cambio de coordenadas rectangulares a polares x x y y

Integración polar y aplicaciones CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

El plano Euclidiano tiene asociadas dos rectas perpendiculares una horizontal(eje de las abscisas ) y otra vertical(eje de las ordenadas ) con intersección en un punto = ( ) llamado origen. En este plano el par ( ) identifica un punto en

, donde es un valor en el eje , es un valor en el eje .

Así mismo el plano polar tiene asociada una semirrecta horizontal (eje polar), la semirrecta inicia en el punto llamado polo ó origen polar, el par ( ) identifica un punto donde es la distancia dirigida de hacia , es el ángulo desde hacia la recta que contiene el radio

vector (antihorario positivo, horario negativo).

En este caso ( ) son llamadas de .

La recta perpendicular al eje polar en el origen polar es llamado eje a 2

x

y P(x,y)

O

Las coordenadas polares ( ) de un punto no son únicas pues ((-1) , ) ; serán también coordenadas polares de . Por ejemplo ( ), ( ), ( ), ( ), …….. son coordenadas polares de un mismo punto.

Consideremos los sistemas de coordenadas rectangulares y polares y hagamos coincidir el eje polar con el semieje positivo de las abscisas +.

x

2 P(r, )

O

r

11.1. CAMBIO DE COORDENADAS RECTANGULARES A POLARES.

Coordenadas polares

coordenadas rectangulares

coordenadas polares

- 177 -

Observación:

Cambio de coordenadas

X Y O 0, 0x, y P

x X y Y

OXO r, P r

O P OX

OP

r, P

r, P nr +n nP 2, -2, 2 2,3 -2, -

OX X

qq

p

q q

p

→

θ

π ∈π π π π

θ

θ

Z


Las coordenadas de un punto en coordenadas rectangulares y coordenadas polares son respectivamente ( ) y ( ) en estas condiciones podemos establecer una relación entre estas dos coordenadas:

cos

22

La distancia polar entre dos puntos ),(,),( 2211 podemos obtenerlo según la ley de

cosenos )cos(2),( 12212

22

1

2B

d( )

x

2P(r, )

O

r

y

Así como en coordenadas cartesianas representa una ecuación, en coordenadas polares se tendrá . Además si en la ecuación polar podemos despejar esta será llamada .

i) Si la recta pasa por el polo su ecuación es dada por (constante).ii) Si la recta no pasa por el polo. Para determinar su ecuación podemos considerar la recta

que pasa por el polo y es perpendicular a en ( ) entonces es dada por:

x

A

O

r1

1

r2

2

Px, y r,

rsenx

rx

x

yArct

yxr

rBrA

rrrrBAd

A, B

E(x, y) = 0E(r, ) = 0 r = f( )

L = L

L´ L Q s, L

q

q

q

q

qq

qq

p

p

q q

q b

b

Cambio de coordenadas polares a rectangulares:

Cambio de coordenadas rectangulares a polares:

Distancia en coordenadas polares

- 178 -

11.2. ECUACIONES Y FUNCIONES POLARES.

Ecuaciones y funciones polares

función polar

Ecuación polar de la recta

=

=

=

+±=

−−+=

θ

θ

θθ


i) Si la circunferencia tiene centro en el polo su ecuación es dada por .ii) Si la circunferencia tiene centro ( ) distinto del polo y radio . Podemos usar la ley

de cosenos para determinar la ecuación polar de .

i) Si la cónica tiene foco F en el polo y directriz D perpendicular al eje polar a izquierda

del polo. Sabemos que ),(),(

: donde es la excentricidad de la cónica.

x

2

O

s

P

r

-

222 )cos(2:

d

x

2

Q

O

s

P

L´r

-

L

)cos(:

),( Considerando el gráfico:

Así ),( , ),()cos(),(),(),(),(

Si hacemos ),(),( entonces )cos(),(

Por tanto )cos(

:

x

2

MO=F

d

P

r

D

B

Ecuación polar de la circunferencia

Ecuación polar de la cónica

- 179 -

CC

C

C

r = dC s, d

eDPd

FPde

Cdrssr

srL

DPd

rFPd BOdrBOdOMdBMdDPd

DOdBOdd rdDPd

erd

r

±

p

bq

p

bq

q

q

q

p

β

ℑ

=ℑ

βθ

θ β=−−+

βθ

θ β

=−

= +=+==

== +=

=+

ℑ

θ


entonces ),(;)cos(1

:

ii) Si la cónica tiene foco F en el polo y directriz D perpendicular l eje polar a derecha del

polo. Tenemos ),(;)cos(1

:

iii) Si la cónica tiene foco F en el polo y directriz D paralela al eje polar. Tenemos

),(;)(1

:

Dada una ecuación polar , para analizar su gráfico se debe tener en cuenta:

Intersecciones con el eje polar, eje a 90º y el polo. Con el eje polar: En , hacemos determinamos , .

Con el eje a 2

: En , hacemos 2

determinamos , .

Con el polo: En , hacemos determinamos , .

Simetrías respecto del eje polar, eje a 90º y el polo. Con el eje polar: En hacemos ][ si la ecuación no se

altera tenemos simetría respecto del eje polar.

Con el eje a 2

: En hacemos ][ si la ecuación no se

altera tenemos simetría respecto del eje a 2

.

Con el polo: En hacemos ] si la ecuación no se altera tenemos simetría respecto del polo.

Extensión ó recorridos. Se determinan los valores que pueden tomar y .

x

2

O

(r, )

-

(r, - )

-

2(r, )

(-r, - )

DOddd

ree

DOddd

ree

DOddd

rsenee

E(r ) = 0

E(r ) = 0 n (r )

E(r ) = 0 n (r )

E(r ) = 0 r = 0 (r )

E(r ) = 0 rr

E(r, ) = 0 rr

E(r, ) = 0 rr

r

=−

=ℑ

ℑ

=+

=ℑ

ℑ

=±

=ℑ

=

+=

−=∧−=∨−=

−=∧−=∨−=

+=∨−=

θ

θ

θ

θ

θπ θ

θ

π θ

q

q

q

q

q pq qp

q pqp

q

q q

q pqqqq

p p

pq qqqpq

p

q pqq

q

p p

11.3. DISCUSIÓN POLAR DE GRÁFICOS Y RECTAS TANGENTES.

Discusión del gráfico de una ecuación polar

1.-

2.-

- 180 -

3.-


Tabulación. Considerando algunos valores para ó se determina , en un cuadro tabular.

Trazo del gráfico. Tomando en cuenta los puntos anteriores se traza el gráfico.

Dada la ecuación 0;)cos1( tenemos:Intersecciones:Con el eje polar: En 0;)cos1( hacemos obtenemos ),2(),0,0(

Con el eje a 2

: En 0;)cos1( hacemos 2

determinamos ),(),,(22

.

Con el polo: En 0;)cos1( hacemos determinamos )2,0( polo.

Simetrías:Con el eje polar: En 0;)cos1( hacemos ][ la ecuación no cambia por lo hay simetría.

Con el eje a 2

: En 0;)cos1( hacemos ][ la

ecuación se altera por lo que no hay simetría respecto del eje a 2

.

Con el polo: En 0;)cos1( hacemos ] la ecuación se altera por lo que no hay simetría respecto del polo.

Recorridos:Recorrido de sabemos que ]2,0[2)cos1(01cos1

Recorrido de como ,)cos1(

Tabulación:

06 4 3 2 3

2

6

5

0 0.13a 0.29a 0.5a a 1.5a 2.86a 2a

Gráfico:

x

2

O(2a, )

4

)2

,(

4.-

5.-

Ejemplo:

- 181 -

r (r )

aar

aar n a

aar n aa

aar r = 0 k

aar rr

aar rr

aar rr

r araat

IRIRIRar

3

a

q q

q

q pq pp

q pqp pp

q p

q pqqqq

pq qqqpq

p

q pqq

q

q qqq

qp p p p p p

p

p

pp

>−=

>−= =

>−= += −

>−=

>−= −=∧−=∨−=

>−= −=∧−=∨−=

>−= +=∨−=

∈⇒≤−≤⇒≤≤−

∈⇒∈∀∈−=

π


Dada la función polar sabemos que ( , es representada cartesianamente por:

)(

cos)(cos

Que son las ecuaciones paramétricas de la función polar.

Si existen ( ), ( ) entonces )()()(')()()('

)(')('

)(

)(

Ahora si es una recta tangente al gráfico de con ángulo de inclinación en ( ,Entonces la pendiente de es dada por:

)(

)()(

Por otro lado si es el ángulo que forma el radio vector y se tienen los casos:i) )()(

2P(r, )

r=f( )

LT

ii) )())(()(

De los caso (i) y (ii) se tiene )()(

Entonces )(')(

))(1(

))(1()()(1)()(

)(2

2

2

P(r, )

r=f( )

LT

xO

-

xO

Derivadas y rectas tangentes en coordenadas polares

- 182 -

r = f( ) r )

senfrseny

frx

x´ y´tgff

ftgf

x

y

dx

dy

rtgd

dr

rd

drtg

LT r = f( ) P r )LT

rtgd

dr

rd

drtg

tgdx

dy

OP LT

tgtg

tgtgtg

tgtg

f

f

d

drr

tgd

drtgr

tgtg

tgtgtg

q q

qqq

qqq

q qqqq

qqq

q

q

qq

qq

q q

qq

qq

a

qabbqa

p

qaqapbqpab

qab

q

q

qq

q

q

qa

qab

p

==

==

−+

==

−

+=

α

−

+==

β→−

−=⇒+=

θ

θθ

β α

−=−+=⇒−+=

−=

==+

+=

+−

=

θ

θ

θ

β

α π θ

θ


Hallar los ángulos , , las ecuaciones cartesiana y polar de la recta tangente a la curva ))(1(4 en (4, 0º).

Según el grafico

4|)cos(4 0

Entonces 4

144

)0(44)0(44

)(

Además 4

144

)0(')0(

)(

Ahora si ( , = (4, entonces )(

)cos(

entonces 0

4 ( , = (4, 0)

x

2

(4, )

2,8

(4, 0)

LT

L´T

entonces 0

( , = (4, 0)

Entonces pasa por (4,0) y tiene pendiente 1

Cartesianamente se tiene .

Para la forma polar sea la recta perpendicular a por el polo entonces

Por la forma de se debe tener 4

7 ángulo de inclinación de

Entonces )4

7()

4

7cos(:))

4

7(cos(:

Intersectando 22)2,2(),(' 00

Por tanto polarmente se tiene 22))4

7(cos(:

Ejercicio

Solución:

- 183 -

α β+=

=⇒= =

=⇒==−+

=

=⇒===

=

=

=

=⇒

π

γ

β

α

=⇒

=

=

=+⇔=−

=⇒−==∩

=−

q

qq

qq

paa

pbb

qq

q

p

p

pg

pppq

pq

senr P

d

dr

d

dr

tg

tgtg

f

ftg

P r ) P 0º )rseny

rx

y

xP x0 y0 ) P

yP x0 y0 ) P

LTTLm

LT : x - y - 4 = 0

L´T LT L´T : y = -x

LT L´T

sysenxLsrL TT

syxLL TT

rLT


Considerar la función polar ( ) contínua y ],[,0)(En coordenadas polares para hallar el área de la región formada por el gráfico de con las rectas , . Tomamos una partición = ,.......,0 de [ , ]

Nos aproximamos por área de sectores circulares en el subintervalo ],[ 1 el cuál es el

semiproducto del radio al cuadrado por el arco. 21

2

1

2

1))((

Si | | 0 usamos integral de Riemann para obtener:

22 ))((2

1

2

1

x

2

R

O

=

r = f( )

=

i

i-1

i

ri

Dadas las funciones polares ( ) , ( ) contínuas y ],[,0)()( . Entonces el área de la región limitada por , y las rectas , es dada por:

]))(())([( 22

2

1

x

2

R

O

=

r = f( )

=

r = g( )

11.4. INTEGRACIÓN POLAR Y APLICACIONES.

Área en coordenadas polares:

Observación:

- 184 -

Observación:

r = f f

R f

n

Ai ii

iiiiiii rrrA

dfdrAR

r = f r = g fgR f g

dfgAR

q baqq

bqaq

bqaq a b

qq

qqq

b

a

b

aqqq

p

q q baqqqbqaq

b

aqqq

p

∈≥

=={ }==

−

∆=−= −

→

∫∫ ==

θ α

θ

θ β

∆θ

θθ

∈≥≥==

∫ −=

θ α

θ

θ β

αβ

θ

P

P


Hallar el área interior de la región limitada por )2cos(9,32 2

Primero 2

23es una circunferencia con centro en el polo y radio

2

23.

Segundo )2cos(92 es una lenniscata sobre el eje a 90º pasa por el polo e interfecta el eje

polar en ),3(),0,3( y el eje a 90º en ),9(2

.

Para identificar la región R necesitamos los puntos de intersección.

Por simetría basta hallar un solo punto de intersección: reemplazando 2

23 en

)2cos(92 tenemos 3

2)2cos( .

Entonces 3

obteniendo la intersección 32

23, .

Por simetría se tienen las intersecciones: 32

23, ,

3

2

2

23, ,

3

4

2

23, ,

3

5

2

23,

x

2

R1

O

4

3

Entonces 2

3

23

4

21

2

1

2

144

2

3

3

4 2

9

2

1

2

1)2cos(94

)336(2

3

xO

EjercicioSolución:

- 185 -

q

q

pp

qp

q

pq

p

p p p p

p

p

p

p

p

p

p qq

p

p

p

p qqq

p

−==

=

−=

=

−= =

=

+== ∫∫

+−= ∫∫

−+=

rr

r

r

r

r

drdrRAR

dd


Considerar la función polar ( ) con derivada contínua ],[En coordenadas polares para hallar la longitud de arco formado por el gráfico de desde

, . Consideremos las ecuaciones paramétricas de la función polar:

)cos()()('

)()(cos)('

)(

cos)(

Entonces 2222

)(')(

Tomamos una partición = ,.......,0 de [ , ] .

Si | | 0 podemos usar integral de Riemann en longitud de arco para obtener:

22 )]('[)]([

Hallar la longitud de arco de la cardioide ))cos(1(4

Esta cardioide es simétrica respecto del eje polar.

x

2

(8, )

(r, )

r

Ahora dada ))cos(1(4 entonces )(4

Entonces 00

22 )cos(182)](4[))]cos(1(4[2

00)]([32)cos(282

22 = 321

Considerar la función polar ( ) contínua en ],[ . Para determinar el volumen del sólido de revolución S obtenido al rotar una región formada por el gráfico de con las rectas

, alrededor del eje polar. Tomamos una partición = ,.......,0 de

[ , ] . Luego nos aproximamos por volúmenes de sólidos obtenidos al rotar las regiones (sectores circulares) alrededor del eje polar.

Longitud de arco en coordenadas polares

Ejercicio Solución:

- 186 -

Volumen de sólidos de revolución en coordenadas polares

r = f

f

fsenfd

dy

senffd

dx

senfy

fx

ffd

dy

d

dx

n

dffL

r

r send

dr

ddsenL

send

r = fR f

n

Si Ri

q baq

bqaq

qqqqq

qqqqq

qq

qq

qqqq

bqaq a b

b

aqqq

q

p

q qq

ppqqqqq

pp qqq

q baq

bqaq bqaq

a b

∈∀

==

+=

−=⇒

=

=

[ ] [ ]+=

+

{ }==

→

∫ +=

+=

π

θ

θ

+= −=

∫∫ +=−++=

== ∫

∈

== { }==

P

P

P


En coordenadas cartesianas sabemos que:

)cos(

0

)cos(

)cos(

)cos(

0 12222

2222 1

2

1

)()()(

11

1113

213

)cos()cos(

3

2

))cos()(cos(3

2

Si | | 0 podemos usar integral de Riemann para obtener:

)())((3

2)(

3

2 33

Hallar el volumen del sólido obtenido al girar la cardioide ))cos(1(2alrededor del eje polar.

x

2

R

O

=

r = f( )

=

1

2

r Riy = xtg( 2)

y = xtg( 1)

y =22

Por simetría basta rotar la parte superior de la cardioide.

3

64)()))cos(1(2(

3

2)(

3

20 0

33

Considerar la función polar ( ) contínua en ],[ . Para determinar el centro de masa

),( de una región formada por el gráfico de f con las rectas , . Tomamos una

x

2

(4, 0)

R

O

∫ ∫ ∫−−+=

∆

∆

−∆+−=

−=

→

∫ ∫==

+=

θ α

θ

θ β

θθ

θ

θ

−

=+== ∫ ∫

∈==

q q

q

qqppqp

qq

qqqp

qqp

b

a

b

aqqq

pqq

p

q

p

p

pqqqp

qqp p p

q baq

bqaq

p

r r

r

r

S dxtgxdxxrdxtgxVi

r

r

dsenfdsenrVS

r

xr

dsendsenrVS

r = f

yx R

P

Ejercicio:

- 187 -

Centro de masa de una región en coordenadas polares


partición = ,.......,0 de [ , ] . Y nos aproximamos con los centros de masa

de los triángulos que es el baricentro(intersección de las medianas)

Recordando que en coordenadas cartesianas para se tiene: 32

,32

Momento respecto del eje es dado por. MX = )(;3

2

Momento respecto del eje es dado por. MY = )cos(;3

2

Si | | 0 se tiene donde 2

2

1 área del sector circular.

Entonces para la región usamos integral de Riemann:

)(3

1

2

1)(

3

2 32

xi

2

R

O

=

r = f( )

=

Ri

Si

Ci= ),(3

2

3

2

yi

)cos(3

1

2

1)cos(

3

2 32

Entonces :,),(

)(31

,)cos(

31

),(

33

P

P

{ }==

=

=

=

→ → ∆=

∫ ∫==

θ α

θ

θ β

θ

∫ ∫==

=

=

=∫∫

bqaq a b

qr

qr

q

b

a

b

aqqrqqr

p

b

a

b

aqqrqqr

r

a

b

a

bqqqq

n Ci

Ri

Ri iii yxC

X rsenyAy iRi i

Y rxAx iRi i

ii SR AA iiS rAi

R

dsenrdrrsenM X

ii yx

drdrrM Y

RXY Am

m

M

m

Myx

RR A

dsenr

A

dryx

- 188 -


I.- Discutir y trazar la gráfica de: 1) r = 4 (2 ) Rosa de 3 pétalos. 2) r = a (2 ) Rosa de 4 pétalos. 3) r = 2-4 ( ) Caracol. 4) r = e Espiral logarítmica. 5) r = /2 Espiral de Arquímedes. 6) r = b+a ( ) Limaron b>a>0. 7) r = 2a ( ) ( ) Cisoide. 8) r = a(2+ ( )) Caracol de Pascal.

II.- Hallar los puntos de intersección de: 1) r = 2 ( ) , r = 4 ( ) 2) r = a , r = 2a (2 ) 3) r = 4 ( ) , r(1+ ( )) =1 4) r = 4 ( ) ( ) , r = 4 ( ) 5) r2 (2 ) = 8 , r ( ) = 8 6) r = a(1+ ( )) , r = a(1- ( ))

III.- Hallar el ángulo , y la pendiente de la recta tangente en los puntos dados.

1) r2 = a2 (2 ) , P = 6

,2

2) r(1+sen( )) = 4 , P =2

,2

3) r = 4 (3 ) , P = 6

,4

IV.- Hallar el área de la región R limitada por: 1) r = a (5 ) 2) r = a (2 ) 3) r = b+a ( ) ;0<b<a 4) r = a (4 ) 5) r = | 4 (2 ) | 6) r2 = 2a2 (3 ) 7) La región comprendida por: r = a ( ) , r = a(1+cos( )) 8) La región comprendida por: r = 2a (2 ) , r = 2 (2 )

IV.- Hallar la longitud de arco de las curvas:IV.- Hallar la longitud de arco de las curvas:

1) r = 2b ( ) ( ), b>0 desde = 0 hasta 3

2) r = a2

2sec desde = 0 hasta 2

3) 1

2

1 desde r = 1 hasta r = 3.

V.- Hallar el volumen de los siguientes sólidos: 1) Del sólido obtenido al girar en el eje polar la región limitada por una semiespira de la

espiral de Arquímedes r = a , a > 0 , 0 . 2) Del sólido obtenido al girar r = a ( ) alrededor del eje polar. 3) Del sólido obtenido al girar r = 3 (2 ) alrededor del eje polar.

4) Del sólido obtenido al girar r = a ( ) ; = 0 ,2

alrededor del eje polar.

11.5. RELACIÓN DE EJERCICIOS.

- 189 -

cos sencos

costg sen cos

csc sen coscos cos tg sen cos

sen cos sen sen

cosa

sen

cos sencos cos

sen sensensen cos

tg sen

rr

cos2

sen

tg

θ θθ θ

θ θθ θ θ

θ θ θθ θ θ θ θ

θ θ θ θ

α β

θ

θ

θ

θ θθ θθ θ

θ θθ θ

θ θ θ =

θ =

= +

θ ≤ θ ≤ πθθ

θ θ =

p

p

p

pq

q pq

q

pq

cambio de coordenadas rectangulares a polares x x y y

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