LÓGICO MATEMÁTICASEMESTRE 2010-I

PROBLEMAS: FUNCIÓN EXPONENCIAL

1. Procesos de aprendizaje.La división de cámaras fotográficas de la compañía Kodak produce una cámara digital con un lente de 35mm, el modelo A. El departamento de capacitación de Kodak determina que, después de concluir el programa de capacitación básico, un trabajador nuevo, sin experiencia previa, podría ensamblar

Cámaras modelo A cada día, t meses después de iniciar su trabajo en la línea de ensamblaje. a) ¿Cuántas cámaras modelo A puede ensamblar diariamente un trabajador nuevo,

después de la capacitación básicas?b) ¿Cuántas cámaras modelo A puede ensamblar al día un trabajador con uno, dos y seis meses de experiencia?c) ¿Cuántas cámaras modelo A puede ensamblar diariamente un trabajador experimentado promedio?

2. Diseminación de una epidemia.Durante una epidemia de gripe, la cantidad de niños del sistema escolar del distrito de los Olivos que contrajeron la enfermedad después de t días está dado por

a) ¿Cuántos fueron atacados por la enfermedad después del primer día?b) ¿Cuántos estaban contagiados después de 10 días?

3. Difusión de un rumor.300 estudiantes asistieron a la ceremonia de inauguración de un nuevo edificio en el campus de su universidad. El presidente de la universidad (que tradicionalmente era sólo para mujeres) anunció un programa de estudiantes que supieron el nuevo programa t horas después está dado por la función

Si 600 estudiantes del campus han escuchado acerca del nuevo programa dos horas después de la ceremonia, ¿Cuántos estudiantes habrán oído de esta política después de 4 horas?

4. Crecimiento de una población.Suponga que la población de un país (en millones), en cualquier instante t aumenta de acuerdo con la regla

Donde P denota la población en cualquier instante t, k es una constante que refleja la tasa natural de crecimiento de la población, es una constante que proporciona la razón

(constante) de inmigración y es la población total del país en el instante . La

población de los Estados Unidos en 1980 ( ) era de 226.5 millones. Si la tasa natural

de crecimiento es de 0.8% anual ( ) y se permite una inmigración neta de a razón

de medio millón de personas por año ( ) hasta el final del siglo, ¿Mediante este modelo matemático cuál sería su población en el año 2000?

5. Respuesta a una publicidad.

Suponga que el porcentaje R de personas responde a un anuncio periodístico relativo a un nuevo producto y que adquieren el artículo después de t días, se determina mediante la función.

a) ¿Qué porcentaje ha respondido y adquirido el artículo después de 5 días?b) ¿Qué porcentaje ha respondido y adquirido el artículo después de 10 días?

c) ¿Cuál es el máximo porcentaje de personas que se esperan respondan y adquieran el artículo?

PROBLEMAS: FUNCIÓN LOGARÍTMICA

1. Presión sanguíneaLa presión sanguínea sistólica normal de un niño se puede aproximar mediante la función:

Donde P(x) se mide en milímetros de mercurio (mmHg), x se mide en libras, m y b son constantes. Dado que m=19,4 y b=18, determine la presión sanguínea sistólica de un niño que pesa 92 libras.

2. Alcohol y Manejo.Es posible medir concentración de alcohol en la sangre de una persona. Investigaciones medicas recientes señalan que el riesgo R (dado como porcentaje) de tener un accidente automovilístico se modela mediante la ecuación

Donde x es la concentración variable de alcohol en la sangre y k una constante.a) Suponga que una concentración de alcohol en la sangre de 0.04 produce un riesgo de

10% (R=10) de sufrir un accidente. Determine la constante K de la ecuación.b) Utilice el valor de k e indique cual es el riesgo si la concentración es de 0.017c) Con el mismo valor de k encuentre la concentración de alcohol correspondiente a un

riesgo de 100 por ciento.d) Si la ley establece que las personas con riesgo de sufrir un accidente del 20% o de

mayor no deben de manejar, ¿con cuál concentración de de alcohol en la sangre debe un conductor ser arrestado y multado?

3. Aplicación a la Medicina Legal: Determinar la hora de un fallecimiento.Un empresario industrial fue encontrado asesinado en su casa. La policía llegó a la escena a las 9:00 p.m. La temperatura del cadáver en ese momento era de 30º C y una hora después era de 28º C. La temperatura de la habitación en que se encontró el cadáver era de 20º C. Estime la hora en que ocurrió el crimen.

El modelo matemático para nuestro problema forense, de acuerdo a la ley de enfriamiento de Newton, es:

Donde T es la temperatura del cuerpo para t unidades de tiempo, b es la temperatura ambiente y suponiendo que la temperatura normal del cuerpo humano es de 37º C.

4. Curvas de aprendizaje.En ocasiones los sicólogos utilizan la función.

Para medir la cantidad L aprendida en el tiempo t. El número A representa la cantidad por aprender y k mide el nivel de aprendizaje. Suponga que un estudiante debe aprender un total de A=200 palabras del vocabulario. Un psicólogo determina que el estudiante aprendió 20 palabras del vocabulario cada 5 minutos.a) Determine la tasa de aprendizaje k.b) ¿Aproximadamente cuántas palabras habrá aprendido el estudiante después de 10

minutos?

c) ¿Y después de 15 minutos?d) ¿Cuánto tiempo el estudiante tardará en aprender 180 palabras?

5. Recuperación de una herida.La recuperación normal de una herida se puede modelar mediante una función

exponencial. Si representa el área original de la herida y A es igual al área de la herida después de n días, entonces la fórmula

Describa el área de una herida en n-ésimo día después de una lesión, si no hay infecciones que retarden le recuperación. Suponga que una herida tiene un área inicial de 1 centímetro cuadrado.a) Si hay un proceso de recuperación, ¿Cuántos días deben transcurrir antes de que la

herida tenga la mitad de su tamaño original?b) ¿Cuánto tiempo antes de que tenga 10% de su tamaño original?

6. Crecimiento exponencial.En condiciones ideales de laboratorio, la cantidad de bacterias en un cultivo crece de acuerdo con la ley

,

donde denota el número de bacterias presentes en un principio en el cultivo, k es cierta constante determinada por el tipo de bacteria y t es el tiempo transcurrido medido en horas. Si existen 20000 bacterias presentes en un principio en un cultivo y hay 60000 dos horas después ¿Cuántas bacterias habrá el cabo de 5 horas?

7. De crecimiento exponencial.

La cantidad de sustancias radiactivas disminuyen en forma exponencial; por ejemplo, la

cantidad de radio presente en cualquier instante t obedece la ley , donde

es la cantidad presente al inicio, k es cierta constante adecuada. La vida media de una sustancia radiactiva es el tiempo necesario para que una cantidad determinada se reduzca a la mitad. Se sabe que la vida media del radio es de unos 1660 años. Suponga que al principio hay 200 miligramos de radio puro. Determinar la cantidad restante después de t años. ¿Cuál es la cantidad restante después de 800 años?

8. De crecimiento exponencial.El carbono 14, un isótopo radiactivo del carbono tiene una vida media de 5770 años. ¿Cuál es su constante de desintegración?

9. De crecimiento exponencial.Un cráneo encontrado en un sitio arqueológico tiene la décima parte de cantidad de C-14 que contenía originalmente. Determinar la edad aproximada del cráneo?

10. Efecto de la publicidad sobre las ventas.Supermercado Metro ha determinado que t semanas después de promover cierta venta, el volumen de ventas está dado por una función de la forma

Donde B=5000 y V(t) es igual al volumen promedio semanal de ventas antes de la promoción. El volumen de ventas al final de la primavera y la tercera semana fue de $83515 y $65055, respectivamente. Suponga que el volumen de ventas disminuye en forma exponencial y determine.a) La constante de decaimiento kb) El volumen de ventas después de la cuarta semana.