portafolio de actividades matematicas ii

8/16/2019 Portafolio de Actividades Matematicas II.

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PORTAFOLIO DE MATEMATICAS REALIZADO POR LA ACADEMIA DE MATEMATICAS

INDICE

Etapa 1. Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado en una variable ................................................... 4

PROBLEMAS SELECCIONADOS ................................................................................................................... 4

GUÍA DE APRENDIZAJE .............................................................................................................................. 6

Actividad de aplicación .......................................................................................................................... 6

LABORATORIO ........................................................................................................................................... 7

Etapa 2. Geometría plana ................................................................................................................. 12

PROBLEMAS SELECCIONADOS ................................................................................................................. 12

GUÍA DE APRENDIZAJE ............................................................................................................................ 17

Actividad diagnóstica........................................................................................................................... 17

Actividad de adquisición del conocimiento......................................................................................... 18

Actividad de organización y jerarquización ......................................................................................... 18

Actividades de aplicación .................................................................................................................... 20

LABORATORIO ......................................................................................................................................... 25

Etapa 3 Trigonometría: triángulos rectángulos .................................................................................. 35


GUIA DE APRENDIZAJE ............................................................................................................................ 38

Actividad de adquisición del conocimiento......................................................................................... 38

LABORATORIO ......................................................................................................................................... 40

Etapa 4. Trigonometría: triángulos oblicuángulos .............................................................................. 48


GUIA DE APRENDIZAJE ............................................................................................................................ 53

Actividad de organización y jerarquización ......................................................................................... 53

Actividad de metacognición ................................................................................................................ 57

LABORATORIO ......................................................................................................................................... 58


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Etapa 1. Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado en unavariable

PROBLEMAS SELECCIONADOS

BLOQUE 1 ECUACIONES QUE CONTIENEN VALOR ABSOLUTO Y ECUACIONES CONCUADRADOS.

Instrucción.- resuelve las siguientes ecuaciones con valor absoluto.

b) |6 x + 3| = –15

d) |4 x – 19| = 7

Instrucción: resuelve las siguientes expresiones

b) (2 x + 7) 2 = 25

d) ( x + 9) 2 = –3

BLOQUE 2 ECUACIONES CON TRINOMIOS CUADRADOS PERFECTOS

Instrucción.- resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas transformando el miembroizquierdo como el cuadrado de un binomio.

a) x 2 – 4 x + 4 = 25

b) x 2 + 14 x + 49 = 49

c) x 2 −

4+ 2

4=2

4

Instrucción.- resuelve las ecuaciones completando el trinomio cuadrado perfecto.

d) x 2 – 6 x + 13 = 29

e) x 2 + 8 x + 7 = 27


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f) x 2 + 0.65 = 1.8 x

BLOQUE 3 LA FORMULA CUADRATICA

Instrucción.- resuelve las ecuaciones empleando la fórmula general.

c) 6 x 2 – 17x – 3 = 0

d) 7 x 2 + 10 x + 3 = 0

BLOQUE 4 RESOLUCION DE ECUACIONES CUADRATICAS POR FACTORIZACION

Instrucción.- resuelve las ecuaciones por factorización.

b) x 2 – x – 6 = 0

d) 2 x 2 + 15 x + 7 = 0

BLOQUE 5 PROBLEMAS E APLICACIÓN

Instrucción.- resuelve los siguientes problemas de aplicación.

a) La suma de dos números es 35. Si a un número le llamamos x , el otro número puedeexpresarse como ______________________ Su producto se escribirá como

_______________________.

Si el producto de esos dos números es 264, escribimos la ecuación _________________

Resolviendo la ecuación, encontramos que los números son ____________________

y_____________________ .

b) La suma de dos números naturales es 40. La suma de sus cuadrados es 850. Encuentra losnúmeros.


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GUÍA DE APRENDIZAJE

Actividad de aplicación

1. Identifica el método de resolución para cada ecuación y en binas resuélvelo.

2. Expresa tus razones del método que facilitó la resolución de la ecuación.

3. Algunas parejas presentan frente al grupo la solución de un ejercicio, a fin de proceder a ladiscusión de los resultados.

4. Una vez que recibas retroalimentación, corrige los ejercicios con errores y agrega unareflexión personal a tu documento, guárdalo en tu portafolio personal.


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LABORATORIO

RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS, AVALANDO SU RESULTADO CON ELPROCEDIMIENTO

Para los problemas del 1 al 9 determine el conjunto de solución:

1.- 93 x

A) 6,12 S B) 6,2S C) 6,12 S D) 6,6 S

2.- 283 x

A) 3,1S B) S C) 0,2S D) 0,2S

3.- 9332 x

A)

2

3,

2

9S B)

2

3,

2

9S C)

2

1,

2

5S D)

2

1,

2

5S

4.- 100)5( 2 x

A) S B) 10,5S C) 5,15 S D) 6,5 S

5.- 9)32( 2 x

A) 5,1S B) 6,0S C) 5,1S D) 0,3S

6.- 64)14( 2 x

A)

49,

47S B)

31,

38S C)

49,

47S D)

31,

38S

7.- 16442 x x

A) 8,12S B) 6,2 S C) 5,1S D) 10,2S


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8- 12164162 x x

A) 3,19 S B) 6,12S C) 4,8 S D) 1,2 S

9.-814

8125

9102 x x

A)

3

1,

9

7S B)

9

5,

9

1S C)

3

1,

9

7S D)

9

5,

9

1S

Para los problemas del 10 al 13, determine la constante para completar el trinomio cuadradoperfecto

10.- ...122 x x

A) 36 B) 24 C) 36 D) 24

11.- ...302 x x

A) 150 B) 60 C) 125 D) 225

12.- ...2 x x

A) 75.0 B) 5.5 C) 25.1 D) 25.0

13.- ...4.22 x x

A) 85.0 B) 55.6 C) 24.2 D) 44.1

Para los problemas del 14 al 22 determine el conjunto de solución por el método indicado.

14.- 01662 x x cuadradoal docomple tan

A) 8,2 S B) 6,2S C) 4,8S D) S

15.- 040122 x x cuadradoal docomple tan

A) 5,1S B) S C) 5,1S D) 0,3S


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16.- 045243 2 aa cuadradoal docomple tan

A) 3,2S B) 3,5S C) 3,2 S D) 3,5S

17.- 0822 x x cuadrática fórmula

A) 5,1S B) 4,2 S C) 6,4S D) 1,3 S

18.- 1528 2 x x cuadrática fórmula

A) 8,12 S B) 9,2S C)

4

5,

2

3S D)

2

5,

2

1S

19.- x x 833 2 cuadrática fórmula

A)

3

1,3S B)

3,3

1S C)

2

1,2S D)

2

1,2S

20.- 0122 x x ión factorizac

A) 3,4 S B) S C) 5,0 S D) 6,5 S

21.- 032 2 mm ión factorizac

A)

2

3

,1S B) S C)

5

3

,3S D) 12,8 S

22.- 021102 y y ión factorizac

A) 3,7S B) 3,7 S C) 3,7S D) 3,7 S

23.- La base de un triángulo mide 4 metros menos que su altura. El área es de 48 2m .Determine la base y la altura del Triángulo

A)15

11

altura

base B)

24

20

altura

base C)

20

16

altura

base D)

12

8

altura

base

24.- La suma de dos números naturales es 40. La suma de sus cuadrados es 850. determinelos números

A) 10 y 30 B) 18 y 22 C) 15 y 25 D) 20 y 20


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25.- Se desea cercar un terreno rectangular con 300 m de alambre. Un rio corre a lo largo deuno de sus lados y, por tanto, no necesita cercar dicho lado. Determinar las dimensiones delterreno si éste no es cuadrado y su área es de

10,000 2m

A) mol

mancho

100arg

100

B) mol

mancho

1000arg

10

C) mol

mancho

200arg

50

D) mol

mancho

2000arg

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Etapa 2. Geometría plana


BLOQUE 1 ANGULOS

Instrucción.-convierte en radianes las siguientes medidas dadas en grados.

f) 45º

v) 350º

Instrucción.- convierte los siguientes ángulos de radianes a grados sexagesimales.

j)π

l)π

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BLOQUE 2 CLASIFICACION DE ANGULOS

Instrucción.- encuentra lo que se te pide en cada uno de los siguientes casos; losángulos estarán expresados en grados a menos de que explícitamente se señale locontrario.

a) Un ángulo y su suplemento, están a la razón de 5:4, encuentra la medida de dichos ángulos.

b) Un ángulo y su conjugado están a la razón de 2:1, encuentra la medida del ángulo mayor.

c) Un ángulo y su complemento están a la razón de 3:2, encuentra la medida del ángulo menor.

p) Sea el ángulo A = 8( x + 3) y el ángulo B = 4(12 + x ). Encuentra el valor de x si,

• A y B son complementarios.


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• A y B son suplementarios.

• A y B son conjugados.Instrucción.- en cada uno de los siguientes casos, encuentra el valor de la variable x, y de

los ángulos señalados.

C B6(x – 3)° 3(15 – x )°

O

D A

Instrucción.- encuentra el valor de x y el de y

C (+) B

55 (+)

D A

BLOQUE 3 ANGULOS ENTRE RECTAS CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL

Instrucción.- Encuentra los valores de X y de Y

(15+8) 3x

(3+36)


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BLOQUE 4 TRIANGULOS

Instrucción.- Determina los siguientes problemas

4. Los ángulos de un triángulo están a la razón de 7:6:5, encuentra la medida de dichos ángulos.

7. Sean ∠ A, ∠ B y ∠ C los ángulos interiores de un triángulo. Si B mide el doble que A y C mideel triple que A. ¿Cuánto mide cada ángulo?

BLOQUE 5 CLASIFICACION DE TRIANGULOS

Instrucción.- En el triángulo equilátero dado el segmento EB , está dividido en tressegmentos congruentes.

2.-Demuestra que ABE ≅CBD.

A

E D C B

Instrucción.- En la siguiente figura, las rectas dadas son paralelas y AB ≅ CD . Demuestra ABE ≅ DCE .

A

B

E

CD


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BLOQUE 6 CRITERIO DE SEMEJANZA DE TRIANGULOS

Instrucción.- Si en la figura MN || BC , hallar el valor de x , si x > 0.

AN = 6 BNC = xBC = 6 x + 1 MMN = 4 x 1

A N C

BLOQUE 7 POLIGONOS

Instrucción.- Calcular la medida del ángulo C de un pentágono irregular cuyos ángulosinteriores están representados por ∠ A = (2 x )°, ∠B = x ° , ∠C = (3 x )°, ∠D = (4 x )° y ∠E = (5 x )°.

a) 96° b) 120° c ) 140° d) 100° e) 108°

Instrucción.- Cada ángulo interior de un polígono regular mide 120°. Determina el número dediagonales.

a) 35° b) 9° c ) 20° d ) 27° e) 44°

BLOQUE 8 CUADRILATEROS

Instrucción.- Si ABCD es un paralelogramo, hallar el valor de y .

B = 150° B CD = (40 x + 30)°C = (7y + 3 x )°

A D


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a) y = 1 b) y = 2 c ) y = 3 d ) y = 4 e) y = 6

Instrucción.- Las diagonales de un rombo miden 10 y 24 cm respectivamente.

Calcula su perímetro.a) 60 cm b) 65 cm c ) 52 cm d ) 40 cm e) 70 cm

Instrucción.- Calcula el área de un rectángulo si su largo es de 24 cm y su diagonal mide74 cm.

a) 1 680 cm2 b) 1 400 cm2 c ) 1 780 cm2 d ) 1 900 cm2 e) 1 840 cm2

Instrucción.- Calcula el área de un triángulo equilátero cuyo perímetro es de 30 cm.

a) 43.3 cm2 b) 49 cm2 c ) 48.6 cm2 d ) 36.4 cm2 e) 50.2 cm2


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GUÍA DE APRENDIZAJE

Actividad diagnóstica

Relaciona correctamente las siguientes columnas.

preguntas respuestasRelaciona correctamente las siguientes columnas.

1.-Nombre que reciben los puntos que están sobre una misma recta.( )

2. Par de rectas que están en un mismo plano y no se intersectan.( )

3. Parte de la recta AB comprendida entre los puntos A y B, ambosinclusive.( )

4. Punto de un segmento de recta que la divide en dos partes de iguallongitud.( )

5. Figura geométrica formada por la unión de dos semirrectas de origencomún.( )

6. Semirrecta que tiene como origen el vértice de un ángulo y la divide endos ángulos de igual magnitud. ( )

7. Es cualquier segmento de recta que une al centro de una circunferenciacon uno de los puntos de esta. ( )

8. Es toda figura geométrica limitada por segmentos de recta que se llamanlados.( )

9. Figura geométrica que consiste en una curva cerrada, cuyos puntos queestán en un mismo plano son equidistantes de otro fijo que se llamacentro.( )

10. Unidad de medida angular del sistema sexagesimal que se define comola parte de una circunferencia. ( )

11. Ángulo que mide menos de 90°.( )

12. Ángulo que mide 90°.( )

13. Ángulo que mide más de 90°, pero menos de 180°.( )

14. Ángulo que mide 180°.( )

15. Ángulo que mide más de 180°, pero menos de 360°.( )

16. Ángulo que mide 360°.2. En sesión plenaria compara y discute tusrespuestas. ( )

a) Punto medio

b) Bisectriz

c) Grado sexagesimal

d) Ángulo llano

d) Ángulo

e) Puntos colineales

f) Polígono

e) Segmento de recta

f) Ángulo recto

g) Ángulo cóncavo oentrante

g) Rectas paralelas

h) Ángulo perigono

i) Ángulo agudo

h) Ángulo obtuso

i) Radio

j) Circunferencia.


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Actividad de adquisición del conocimiento

INSTRUCCIÓN: De manera individual realiza la lectura “Ángulos” del libro de textoMatemáticas y con base en la lectura anterior contesta las siguientes preguntas enplenaria.

a) Define ángulo.

b) ¿Cuáles son las partes por las que está formado un ángulo?.

c)¿Cuál es la notación para describir un ángulo?

e)¿Qué es la bisectriz de un ángulo?

f) ¿En qué consiste el sistema sexagesimal de medición de ángulos?

g) ¿Cuál es el sistema circular de medición de ángulos?

h) ¿Qué es un radián?

i) ¿Cuál es la equivalencia entre grado sexagesimal y radián?

Actividad de organización y jerarquización

Parte 1. Clasificación de ángulos1. Con base en la lectura “Clasificación de ángulos” de tu libro de texto Matemáticas 2 contestael siguiente crucigrama.


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INSTRUCCIÓN.-De manera individual identifica y responde al tipo de ángulo formado enlas siguientes situaciones. Responde a las cuestiones planteadas.

a)Tipo de ángulo formado entre el piso y una escalera recargada sobre la pared.

b) Tipo de ángulo formado entre el piso y la pared de una casa. c) Tipo de ángulo formado entreel piso y la parte superior de una rampa de patinaje.

d) Tipo de ángulo formado entre las dos hojas consecutivas de un libro cuando lo abrestotalmente y ambas quedan “alineadas”.

e) ¿Cuál es la clasificación de las parejas de ángulos de acuerdo al valor de su suma? Definecada clasificación.

f)¿Cuál es la clasificación de los ángulos que se forman cuando dos rectas se cortan?

INSTRUCCION.- De acuerdo con la siguiente figura y con tus respuestas anteriores,contesta lo siguiente.

60 90 30

45 135

Verticales Horizontales

2.- Son los ángulos consecutivos que seforman cuando dos rectas se cortan en unpunto.3.- Son ángulos cuya suma es igual a 180o.4.- Son ángulos cuya suma es igual a 360o.5.- Es un ángulo que mide 90o.7.- Son los ángulos no consecutivos que seforman cuando dos rectas se cortan en unpunto.

1.- Es un ángulo que mide 180o.6.- Son ángulos cuya suma es igual a90o8.- Es un ángulo que mide más de 90o ymenos de 180o.9.- Es un ángulo que mide menos de90o.


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a)Menciona tres ángulos agudos.

b) Menciona un ángulo recto.

c)Menciona tres ángulos obtusos.

d) Menciona un par de ángulos complementarios.

e)Menciona un par de ángulos suplementarios.

f)Menciona todos los pares de ángulos adyacentes.

De acuerdo con la siguiente figura:

I J

49 LL50

H K

a) Menciona dos pares de ángulos opuestos por el vértice.

b) Menciona cuatro pares de ángulos adyacentes.

Actividades de aplicación

Parte 1.Conversión de unidades de medición de ángulos. Longitud de arco51En equipos de cuatro estudiantes realiza los siguientes ejercicios referentes a conversión deángulos de grados sexagesimales a radianes y viceversa y de longitud de un arco subtendidopor un ángulo dado.

A) Expresa en radianes los siguientes ángulos sexagesimales.a) 30° b) 90° c) 135° d) 210° e) 300°

B) Convierte los siguientes ángulos de radianes a grados sexagesimales.a) π rad b) π rad c) π rad d) π rad e) 2.3 rad C)


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Presenta en el aula la solución de los ejercicios que el maestro te indicará.

D) La curva de una vía de ferrocarril es un arco de una circunferencia de 600m de radio. Si elarco subtiende un ángulo central de 40°, ¿qué distancia recorrerá un tren sobre dicha vía?

Parte 2. Clasificación de ángulos

1.- En equipos de cuatro estudiantes realiza los ejercicios de la sección “Clasificación deángulos” de tu libro de texto que el maestro te indicará.

2.- Presenta en plenaria la solución de los ejercicios para discutir la parte procedimental.

Parte 3. Ángulos entre rectas cortadas por una transversal

1. De manera individual realiza lectura “Ángulos entre rectas cortadas por una transversal” detu libro Matemáticas 2.2. En sesión plenaria discute lo que entiendes por “recta transversal”.3. En la figura mostrada la transversal t intersecta a las rectas paralelas r y r’. Se forman

parejas de ángulos que tienen nombres especiales, identifícalos.

r

r’

a) Ángulos internos:

b) Ángulos externos:

c) Ángulos correspondientes:

d) Ángulos alternos internos:

e) Ángulos alternos externos:


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4. Realiza los siguientes ejercicios en equipo.

A) Si en la siguiente figura AB y CD son paralelas, las afirmaciones listadas son verdaderasexcepto una, ¿cuál es? Argumenta tu respuesta.

130 ª A B

C D

por ser opuesto por el vértice con ∠ AHFpor ser correspondiente con el ∠ AHF

ya que es suplemento del ∠ AHFya que es alterno externo del ∠ AHF

Parte 4. Triángulos, clasificación y congruencia

1.-De manera individual dibuja los triángulos ABC con las medidas indicadas en cada inciso. Alterminar contesta las preguntas formuladas.

a) AB = 8cm, BC = 4cm y AC = 4cmb) AB = 6cm, BC = 8cm y AC = 10cmc) AB = 3cm, BC = 7cm y AC = 7cmd) AB = 5cm, BC = 8cm y AC = 10cme) AB = 6cm, BC = 6cm y AC = 6cm

¿Hay algún caso en el que sea imposible construir el triángulo so- licitado? ¿Cuál es la razón deque no se pueda construir? Identifica cada uno de estos triángulos según su clasificación deacuerdo con la longitud de sus lados.

3. Con base en la lectura de la sección “Congruencia de triángulos” de tu libro de textoexplica cada uno de los criterios para demostrar la congruencia de triángulos.


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Parte 5. Semejanza de triángulos

1. En sesión plenaria discutan cuál es la diferencia entre triángulos congruentes y triángulossemejantes, definan formalmente “Triángulo semejante” y respondan las siguientes preguntas.

a) ¿Cuáles son los lados homólogos de dos triángulos semejantes?

b) ¿A qué se le llama “razón de semejanza”?

c) ¿Cuál es la notación utilizada para decir que dos triángulos son semejantes?

2. Enseguida traza un par de triángulos congruentes y un par de triángulos semejantes.

3 Con ayuda de tu maestro-facilitador, formen equipos y expliquen:

a) El “Teorema fundamental de semejanza de triángulos”. b) Los tres criterios de semejanzade triángulos. En la siguiente figura los triángulos ABC y CDE son semejantes. Demuestra y

explica dicha semejanza mediante:

a) El Teorema fundamental de la semejanza de triángulos b) El Criterio AA c) ElCriterio LALd) El Criterio LLL

4. Si los triángulos ABC y PQR son semejantes, determina el perímetro del triángulo PQR.

A8 10

B 12 C

Parte 6. Polígonos1.-Con base en el siguiente polígono regular contesta.

x

a) Según su número de lados, ¿cómo se llama este polígono?


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b) ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde un vértice?

c) ¿En cuántos triángulos se dividió el polígono?, ¿cuál es la relación con el número de lados?

d) Tomando como referencia la cantidad de triángulos formados y la suma de sus ángulosinteriores, entonces ¿cuál es la suma de los ángulos interiores del polígono?

e) Dada la respuesta anterior, ¿cuál es la medida de cada ángulo interior del polígono?,¿cuánto medirá el ángulo exterior x?

f) Generaliza o expresa una fórmula para encontrar la suma de los ángulos interiores de unpolígono de cualquier número de lados “n” y de la medida de cada ángulo interior de un

polígono regular. En la siguiente tabla se incluyen algunos polígonos regulares, su número delados y la cantidad de diagonales que se pueden trazar en algunos de ellos. Identifica el patróny calcula cuántas diagonales tienen los polígonos de 7, 8, 9 y 10 lados.

Parte 7.cuadriláteros

En sesión plenaria clasifica los cuadriláteros según el paralelismo de sus lados e identifica suspropiedades. Realiza un dibujo por cada cuadrilátero y enmarca en este sus propiedades.En equipos de cuatro estudiantes realiza los ejercicios del punto “Cuadriláteros” del libro de

texto que el maestro te indique.

Polígono

Numero de

lados

Numero de

dia onales

3 4 5 6 7 8 9 10


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En las siguientes figuras determina el valor de x y y . Para los problemas del 7 al 9

7.-

1

r 21

// r r

2r

A)2

18

y

x B)

6

10

y

x C)

12

9

y

x D)

18

2

y

x

8.-

BMN // AC

M N

A C

A)6

5

y

x B)

5

6

y

x C)

9

7

y

x D)

1

12

y

x

9.-B C

AB // CD

BC // AD

A D

A)14

12

y

x B)

10

20

y

x C)

18

15

y

x D)

9

11

y

x

70°

º3 y º2 x

40º

30º

3x+36

3y-12

17x+8

º29 y x N

º58 y x M


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10.- Sean A, B y C los ángulos interiores de un triángulo, dónde A= o x 352 , B= o x 104 y

C= o x 73 determine la medida del ángulo C

A) OC 71 B) OC 47 C) OC 62 D) OC 12

11.- De la siguiente figura determine x y z

A) 19

40

z

x

B) 25

20

z

x

C) 20

25

z

x

D) 40

19

z

x

12.- Si BD es bisectriz de ABC y A C, demuestre que CBD ABD

B

A C

D1

A) Criterio ALA B) Criterio LAL C) Criterio LL D) Ninguno

13.- Determine el valor del cateto “ a ” en el triángulo siguiente:

5 22

a

A) 52a B) 5a C) 3a D)3a

º202 x

º153 x

º2 z 100º


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14.- Utilizando razón de semejanza y proporcionalidad de dos lados de dos triángulossemejantes, determine el valor de x

B AB // DE

D

62

15

24

36

x EC

x DE

AC

AB

A) 6 x B) 4 x C) 5 x D) 7 x

15.- Encuentra el valor de “ x ” en la siguiente figura.

A) 1 x B) 4 x C) 2 x D) 3 x

16.- ¿A cual criterio se refiere el teorema?: “Si en dos triángulos coinciden en sus tres lados,entonces ellos son

congruentes”

A) LLLCriterio : B) ALACriterio : C) LALCriterio : D) LLACriterio :

17.- Determine el lado faltante del siguiente triángulo rectángulo

x 8

6

A) 72 x B) 4 x C) 33 x D) 52 x

A

D E

C

B

3

12

12

9||

||

x AD

x BD

CE

BE

AC DE

A


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18.- Un árbol de m15 de altura, proyecta una sombra de m20 . Calcular la altura de un faro queal mismo tiempo

proyecta una sombra de m100 .

19.- Para establecer el ancho de un rio, un ingeniero tomo las medidas a lo largo de la orilla,como se muestra en la figura.

Determinar el ancho del rio.

A) ma 65 B) ma 78 C) ma 72 D) ma 89

20.- Determine la medida del ángulo C de un pentágono, cuyos ángulos interiores son: ,2 x A

, x B xC 3 , x D 4 y x E 5

A) 121C B) 108C C) 72C D) 144C

80mhD)

55mhC)

95mhB)

75mhA)


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LOS ÁNGULOS INTERIORES DE UN POLÍGONO REGULAR SUMAN 440,1ia

S . PARA

LOS PROBLEMAS 21 Al 24, DETERMINAR:

21.- El número de lados

A) 15n B) 12n C) 10n D) 8n

22.- El número de diagonales

A) 30d B) 22d C) 35d D) 47d

23.- La medida de cada ángulo interior

A) 36i A B) 144i A C) 58i A D) 125i A

24- La medida de cada ángulo exterior

A) 144e A B) 125e A C) 58e A D) 36e A

25.- Los ángulos interiores de un cuadrilátero son: º102 x A , x B 8 , 56 xC , 59 x D . Determine la medida del ángulo A

A) 112 A B) 79 A C) 131 A D) 38 A

26.-Si ABCD es un paralelogramo, determine el valor de z

B C

A D

A) 14 z B) 26 z C) 32 z D) 9 z x7

54

63 z

65 x


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27.- Si ABCD es un paralelogramo, determine los valores de x y z

B C

E

A D

A)7

21

z

x B)

12

8

z

x C)

10

7

z

x D)

4

2

z

x

28.- En un trapecio, su paralela media mide 16 cm y su base mayor 18 cm . Calcular la longitudde su base menor.

A) 10'b cm B) 12'b cm C) 14'b cm D) 8'b cm

29.- Si ABCD es un trapecio, encuentre x y y

B C

A D

A)25

20

y

x B)

15

25

y

x C)

10

12

y

x D)

9

18

y

x

z DE

x BE

EC

z x

3

35

2AE

E

)3( x )2( y

120 )304( y


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30.- Hallar las dimensiones de un rectángulo, si su área es de 180 2m y su perímetro es 56 2m

A)20

9

l

a

m

m B)

18

10

l

a

m

m C)

15

12

l

a

m

m D)

36

5

l

a

m

m

31.- Considere que ABCD es un rombo, determine x y z

A

D B

C

A)9

12

z

x B)

4

5

z

x C)

12

5

z

x D)

8

6

z

x

32.- Determine el área de un cuadrado, cuyo perímetro es de 100 cm

A) 200 A 2cm B) 225 A 2cm C) 625 A 2cm D) 400 A 2cm

33.- El área de un rombo es de 35 2m , y una de sus diagonales mide 7 m . Calcular la longitudde su otra diagonal

A) 10d m B) 12d m C) 15d m D) 8d m

34.- Determine el área de un rombo, cuyo perímetro es de 40 cm y una de sus diagonales mide12 cm

A) 96 A 2cm B) 105 A 2cm C) 195 A 2cm D) 238 A 2cm

35.- Determine la altura de un trapecio, si sus bases miden 9 y 11 pies , respectivamente, y su

área es de 60 2 pies

A) 4h pies B) 10h pies C) 6h pies D) 8h pies 36.- Calcular el área del siguiente trapecio isósceles

1213

155

40

60

z AC

x BC

AB

D


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B 'b C

A 68b cm D

A) 865 A 2cm B) 200,1 A 2cm C) 685,1 A 2cm D) 350 A 2cm

37.- Determine los lados a , b y c de:

a

3:4:5:: C B A A B

B b

c

C

A)

90

130

140

c

b

a

B)

100

115

145

c

b

a

C)

120

150

90

c

b

a

D)

120

120

120

c

b

a

38.- Determine los ángulos A , B y C de: A 2:3:4::: cba

c

c

a a

C B

b

A)

59

73

48

C

B

A

B)

65

60

55

C

B

A

C)

60

50

70

C

B

A

D)

80

40

60

C

B

A

24 cm 30 cm


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Etapa 3 Trigonometría: triángulos rectángulos


BLOQUE 1 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO AGUDOInstrucción.- Si en un triángulo rectángulo las medidas de los catetos son 2 √ y 4 √,respectivamente. Hallar el valor de la hipotenusa.

a) 10b) 2 √ 30c ) 6 √ 15 4 √ 5d ) 2 √23e) 8 √ 15

2√ 3

Instrucción.- Si sen A= 1

√ y cos A =

√ encuentra los valores exactos de las restantes

funciones trigonométricas.

Instrucción.- Empleando las cofunciones, llena los espacios en blanco de la siguientetabla.

cos 47° = sen

tan 22° = cot

csc 39° = sec

tan = cot 60°

Instrucción.- Si en un triángulo rectángulo como el siguiente, a = 8 y b = 4, encuentra losvalores de c , A y B

a) c = 4√ 5, A = 33.44° B = 26.56°b) c = 2√ 5, A = 38.44° B = 21.56° cc ) c = 4 √ 5, A = 23.14° B = 66.56° bd ) c = 2√ 10, A = 26.56° B = 63.44°e) c = 4 √ 5, A = 63.44° B = 26.56°


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a

BLOQUE 2 RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS

Instrucción.- Calcula la altura h de un edificio cuya sombra es de 118 m cuando el ángulode elevación del mismo es de 22°.

h22

118m

a) 47.9 m b) 39.8 m c ) 89.7 m d ) 45.9 m e) 47.7 m

Instrucción.- Un barco se encuentra en la bahía de Nueva York; desde él se observa laEstatua de la Libertad que tiene una altura aproximada de 305 pies. Si el ángulo deelevación a la parte superior de la antorcha es de 20°. ¿Qué tan lejos está el barco de labase de la estatua?

30520

a) 665.8 pies b) 233.4 pies c ) 837.98 pies d ) 123.6 pies e) 981.5 pies

Instrucción.- Para calcular el ancho de un río, un topógrafo procede como sigue:

Fija un punto A en una de las orillas (por ejemplo un árbol o una estaca). Desde la orillaopuesta se coloca en un punto B, frente al punto A, y girando en un ángulo de 90° camina100 metros de distancia hasta un punto C. Desde el punto C observa el punto A yencuentra que está a 36° con respecto a la línea BC.

Calcula el ancho del río a partir de esos datos.


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a) 72.65 m.b) 59.89 m. Cc ) 7.69 m.

d ) 45.89 m.e) 132.8 m.

A B

Instrucción.- Una escalera de 3.5 m. se apoya contra el borde superior de una barda querodea un jardín. Si el pie de la escalera se encuentra a un metro de distancia de la basede la barda ¿Cuál es la altura de ésta?

a) 3.05 m b) 3.64 m c ) 3.35 m d ) 6 m e) 3.45 m


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GUIA DE APRENDIZAJE

Actividad de adquisición del conocimiento

Parte 1. Formas equivalentes de “El Teorema de Pitágoras”

Considerando la fórmula del Teorema de Pitágoras, despeja adecuadamente para encontrar laexpresión del cateto o de la hipotenusa que se está solicitando en cada caso.

Parte 2. Elementos del triángulo rectángulo

Considerando los siguientes triángulos rectángulos, identifica los catetos y la hipotenusasegún el ángulo indicado.


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Parte 3. Definición de las funciones trigonométricas de un ángulo agudoConsiderando el siguiente triángulo rectángulo, identifica el ángulo y los lados que lecorresponden según la función trigonométrica por contestar.


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LABORATORIO

PARA EL SIGUIENTE TRÁNGULO RECTÁNGULO, CONTESTE LOS PROBLEMAS DEL1 AL 3

B

30

C A

18

1.- Calcular )cos( B

A)30

18)cos( B B)

30

24)cos( B C)

24

30)cos( B D)

18

24)cos( B

2.- Calcular )tan( A

A)18

24)tan( A B)

30

18)tan( A C)

30

24)tan( A D)

24

30)tan( A

3.- Calcular )sec( A

A)18

30)sec( A B)

24

30)sec( A C)

18

24)sec( A D)

24

18)sec( A


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4.- Dado99

20)tan( A , determine la función )( A sen

A) 20

101)( A sen B) 101

99)( A sen C) 20

99)( A sen D) 101

20)( A sen

5.- Si )cos()65( B sen . ¿Cuál es la medida del ángulo B?

A) º115 B B) º45 B C) º25 B D) º65 B

6.- Determine el valor de la función )''45'15º35( sen

A) 577323339.0 B) 577323339.0 C) 6.0 D) 6.0

7.- Determine el valor exacto de la función )º45cos(

A) 2

1

)º45cos( B) 2

2

)º45cos( C) 1)º45cos( D) 2

23

)º45cos(

8.- Determine el valor de la función )''12'45º215cot(

A) 388917206.1 B) 993858714.1 C) 89547833.2 D) 388917206.1

9.- Si 5.3)tan( A , determinar la medida del ángulo A

A) ''57.16'03º74 A B) ''57.16'23º64 A C) ''57.6'03º53 A D) ''57.6'03º4 A


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10.- Si 03739428.1)sec( B , determinar la medida del ángulo B

A) ''57.16'03º74 B B) ''40'10º85 B C) ''16'23º34 B D) ''50'25º15 B

11.- Dado 358983.2)csc( A , calcular )( A sen

A) 5.0)( A sen B) 2391149.0)( A sen C) 42391149.0)( A sen D) 2)( A sen

PARA LOS PROBLEMAS DEL 12 AL 15, EVALÚE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES

TRIGONOMÉTRICAS

12.- )º30cos()º60()º60cos()º30( sen sen

A) 3 B) 1 C) 5 D) 4

13.-)º15cos()º75cos(

)º15()º75(

sen sen

A) 577350269.0 B) 787548222.2 C) 577350269.0 D) 5.0

14.- )º270csc(4)º180sec(6)º270cos(3)º90(4)º180(3)º180cos(2 sen sen

A) 5 B) 4 C) 4 D) 5

15.- )2

3(8)cos(2)º0cos(4)

2(5

sen sen

A) 8 B) 8 C) 5 D) 5


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PARA LOS PROBLEMAS 19 AL 21

19.- Determine el lado c

A) 45c B) 75c C) 65c D) 85c

20.- Calcule el ángulo A

A) ''58.12'43º11 A B) '''12'5º158 A C) ''12.0''15º14 A D) ''88.59'44º75 A

21.- Calcule el ángulo B

A) ''48'54º21 B B) ''12.0''15º14 B C) ''02.47'16º78 B D) ''88.59'44º75 B

PARA LOS PROBLEMAS DEL 22 AL 25, SIMPLIFIQUE LAS SIGUIENTES EXPRESIONESTRIGONOMÉTRICAS

22.- )tan()()cos( A A sen A

A) )cos( A B) )sec( A C) )( A sen D) )csc( A

23.- )cot()sec()csc(

A) )tan( B) )( sen C) )cos( D) )sec(

24.- )(cot1)( 2 sen

A) )tan( B) )( sen C) )csc( D) )sec(

25.-1)(tan

)(cos)(2

22

A

A A sen

A) )(2 A sen B) )(cos2 A C) )cos( A D) )( A sen

26.- Se apoya una escalera de m4 contra la pared de un edificio, de modo que su extremoinferior está a m4.1 de la base

del edificio. ¿Determine el ángulo que forma la escalera con el piso?

A) ''10'38º39 B) ''50'15º10 C) ''48'25º58 D) ''46'30º69


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27.- La torre de una televisión de m50 alto proyecta una sombra de m60 . Determinar el ángulode elevación del sol

A) º5.21 B) º4.56 C) º5.35 D) º8.39

28.- Desde un barco, un observador determina que el ángulo de elevación a una torre de m80 altura, situada a m200 de la

playa, es de º6 .¿Cuán lejos está el barco de la orilla?

A) md 561 B) md 761 C) md 361 D) md 261

29.- Dos estaciones de seguimiento separadas una distancia de m400 entre sí miden losángulos de elevación de un globo Meteorológico, los cuales son de º65 y º46 ,respectivamente, como se muestra en la figura. Calcular la altura del globo en el momento de

las mediciones.

A) mb 801 B) mb 541 C) mb 238 D) mb 487

30.- De lo alto de un faro que emerge m40 sobre el mar, el ángulo de depresión al bote es deº12 . ¿A qué distancia del faroesta el bote?

A) 3893.192d B) 1489.151d C) 1852.188d D) 9795.171d


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UN OBSERVADOR SE ENCUENTRA A 4.8 Km DEL LANZAMIENTO DE UN MISIL Y LO VE ASCENDER. CONTESTE LOS PROBLEMAS 31 AL 33

31.- A un determinado tiempo, el ángulo de elevación es de '25º30 . ¿Qué tan alto está el misil?

A) Kmh 57.5 B) Kmh 82.2 C) Kmh 5.1 D) Kmh 3.3

32.- ¿Qué tan lejos está el misil del observador?

A) Kmd 57.5 B) Kmd 85.1 C) Kmd 5.3 D)

Kmd 82.2

33.- ¿Cuál será el ángulo de elevación cuando el misil alcance Km30 de altura?

A) ''35'54º80 B) ''50'12º78 C) ''45'5º32 D) ''12'11º51


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Etapa 4. Trigonometría: triángulos oblicuángulos


1. Encuentra el valor de las funciones trigonométricas del ángulo θ si su lado terminalpasa por:

a) (15.8)

b) (-7,-24)

2. Encuentra los valores de las demás funciones trigonométricas de θ, dado:

a) cos θ = ––2

– y θ está en el IV cuadrante.

b) tan θ = −2

20 y θ está en el II cuadrante.

3. Evalúa cada una de las siguientes expresiones:

a) tan 180° - 2 cos 180° + 3 csc 270° + sen 90°.

b) sen 0° + 3 cot 90° + 5 sec 180° - 4 cos 270°

c) 4 cos

2 - 5 sen (3

2) - 2 Sen(

2 ) + Sen 0


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d) 3 sen π + 4 cos 0° - 3 cos π + sen (

2 ). 2

4. Expresa cada una de las funciones del ángulo dado, como la función de su ángulo dereferencia y encuentra el valor de la función.

a) cot 147°

b) tan 590°

c) sen 1 000°

d) cos (-345°)

5. Dado el valor de la función, encuentra la medida del ángulo θ, si 0° < θ < 360°.

a) cos θ = 0.6157 b) sen θ = 0.4014 c) tan θ = -1.376 d) sec θ = -1.035

6. Utiliza los valores de los ángulos especiales cuadrantales y con el concepto del ángulode referencia para encontrar los valores de las seis funciones trigonométricas de losángulos: 30°, 45°, 60°

Θ sen θ cos θ tan θ cot θ sec θ csc θ30º45º60º

4.2 Triángulos oblicuángulos

1. Para los siguientes problemas encuentra el lado opuesto al ángulo dado.

a) En el ABC si b = 4, c = 5 y ∠ A = 50°.


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b) En el ABC si a = 7, c = 9 y ∠ B = 35°.

c) En el PQR si p = 3, q = 2 y ∠ R = 136°.

2. Para los siguientes problemas encuentra el ángulo que se te indica.

a) ∠ A en el D ABC si a = 2, b = 3 y c = 4.

b) ∠ F en el D DEF si d = 5, e = 6 y f = 8.

c) ∠ X en el D UVX si u = 6, v = 7 y x = 12.

Área de un triángulo oblicuángulo

3. Para los siguientes problemas determina el área de cada triángulo.

a) D ABC, si a = 6, b = 10 y ∠ C = 15°.

b) D ABC, si b = 8, c = 4 y ∠ A = 66°.

c) D DEF, si d = 4.8, f = 3.7 y ∠ E = 43° 129.


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4.3 Triángulo oblicuángulo. Ley de los senos

El siguiente ejercicio está diseñado para que practiques la Ley de los senos.

Resuelve los siguientes problemas.

1.- En D ABC, A = 54°, B = 30° y lado a = 9, determina:

Lado b.

L ado c.

2.- En D PQR, P = 15°, Q = 130° y lado q = 9, determina:

Lado p.

Lado r.

3.- En D AHS, A = 29°, H = 107°, lado a = 112, determina:

Lado h.

Lado s.

4.- En D BIG, B = 2°, I = 79°, lado b = 20, determina:

a) Lado i.

b) Lado g.

4.4 Los casos ambiguos

1. Para los siguientes problemas determina la longitud del lado indicado.

a) En D ABC, ∠ B = 32°, lado a = 5 y lado b = 4. Determina lado c.

b) En D XYZ, ∠ X = 13, lado x = 13 y lado y = 6. Determina lado z


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2. En los siguientes ejercicios determina los valores del ángulo que se pide.

a) En D ABC, ∠ A = 19°, lado a = 26 y lado c = 31. Determina ∠ C.

b) En D BIG, ∠ B = 110°, lado b = 100 y lado g = 90. Determina ∠ G.

3. En los siguientes problemas determina los datos faltantes.

a) En D ABC, lado a = 3, lado b = 4, ∠ C = 71° 209.

b) En D ABC, lado a = 8, lado b = 5, ∠ C = 32° 409.

• A partir de un enunciado serás capaz de dibujar un triángulo oblicuángulo y calcularáslos datos que se te piden.

1. Un buque sale de un puerto hacia el sur y navega 84 km. Después vira al sudoeste y navega120 km.

a) ¿Qué distancia tendrá que recorrer para regresar al puerto?

2.-. Para calcular la anchura BC de una bahía se miden, desde un punto A, dos distancias, AB y AC, y el ángulo BAC. AB = 8 km, AC = 9 km y ∠ BAC = 65° 309. ¿Cuál es el ancho de labahía?


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GUIA DE APRENDIZAJE

Actividad de organización y jerarquización


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BLOQUE 2 TRIANGULOS OBLICUANGULOS Y LEY DE COSENOS

Propósito dado dos lados y un ángulo incluido encontrar la longitud del tercer lado así comodados tres lados de un triangulo encontrar la medida de un ángulo especifico

Instrucción.- Determina el valor del lado c, del triángulo oblicuángulo, cuyos lados son a = 14.6cm,b = 20 cm y el C = 120°.

BLOQUE 3 ÁREA DE UN TRIANGULO

Propósito dada la medida de dos lados y un ángulo incluido encuentra el área del triangulo.

Instrucción.- Determina el área del triángulo, cuyos lados b = 76 cm, c = 54 cm y el∠ A = 49°.

B

5449

A 76 C

B

14.6

C20

A

c =?


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BLOQUE 4 TRIANGULO OBLICUANGULO LEY DE LOS SENOS

Propósito calcular la longitud de un lado dada la medida de un lado, su lado opuesto y lamedida de otro ángulo.

Instrucción.- resuelva cada uno de los siguientes cuestionamientos.

Dados los lados a = 50 cm, b = 35 cm y c = 74 cm del triángulo oblicuángulo. Determina el valorde los ángulos A y B.

ara medir la altura de una montaña, una persona ve hacia la cresta desde un punto A yencuentra su ángulo de elevación igual a 28° 309, enseguida se traslada hacia otro punto B, auna distancia de 430 m, y visualiza la cresta con un ángulo de elevación de 20° 459. ¿Cuál esla altura de la montaña?

La estación “B ” se encuentra a 10.2 km al este de la estación “A”. La dirección de un incendioes S 10° 409 O desde “A”. La dirección del incendio desde “B” es S 31° 209 O. ¿A que distanciade “A” se encuentra el incendio? ¿Y de “B ”?

74

??

BA

C

35 50


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Resolver el siguiente triángulo ABC, dado a = 20, b = 15 y ∠ B = 30° (caso ambiguo, dossoluciones). Determinar el valor de “c ”, ángulo A y ángulo C

C

B

30º

a=20b=15

C

B

A

a= 20

b = 15

30º


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Actividad de metacognición


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LABORATORIO

RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS, COMPROBANDO SU RESULTADO CON SUPROCEDIMIENTO

1.- Determine la función coseno y el ángulo r , sí su lado terminal pasa por la coordenada

6,8

A)

''37'10º52

10

6)cos(

r

r

B)

''12'52º36

10

8)cos(

r

r

C)

''51'12º10

8

10)cos(

r

r

D)

''38'35º21

6

10)cos(

r

r

2.- Si un ángulo en posición normal mide º258 . ¿Cuál será la medida de su ángulo dereferencia o reducido?

A) º50r B) º12r C) º58r D) º78r

3.- Determine el ángulo reducido de un ángulo de º980

A) º50r B) º10r C) º80r D) º40r

4.- Calcule el valor exacto del )º330( sen

A)2

1)º330( sen B)

2

3)º330( sen C)

3

32)º330( sen D)

2

1)º330( sen

5.- Si 642787609.0)cos( ¿Cuál es el valor del ángulo si su lado Terminal está en elCuadrante IV?

A) º310 B) º130 C) º230 D) º50

6.- Si 035.1)csc( . ¿Cuál es el valor del ángulo si su lado Terminal está en el CuadranteIV?

A) ''2.34'56º284 B) ''79.25'3º165 C) ''21.34'56º194 D) ''79.25'3º75

7.- Determine el valor de , sì º360º0 , si la razón trigonométrica 732050808.1)tan(


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A)º300

º240

2

1

B)

º300

º120

2

1

C)

º330

º210

2

1

D)

º315

º135

2

1

RESUELVA EL SIGUIENTE TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO B

c cm6.25

º65 A C

cm4.15



A) cmc 85.12 B) cmc 85.43.52 C) cmc 65.23 D) cmc 49.32

9.- Calcule el ángulo A

A) 17.11 A B) 85.56 A C) 83.78 A D) 15.33 A


A) 17.49 B B) 83.118 B C) 83.53 B D) 17.36 B

11.- Determine su área

A) 265.178 cm A B) 295.235 cm A C) 252.120 cm A D) 205.73 cm A

RESUELVA EL SIGUIENTE TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO


60/61


C

cmb 50

A B



A) º70 B B) º50 B C) º30 B D) º20 B

13.- Determine el lado a

A) cma 7.12 B) cma 2.34 C) cma 5.55 D) cma 8.27


A) cmc 63 B) cmc 32 C) cmc 50 D) cmc 45


A) 2384cm A B) 21.235 cm A C) 21350cm A D) 24.803 cm A

RESUELVA EL SIGUIENTE TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO

C

80b

A

B


16.- Calcule el ángulo C A) º39C B) º59C C) º49C D) º29C

40º

70

129º22º


61/61

17.- Determine el lado a

A) cma 56.38 B) cma 23.47 C) cma 26.25 D) cma 25.50


A) cmc 25.65 B) cmc 91.49 C) cmc 95.50 D) cmc 52.26


A) 26.389 cm A B) 22.238 cm A C) 28.747 cm A D) 24.885 cm A

20.- Dos lados de un paralelogramo son 83 y140 m respectivamente. Una de sus diagonalesmide m189 . Determine elárea de uno de sus triángulos que forma la diagonal con los lados del paralelogramo.

A) 226.528,3 m A B) 220.331,5 m A C) 280.340,2 m A D) 233.833.4 m A

21.- Tres circunferencias cuyos radios miden ,115 150 y cm225 son tangentes exteriormenteentre sí. Determinar los Ángulos que forman cuando se unen los centros de dichascircunferencias.

A)

''61.23'28º75

''43.46'9º43

''96.49'21º61

C

B

A

B)

''8.13'35º115

''7.2'27º27

''43.5743º36

C

B

A

C)

º83

º62

º35

C

B

A

D)

º60

º60

º60

C

B

A

portafolio de actividades matematicas ii

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