potencia y raíces cepech

CEPECH Preuniversitario, Edición 20063

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Potencias y raícesMarco teórico:Potencias

1. Definición:

Una potencia es el resultado de multiplicar un número por sí mismo varias veces. El número que multiplicamos se llama base, el número de veces que multiplicamos la base se llama exponente.

Ejemplo: en la potencia 35, la base es 3 y el exponente es 5.

De forma más matemática decimos que una potencia es toda expresión tal que:

a · a · a · ... · a = an ⇒ an;en donde a es base, n es exponente y an es la enésima potencia

n veces

2. Signo de una potencia

El signo de una potencia de base negativa y exponente par depende del uso o no de paréntesis, si se utiliza paréntesis en la base, la potencia será de signo positivo, mientras que al no utilizar paréntesis la potencia será de signo negativo.

Ejemplos: (-9)2 = -9 · -9 = 81 -92 = -9 · 9 = -81

Sin embargo si la base es negativa y el exponente es impar el resultado será siempre negativo, utilicemos o no paréntesis

Ejemplos: (-2)3 = -2 · -2 · -2 = -8 -23 = -2 · 2 · 2 = -8

3. Propiedades

Considere que a, b, m, n son números reales distintos de cero

1) an · am = an+m ejemplo: 82 · 83 = 82+3 = 85 2) an ÷ am = an - m ejemplo: 127 ÷ 123 = 127 - 3 = 124 3) (an)m = (am)n = an · m ejemplo: (72)3 = (73)2 = 72 · 3 = 76 4) (a · b)n = an · bn ejemplo: (3 · 5)2 = 32 · 52

2CEPECH Preuniversitario, Edición 2006


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5) (a ÷ b)n = an ÷ bn ejemplo: (5 ÷ 2)6 = 56 ÷ 26

6) a-n = 1an ejemplo: 2-8 = 1

28

7) (ab)-n

= (ba)n

ejemplo: (75)-3

= (57)3

8) a0 = 1 ejemplo: 230 = 1

Raíces

4. Definición:

En la definición de potencias recordamos que 82 = 64. Esta igualdad también puede expresarse como:

√64 = 8

expresión que debe leerse: 8 es igual a la raíz cuadrada de 64.

De igual forma, definimos la raíz n-sima de un número a al número b tal que bn = a

Y lo escribimos como:

b = √an con n ≠ 0

El número a se llama radicando y el número n, índice.

Además se debe precisar que no todos los números poseen raíces. Las raíz cuadrada de -5 por ejemplo no existe dentro de los reales, pues el cuadrado de cualquier número, sea positivo o negativo, siempre es positivo. Por idéntica razón no existe la raíz cuadrada de ningún número negativo ni la raíz de índice par de ningún número negativo.

Ejemplo: √-25 IR √-83 = -2 IR

Para una definición más completa debemos considerar un radicando con un exponente distinto de uno, de donde se obtiene que:

b = √amn ⇔ b = amn con n ≠ 0

√amn = amn

Ejemplo: √453 = 453


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5. Propiedades

Considere que a, b, k, m, n son números reales distintos de cero

1) a = amn n m⋅ ejemplo: 7 7 743 3 4 12= =⋅

2) a b a bn n n⋅ = ⋅ ejemplo: 3 8 3 8 245 5 5 5⋅ = ⋅ =

3) a b a bn n n÷ = ÷ ejemplo: 12 2 12 2 67 7 7 7÷ = ÷ =

4) a b a bn mn mn⋅ = ⋅ ejemplo: 3 7 3 74 54 54⋅ = ⋅

5) a amn m kn k= ⋅⋅ ejemplo: 8 8 853 5 23 2 106= =⋅⋅

6) a amn m kn k= ÷÷ ejemplo: 2 2 2279 27 39 3 93= =÷÷

7) a ann = ejemplo: 8 833 =

8) a amn n m=

ejemplo: 2 275 5

7= ( )

6. Racionalización

Cuando tenemos fracciones con raíces en el denominador conviene obtener fracciones equivalentes pero que no tengan raíces en el denominador. A este proceso es a lo que se llama racionalización de raíces de los denominadores. Por ejemplo, si queremos racionalizar la

fracción 7

2, multiplicaremos numerador y denominador por 2 obteniendo:

7

2

2

2

7 2

2

7 222

⋅ =

( )=

De forma que obtenemos la expresión 7 22

que es equivalente a 7

2 con la ventaja que la

primera es una expresión mucho más recurrente que la segunda.



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Ejercicios

1. Resuelva

a) 03

b) 30

c) 82 312

13

( )

=

d) 12

3

=−

2. Descomponga las siguientes raíces cuadradas a su menor radicando entero en cada caso:

a) 8

b) 75

c) 162

d) 300

3. La expresión un tercio elevado a menos tres quintos, equivale a:

4. La expresión dos quintos elevado a menos dos séptimos, equivale a:

5. La expresión la raíz cuadrada de dieciséis medios, equivale a:


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6. 35 =

A) 35

B) 81

C) 3104

D) 310

E) 315

7. 2 43 =

A) 8

B) 46

C) 812

D) 2312

E) 43

8. 8 8 8 82 2 2 2+ + +

A) 88

B) 322

C) 328

D) 82 E) 28



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9. 273 =

I. 3 II. 2713 III. 366

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III

10. 7

7=

A) 7

B) 7 7

C) 14 7

D) 7 72

E) 7

11. 23

23

3 2

⋅

=−

A) 32243

B) − 32

C) 1

D) 23

E) 32


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12. -62 · 3 =

A) -108 B) 108 C) -182 D) -36 E) 36

13. La expresión (512 + 511) es divisible por:

I. 3 II. 5 III. 7

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III

14. 15

0 2 42

⋅ ( ) ⋅ =−

,

A) 1 B) 2 C) 5 D) 10 E) 100

15. 17

16 144

4⋅

=

A) 1 B) 2 C) 4 D) 7 E) 28



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Respuestas

Preg. Alternativa1 a) 0, b) 1, c)8, d) 8

2 a) 2√2 , b) 5√3 , c) 9√2 , d) 10√3

3 275

4254

7

5 2√26 C7 E8 E9 E10 A11 E12 A13 D14 D15 A


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Solucionario1. a) 03 = Por la definición de potencia, la base cero debemos multiplicarla

por sí misma tres veces(el valor del exponente), resultando:

0 · 0 · 0 = 0

b) 30 = Recuerda que por propiedad de potencias todo número real distinto de cero es igual a uno

30 = 1

c) 82 312

13

( )

= Aplicando la propiedad de potencias, para resolver una potencia elevada a otra debemos multiplicar los respectivos exponentes entre sí, resultando

8

2 3 12

13

⋅ ⋅ ⋅=

, multiplicando los exponentes obtenemos:

8 8 866 1= =

d) 12

3

=−

Aplicando propiedades de potencia, para resolver una fracción elevada a un exponente negativo, invertimos la fracción y cambiamos el signo del exponente

12

21

23 3

3

=

=−

, luego aplicando la definición de potencia multiplicamos la base por sí misma tres veces (El valor del exponente).

2 · 2 · 2 = 8

2. Recordando la propiedad de raíces: a b a bn n n⋅ = ⋅ , resulta

a) 8 = descomponiendo

4 2⋅ = separando raíces de igual índice

4 2⋅ = luego, resolviendo la raíz exacta

2 2 2 2⋅ =



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b) 75 = descomponiendo



5 3 5 3⋅ =

c) 162 = descomponiendo



9 2 9 2⋅ =

d) 300 = descomponiendo



10 3 10 3⋅ =

3. Si un tercio es igual a 13

y menos tres quintos es igual a − 35

,luego la expresión en forma de potencia resulta

13

35

=−

, aplicando la propiedad de potencias fraccionarias de exponente negativo, resulta

13

31

3

35

35

35

=

=−

, luego utilizando la propiedad que nos dice que las potencias de exponente fraccionario pueden trasformarse en raíces, obtenemos:

3 3 2735 35 5= =


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4. Si dos quintos es igual a 25

y menos dos séptimos es igual a − 27

,luego la expresión en forma de potencia resulta

25

27

=− , aplicando la propiedad de potencias fraccionarias de exponente

negativo, resulta:

25

52

27

27

=

=− , luego utilizando la propiedad que nos dice que las potencias

de exponente fraccionario pueden trasformarse en raíces, obtenemos:

52

52

254

27

2

7 7

=

=

5. Expresándolo en forma matemática obtenemos,

162

= , dividiendo el interior de la raíz

8 = , luego descomponiendo

4 2⋅ = , luego utilizando la siguiente propiedad: a b a bn n n⋅ = ⋅ , resulta, finalmente

4 2⋅ = resolviendo la raíz exacta

2 2 2 2⋅ =

6. Alternativa correcta letra C)

Recordando que el índice de una raíz cuadrada es 2 y la propiedad: a amn m kn k= ⋅⋅

35 = , dado la propiedad con k = 2, resulta:

35 22 2 ⋅⋅ = , luego multiplicando índice y exponente, resulta:

3104



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7. Alternativa correcta letra E)

2 43 = dado que 4 2= ,

2 23 = aplicando la propiedad de raíces a b a bn nn= ⋅ , resulta:

2 233 ⋅ = aplicando la propiedad de raíces a = amn n m⋅ y que el índice de una raíz cuadrada es 2, luego

2 232 3 ⋅⋅= multiplicando los índices

2 236 ⋅ = multiplicando las potencias de igual base (basta con conservar la base y sumar los exponentes)

246 simplificando índice y exponente por 2, resulta:

2 423 3=


82 + 82 + 82 + 82 = Dado que nos enfrentamos a 4 expresiones iguales, es válido expresarlas como una multiplicación, luego

4 · 82 , observar que 4 y 8 pueden expresarse como potencias de base 2

22 · (23)2 = , luego multiplicando los exponente de “la potencia de una potencia”

22 · 26 ,multiplicando las potencias de igual base (basta con conservar la base y sumar los exponentes)

22+6 = 28


273 = , observemos que 27 = 33 ,luego

333 = , utilizando la propiedad a ann =

333 = 3 , con lo cual I es verdadero , además por idénticas razones III es verdadero dado que:

366 =3


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, si la raíz 273 = la expresamos como potencia

27 2713 3= , nos da que II es verdadero

10. Alternativa correcta letra A)

7

7= , si racionalizamos por 7 , obtenemos:

7

7

7

7⋅ = , luego multiplicando

7 7

72( )

= , simplificando el denominador

7 77

= , simplificando

7 7

77=


23

23

3 2

⋅

=−

aplicando la propiedad de potencias fraccionarias de exponente negativo, resulta:

32

23

3 2

⋅

= desarrollando las potencias resulta:

32

23

3

3

2

2⋅ = , dividiendo las potencias de igual base (basta con conservar la base

y restar los exponentes)

33 - 2 · 22 - 3 , restando los exponentes ,resulta:

3 · 2-1 aplicando la propiedad de potencias fraccionarias de exponente negativo, resulta:

32



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-62 · 3 = , por prioridad de operatoria resolvemos primero la potencia, observar que

-62 = -6 · 6 = -36

-36 · 3 = ,multiplicando -108

13. Alternativa correcta letra D) I. 3 II. 5 III. 7

(512 + 511) = , observar que 512 = 511 · 5 ,luego

(511 · 5 + 511) = , dado que la expresión 511 se repite podemos factorizar por dicha expresión

511 (5 + 1) = , luego sumando el paréntesis

511 · 6

Si recordamos que uno de los factores de la multiplicación es múltiplo de un número el producto completo lo es, entonces

Dado que 6 es divisible por 3 entonces la expresión completa lo es.

Dado que 511 es divisible por 5 entonces la expresión completa lo es.

Por lo tanto, la expresión es divisible por los ítem I y II

14. Alternativa correcta letra D)

15

0 2 42

⋅ ( ) ⋅ =−

, aplicando la propiedad de potencias fraccionarias de exponente negativo ,resulta:

51

0 2 42

⋅ ( ) ⋅ =,

desarrollando la potencia y recordando que 15

0 2 42

⋅ ( ) ⋅ =−

, 2, entonces

25 · (0,2) · 2 , luego transformando el decimal 0,2 a fracción

25 210

2⋅ ⋅ = multiplicando

25 2 2

10⋅ ⋅ =

multiplicando el numerador

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10010

=

dividiendo obtenemos:

10010

= 10


17

16 144

4⋅

⋅

Desarrollando 16 24 = dado que 2 · 2 · 2 · 2 = 16, luego

17

2 144

⋅

⋅

= simplificando 144

por dos obtenemos:

27

72

⋅

multiplicando obtenemos:

1414

1=

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