CAPITULO 4TRIGONOMETRIacuteA

INTRODUCCIOacuteN

La trigonometriacutea es una rama de las matemaacuteticas que fue desarrollada por astroacutenomos griegos quienes consideraban al cielo como el interior de una esfera Aun cuando su significado etimoloacutegico nos indica que se relaciona con la medicioacuten de los triaacutengulos sus aplicaciones son muy diversas ya que estas teacutecnicas son usadas para medir distancias a estrellas proacuteximas entre puntos geograacuteficos y en sistemas de navegacioacuten por sateacutelites

El traslado de la trigonometriacutea astronoacutemica a las matemaacuteticas fue realizado por Regiomontano y mejorado por Copeacuternico y su alumno Rheticus En la obra de Rheticus se definen las seis funciones trigonomeacutetricas como razones entre las longitudes de los lados de los triaacutengulos aunque no les dio sus nombres actuales El meacuterito de esto se lo lleva Thomas Fincke aunque la notacioacuten que utilizoacute no fue aceptada universalmente La notacioacuten que quedoacute establecida fue la de Leonard Euler

Desde entonces la trigonometriacutea ha venido evolucionando siendo utilizada por agrimensores navegantes e ingenieros hasta las aplicaciones actuales como el movimiento de las mareas en el oceacuteano la variacioacuten de los recursos alimenticios bajo ciertas condiciones ecoloacutegicas el movimiento pendular patrones de ondas cerebrales latidos del corazoacuten corrientes eleacutectricas temblores y otros fenoacutemenos

En el desarrollo de las funciones trigonomeacutetricas se han contemplado dos aspectos fundamentales El primero estaacute relacionado con el empleo de circunferencias y el segundo estaacute basado en triaacutengulos rectaacutengulos

AacuteNGULOS Y SUS MEDIDAS

SEMIRRECTA

Una semirrecta es la parte de una recta que estaacute a un lado de la misma desde un punto fijo llamado extremo y se extiende indefinidamente en una sola direccioacuten

AacuteNGULO

Es la unioacuten de dos semirrectas que se intersecan en su extremo

Una de las semirrectas se conoce como el lado inicial del aacutengulo mientras que la otra recibe el nombre de lado terminal o final El extremo donde se intersecan las semirrectas se denomina veacutertice del aacutengulo

Se puede designar a los aacutengulos por medio de puntos de las semirrectas o utilizando solamente el veacutertice si es que no hay confusioacuten Por ejemplo

CAPITULO 4TRIGONOMETRIacuteA

La medida de un aacutengulo se denota por m representa la abertura entre las dos semirrectas y es una relacioacuten de A en siendo A el conjunto de los aacutengulos

Se acostumbra designar a la medida de los aacutengulos con letras del alfabeto griego α β γ θ ω entre otras

Si se considera una regioacuten del plano con un recorrido desde el lado inicial del aacutengulo hasta el lado final siguiendo el sentido contrario de las manecillas del reloj por convencioacuten la medida del aacutengulo es positiva Si dicho recorrido se realiza en sentido de las manecillas del reloj la medida es negativa

Un aacutengulo se encuentra en posicioacuten normal o estaacutendar si su veacutertice estaacute ubicado en el origen del sistema de coordenadas rectangulares y su lado inicial coincide con el semieje X positivo Si el lado terminal del aacutengulo se encuentra en el segundo cuadrante se denominaraacute aacutengulo del segundo cuadrante y anaacutelogamente para los otros cuadrantes

CAPITULO 4TRIGONOMETRIacuteA

UNIDADES ANGULARES

Para la localizacioacuten exacta de una estrella o la posicioacuten de un barco se utilizan las unidades de medida maacutes conocidas como son los grados sexagesimales minutos y segundos tales unidades estaacuten basadas en la divisioacuten en partes iguales de una circunferencia

Algunas equivalencias importantes son las siguientes

Es de observar que para generar un aacutengulo se puede dar maacutes de un girocompleto por ejemplo si damos dos giros completos se tendriacutean 720ordm si se dan 10 giros se tendriacutean 3600ordm

Para propoacutesitos de caacutelculo los grados son transformados en radianes pueste que el radiaacuten es mucho maacutes praacutectico en las aplicaciones fiacutesicas

A continuacioacuten se interpreta el significado de un radiaacuten

Considerando una circunferencia de radio r y centro O se construye un aacutengulo de medida α cuyo veacutertice esteacute ubicado en O y cuyos lados inicial y terminal subtienden sobre la circunferencia un arco de longitud igual a r tenemos que α constituye un

CAPITULO 4TRIGONOMETRIacuteA

radiaacuten

Es importante reconocer la medida de un aacutengulo ya sea que esteacute expresada en radianes o grados sexagesimales porque eacutesta indica la ubicacioacuten del aacutengulo en uno de los ejes o cuadrantes del sistema de coordenadas rectangulares Asiacute las diferentes ubicaciones del lado terminal de un aacutengulo en teacuterminos de su medida se resumen en el Cuadro 41

Para medidas mayores a 2π radianes o 360ordm se debe dividir esta medida para 2π o 360ordm seguacuten sea el caso el cociente indicaraacute la cantidad de giros o vueltas y el residuo de la divisioacuten indicaraacute la ubicacioacuten del lado terminal del aacutengulo

Ejemplo Ubicacioacuten de los aacutengulos

Se requiere ubicar un aacutengulo cuya medida es 410ordm Si se divide para 360ordm se obtiene 1 de cociente y 50 de residuo Esto quiere decir que el aacutengulo ha dado una vuelta completa de 360ordm y su lado terminal se ha ubicado en 50ordm Por tanto es un aacutengulo del I Cuadrante

CAPITULO 4TRIGONOMETRIacuteA

CLASES DE AacuteNGULOS

Son aquellos aacutengulos que tienen los mismos lados inicial y terminal

CONSECUTIVOS

Dos aacutengulos de un mismo plano son consecutivos cuando soacutelo tienen un lado en comuacuten

ADYACENTES

Dos aacutengulos son adyacentes cuando son consecutivos y los lados no comunes son semirrectas en la misma direccioacuten pero en sentido contrario La suma de las medidas de eacutestos aacutengulos es 180ordm

COMPLEMENTARIOS

Dos aacutengulos son complementarios cuando la suma de sus medidasconstituye la medida de un aacutengulo recto α + β = 90ordm

CAPITULO 4TRIGONOMETRIacuteA

SUPLEMENTARIOS

Dos aacutengulos son suplementarios cuando la suma de sus medidas constituye la medida de dos aacutengulos rectos α + β = 180ordm

OPUESTOS POR EL VEacuteRTICE

Dos aacutengulos se dicen opuestos por el veacutertice cuando los lados de uno de ellos son

RELACIOacuteN ENTRE GRADOS SEXAGESIMALES Y RADIANES

Ya hemos visto que la longitud de una circunferencia es 2πr y para el caso de una vuelta completa hemos indicado que el aacutengulo mide 360ordm entonces podemos definir una equivalencia entre las medidas en grados sexagesimales y radianes

A partir de la igualdad 21048731 radianes = 360ordm determinamos que

CAPITULO 4TRIGONOMETRIacuteA

Podemos observar estas y otras equivalencias en la siguiente figura

Ejemplo Conversioacuten de unidades angulares

Grados sexagesimales a radianes

a) 15ordmb) 390ordmc) -75ordmd) -150ordm

CAPITULO 4TRIGONOMETRIacuteA

FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS

CAPITULO 4TRIGONOMETRIacuteA

Ejemplo Funciones trigonomeacutetricas

CAPITULO 4TRIGONOMETRIacuteA

ANAacuteLISIS

La trigonometriacutea nos sirve para calcular distancias sin la necesidad de recorrer y se establecen por medio de triaacutengulos circunferencia y otros La trigonometriacutea en la vida real es muy utilizada para los futuros ingenieros ya que podemos medir alturas o distancias realizar medicioacuten de aacutengulo entre otras cosas Sirve para medir la distancia que hay desde cierto punto a otro empleando ciertos elementos como un triaacutengulo rectaacutengulo escaleno isosceacuteles y de cualquier tipo Ayuda tambieacuten para resolver situaciones problemaacuteticas de la vida cotidiana y de otros campos del conocimiento cientiacutefico

• TRIGONOMETRIacuteA
• INTRODUCCIOacuteN

CAPITULO 4TRIGONOMETRIacuteA

La medida de un aacutengulo se denota por m representa la abertura entre las dos semirrectas y es una relacioacuten de A en siendo A el conjunto de los aacutengulos

Se acostumbra designar a la medida de los aacutengulos con letras del alfabeto griego α β γ θ ω entre otras

Si se considera una regioacuten del plano con un recorrido desde el lado inicial del aacutengulo hasta el lado final siguiendo el sentido contrario de las manecillas del reloj por convencioacuten la medida del aacutengulo es positiva Si dicho recorrido se realiza en sentido de las manecillas del reloj la medida es negativa

Un aacutengulo se encuentra en posicioacuten normal o estaacutendar si su veacutertice estaacute ubicado en el origen del sistema de coordenadas rectangulares y su lado inicial coincide con el semieje X positivo Si el lado terminal del aacutengulo se encuentra en el segundo cuadrante se denominaraacute aacutengulo del segundo cuadrante y anaacutelogamente para los otros cuadrantes

CAPITULO 4TRIGONOMETRIacuteA

UNIDADES ANGULARES

Para la localizacioacuten exacta de una estrella o la posicioacuten de un barco se utilizan las unidades de medida maacutes conocidas como son los grados sexagesimales minutos y segundos tales unidades estaacuten basadas en la divisioacuten en partes iguales de una circunferencia

Algunas equivalencias importantes son las siguientes

Es de observar que para generar un aacutengulo se puede dar maacutes de un girocompleto por ejemplo si damos dos giros completos se tendriacutean 720ordm si se dan 10 giros se tendriacutean 3600ordm

Para propoacutesitos de caacutelculo los grados son transformados en radianes pueste que el radiaacuten es mucho maacutes praacutectico en las aplicaciones fiacutesicas

A continuacioacuten se interpreta el significado de un radiaacuten

Considerando una circunferencia de radio r y centro O se construye un aacutengulo de medida α cuyo veacutertice esteacute ubicado en O y cuyos lados inicial y terminal subtienden sobre la circunferencia un arco de longitud igual a r tenemos que α constituye un

CAPITULO 4TRIGONOMETRIacuteA

radiaacuten

Es importante reconocer la medida de un aacutengulo ya sea que esteacute expresada en radianes o grados sexagesimales porque eacutesta indica la ubicacioacuten del aacutengulo en uno de los ejes o cuadrantes del sistema de coordenadas rectangulares Asiacute las diferentes ubicaciones del lado terminal de un aacutengulo en teacuterminos de su medida se resumen en el Cuadro 41

Para medidas mayores a 2π radianes o 360ordm se debe dividir esta medida para 2π o 360ordm seguacuten sea el caso el cociente indicaraacute la cantidad de giros o vueltas y el residuo de la divisioacuten indicaraacute la ubicacioacuten del lado terminal del aacutengulo

Ejemplo Ubicacioacuten de los aacutengulos

Se requiere ubicar un aacutengulo cuya medida es 410ordm Si se divide para 360ordm se obtiene 1 de cociente y 50 de residuo Esto quiere decir que el aacutengulo ha dado una vuelta completa de 360ordm y su lado terminal se ha ubicado en 50ordm Por tanto es un aacutengulo del I Cuadrante

CAPITULO 4TRIGONOMETRIacuteA

CLASES DE AacuteNGULOS

Son aquellos aacutengulos que tienen los mismos lados inicial y terminal

CONSECUTIVOS

Dos aacutengulos de un mismo plano son consecutivos cuando soacutelo tienen un lado en comuacuten

ADYACENTES

Dos aacutengulos son adyacentes cuando son consecutivos y los lados no comunes son semirrectas en la misma direccioacuten pero en sentido contrario La suma de las medidas de eacutestos aacutengulos es 180ordm

COMPLEMENTARIOS

Dos aacutengulos son complementarios cuando la suma de sus medidasconstituye la medida de un aacutengulo recto α + β = 90ordm

CAPITULO 4TRIGONOMETRIacuteA

SUPLEMENTARIOS

Dos aacutengulos son suplementarios cuando la suma de sus medidas constituye la medida de dos aacutengulos rectos α + β = 180ordm

OPUESTOS POR EL VEacuteRTICE

Dos aacutengulos se dicen opuestos por el veacutertice cuando los lados de uno de ellos son

RELACIOacuteN ENTRE GRADOS SEXAGESIMALES Y RADIANES

Ya hemos visto que la longitud de una circunferencia es 2πr y para el caso de una vuelta completa hemos indicado que el aacutengulo mide 360ordm entonces podemos definir una equivalencia entre las medidas en grados sexagesimales y radianes

A partir de la igualdad 21048731 radianes = 360ordm determinamos que

CAPITULO 4TRIGONOMETRIacuteA

Podemos observar estas y otras equivalencias en la siguiente figura

Ejemplo Conversioacuten de unidades angulares

Grados sexagesimales a radianes

a) 15ordmb) 390ordmc) -75ordmd) -150ordm

CAPITULO 4TRIGONOMETRIacuteA

FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS

CAPITULO 4TRIGONOMETRIacuteA

Ejemplo Funciones trigonomeacutetricas

CAPITULO 4TRIGONOMETRIacuteA

ANAacuteLISIS

La trigonometriacutea nos sirve para calcular distancias sin la necesidad de recorrer y se establecen por medio de triaacutengulos circunferencia y otros La trigonometriacutea en la vida real es muy utilizada para los futuros ingenieros ya que podemos medir alturas o distancias realizar medicioacuten de aacutengulo entre otras cosas Sirve para medir la distancia que hay desde cierto punto a otro empleando ciertos elementos como un triaacutengulo rectaacutengulo escaleno isosceacuteles y de cualquier tipo Ayuda tambieacuten para resolver situaciones problemaacuteticas de la vida cotidiana y de otros campos del conocimiento cientiacutefico

• TRIGONOMETRIacuteA
• INTRODUCCIOacuteN

CAPITULO 4TRIGONOMETRIacuteA

UNIDADES ANGULARES

Para la localizacioacuten exacta de una estrella o la posicioacuten de un barco se utilizan las unidades de medida maacutes conocidas como son los grados sexagesimales minutos y segundos tales unidades estaacuten basadas en la divisioacuten en partes iguales de una circunferencia

Algunas equivalencias importantes son las siguientes

Es de observar que para generar un aacutengulo se puede dar maacutes de un girocompleto por ejemplo si damos dos giros completos se tendriacutean 720ordm si se dan 10 giros se tendriacutean 3600ordm

Para propoacutesitos de caacutelculo los grados son transformados en radianes pueste que el radiaacuten es mucho maacutes praacutectico en las aplicaciones fiacutesicas

A continuacioacuten se interpreta el significado de un radiaacuten

Considerando una circunferencia de radio r y centro O se construye un aacutengulo de medida α cuyo veacutertice esteacute ubicado en O y cuyos lados inicial y terminal subtienden sobre la circunferencia un arco de longitud igual a r tenemos que α constituye un

CAPITULO 4TRIGONOMETRIacuteA

radiaacuten

Es importante reconocer la medida de un aacutengulo ya sea que esteacute expresada en radianes o grados sexagesimales porque eacutesta indica la ubicacioacuten del aacutengulo en uno de los ejes o cuadrantes del sistema de coordenadas rectangulares Asiacute las diferentes ubicaciones del lado terminal de un aacutengulo en teacuterminos de su medida se resumen en el Cuadro 41

Para medidas mayores a 2π radianes o 360ordm se debe dividir esta medida para 2π o 360ordm seguacuten sea el caso el cociente indicaraacute la cantidad de giros o vueltas y el residuo de la divisioacuten indicaraacute la ubicacioacuten del lado terminal del aacutengulo

Ejemplo Ubicacioacuten de los aacutengulos

Se requiere ubicar un aacutengulo cuya medida es 410ordm Si se divide para 360ordm se obtiene 1 de cociente y 50 de residuo Esto quiere decir que el aacutengulo ha dado una vuelta completa de 360ordm y su lado terminal se ha ubicado en 50ordm Por tanto es un aacutengulo del I Cuadrante

CAPITULO 4TRIGONOMETRIacuteA

CLASES DE AacuteNGULOS

Son aquellos aacutengulos que tienen los mismos lados inicial y terminal

CONSECUTIVOS

Dos aacutengulos de un mismo plano son consecutivos cuando soacutelo tienen un lado en comuacuten

ADYACENTES

Dos aacutengulos son adyacentes cuando son consecutivos y los lados no comunes son semirrectas en la misma direccioacuten pero en sentido contrario La suma de las medidas de eacutestos aacutengulos es 180ordm

COMPLEMENTARIOS

Dos aacutengulos son complementarios cuando la suma de sus medidasconstituye la medida de un aacutengulo recto α + β = 90ordm

CAPITULO 4TRIGONOMETRIacuteA

SUPLEMENTARIOS

Dos aacutengulos son suplementarios cuando la suma de sus medidas constituye la medida de dos aacutengulos rectos α + β = 180ordm

OPUESTOS POR EL VEacuteRTICE

Dos aacutengulos se dicen opuestos por el veacutertice cuando los lados de uno de ellos son

RELACIOacuteN ENTRE GRADOS SEXAGESIMALES Y RADIANES

Ya hemos visto que la longitud de una circunferencia es 2πr y para el caso de una vuelta completa hemos indicado que el aacutengulo mide 360ordm entonces podemos definir una equivalencia entre las medidas en grados sexagesimales y radianes

A partir de la igualdad 21048731 radianes = 360ordm determinamos que

CAPITULO 4TRIGONOMETRIacuteA

Podemos observar estas y otras equivalencias en la siguiente figura

Ejemplo Conversioacuten de unidades angulares

Grados sexagesimales a radianes

a) 15ordmb) 390ordmc) -75ordmd) -150ordm

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FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS

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Ejemplo Funciones trigonomeacutetricas

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ANAacuteLISIS

La trigonometriacutea nos sirve para calcular distancias sin la necesidad de recorrer y se establecen por medio de triaacutengulos circunferencia y otros La trigonometriacutea en la vida real es muy utilizada para los futuros ingenieros ya que podemos medir alturas o distancias realizar medicioacuten de aacutengulo entre otras cosas Sirve para medir la distancia que hay desde cierto punto a otro empleando ciertos elementos como un triaacutengulo rectaacutengulo escaleno isosceacuteles y de cualquier tipo Ayuda tambieacuten para resolver situaciones problemaacuteticas de la vida cotidiana y de otros campos del conocimiento cientiacutefico

• TRIGONOMETRIacuteA
• INTRODUCCIOacuteN

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radiaacuten

Es importante reconocer la medida de un aacutengulo ya sea que esteacute expresada en radianes o grados sexagesimales porque eacutesta indica la ubicacioacuten del aacutengulo en uno de los ejes o cuadrantes del sistema de coordenadas rectangulares Asiacute las diferentes ubicaciones del lado terminal de un aacutengulo en teacuterminos de su medida se resumen en el Cuadro 41

Para medidas mayores a 2π radianes o 360ordm se debe dividir esta medida para 2π o 360ordm seguacuten sea el caso el cociente indicaraacute la cantidad de giros o vueltas y el residuo de la divisioacuten indicaraacute la ubicacioacuten del lado terminal del aacutengulo

Ejemplo Ubicacioacuten de los aacutengulos

Se requiere ubicar un aacutengulo cuya medida es 410ordm Si se divide para 360ordm se obtiene 1 de cociente y 50 de residuo Esto quiere decir que el aacutengulo ha dado una vuelta completa de 360ordm y su lado terminal se ha ubicado en 50ordm Por tanto es un aacutengulo del I Cuadrante

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CLASES DE AacuteNGULOS

Son aquellos aacutengulos que tienen los mismos lados inicial y terminal

CONSECUTIVOS

Dos aacutengulos de un mismo plano son consecutivos cuando soacutelo tienen un lado en comuacuten

ADYACENTES

Dos aacutengulos son adyacentes cuando son consecutivos y los lados no comunes son semirrectas en la misma direccioacuten pero en sentido contrario La suma de las medidas de eacutestos aacutengulos es 180ordm

COMPLEMENTARIOS

Dos aacutengulos son complementarios cuando la suma de sus medidasconstituye la medida de un aacutengulo recto α + β = 90ordm

CAPITULO 4TRIGONOMETRIacuteA

SUPLEMENTARIOS

Dos aacutengulos son suplementarios cuando la suma de sus medidas constituye la medida de dos aacutengulos rectos α + β = 180ordm

OPUESTOS POR EL VEacuteRTICE

Dos aacutengulos se dicen opuestos por el veacutertice cuando los lados de uno de ellos son

RELACIOacuteN ENTRE GRADOS SEXAGESIMALES Y RADIANES

Ya hemos visto que la longitud de una circunferencia es 2πr y para el caso de una vuelta completa hemos indicado que el aacutengulo mide 360ordm entonces podemos definir una equivalencia entre las medidas en grados sexagesimales y radianes

A partir de la igualdad 21048731 radianes = 360ordm determinamos que

CAPITULO 4TRIGONOMETRIacuteA

Podemos observar estas y otras equivalencias en la siguiente figura

Ejemplo Conversioacuten de unidades angulares

Grados sexagesimales a radianes

a) 15ordmb) 390ordmc) -75ordmd) -150ordm

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FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS

CAPITULO 4TRIGONOMETRIacuteA

Ejemplo Funciones trigonomeacutetricas

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ANAacuteLISIS

La trigonometriacutea nos sirve para calcular distancias sin la necesidad de recorrer y se establecen por medio de triaacutengulos circunferencia y otros La trigonometriacutea en la vida real es muy utilizada para los futuros ingenieros ya que podemos medir alturas o distancias realizar medicioacuten de aacutengulo entre otras cosas Sirve para medir la distancia que hay desde cierto punto a otro empleando ciertos elementos como un triaacutengulo rectaacutengulo escaleno isosceacuteles y de cualquier tipo Ayuda tambieacuten para resolver situaciones problemaacuteticas de la vida cotidiana y de otros campos del conocimiento cientiacutefico

• TRIGONOMETRIacuteA
• INTRODUCCIOacuteN

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CLASES DE AacuteNGULOS

Son aquellos aacutengulos que tienen los mismos lados inicial y terminal

CONSECUTIVOS

Dos aacutengulos de un mismo plano son consecutivos cuando soacutelo tienen un lado en comuacuten

ADYACENTES

Dos aacutengulos son adyacentes cuando son consecutivos y los lados no comunes son semirrectas en la misma direccioacuten pero en sentido contrario La suma de las medidas de eacutestos aacutengulos es 180ordm

COMPLEMENTARIOS

Dos aacutengulos son complementarios cuando la suma de sus medidasconstituye la medida de un aacutengulo recto α + β = 90ordm

CAPITULO 4TRIGONOMETRIacuteA

SUPLEMENTARIOS

Dos aacutengulos son suplementarios cuando la suma de sus medidas constituye la medida de dos aacutengulos rectos α + β = 180ordm

OPUESTOS POR EL VEacuteRTICE

Dos aacutengulos se dicen opuestos por el veacutertice cuando los lados de uno de ellos son

RELACIOacuteN ENTRE GRADOS SEXAGESIMALES Y RADIANES

Ya hemos visto que la longitud de una circunferencia es 2πr y para el caso de una vuelta completa hemos indicado que el aacutengulo mide 360ordm entonces podemos definir una equivalencia entre las medidas en grados sexagesimales y radianes

A partir de la igualdad 21048731 radianes = 360ordm determinamos que

CAPITULO 4TRIGONOMETRIacuteA

Podemos observar estas y otras equivalencias en la siguiente figura

Ejemplo Conversioacuten de unidades angulares

Grados sexagesimales a radianes

a) 15ordmb) 390ordmc) -75ordmd) -150ordm

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FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS

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Ejemplo Funciones trigonomeacutetricas

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ANAacuteLISIS

La trigonometriacutea nos sirve para calcular distancias sin la necesidad de recorrer y se establecen por medio de triaacutengulos circunferencia y otros La trigonometriacutea en la vida real es muy utilizada para los futuros ingenieros ya que podemos medir alturas o distancias realizar medicioacuten de aacutengulo entre otras cosas Sirve para medir la distancia que hay desde cierto punto a otro empleando ciertos elementos como un triaacutengulo rectaacutengulo escaleno isosceacuteles y de cualquier tipo Ayuda tambieacuten para resolver situaciones problemaacuteticas de la vida cotidiana y de otros campos del conocimiento cientiacutefico

• TRIGONOMETRIacuteA
• INTRODUCCIOacuteN

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SUPLEMENTARIOS

Dos aacutengulos son suplementarios cuando la suma de sus medidas constituye la medida de dos aacutengulos rectos α + β = 180ordm

OPUESTOS POR EL VEacuteRTICE

Dos aacutengulos se dicen opuestos por el veacutertice cuando los lados de uno de ellos son

RELACIOacuteN ENTRE GRADOS SEXAGESIMALES Y RADIANES

Ya hemos visto que la longitud de una circunferencia es 2πr y para el caso de una vuelta completa hemos indicado que el aacutengulo mide 360ordm entonces podemos definir una equivalencia entre las medidas en grados sexagesimales y radianes

A partir de la igualdad 21048731 radianes = 360ordm determinamos que

CAPITULO 4TRIGONOMETRIacuteA

Podemos observar estas y otras equivalencias en la siguiente figura

Ejemplo Conversioacuten de unidades angulares

Grados sexagesimales a radianes

a) 15ordmb) 390ordmc) -75ordmd) -150ordm

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FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS

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Ejemplo Funciones trigonomeacutetricas

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ANAacuteLISIS

La trigonometriacutea nos sirve para calcular distancias sin la necesidad de recorrer y se establecen por medio de triaacutengulos circunferencia y otros La trigonometriacutea en la vida real es muy utilizada para los futuros ingenieros ya que podemos medir alturas o distancias realizar medicioacuten de aacutengulo entre otras cosas Sirve para medir la distancia que hay desde cierto punto a otro empleando ciertos elementos como un triaacutengulo rectaacutengulo escaleno isosceacuteles y de cualquier tipo Ayuda tambieacuten para resolver situaciones problemaacuteticas de la vida cotidiana y de otros campos del conocimiento cientiacutefico

• TRIGONOMETRIacuteA
• INTRODUCCIOacuteN

CAPITULO 4TRIGONOMETRIacuteA

Podemos observar estas y otras equivalencias en la siguiente figura

Ejemplo Conversioacuten de unidades angulares

Grados sexagesimales a radianes

a) 15ordmb) 390ordmc) -75ordmd) -150ordm

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FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS

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Ejemplo Funciones trigonomeacutetricas

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La trigonometriacutea nos sirve para calcular distancias sin la necesidad de recorrer y se establecen por medio de triaacutengulos circunferencia y otros La trigonometriacutea en la vida real es muy utilizada para los futuros ingenieros ya que podemos medir alturas o distancias realizar medicioacuten de aacutengulo entre otras cosas Sirve para medir la distancia que hay desde cierto punto a otro empleando ciertos elementos como un triaacutengulo rectaacutengulo escaleno isosceacuteles y de cualquier tipo Ayuda tambieacuten para resolver situaciones problemaacuteticas de la vida cotidiana y de otros campos del conocimiento cientiacutefico

• TRIGONOMETRIacuteA
• INTRODUCCIOacuteN

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La trigonometriacutea nos sirve para calcular distancias sin la necesidad de recorrer y se establecen por medio de triaacutengulos circunferencia y otros La trigonometriacutea en la vida real es muy utilizada para los futuros ingenieros ya que podemos medir alturas o distancias realizar medicioacuten de aacutengulo entre otras cosas Sirve para medir la distancia que hay desde cierto punto a otro empleando ciertos elementos como un triaacutengulo rectaacutengulo escaleno isosceacuteles y de cualquier tipo Ayuda tambieacuten para resolver situaciones problemaacuteticas de la vida cotidiana y de otros campos del conocimiento cientiacutefico

• TRIGONOMETRIacuteA
• INTRODUCCIOacuteN

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Ejemplo Funciones trigonomeacutetricas

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ANAacuteLISIS

La trigonometriacutea nos sirve para calcular distancias sin la necesidad de recorrer y se establecen por medio de triaacutengulos circunferencia y otros La trigonometriacutea en la vida real es muy utilizada para los futuros ingenieros ya que podemos medir alturas o distancias realizar medicioacuten de aacutengulo entre otras cosas Sirve para medir la distancia que hay desde cierto punto a otro empleando ciertos elementos como un triaacutengulo rectaacutengulo escaleno isosceacuteles y de cualquier tipo Ayuda tambieacuten para resolver situaciones problemaacuteticas de la vida cotidiana y de otros campos del conocimiento cientiacutefico

• TRIGONOMETRIacuteA
• INTRODUCCIOacuteN

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La trigonometriacutea nos sirve para calcular distancias sin la necesidad de recorrer y se establecen por medio de triaacutengulos circunferencia y otros La trigonometriacutea en la vida real es muy utilizada para los futuros ingenieros ya que podemos medir alturas o distancias realizar medicioacuten de aacutengulo entre otras cosas Sirve para medir la distancia que hay desde cierto punto a otro empleando ciertos elementos como un triaacutengulo rectaacutengulo escaleno isosceacuteles y de cualquier tipo Ayuda tambieacuten para resolver situaciones problemaacuteticas de la vida cotidiana y de otros campos del conocimiento cientiacutefico

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• INTRODUCCIOacuteN