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Teora de la utilidad esperada

Esquema de Von Neumann y MorgensternLa relacin de preferencia sobre las loteras cumplen con los axiomas de completitud, transitividad e independencia

Agregan los siguientes axiomas:

Continuidad para pequeos cambios de probabilidades o de los resultados no se producen cambios en el ordenamiento de las loteras.

Monoticidad Si > , entonces tener el mejor resultado con probabilidad y el peor con probabilidad (1-) es preferible al mejor con probabilidad y el peor con probabilidad (1-).

Si > => xm + (1-)xp xm + (1-) xp


Agregan:

Sustitucin Si para cada x, el agente es indiferente entre el valor esperado de una lotera L1 y el valor esperado de una

lotera L2, entonces L1 L2

Reduccin de loteras compuestas Implica que el agente se interesa solamente en las probabilidades y los resultados y

no en cmo se componen las loteras.


Con estos axiomas VNM definen :

Se dice que la funcin de utilidad U : L X R es

una funcin de utilidad de Von Neumann y Morgenstern (VNM) si existen n nmeros u1, u2, , u

nasociados respectivamente a x1, x2,, , xn

tales que para cada lotera L = (p1 , p2, , pn ; x1,

x2,, , xn) L X se verifica que:

U(L) = p1 u1 + p2u2 + + pnun


Teorema de la utilidad esperada:Si la relacin de preferencia sobre L (X) es racional, continua y verifica el axioma de independencia, entonces admite una representacin en forma de utilidad esperada de VNM

Es decir existen n valores reales de u(x1), u(x2), , u(xn), tales que L, L L (X),

L = (p1, p2, , pn ; x1, x2,, , xn) L= (p1, p2 , , pn ; x1, x2,, , xn)

u(xi)

u(xi)

U(L) U(L)


Una persona est evaluando dos alternativas en un puesto de ventas.

x1: Ganar $2500 por mes, con una probabilidad de 40%

x2: Ganar $1600 por mes, con una probabilidad de 60%

U(L) = p1u(x1) + p2u(x2)

Suponga que la persona tiene una funcin de utilidad exponencial -> U(x) = x1/2

Entonces, la UTILIDAD ESPERADA DE LA DECISIN es:

U(L) = 0,4 x (2.500)1/2 + 0,6 x (1600)1/2 = 44


Ntese la diferencia entre estos tres conceptos:

Valor esperado de la lotera:

E(L) = 0,4 (2500) + 0,6 (1600) = 1960

Utilidad del valor esperado:

U(E(L)) = (1960)1/2 = = 44.27

Utilidad esperada de la lotera:

U(L) = 0,4 x (2.500)1/2 + 0,6 x (1600)1/2 = 44


La utilidad esperada le permite al decisor comparar LOTERIAS (incorpora el riesgo dentro del proceso decisorio).

Dados un conjunto L X de loteras, asumimos que la gente prefiere la situacin que le genera la mejor utilidad esperada el agente es un maximizadorde utilidad esperada.

No se comparan valores monetarios. Es posible que dos situaciones tengan el mismo valor esperado, pero que las utilidades esperadas sean diferentes.


Ejemplo:Suponga que una persona con preferencias representadas por

la funcin de utilidad de la riqueza evala lo siguiente:

U(x) = ln(x)

L1 = Recibir $50,000 con certeza

L2 = Recibir $10.000 o $90.000 con 50% de probabilidades

Lo valores esperados:

E(L1) = 50.000E(L2) = 1/2 (10.000) + 1/2 (90.000) = 50.000

Pero, cul prefiere?


Recuerde: U=ln(x)

U(L1) = ln(50.000) = 10,82U(L2) = 0,5 ln(10.000) + 0,5ln(90.000) = 10,31El decisor prefiere la primera opcin porque:

10,82 > 10,31

U(L1) > U(L2)

L1 L2(Por las condiciones que impusimos en la relacin

de preferencias)

Otro ejemplo:

U(L) = L1/2 Lotera 1 = Posibilidad de ganar $2500 con 40% o $1600 con 60% Lotera 2 = Posibilidad de ganar $5000 con 25% o $1000 con 75%

L1 L2 E(L1) = (0,4 x 2500)+ (0,6 x 1600) = $1960 E(L2) =(0,25 x 5000) + (0,75 x 1000) = $2000

U(L1) = 0,4 (2500)1/2 + 0,6 (1600)1/2 = 44 U(L2) = 0,25 (5000)1/2 + 0,75 (1000)1/2 = 41,4

Observe que:

E(L1)

Riesgo

E(W) = (1-P) W + (P)(W-L)

E(W) = 0,98(200.000) + 0,02(200.000-75.000) = $198.500

U(W) = (1-P) ln(W) + (P) ln(W-L)

U(W) = 0,98 ln(200.000) + 0,02 ln(200.000-75.000) = 12,197

Suponga ahora que puede agregar un sistema de aspersores en la casa.

Esto reducir la probabilidad de daos a $0, pero tiene un costo $C de

instalacin.

Cunto es el mximo que se estara dispuesto a pagar por el sistema?

Riesgo

UE(W) = 12,197Considerar (W-C) como el nuevo valor de riqueza. Ese valor tiene que ser mayor o igual a mi actual nivel de utilidad.

U(W-C) = 12,197

Ln(W-C) = 12,197

Exponenciar con base e (Recordar que eln(x) = x)

= ,

(W-C) = 198.128

W- 198.128 = C

200.000 198,128 = C = $1872

Riesgo

Riesgo

Definiciones:Dado un agente con funcin de utilidad del dinero u(x) y dada una lotera L sobre un conjunto de resultados (x1, x2, , xn) R, con valor esperado xo,

Se llama equivalente de certeza de L a la cantidad de dinero z

o, tal que U(z

o) = U(L)

Se llama prima de riesgo de L a la cantidad = xo -zo (valor esperado menos el equivalente de certeza).

RiesgoDefiniciones:

Sea X = R. Suponemos que la funcin de utilidad U(x) es estrictamente

creciente. (Si U(x) es diferenciable, esto implica que U(x) > 0 para todo x R.)

Un agente es:

Averso al riesgo en el intervalo [a,b], si el valor esperado de una lotera es al menos tan preferido como la misma lotera.

U(E(L)) U(L) - (U(x) 0 la funcin es cncava)

Neutral al riesgo en el intervalo [a,b], si el valor esperado de una lotera es indiferente a la lotera .

U(E(L)) = U(L) (U(x) = 0 la funcin es lineal)

Propenso al riesgo en el intervalo [a,b], si la lotera es al menos tan preferida como su valor esperado.

U(E(L)) U(L) (U(x) 0 la funcin es convexa)

Riesgo

SegurosSuponga que su ingreso (Y) est dado, pero shocks aleatorios que puedenreducirlo. Por ejemplo, se puede daar el auto o necesitar hacer arreglos ensu casa. Se puede pagar $ para reparar estos daos y regresar al estadonormal de las cosas.

L es la prdida de que un evento malo suceda.La probablidad de una prdida es p1La utilidad esperada sin seguro es U(Y) = (1-p1) U(Y1) + P1 U(Y1 L)

Suponga que puede comprar seguro que le cuesta PREM.Este seguro le compensa por la prdida L. (Prdida esperada = p1L)

En el buen estado, su ingreso es de Y PREMEn el mal estado, habiendo pagado PREM, pierde L, pero recibe el PAGO. Porlo que su ingreso es

(Y PREM L + PREM) EL INGRESO TIENE CERTEZA AHORAAsuma que PAGO = L y que Y en el mal estado es Y PREM

OBSERVE LO SIGUIENTE

El seguro ha hecho que el

ingreso sea con certeza.

Siempre se va a tener Y PREMLa prdida esperada es p1LEl ingreso esperado es E(Y)La utilidad esperada es U2La gente siempre debera estar dispuesta a pagar una prima que iguale la prdida esperada.

Pero tambin estn dispuestos a pagar una prima para evitar el riesgo (lnea cd)

La mxima cantidad que estn dispuestos a pagar es

p1L + prima de riesgo.

Seguros

Suponga que el ingreso es de $50.000 y que hay un 5% de probabilidad de tener un desperfecto mecnico en un vehculo que le generara una prdida de $15.000

La prdida esperada es 0.05 (15.000) = $750

U = ln(y)

La utilidad esperada del ingreso sin la compra del seguro es:

U(Y) = p ln(Y-L) + (1-p) ln(Y)U(Y) = 0,05 ln(35.000) + 0.95 ln(50.000) = 10,80

Cunto es lo mximo que se pagara por un seguro?

Seguros

La gente comprara seguro hasta tanto la utilidad con

certeza es al menos 10,8 (utilidad esperada sin seguro)

Ua = U(Y Prem) 10,8

En este caso:

Ln(Y-PREM) 10,8

Y-PREM e(10.8)

PREM Y- e(10.8)

PREM 50,000 49,021

PREM $979

Recordar que la prdida esperada era de $750

Entonces, esta persona est dispuesta a pagar ms que su

prdida esperada para evitar el riesgo ($979) que equivale a:

Prdida esperada + prima de riesgo = $979

$ 750 + prima de riesgo = $979

Por lo tanto, la prima de riesgo = $229

Medicin del riesgo

Medidas de Arrow Pratt de aversin al riesgo

Idea intuitiva: La curvatura de la funcin de utilidad de un agente, medida por su derivada segunda, nos informa de su grado de aversin al riesgo.

Definiciones:

Sea u una funcin de utilidad del dinero correspondiente a un agente. Se supone que u es dos veces diferenciable en [a,b]

El coeficiente de Arrow Pratt de aversin absoluta al riesgo en x es:

a(x) =

El coeficiente de Arrow Pratt de aversin relativa al riesgo es:

r(x) =

x

Medicin del riesgo

En el primer caso, lo que se mide es la cantidad de dinero que un individuo elegir para invertir en un

activo riesgoso, dado un cierto nivel de riqueza (w).

Si se quiere medir el porcentaje de riqueza invertido en activos riesgosos, se multiplica el ndice absoluto por la

riqueza (w) para obtener una medida de aversin al

riesgo relativa.

Medicin absolutaTipo de actitud frente al

riesgoComportamiento

Ejemplo de funcin de utilidad

Aversin al riesgo

absoluta creciente

(Averso al riesgo)

A medida que aumenta

la riqueza, menos dinerose destina a activos

riesgosos.

w-cw2

Aversin al riesgo

absoluta constante

(Neutral al riesgo)


la riqueza, la mismacantidad de dinero se destina a activos

riesgosos.

-e-cw

Aversin al riesgo

absoluta decreciente

(Tomador de riesgo)


la riqueza, ms dinerose destina a activos

riesgosos.

ln(w)

Medicin relativaTipo de actitud frente al

riesgoComportamiento

Ejemplo de funcin de utilidad

Aversin al riesgo relativa

creciente

(Adverso al riesgo)

A medida que aumenta la

riqueza, un menorporcentaje dinero se destina a activos riesgosos.

W - cw2


constante

(Neutral al riesgo)


riqueza, el mismoporcentaje de dinero se destina a activos riesgosos.

ln(w)


decreciente

(Tomador de riesgo)


riqueza, un mayor porcentaje de dinero se destina a activos riesgosos.

-e-2w-1/2

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