Portafolio de Evidencias

Portafolio de Evidencias Matemticas para Negocios PROFESOR: Ruperto Verde Duran Alumno: Zacarias Prez Francisco JavierGrupo 3201Carrera: Contabilidad

TEMARIO PARA SEGUNDO DEPARTAMENTAL.4.1 DEFINICIO DE FUNCION 4.2 DEFINICION DE LIMITE DE UNA FUNCION 4.2.1 CALCULO DEL VALOR NUMERICO DEL LIMITE DE UNA FUNCION FINITO E ONFINITO POR LA DERECHA .4.3 CONTUINIDAD.4.3.1 FUNCION CONTINUA QUINTA UNIDAD.LA DERIVADA.5.1 DEFINICION DE DERIVADO.5.2 METODO DE LOS 4 PASOS.5.3 INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA. 5.4 FORMULAS PARA DETERMINAR LA DERIVADA EN DIFERENTES FUNCIONES ALGEBRAICAS.5.5 DERIVADAS SUCESIVAS: SEGUNDA DERIVADA.5.6 MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION.

Limite.Tarea 1 Aplicando la sustitucin directa obtener los siguientes lmites.

Ejercicios en clase:

LimiteEnmatemtica, el concepto delmitees unanocin topolgicaque formaliza la nocin intuitiva de aproximacin hacia un punto concreto de unasucesino unafuncin, a medida que los parmetros de esa sucesin o funcin se acercan a determinado valor.Enclculo infinitesimal(especialmente enanlisis realymatemtico) este concepto se utiliza paradefinirlos conceptos fundamentales deconvergencia,continuidad,derivacin, integracin, entre otros. Si bien, el concepto de lmite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio eucldeo, es la clase deconjuntos abiertos inducidospor dicha mtrica, lo que permite definir rigurosamente la nocin de lmite.El concepto se puede generalizar a otrosespacios topolgicos, como pueden ser lasredes topolgicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemtica, como puede ser lateora de categoras.Para frmulas, ellmitese utiliza usualmente de forma abreviada mediantelimitecomo en limite (an ) =ao se representa mediante la flecha () como enana.

Teorema de Lmites.Para facilitar la obtencin del lmite de unafuncinsin tener que recurrir cada vez a la definicin psilon-Delta se establecen los siguientes teoremas.Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia.Teorema de lmite1:Si kes una constante yaun nmero cualquiera, entonces

Teorema de lmite2:Para cualquier nmero dadoa,

Teorema de lmite3:Simybson dos constantes cualesquiera, entonces

Teorema de lmite4:

Teorema de lmite5:

Teorema de lmite6:Si fes un polinomio yaes un nmero real, entonces

Teorema de lmite7:Siqes una funcin racional yapertenece aldominiodeq, entonces

Teorema de lmite8:

1.- Resolver el lmite:Solucin:

2.- Resolver el lmiteSolucin:La solucin no es tan inmediata como en el caso anterior, es necesario realizar algunas operaciones antes de aplicar el lmite, ya que este lmite nos conduce a la indeterminacin del tipo cero sobre cero. Para su solucin existen dos mtodos:1erMtodoPor lo que aplicando la factorizacin:2odoMtodo.Un segundo mtodo, que requiere del conocimiento de uso de frmulas de derivacin, para solucionar este tipo de problemas es la famosa ley de LHospital. Para los estudiantes que abordan por segunda vez el tema de lmites les ser de mayor utilidad, sin embargo, para los estudiantes que lo abordan por primera vez se les sugiere retomar el tema una vez que se hayan cubierto los ejercicios de derivadas.Mediante la regla de LHospitalDerivamos tanto el numerador como el denominador, antes de evaluar el lmite, obteniendo:

Aplicando el lmite a esta ltima expresin obtenemos:3.- Resolver el siguiente lmite:Solucin:Como el lmite queda indeterminado debido a la divisin:Entonces es necesario dividir entre la variable a la mayor potencia tanto en el numerador como en el denominador eneste caso entrex7:4.-Solucionar el siguiente lmite:Solucin:Dividiendo entrex3por ser variable de mayor potencia tendramos:5.-Encontrar elSolucin:6.- Encontrar la solucin de la siguiente expresin:Solucin:Multiplicando porTenemos:

7.- Encontrar la solucin del siguiente limiteSolucin:La solucin, como podemos analizar, no es tan inmediata ya quenos conduce a la indeterminacin de la forma cero entre cero. Al igual que elejercicio 2podemos llegar al resultado mediante dos caminos diferentes:1erMtodoDebido a quese puede expresar comoPor lo que:

2odoMtodoMediante la regla de LHospital tenemos:Por lo que:8.- Resolver el siguiente lmite:Solucin:Como el lmite es indeterminado de la forma infinito sobre infinito primero dividiremos entrex100Con lo que:Por lo tanto:9.-Obtn el siguiente lmite:Solucin:Directamente no se puede obtener el resultado por lo que es necesario desarrollar los productosAunqueaun la solucin no es tan inmediata si podemos plantear dos diferentes mtodos de solucin:1erMtodoDividiremos entre la variable de mayor potencia:Por lo tanto2odoMtodoMediante regla de HospitalComo esta fraccin aun mantiene la indeterminacin entonces se deriva nuevamente:Por tanto:10.- Resolver el siguiente lmite:Solucin:

EJERCICIOS Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios resolvindolos primero en forma directa y posteriormente aplicando algn procedimiento algebraico para evitar la indeterminacin si es que existe. 1-

2-

3-

4-

5-

6-

7-

8-

9.

10.

Funcin racionalLas funciones racionales son continuas en un intervalo adecuado. Un ejemplo de esto es la funcin inverso dex:

Esta funcin es unahiprbolacompuesta por dos tramos.X< 0 yx> 0. Como vemos, efectivamente es continua en todo el dominioporque no est definida enx= 0. Si se extiende el dominio de la funcin aR(dndole un valor arbitrario a f(0)) la funcin ser discontinua.Teoremas de las funciones continuasLas funciones que son continuas en un intervalo cerrado tienen ciertas propiedades especiales que se enuncian a continuacin:Teorema de la conservacin del signoSi f(x) es continua en xa y f(a)0, existe un intervalo abierto tal que f(x) > 0,x(a, a +).Actividad de reflexinA) i)Realice los pasos que se detallan a continuacin para definir grficamente una funcin yf(x).a)Grafique un sistema de ejes coordenados cartesianos.b)Sobre el eje x elija dos valores a y b, con a < b.c)Sobre el eje y determine los valores f(a) y f(b).d)Marque los puntosy.e)Sobre el eje y determine un valor k que se encuentre entre f(a) y f(b).f)Grafique la recta yk, paralela al eje x.g)Grafique una funcin continua yf(x) uniendo los puntosy.h)La grfica de la funcin yf(x) , interseca a la recta yk? En cuntos puntos?ii)Repita la actividad (i) graficando otras funciones.Segn lo observado extraiga conclusiones.B)Para el mismo caso que la situacin (A), grafique una funcin desdehastapero que no interseque a la recta yk.Qu anlisis puede hacer sobre la funcin?De la actividad anterior se enuncia el siguiente teorema:Teorema del valor intermedioSi yf(x) es una funcin continua en el intervalo cerradoa, bdonde f(a)f(b) y k es un nmero real cualquiera comprendido entre f(a) y f(b), existe al menos un nmero real c perteneciente al intervalo (a, b) tal que f(c)k.

Desde el punto de vista geomtrico, este teorema establece que la grfica de una funcin continua en un intervalo cerrado, debe intersecar al menos una vez a cada recta de ecuacin yk, siendo f(a) < k < f(b).En el siguiente ejemplo se presenta la importancia de la verificacin de la condicin de continuidad de la funcin yf(x) en el intervalo [a, b] para poder garantizar la existencia del nmero real c.Ejemplo.Sea la funcin f(x). Es posible aplicar el teorema del valor intermedio en su dominio de definicin? Justifique.El dominio es el intervalo cerrado [1, 4]. Adems, f(1)1 y f(4)7.Cada tramo es una funcin polinomial y por lo tanto cada tramo es continuo en el intervalo dado. Debe analizarse la continuidad de la funcin en x2:Y.Como los lmites laterales son distintos, la funcin no es continua en x2 y por lo tanto tampoco es continua en el intervalo cerrado [1, 4]. Por este motivo, no puede aplicarse el teorema del valor intermedio.La grfica de la funcin dada es la siguiente:

Si k es cualquier nmero real cualquiera comprendido entre 4 (inclusive) y 6, por ejemplo k5, no existe ningn valor de c perteneciente al intervalo (1, 4), tal que f(c)5.

El teorema del valor intermedio tambin resulta til para determinar la existencia de races de una funcin continua en un intervalo cerrado.Sea yf(x) una funcin continua en el intervalo cerrado [a, b] tal que f(a) y f(b) toman valores de signos contrarios. Es posible asignarle a k el valor cero, ya que cero est comprendido entre f(a) y f(b), de manera tal que en el intervalo (a, b) existe por lo menos un nmero real c tal que f(c)0. De esta manera puede concluirse que c es una raz real de la funcin dada.Esto se enuncia en el siguiente teorema:Teorema de BolzanoSi yf(x) es una funcin continua en el intervalo cerrado [a, b] y f(a) y f(b) tienen signos opuestos, entonces existe al menos un nmero real c perteneciente al intervalo (a, b) tal que f(c)0; es decir, c es una raz de f(x).Las siguientes grficas permiten ilustrar el teorema:

Ejemplo.Sea la funcin g(x)Determine si tiene una raz real en el intervalo [5, 1]. Justifique la respuesta.El dominio de esta funcin es DR{3} y por lo tanto no es continua en el intervalo [5, 1]. Como no se cumple la hiptesis de continuidad del teorema de Bolzano, no puede garantizarse la existencia de una raz real en el intervalo dado.Ejemplo.Dada la funcin definida por la ley h(x)Determine si tiene al menos una raz real en el intervalo [0, 2]. Justifique la respuesta.El dominio de la funcin es DR{1} y, por lo tanto, es continua en el intervalo [0, 2]. Luego se calculan los valores de la funcin en los extremos del intervalo:h(0)y h(2)Como en los extremos del intervalo la funcin toma valores de signo contrario, cumple con las hiptesis del teorema de Bolzano y por lo tanto se puede asegurar que existe al menos una raz real en dicho intervalo, es decir, que existe al menos un valor real de c tal que h(c)0.h(c)02(2c3)04c60cLa raz buscada que pertenece al intervalo [0, 2] es xEjemplo.Sea g(x) una funcin continua en el intervalo [3, 6] tal que g(3)2, g(1)1, g(2)3 y g(6)g(4) siendo ambos positivos. Interprete grficamente e indique el menor nmero de races que g(x) puede tener en dicho intervalo.

Graficando las condiciones solicitadas se obtienen:

Una grfica posible de la funcin es:Teniendo en cuenta que las imgenes de 6 y de 4 son positivas, la grfica de una funcin continua en el intervalo [3, 6] cortar al eje de las abscisas por lo menos en dos puntos, uno perteneciente al intervalo (2, 4) y el otro al (1, 2). Por lo tanto, la funcin tendr como mnimo, dos races en dicho intervalo.

Tipos de discontinuidad de funciones

Los tipos de discontinuidad de funcionespueden ser entre otras evitable o discontinuidad de salto.Discontinuidad evitable

Discontinuidad de salto finito

Discontinuidad de salto infinito

Y= -3 (-3) +5 = 9 +5 = 14

Y= -3 (-2) + 5 = 6+5= 11

Y = -3(-1)+ 5= 3+5=8

Y= -3(0) + 5 = 0+5 = 5

Y= -3(1) + 5 =-3+5= -2

Y= -3(2) + 5 =-6 +5= -1

Y= -3(3) + 5 =-9+5 = -4

XYPUNTOS

-314(-3, 14)

-211(-2, 11)

-18(-1, 8)

05(0, 5)

12(1, 2)

2-1(2,-1)

3-4(3, -4)

Dada la siguiente funcin obtenga su grfica, dominio, rango y diga si es continua o discontinua Y= -3x +5

X= -3 a +3

(-3,14)

D(f)= -3 a 3R(f)= -4 A 14 FUNCION CONTINUA

(3,-4)

Dada la siguiente funcin obtenga su grfica, dominio, rango y diga si es continua o descontinua.XYPUNTOS

-4O(-4, 0 )

-3-.2(-3, .2)

-2-.5(-2, -.5)

-1-1(-1-1)

0--2(0, -2 )

1-5(1, -5)

2(2, )

37(3, 7)

44(4,4)

53(5, 3)

X= -4 A 5

D(f)= -4 a 5R(f)= -5 a FUNCION DESCONTINUA

X = -4 a 4 XYPuntos

-4- 4.5(-4, -5 )

-3-3.2(-3, -3)

-2-1.8(-2,-1.8)

-1.5(-1,.5)

0 .8(0,.8 )

12.2(1,2.2)

23.5(2,3.5)

34.8(3,4.8)

46.2(4,6.2)

D(f)= -4 a 4R(f)= -6.2 a -4.5FUNCION CONTINUA

XY Puntos

-5-.6(-5,-.6)

-4-.7(-4,-.7)

-3-.8(-3,-.8)

-2-1(-2,-1)

-1-1.3(-1,-1.3)

0-2(0,-2)

1-4(1,-4)

2(2,)

34(3,4)

42(4,2)

51.3 (5,1.3)

Discontinua D(f)={-5 a 5}R(f)={-4 a }

Tarea Determina las siguientes funciones F(x) que se da a continuacin son continuas para los puntos identificados para cada caso. 1.-2.-.1.-2.-Determina para cada una de las funciones que se indican a continuacin es o no continua en todo su dominio .. . .. . .. . .

.. . .. .

Tarea derivada por los cuatro pasos:

Y=-4x

Y =3-5x

Y=3x +2

Y=x-5

Resolver las siguientes derivadas en forma directa utilizando su forma respectiva formula.Y= 3x Y= 3Y= -4X Y= -4Y= Y= Y= -X Y= -1Y = - Y= -Y= 3-5x Y= - 5Y= 3x+2 Y= 3Y= X 5 Y= 1Y= Y= Y= Y=Y = Y= 2xY = Y= 2xY= Y= 10Y= Y= 2

U= U=V= 6- 4x V= -4

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. U= 4-x U= -1V=3 +x V= 1

Y= (4-x )(1)+ (3+x)(1)Y= 4-x +(-3-x)Y=4-x-3-xY= 1-2x 19.U= 3-X U=-1 V= 2-X V= -1

Y= (3-x)(-1)+(2-x)(-1) Y=-3 +x + (-2 + x) Y= -5 + 2 x20. Y= (9x-9)(2x+3)U= 9x -9 U= 9V=2x +3 V=2

Y= (9x -9)(2)+(2x+3)(9) Y= 18x -18+ 18x +27 Y= 36X +921. Y = 22. 23. 24.25.26. 27. Y= ab29. Y= 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. Y= 40. 41. 42. 43. Y=44. U= U= 2x-1

U=U=

45.

.. Maximo......... . Mnimo . ...............maxima

....4..........minima

... .....

............

FUNCIN CRECIENTE Y DECRECIENTE Una funcin es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1 y x2, con la condicin x1 x2, se verifica quef( x1 ) < f( x2 ).Se dice estrictamente creciente si de x1 < x2 se deduce que f(x1) < f(x2). Una funcin es decreciente en un intervalo [a,b] si para cualesquiera puntos del intervalo, x1 y x2, que cumplan x1 x2, entonces f(x1 ) f(x2 ).Siempre que de x1 < x2 se deduzca f(x1 ) > f(x2 ), la funcin se dice estrictamente decreciente.FUNC. CREC. Y DECREC. EN PUNTO Una funcin es creciente en un punto a si existe un intervalo abierto

f(x) f(a) si x pertenece a (a - , a) yf(x) f(a) si x pertenece a (a, a + ). Anlogamente, una funcin es decreciente en un punto a si existe un intervalo abierto (a - , a + ) en el quef(x) f(a) si x pertenece a (a - , a) yf(x) f(a) si x pertenece a (a, a + ).La definicin de funcin estrictamente creciente o decreciente en un punto se obtiene sin ms que sustituir el ssmbolo por < y el por el >.Es preciso diferenciar el significado de funcin creciente o decreciente en un intervalo del de funcin creciente o decreciente en un punto.Ejemplo: estudio del crecimiento y decrecimiento de una funcin Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la funcin y = x2 en los puntos

Resolucinn: La funcin y = x2 es estrictamente creciente en el intervalo [0, +) puesto que si

Por otro lado, es estrictamente decreciente en (-, 0] ya que en este intervalo (al ser nmeros negativos), si x3 < x4 x32 > x42 (por ejemplo, -7 < -3 y (-7)2 > (-3)2). Es estrictamente decreciente en x = 0. Ntese cmo en x = 0 la funcin no es creciente ni decreciente. A la izquierda de este punto es decreciente y a la derecha es creciente.Como pone de manifiesto este ejemplo, toda funcin creciente en un intervalo (respectivamente decreciente) es creciente (respectivamente decreciente) en todo punto de ese intervalo.Recprocamente, toda funcin estrictamente creciente (respectivamente decreciente) en todo punto de un intervalo, es creciente (respectivamente decreciente) en todo el intervalo.

Punto de inflexin

Saltar a: navegacin, bsquedaPara el punto de inflexin desde el punto de vista del clima, vase Punto de inflexin (climatologa).

Grfico de y = x3 con un punto de inflexin en el punto (0,0).

Grfico de y = x3, rotado, con tangente en el punto de inflexin en el punto (0,0).Un punto de inflexin es un punto donde los valores de x de una funcin continua pasa de un tipo de concavidad a otra. La curva "atraviesa" la tangente. Matemticamente la derivada segunda de la funcin f en el punto de inflexin es cero, o no existe.En el clculo de varias variables a estos puntos de inflexin se les conoce como puntos de ensilladura.Clculo de los puntos de inflexin en funciones reales derivables de variable realEn las funciones derivables reales de una variable real, para hallar estos puntos de inflexin, basta con igualar la segunda derivada de la funcin a cero y despejar. Los puntos obtenidos debern ser sustituidos en la derivada tercera o sucesivas hasta que nos d un valor diferente de cero. Cuando esto suceda, si la derivada para la que es distinto de cero es impar, se trata de un punto de inflexin; pero, si se trata de derivada par, no lo es. Ms concretamente:1Se halla la primera derivada de 2Se halla la segunda derivada de 3Se halla la tercera derivada de 4Se iguala la segunda derivada a 0: 5Se despeja la variable independiente y se obtienen todos los valores posibles de la misma: .6Se halla la imagen de cada sustituyendo la variable dependiente en la funcin.7Ahora, en la tercera derivada, se sustituye cada :1Si , se tiene un punto de inflexin en .2Si , debemos sustituir en las sucesivas derivadas hasta sea distinto de cero. Cuando se halle la derivada para la que no sea nulo, hay que ver qu derivada es:1Si la derivada es impar, se trata de un punto de inflexin.2Si la derivada es par, no se trata de un punto de inflexin.La ecuacin no tiene puntos de inflexin, porque la derivada segunda es siempre mayor o igual a cero, por tanto no hay cambio de concavidad dado que es no negativa en todo su dominio. Sin embargo en la derivada segunda se anula y la primera derivada no nula en es la derivada cuarta, que es par. Obsrvese que tampoco presenta un extremo en .

Mximo absolutoUna funcin tiene su mximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la funcin.Mnimo absolutoUna funcin tiene su mnimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la funcin.

a = 0

b = 0Mximo y mnimo relativoUna funcin f tiene un mximo relativo en el punto a, si f(a) es mayor o igual que los puntos prximos al punto a.Una funcin f tiene un mnimo relativo en el punto b, si f(b) es menor o igual que los puntos prximos al punto b.

a = 3.08 b = -3.08

Tarea:

Procedimiento para obtener maximos y minimos relativos utilizando el criterio de la segunda derivadacriterio de la segunda derivada).a partir de las propiedades de los extremos locales estamos en condiciones de establecer para diversos tipos de funciones, cuando un extremo relativo corresponda a un mximo y cuando a un mnimo. de hecho, a partir de la resolucin de la ecuacin f '(x) = 0, es posible determinar su ubicacin.adems, como se observa en la figura 55, el mximo relativo, se encuentra en algn punto de la curva en donde sta es convexa. por el contrario, para el punto en donde se localiza el mnimo relativo, la curva es cncava. de acuerdo a los criterios y propiedades de concavidad y puntos de inflexin, se establece la siguiente propiedad.definicin:

criterio de la segunda derivada: sea f una funcin tal que su primera y segunda derivada existan en x = c. para la curva de f:

existe un mximo relativo en x = c si:

f '(c) = 0 y f ''(c) < 0

existe un mnimo relativo en x = c si:

f '(c) = 0 y f ''(c) > 0cuando la funcin permite un clculo rpido de sus derivadas sucesivas, el teorema resulta ser el mejor camino para la determinacin de los extremos relativos.

ejemplo 1.- calcular los mximos y mnimos por el criterio de la segunda derivada de la funcin

f(x) = x3 6x2 + 9x + 5.

a) calcular los nmeros crticos.

f '(x) = 0

f '(x) = 3x2 12 x + 9

3x2 12x + 9 = 0

x2 4x + 3 = 0

(x 3) (x 2) = 0

x 3 = 0 x 1 = 0

x = 3 x = 1

b) calculo de la segunda derivada.

f '' (x) = 6x 12

c) sustitucin de los nmeros crticos.

si x = 1

f ''(x) = 6 (1) 12 = 6 12 = - 6 < 0 (mximo).

si x = 3

f ''(x) = 6 (3) 12 = 18 12 = 6 > 0 (mnimo).

d) calculo de los valores relativos.

si x = 1

en forma de coordenada:(1, 9) mximo

f(x) = (1)3 6 (1)2 + 9 (1) + 5

= 1 6 + 9 + 5 = 9

mximo = 9 para x = 1

en forma de coordenada:(3, 5) mnimo

si x = 3

f(x) = (3)3 6 (3)2 + 9 (3) + 5

= 27 54 + 27 + 5 = 5

mnimo = 5 para x = 3funcin creciente y decreciente. mximos y mnimos de una funcin. criterio de la primera derivada para mximos y mnimos. concavidades y puntos de inflexin. Criterio de la segunda derivada para mximos y mnimos.Funciones creciente y decreciente.Definicin:Si al aumentar el valor de x el valor de su imagen (x) tambin se incrementa, se dice que la grfica de la funcin crece y, por el contrario, cuando el valor x aumenta disminuye (x), decimos que la funcin decrece.simblicamente podramos definir: es creciente en un intervalo [a, b] "x1 "x2 [a, b]: x1 < x 2 (x1) < (x2) es decreciente en un intervalo [a, b] "x1 "x2 [a, b]: x1< x 2 (x1) > (x2)

Criterios para crecimiento y decrecimiento sea f una funcin de variable real continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b).1Si para todo entonces f es creciente en [a, b].2Si para todo entonces f es decreciente en [a, b].3Si para todo entonces f es constante en [a, b].

Observacinn:El crecimiento y el decrecimiento de una curva coinciden con el signo de la primera derivada. As:Donde (derivada positiva), f(x) es creciente.(derivada negativa), f(x) es decreciente.el teorema del subtema 5.1.2, permite clasificar los extremos relativos (mximos y mnios) de una funcin, de acuerdo a las variaciones de signo de la primera derivada.estrategias para determinar los intervalos en los que una funcin es creciente o decreciente:sea f continua en el intervalo (a, b). para encontrar los intervalos abiertos sobre los cuales f es creciente o decreciente, hay que seguir los siguientes pasos:1. localizar los nmeros crticos de f en (a, b), y utilizarlos para determinar intervalos de prueba.2. determinar el signo de f '(x) en un valor de prueba en cada uno de los intervalos.3. recurrir al teorema mencionado al inicio para determinar si f es creciente o decreciente para cada intervalo.ejemplo: determine los intervalos abiertos sobre los cuales es creciente o decreciente.Solucin: ntese que f es derivable en toda la recta de los nmeros reales. para determinar los puntos crticos de f, igualar a cero f '(x).escribir la funcin original:derivar e igualar f '(x) a cero:factorizar: (3x)(x - 1) = 0

resolver: x = 0 x - 1 = 0 x = 1

tarea: resuelve los siguientes ejercicios1.- dada la funcin , identificar los intervalos abiertos en los que la funcin es creciente o decreciente.respuesta. creciente en (3, ) y decreciente en (-, 3)2.- dada la funcin f(x)=5 + 8x - x, identifica los intervalos abiertos en los que la funcin es creciente o decreciente.respuesta: creciente en (-, 4) y decreciente en (4, )mximos y mnimos (criterio de la primera derivada).sea f una funcin continua en un intervalo i; sean a, b, c puntos de i, tales que a < c < b y c un punto crtico de f (f (c) = 0 o f ( c) no existe).entonces:1Si para todo x en (a, c) y para todo x en (c, b), entonces, f(c) es un mximo relativo. (fig. (a), fig. (b)).2Si para todo x en (a, c) y para todo x en (c, b), entonces, f(c) es un mnimo relativo. (fig. (d), fig. (e)).3Si para todo x en (a, c) y para todo x en (c, b), entonces, f(c) no es un extremo relativo. (fig. (c)).4Si para todo x en (a, c) y para todo x en (c, b), entonces, f(c) no es un extremo relativo. (fig. (f)).

d c

e ffig.observacin:en el lenguaje corriente, las partes i. y ii. del teorema , se expresan respectivamente, en la siguiente forma: si la primera derivada pasa de positiva a negativa en c, entonces, el punto crtico corresponde a un mximo relativo en (c, f(c)). si la primera derivada pasa de negativa a positiva en c, el punto crtico corresponde a un mnimo relativo en (c, f(c)). si la primera derivada es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces f(c) no es ni un mnimo relativo ni un mximo relativo.ejemplo para resolver por el maestro: aplicar el criterio de la primera derivada para calcular los extremos locales de la siguiente funcin:ejemplo: determine los extremos relativos para la funcin: .Solucin: ntese que f es derivable en toda la recta de los nmeros reales. para determinar los puntos crticos de f, igualar a cero f '(x).escribir la funcin original:derivar e igualar f '(x) a cero:factorizar: (3x)(x - 1) = 0resolver: x = 0 x - 1 = 0 x = 1intervalo- < x < 00 < x < 11 < x < valor de pruebax = -1x = 0.5x = 2signo de f '(x)f '(-1) =6 > 0f '(0.5) = -0.75 < 0f '(2) = 6 > 0conclusincrecientedecrecientecreciente

por lo tanto, existe un mximo relativo en x = 0. se calcula sustituyendo el valor de x en la funcin dada:f(0) = 0entonces: mximo relativo = 0 para x = 0tambin, existe un mnimo relativo en x = 1. se calcula de la misma manera:entonces:

por lo tanto: mnimo relativo = -1/2 para x =

ejercicios para resolver en clases. calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, as como los extremos relativos aplicando el criterio de la primera derivada, para las siguientes funciones:

tarea. calcular los siguientes problemas:

1.- utiliza el criterio de la primera derivada para encontrar el mximo y mnimo relativos de la funcin: f(x) = x3 3x2 9x + 6.

respuesta: mximo = 11 para x = -1 y mnimo = -21 para x = 32.- determine los puntos para el mximo y el mnimo relativo de la funcin:f(x) = x3 - x2respuesta: (0, 0) y (1, - )3 determine los puntos para el mximo y el mnimo relativo de la funcin:

concavidades y puntos de inflexin.as como los puntos mximos y mnimos de una curva se caracterizan por ser puntos en los cuales la curva cambia de creciente a decreciente o viceversa, los llamados puntos de inflexin de una curva (cuando existen), se caracterizan por determinar un cambio en la concavidad de la curva.antes de presentar la definicin precisa de concavidad, se harn algunas observaciones de tipo intuitivo.Considere la funcin f cuya grfica aparece en la siguiente figura 1. Note en primer lugar que la curva que f representa, tiene tangente en todos sus puntos.Se observa que en los puntos "cercanos" a x1, pero diferentes de x1, la curva se encuentra por "debajo" de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva es cncava hacia abajo (o convexa) en el punto x1.Igualmente se observa que en los puntos "cercanos" a x2, pero diferentes de x2, la curva se encuentra por "encima" de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva es cncava hacia arriba (o cncava) en el punto x2.El punto (c, f (c)) de la curva en el cual la concavidad "cambia" se conoce con el nombre de punto de inflexin de la curva.Las ideas anteriores se precisan en las siguientes definiciones (ver figura 2): En todos los puntos en donde la recta tangente aparece por debajo de la curva, la funcin g(x) = f(x) es creciente, ya que las pendientes en estos, son en principio, valores negativos, ya que se trabaja con ngulos entre 0 y 90. Posteriormente, al ocurrir el mnimo, la primera derivada toma el valor cero, para continuar aumentando al tomar ngulos de inclinacin de la tangente entre 0 y 90. De esta manera, la curva de f presenta una concavidad en todo punto del intervalo en donde se verifique:

f '' (x) > 0

En todos los puntos en donde la recta tangente a la curva, aparezca por encima de esta, la funcin g(x) = f '(x) es decreciente. Siguiendo un razonamiento semejante al apartado (a), concluimos que la curva presenta una convexidad en todo punto en donde se verifique:

f '' (x) < 0

Finalmente, si f '' (c) = 0, entonces habr un punto de inflexin en (c, f(c)). De hecho estos se obtendrn al resolver la ecuacin:

f '' (x) = 0

Se usar el smbolo: para denotar que una curva es cncava hacia arriba o cncava positiva.

Igualmente, se emplea el smbolo, para denotar que una curva es cncava hacia abajo o cncava negativa.Ejemplo 1.- calcule el punto de inflexin de la siguiente funcin.Solucin: f(x) = x3 x2 6x

f '(x) = 3x2 2x 6

f ''(x) = 6x 2

f ''(x) = 0

6x 2 = 0

6x = 2

x =

x = 1/3

y = f(x)

f(1/3) =

= -56/27

punto de inflexin = (1/3, -56/27)ejemplo 2.- determinar los intervalos abiertos en los cuales la siguiente funcin es cncava hacia arriba o hacia abajo:

solucin: la derivacin doble produce lo siguiente:escribir la funcin original:encontrar la primera derivada:encontrar la segunda derivada:

haciendo es posible determinar los puntos de inflexinintervalo- < x < 00 < x < 22 < x < valor de pruebax = -1x = 1x = 3signo de

conclusincncavaconvexacncava

tarea: comprueba los siguientes ejercicios con la respuesta dada:

1.- calcula el punto de inflexin de la funcin f(x) = x3 - x2 6x.respuesta: 1/32.- calcular los intervalos abiertos en los que la funcin es cncava o convexa.

respuesta: cncavamximos y mnimos (criterio de la segunda derivada)a partir de las propiedades de los extremos locales estamos en condiciones de establecer para diversos tipos de funciones, cundo un extremo relativo corresponda a un mximo y cundo a un mnimo. de hecho, a partir de la resolucin de la ecuacin f '(x) = 0, es posible determinar su ubicacin.

adems, como se observa en la figura 1, el mximo relativo, se encuentra en algn punto de la curva en donde sta es convexa. por el contrario, para el punto en donde se localiza el mnimo relativo, la curva es cncava. de acuerdo a los criterios y propiedades de concavidad y puntos de inflexin, se establece la siguiente definicin:criterio de la segunda derivada: sea f una funcin tal que f '(c) = 0 y la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a c existe un mximo relativo en x = c si: f ''(c) < 0

existe un mnimo relativo en x = c si: f ''(c) > 0nota: si f(c) = 0, entonces el criterio falla. esto es, f quiz tenga un mximo relativo en c, un mnimo relativo en (c, f(c)) o ninguno de los dos. en tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada.

En un distrito regional de ventas, una campaa ha averiguado que la utilidad anual (P* expresada en dlares) en 100 de dlares es una funcin del nmero de representantes totales X asignados a ese distrito. La funcin es A. Qu nmero de representantes producir la utilidad mxima en el distrito?B. Cul es la utilidad mxima esperada?

Una compaa ha descubierto que el ingreso total es una funcin del precio fijado a su producto. La funcin de ingreso total es dnde P* es el precio en dlares A. Determinar el precio P* que produce el mximo ingreso total.B. Cul es el valor mximo del ingreso total. P =49

La utilidad anual de una compaa depende del nmero de unidades producidas especficamente la funcin es la siguiente

A. Determine el nmero de unidades X* que producirn la utilidad mxima.B. Cul es la utilidad mxima esperada.

Una compaa de televisin por cable a averiguado que su rentabilidad depende de la tarifa mensual que cobra a sus clientes especficamente la relacin que describe la utilidad anuel (P) en dlares la funcin de la tarifa mensual de renta (r) en dlares es la siguiente

a) Determina la tarifa de renta mensual que de por resultado la utilidad mxima b) Cules la utilidad mxima esperada?