polinomios contenidosiespravia.com/.../3/4esomap_polinomiosresumen.pdf2.b. regla de ruffini....

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CUADERNO Nº 4 NOMBRE: ___________________________ FECHA: / /

Polinomios - 1 -

Polinomios

Contenidos

1. Expresiones algebraicas De expresiones a ecuaciones Valor numérico Expresión en coeficientes

2. División de polinomios

División Regla de Ruffini Teorema del resto

3. Descomposición factorial

Factor común xn Polinomios de segundo grado Regla de Ruffini reiterada Identidades notables

Objetivos

A trabajar con expresiones literales para la obtención de valores concretos en fórmulas y ecuaciones en diferentes contextos.

La Regla de Ruffini.

Teorema del resto.

A reconocer los polinomios con coeficientes reales irreducibles.

A factorizar polinomios con raíces enteras.

Autor: Emilio José Pedrazuela Colliga Bajo licencia

Adaptación Descartes JS: Xosé Eixo Creative Commons Si no se indica lo contrario.

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Polinomios - 2 -

1. Expresiones algebraicas

1.a. De enunciados a expresiones

CONTESTA A ESTAS CUESTIONES: RESPUESTAS

¿Qué característica tienen los monomios?

¿Qué aparece si sumamos o restamos varios monomios?

Contesta a los siguientes ejercicios y comprueba el resultado.

Calcula la expresión algebraica que nos da el número de cuadraditos del rectángulo:

Expresión Grado Coeficientes

¿Qué monomio nos da el área del rectángulo de base x y altura y?


¿Qué expresión nos da el volumen de un cubo de arista x?


¿Qué polinomio nos da la longitud del segmento marrón?


¿Qué polinomio nos da el triple de un número menos cinco?


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Polinomios - 3 -

¿Qué polinomio nos da la suma de los cuadrados de dos números?


¿Qué expresión define la diagonal de un cuadrado?


1.b. Valor numérico

Completa el siguiente párrafo:

El resultado de ______________ las variables por números en una expresión

______________ da lugar a un número, que llamaremos valor ________________.

Debemos aplicar la prioridad de ____________ realizando primero las _____________,

seguido de producto y ______________, y, por último, de _______________ y restas.

Efectúa las operaciones en la tabla siguiente para hallar el valor numérico:

Valor numérico.

Enunciado Desarrollo Resultado

1. La expresión 533 23 xxx tiene como

valor numérico en x = 10

2. La expresión 54 2 xx tiene como valor

numérico en x = 23

3. La expresión 566 x tiene como valor

numérico en x = —2

4. La expresión 24

2

y

x tiene como valor

numérico en x= 2 e y = 5

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Polinomios - 4 -

5. La expresión 352 yx tiene como valor

numérico en x= —3 e y = —2

1.c. Polinomios. Expresión en coeficientes

EJERCICIO 1:


¿En qué partes podemos subdividir un polinomio?

¿Dónde podemos encontrar fracciones, números negativos o raíces?

EJERCICIO 2. Completa uno de los ejemplos de la escena:

En este polinomio xxx 33 24 hay algunos coeficientes y exponentes ocultos.

1º Completamos el polinomio

2º Ver la expresión en coeficientes del polinomio

EJERCICIO 3.


¿Qué es el grado de un polinomio?

¿Cuántos coeficientes debemos poner si el grado de un polinomio es n?

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Polinomios - 5 -

EJERCICIOS

1. Determina la expresión de los siguientes enunciados:

Enunciado Expresión

¿Qué monomio nos da el área de un rectángulo de base 3·x y altura 2·y?

¿Qué polinomio nos da el triple de la suma de un número más cinco, menos el doble de ese número?

¿Qué expresión nos define la diagonal de un rectángulo de base x y altura 2·y?

2. Escoge la expresión algebraica en cada caso:

Expresión Enunciado

A B C D

1. El triple de un número más seis.

36 x 63 x )6(3 x 63x

2. La quinta parte de un número más diez.

105x

5

10x 510 x 105 x

3. Un cuarto de la suma de un número más siete. 4

7x 7

4x

4

714 x

4

7

4. La semisuma de dos números. 2

yx

2

yx y

x

2

2

yx

5. La mitad del producto de dos números. 2

yx

22

yx

2

yx

2

7x

6. La raíz cuadrada de la suma de dos cuadrados.

yx 22 yx 22 yx

22 yx

7. El 40 % de un número. x4,0 100

40 x x

10

40

40

100 x

8. El cuadrado de la suma de dos números.

2)( yz 22 yx

2yx 2)12( y

9. El cuadrado de la semisuma de dos números. 4

22 yx

2

2yx

2

2

yx

2

)( 2yx

10. La media aritmética de tres números.

zyx 5,05,05,0

2/

2

z

yx

3

zyx

2

zyx

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Polinomios - 6 -

EJERCICIOS

3. Halla los valores numéricos indicados en cada caso:

Enunciado Desarrollo Resultado

)2(72 5 enx

3

253 3 enx

933 3 enxx

3652 2 xenxx

1;0273 2 yxenyx

4. Dados los polinomios, contesta a las preguntas.

X3 + 4x - 2 X4 - 2x3 -x2 -2x

¿Grado del polinomio? ¿Grado del polinomio?

Escribe los coeficientes en los recuadros Escribe los coeficientes en los recuadros

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Polinomios - 7 -

2. División de polinomios 2.a. División

restoxR

cocientexC

divisorxQ

dividendoxP

xC

xQ

xR

xPxQxP

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)()(:)(


¿Cuál es la fórmula que relaciona los términos de una división?

¿Cuándo se cumple la fórmula anterior?

Se proponen ejemplos de división paso a paso de polinomios

xxx 3:399 2

(Efectúa aquí la división paso a paso)

Dividimos los monomios de mayor grado.

Multiplicamos el último monomio escrito en el cociente por el divisor y lo cambiamos de signo.

Sumamos.

Repetimos el proceso hasta llegar al término independiente del cociente.

Determinamos el cociente y resto.

8129)( 23 xxxxP

Ejercicio 1.

223)( 2 xxxQ

C(x) =

R(x) =

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Polinomios - 8 -

91522)( 23 xxxxP

Ejercicio 2.

3)( xxQ

C(x) =

R(x) =

2.b. Regla de Ruffini. División entre x - a. Atiende a la explicación del método, determinado por el médico y matemático italiano Ruffini, para resolver divisiones cuyo divisor es un binomio de 1er grado del tipo x – a

Resuelve aquí dos ejemplos:

722)( 23 xxxxP xxxxP 54)( 23

1 1)( xxQ

2 1)( xxQ

Cociente: Cociente:

Resto: Resto:

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Polinomios - 9 -

2.c. Teorema del Resto. EJERCICIO 1. Contesta a estas cuestiones:

RESPUESTAS

Al dividir un polinomio P(x) por (x-a)... ¿Cuál es el grado del resto?

Si llamamos C(x) al cociente y R al resto de una división tipo Ruffini, ¿Cuál es la fórmula que relaciona los términos que intervienen en la división?

EJERCICIO 2. Completa:

En la fórmula: P(x)=(x — a)·C(x)+R

Si sustituimos ahora la x por a, tenemos: P(a) =

Así llegamos a: Valor numérico de P en a =

Este resultado se conoce como _______________________

Observa la escena de abajo. Está dividida en dos partes. En la de arriba aparece un polinomio P(x) y un valor numérico a calcular: P(a). En la parte de abajo aparece la división por el método de Ruffini de ese mismo polinomio P(x) entre (x–a). Resuelve paso a paso dos ejemplos calculando P(a) y resolviendo la división

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Polinomios - 10 -

EJERCICIO 3. Contesta a estas cuestiones:

Si el valor numérico de P(x) en a es: P(a) = 0 RESPUESTAS

¿Cuánto vale el resto de la división de P(x) entre (x–a)

¿Qué relación hay entre P(x) y (x–a) ?

¿Qué es “a” del polinomio P(x)?

3. Descomposición factorial 3.a. Sacar factor común una potencia de x EJERCICIO 1:


¿Qué es lo primero que debemos observar para descomponer un polinomio en factores?

EJERCICIOS

5. Halla el cociente y el resto de la división de P(x) entre Q(x) en cada caso

a) P(x)=3x2-11x-13 Q(x)=x2-3x-4

b) P(x)=-9x3-15x2+8x+16 Q(x)=3x+4

6. Aplica la regla de Ruffini para dividir

P(x)=x3+5x2-2x+1

P(x)=2x4-5 entre x-3

P(x)=x3-4x+3x2

7. Aplica la regla de Ruffini para dividir

P(x)=x3+3x2-2x+1

P(x)=x4-2 entre x+1

P(x)=x3-4x2-x

8. Aplica el Teorema del resto y la regla de Ruffini para hallar el valor numérico de P(x)=x3-15x2+24x-3 en x=13

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Polinomios - 11 -

¿Cuándo será esto posible?

Practica extraer el factor común

Ejemplo 1: Ejemplo 2:

Realiza cuatro ejercicios propuestos anotando los resultados en la tabla siguiente:

Polinomio Factorización con SFC (sacar factor común)

34911 3634)( xxxxxP P(x) =

xxxxP 357)( P(x) =

2378 6462)( xxxxxP P(x) =

xxxxP 228)( 34 P(x) =

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Polinomios - 12 -

3.b. Polinomios de 2º grado

Recordamos la fórmula que nos permite la resolución de ecuaciones de segundo grado:

a

Db

a

cabbxcbxax

22

40

22

EJERCICIO 1:


¿A qué llamamos discriminante?

¿Para qué sirve el discriminante?

Para cada una de las tres siguientes ecuaciones de 2º grado, observa el valor del discriminante (fíjate en su signo) y el valor de las raíces de la ecuación. Escribe después la descomposición factorial del polinomio de 2º grado del primer miembro. EJERCICIO 2. Completa la siguiente tabla:

Ecuación Discriminante Signo Raíces Factorización

2x2–8x+6 =0 D = b2–4ac = 16 Positivo x = 1 ; x = 3 2x2-8x+6 = 2·(x–1)·(x–3)

3x2+6x+3 =0

2x2+6 = 0

Completa la siguiente tabla con los tres ejemplos que en ella aparecen, sabiendo que hay uno de cada tipo (Discriminante positivo, negativo y nulo):

Pasos Ecuación 1 Ecuación 2 Ecuación 3

Identificar a, b y c. 0192483 2 xx 016122 2 xx 0763 2 xx

Aplicar la fórmula.

Nº de soluciones

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Polinomios - 13 -

Si al ecuación de 2º grado es de la forma: x2 + bx + c = 0 Y si X1 y X2 son sus soluciones, se cumplen las fórmulas de Cardano:

c

b

21

21

x x

x x

3.c. Regla de Ruffini reiterada. La relación entre las raíces de un polinomio y el término de menor grado de un polinomio es:

Las raíces enteras y no nulas de un polinomio con coeficientes enteros, son divisores del coeficiente de menor grado del polinomio.

Vamos a descomponer factorialmente el polinomio P(x) = x4 -15x2 +10x +24

Determinamos las posibles raíces enteras(los divisores del término independiente: 24)

1 0 -15 10 24

1 )

Probamos con 1 No es raíz (el resto es distinto de cero). Ya no habrá que volver a probarlo después.

1 0 -15 10 24

–1 )

Probamos con –1 Sí es raíz (el resto es cero).

Obtenemos un polinomio de grado menor, en

este caso de grado 3.

2 )

3 )

Seguimos probando. Ahora con 2

Y finalmente con 3

Obtenemos la factorización: P(x) =

Veamos dos ejemplos más en los siguientes recuadros:

Ejemplo 1: Ejemplo 2:

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Polinomios - 14 -

3.d. Identidades notables. Efectúa las operaciones algebraicas en los siguientes recuadros para obtener cada una de las identidades notables:

Cuadrado de una suma Cuadrado de una diferencia Suma por diferencia

= = =


¿Cuántas identidades notables hay?

¿A qué es igual el cuadrado de la suma? ¿Cuántos sumandos aparecen?

¿Qué diferencia existe entre el cuadrado de una suma y el de una diferencia?

Enuncia la igualdad notable que nos falta

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Polinomios - 15 -

EJERCICIOS

14. Saca factor común (SFC) una potencia de x en cada uno de los siguientes polinomios:

P(x)=2x3+3x

Q(x)= x4+2x6-3x5

R(x)=2x6+6x5+8x3

15. Halla la descomposición factorial de x3-7x2+4x+12.

16. Factoriza:

2x2-8x+6

-x2+3x+4

x2+2x+3

x2+6x+9

17. Halla la descomposición factorial de x7-x6-4x4

18. Halla la descomposición factorial de x4-4.

19. Halla la descomposición factorial de x4+x3-x2-2x-2.

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Polinomios - 16 -

Para practicar más

1. Halla la expresión algebraica de un número de tres cifras si la cifra de las unidades es 4 veces la cifra de las decenas.

2. ¿Cuál es el grado de 2x5-x3+3x2? ¿Su coeficiente de grado 3? ¿y el de grado 2? Calcula su valor numérico en x=2

3. Halla P(x)-3·Q(x) siendo P(x)=4x2+4x y Q(x)=6x2+2x.

4. Multiplica los polinomios

P(x)=-3x3+4x2-x-2 y Q(x)=-x2+7.

5. Halla el cociente y el resto de la divi-sión de x3+2x2+5x-7 entre –x2+x-1.

6. Haz la división de x3+4x2+2x-3 entre x–2 con la regla de Ruffini.

7. Aplica el teorema del resto para calcular el resto de la división de 2x3-2x2+x-7 entre x-5.

8. a) Halla m para que x3+mx2-2mx+6 sea divisible por x+2

b) Halla m para que x3+mx2-8mx+4 sea divisible por x-1.

9. Efectúa las potencias

a) (3x+2)2

b) (2x-4)2

c) (x-5)2

10. Descomponer, aplicando las identidades notables, los polinomio:

a) x4-72x2+362

b) x4-16

11. Descomponer los siguientes polinomios, si es posible, aplicando la ecuación de segundo grado.

a) 3x2-10x+3

b) x2-4x+5

12. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas

a) 2x 8x 16

3x 12

b) 2

2

3x 12

x 4x 4

c) 2

2

4x 4x 1

12x 3

13. Saca factor común en 12x12+24x10

14. Halla la descomposición en factores primos de los siguientes polinomios

a) 3x8-39x7+162x6-216x5

b) 3x9+12x8+15x7+6x6

15. Un polinomio de grado 3 tiene por raíces –5, 7 y 1. Halla su descomposición factorial sabiendo que su valor en 2 es 128.

16. ¿Cómo realizas mentalmente el cálculo de 232-222?

MATEMÁTICAS Orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4º ESO 17

Autoevaluación

1. Halla los coeficientes de P(x)·Q(x)+ P(x)·R(x) siendo P(x)=3x+2, Q(x)=2x2-5 y R(x)=x2+8x.

2. Escribe los coeficientes del cociente y del resto en la división de 2x3-5x2+5 entre x2+5.

3. Calcula el valor numérico de –3x3-5x2+3 en x=-1

4. ¿Es cierta la igualdad 2x2+20x+25=(2x+5)2?

5. Calcula m para que el resto de la división de 4x2+mx+1 entre x+5 sea 2.

6. Si P(x)=ax2+bx+5 y a·62+b·6=3, ¿cuál es el resto de la división de P(x) entre x-6?

7. Halla una raíz entera del polinomio x3+5x2+8x+16

8. Halla la descomposición factorial de –4x2+12x+112.

9. El polinomio 5x3+9x2-26x-24 tiene por raíces 2 y –3 ¿Cuál es la otra raíz?

10. Las raíces de un polinomio de grado 3 son –6, 0 y 4. Calcula el valor numérico del polinomio en 2 sabiendo que su coeficiente de mayor grado es 3.

Polinomios

18 MATEMÁTICAS Orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4º ESO

Recuerda lo más importante

Expresión en coeficientes

Regla de Ruffini. Teorema del resto El resto de la división por x-a es el valor numérico del dividendo en a

División de Polinomios

Raíces de un polinomio

Polinomios

P(2)=0 P(-2)=0

19 MATEMÁTICAS Orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4º ESO

Soluciones de los ejercicios para practicar

1. 100x+14y

2. grado 5; c. gr 3-1; c. gr 23;

v.n. en 268

3. –14x2-2x

4. 3x5-4x4-20x3+30x2-7x-14

5. Cociente -x-3 Resto 7x-10

6. Cociente x²+6x+14 Resto 25

7. -33

8. a) 1/4 b) 5/7

9. a) (3x+2)2=9x²+12x+4

b) (2x-4)²=4x²-16x+16

c) (x-5)²=x²-10x+25

10. a) (x+6)² (x-6)²

b) (x+4)(x-2)(x²+4)

11. a) 3(x-1/3)(x-3)

b) No descompone

12. a) (x+4)/3

b) 3(x+2)/(x-2)

c) (2x+1)/(3·(2x-1))

13. 12x10·(x²+2)

14. a) 3x5(x-3)(x-4)(x-6)

b) 3x6(x+2)(x+1)²

15. 2(x+5)(x-7)(x-1)

16. 23²-22²=(23+22)·(23-22)=45

Polinomios

Soluciones AUTOEVALUACIÓN

1. 9 30 1 -10

2. Cociente 2x-5, resto –10x+30

3. 1

4. No, (2x+5)2=4x2+20x+25

5. m=19,8

6. 8

7. –4

8. –4(x+4)·(x-7)

9. –0,8

10. -96

polinomios contenidosiespravia.com/.../3/4esomap_polinomiosresumen.pdf2.b. regla de ruffini....

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