ÁREA DE MATEMÁTICAS

Curso: ÁLGEBRA Grado: 3º SECUNDARIA Tema: POLINOMIOS Profesor: GUILLERMO ROGGERO CALDAS

POLINOMIOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS:

Son expresiones denotadas matemáticamente en las cuales las variables son sólo operadas con la adición,

sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación en una cantidad limitada de veces

Ejemplo:

1. E (x; y; z) = 5x + 3ay2 + 2bz3

2. P (x;y) = 5y2

7logx5

3. R(x) = 1 + x + x2 + x3

TÉRMINO ALGEBRAICO

Es una expresión algebraica donde no están presente las operaciones de adición y sustracción.

Ejemplo:

M(x,y) = –4a x5 y3

TÉRMINOS SEMEJANTES

Dos o más términos serán semejantes si los exponentes de las respectivas partes variables son iguales.

Ejemplos:

P(x;y) = 4x2y7 y Q(x;y) = –2x2y7 Son términos semejantes

P(x;y) = 5x2y3 y S(x;y) = 2xy7 No son términos semejantes

POLINOMIOS

Son expresiones algebraicas racionales enteras en las cuales las variables están afectadas sólo de exponentes enteros positivos.

Ejemplos:

P(x;y) = 5x3y7 (monomio)

R(x;z) = 2x2z + 5z5 (binomio)

F(x) = 3 – 5x + 3 x2 (trinomio)

Exponentes

Variables Coeficiente

GRADO DE UN MONOMIO

A. Grado Relativo(GRx):

Es el grado respecto de una de sus variables y el valor es el exponente que afecta a dicha variable.

Ejemplo:

Sea P(x;y;z) = 5 x5y3z

GR(x) = 5

GR(y) = 3

GR(z) = 1

B. Grado Absoluto(GA):

Es la suma de los grados relativos.

Ejemplo:

Sea R(x;y;z) = 2x4y5z3

GA = 4 + 5 + 3 = 12

GRADO DE UN POLINOMIO

A. Grado Relativo:

Es el grado del polinomio respecto de una de sus variables y el valor es el mayor de los grados relativos de la variable en cada término. Ejemplo:

Sea P(x,y) = 3x3y5 – 7x2y9 + 5x7

GR(x) = 3

GR(y) = 9

B. Grado Absoluto: (Grado del polinomio)

Es el mayor de los grados absolutos de cada término.

Ejemplo:

Si F(x;y) = 2x2y3 – 7x6y + 4x4y4 GA = 4 + 4 = 8

Ejemplo:

P(x;y) = 5x2y5 + 6x7 + 7xy6 GA = 7

POLINOMIO EN UNA VARIABLE

Un polinomio en una sola variable tiene la siguiente forma general:

P(x) = b0 xn + b1 xn–1 + ……….. + bn–1x + bn

x: variable de P

b0, b1, ......, bn: coeficientes

b0: coeficiente principal (C. P.)

bn: término independiente (T. I.)

Nota:

Término independiente: (T. I.)

T. I. (P) = bn = P(0)

Suma de coeficientes ( coef.)

coef. (P) = b0 + b1 + ….. + bn = P(1)

POLINOMIOS ESPECIALES

POLINOMIO ORDENADO:

Con respecto a una variable es aquel que presenta a los exponentes de dicha variable colocados en forma ascendente

o descendente.

Ejemplos:

P(x) = 4x4 + 12x2 – 3x + 7

Q(x,y) = 3x4 + 5x2y + 4xy3 – y4

POLINOMIO COMPLETO:

Respecto a una variable, es aquel que presenta todos los exponentes de dicha variable, desde el cero hasta un valor máximo. Estos exponentes no necesariamente deben estar ordenados. Ejemplos:

P(x) = 4x3 + 12x – 7x2 + 16

P(x,y) = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

Nota:

Si un polinomio es completo:

Número de términos = GA(P) + 1

POLINOMIO HOMOGÉNEO:

Es aquel en el cual todos sus términos tienen el mismo grado absoluto, al cual se le llama grado de homogeneidad.

Ejemplo:

P(x,y) = 3x3y12 + 23x8y7 – 15x15 – 13y15

15 15 15 15

Nota: Un polinomio homogéneo en dos variables, si está ordenado lo está decreciente a una variable y creciente a la

otra.

POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO:

Es aquel polinomio cuyos coeficientes son todos ceros.

Ejemplo:

P(x) = (n – m) x2 + (p – q) x, si es idénticamente nulo:

n – m = 0 m = n

p – q = 0 p = q

POLINOMIOS IDÉNTICOS:

Dos polinomios son idénticos si sus términos semejantes tienen coeficientes iguales.

Ejemplo:

p(x) = ax2 + bx + c

q(x) = dx2 + ex + f

p(x) = q(x); si se cumple a = d; b = e; c = f

Notas:

1. P(x) = c, c se llama polinomio constante.

2. Si P(x) tiene un solo término, se llama monomio.