Álgebra elemental - polinomios
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ÁLGEBRAELEMENTAL
Término Algebraico, valor numérico, grados del polinomio, y polinomios especiales.
Prof. Florencio Llaique H.
Los polinomios son una parte importante del Álgebra. Están presentes en todos los contextos científicos y tecnológicos: desde los ordenadores y la informática hasta la carrera espacial.
Polinomios
Prof. Florencio Llaique H.
definición
Un polinomio es una expresión algebraica
Además, un polinomio es la suma o diferencia de monomios.
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P(x) = 3x4 +2x3 – x2 + 8x +10
Q(x ; y) = 5xy3 +10x
R(x ; y ; z) = 2y4z+ 2x3 – xy2 + 8xz + z
Suma o diferencia de monomios
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Casos de Polinomios
1) 2x + 3y4
2) -4a2b – b2c
3) 6x2 - 3x + 84) -x2yz + 3y - 5
BINOMIOSc
c TRINOMIOS
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Valor numérico
El valor numérico de un polinomio es el número que se obtiene al sustituir las variables por números.
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Valor numérico
Ejemplos:1. Valor numérico de: P(x)-2:P(-2)P(-2) 12+10+6=28
2. Sea M(x,y)= 2Calcular M(1;-3)M(1;-3)= 2M(1;-3)=-6+45+27=66
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Grados de un polinomio
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Grado relativo con respecto a una variable
84653 2081);;( yzxzyxzyxP
GR(x)=4 GR(y)=5 GR(z)=8
(mayor exponente de la variable)
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GA = 10 GA = 8 GA = 3
8x7y3 – 3x4y4 + 6xy2
GA = 10
Grado absoluto de un polinomio(mayor grado absoluto de los términos)
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Ejercicio 1214224 435);( yxyxyxyxQ mm
Si se sabe que el grado relativo a x es 5,calcula:
a)El valor de m
b)El grado absoluto del polinomio
Respuestas:a) m = 3b) GA = 9
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Ejercicio 2
2124324 435);( yxyxyxyxQ n
Si se sabe que el grado absoluto del polinomio es 9 halla: n2 + 1
Respuesta: 10
Ejercicio 3
25215 53);( aaaaa yxyxyxyxP
Si se sabe que el grado del polinomio es 31 halla: GR(x) + GR(y)
Respuesta: 41
Polinomios especiales
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Polinomios especiales
polinomio
ordenado
homogéneo
completo
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Un polinomio está ordenado cuando los exponentes de la variable “referida” están aumentando o disminuyendo.
83459 536);( yxyxyxyxP Ordenado en forma descendente respecto a “x”Ordenado en forma ascendente respecto a “y”
Ejemplo:
1.- Polinomio ordenado
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Ejemplo: Polinomio ordenado
x4y3 + 2x2y5 – 3xy8
Polinomio ordenado respecto a “x” en forma descendente
Polinomio ordenado respecto a “y” en forma ascendente
P(x;y)=x4y3 + 2x2y5 – 3x1y8
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2.- Polinomio completo
La variable “referida” presenta todos los exponentes consecutivos desde 1 hasta un mayor determinado e incluso el término independiente.Ejemplo:
252843 5479);( xyyxyxyxyxP
Completo respecto a “x” con T.I.(x)= -7y
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Ejemplo: Polinomio completo
x4y + 3x2y5 – 3x3 +xy4 – 5
Polinomio completo con respecto a “x”
P(x ; y)=x4y + 3x2y5 – 3x3 +xy4 – 5x0
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3.- Polinomio homogéneo
Es aquel polinomio en el que todos sus términos son del mismo grado absoluto.
Ejemplo:
71233422 537);;( yxzyxzyxzyxP Es un polinomio cuyo grado de homogeneidad es 8.
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Ejemplo: Polinomio homogéneo
P(x; y)=6x5y3 – 3x4y4 + 6x6y2
Polinomio homogéneo de grado 8
GA = 8 GA = 8 GA = 8
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Resumen
Fuente: texto escolar matemática 3-hipervinculos, (2013), Perú: Santillana
Propiedades
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1º- Siendo P(X) un polinomio completo se cumple:
324 4835)( xxxxxP
Se observa: - Número de términos = 5- Grado de P(x) = 4
de términos de P(x) = Grado de P(x) + 1
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2º- En todo polinomio completo y ordenado P(x) la diferencia de grados relativos de dos términos consecutivos vale 1.
124835)( 234 xxxxxP
GR =3 GR =2
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Ejercicios
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Ejercicio 1
caabb xxxxR 272 25)(
Si se sabe que el polinomio es completo y ordenado en forma creciente, calcula el valor de 2abc. Indica el grado del polinomio.
Respuestas:a) 2abc = 160b) GA = 2
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Ejercicio 2
ccbabacb xxxxxP 23)(
Si se sabe que el polinomio es completo y ordenado en forma decreciente, calcula el valor de a - b - c.
Respuesta: a-b-c= -1
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Si se sabe que el polinomio:
Ejercicio 3
xcbxaxxxxdxP 12392642)( 2323
Respuesta: 84
es idénticamente nulo, calcula el valor de
-7(a+b+c+d)
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Ejercicio 4
yxyxxyxR abb 22712 262);(
Si se sabe que el polinomio es homogéneo,
calcula el valor de a – b.
Respuesta: -1
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Ejercicio 5
1221 62);( abaaba yxyxyxP
Si se sabe que el polinomio es homogéneo de grado 7, calcula el valor de 2a – b.
Respuesta: 2a – b = 5