Polinomios interpolaresIntroduccinEn la interpolacin polinomio, partimos de n + 1 puntos dados(x0, y0), (x1, y1), . . . , (xn, yn),y nuestro objetivo consiste en encontrar un polinomio de grado nP(x) = a0 + a1x + a2x2 + + anxn que pase por los puntos, esto es, que cumpla las n +1 condiciones: P (xj) = yj, j= 0, 1, . . . , n.Si los valores xj son distintos, entonces se puede garantizar que existe un nico polinomio de grado n que cumple las condiciones fijadas.Podemos usar el polinomio interpolador para aproximar el valor de y en posiciones intermedias de x dentro del intervalo de interpolacin1 [min xj , max xj ].

Fundamento tericoInterpolacin Polinmica

El objetivo de la Prctica es la obtencin del polinomio de interpolacin, que es el polinomio de grado menor o igual que n que pasa por n+1 puntos (xi,yi), i=0,1,...,n, tambin llamados nodos de interpolacin.Planteando directamente las condiciones anteriores se obtiene un sistema de ecuaciones lineales con solucin nica, pero generalmente mal condicionado. Los polinomios de Lagrange permiten obtener una expresin explcita del polinomio de interpolacin cuyo inters es ms bien terico, pues es difcil de evaluar en puntos concretos. Numricamente es mucho ms til la forma de Newton del polinomio de interpolacin. Aunque no tiene expresin explcita, su obtencin es ms estable que por los mtodos anteriores, su evaluacin no presenta los inconvenientes de los polinomios de Lagrange, y sobre todo, se puede actualizar fcilmente si se aaden nuevos nodos de interpolacin.1.Interpolacin polinmicaEl problema de la interpolacin consiste en estimar el valor de una funcin en un punto a partir de valores conocidos en puntos cercanos. En el caso de la interpolacin polinmica, la funcin incgnita se sustituye por un polinomio que coincide con aquella en los puntos conocidos. Se eligen los polinomios porque son fciles de evaluar y por el hecho fundamental de que dados n+1 puntos de abscisa distinta, (x0, y0), (x1, y1),..., (xn, yn), existe exactamente un polinomio Pn(x) de grado no superior a n, que pasa por dichos puntos, es decir, tal que Pn(xi) = yi, i=0,1,2...,n.En la interpolacin lineal, la funcin se sustituye por la recta que pasa por dos puntos. Tres datos se se interpolan con un polinomio de segundo grado, grficamente una parbola que pasa por esos tres puntos.Podramos pensar que al aumentar el grado se obtiene mejor aproximacin, pero esto es falso en general. La coincidencia del polinomio con muchos puntos de interpolacin se consigue a costa de grandes oscilaciones en los intervalos entre nodos o puntos de interpolacin dados. La aplicacin clsica de la interpolacin consiste en estimar los valores de una funcin tabulada en puntos que no figuran en la tabla. Como ejemplo tpico de tabla citemos la campana de Gauss o distribucin normal.Actualmente la interpolacin se utiliza en clculo numrico para aproximar funciones mediante otras ms sencillas, como los polinomios. Por ejemplo para deducir frmulas de integracin aproximada y mtodos de resolucin de ecuaciones diferenciales.2.Un problema de interpolacinMidiendo la temperatura ambiente a distintas horas del da hemos obtenido la siguiente tablaHora68101214161820Grados79121821191510

Sea T=f(t) la funcin (desconocida) que da la temperatura ambiente en cada instante t. Para estimar la temperatura en un instante t que no aparece en la tabla, aproximaremos la funcin f mediante polinomios de interpolacin. Estos polinomios se determinan exigiendo que coincidan con f en alguno de los valores tabulados. Si exigimos que pase por dos puntos, obtenemos una recta, o sea un polinomio de grado 1. Si hacemos que pase por tres puntos, queda un polinomio de grado 2, y as sucesivamente podemos ir aadiendo puntos e incrementando el grado.2.1.Interpolacin linealEl modo ms simple de estimar la temperatura a las 13 horas es tomar la media entre las temperaturas de las 12h y las 14h, que es de 19.5. Para otros instantes en el mismo intervalo tomamos una media ponderada, o geomtricamente hablando, la ordenada de la recta que pasa por (12,18) y por (14,21). La ecuacin general de la recta es P1(x) = a0 + a1x. Exigiendo que pase por los puntos (x0, y0) y (x1, y1) obtenemos un sistema de ecuaciones lineales a0 + a1x0 = y0a0 + a1x1 = y1cuya solucin da los coeficientes de la recta buscada.En nuestro ejemplo tenemos el sistemaa0 + 12a1 = 18a0 + 14a1 = 21cuya solucin es a0 = 0 y a1 = 3/2. 2.2.Interpolacin cuadrticaTomando un polinomio de mayor grado, podemos imponer ms condiciones para tener en cuenta la evolucin de la temperatura alrededor del intervalo [12,14].El polinomio de grado dos P2(x) = a0 + a1x + a2x2que pasa por (x0, y0), (x1, y1) y (x2, y2) se determina anlogamente resolviendo el sistema.a0 + a1x0 + a2x02 = y0a0 + a1x1 + a2x12 = y1a0 + a1x2 + a2x22 = y2

En nuestro ejemplo, tomando los puntos (10,12), (12,18) y (14,21) queda un sistema cuya expresin matricial es La matriz de este sistema se denomina matriz de Van der Monde. Esta matriz es regular si los xi son todos distintos, pero es mal condicionada para tamaos relativamente pequeos. Esto hace desaconsejable la obtencin del polinomio de interpolacin por este mtodo. Adems, la solucin de un sistema lineal de orden n tiene coste cbico O(n3), mientras que, como veremos enseguida, el polinomio de interpolacin puede obtenerse con O(n2) operaciones.t=10:2:14; T=[12 18 21]'; A=vander(t) 100 10 1 144 12 1 196 14 1

cond(A) 1.1634e+004

a=A\T -0.3750 11.2500 -63.0000

polyval(a,t) 12.0000 18.0000 21.0000

3.Forma de Lagrange del polinomio de interpolacinLa obtencin del polinomio de interpolacin en forma normal requiere la resolucin de un sistema de ecuaciones lineales, cuyo coste aritmtico es del orden de n3, siendo n el nmero de nodos. Para reducir el coste podemos tomar una base del espacio de polinomios ms adecuada, en la que sea ms cmodo imponer las condiciones de interpolacin. Esta base, formada por polinomios Lin(x), i=0,...,n, dependientes de las abscisas x0, x1, ..., xn, de los nodos considerados, nos proporcionar el polinomio de interpolacin sin hacer ni un solo clculo.3.1.Existencia del polinomio de interpolacin.Sea Lin(x) un polinomio de grado n, que se anule en todos los puntos xj, j = 0, 1, ..., n, salvo en el i simo, donde vale 1; es decir, tal que Li(xj) = 0 si ji y Li(xi) = 1La existencia de este polinomio se deriva del resultado anterior, pero puede obtenerse directamente, sin necesidad de resolver un sistema, gracias a la siguiente frmula debida a Lagrange Es inmediato comprobar entonces que el polinomioPn(x) = y0 L0(x) + y1 L1(x) + y2 L2(x) + + yn Ln(x)cumple las condiciones Pn(xi) = yi, i=0,1,2...,n.lo que prueba directamente la existencia del polinomio de interpolacin. La unicidad se puede garantizar utilizando el hecho de que un polinomio de grado n puede tener a lo sumo n races. Si dos polinomios de grado n interpolan n+1 puntos, su diferencia se anula en dichos puntos, por lo que slo puede ser el polinomio idnticamente nulo.3.2.Forma de Lagrange del polinomio de interpolacin.Combinando las dos ltimas frmulas, obtenemos una expresin explcita del polinomio de interpolacin. El polinomio P2(x) del ejemplo tiene, segn Lagrange, la siguiente expresin: Las operaciones que nos hemos ahorrado en su determinacin, hemos de pagarlas al evaluar el polinomio en un punto concreto (del orden de n2 operaciones por cada evaluacin). Adems, los productos a efectuar pueden causar overflow y la frmula no es estable numricamente.Cambiaremos los polinomios de Lagrange Lin(x) por otra base que nos proporcione mejores propiedades numricas, a costa de perder la expresin explcita cmoda del polinomio de interpolacin.4.Forma de Newton del polinomio de interpolacinLa forma natural del polinomio de interpolacin era difcil de obtener y fcil de evaluar en un punto dado. Por el contrario, la obtencin de la forma de Lagrange era directa, mientras su evaluacin resultaba imprctica. Existe una solucin de compromiso? La respuesta afirmativa nos la proporciona el mtodo de Newton que exponemos a continuacin.4.1.Determinacin algebraicaRecordando la tcnica de desplazamiento del origen vista en 2.3., consideramos como base los polinomios 1, xx0, (xx0)(xx1), ..., (xx0)(xx1) (xxn1). El polinomio de interpolacin correspondiente tendr ahora la expresinPn(x) = c0 + c1(xx0) + c2(xx0)(xx1) + + cn(xx0)(xx1) (xxn1)Imponiendo las condiciones de interpolacin, podemos determinar los coeficientes de este polinomio. Pn(x0) = y0 = c0Pn(x1) = y1 = c0+ c1(x1x0)Pn(x2) = y2 = c0+ c1(x2x0) + c2(x2x0)(x2x1) Pn(xn) = yn = c0+ c1(xnx0) + c2(xnx0)(xnx1) + + cn(xnx0)(xnx1) (xnxn1)El sistema lineal obtenido tiene una matriz anloga a la de Van der Monde, pero con la ventaja de ser triangular inferior. Los coeficientes pueden determinarse con menos operaciones (del orden de n2, en lugar de n3). Otra similitud con la matriz de Van der Monde, es que el elemento (i,j) es el valor del j-simo polinomio de la base en el (i1)-simo punto de interpolacin.En nuestro ejemplo, para estimar la temperatura a las 13 h. mediante un polinomio de grado 3, tomamos los 4 puntos ms prximos, que son (12,18), (14,21), (10,12) y (16,19). Imponiendo al polinomio que pase por estos puntos, queda el sistemaP3(12) = 18 = c0P3(14) = 21 = c0+ 2c1P3(10) = 12 = c0 2c1 + 8c2P3(16) = 19 = c0+ 4c1 + 8c2 + 48c3Resolviendo este sencillo sistema triangular obtenemos los coeficientes del polinomio buscado.La ecuacin del polinomio de grado 3 de la tabla anterior es P3(x) = 18 + 1.5(x12) 0.375(x12)(x14) 0.0417(x12)(x14) (x10)

Una importante consecuencia de la forma de los polinomios de la base considerada es que la adicin de nuevos puntos no afecta a los coeficientes previamente calculados. De este modo, podemos ir aadiendo puntos uno a uno y obtener polinomios de interpolacin de grado creciente sin tener que recalcular los anteriores. En otras palabras,

c0es el polinomio de grado 0 que pasa por (x0, y0),c0+ c1(xx0)es el polinomio de grado 1 que pasa por (x0, y0) y (x1, y1),c0+ c1(xx0) + c2(xx0)(xx1)es el polinomio de grado 2 que pasa por (x0, y0), (x1, y1) y (x2, y2)

En general, cada polinomio se obtiene del anterior mediantePi(x) = Pi1(x) + ci(xx0)(xx1) (xxi1)4.2.Evaluacin del polinomio de interpolacinUna vez obtenidos estos coeficientes, nos preguntamos cmo evaluar los polinomios de interpolacin en un punto dado x = a. La forma ms eficiente desde el punto de vista numrico es mediante la expresin anidada del polinomio:Pn(x) = c0+ c1(xx0) + c2(xx0)(xx1) + + cn(xx0)(xx1) (xxn1) == (((cn(xx n1) + cn1)(xx n2) + cn2)(xx n3) + + c1)(xx0) + c0Las operaciones se efectan teniendo en cuenta la precedencia establecida mediante los parntesis, o sea, comenzando con los ms interiores.

Ejercicio: a partir de los coeficientes que aparecen en la diagonal de la tabla de Newton, evaluar el polinomio de interpolacin en un punto dado, x, mediante un fichero.m. Prever la posibilidad de que x sea un vector.4.3.Error de interpolacinSupongamos que interpolamos una funcin conocida f a partir de sus valores en unos puntos dados, x0, x1, ..., xn. El error cometido al evaluar f(x) mediante el polinomio de interpolacin de grado n, Pn(x) viene dado por donde est en el menor intervalo que contiene x0, x1, ..., xn. Una consecuencia prctica de la forma del error es que hemos de tomar puntos prximos al punto x en que hemos de evaluar el polinomio. Normalmente, comenzamos con un polinomio de grado bajo, por ejemplo, la recta que pase por los dos puntos ms prximos a x, y vamos aadiendo puntos por orden de proximidad y calculando polinomios de mayor grado, hasta alcanzar la precisin deseada.La derivada que aparece en la expresin anterior puede aproximarse a su vez por un cociente en diferencias, pues se tiene que para cierto en el menor intervalo que contiene a x0, x1, ..., xn+1.Esta expresin sugiere una regla prctica para decidir qu polinomio interpola mejor n+1 puntos . Si en la tabla de diferencias divididas, los valores de la columna k, por ejemplo, son aproximadamente iguales y los de la columna k+1 son aproximadamente cero, el polinomio interpolador ms adecuado es de grado k. La razn es que el error viene dado por diferencias divididas de la columna siguiente, k+1, que ssupnemos casi nulas.Los productos que aparecen en la frmula del error nos indican que ste puede ser muy grande si hay muchos puntos o si x no est muy prximo a ellos. Cuando x no est en el menor intervalo determinado por x0, x1, ..., xn, estamos extrapolando, en lugar de interpolando. Veremos en un ejemplo a continuacin los problemas que presenta la interpolacin. stos se agravan an mas en la extrapolacin.4.4.Nodos de ChebyshevConsideremos la funcin de Runge en el intervalo [1,1]: Los polinomios que interpolan sus valores en puntos equiespaciados de este intervalo se desvan bastante de la funcin, sobre todo cerca de los extremos.

Objetivos Lograr que el robot pase por todos los puntos Analizar los sistemas

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