cambio de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas

7/22/2019 Cambio de Coordenadas Rectangulares a Coordenadas Esféricas

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ECUACION DIFERENCIAL DE CALOR EN COORDENADAS ESFERICAS

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I. FUNADAMENTACION TEORICA

a. RELACIONES TERMODINAMICAS

La Termodinámica clásica considera sistemas en equilibrio y predice la cantidad de calor aintercambiar para que un sistema pase de un estado inicial de equilibrio a otro final deequilibrio. En transferencia de calor hacemos uso de conceptos y leyes de latermodinámica clásica. Una ley muy utilizada es el primer principio de la termodinámica oprincipio de conservación de la energía. Para el caso de un sistema cerrado de masasolida incompresible, no hay trabajo de deformación posible. Entonces, la variación de laenergía interna del sistema después de un tiempo ∆t equivale al calor transferido al

sistema más el calor generado en el sistema: U = Q∆t + Qv ∆t. En intervalos infinitesimales,

dU/dt = dQ+ dQV.

Si consideramos la energía interna específica para este caso, du = dU/ᴘV = CvdT, dondeCv [J=kg K] es el calor especifico a volumen constante. En el caso de un sólido, pordefinición incompresible, Cp = Cv, por lo que:

………………………. (1.1)

Es la ecuación de balance de energía cuando no se realiza trabajo (W).

Para un sistema monofásico, cerrado y en equilibrio, la ecuación de la energía se escribe:

…………………………… (1.2)

Recordemos también la definición de la función la entalpia como función de estado h = u +pv y su forma diferencial es:

………………………………… (1.3)

Para un sistema que no cambia su volumen, dV = 0 y dW = 0, podemos definir másrigurosamente desde (1.2) el calor específico a volumen constante:

……………………………………. (1.4)

Por otro lado, para un proceso a presión constante isobárico reversible, el cambio deentalpia es equivalente al calor que entra/sale del sistema: dh = dQp Luego, el calorespecifico a presión constante:

……………………………………. (1.5)

La diferencia entre los calores específicos nos permite caracterizar al medio aunque estono se desprende fácilmente a partir de restar (1.4) y (1.5). Es necesario trabajar lasexpresiones con cambios de variable que provienen de las relaciones de Maxwell para




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termodinámica.

Consideremos la ecuación para la energía interna (1.2). Si derivamos con respecto a spara un volumen constante

………………………… (1.6)

De acuerdo a la ecuación para la entalpia (1.3), si derivamos con respecto a v en formaisotrópica, resulta:

…………………………. (1.7)

Podemos derivar (1.6) con respecto a v y (1.7) con respecto a s, resulta

……………………….. (1.8)

…………………………. (1.10)

Si definimos coeficientes de expansividad isobárica

Y de compresibilidad isoterma

Sustituyendo en (1.10) y usando la relación:

Obtenemos:

Si se aplica a un gas se llega a Cp- Cv=R mientras que en el caso de solidos/líquidos .




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b. Campos de Temperatura y Flujos decalor

En Transferencia de calor se extienden las bases de la termodinámica clásica haciaproblemas en donde se estudian propiedades fís icas en el espacio y en el tiempo.Los procesos de transmisión del calor aparecen en sistemas que poseen regiones a

distintas temperaturas, de forma que el campo T = T (x, y, z, t) es una variablefundamental en los distintos modelos que estudiaremos.

Si consideramos todos los puntos de un cuerpo que se encuentran a la mismatemperatura, obtenemos una superficie isoterma. La figura 1.2 representa un corte que

pone de manifiesto tres curvas isotermas. La temperatura varia en las direccionesque cortan a las isotermas y la variación es máxima en la dirección del gradiente delas curvas. Observemos que el gradiente varía también en el espacio y

su módulo depende de la rapidez del cambio de T en la dirección . Gráficamente, si las curvas se acercan, el modulo aumenta.

Figura 1.2: Izq.: L ıneas Isotermas. Der.:Isotermas e isoflujos dividen al dominio.




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Figura 1.3: Vector densidad de flujo de calor.

Por otra parte, consideremos una superficie isoterma diferencial como la de la figura1.3. La superficie se define a partir de una normal n ¯ y supongamos que esatravesada por una cantidad de calor dQ. El flujo de calor ocurre a lo largo deltiempo y es en general más practico distinguir la cantidad de calor por unidad detiempo dQ/dt. Para independizar esta cantidad del tamano de la superficieconsiderada, se define la densidad de flujo de calor segun:

Dado que el calor atraviesa la superficie segun su normal n ¯ podemos definir un

vector que contenga la dirección, la vector densidad de flujo:

q = qx ¯ ix + qy ¯ iy + qz ¯ iz ……………………………………………… (1.12)

El vector resulta normal a la superficie isoterma. Pueden ası asociarse líneas de

flujo de calor, tangentes a los vectores de flujo, lıneas de isoflujo, que definidas sonperpendiculares respecto de las isotermas. Graficamente, puede dividirse un dominiomaterial segun lıneas de isoflujo e isotermas a fin de una rápida caracterizacion delfenomeno.

Para evaluar el flujo total de calor a trav´

es de la superficie S: ∫ ………………………… (1.13)

Para el calor “sale” y en caso contrario entra al sistema.

TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCIÓN

Cuando en un medio sólido existe un gradiente de temperatura, el calor setransmite de la región de mayor temperatura a la de menor temperatura. El calortransmitido por conducción por unidad de tiempo qk es proporcional al gradiente de

temperatura dT/dx multiplicado por el área A a través del cual se transfiere es decir:




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T: temperatura; x: Dirección del flujo de calor

El flujo de calor depende de la conductividad térmica k que es la propiedad física del medio[W/m K], luego se tiene




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II. DEDUCCION DE LA FORMULA DIFERENCIAL DE CONDUCCION DECALOR EN COORDENADAS ESFERICAS

Para facilitar su deducción haremos las siguientes suposiciones:

a) el sólido es homogéneo e isótropo;b) sus parámetros físicos son constantes;c) las variaciones de volumen debidas a los cambios de temperatura son muypequeñas frente al propio volumen del cuerpo;d) no existe movimiento relativo entre las macropartículas del sólido;e) las fuentes internas de calor [expresadas en el caso general en la formaq,, = f(r, θ, Ø, t)] están distribuidas uniformemente.

A. ESQUEMA

ELEMENTODIFERENCIAL




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CALCULO DE AREAS DEL ELEMENTO DIFERENCIAL DE VOLUMEN:

SEGÚN LA DIRECCION RADIAL(r):

Pero sabemos que:

;

Pero: y también

( ) ( )




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En las direcciones siguientes se sigue el mismo procedimiento. Por lo que se omitiránlos detalles.

En dirección de θ

En dirección de Ø




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CÁLCULOS Y ANÁLISIS FÍSICO DIFERENCIAL.

DIRECCION r:

Pero:

Entonces:

()

[ ]

DIRECCION θ:




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Pero:

DIRECCION φ:




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Luego reemplazamos en la formula 1:

[ ]

Pero sabemos que:

En los 3 ejes es:

Además la diferencial de volumen es:

Ahora reemplazando en ():

*

+rdrdddt

Factorizamos el rsin():

Calor generado por las fuentes internas de calor durante dt:




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Pero sabemos que:

Entonces :

Luego para du tenemos:

Entonces :

Por ultimo:

Reemplazando () y () en ():




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Bibliografía

Cengel 3ed transferencia de calor Fundamentos de Transferencia de Calor y de Masa - Incropera - 4ed Apuntes de transmisión de calor. Autor: Agustín Martin Domingo Programas solidworks 2013

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