscamos el vértice de la ecuación: h = -10t2 + 80t + 96 = -10(t2 - 8 + 16) +160 + 96 = -
10(t - 4)2 + 154 ⇒ Vértice = (4, 154). La máxima altura es 154 metros y el tiempo
requerido es 4 segundos.
EJERCICIOS I.2.2.8.
1. Grafique las siguientes funciones cuadráticas:
96
a) y = 2x2 - 5x - 1
b) y = 2x2 + x - 6
c) y = 4x2 - 20x + 25
d) y = 5x2 + 30x + 40
e) y = - x2 - 3x - 3
f) y = 5x2 - 6x + 5
2. Realice un bosquejo de la gráfica de las siguientes funciones
a) y = x2 - 4x + 3
b) y = x2 - 6x + 9
c) y = - x2 - x - 6
d) y = - 3x2
e) y = x2 - 4x - 6
f) y = - x2 + 8x - 7
3. Un cohete es disparado al aire. Su altura h en metros, después de t segundos, se
encuentra determinada por la relación: h = - 10t2 + 64t + 2240. Determine su máxima
altura y el instante en la cual la alcanza.
4. Un misil es disparado al aire. Su altura en función del tiempo t, se encuentra dada en
metros por la siguiente función: h = - 10t2 + 96t + 880. Determine cuál es la altura
máxima que alcanza y cuánto se demora en alcanzarla.
RESPUESTAS
1.
a)
-50
0
50
100
150
200
250
-10 -5 0 5 10
b)
-50
0
50
100
150
200
250
-10 -5 0 5 10
c)
97
0
100
200
300
400
500
600
700
-10 -5 0 5 10
d)
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
-10 -5 0 5 10
e)
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
-10 -5 0 5 10
f)
0
100
200
300
400
500
600
-10 -5 0 5 10
2.
a)
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
-10 -5 0 5 10
b)
98
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
-10 -5 0 5 10
c)
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
-10 -5 0 5 10
d)
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
-10 -5 0 5 10
e)
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
-10 -5 0 5 10
f)
-200
-180
-160
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
-10 -5 0 5 10
3.
hmax = 11712 / 5 [m]
99
t = 16/5 [seg].
4.
hmax = 5552 /5 [m}
t = 24 / 5[seg].
RESUMEN
En la presente sección se estudia las propiedades gráficas de las funciones reales
cuadráticas, correspondientes a curvas parabólicas. Estas curvas, con forma de copa,
pueden presentar una entre seis situaciones posibles: Intersectando al eje x en dos puntos y
orientada hacia arriba, intersectando al eje x y orientada hacia abajo, tocando el eje x en un
punto y orientada hacia arriba o hacia abajo, y no intersectando al eje x y orientada hacia
arriba o hacia abajo. De cualquier forma, siempre una parábola tendrá un vértice y sobre él
un eje de simetría.
AUTOEVALUACION
Determine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
1. Las parábolas siempre intersectan al eje x.
2. Una parábola sólo puede tener un punto de máximo o de mínimo, pero no ambos a la
vez.
3. El vértice de una parábola cruza por el eje de simetría de esta.
4. Por dos puntos pasan infinitas parábolas.
RESPUESTAS
1. Falso.
2. Verdadero.
3. Verdadero.
4. Verdadero.
GLOSARIO
Ecuación: Relación matemática de igualdad entre dos expresiones que contiene una
incógnita.
Ecuación Cuadrática: Ecuación donde la incógnita se encuentra elevada al cuadrado.
Eje de Simetría: Línea imaginaría que divide a curva en dos, tales que una es el reflejo de la
otra.
100
Función: Relación que asocia a cada imagen una única preimagen.
Función cuadrática: Función donde la relación es una expresión cuadrática.
Función real: Función donde el dominio y codominio son subconjuntos de los números
reales.
Sistema de Coordenadas: Plano regulado por dos ejes perpendiculares que permite de
terminar la posición de cualquier punto.
Tabla de Valores: Conjunto de pares de números (x, y) que se utilizan para graficar una
curva.
Valor Absoluto: Distancia al cero de cualquier número real, sin considerar su signo.
Vértice: Punto singular de una curva en el plano, que corresponde en el caso de las
parábolas a su máximo o mínimo.
SIMBOLOS
= : Igual que.
+ : Suma.
- : Resta.
∨ : O.
∧ : Y.
⇒ : Implica.
/ : División.
⋅ : Multiplicación.
x2 : Potencia cuadrada.
101
I.2.3. FUNCION DE ORDEN MAYOR
Hemos mencionado que, una función polinómica f(x), es una función real definida por
expresiones del tipo f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 +…+ a1x + a0, donde n es un entero no
negativo y a0, a1,…, an-2, an-1 y an son números reales. Las funciones polinómicas juegan
un papel muy importante. Son utilizadas para aproximar funciones mucho más complejas,
para interpolar una curva que pasa por determinados puntos del plano, etc. Cuando n = 1,
esto es, cuando la función polinómica tiene la forma f(x) = a1x + a0, se dice que es lineal;
si n = 2, esto es para f(x) = a2x2 + a1x1 + a0, se dice que es cuadrática; si n =3, f(x) = a3x3 +
a2x2 + a1x1 + a0, se dice que es cúbica; si n = 4, se dice que es de orden 4, etc.
El orden de un polinomio permite clasificarlos, y establece el número de veces máximo que
puede cruzar el eje x. Por ejemplo, una función lineal cruza a lo más una vez el eje x, un
función cúbica lo puede atravesar 3 veces y un polinomio de orden 5, puede atravesar 5
veces el eje x.
EJEMPLO I.2.3.1.
Determine el orden de las siguientes funciones:
f(x) = 3x - 5x2 orden dos
f(x) = 5x3 - x2 orden tres
f(x) = 3x5 - 1 orden cinco
Las técnicas para graficar polinomios de orden mayor que dos, son análogas a las
estudiadas previamente para líneas rectas y parábolas.
EJEMPLO I.2.3.2.
Trace la gráfica de la función y = x3 + x2 - 6x. Para ello, construimos la tabla de valoresque nos permite determinar puntos representativos de la curva.
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
y -70 -24 0 8 6 0 -4 0 18 56 120
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
120
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
102
ACTIVIDAD I.2.3.3.
1. Evalúe los polinomios en los puntos que se indican.
a) f(x) = 5x3 - 3x2 + 1, en x = 1, x = - 1 y x = 0.
b) f(x) = x4 + 1, en x = 1, x = -1 y x = 0.
c) f(x) = x3 - 1, en x = 1, x = - 1 y x = 0.
Solución:
a) f(1) = 3, f(-1) = -7, f(0) = 0
b) f(1) = 2, f(-1) = 2, f(0) = 1
c) f(1) = 0, f(-1) = -2, f(0) = 1
2. Grafíque los siguientes polinomios.
a) f(x) = 5x3 - 3x2 + 1
b) f(x) = x3 - 1
c) f(x) = x4 -5x2 +4
Solución:
a)
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
-2 -1 0 1 2
b)
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-2 -1 0 1 2
c)
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
-3 -2 -1 0 1 2 3
3. Determine el orden de los siguientes polinomios.
a) f(x) = 1 + x3 + x
b) f(x) = x5 - 100x3
103
c) f(x) = x - x3
Solución:
a) Orden 3
b) Orden 5
c) Orden 3
RESUMEN
En esta sección se estudia la clasificación de los polinomios en términos de su mayor
potencia (orden), y la técnica para graficar en el plano funciones de esta naturaleza.
AUTOEVALUACION
Determine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones
1. El orden de un polinomio determina el número máximo de veces que la curva cruza el
eje x.
2. El orden esta dado por la potencia del primer término del polinomio.
3. Los polinomios de orden mayores se grafican de la misma forma que las rectas y
parábolas.
RESPUESTAS
1. Verdadero.
2. Falso.
3. Verdadero.
GLOSARIO
Función: Relación que asocia a cada imagen una única preimagen.
Función polinómica: Función donde la relación corresponde a una expresión polinómica.
Función real: Función donde el dominio y codominio son subconjuntos de los números
reales.
Números reales: Todos los números naturales, enteros, racionales e irracionales.
Tabla de Valores: Conjunto de pares de números (x, y) que se utilizan para graficar una
curva.
104
I.3. FUNCIONES ESPECIALES
En el último capítulo de esta unidad, vamos a detenernos a estudiar un conjunto de
funciones especiales o trascendentes, las cuales junto con las funciones polinómicas forman
el conjunto mínimo de conocimiento sobre funciones que se debe poseer.
Los objetivos de este capítulo son similares a los objetivos del capítulo anterior, pero esta
vez sobre el conjunto de funciones exponencial, logarítmica, y trigonométricas (seno,
coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante). A saber:
• Identificar e interpretar funciones especiales (exponencial, logarítmica, trigonométrica).
• Poder evaluar este tipo de funciones.
• Graficar este tipo de funciones.
• Conocer propiedades básicas como identidades, simplificaciones y otras relaciones.
105
I.3.1. FUNCION EXPONENCIAL
La función exponencial corresponde a la función real que generaliza el proceso de
potencias de un número real. Asocia a cada número real x, el valor de la potencia ax para
una cierta base a. Esta función se encuentra definida por medio de la siguiente expresión:
f: ℝ → ]0, + ∞ [,
f(x) = ax (a > 0, a ≠ 1)
Existen dos tipos de gráficas exponenciales, las que decrecen siempre (aquellas donde la
base se encuentra en el intervalo ]0, 1[) y aquellas que crecen siempre (la base se encuentra
en el intervalo ]1, + ∞[). La figura siguiente muestra las gráficas posibles de una función
exponencial.
EJEMPLO I.3.1.1.
Grafique las siguientes funciones exponenciales f(x) = 10x y g(x) = 1/2x. La función f(x) =
10x, tiene una gráfica ascendente, como muestra la figura:
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
-2 -1 0 1 2
En cambio, la función f(x) = 1/2x tiene una gráfica descendente, como se ilustra en la
siguiente figura. Se debe observar que para llegar a estos gráficos, se ha tenido que
construir tablas de valores apropiadas:
0
5
10
15
20
25
30
35
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
106
Algunas propiedades básicas de las potencias, las recordamos a continuación, pues ellas
serán útiles para simplificar el proceso de graficar una función exponencial.
ab ⋅ ac = ab+c
(ab)c = abc
ab / ac = ab-c
a0 = 1
a1 = a
a-1 = 1/a
Con las tres últimas propiedades, sabemos cuanto vale la función en los puntos -1, 0 y 1.
Por lo que es muy sencillo basar la tabla de valores sobre estos puntos y luego unirlos por
una curva suave.
EJEMPLO I.3.1.2.
Grafique la función f(x) = 3x
x -1 0 1
y 0.33 1 3
0
5
10
15
20
25
30
-3 -2 -1 0 1 2 3
Cuando la base coincide con el número de Euler, e, la función exponencial recibe la
notación exponencial exp(x). Esto es,
exp: ℝ → ]0, +∞[
exp(x) = ex
0
5
10
15
20
25
-3 -2 -1 0 1 2 3
107
EJEMPLO I.3.1.3.
Grafique la siguiente función compuesta f(x) = e3x
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
-2 -1 0 1 2
Utilizando el álgebra de las funciones reales, es posible considerar funciones compuestas
en base a funciones exponenciales.
EJEMPLO I.3.1.4.
Grafique la función f(x) = e5x ⋅ e-2x + 1 = e3x + 1.
0
5
10
15
20
25
-1 0 1
ACTIVIDAD I.3.1.5
1. Evalúe las siguientes funciones en los puntos que se indica
a) f(x) = 10x + 5, en x = - 1, x = 0 y x = 1
b) f(x) = -5x, en x = -1, x = 0, x = 1 y x = 3.
c) f(x) = 33x, en x = -1, x = 0, x = 1 y x = 2.
Solución:
a) f(-1) = 5.1, f(0) = 6, f(1) = 15
b) f(-1) = -0.2, f(0) = -1, f(1) = -5, f(2) = - 125
c) f(-1) = 1/27, f(0) = 1, f(1) = 27, f(2) = 39.
2. Grafique las siguientes funciones
a) f(x) = 3 ⋅ 2x+1
b) f(x) = e2x - 3x + 1
Solución: a)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
-3 -2 -1 0 1 2 3
108
b)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
-2 -1 0 1 2
EJERCICIOS I.3.1.6
1. Evalúe las siguientes funciones en los puntos x = -1, x = 0 y x = 1.
a) f(x) = 3x+1
b) f(x) = 3⋅2x + 1
c) f(x) = e2 ⋅ ex
2. Grafique las siguientes funciones
a) f(x) = -5x
b) f(x) = 32x
c) f(x) = 3⋅e2x+1 - 10
RESPUESTAS
1.
a) f(-1) = 1, f(0) = 3, f(1) = 9
b) f(-1) = 2.5, f(0) = 4, f(1) = 7
c) f(-1) = e, f(0) = e2, f(1) = e3
2.
a)
-25
-20
-15
-10
-5
0
-2 -1 0 1 2
b)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
-2 -1 0 1 2
109
c)
-50
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
-2 -1 0 1 2
RESUMEN
En la presente sección se revisa la definición de las funciones exponenciales, algunas de sus
propiedades y la técnica para graficarlas en un sistema de coordenadas.
AUTOEVALUACION
Determine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
1. La función exponencial o bien es creciente, o bien decreciente.
2. La función exponencial se define siempre en la base de Euler.
RESPUESTAS
1. Verdadero.
2. Falso.
GLOSARIO
Función: Relación que asocia a cada imagen una única preimagen.
Función Exponencial: Función donde la relación es una expresión exponencial.
Función real: Cuando el dominio y codominio son subconjuntos de los números reales.
Número de Euler: Número irracional, igual a 2.71…
Números reales: Todos los números naturales, enteros, racionales e irracionales.
Tabla de Valores: Conjunto de pares de números que se utilizan para graficar una curva.
SIMBOLOS
e : Número de Euler, igual a 2.71
exp(x) : Función exponencial de base e.
110
I.3.2. FUNCION LOGARITMICA
La función logarítmica corresponde a la función real que generaliza el proceso de
logaritmo de un número real. Asocia a cada número real x, el valor de su logaritmo en
una base b determinada, logb(x). Esta función se encuentra definida por medio de la
siguiente expresión:
f: ]0, + ∞ [ → ℝ
f(x) = logb(x) (0< b <+∞, b ≠ 1)
Análogamente al caso de las funciones exponenciales, existen dos tipos de gráficas
logarítmicas: las que decrecen siempre (aquellas donde la base se encuentra en el intervalo
]0, 1[) y aquellas que crecen siempre (la base se encuentra en el intervalo ]1, + ∞[). La
figura siguiente muestra las gráficas posibles de una función logaritmo.
EJEMPLO I.3.2.1.
Grafique las siguientes funciones logarítmicas f(x) = log10(x) y g(x) = log1/2(x).
Comenzamos con aa función f(x) = log10(x), la que tiene una gráfica ascendente, como
muestra la figura:
-2
-1
0
1
2
-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14
En cambio, la función f(x) = log1/2(x) tiene una gráfica descendente, como se ilustra en la
siguiente figura. Se debe observar que para llegar a estos gráficos, se ha tenido que
construir tablas de valores apropiadas, como la siguiente
x 0 1/1024 1/16 0.5 1 2 4 8 16
y +∞ 10 4 1 0 -1 -2 -3 -4
111
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-2 0 2 4 6 8
Del mismo modo que en el caso de las funciones exponenciales, algunas propiedades
básicas de los logaritmos, las recordamos a continuación, pues ellas serán útiles para
simplificar el proceso de graficar una función logarítmica.
logb(a ⋅ c) = logb(a) + logb(c)
logb(ac) = c ⋅ logb(a)
logb(a / c) = logb(a) - logb(c)
logb(1) = 0
logb(b) = 1
logb(1 / b) = - 1
Con las tres últimas propiedades, sabemos cuanto vale la función en los puntos 1 / b, 1 y b.
Por lo que es muy sencillo basar la tabla de valores sobre estos puntos y luego unirlos por
una curva suave.
EJEMPLO I.3.2.2.
Grafique la función f(x) = log3(x)
x 1 / 3 1 3
y -1 0 1
-3
-2
-1
0
1
2
3
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
112
Cuando la base coincide con el número de Euler, e, la función logarítmica recibe la
notación logaritmo natural, ln(x). Esto es,
ln:]0, +∞[ → ℝln(x) = loge(x)
-3
-2
-1
0
1
2
3
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
En cambio, cuando la base es 10, la función logarítmica recibe la notación logaritmo,
log(x). Esto es, se omite la base:
log:]0, +∞[ → ℝlog(x) = log10(x)
-3
-2
-1
0
1
2
3
-2 0 2 4 6 8 10 12
Los logaritmos de distintas bases se encuentran relacionados entre si mediante la
importante propiedad:
logb(x) = logc(x) / logc(b)
En particular, se tiene
logb(x) = ln(x) / ln(b)
Por lo que el estudio de los logaritmos se suele reducir al caso de la base correspondiente al
número de Euler.
Por esto mismo, es importante mencionar, que en países anglosajones (como E.E.U.U.) se
acostumbra denotar por log(x) al logaritmo natural de x y no a logaritmo de base 10,
como nosotros (países de habla hispana), confusión que es normal encontrar en los libros de
texto.
113
EJEMPLO I.3.2.3.
Grafique la siguiente función compuesta f(x) = log2(8x). Para ello, lo primero que
realizamos es una simplificación utilizando las propiedades de los logaritmos:
log2(8x) = log2(23) + log2(x) = 3log2(2) + ln(x) / ln(2) = 3 + ln(x) / ln(2)
Construimos la tabla de valores, evaluando en x = 1/e, x = 1 y x = e, para poder interpolar
una curva.
x 1/e 1 e
y 1.56 3 4.44
0
5
0 2 4
Utilizando el álgebra de las funciones reales, es posible considerar funciones compuestas
en base a funciones logarítmicas.
La función logaritmo corresponde a la función inversa de la exponencial, en efecto, se
tiene la importante relación:
y = logb(x) ⇔ x = by
En particular, para las bases natural y 10, se tienen las expresiones siguientes:
y = log10(x) ⇔ x = 10y
y = ln(x) ⇔ x = ey
EJEMPLO I.3.2.4.
Determine la función inversa de f(x) = 5 + log2(8x). Utilizando las propiedades de
logaritmos, seguimos el proceso de despejar x en términos de y:
y = 5 + log2(8x) ⇔ y - 5 = 3log2(2) + log2(x)
⇔ y - 8 = log2(x)
⇔ 2(y - 8) = x
Por lo que la función inversa es f-1(x) = 2(y-8).
114
ACTIVIDAD I.3.2.5
1. Evalúe las siguientes funciones en los puntos que se indican
a) f(x) = log10(100x), en x = 0 y x = 1.
b) f(x) = log(100/x), en x = 1 y x = 2.
c) f(x) = ln(x) / ln(10), en x = 10 y x = 100.
Solución:
a) f(0) = log10(0) = - ∞, f(1) = log10(100) = log10(102) = 2 ⋅ log10(10) = 2
b) f(1) = log(100) = log(102) = 2 log(10) = 2, f(2) = log(50) = log(5) + log(10) = log(5) + 1
c) f(10) = 1, f(100) = ln(100) / ln(10) = log(100) = 2 ⋅ log(10) = 2
2. Grafique las siguientes funciones logarítmicas.
a) f(x) = log(3x2)
b) f(x) = ln(5x + 1)
Solución:
a)
-4
-2
0
2
4
-2 0 2 4 6 8 10
Observe que esta gráfica propiamente tal, sólo corresponde a la mitad de la verdadera.
b)
0
5
-2 0 2 4 6 8 10
3. Encuentre la función inversa de la curva de Robertson, f(x) = f(0)(1 + b)/(1 + be-Rx). La
curva de crecimiento logístico de Robertson describe el tipo de crecimiento más común
que se puede encontrar en la naturaleza, expresado en términos de altura, peso,
longitud, etc.
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
-2 0 2 4
115
En la figura siguiente, adaptada de Thomas & Finney (1987), se puede apreciar una de estas
curvas explicando el crecimiento de una población de moscas de la fruta en un expeimento
controlado.
Solución:
y = f(0)(1 + b)/(1 + be-Rx) ⇔ 1 + be-Rx = yo(1 + b) / y
⇔ be-Rx = yo(1 + b) / y - 1
⇔ e-Rx = yo(1 + b) / by - 1 / b
⇔ -Rx = ln(yo(1 + b)/ y - 1) - ln(b)
⇔ x = ln(b) / R - ln(yo(1 + b)/ y - 1) / R
Así, f-1(x) = ln(b) / R - ln(f(0)(1 + b)/ x - 1) / R.
RESUMEN
En la presente sección se estudia la función logaritmo, la técnica para graficar este tipo de
funciones y algunas de sus más importantes propiedades. Se analiza en particular la
reducción al caso de logaritmo natural y su relación como función inversa de la función
exponencial.
AUTOEVALUACION
Determine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
1. logb(x - y) = logb(x) - logb(y)
2. logb(x) / logb(y) = logb(x) - logb(y)
3. logb(x / y) = logb(x) - logb(y)
4. ln(x) = log(x) / log(10)
5. log(x) = ln(x) / ln(10)
6. logc(x) = logb(x) - logb(c)
RESPUESTAS
1. Falso.
2. Falso.
3. Verdadero.
116
4. Falso.
5. Verdadero.
6. Falso.
GLOSARIO
Función: Relación que asocia a cada imagen una única preimagen.
Función Exponencial: Función donde la relación es una expresión exponencial.
Función Inversa : Función que asocia a cada imagen la preimagen correspondiente.
Función Logaritmo: Función donde la relación es una expresión logarítmica.
Función real: Cuando el dominio y codominio son subconjuntos de los números reales.
Logaritmo Natural: Logaritmo con base igual al número de Euler.
Número de Euler: Número irracional, igual a 2.71…
Números reales: Todos los números naturales, enteros, racionales e irracionales.
Tabla de Valores: Conjunto de pares de números que se utilizan para graficar una curva.
SIMBOLOS
e : Número de Euler, igual a 2.71
ln(x) : Logaritmo natural.
logb(x) : Logaritmo en base b.
log(x) : Logaritmo en base 10.
117
1.3.3. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS SENO Y COSENO
Nos encontramos con la preparación suficiente como para empezar a revisar las funcionestrigonométricas. Para ello, empezaremos por considerar los lados y ángulos de un
triángulo rectángulo, pues es la geometría de este tipo de triángulos la que proporciona el
fundamento para definir las funciones trigonométricas.
El ángulo se obtiene al girar un rayo rectilíneo (o semirrecta). Si el giro del rayo tiene lugar
en sentido antihorario, se dice que el ángulo es positivo. Si por el contrario, el giro es a
favor de las agujas del reloj, el ángulo es negativo.
Las figuras siguientes ilustran un conjunto de ángulos positivos, esto es, recorridos en
sentido antihorario.
El siguiente conjunto de ángulos corresponde a recorridos negativos o en sentido horario.
118
Consideremos un punto P(x, y) del plano, de coordenadas cartesianas, y el ángulo α,
recorrido en sentido antihorario, formado por el eje horizontal positivo y la recta que une
al punto P con el origen. Si formamos un triángulo rectángulo trazando la perpendicular
desde P al eje x, entonces x es la longitud del cateto adyacente, mientras que y es la
longitud del cateto opuesto al ángulo α en el triángulo rectángulo.
La hipotenusa del triángulo rectángulo h, en virtud del Teorema de Pitagoras,
corresponde a la cantidad h = 22 yx + . Se definen entonces, las siguientes relaciones
trigonométricas:
• Seno de alfa, Sen(α) = Cateto Opuesto / Hipotenusa = y / h
• Coseno de alfa, Cos(α) = Cateto Adyacente / Hipotenusa = x / h
• Tangente de alfa, Tan(α) = Cateto Opuesto / Adyacente = y / x
• Cotangente de alfa, Cotan(α) = Cateto Adyacente / Opuesto = x / y
• Secante de alfa, Sec(α) = Hipotenusa / Cateto Adyacente = h / x
• Cosecante de alfa, Cosec(α) = Hipotenusa / Opuesto = h / y.
Con estas definiciones, se puede obtener una tabla de valores para las relaciones
trigonométricas, como la siguiente:
α Sen Cos Tan Cotan Sec Cosec
0 0 1 0 ∞ 1 ∞
π / 6 ½ 3 /2 1/ 3 3 2/ 3 2
π / 4 1/ 2 1/ 2 1 1 2 2
π / 3 3 /2 1/2 3 1/ 3 2 2/ 3
π / 2 1 0 ∞ 0 ∞ 1
π 0 -1 0 ∞ -1 ∞
3π / 2 -1 0 ∞ 0 ∞ -1
2π 0 1 0 ∞ 1 ∞
119
Observe que se tienen las siguientes propiedades evidentes a partir de la definición de las
relaciones trigonométricas:
Tan(α) = sen(α) / cos(α)
Cotan(α) = 1 / tan(α) = cos(α) / sen(α)
Sec(α) = 1 / cos(α)
Cosec(α) = 1 / sen(α)
Las aplicabilidad de la trigonometría y las funciones trigonométricas se encuentra en
diversos tópicos. La trigonometría, por ejemplo, es utilizada desde antiguo para determinar
distancias que no se pueden medir con métodos tradicionales y directos (reglas, pie de
metro, cintas métricas, etc.). Como es el caso de anchuras de ríos, alturas de montañas, etc.
Las funciones trigonométricas aparecen en el estudio y modelamiento de ondas, como es
el caso del oleaje del mar, las vibraciones de una cuerda, la propagación del sonido, etc.
Los ejemplos siguientes nos ilustraran un poco sobre estas aplicaciones, sin embargo en
esta sección no abordaremos un estudio en profundidad de ellas, más bien, estamos
interesados en establecer las propiedades básicas que necesitamos para proseguir con el
curso. Al lector interesado en conocer algo más sobre esta interesante herramienta se le
invita a consultar la bibliografía.
EJEMPLO I.3.3.1.
Para calcular la altura de la torre, basta con medir el ángulo α formado por el plano del
suelo con la línea imaginaria que toca el borde superior de ella. Previamente se ha medido
con una cinta métrica la distancia del punto del ángulo de elevación a la base de la torre.
Una vez conocido el ángulo, basta con aplicar la relación trigonométrica tangente. En
efecto, resulta que altura de la torre = tan(α) ⋅ 50.
120
EJEMPLO I.3.3.2.
Una técnica análoga se puede utilizar para medir el ancho de un lago, como se ilustra en la
figura siguiente.
Se definen las funciones trigonométricas seno y coseno, en base a las respectivas
relaciones trigonométricas de la siguiente forma:
sen : ℝ → [-1:1]
x a sen(x)
cos: ℝ → [-1:1]
x a cos(x)
Las gráficas típicas de estas funciones, corresponden a sinusoides u ondas, tal como se
puede apreciar en las siguientes figuras.
Gráfica de la función seno
-6 -4 -2 2 4 6-1
-0.50.51
π 2π-ππ/2
-π/2-2π 3π/2
-3π/2
Detalle para x positivo
1 2 3 4 5 6 7
-1-0.5
0.51
π 2π
π/2
3π/2
121
Gráfica de la función coseno
-6 -4 -2 2 4 6-1
-0.50.51
π−π 2π−2π π/2−π/2 3π/2−3π/2
Detalle para x positivo
1 2 3 4 5 6 7
-1-0.5
0.51
π/2 π 3π/2 2π
De las gráficas anteriores, se puede observar claramente que el rango típico de las
funciones trigonométricas seno y coseno es el intervalo [-1:1], esto significa que
cualquiera sea el valor de x, cos(x) y sen(x) se encontraran en este intervalo.
Las funciones trigonométricas pueden modificar su aspecto en términos de tamaño y
escala, asumiendo las definiciones siguientes:
f(x) = A ⋅ sen(wx + d)
f(x) = A ⋅ cos(wx + d)
Donde A, w y d, se conocen como amplitud, frecuencia y fase. Estos parámetros
determinan la apariencia final de una función trigonométrica, tal como lo veremos por
medio de los siguientes ejemplos.
La amplitud gobierna el recorrido de las funciones trigonométricas seno y coseno. De
esta manera, si la amplitud es A, las funciones tendrán su imagen en el intervalo [-A, A].
EJEMPLO I.3.3.3.
Compare las gráficas de las siguientes tres funciones:
f(x) = 3cos(x)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-4 -2 0 2 4
122
f(x) = cos(x)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-4 -2 0 2 4
f(x) = 1/2 ⋅ cos(x)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-4 -2 0 2 4
La fase, d, determina, donde parte la gráfica. Observe que con una fase apropiada la
función seno puede tener la misma apariencia que coseno.
EJEMPLO I.3.3.4.
Compare las gráficas de las siguientes funciones:
f(x) = cos(x+1)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-4 -2 0 2 4
f(x) = cos(x)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-4 -2 0 2 4
123
f(x) = cos(x-π/2)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-4 -2 0 2 4
Esta última, coincide con la gráfica de la función trigonométrica sen(x). Así, se tiene la
equivalencia: sen(x) = cos(x-π/2).
Por último, la frecuencia determina la forma de las ondas (si son más anchas o más aguas).
Entre mayor es la frecuencia, más aguadas son las ondas, en cambio entre menor
frecuencia, las ondas son más espaciadas.
EJEMPLO I.3.3.5.
Compare la gráfica de las funciones trigonométricas siguientes:
f(x) = cos(3x)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-4 -2 0 2 4
f(x) = cos(x)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-4 -2 0 2 4
f(x) = cos(x/2)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-4 -2 0 2 4
124
Existen una serie de propiedades de las funciones trigonométricas, llamadas identidades,
que utilizaremos ampliamente a lo largo del curso. Se invita al lector a aprenderlas, pues su
conocimiento será indispensable para resolver diversos problemas de las siguientes dos
unidades.
Identidades Trigonométricas Fundamentales
sen2(x) + cos2(x) = 1
sen(-x) = -sen(x)
cos(-x) = cos(x)
sen(x + y) = sen(x)cos(y) + cos(y)sen(x)
cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sen(x)sen(y)
sen2(x) = ½ (1 - cos(2x))
cos2(x) = ½ (1 + cos(2x))
EJEMPLO I.3.3.6.
Muestre que sen(2x) = 2sen(x)cos(x). En efecto, aplicando la identidad sen(x + y) =
sen(x)cos(y) + cos(y)sen(x), se tiene que: sen(x + x) = sen(x)cos(x) + cos(x)sen(x) =
2sen(x)cos(x)
EJEMPLO I.3.3.7.
Muestre que sen(x)cos(y) = ½ (sen(x - y) + sen(x + y)). Partimos verificando que:
Sen(x – y) = sen(x)cos(y) – cos(x)sen(y)
Sen(x + y) = sen(x)cos(y) + cos(x)sen(y)
Sumando ambas expresiones se tiene la identidad buscada.
ACTIVIDAD I.3.3.8.
1. Grafique las siguientes funciones trigonométricas
a) f(x) = -2sen(x)
b) f(x) = sen(2x)
c) f(x) = sen(x + π)
d) f(x) = cos(x) + 1
Solución:
a)
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-10 -5 0 5 10
125
b)
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-10 -5 0 5 10
c)
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-10 -5 0 5 10
d)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
-10 -5 0 5 10
2. Demuestre las siguientes identidades.
a) cos2(x) = ½ (1 + cos(2x))
b) sen2(x) = ½ (1 – cos(2x))
Solución:
Considere:
Cos(2x) = cos2(x)-sen2(x)
Ahora, como cos2(x) = 1 – sen2(x) = 1 + cos(2x) – cos2(x) ⇒ 2cos2(x) = 1 + cos(2x) ⇒
cos2(x) = ½ (1 + cos(2x))
De la misma manera:
Sen2(x) = 1 – cos2(x) = 1 – cos(2x) – sen2(x) ⇒ 2sen2(x) = 1 – cos(2x) ⇒ sen2(x) = ½ (1 –
cos(2x))
RESUMEN
En la presente sección se definen las relaciones trigonométricas sobre un triángulo
rectángulo y a partir de ellas las funciones especiales seno y coseno. Se entregan técnicas
para graficar estas funciones identificando parámetros como la amplitud, frecuencia y fase
126
y se termina la sección revisando algunas de las identidades trigonométricas que servirán
durante el resto del curso.
AUTOEVALUACION
Determine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
1. La función coseno es una traslación de la función seno.
2. Una amplitud negativa en la función coseno, implica que su imagen en 0 es igual a –1.
3. cos(2x) = cos2(x) + sen2(x)
4. sen(2x) = 2sen(x)cos(x)
5. sen(-x) = sen(x)
RESPUESTAS
1. Verdadero.
2. Verdadero.
3. Falso.
4. Verdadero.
5. Falso.
GLOSARIO
Amplitud: Parámetro de una función seno o coseno que regula el intervalo de variación de
la función.
Cateto Adyacente: Lado de un triángulo rectángulo que es adyacente con un ángulo
determinado.
Cateto Opuesto: Lado de un triángulo rectángulo que es opuesto a un ángulo determinado.
Fase: Parámetro de una función seno o coseno que regula el desplazamiento o traslación de
la función con respecto al origen.
Frecuencia: Parámetro de una función seno o coseno que regula el número de ondas de la
función en un intervalo del dominio. Si la frecuencia es 1, se tendrá un ciclo completo en el
intervalo [0, 2π]. Si es mayor que 1, habrán más ciclos en dicho intervalo. Si es menor que
uno no alcanzará a haber un ciclo completo en el intervalo.
Función: Relación que asocia a cada preimagen una única imagen.
127
Función trigonométrica: Función cuya relación esta determinada por una relación
trigonométrica.
Identidad: Igualdad de funciones que es cierta para todos los argumentos o valores del
dominio posibles.
Imagen: Elemento del conjunto de llegada de una relación o función asociado a un
elemento del dominio particular.
Hipotenusa: Lado mayor de un triángulo rectángulo.
Sentido Antihorario: Recorrido de un giro en contra de las manecillas del reloj.
Teorema de Pitagoras: Teorema que establece la relación entre la hipotenusa y los catetos
de un triángulo rectángulo (h2 = a2 + b2).
Triángulo Rectángulo: triángulo que tiene un ángulo recto (90° grados).
SIMBOLOS
Sen(x) : Seno de x
Cos(x) : Coseno de x
Tan(x) : Tangente de x.
Cotan(x) : Cotangente de x.
Sec(x) : Secante de c.
Cosec(x) : Cosecante de x.
128
I.3.4. OTRAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
En base a las relaciones trigonométricas tangente, cotangente, secante y cosecante, también
es posible definir funciones trigonométricas: Las funciones tan, cotan, sec y cosec, de la
siguiente forma:
tan : ℝ - {π(2k+1)/2: k entero}→ ℝx a tan(x)
La función tangente no se encuentra definido en aquellos puntos donde se anula la funcióncoseno, pues debemos recordar que tan(x) = sen(x) / cos(x); luego, no se encuentra definida
en todos los múltiplos impares de π/2. La gráfica de la función se muestra a continuación:
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
-4 -2 0 2 4
cotan : ℝ - {kπ: k entero} → ℝx a cotan(x)
La función cotangente no se encuentra definida en aquellos puntos donde el seno se anula,
pues cotan(x) = cos(x) / sen(x), de esta manera, no está definida para todos los múltiplos de
π. La gráfica de esta función adquiere la forma siguiente:
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
-4 -2 0 2 4
129
sec : ℝ - {π(2k+1)/2: k entero} → ℝx a sec(x)
La función secante no se encuentra definida para los mismos puntos que para la funcióntangente, su gráfica es la siguiente:
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
-4 -2 0 2 4
cosec : ℝ - {kπ: k entero} → ℝx a cosec(x)
La función cosecante no se define para los mismo puntos que para la cotangente. La gráfica
de esta función tiene la forma:
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
-4 -2 0 2 4
Como las funciones tangente, secante, cotangente y cosecante se construyen en base a las
funciones seno y coseno, es posible aplicar los conceptos de identidades de estas últimas
para resolver identidades.
EJEMPLO I.3.3.1.
Muestre que cosec(x) = sec(x) ⋅ cotan(x). En efecto:
sec(x) ⋅ cotan(x) = 1 / cos(x) ⋅ cos(x) / sen(x) = 1 / sen(x) = cosec(x)
EJEMPLO I.3.3.2.
Muestre que: Sec2(x) = 1 + tan2(x). En efecto:
Sec2(x) = 1 / cos2(x) = (sen2(x) + cos2(x)) / cos2(x) = sen2(x) / cos2(x) + 1 = tan2(x) + 1
130
RESUMEN
En la presente sección se definen las funciones trigonométricas tangente, secante,
cotangente y cosecante. Se revisan sus gráficas y algunas propiedades elementales.
AUTOEVALUACION
Determine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
1. La función tangente se define para todos los reales.
2. Sec2(x) + tan2(x) = 1
RESPUESTAS
1. Falso.
2. Falso.
GLOSARIO
Función: Relación que asocia una única imagen a cada elemento del dominio.
Función trigonométrica: Función cuya relación se expresa por medio de una relación
trigonométrica.
Identidad: Igualdad de funciones trigonométricas válidas para todos los elementos del
dominio.
SIMBOLOS
Sen(x) : Seno de x.
Cos(x) : Coseno de x.
Tan(x) : Tangente de x.
Cotan(x) : Cotangente de x.
Sec(x) : Secante de c.
Cosec(x) : Cosecante de x.